信号与系统第2章 习题
信号与系统课后题解第二章
⑺
对⑺式求一阶导，有：
de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt
⑻
将⑸式代入⑻式中，有：
λ 2 + 2λ + 1 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1 ± i
y h (t ) = e −t (C1 cos t + C2 sin t )
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
(
(
( + C e )δ (t ) + (C e
2 1
)
−2 t
+ C2 e t δ ' (t )
信号与系统(习题课)
∴ y(t) = e-3t + t e-3t = (1+ t) e-3t
by wky
习题 3-6 (1)
已知系统的微分方程为 y’’(t) +5 y’(t) + 4 y(t) =2 f ’(t) + 5f(t), t >0; 初始状态y(0-) =1，y’(0-) =5， 求系统的零输入响应yx(t)。 解：系统特征方程为 s2+5s+4=0 , 解得特征根 s1=-1, s2=-4
特解 （强迫响应）
比较：完全响应=零输入响应 + 零状态响应 = e－t + (1 - 1/2e－t -1/2e－3t)
by wky
习题 3-4
已知微分方程为 y’(t) + 3 y (t) = f(t)，t >0; y(0) =1，
求系统的固有响应(齐次解) yh(t)、强迫响应 (特解) yp(t)和完全响应(全解) y(t) 解：系统特征方程为 s+3=0,
f(t)
f(-t)
2
2
1
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 t -3 -2 -1 0 1 2 3 t
2 f(t+2)
f(-3t)
2
1
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 t -3 -2 -1 0 1 2 3 t by wky
2-10 已知信号波形, 绘出下列信号波形
f(t)
f(-t)
2
2
1
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 t -3 -2 -1 0 1 2 3 t
信号与系统习题给学生
信号与系统习题集第一章作业1、 分别判断如图所示波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号判断是否为数字信号。
(1)t()f t (2) t()f t(3) t()f t(4) t()f t2、 分别判断下列信号是否是周期信号，若是周期信号求出信号的周期。
（1）cos 2cos 3t t - （2）sin sin t t π+ （3）5j te3、 一连续信号f （t ）的波形图如图所示，试画出下述信号的波形图，并标注坐标值。
t()f t（1）(2)f t + （2）2(2)2t f -（3）1(12)2f t- 4、已知信号f(t)的波形如图所示，求g(t)=f(-2t+3)和f(-2t-3)的波形。
t()f t,()f t5、写出如图所示的各波形的函数式。
（1）t()f t（2）t()f t-6、画出下列各时间函数的波形。
（1）[](1)(2)t u t u t ---，（2）[](1)(2)(2)t u t u t u t ---+- （3）[](3)()(2)t u t u t --- 7、求下列函数值。
（1）2()()td r te u t dt-⎡⎤=⎣⎦，（2）3()()t r t e t δ-= （3）()cos ()4r t t t dt πδ∞-∞=-⎰，（4）2()()(1)tr t t e t dt δ∞--∞=+-⎰, ( 5 ) 3'()()t r t e t δ=8、画出下列系统的仿真框图。
()()3()2()dr t de t r t e t dt dt+=+ 9、判断下列系统是否为线性的，时不变的，因果的？ （1）()(2)r t e t =- （2）()(3)r t e t = （3）()()(1)r t e t u t =- （4）()()r t te t =第二章作业1、已知系统的电路图如图所示，写出电压()o v t 的微分方程。
()e tR +-()o v t2、已知系统的微分方程和起始状态如下，求齐次解。
信号与系统第2章习题
信号与系统第2章习题一、选择题1、下列信号不能用复指数信号stAe t x =)(表示的是（ ）A.冲激信号B.直流信号C.指数信号D.正弦信号 2、)22(4t e t--δ等于（ ）A. te4- B. )22(t -δ C.)1(214--t e δ D. )1(214δ-e 3、积分⎰--+642)8(dt t e t δ等于（ ）A.0B.16e C.1 D.)8(+t δ 4、已知信号)(t x 如下图所示，其表达式是（ ）A.)3()2(2)(---+t u t u t uB. )3(2)2()1(---+-t u t u t uC. )3()2()(---+t u t u t uD. )3()2()1(---+-t u t u t u 5、已知信号)(t x 如下图所示，其反转右移的信号)(1t x 是（ ）A. B.C. D.6、如下图所示：)(t x 为原始信号，)(1t x 为变换信号，则)(1t x 的表达式是（ ）A. )1(+-t xB. )1(+t xC. )12(+-t xD. )121(+-t x 7、若)(t x 是已录制声音的磁带，则下列表述错误的是（ ）A.)(t x -表示将磁带倒转播放产生的信号B.)2(t x 表示将磁带以二倍速度加快播放C.)2(t x 表示原磁带放音速度降低一半播放D.2)(t x 表示将磁带的音量放大一倍播放8、设)(t x 表示你在山谷喊话的声音，则你耳朵听到的声音可表示为（ ） A.∑∞=0)(n nt x a，0>n a B. ∑∞=+0)(n n nT t x a，0,0>>n n T aC.∑∞=-0)(n n nT t x a，0,0>>n n T a D.∑∞=-0)(n nTt x ，0>n T9、如下图所示周期信号)(~t x ，其直流分量等于（ ）A.0B.2C.4D.6二、判断题1、两个奇信号的和还是奇信号（ ）2、任何信号可分解为直流分量与交流分量之和（ ）3、任何信号可分解为偶分量与奇分量之和（ ）4、)cos(t 是功率信号，)]()()[cos(T t u t u t --是能量信号（ ）5、积分1)(=⎰∞-td ττδ（ ）6、对连续周期信号进行抽样所得离散序列一定还是周期的（ ）7、设)2()(1k x k x =，则)2/()(1k x k x =（ ）三、简答题1、单位冲激信号和单位脉冲序列各有什么特性？2、正弦信号)sin(0t ω和正弦序列)sin(0k Ω有什么区别与联系？3、信号的时域分解有哪几种方法？4、连续时间信号分解为冲激信号的线性组合有何实际意义？四、计算题教材P66习题：2-9、2-10、2-12、2-14。
考研专业课郑君里版《信号与系统》第二章补充习题——附带答案详解
第二章 连续时间系统的时域分析1．已知连续时间信号1()e ()t f t u t -=和2()e ()t f t u t =-，求卷积积分12()()()f t f t f t =*，并画出()f t 的波形图。
解：1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰反褶1()f τ得1()f τ-，右移t 得11[()]()f t f t ττ--=-，作出2()f τ图形及不同t 取值的1()f t τ-图形，由此可得：当0t ≤时，21()e e ee e 2ttt tt f t d d τττττ---∞-∞===⎰⎰当0t ≥时，0021()e e e e e 2t t t f t d d τττττ----∞-∞===⎰⎰综上，||111()e ()e ()e 222t t t f t u t u t --=-+=()f t 是个双边指数函数。
讨论：当1()f t 、2()f t 为普通函数（不含有()t δ、()t δ'等）时，卷积结果()f t 是一个连续函数，且()f t 非零取值区间的左边界为1()f t 、2()f t 左边界之和，右边界为1()f t 、2()f t 右边界之和，也就是说，()f t 的时宽为1()f t 、2()f t 时宽之和。
τttt2．计算题图2（a ）所示函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分)()()(21t f t f t f *=，并画出)(t f 的图形。
解法一：图解法1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰其中1()f t τ-的波形见题图2(b)，由此可得： 当10t +≤，即1t ≤-时，()0f t = 当011t ≤+≤，即10t -≤≤时，120()2(1)t f t d t ττ+==+⎰当11t +≥但10t -≤，即01t ≤≤时，1()21f t d ττ==⎰当011t ≤-≤，即12t ≤≤时，121()21(1)t f t d t ττ-==--⎰当11t -≥，即2t ≥时，()0f t =综上，220,1,2(1),10()1,011(1),12t t t t f t t t t ≤-≥⎧⎪+-≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪--≤≤⎩ ()f t 波形见题图2(c)。
信号与系统课后答案(第二版)+曾禹村+第二章作业参考答案
i1(t) = i2 (t) + i3 (t) , i2 (t) R2 − L 有 8i2 `(t) + 3i2 (t) = 2e`(t) ˆ ˆ 由 h`(t) + 3h(t) = 2δ (t)
0
h
(−1) t 3
T
t
t 3E − τ E (t) = ∫ δ (τ )dτ − ∫ e 8 u(τ )dτ −∞ 4 −∞ 32
x(t)
1
2 t
yx(t)
1 2 3 4 t
0
1
0
Qh(0) = 0, t ≤ 0, 有 0 ≤ t <1 , h(t) + h(t −1) + h(t − 2) = h(t) = t 时 1≤ t < 2时 h(t) + h(t −1) + h(t − 2) = h(t) + h(t −1) =1 , h(t) =1− h(t −1) =1− (t −1) = 2 −t 2 ≤ t < 3 , h(t) + h(t −1) + h(t − 2) =1 时 h(t) =1− h(t −1) − h(t − 2) =1− (2 − (t −1)) − (t − 2) = 0 3 ≤ t < 4时 h(t) = 4 − t − h(t −1) − h(t − 2) =4 −t − 0 − (2 − (t − 2)) = 0 , t, 0 ≤ t < 1 ∴h(t) = 2 − t, 1 ≤ t ≤ 2 0, t < 0,2 < t
解: (e) 特征方程为 λ2+4λ+4=0 得 λ1=-2， λ2=-2。 则 h(t)= (c1eλ1 t+ c2eλ2t)u(t)=( c1e- 3 t+ c2e-2 t)u(t) h`(t)= (c1+ c2)δ(t)+(-3c1e- 3 t-2c2e- 2t)u(t) h``(t)= (c1+ c2)δ`(t)+(-3c1-2c2) δ(t)+ (9c1e- 3 t+4c2e- 2t)u(t) 将x(t)= δ(t), y(t)=h(t)代入原方程得：
信号与系统 第二章习题 王老师经典解法(青岛大学)小白发布
2-16 已知 f1 (t ) =
画出下列各卷积的波形。 （1） s1 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ； （2） s2 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ∗ f 2 (t ) ； （3） s3 (t ) = f1 (t ) ∗ f 3 (t ) 。
2-17 求题图 2-17 所示电路在 e(t ) = (1 + 2e
第二章
连续时间系统的时域分析
2-1 电路如题图 2-1 所示，列写求 vo (t ) 的微分 方程。
L1 1H R1 2Ω + e(t) i 1 (t )
R2 1Ω + L2 2H 题图 2-1
C
1F
i 2 (t )
vo(t)
2-2 电路如题图 2-2 所示， 列写求 i2 (t ) 的微分方 程。
题图 2-18
−2 t
− 1)U (t ) ， 试利用卷积的性质求题
1 0 -1
e2(t)=tU(t) 1 t 0
e3(t)
t 0 1
2-19 一线性时不变的连续时间系统，其初始状态一定，当输入 e1 (t ) = δ (t ) 时，其全响应
r1 (t ) = −3e − tU (t ) ； 当 输 入 e2 (t ) = U (t ) 时 ， 其 全 响 应 r2 (t ) = (1 − 5e − t )U (t ) 。 求 当 输 入 e(t ) = tU (t ) 时的全响应。
2-14 计算卷积 f (t ) = f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) ，其中 f1 (t ) = sgn(t − 1) ， f 2 (t ) = e 2-15 求下列卷积 （1） f1 (t ) = e
《信号与系统分析基础》第二章部分习题参考答案
第二章部分习题参考答案2-6 试求下列各函数1()f t 与2()f t 之卷积。
121212(-)01(1) ()() ()() (0) ()()()(-) ()(-)11(1) 0(2) ()t tt t tt t f t u t f t e u t f t f t f f t d u eu t d e e d e e e t f t ααταατααταατττττττααδ-+∞-∞+∞---∞--==>*===⋅=⋅=-≥=⎰⎰⎰，解：，2121212() ()cos(45)()()()cos[()45] cos(45)(3) ()(1)[()(1)] ()(1)(2) ()()t f t t f t f t t d t f t t u t u t f t u t u t f t f t ωδτωττω+∞-∞=+*=-+=+=+--=---*⎰，解：，解：ττ222221211211()(-1)(-1)-2(-2)(-2)(-1)(-1)-(-2)(-2)2211-(-2)(-2)(-3)(-3)-(-2)(-2)(-3)(-3)22()*()()1,()0123, (1-)(1)21(1)--(12ttf t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t f t f t f t t f t t t dt t ft t t t τττ=+++=<=<<+=+-=++⎰222-112222212111)-222123, (1-)(1)-221()2(1)-2(1-)(-1)211121---152223, ()*()0.t t t t t t d t f t t t t t t t t t t t f t f t ττττ-+=<<+=+=+++=+++=++>=⎰121221--(4) cos , (1)-(-1)()*()()(-) [(1)-(-1)][cos(-)] cos[(1)]-cos[(-1)]f t t f t t t f t f t f f t d t t t d t t ωδδτττδδωττωω+∞∞+∞∞==+==+⋅=+⎰⎰ -212-212--2-220(5) ()(), ()sin ()()()*()()sin(-)(-) sin(-)sin t t ttt tf t e u t f t t u t f t f t f t e u t u t d e t d ee d τττττττττ+∞∞==⋅==⋅⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰-12-(-)--0022-(-)-33-2-3(6) ()2[()-(-3)], ()4()-(-2)0, ()0.02,()2488-825, 88()8(-)5, ()0.t tt t t tt t t t t f t e u t u t f t u t u t t f t t f t e d e e e t ft ed ef t e e e t f t ττττττ-==<=<<==⋅=<<===>=⎰⎰2-8 求阶跃响应为32()(21)()t t s t e e u t --=-+的LTI （线性时不变）系统对输入()()t x t e u t =的响应。
信号与系统课后答案 第2章 习题解
第2章 习 题2-1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应（1）0)(2)(3)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,3)0(==--y dt dy ； （2）0)(4)(22=+t y t y dt d ；给定：1)0(,1)0(==--y dtd y ；（3）0)(2)(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt dy ； （4）0)()(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy ； （5）0)()(2)(2233=++t y dt d t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(,1)0(22===---y dt d y dt d y 。
（6）0)(4)(22=+t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy 。
解：（1）微分方程的特征方程为：2320λλ++=，解得特征根：121, 2.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：2()t th y t Ae Be --=+.由(0)3,(0)2dy y dt--==得:3,2 2.A B A B +=--=解得:8, 5.A B ==- 所以此齐次方程的零输入响应为:2()85tty t e e--=-.（2）微分方程的特征方程为：240λ+=，解得特征根：1,22i λ=±.因此该方程的齐次解为：()cos(2)sin(2)h y t A t B t =+.由(0)1,(0)1d y y dx --==得:1A =,21B =,解得:11,2A B ==. 所以此齐次方程的零输入响应为:1()cos(2)sin(2)2y t t t =+.（3）微分方程的特征方程为：2220λλ++=，解得特征根:1,21i λ=-± 因此该方程的齐次解为：()(cos()sin())th y t e A t B t -=+.由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,A B A =-= 解得:1,3A B ==.所以齐次方程的零输入响应为:()(cos()3sin())ty t e t t -=+.（4）微分方程的特征方程为：2210λλ++=，解得二重根:1,21λ=-.因此该方程的齐次解为：()()th y t At B e -=+. 由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,B A B =-=解得:3, 1.A B == 所以该方程的零输入响应为:()(31)ty t t e -=+.（5）微分方程的特征方程为：3220λλλ++=，解得特征根: 1,21λ=-,30λ=. 因此该方程的齐次解为：()()th y t A Bt C e -=++.由22(0)1,(0)1,(0)2d d y y y dx dt---===得:1,1,22A C B C C B +=-=-=. 解得:5,3,4A B C ==-=-.所以方程的零输入响应为:()5(34)ty t t e -=-+.（6）微分方程的特征方程为：240λλ+=，解得特征根:120,4λλ==-. 因此该方程的齐次解为：4()th y t A Be -=+.由(0)1,(0)2d y y dx --==得:1,42A B B +=-=.解得:31,22A B ==-. 所以此齐次方程的零输入响应为:431()22ty t e -=-.2-2 已知系统的微分方程和激励信号，求系统的零状态响应。
[信号与系统作业解答]第二章
![[信号与系统作业解答]第二章](https://img.taocdn.com/s3/m/90bd92d5240c844769eaeeda.png)
特征方程为 2 3 2 0 ，特征根为 1
1和 2
2。
所以rzi(t) C1e t C2e 2t, t 0
将 rzi(0 ) r (0 ) 2 和rzi(0 ) r(0 ) 1代入可求得
g(t) 1 e 12t cos 3 t 2
1 e 12t sin 3 t u(t)
3
2
由于系统的冲激响应h(t) h(t) e 12t cos 3 t
2
d g(t) ，所以系统的冲激响应为 dt
1 e 12t sin 3 t u(t)
3
2
3）系统的冲激响应满足方程
d dt
h(t)
2h(t)
(t) 3 (t)
电容两端电压不会发生跳变，vc(0 ) vc(0 ) 10V ，所以i(0 ) 0 ；
因此，电阻两端无电压，电感两端电压变成 10V，所以i (0 ) 10 。
（2）换路后系统的微分方程为
i (t) i (t) i(t) e (t) e(t) 20u(t)
t 0 时间内描述系统的微分方程为
i (t) i (t) i(t) 20 (t)
e(t) (1) 0 (2)
整理得：
2vo(t) 5vo(t) 5vo(t) 3vo(t) 2e (t)
2-4 已知系统相应的齐次方程及其对应的 0+状态条件，求系统的零输入响应。
1）
d2 dt 2
r(t)
2
d dt
r(t
)
2r(t)
0 ，给定r(0 )
1 ，r (0 )
2
奥本海姆信号与系统第二章部分习题答案
5
+ + 2.22
概率画出结果。
< 有三种解法，建议用图解法
2.22
概率画出结果。
2.28 下面均为离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应，试判定每一系统是 否是因果和/或稳定的。陈述理由。 (a)ℎ ������ = (5)������ ������[������] (c) ℎ ������ = (2)������ ������ −������
4 5
y
长度为 M
y
x
而 N ≤n ≤N 长度为 M ，试用M 和 M 来表示 M 。
h x
(c) 考虑一个离散线性时不变系统，它具有这么一个特点，即若对 全部 n ≥10, x[n] = 0 ，则对所有的 n ≥15 都有 y[n] = 0 。系统单 位脉冲响应 h[n] 必须满足什么条件才有此特性？ (a) (c) (b)
(d) 有一个线性时不变系统的单位脉冲响应如图P2.44所示。为了确定 y (0) ，必须要知道在什么一个区间上的 x(t ) ？
2.50 图P2.50所示为两个系统的级联，其中一个系统 A 是线性时不变的，
y (t ) 而第二个系统 B 是系统 A 的逆系统，若 y (t )是系统 A 对 x (t )的响应，
5 ������ −5 1
1 − ������ cos 2������������ ������������
������0 ������ = ������ ������
(a) (b) (c)
u0 (t ) cos(t )dt (t ) cos(t )dt cos(0) 1
第二章
2.4 计算并画出y[n]=x[n]*h[n]，其中
《信号与系统》课程习题与解答
《信号与系统》课程习题与解答第二章习题(教材上册第二章p81-p87)2-1,2-4～2-10,2-12～2-15,2-17～2-21,2-23,2-24第二章习题解答2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。
图(a)：微分方程：11222012()2()1()()()2()()()()2()()()c cc di t i t u t e t dtdi t i t u t dtdi t u t dt du t i t i t dt ⎧+*+=⎪⎪⎪+=⎪⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩图（b ）：微分方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+++=+++⎰⎰2021'2'21'2'11)(01)(1Ri t v Ri Mi Li dt i Ct e Ri Mi Li dt i C)()(1)(2)()2()(2)()(33020022203304422t e dtd MR t v C t v dt d C R t v dt d C L R t v dt d RL t v dt d M L =+++++-⇒ 图(c)微分方程：dt i C i L t v ⎰==211'101)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎰dt t v L i t v L i dtdt v L i dt d)(1)(1)(10110'1122011∵ )(122111213t i dt d L C i i i i +=+=)(0(1]1[][101011022110331t e dt dR t v RL v dt d RR L C v dt d R C R C v dt d CC μ=+++++⇒图(d)微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=⎰)()()()()(1)()(11111t e t Ri t v t v dt t i C t Ri t e μRC v dt d 1)1(1+-⇒μ)(11t e V = ∵)()(10t v t v μ=)()(1)1(0'0t e R v t v R Cv v =+-⇒2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。
英文版《信号与系统》第二章习题解答
c xt x0t 2 ht h0t 1 yt y0t 1
d xt x0 t ht h0t
yt
1
01
2
t
We have not enough information to determine the output
e xt x0 t ht h0 t
yt
x0 t h0 t
0
2
t
Information to determine the output yt
yt
a xt 2x0t ht h0t
2
yt 2 y0 t
0
2
t
b xt x0 t x0 t 2 ht h0 t yt y0 t y0 t 2
yt
1
0
2
4t
19Chapter 2来自Problems Solution
xt
1
(a) yt et ut x 2d
1 0
yt et 2u t 2x d
ht et2ut 2
ht
2t
b yt xt ht xt h1t
h1t 1 h1t 2 16
Chapter 2
Problems Solution
h1 t t e 2u 2 d t e 2d
discontinuities,what is the value of a?
Solution ： xt
ht
1
1
0 1 t 0a t
yt
a
0 a 1 1+a t
5
Chapter 2
d yt dt
1
0 a 1 1+a t
-1
Problems Solution
信号与系统王明泉第二章习题解答
题2、两线性时不变系统分别为S1和S2，初始状态均为零。将激励信号 先通过S1再通过S2，得到响应 ；将激励信号 先通过S2再通过S1，得到响应 。则 与 的关系为_________________。
答案：
分析：该题是考查级联系统的交换率：两级联系统交换保持不变
特征方程为 ，
特征根为 ，
所以
代入初始条件 ， ，解得 ，
所以，
（2）求零状态响应
（3）
2.6 已知某线性时不变系统的方程式为
试求系统的冲激响应h(t)。
解：方程右端的冲激函数项最高阶数为 ，设
，
则有： ，将其代入原系方程，得
2.7若描述系统的微分方程为
试求系统的阶跃响应。
解：由题可知：
阶跃响应：
2.8已知某线性时不变(LTI)系统如题图2.8所示。已知图中 ， ， ,试求该系统的冲激响应 。
（7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。；
2.2 本章重点
（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立；
（2）用时域经典法求系统的响应；
（3）系统的单位冲激响应及其求解；
（4）卷积的定义、性质及运算，特别是 函数形式与其它信号的卷积；
（5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。
2.4.4系统的零输入响应与零状态响应
（1）零输入响应
系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。
零输入响应 是满足
及起始状态 的解,它是齐次解的一部分
由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发生跳变， ，所以 中的常数 可由 确定。
（2）零状态响应
信号与系统-第2章例题
对系统线性的进一步认识
例：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 e(t ) 时，其全响应
为 r1 (t ) 2e
3t
sin(2t ) u (t ) ； 当 激 励 为 2e(t ) 时 ， 其 全 响 应 为
3t r2 (t ) e 2sin(2t ) u (t ) 。求：
例：求微分方程的完全解 d2 d t y(0) y '(0) 0 y ( t ) 6 y ( t ) 5 y ( t ) e dt 2 dt d2 d 解: 齐次方程为 y (t ) 6 y (t ) 5 y (t ) 0 2 dt dt
特征方程：
2 6 5 0
d2 d r ( t ) 7 r (t ) 10r (t ) 2 (t ) 12 (t ) 8u(t ) 2 dt dt
例： 求系统的零输入响应
d2 d y ( t ) 3 y(t ) 2 y(t ) 0, y(0 ) 1, y '(0 ) 2 2 dt dt
1 5，2 1
特征根：
该方程的齐次解为：
yh (t ) C1e5t C2et
激励函数中a = -1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：
y p (t ) C t et
例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
零输入响应
例： 求系统的零输入响应 d2 d y (t ) 3 y(t ) 2 y(t ) 0, y(0 ) 1, y '(0 ) 2 2 dt dt 解：特征方程
信号与系统第二章习题
方法一
1. 完全响应
该完全响应是方程
d2 rt
dt2
3
dr d
t
t
2r
t
2δ
t
6ut
且满足r0 2, r0 0的解
方程（1）的特征方程为
特征根为
α 2 3α 2 0
α1 1，α2 2
（1）
方程（1）的齐次解为
r t A1 et A2 e2t
因为方程（1）在t>0时，可写为
1
1
1 t1 eτ 1 dτ 1 1 et u t 1
注意：1 et1 ut 1 et1 ut 1
X
例2-5
对图(a)所示的复合系统由三个子系统构成，已知各子系 统的冲激响应如图(b)所示。 (1)求复合系统的冲激响应h(t) ，画出它的波形；
(2)用积分器、加法器和延时器构成子系统 ha t和hb t
2
5
dr d
t
t
6r
t
3
de d
t
t
2et
试 求 其 冲 激 响 应 h(t )。
冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。 在系统分析中，它起着重要的作用。下面我们用两种方 法来求解本例。
方法：奇异函数项相平衡法
奇异函数项相平衡法
首先求方程的特征根，得
α1 2,α2 3
因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，
A1 A2 t 3A1 2A2 t 3 t 2 t
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut
例2-3
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
信号与系统第二章习题
X
第 17 页
奇异函数项相平衡法
首先求方程的特征根，得
α1 2,α2 3
因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，
冲激响应为
ht A1 e2t A2 e3t u t
(1)
对上式求导，得
d ht dt
A1
A2
t
2 A1 e2t 3 A2 e3t
ut
求零状态响应零状态响应完全响应零输入响应即因为特解为3所以强迫响应是3自由响应是1313页页方法二zszszs将发生跳变即从而zszszszs1414页页代入5式根据在t0时刻微分方程两端的及其各阶导数应该平衡相等得zszszszs1515页页zszs1616页页例22冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4 e2t 7 e3t ut X
第 19 页
例2-3
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
求该系统对激励的 et sin tut ut 1 零状态响应。
et
r t
1
1
O 12
t
对激励和响应分别微分一次，得
et δ tδ t 2
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月下午 12时11 分20.1 2.1212: 11Dece mber 12, 2020
•
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•
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《信号与系统》第一二章自测题及参考答案
第一、二章自测题1、判断题（1）若x (t )是一连续时间周期信号，则y (t )=x (2t )也是周期信号。
（2）两个周期信号之和一定是周期信号。
（3）所有非周期信号都是能量信号。
（4）两个连续线性时不变系统相互串联的结果仍然是线性时不变系统。
（5）若)()()(t h t x t y *=，则)1()2()1(+*-=-t h t x t y 。
（6）一个系统的自由响应就等于它的零输入响应。
（7）一个系统的零状态响应就等于它的自由响应。
（8）零状态响应是指系统没有激励时的响应。
（9）系统的单位冲激响应是指系统在冲激信号作用下的全响应。
（10）两个功率信号之和必为功率信号。
2、判断下列信号是能量信号还是功率信号？（1）3cos(15)()0t t f t t π≥⎧=⎨<⎩ （2）50()0te tf t t -⎧≥=⎨<⎩（3）()6sin 23cos3f t t t =+ （4）|2|()20sin 2t f t e t -= 3、填空题（1）已知)()4()(2t t t f δ+=，则)(''t f =__________________。
（2）=+-⋅+⎰∞∞-dt t t t )1()2(2δ__________________________。
（3）=-⎰∞∞-dt t ）（92δ_________________________ 。
（4）=-⎰∞∞-dt t t e t j ）（0δω_________________________ 。
（5）信号cos(15)cos(30)t t -的周期为 。
4、试画出下列各函数的波形图 （1）100()(), 0f t u t t t =-> （2）2()cos3[()(4)]f t t u t u t π=-- （3）3()[sin ]f t u t π=5、已知f (t )的波形如图1.1所示，求f (2-t )与f (6-2t )的表达式，并画出波形图。
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卷积运算性质： 卷积积分满足微分、积分及时移特性： ①若 x(t)h(t)，则y(t) x(t)h(t)x(t)h (t)y(t)
[ t x()d ]h (t)x(t)[ t h()d ][ t y()d ]
②若 x(t)h(t)，则y(t)
x ( t t 0 ) h ( t ) x ( t ) h ( t t 0 ) y ( t t 0 )
1δ 4 n 1δ 2 n 1 9 δ n 2 5 δ n 3
结果如图（a）所示。
(a)
sn
说明
•
6
1•
15 • 10•
3• 6 •
•14•12 •
9
•5
o
4
•
•
n
这种方法虽然计算比较简单，但表达式较长，因而只适应于较短的
时限序列。另外，用这种方法求得的卷积结果有时不容易写出其函
数表达式的闭式形式。
(2 )y t x t
在某个正的时刻t0的输出y(t0)=x(-t0) ，仅仅决定于 输入在时刻(-t0)的值，(-t0)是负的，因此属于t0的过去 时刻，这时可能要得出该系统是因果的结论。然而，
我们总是要检查在全部时间上的输入-输出关系，对于
t<0，如
t 4 ,y 4 x 4
所以在这一时间上输出就与输入的将来有关。因此， 该系统不是因果系统。
1f1nsinn 1π6sinn 3
sinnπ虽 然 是 周 期 序 期列 是 N， 3， 2其但 周 sinn是 非
16
3
周 期 序 列 ， 所 乘以 积二 序 f1者 n列 实的际 是 非 周 期
2 f2 n 2 s in 1 n π 6 c o n 8 π s 6 s in 2 n π π 6
是因果系统。
( 1 )y t x tct o 1 s (2 )y tx t
在检验一个系统的因果性时，重要的是要考查系 统的输入-输出关系，同时要把输入信号的影响仔细 地从在系统定义中所用到的其他函数的的影响区分开 来。
( 1 )y t x tct o 1 s
在这个系统中，任何时刻t的输出等于在同一时刻 的输入再乘以一个随时间变化的函数，因此仅仅是输 入的当前值影响了输出的当前值，可以得出该系统是 因果系统。
设 x3(t)ax1tbx2t x3 t y3 t x32 t ax1tbx2 t2 a2x12 tb2x22 t2abx1tx2 t
a2y1tb2y2 t2abx1tx2 t ay1tby2 t
所以系统是非线性的。
例7
系统的输入为x(t)，输出为y(t)，系统关系如下，判断系统是否
[x(n ) x(n 1 )] h (n )x(n ) h (n ) h (n 1 )
y(n )y(n 1 )
n
n
n
[ x(k)]h (n )x(n ) [ h (k)] y(k)
k
k
k
② 若 x(n)h(n)，则y(n)
x ( n n 0 ) h ( n ) x ( n ) h ( n n 0 ) y ( n n 0 )
O
1 2 3t
d f 6 2 t
dt
1
(1) (1)
3
O
12
t
(2)
对信号的波形进行微分变换时， 应注意在函数的跳变点处会出 现冲激信号。
例5 判断下列离散信号是周期序列还是非周期
序列。若是周期序列试确定其基波周期N。
1f1nsinn 1π6sinn 3 2 f2 n 2 s in 1 n π 6 c o n 8 π s 6 s in 2 n π π 6
则
y2n -2， 0,0,01， 0 ,， 0 0,n 2 ,00 ,0,,0 ,-1
如图（c）所示
x
n
3
•2
•
1
9
•
•
•
•
•
•
3
•o
• •3 n
1
•
•
2
(c)
第三步将 y2n右移2位即得
yn -2， 0,0,01， ,n0 0 0,0， ,20 ,,0, ,0 ,-1
如图（d）所示。
g t f1 tf2 t 0
-1 t 1
f2t向右f2移 t
1 f1
t 3 1 O t 1
t 1时两波形有公共部分，积分开始不为0，
积分下限-1，上限t ，t 为移动时间;
g (t) t1f1 ()f2 (t )d t11 2 t d
2
2
4
t 1
t2 t 1
4 24
1 t 2
例8
f1 t
1 t 1 f1(t) 0 t 1
t f2(t)2 (0t3 )
f 1
1 1 O 1 t
t
1 1 O 1
f 2 t
f2
3
3
2
t t
2
O
3t
3
O
f2t
3
2
t 3 O t
t -1
f2t
1 f1
t 3
t 1 O
1
t 1
两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0
f1 f2 t 0
方法二：ft d e tδ t d e t t d te t
d t
d t
d t
et tet t
t t t
t
方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过
程较繁。另外，对冲激偶信号的性质 f t t f 0 t f 0 t
往往被错误写成
ftt f0 t
1
3
4
O
7
t
4
1
例2
已知序列 xn如图（a）所示，
x n
试求序列
2•
1•
ynxn2，并作图。
3 3
1 o
•
12
3
• 1
n
2
•
(a)
本例是关于离散信号运算的例题，离散信号的移位、 反褶、标度运算与连续信号的运算相同。但需注意， 序列的尺度倍乘将波形压缩或扩展，这时要按规律去 除某些点或补足相应的零值。
f1 (t )
O
t
(2) f2td dtetcotu st
此题应注意冲激信号的性质
d u t t
ftt f0 t
d t
f2
t
d dt
et
costu
t
et cost et sint ut et cost t
et cost sintut t
波形如下图
2
et
cos
t
π 4
u
t
t
f2(t)
卷积结果
f 2 t
3 2 t
O
3t
t2 t 1
g(t
)
4 t
t
2
2
4
t 2
1 t 1 1t 2 2 t 4
g(t) 2
4 2
0
其 他t
1 O 1 2
4t
例9 已知离散信号
x 1 n n u n u n 6
x 2 n u n 6 u n 1 求卷积， sn x 1 n x 2 n
把 yn 改写为 ynx13n2
第一步设
y1n xn 3
0
n3,0,3,6,9 其他
则
y1n -1， 0， 0， n 2 0,0,0,,10,,00, ,00,-2
如图（b）所示。 x n
3
2•
1
•
3 •
• •1 o
• 1
1
• 2
3
•
•
•
•
•9
n
2
•
(b)
第二步设 y2n y1n
2
1
(2) d f(62t)
dt
O 12
t
在描绘某些信号的波形时，有时不必求出函数的表达 式，而可直接利用信号运算及相应的波形变换图解。 画(2)的波形时，应先画出(1)的波形。 需要注意，对信号的基本运算都是对独立的、单一的 变量t而言的，而不是对变量at或at+b进行变换。
f 6 2t
2
1
x 2 n δ n 6 δ n 5 δ n 4 δ n 3 δ n 2
利用单位样值信号的卷积性质
δ n n 1 δ n n 2 δ n n 1 n 2
sn x 1 n x 2 n δ n 5 3 δ n 4 6 δ n 3 1δ 0 n 2 1δ 5 n 1
f2t
1
f1
t 3 1 O
1t
t 3 1
t1
即1 t 2
g(t)1112tdt
2t4
1 f1 f2t
1 O t 31
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
1
g(t)
1(t)dt2t2
t32
42
t4
1 f1
f2t
t
1 O 1 t 3
t-31
即t 4
gt0
f1 t
1
1 O 1
求离散信号的卷积有多种方法，本例只介绍其中的几种 方法一：利用单位脉冲序列求卷积 方法二：借助图解，分区间求卷积 方法三：利用对位相乘法求卷积
方法一：利用单位样值信号求卷积
任何一个离散信号可以用单位样值信号表示为
m
xnxmδnm
对于本例
m
m
x1n m um um 6 δnm m
δn 1 2δn23 δn34δn45δn5
例6 判 断 方 yt程 x2t 描 述 的 系 性统 系是