信号与系统第2章 习题

求离散信号的卷积有多种方法，本例只介绍其中的几种 方法一：利用单位脉冲序列求卷积 方法二：借助图解，分区间求卷积 方法三：利用对位相乘法求卷积
方法一：利用单位样值信号求卷积
任何一个离散信号可以用单位样值信号表示为
m
xnxmδnm
对于本例
m
m
x1n m um um 6 δnm m
δn 1 2δn23 δn34δn45δn5
设 x3(t)ax1tbx2t x3 t y3 t x32 t ax1tbx2 t2 a2x12 tb2x22 t2abx1tx2 t
a2y1tb2y2 t2abx1tx2 t ay1tby2 t
所以系统是非线性的。
例7
系统的输入为x(t)，输出为y(t)，系统关系如下，判断系统是否
从而得出错误结论。
(2) f t t e3 δ τ d τ
t
τ
3
d
τ
t τ d τ t 3 τ d τ
t 3u t
f t t f 0 t f 0 t
例4
已知信号f(t)的波形如图所示，请画出下列函数的波形。
f t
(1)f(62t)
1
• • •• •
o
2
6m
o n2
n6 m
再将 x2nm平移，并分区间求出卷积结果。
当 n60时 ， n即 6
s n x 1 n x 2 n 0
当 n 6 1 和 n 6 5 时 ， 5 n 1 即
sn x 1n x 2n m n 6 1m 1 2n 6 n 7
1
3
4
O
7
t
4
1
例2
已知序列 xn如图（a）所示，
x n
试求序列
2•
1•
ynxn2，并作图。
3 3
1 o
•
12
3
• 1
n
2
•
(a)
本例是关于离散信号运算的例题，离散信号的移位、 反褶、标度运算与连续信号的运算相同。但需注意， 序列的尺度倍乘将波形压缩或扩展，这时要按规律去 除某些点或补足相应的零值。
2
1
(2) d f(62t)
dt
O 12
t
在描绘某些信号的波形时，有时不必求出函数的表达 式，而可直接利用信号运算及相应的波形变换图解。 画(2)的波形时，应先画出(1)的波形。 需要注意，对信号的基本运算都是对独立的、单一的 变量t而言的，而不是对变量at或at+b进行变换。
f 6 2t
2
1
例6 判 断 方 yt程 x2t 描 述 的 系 性统 系是
在检验一个系统的线性时，重要的是要牢记：系统必须 同时满足可加性和齐次性。
设 x1t,x2t为两个输入信号
先经系统
x1ty1tx12t
x2ty2tx2 2t
再线性运算
a 1 t y b 2 ty a 1 2 tx b 2 2 tx
本章主要讨论了以下内容：
⒈ 信号的时域分解:
x(n) x(k) (n k)
k
x(t) x( ) (t )d
⒉ LTI系统的时域分析——卷积和与卷积积分
⒊ LTI系统的描述方法：
①用 h(t)、描h(述n)系统（也可用 s(描t)、述s）(n；)
②用LCCDE连同零初始条件描述LTI系统；
③ 用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）。
⒋ LTI系统的特性与 h(t)、的h(关n)系： • 记忆性、因果性、稳定性、可逆性与 h ( t ) 、
h (的n )关系；
• 系统级联、并联时， h(t)、h与(n各)子系统的关系。
⒌ 奇异函数
卷积和满足差分、求和及时移特性：
① 若 x(n)h(n)，则y(n)
第一章 信号与系统 小结
建立了信号与系统的数学描述方法。 讨论了信号自变量变换对信号的影响。 介绍了作为信号分析基础的基本信号：复指数 信号、正弦信号、单位冲激与单位阶跃信号。 讨论了离散时间正弦信号的周期性问题。 定义并讨论了系统的六大基本特性及系统的互连。 讨论了增量线性系统及其等效方法。
第二章 线性时不变系统 小结
方法二：ft d e tδ t d e t t d te t
d t
d t
d t
et tet t
t t t
t
方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过
程较繁。另外，对冲激偶信号的性质 f t t f 0 t f 0 t
往往被错误写成
ftt f0 t
方法二：借助图解，分区间求卷积
根据卷积的定义式 sn x 1n x2n x 1m x2nm
m
首先将 x2n 反转，然后确定 x2nm 非零值区间的横坐
标，其下限为 n2，上限为 n6 ，如图（b）所示。
(b ）
x1 m
•
4
•
•
•
•
o 123 45
m
x 2 m
x 2n m
1
• • • ••
1f1nsinn 1π6sinn 3
sinnπ虽 然 是 周 期 序 期列 是 N， 3， 2其但 周 sinn是 非
16
3
周 期 序 列 ， 所 乘以 积二 序 f1者 n列 实的际 是 非 周 期
2 f2 n 2 s in 1 n π 6 c o n 8 π s 6 s in 2 n π π 6
f1 (t )
O
t
(2) f2td dtetcotu st
此题应注意冲激信号的性质
d u t t
ftt f0 t
d t
f2
t
d dt
et
costu
t
et cost et sint ut et cost t
et cost sintut t
波形如下图
2
et
cos
t
π 4
u
t
t
f2(t)
(1)f1tut21
由 u t 2 1 于 u t 1 t 1 ,根 据u(t )的 特 性 可 知 :
( t 1 ) t 1 0u t 2 1 1
( t 1 ) t 1 0u t 2 1 0
从而求得 波形图为
ut2 1 1 t 1 0 t 1
例1 粗略绘出下列各函数式的波形图
( 1 )f 1 t u t2 1 (2 )f 2 t d d te tcto u ts
描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘 图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标 出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极 小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。
[x(n ) x(n 1 )] h (n )x(n ) h (n ) h (n 1 )
y(n )y(n 1 )
n
n
n
[ x(k)]h (n )x(n ) [ h (k)] y(k)
k
k
k
② 若 x(n)h(n)，则y(n)
x ( n n 0 ) h ( n ) x ( n ) h ( n n 0 ) y ( n n 0 )
是因果系统。
( 1 )y t x tct o 1 s (2 )y tx t
在检验一个系统的因果性时，重要的是要考查系 统的输入-输出关系，同时要把输入信号的影响仔细 地从在系统定义中所用到的其他函数的的影响区分开 来。
( 1 )y t x tct o 1 s
在这个系统中，任何时刻t的输出等于在同一时刻 的输入再乘以一个随时间变化的函数，因此仅仅是输 入的当前值影响了输出的当前值，可以得出该系统是 因果系统。
O
1 2 3t
d f 6 2 t
dt
1
(1) (1)
3
O
12
t
(2)
对信号的波形进行微分变换时， 应注意在函数的跳变点处会出 现冲激信号。
例5 判断下列离散信号是周期序列还是非周期
序列。若是周期序列试确定其基波周期N。
1f1nsinn 1π6sinn 3 2 f2 n 2 s in 1 n π 6 c o n 8 π s 6 s in 2 n π π 6
卷积结果
f 2 t
3 2 t
O
3t
t2 t 1
g(t
)
4 t
t
2
2
4
t 2
1 t 1 1t 2 2 t 4
g(t) 2
4 2
0
其 他t
1 O 1 2
4t
例9 已知离散信号
x 1 n n u n u n 6
x 2 n u n 6 u n 1 求卷积， sn x 1 n x 2 n
恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：
卷积运算性质： 卷积积分满足微分、积分及时移特性： ①若 x(t)h(t)，则y(t) x(t)h(t)x(t)h (t)y(t)
[ t x()d ]h (t)x(t)[ t h()d ][ t y()d ]
②若 x(t)h(t)，则y(t)
x ( t t 0 ) h ( t ) x ( t ) h ( t t 0 ) y ( t t 0 )
f2t
1
f1
t 3 1 O
1t
t 3 1
t1
即1 t 2
g(t)1112tdt
2t4
1 f1 f2t
1 O t 31
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
1
g(t)
1(t)dt2t2
t32
42
t4
1 f1
f2t
t
1 O 1 t 3
t-31
即t 4
gt0
f1 t
1
1 O 1
x 2 n δ n 6 δ n 5 δ n 4 δ n 3 δ n 2
利用单位样值信号的卷积性质
δ n n 1 δ n n 2 δ n n 1 n 2
sn x 1 n x 2 n δ n 5 3 δ n 4 6 δ n 3 1δ 0 n 2 1δ 5 n 1
x n 2 3 3
Байду номын сангаас
2•
•1
7 • • • • • 1 o • 2 • • 5 n
1
•
•
(d)
2
例3 求下列函数值
(1)ftd ett dt
(2)ftte3τdτ
本例目的在于熟悉并正确应用冲激函数的性质。
(1)ftdett dt
方法一： ftd ett d t t
dt
dt
f 2 n 是三个周期序列的和组成的序列，所以它的基
波周期是这三个周期序列周期的最小公倍数。
2si nnπ 的 16
周
期 N1是 32
c
o snπ 的 8
周
期 N2 是 16
6si nn 2 ππ 6 是 N34
N 1 ,N 2 ,N 3 的最3 小 ， 2 f 公 2 所 n 基 倍 以 波 N 数 3。 周 2
1δ 4 n 1δ 2 n 1 9 δ n 2 5 δ n 3
结果如图（a）所示。
(a)
sn
说明
•
6
1•
15 • 10•
3• 6 •
•14•12 •
9
•5
o
4
•
•
n
这种方法虽然计算比较简单，但表达式较长，因而只适应于较短的
时限序列。另外，用这种方法求得的卷积结果有时不容易写出其函
数表达式的闭式形式。
例8
f1 t
1 t 1 f1(t) 0 t 1
t f2(t)2 (0t3 )
f 1
1 1 O 1 t
t
1 1 O 1
f 2 t
f2
3
3
2
t t
2
O
3t
3
O
f2t
3
2
t 3 O t
t -1
f2t
1 f1
t 3
t 1 O
1
t 1
两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0
f1 f2 t 0
(2 )y t x t
在某个正的时刻t0的输出y(t0)=x(-t0) ，仅仅决定于 输入在时刻(-t0)的值，(-t0)是负的，因此属于t0的过去 时刻，这时可能要得出该系统是因果的结论。然而，
我们总是要检查在全部时间上的输入-输出关系，对于
t<0，如
t 4 ,y 4 x 4
所以在这一时间上输出就与输入的将来有关。因此， 该系统不是因果系统。
g t f1 tf2 t 0
-1 t 1
f2t向右f2移 t
1 f1
t 3 1 O t 1
t 1时两波形有公共部分，积分开始不为0，
积分下限-1，上限t ，t 为移动时间;
g (t) t1f1 ()f2 (t )d t11 2 t d
2
2
4
t 1
t2 t 1
4 24
1 t 2
则
y2n -2， 0,0,01， 0 ,， 0 0,n 2 ,00 ,0,,0 ,-1
如图（c）所示
x
n
3
•2
•
1
9
•
•
•
•
•
•
3
•o
• •3 n
1
•
•
2
(c)
第三步将 y2n右移2位即得
yn -2， 0,0,01， ,n0 0 0,0， ,20 ,,0, ,0 ,-1
如图（d）所示。
把 yn 改写为 ynx13n2
第一步设
y1n xn 3
0
n3,0,3,6,9 其他
则
y1n -1， 0， 0， n 2 0,0,0,,10,,00, ,00,-2
如图（b）所示。 x n
3
2•
1
•
3 •
• •1 o
• 1
1
• 2
3
•
•
•
•
•9
n
2
•
(b)
第二步设 y2n y1n