【清华大学】信号与系统_03

+
t= 0 2
i(t)
3
1
R1 = 1
i (t) C
+
C = 1F
e(t) = 2V
iL(t)
L=
1 4
H
R=
2
3 2
①建立微分方程：列回路方程及节点方程，目标 e(t) ~ i(t)
R1i(t) +
vcd(it
) = e(t (t)
)
vc (t) = L
L
dt
+ iL(t)R2 dv (t)
i(t) = iC (t) + iL (t) = C
4
陆建华
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 引言
时域分析方法：
直接求解系统的微积分方程，物理概念清 晰，便于全面理解，但需要涉及系统内部细 节，如状态跳变等，比较繁琐，需要特别小 心，(工程训练所需)
变换域分析：
简便，方便研究新的信号处理技术和系统设计技术
5
清华大学电子工程系
陆建华
§2.1 引言
11
陆建华
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.3 起始点的跳变—从 0 到 0+ 状态的转换
r(k) (0 ) r (k) (0+ )
0 状态：激励源接入之前，原始状态Original
0 +
状态：激励源接入之后，导出起始状态initial
(1)借助元件特性判断求得 0+ ：
当没有冲激电流(或阶跃电压)作用于电容，则
v
c
( 0
+
) =v
( 0
)
当没有冲激电压(或阶跃电流)作用于电感，则
iL (0+ ) =
i
c L
(0
)
清华大学电子工程系
12
陆建华
§2.3 起始点的跳变—从 0 到 0 状态的转换
+
举例 ：(例2-5)右图求 i(t) ，t > 0
注意 ：(1)解题步骤，基本方法
(2)求 0 状态
+ e(t) = 4V
§2.2 微分方程的建立与求解
微分方程的建立：
电路课已基本解决，需要注意两种约束：元件特性及拓扑结构
微分方程的求解：
设激励信号为e(t)，系统响应为r(t)，微分方程表示式为
C0
d nr(t) dtn
+
C1
d n 1r(t) dtn 1
+
ꢀ+
Cn
1
dr(t) dt
+
Cn r (t )
=
E0
d me(t) dt m
(t)dt = 1
(t) = 0
(t 0)
(t) 亦满足狄拉克定义
不是充分必要条件! (t)
只是必要条件、是不严格的定义
严格的定义可以由“分配函数”给出（参见§2.9）
2) 广义极限定义
(t) =
lim 1 0
U (t +
2)
U (t
2)
是严格的,证明需用分配函数的概念 狄拉克定义只能用作验证。
清华大学电子工程系
(1) 因果系统 causal 当 t < 0 ，e(t) = 0
t < 0，r(t) = 0 有始系统
(2) 时不变：响应形式与激励施加的时刻无关
e(t) r(t)
0
0
e(t t ) r(t t )
(3) 奇异函数, 广义极限, 严格定义
清华大学电子工程系
3
陆建华
需要注意的问题
1) Dirac定义(狄拉克)
c
dt
+ iL(t)
清华大学电子工程系
13
陆建华
§2.3 起始点的跳变—从 0 到 0 状态的转换
+
消去iL (t) 、vc (t) 中间变量并代入参数得
d 2i(t dt 2
)
+
7
di(t dt
)
+
10i(t) =
d
2e(t dt 2
)
+
6
de(t dt
)
+
4e(t )
②完全响应(形式)
齐次解 2 7 10 0
例 ：一阶RC高通电路，加入单位阶跃激励源
r(0 ) = 0
r(0+ ) = 1
e(t)= v1(t)
v2(t)= r(t)
e(t)
r(t)
从物理系统往往易求得 0 状态， 0+ 状态则不太容易 求解，但时域分析回避不了这一难题(在第四章用拉氏变换
则可以回避求 0+ 起始状态问题) 。
清华大学电子工程系
8
清华大学电子工程系
陆建华
§2.2 微分方程的建立与求解
一般对于n 阶微分方程( n 阶系统)，需 n 个边界条件，如
在
t
=
0
时刻的状态，r (0)
dr(0) ， dt
，…，d
n 1r dt n
(0)
1
作为边界
条件。
把完全解的一般表达式求导，各式令代入可得(有关推导
参见P47)
9
清华大学电子工程系
陆建华
r(0) B(0)
dr(0) dB(0)
dt
dt
ꢀ
=
d n 1r(0) d n 1B(0)
dt n 1
dt n 1
§2.2 微分方程的建立与求解
1 1ꢁ1 A
1
2ꢁ
n
A12
ꢀ ꢀꢀꢀ ꢀ
n1 1
n1 2
ꢁ
nn 1 A
n
[ ] (n)(0) B(n) (0)
r
范德蒙（Vandermonde）矩阵可逆
t
1
+
Ae 2
t
2
+
+
Ae n
nt
n
(2)特解：由激励形式决定，查表，
B (ꢀt )
完全解：
A1e
t
1
+
A2e
2t +
ꢀ+
An e
t
n
+
B (t )
齐次(自由)
特解(强迫)
(3)定系数 A1,ꢀ, An，最关键的一步，也是最难的一步。
需要根据实际电路及激励源确定一组边界条件，其难点在于
确定这组边界条件。
+
E1
ห้องสมุดไป่ตู้
d m 1e(t) dt m 1
+
ꢀ+
Em
1
de(t) dt
+
Eme(t )
清华大学电子工程系
7
陆建华
§2.2 微分方程的建立与求解
经典解法：(三步曲)
(1)齐次解：激励为0，特征方程 C0 n + C1 n 1 + ꢀ + C n + C n = 0
n 求根得 1,ꢀ,
个根，
为齐次解 A1e
范德蒙矩阵 V []
[1 (n)
A
[]
] (n)
[A] = [V ]
上式中所得解限于t > 0 ， t = 0 的状态是激励加入之r 后(0的) 零B 状(态0) ，或
称 即
0+ 0+
状态。在 状态与
t=
0 0
时刻，由于激励的加入，会导致状态的跳变， 状态不一致。
10
清华大学电子工程系
陆建华
§2.2 微分方程的建立与求解
时域分析方法 ：
经典法解微分方程(50年代前，对于高阶系统不方便) 状态变量方法(上世纪60年代后，矩阵运算) 卷积运算(重点)
本章重点 ：
① 微分方程求解的一般方法(大部分为自习内容)
② 状态跳变( 0 )，0冲+ 激函数匹配法
③ 卷积及卷积的性质
清华大学电子工程系
6
陆建华
第二章 连续时间系统的时域分析
信号与系统
第一章要点
信号与系统的基本概念 信号
基本的信号(阶跃、冲激)
d
d
dt
dt
R(t) u(t)
系统
信号/行为
d
(t) dt
d
(t) dt
(t ) ꢀ
基本的系统(线性时不变系统(LTI)
c1e1 (t) + c2e2 (t)
c1r1 (t) + c2r2 (t)
清华大学电子工程系
2
陆建华
FAQ
+
ik (t) =
+