2001-数二真题、标准答案及解析

= − 1 lim 1 2 x→1 x + 2
=− 2⋅ 6
(2)设函数 y = f (x) 由方程 e2x+ y − cos ( xy) = e −1 所确定,则曲线 y = f ( x) 在点 (0,1) 处的
法线方程为 .
【答】 x − 2 y + 2 = 0.
【详解】在等式 e2x+ y − cos ( xy ) = e −1两边对 x 求导,得
又由 lim x→0
x sin xn ex2 −1
=
lim
x→0
x n +1 x2
= lim xn−1 x→0
= 0,
知 n ≥ 2. 故 n = 2.
因此正确选项为(B).
(3)曲线 y = ( x −1)2 ( x − 3)2 的拐点个数为
(A)0.
(B)1.
(C)2.
【答】 应选(C). 【详解】 因为
1 4
sin 2
2xdx
∫ = 1 8
π
2 −π
(1
−
cos
4
x
)dx
2
=π. 8
(4)过点
⎛ ⎜⎝
1 2
,
0
⎞ ⎟⎠
且满足关系式
y'
arcsin
x
+
y = 1的曲线方程为 1− x2
.
【答】 y arcsin x = x − 1 . 2
【详解】 方法一:
原方程 y' arcsin x + y = 1可改写为 1− x2
【答】 应选(A). 【详解】 方法一：
令 F ( x) = f ( x) − x,
【】
则 F ' ( x) = f ' ( x) −1 = f ' ( x) − f ' (1),
由于 f ' ( x) 严格单调减少,
因此当 x ∈ (1− δ ,1) 时， F ' ( x) < 0, 且在 x = 1 处， F ' (1) = 0.
(A)1.
(B)2.
(C)3.
(D)4. 【】
【答】 应选(B).
【详解] 由题设,知
( ) (1− cos x) ln 1+ x2
lim
x→0
x sin xn
= lim x→0
1 x2 ⋅ x2 2
x ⋅ xn
=
1 lim
2 x→0
1 xn−3
=
1 lim x3−n 2 x→0
= 0.
n应满足 n ≤ 2;
方法二:
当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的 a 一定使系数行列
式为零,即有
a11
1 a 1 = (a + 2)(a −1)2 = 0,
11a
解得 a = −2 或 a = 1. 由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当 a =1 时,原方程无解,因此只能是 a = −2.
-4-
(D)3. 【】
y' = 4( x −1)( x − 2)( x − 3)
( ) y'' = 4 3x2 −12x +11 ,
y''' = 24 ( x − 2).
令 y'' = 0, 即 3x2 −12x +11 = 0, 因为 ∆ = 122 − 4 ⋅ 3⋅11 = 12 > 0, 所以 yn = 0 有两个根,且不
⎛ = arctan ⎜
x
⎞ ⎟ + C.
⎝ 1+ x2 ⎠
x
四、求极限
lim
t→x
⎛ ⎜⎝
sin t sin x
⎞sin t−sin x ⎟⎠
,
记此极限为
f
( x), 求函数
f
(x)
的间断点并指出其类型.
【详解】方法一：
原式
=
lim
t→x
⎡⎢⎣1
+
sin
t
−
sin
x
⎤
sin x sin t −sin
为 2 ,因在此两点处,三阶导数 y''' ≠ 0, 因此曲线有两个拐点.
故正确选项为(C).
(4) 已 知 函 数 f ( x) 在 区 间 (1− δ ,1+ δ ) 内 具 有 二 阶 导 数 , f ' ( x) 严 格 单 调 减 少 , 且
f (1) = f ' (1) = 1, 则 (A)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f ( x) < x.
二、选择题
{ } （1）设
f
(x)
=
⎧1, ⎨⎩0,
x x
≤ 1, ,则
>1
f
f ⎡⎣ f ( x)⎤⎦ 等于
(A) 0 .
(B)1.
-3-
⎧1, x ≤ 1, (C) ⎨⎩0, x > 1.
⎧0, x ≤ 1, (D) ⎩⎨1, x > 1.
【答】 应选(B).
【详解】 因为 f ( x) ≤ 1,
-6-
时，一定有 f ' ( x) > 0 对应 y = f ' ( x) 图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A），（C）； 又 y = f ( x) 的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 y = f ' ( x) 图
形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B）.
故正确答案为（D）.
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析
一、填空题
（1） lim x→1
3− x − 1+ x = x2 + x − 2
.
【答】 − 2 6
【详解】
lim
x→1
3− x − 1+ x2 + x − 2
x
=
2(1− x)
lim
x→1
(
x
−
1)
(
x
+
2
)
⋅
1 3− x + 1+ x
(5)设方程 ⎢⎢1
a
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
有无穷多个解,则
a
=
.
⎢⎣1 1 a⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣−2⎥⎦
【答】 -2
【详解】 方法一:
利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
⎡a 1 1 M 1 ⎤ ⎡1 1 a M −2 ⎤
A = ⎢⎢1
a
1M
1
⎥ ⎥
→
⎢⎢0
a −1
1− a
求 f (x).
【详解】 等式两边对 x 求导得
g ⎡⎣ f ( x)⎤⎦ f ' ( x) = 2xex + x2ex
而
g ⎡⎣ f ( x)⎤⎦ = x,
故
xf ' ( x) = 2xex + x2ex .
当 x ≠ 0 时，有
f ' ( x) = 2ex + xex
积分得
f ( x) = ( x +1) ex + C
.
2
【答】 π 8
【详解】
在区间
⎡⎢⎣−
π 2
,
π 2
⎤ ⎥⎦
上,
x3
cos2
x
是奇函数,
sin 2
x
cos2
x
是偶函数,
-1-
故
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ π 2 −π 2
x3 + sin2 x cos2 xdx =
π 2 −π 2
x3 cos2 x + sin2 x cos2 x dx =
π 2 −π 2
x
⋅x sin
x
sin x ⎥⎦
x
= esin x ,
x
即
f ( x) = esin x ,
显然 f ( x) 的间断点为：
x = 0, x = kπ (k = ±1, ±2,L)
x
由于 lim f ( x) = lim esin x = e,
x→0
x→0
所以 x = 0 是函数 f ( x) 的第一类（或可去）间断点；
可见 F ( x) 在 x = 1 处取极大值，即在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 F ( x) < F (1) = 0,
也即 f ( x) < x.
故正确选项为（A）. 方法二：
因为 f ' ( x) 严格单调减少,且 f ' (1) = 1,
-5-
则在 (1− δ ,1) 内， f ' ( x) > f ' (1) = 1
( ) ∫ 三、求
dx
.
2x2 +1 x2 +1
【详解】设 x = tan t, 则 dx = sec2 t.
( ) ∫ ∫ ∫ 原式 =
sec2 tdt
=
cos tdt = d sin t
sec t ⋅ 2 tan2 t +1 2sin2 t + cos2 t 1+ sin2 t
= arctan (sin t ) + C
x
1dt,
1
1
即
f ( x) < x.
故选（A）.
（5） 设函数 f ( x) 在定义域内可导，y = f ( x) 的图形如右图所示，则导函数 y = f ' ( x) 的
图形为
【答】应选（D）
【】
【详解】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y = f ( x) 是严格单调增加的，因此当 x < 0
( ) ρ = ρ ( x) =
1
=
1+ y'2
2
=
1
(4x
3
+ 1) 2
.
K
y ''
2
抛物线上 AM 的弧长
∫ ∫ s = s ( x) = x 1+ y'2 dx = x 1+ 1 dx,
1
1
4x
故
dρ d ρ = dx
1
⋅
3
(
4x
1
+ 1) 2
⋅
4
=2 2
=6
π
ds ds dx
1+ 1 4x
d2ρ ds2
在 (1,1+ δ ) 内， f ' ( x) < 1；
从而在 (1− δ ,1) 内任一 x, 有
∫ ∫ 1 f ' (t ) dt >
1
1dt,
x
x
即 f (1) − f ( x) > 1− x, f (1) = 1 ⇒ f ( x) < x.
而对 (1,1+ δ ) 内任一 x, 有
∫ ∫ x f ' (t ) dt <
( y arcsin x)' = 1,
两边直接积分,得
y arcsin x = x + c.
又由
y
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞ ⎟⎠
=
0,
解得
c
=
−
1 2
.
故所求曲线方程为：
方法二:
y arcsin x = x − 1 . 2
将原方程写成一阶线性方程的标准形式
y' +
1
y= 1 .
1− x2 arcsin x arcsin x
M
3
⎥ ⎥
→
⎢⎣1 1 a M −2⎥⎦ ⎢⎣0 1− a 1− a2 M 1+ 2a⎥⎦
⎡1 1
a
M −2 ⎤
⎢⎢0 a −1
(a −1)
M
3
⎥ ⎥
,
⎢⎣0 0 (a −1)(a + 2) M 2(a + 2)⎥⎦
( ) 可见,只有当 a = −2 时才有秩 r A = r ( A) = 2 < 3, 对应方程组有无穷多个解.
抛物线上介于点
A(1,1) 与
M
之间的弧长，计算 3ρ
d2ρ ds2
−
⎛ ⎜⎝
dρ ds
⎞2 ⎟⎠
的值.（在直角坐标系下曲
y ''
率公式为 K =
）
3
( ) 1+ y'2 2
【详解】 y' = 1 , y'' = − 1 ,
2x
4 x3
抛物线在点 M ( x, y)( x ≥ 1) 处三维曲率半径
3
解得 y = e
−∫ e
⎡
∫ = 1−
x2
1 arcsin
x
dx
⎢⎢c ⎢⎣
+
1
∫
e
arcsin x
1
dx ⎤
1−x2 arcsin x dx⎥⎥
⎥⎦wenku.baidu.com
1
(c+ x),
arcsin x
y
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞ ⎟⎠
=
0
⇒
c
=
−
1 2
.
-2-
故曲线方程为：
y arcsin x = x − 1 . 2
⎡a 1 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
=
d ⎛dρ dx ⎜⎝ ds
⎞ ⎟⎠
⋅
1 ds
=
6 2x
⋅
dx
1= 1+ 1
4x
6 4x +1
因此
3ρ
d2ρ ds2
=
⎛ ⎜⎝
dρ ds
⎞2 ⎟⎠
=
3
⋅
1
(
4
x
+
1)
3 2
2
⋅
6 − 36x = 9 4x +1
-8-
∫ 六、设函数 f ( x) 在[0, +∞) 上可导， f (0) = 0, 且其反函数为 g ( x), 若 f (x) g (t )dt = x2ex , 0
【】
于是
f ⎡⎣ f ( x)⎤⎦ = 1,
{ } 从而 f f ⎡⎣( x)⎤⎦ = 1.
故正确选项为(B).
( ) ( ) (2)设当 x → 0 时, (1− cos x) ln 1+ x2 是比 x sin xn 高阶的无穷小, x sin xn 是比 ex2 −1 高
阶的无穷小,则正整数 n 等于
( ) ( ) e2x+y ⋅ 2 + y' + sin ( xy) ⋅ y + xy' = 0,
将 x = 0, y = 1 代入上式,得 y' (0) = −2. 故所求法线方程为
y −1 = 1 x, 2
即
x − 2 y + 2 = 0.
π
∫ ( ) (3)
2 −π
x3 + sin2 x
cos2 xdx =
x
x
而 lim f ( x) = lim esin x 与 lim f ( x) = lim esin x 均不存在，
x→(kπ )−
x→(kπ )−
x→(kπ )+
x→(kπ )+
故 x = kπ (k = ±1, ±2,L) 是函数 f ( x) 的第二类（或无穷）间断点.
-7-
方法二：
= lim e = e = 原式
x ln sin t sin t −sin x sin x
lim
sin
t
x −sin
x
ln
sin sin
t x
t→x
x,
t→x
sin x
x
故 f ( x) = esin x
求间断点并指出其类型同方法一.
五、设 ρ = ρ ( x) 是抛物线 y = x 上任一点 M ( x, y)( x ≥ 1) 处的曲率半径， s = s ( x) 是该
(B)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f ( x) > x.
(C)在 (1− δ ,1) 内, f ( x) < x, 在 (1,1+ δ ) 内, f ( x) > x.
(D)在 (1− δ ,1) 内, f ( x) > x, 在 (1,1+ δ ) 内, f ( x) < x.