2001-数二真题、标准答案及解析

(B)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f ( x) > x.
(C)在 (1− δ ,1) 内, f ( x) < x, 在 (1,1+ δ ) 内, f ( x) > x.
(D)在 (1− δ ,1) 内, f ( x) > x, 在 (1,1+ δ ) 内, f ( x) < x.
解得 y = e
−∫ e
⎡
∫ = 1−
x2
1 arcsin
x
dx
⎢⎢c ⎢⎣
+
1
∫
e
arcsin x
1
dx ⎤
1−x2 arcsin x dx⎥⎥
⎥⎦
1
(c+ x),
arcsin x
y
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞ ⎟⎠
=
0
⇒
c
=
−
1 2
.
-2-
故曲线方程为：
y arcsin x = x − 1 . 2
⎡a 1 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
( ) ∫ 三、求
dx
.
2x2 +1 x2 +1
【详解】设 x = tan t, 则 dx = sec2 t.
( ) ∫ ∫ ∫ 原式 =
sec2 tdt
=
cos tdt = d sin t
sec t ⋅ 2 tan2 t +1 2sin2 t + cos2 t 1+ sin2 t
= arctan (sin t ) + C
M
3
⎥ ⎥
→
⎢⎣1 1 a M −2⎥⎦ ⎢⎣0 1− a 1− a2 M 1+ 2a⎥⎦

⎡1 1
a
M −2 ⎤
⎢⎢0 a −1
(a −1)
M
3
⎥ ⎥
,
⎢⎣0 0 (a −1)(a + 2) M 2(a + 2)⎥⎦
( ) 可见,只有当 a = −2 时才有秩 r A = r ( A) = 2 < 3, 对应方程组有无穷多个解.
(A)1.
(B)2.
(C)3.
(D)4. 【】
【答】 应选(B).
【详解] 由题设,知
( ) (1− cos x) ln 1+ x2
lim
x→0
x sin xn
= lim x→0
1 x2 ⋅ x2 2
x ⋅ xn
=
1 lim
2 x→0
1 xn−3
=
1 lim x3−n 2 x→0
= 0.
n应满足 n ≤ 2;
-4-
(D)3. 【】
y' = 4( x −1)( x − 2)( x − 3)
( ) y'' = 4 3x2 −12x +11 ,
y''' = 24 ( x − 2).
令 y'' = 0, 即 3x2 −12x +11 = 0, 因为 ∆ = 122 − 4 ⋅ 3⋅11 = 12 > 0, 所以 yn = 0 有两个根,且不
( y arcsin x)' = 1,
两边直接积分,得
y arcsin x = x + c.
又由
y
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞ ⎟⎠
=
0,
解得
c
=
−
1 2
.
故所求曲线方程为：
方法二:
y arcsin x = x − 1 . 2
将原方程写成一阶线性方程的标准形式
y' +
1
y= 1 .
1− x2 arcsin x arcsin x
为 2 ,因在此两点处,三阶导数 y''' ≠ 0, 因此曲线有两个拐点.
故正确选项为(C).
(4) 已 知 函 数 f ( x) 在 区 间 (1− δ ,1+ δ ) 内 具 有 二 阶 导 数 , f ' ( x) 严 格 单 调 减 少 , 且
f (1) = f ' (1) = 1, 则 (A)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f ( x) < x.
可见 F ( x) 在 x = 1 处取极大值，即在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 F ( x) < F (1) = 0,
也即 f ( x) < x.
故正确选项为（A）. 方法二：
因为 f ' ( x) 严格单调减少,且 f ' (1) = 1,
-5-
则在 (1− δ ,1) 内， f ' ( x) > f ' (1) = 1
x
x
而 lim f ( x) = lim esin x 与 lim f ( x) = lim esin x 均不存在，
x→(kπ )−
x→(kπ )−
x→(kπ )+
x→(kπ )+
故 x = kπ (k = ±1, ±2,L) 是函数 f ( x) 的第二类（或无穷）间断点.
-7-
方法二：
= lim e = e = 原式
x
⋅x sin
x
sin x ⎥⎦
x
= esin x ,
x
即
f ( x) = esin x ,
显然 f ( x) 的间断点为：
x = 0, x = kπ (k = ±1, ±2,L)
x
由于 lim f ( x) = lim esin x = e,
x→0
x→0
所以 x = 0 是函数 f ( x) 的第一类（或可去）间断点；
1 4
sin 2
2xdx
∫ = 1 8
π
2 −π
(1
−
cos
4
x
)dx
2
=π. 8
(4)过点
⎛ ⎜⎝
1 2
,
0
⎞ ⎟⎠
且满足关系式
y'
arcsin
x
+
y = 1的曲线方程为 1− x2
.
【答】 y arcsin x = x − 1 . 2
【详解】 方法一:
原方程 y' arcsin x + y = 1可改写为 1− x2
(5)设方程 ⎢⎢1
a
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
有无穷多个解,则
a
=
.
⎢⎣1 1 a⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣−2⎥⎦
【答】 -2
【详解】 方法一:
利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
⎡a 1 1 M 1 ⎤ ⎡1 1 a M −2 ⎤
A = ⎢⎢1
a
1M
1
⎥ ⎥
→
⎢⎢0
a −1
1− a
抛物线上介于点
A(1,1) 与
M
之间的弧长，计算 3ρ
d2ρ ds2
−
⎛ ⎜⎝
dρ ds
⎞2 ⎟⎠
的值.（在直角坐标系下曲
y ''
率公式为 K =
）
3
( ) 1+ y'2 2
【详解】 y' = 1 , y'' = − 1 ,
2x
4 x3
抛物线在点 M ( x, y)( x ≥ 1) 处三维曲率半径
3
求 f (x).
【详解】 等式两边对 x 求导得
g ⎡⎣ f ( x)⎤⎦ f ' ( x) = 2xex + x2ex
而
g ⎡⎣ f ( x)⎤⎦ = x,
故
xf ' ( x) = 2xex + x2ex .
当 x ≠ 0 时，有
f ' ( x) = 2ex + xex
积分得
f ( x) = ( x +1) ex + C
【答】 应选(A). 【详解】 方法一：
令 F ( x) = f ( x) − x,
【】
则 F ' ( x) = f ' ( x) −1 = f ' ( x) − f ' (1),
由于 f ' ( x) 严格单调减少,
因此当 x ∈ (1− δ ,1) 时， F ' ( x) < 0, 且在 x = 1 处， F ' (1) = 0.
又由 lim x→0
x sin xn ex2 −1
=
lim
x→0
x n +1 x2
= lim xn−1 x→0
= 0,
知 n ≥ 2. 故 n = 2.
因此正确选项为(B).
(3)曲线 y = ( x −1)2 ( x − 3)2 的拐点个数为
(A)0.
(B)1.
(C)2.
【答】 应选(C). 【详解】 因为
-6-
时，一定有 f ' ( x) > 0 对应 y = f ' ( x) 图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A），（C）； 又 y = f ( x) 的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 y = f ' ( x) 图
形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B）.
故正确答案为（D）.
⎛ = arctan ⎜
x
⎞ ⎟ + C.