高中数学平面曲线平移伸缩变换的技巧.doc
掌握函数像的平移伸缩反转与对称
掌握函数像的平移伸缩反转与对称掌握函数图像的平移、伸缩、反转与对称函数图像的平移、伸缩、反转与对称是数学中常见的概念，对于理解和应用函数具有重要意义。
在本文中，我们将探讨如何掌握函数图像的这些变化，并给出相应的例子。
一、平移在函数图像中，平移是指将函数沿水平或垂直方向进行移动，而不改变其形状。
平移可以向左、向右、向上或向下进行。
1. 水平平移水平平移是指将函数图像沿水平方向移动。
如果函数图像为f(x)，则将f(x)替换为f(x ± a)，其中a为平移的距离。
例如，考虑函数f(x) = x^2，如果我们要将其向右平移2个单位，则可以得到新的函数f(x-2) = (x-2)^2。
这样，原来的顶点(0,0)将被平移至(2,0)，整个图像向右移动了2个单位。
2. 垂直平移垂直平移是指将函数图像沿垂直方向移动。
如果函数图像为f(x)，则将f(x)替换为f(x) ± a，其中a为平移的距离。
举个例子，考虑函数f(x) = x^2，如果我们要将其向上平移3个单位，则可以得到新的函数f(x) = (x-3)^2。
这样，原来的顶点(0,0)将被平移到(0,3)，整个图像向上移动了3个单位。
二、伸缩在函数图像中，伸缩是指通过改变自变量或因变量的尺度来调整函数图像的形状和大小。
1. 水平伸缩水平伸缩是指通过改变自变量的尺度来调整函数图像的形状和大小。
如果函数图像为f(x)，则将f(x)替换为f(bx)，其中b为伸缩的因子。
例如，考虑函数f(x) = x^2，如果我们将x的尺度缩小为原来的1/2，即令x' = 2x，则可以得到新的函数f(x') = (2x)^2 = 4x^2。
这样，原来的图像被水平方向上收缩了一倍。
2. 垂直伸缩垂直伸缩是指通过改变因变量的尺度来调整函数图像的形状和大小。
如果函数图像为f(x)，则将f(x)替换为af(x)，其中a为伸缩的因子。
举个例子，考虑函数f(x) = x^2，如果我们将y的尺度扩大为原来的2倍，即令y' = 2y，则可以得到新的函数f(x) = (x^2) * 2 = 2x^2。
函数图像伸缩变换规律
函数图像伸缩变换规律
1.水平伸缩：y=f（ωx）（ω>0）的图象，可由y＝f（x）的图象上每点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω＞1）到原来的倍（纵坐标不变）得到。
2.垂直伸缩：y＝Af（x）（A＞0）的图象，可由y＝f （x）的图象上每点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1）到原来的A倍（横坐标不变）得到。
什么是函数图像
在数学中，函数f的图形（或图象）指的是所有有序对（x，f （x））组成的集合。
具体而言，如果x为实数，则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。
如果函数自变量x为两个实数组成的有序对（x1，x2），则图形就是所有三重序（x1，x2，f（x1，x2））组成的集合，呈现为曲面。
图像变换规律
图像有三大变换规律，分别有平移变换和对称变换以及伸缩变换，它是显示函数变化、化繁为简的重要解题方法。
1.平移变换，平移变换又分为两种，一是左右平移变换，而是上下平移变换。
2.对称变换，当y=f（x）是奇函数时，它的图像则关于原点对称，当y=f（x）为偶函数时，它的图象则关于y轴对称。
3.伸缩变换法，它是把图象上的所有点的纵坐标改变成原来的A 倍从而得到的。
函数与方程的平移与伸缩变换问题
函数与方程的平移与伸缩变换问题在数学中，函数与方程的平移与伸缩变换是一个常见的问题。
通过对函数或方程进行平移与伸缩，我们可以改变其图像在坐标平面上的位置和形状。
本文将详细介绍函数与方程的平移与伸缩变换问题，并讨论其应用。
一、平移变换平移变换是指在坐标平面上将函数或方程的图像沿着x轴或y轴方向移动的变换。
平移变换可以通过在原函数或方程中添加或减去一个常数来实现。
具体而言，对于函数y = f(x)，进行x轴方向的平移变换可以表示为y = f(x - a)，其中a为平移的距离。
同样地，进行y轴方向的平移变换可以表示为y = f(x) + b，其中b为平移的距离。
平移变换的应用非常广泛。
例如，在物理学中，我们可以通过平移变换来描述物体在空间中的位置变化。
在经济学中，平移变换可以用来描述价格的上涨或下跌等现象。
二、伸缩变换伸缩变换是指对函数或方程的图像进行放大或缩小的变换。
伸缩变换可以通过在原函数或方程中乘以或除以一个常数来实现。
具体而言，对于函数y = f(x)，进行x轴方向的伸缩变换可以表示为y = k * f(x)，其中k为伸缩的比例系数。
同样地，进行y轴方向的伸缩变换可以表示为y = f(k * x)，其中k为伸缩的比例系数。
伸缩变换也具有广泛的应用。
例如，在地图绘制中，我们可以通过伸缩变换来调整地图的比例尺。
在金融领域中，伸缩变换可以用来描述股票价格的涨跌幅度。
三、平移与伸缩的组合变换除了单独应用平移变换或伸缩变换外，我们还可以将它们进行组合，以实现更复杂的变换效果。
具体而言，对于函数y = f(x)，进行x轴方向的平移与伸缩变换可以表示为y = k * f(x - a)，其中k为伸缩的比例系数，a为平移的距离。
同样地，进行y轴方向的平移与伸缩变换可以表示为y = k * f(x) + b，其中k为伸缩的比例系数，b为平移的距离。
平移与伸缩的组合变换在数学建模、工程设计和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
空间几何的平移与伸缩运算
空间几何的平移与伸缩运算在空间几何中，平移和伸缩是两种常见的运算方式。
通过平移和伸缩操作，我们可以改变图形的位置和大小，从而得到新的图形。
本文将详细介绍空间几何的平移与伸缩运算，并探讨其应用。
一、平移运算平移是指将一个图形沿着指定的方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
在空间几何中，平移运算可以用向量来表示。
设平移向量为a，图形为A，则平移运算可以表示为A' = A + a，其中A'为平移后的图形。
平移运算可以应用于直线、面和立体图形。
对于直线，我们可以通过平移操作将其沿着平行于直线的方向移动任意距离，从而得到新的直线。
对于面和立体图形，我们可以将其上的所有点都按照相同的方向和距离进行平移，从而得到新的面或立体图形。
平移运算在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，设计师可能需要将建筑物沿着某个方向平移一定距离，以适应具体的场地要求。
此外，在计算机图形学中，平移运算也被广泛应用于图形的显示和处理。
二、伸缩运算伸缩是指改变一个图形的大小，同时保持其形状不变。
在空间几何中，伸缩运算可以用比例因子来表示。
设伸缩比例因子为k，图形为A，则伸缩运算可以表示为A' = k * A，其中A'为伸缩后的图形。
伸缩运算可以应用于直线、面和立体图形。
对于直线，我们可以通过伸缩操作改变其长度，从而得到新的直线。
对于面和立体图形，我们可以将其上的所有点都按照相同的比例进行伸缩，从而得到新的面或立体图形。
伸缩运算也在实际生活中有广泛的应用。
例如，在地图绘制中，绘图师可能需要将地图上的所有要素按照一定的比例进行放大或缩小，以适应具体的纸张大小。
此外，在工程设计中，伸缩运算也常常被用于工件的放大或缩小。
三、平移与伸缩的组合运算除了单独应用平移或伸缩运算外，我们还可以将两种运算进行组合，得到更为复杂的变换效果。
例如，我们可以先对图形进行平移，然后再对平移后的图形进行伸缩。
组合运算可以通过矩阵乘法来表示。
函数的变换平移翻折与伸缩
函数的变换平移翻折与伸缩函数的变换平移、翻折与伸缩函数的变换是数学中很重要的概念，它可以通过平移、翻折与伸缩等操作对原函数进行改变。
在本文中，我们将重点讨论函数的平移、翻折与伸缩三种常见的变换方式，并且介绍它们的数学表示和几何意义。
一、函数的平移变换平移是指将函数沿着坐标轴进行水平或者垂直的移动，而不改变函数的形状和大小。
具体而言，设有函数y = f(x)，若对于函数中的每个点(x, y)，将其平移到(x + a, y + b)处，则得到一个新的函数y = f(x - a) + b。
这里，a是水平方向的平移量，b是垂直方向的平移量。
以函数y = x^2为例，我们来进行一次平移变换。
假设需要将该函数沿水平方向向右平移2个单位，垂直方向向上平移3个单位，那么变换后的函数为y = (x - 2)^2 + 3。
这个平移变换使得函数整体上移3个单位，同时向右平移2个单位，而函数的形状和大小仍然保持不变。
二、函数的翻折变换翻折是指通过对函数的反射操作，将函数关于某一轴翻转。
常见的翻折方式有关于x轴、y轴和原点的翻折。
对于函数y = f(x)，我们可以得到以下翻折变换：1. 关于x轴的翻折：新函数为y = -f(x)，即原函数上的每个点(x, y)都被翻折到了(x, -y)的位置。
2. 关于y轴的翻折：新函数为y = f(-x)，即原函数上的每个点(x, y)都被翻折到了(-x, y)的位置。
3. 关于原点的翻折：新函数为y = -f(-x)，即原函数上的每个点(x, y)都被翻折到了(-x, -y)的位置。
举个例子，考虑函数y = sin(x)，如果我们对该函数进行关于x轴的翻折，那么新函数将变为y = -sin(x)，即原函数上的每个点(x, y)都被对称地映射到了(x, -y)的位置。
三、函数的伸缩变换伸缩是指通过改变函数的自变量和因变量的比例关系，调整函数在坐标轴上的形状和大小。
具体而言，对于函数y = f(x)，我们可以得到以下伸缩变换：1. 水平方向的伸缩：新函数为y = f(cx)，其中c是一个常数。
函数伸缩变换的规律
函数伸缩变换的规律函数伸缩变换是数学中一个重要的概念，它描述了函数图像在平面上的变形过程。
在函数伸缩变换中，函数的图像可以被拉伸、压缩、翻转或平移等操作，从而改变函数的形状和位置。
本文将详细介绍函数伸缩变换的规律，并通过具体的例子来说明这些规律。
一、基本定义在函数伸缩变换中，基本的函数形式是y = f(x)，其中x和y分别表示函数的自变量和因变量。
函数伸缩变换可以通过对函数的自变量和因变量进行一系列操作来实现。
具体来说，这些操作包括拉伸、压缩、翻转和平移等。
二、拉伸和压缩拉伸和压缩是函数伸缩变换中最常见的操作。
当函数的自变量或因变量被乘以一个常数时，函数的图像会相应地在水平或垂直方向上拉伸或压缩。
例如，对于函数y = f(x)，如果将x乘以一个常数k，那么函数的图像会在x轴方向上被拉伸或压缩。
同样地，如果将y 乘以一个常数k，那么函数的图像会在y轴方向上被拉伸或压缩。
三、翻转翻转是函数伸缩变换中另一种常见的操作。
当函数的自变量或因变量取相反数时，函数的图像会相应地在水平或垂直方向上翻转。
例如，对于函数y = f(x)，如果将x取相反数，那么函数的图像会在y轴上翻转。
同样地，如果将y取相反数，那么函数的图像会在x轴上翻转。
四、平移平移是函数伸缩变换中最常用的操作之一。
当函数的自变量或因变量加上一个常数时，函数的图像会相应地在水平或垂直方向上平移。
例如，对于函数y = f(x)，如果将x加上一个常数h，那么函数的图像会在x轴方向上平移h个单位。
同样地，如果将y加上一个常数k，那么函数的图像会在y轴方向上平移k个单位。
五、示例分析为了更好地理解函数伸缩变换的规律，我们来看几个具体的例子。
例1：考虑函数y = x^2，这是一个二次函数的图像。
如果将x乘以2，那么函数的图像会在x轴方向上被拉伸；如果将y乘以2，那么函数的图像会在y轴方向上被拉伸。
例2：考虑函数y = sin(x)，这是一个正弦函数的图像。
高考数学中的伸缩变换解析技巧
高考数学中的伸缩变换解析技巧高考数学中，伸缩变换是一个重要的概念，它是指将一个图形在平面内沿着某个方向进行拉伸或缩小，从而得到一个新的图形。
这个过程中，图形的大小、形状、方位等都可能发生变化，因此掌握伸缩变换的解析技巧对于高考考生来说非常重要。
一、伸缩变换的基本概念伸缩变换是一种几何变换，它通过对平面内的图形进行拉伸或缩小，使得原来的图形变成一个新的图形。
在伸缩变换中，存在一个伸缩因子k，它表示所进行的拉伸或缩小的比例，当k>1时表示拉伸，当0<k<1时表示缩小，k为负数时表示拉伸或缩小的同时进行翻折。
二、伸缩变换的解析表示伸缩变换的解析表示可以通过向量进行求解。
对于一个平面内的点P（x，y），经过伸缩变换之后，它的坐标变成了（kx，ky），其中k为伸缩因子，设伸缩变换的中心点为O（a，b），则向量OP变成了向量OP'，且OP' = k·OP那么根据向量的加减法，得到向量OP'的解析式为：OP' = (kx-a， ky-b)三、伸缩变换下图形的性质伸缩变换会改变原图形的大小和形状，但是有些图形经过伸缩变换之后仍然保持不变，这些图形称为伸缩不变图形。
其中，直线段、线段比值、角度、正方形、圆、它们的交、并等都是伸缩不变图形。
在伸缩变换的时候，我们有时需要保持某些点不动，这些点被称为不动点。
经过伸缩变换之后，不动点的坐标不变，而其他的点都随着伸缩因子的改变而发生了变化。
四、伸缩变换在高考中的应用伸缩变换经常被用来解决几何问题，例如解决一些三角形的相似性质、以及求解待定系数等问题。
例如，在解决三角形相似问题的时候，我们可以通过将一个三角形进行伸缩变换，使得变换后的三角形与另一个三角形具有相同的形状，并且满足相似性质，则可以通过将两个三角形的边长比值相等，得到方程组，进而求得所有的未知量。
此外，在求解待定系数的问题中，我们可以通过伸缩变换将函数图像进行缩放，然后通过变换前后的函数图像来解决方程组，从而求出待定系数的值。
函数的平移与伸缩
函数的平移与伸缩函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在数学中，函数的平移和伸缩是常见的操作，它们可以改变函数的图像，使得函数具有不同的性质和特征。
本文将围绕函数的平移与伸缩展开论述，并探讨它们在数学中的应用。
一、函数的平移函数的平移是指在坐标平面上将函数图像沿着横轴或者纵轴方向移动一定的距离。
平移可以改变函数的位置，使得函数的图像在坐标系中发生改变。
1. 水平平移：水平平移是指将函数图像沿着横轴方向移动。
设原函数为f(x)，平移t个单位，则平移后的函数为f(x-t)。
在平移后的函数中，所有的横坐标都减去t。
如果t为正数，则图像向右平移；如果t为负数，则图像向左平移。
2. 垂直平移：垂直平移是指将函数图像沿着纵轴方向移动。
设原函数为f(x)，平移t个单位，则平移后的函数为f(x)+t。
在平移后的函数中，所有的纵坐标都加上t。
如果t为正数，则图像向上平移；如果t为负数，则图像向下平移。
函数的平移可以改变函数的图像位置，使得函数在坐标系中的位置发生变化。
例如，对于函数y=sin(x)，如果将其水平平移2个单位，则平移后的函数为y=sin(x-2)，图像向右平移了2个单位。
二、函数的伸缩函数的伸缩是指通过改变函数的系数来改变函数图像的形状和幅度。
伸缩可以改变函数的变化速率、振幅，以及图像在坐标系中的大小。
1. 水平伸缩：水平伸缩是指通过改变函数的横坐标来改变函数的图像。
设原函数为f(x)，伸缩的比例为a，则伸缩后的函数为f(ax)。
在伸缩后的函数中，所有的横坐标都乘以a。
如果a大于1，则图像被压缩；如果a小于1，则图像被拉伸。
2. 垂直伸缩：垂直伸缩是指通过改变函数的纵坐标来改变函数的图像。
设原函数为f(x)，伸缩的比例为b，则伸缩后的函数为b*f(x)。
在伸缩后的函数中，所有的纵坐标都乘以b。
如果b大于1，则图像上下缩放；如果b小于1，则图像上下拉伸。
函数的伸缩可以改变函数的形状和大小，使得函数图像在坐标系中的特征发生变化。
高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)
高中数学函数图象的简单变换知识点总结 高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。
一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到； 1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。
1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象 ③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象 如：（i ）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到； ②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii ）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =- 的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由 ()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--= 2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。
平面曲线平移伸缩变换的技巧.
平面内曲线平移伸缩变换的技巧江苏省靖江高级中学 蔡正伟在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理方法，供同学们学习时参考。
曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x ，y 在变，且变化的规律与习惯相反。
一、平移规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x 在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是y 在变，且向下变小，向上变大。
下面举例说明。
例1 将函数)(x f y =的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。
求平移后的函数解析式。
解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x 变成2+x ；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y 变成1-y 。
所以平移后的函数解析式是)2(1+=-x f y 。
例2 求)43sin(21π+=x y 向右平移3π个单位，向下平移2个单位后的得到的函数解析式。
解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x 变成3π-x ，y 变成1+y ， 所以平移后的函数解析式是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+4)3(3sin 211ππx y ， 化简后得1)433sin(21--=πx y 。
例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是14)3(3sin 211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+ππx y 。
二、放缩课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。
具体的规律是：纵坐标不变横坐标变为原来的ω倍就是将原来解析式中的x 变成ωx ；横坐标不变纵坐标变为原来的A 倍就是将原来解析式中的y 变成Ay 。
人教版高中数学必修四第14课时平移变换、伸缩变换含解析
第14课时 平移变换、伸缩变换课时目标掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象之间的关系，会用“五点法”和变换法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，并会由函数的图象与性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式．识记强化y ＝sin x 图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位得C 1：y ＝sin(x ＋φ)；C 1上各点的横坐标缩小(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1)到原来的1ω倍(纵坐标不变)得C 2：y ＝sin(ωx ＋φ)；C 2上各点纵坐标伸长(当A >1时)或缩小(0<A <1)到原来的A 倍得到C 3：y ＝A sin(ωx ＋φ)(Δ>0，ω>0)．课时作业一、选择题1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度 答案：C解析：因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以将函数y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，就可得到函数y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 2．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 答案：C解析：把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．3．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝1＋cos2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos2x －1答案：B解析：将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数为y ＝1＋cos2x . 4．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度 答案：B解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝cos2⎝⎛⎭⎫x －π3. 5．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4答案：B解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ 若为偶函数，则π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z 经验证当k ＝0时，φ＝π4. 6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位长度，得到的图象对应的解析式是( ) A ．y ＝sin 12x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案：C解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象，故所求解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6. 二、填空题7．如果将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－4x 的图象向左平移φ个单位后正好与原函数的图象重合，那么最小正数φ＝______________.答案：π2 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－4x ――→向左平移φ个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤π6－4(x ＋φ)＝sin ⎣⎡⎦⎤π6－4x －4φ 若与原函数图象重合，则需满足－4φ＝2k π，k ∈Z ，当k ＝－1时，最小正数φ＝π28．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象可以看作把函数y ＝12sin2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．答案：右 π8 解析：∵y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝12sin2⎝⎛⎭⎫x －π8，∴由y ＝12sin2x 的图象向右平移π8个单位长度便得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 9．先将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再作所得图象关于y 轴的对称图形，则最后所得图象的解析式是________．答案：y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 解析：向右平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3， 关于y 轴对称则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －2π3＝ －sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 三、解答题10．用五点法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，并指出函数的单调区间． 解：(1)列表x －π6 π12 π3 7π12 5π62x ＋π3 0 π2 π 3π22π y 0 2 0 －2 0列表时由2x ＋π3的取值为0，π2，π，3π2，2π，再求出相应的x 值和y 值．(2)描点．(3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得的简图向左、向右扩展，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的简图(图略)． 可见在一个周期内，函数在⎣⎡⎦⎤π12，712π上递减，又因函数的周期为π，所以函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．同理，递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )． 11．先将函数y ＝sin x 的图象向右平移π5个单位，再变化各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为2π3的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的图象，求ω和φ. 解：将函数y ＝sin x 的图象向右平移π5个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象，再变化y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为23π的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的图象，得到ω＝2πT ＝2π23π＝3，所以ω＝3，φ＝－π5.能力提升12．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位 C ．向左平移π4个单位 D ．向右平移π4个单位 答案：A解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8. 13．函数y ＝sin x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象经过怎样的变化而得到？ 解：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝ sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∴y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6 y ＝sin2x ――→横坐标变为原来的2倍纵坐标不变y ＝sin x .附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
高中数学函数图像的平移与缩放技巧分享
高中数学函数图像的平移与缩放技巧分享在高中数学中，函数图像的平移与缩放是一个重要的概念和技巧。
通过平移与缩放，我们可以改变函数图像的位置和形状，从而更好地理解和分析函数的性质。
本文将分享一些关于函数图像平移与缩放的技巧，并通过具体的例子来说明其考点和应用。
一、平移技巧平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。
平移可以改变函数图像的位置，但不改变其形状。
下面以一道具体的例题来说明平移的技巧。
例题：已知函数f(x)的图像如下图所示，求函数g(x) = f(x - 2)的图像。
（插入图像）解析：要求函数g(x) = f(x - 2)的图像，我们需要将函数f(x)的图像沿着x轴平移2个单位。
具体操作如下：1. 将函数f(x)的图像上的每一个点的横坐标都减去2，即将每个点(x, y)变为(x - 2, y)。
2. 连接新的点，就得到了函数g(x) = f(x - 2)的图像。
通过这个例题，我们可以看出平移的关键就是改变函数图像上的每一个点的横坐标，从而实现整个图像的平移。
这个技巧在解决函数图像平移的问题时非常有用。
二、缩放技巧缩放是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行拉伸或压缩，从而改变函数图像的形状和大小。
缩放可以通过改变函数的系数来实现。
下面以一道具体的例题来说明缩放的技巧。
例题：已知函数f(x)的图像如下图所示，求函数g(x) = 2f(x)的图像。
（插入图像）解析：要求函数g(x) = 2f(x)的图像，我们需要将函数f(x)的图像沿着y轴方向进行拉伸。
具体操作如下：1. 将函数f(x)的图像上的每一个点的纵坐标都乘以2，即将每个点(x, y)变为(x,2y)。
2. 连接新的点，就得到了函数g(x) = 2f(x)的图像。
通过这个例题，我们可以看出缩放的关键就是改变函数图像上的每一个点的纵坐标，从而实现整个图像的缩放。
这个技巧在解决函数图像缩放的问题时非常有用。
三、举一反三通过以上的例题，我们可以看出平移与缩放技巧的应用范围是很广的。
高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换(201912)
思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到 曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
O
x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 ，就得到正弦曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的 压缩变换，即：
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
8
6
4
2
5
10
-2
-4
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 ，在此基础上，将纵坐标变为原 来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
8
6
4
2
-10
-5
-2
-任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=x 2 y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
1
x’= 2 x 3 y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变 换得到；
函数图像的平移 伸缩与翻转技巧
函数图像的平移伸缩与翻转技巧函数图像的平移、伸缩与翻转技巧函数图像的平移、伸缩与翻转是数学中常见的变换操作。
通过这些操作，我们可以改变函数图像的位置、形状和方向，从而更好地理解和分析函数的特点。
本文将介绍函数图像平移、伸缩与翻转的基本概念和相关技巧。
一、函数图像的平移函数图像的平移是指将整个函数图像沿横轴或纵轴方向上移动一定的距离。
平移分为水平平移和垂直平移两种。
1. 水平平移：函数图像沿横轴方向平移当给定函数f(x)时，若改变x的取值范围，即f(x+a)，其中a为常数，可以实现函数图像在横轴方向上平移。
平移的距离和方向由a的正负决定。
当a>0时，函数图像向左平移；当a<0时，函数图像向右平移。
例如，若f(x) = x^2，若将x的取值范围改为x+a，即f(x+a) =(x+a)^2，函数图像将向左平移a个单位。
2. 垂直平移：函数图像沿纵轴方向平移当给定函数f(x)时，若改变f(x)整体的值，即f(x)+a，其中a为常数，可以实现函数图像在纵轴方向上平移。
平移的距离和方向由a的正负决定。
当a>0时，函数图像向上平移；当a<0时，函数图像向下平移。
例如，若f(x) = x^2，若将f(x)整体的值改为f(x)+a，即f(x)+a =x^2+a，函数图像将向上平移a个单位。
二、函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将整个函数图像在横轴或纵轴方向上拉长或收缩。
伸缩分为水平伸缩和垂直伸缩两种。
1. 水平伸缩：函数图像在横轴方向上的伸缩当给定函数f(x)时，若改变x的取值范围，即f(kx)，其中k为常数，可以实现函数图像在横轴方向上的伸缩。
伸缩的程度由k的绝对值决定。
当0<k<1时，函数图像横轴方向上收缩；当k>1时，函数图像横轴方向上拉长。
例如，若f(x) = x^2，若将x的取值范围改为kx，即f(kx) = (kx)^2，函数图像将在横轴方向上收缩。
2. 垂直伸缩：函数图像在纵轴方向上的伸缩当给定函数f(x)时，若改变f(x)的值，即kf(x)，其中k为常数，可以实现函数图像在纵轴方向上的伸缩。
掌握函数像的平移伸缩与反转
掌握函数像的平移伸缩与反转掌握函数图像的平移、伸缩与反转，是数学学习中的重要内容。
通过对函数图像的变换操作，我们可以更深入地理解函数的性质和特点。
本文将介绍平移、伸缩和反转的基本概念和方法，并通过实例演示这些变换对函数图像的影响。
一、平移变换平移变换是将函数图像沿着数轴左右移动的操作。
平移变换可以使函数图像整体向左或向右平移，其基本思想是在函数的自变量上加上或减去一个常数，从而改变函数图像的位置。
平移变换的一般公式为：f(x)→f(x±a)其中，a为平移的大小，当a为正数时向右平移，为负数时向左平移。
我们以一次函数y=x为例，来说明平移变换的效果。
原函数的图像为直线y=x，请注意，在平移变换中，我们只需改变自变量x的值，而函数本身不发生改变。
若将该函数图像向右平移2个单位，即为f(x+2)，新的函数图像将向右平移2个单位。
同理，若将该函数图像向左平移3个单位，即为f(x-3)，新的函数图像将向左平移3个单位。
二、伸缩变换伸缩变换是改变函数图像的高度和宽度的操作。
通过伸缩变换，我们可以使函数图像在数轴上变得更高或更低，更宽或更窄。
伸缩变换可以分为纵向伸缩和横向伸缩两种情况。
1. 纵向伸缩纵向伸缩是改变函数图像在y轴方向上的高度的操作。
我们可以通过乘以或除以一个常数来实现纵向的伸缩变换。
对于一般函数y=f(x)，纵向伸缩的公式为：f(x)→af(x)其中，a为纵向伸缩的倍数，若a大于1，则函数图像将变得更高；若a小于1，则函数图像将变得更低。
例如，对于函数y=x^2，若将该函数图像纵向伸缩2倍，即为2x^2，新的函数图像在y轴上的高度将成倍增加。
2. 横向伸缩横向伸缩是改变函数图像在x轴方向上的宽度的操作。
我们可以通过在自变量上除以或乘以一个常数来实现横向的伸缩变换。
对于一般函数y=f(x)，横向伸缩的公式为：f(x)→f(ax)其中，a为横向伸缩的倍数，若a大于1，则函数图像将变得更窄；若a小于1，则函数图像将变得更宽。
平移与伸缩的性质和计算
平移与伸缩的性质和计算平移（Translation）和伸缩（Scaling）是数学中常见的几何变换操作，它们在不同领域中有着广泛的应用。
本文将详细介绍平移和伸缩的性质以及计算方法。
一、平移的性质和计算方法平移是指在平面上将图形沿着某个方向按照一定距离移动的操作。
平移的性质有以下几点：1. 平移保持图形的大小和形状不变，只改变了图形的位置。
2. 平移是可逆的，即可以通过逆向平移将图形移回原位。
平移的计算方法如下：设要将点A(x, y)平移(dx, dy)得到点A'，则有以下计算公式：A'的横坐标为：x' = x + dxA'的纵坐标为：y' = y + dy二、伸缩的性质和计算方法伸缩是指在平面上按照一定比例改变图形的大小的操作。
伸缩的性质有以下几点：1. 伸缩可以同时改变图形的大小和形状。
2. 伸缩可以分为放缩和缩放两种操作，放缩是按照比例因子大于1进行伸缩，缩放是按照比例因子小于1进行伸缩。
3. 伸缩是可逆的，即可以通过逆向伸缩将图形还原。
伸缩的计算方法如下：设要将点A(x, y)按照比例因子k进行伸缩得到点A'，则有以下计算公式：A'的横坐标为：x' = k * xA'的纵坐标为：y' = k * y三、平移与伸缩的组合使用平移和伸缩可以组合使用，实现更加复杂的几何变换。
具体操作如下：1. 先将图形进行伸缩操作，得到伸缩后的图形。
2. 再对伸缩后的图形进行平移操作，得到最终的结果。
这里需要注意的是，在组合使用平移和伸缩时，先进行伸缩操作再进行平移操作，否则结果会产生偏差。
四、案例分析为了更好地理解平移和伸缩的性质和计算方法，我们来看一个案例分析。
假设有一个矩形ABCD，其中A(2,3)，B(6,3)，C(6,5)，D(2,5)。
我们要对这个矩形进行平移和伸缩操作，具体如下：1. 平移操作：将矩形ABCD沿x轴正方向平移3个单位，y轴正方向平移2个单位。
高中数学：函数图象平移与伸缩的通解
函数图象平移与伸缩的通解对于函数图象的平移与伸缩问题，传统的处理手法过于繁杂，记忆量大，难于掌握.本文试图用代换的手法将其作一般性的探讨. 一、函数图象的平移事实上，设函数()y f x =的图象，向右平移a 个单位，得到的图象的解析式是''()y f x =, 令点00(,)x y 是()y f x =的图象上任一点，点00(,)x y 向右平移a 个单位得点''00(,)x y ，则点''00(,)x y 在''()y f x =的图象上，且'00'00x x a y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，有'00'00x x a y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 于是，把函数()y f x =的图象，向右平移a 个单位，得到的图象的解析式是()y f x a =- （即以x a -代换x ）.我们定义：当0a >时，表示向右平移；当0a <时，表示向左平移. 例1 函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴是 A ，0x = B ，1x =- C ，12x =D ，12x =- 分析：函数(21)y f x =-是偶函数，∴其对称轴为0x =， 以x a -代换x ，有[2()1]y f x a =--， 令2()12x a x --=，解得12a =-， 故函数(21)y f x =-的图象向左平移12个单位，得到函数(2)y f x =的图象，其对称轴 0x =也相应地向左平移了12个单位，故选D. 例2 要得到函数cos(2)4y x π=-的图象，只需要将函数sin 2y x =的图象A ，向左平移8π个单位 B ，向右平移8π个单位 C ，向左平移4π个单位 D ，向右平移4π个单位解1：∵cos(2)sin[(2)]sin(2)4244y x x x ππππ=-=+-=+，而在sin 2y x =中，以x a -代换x ，有sin 2()y x a =-. 令22()4x x a π+=-，解得8a π=-.故选A.解2：sin 2cos(2)cos(2)22y x x x ππ==-=-. 在cos(2)2y x π=-中，以x a -代换x ，有cos[2()]2y x a π=--，令2()224x a x ππ--=-，解得8a π=-.故选A.同样地，把函数()()g y f x =的图象，向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位，得到的图象的解析式是()()g y b f x a -=-（即以x a -，y b -分别代换x ，y ）. 同样，我们定义：当0b >时，表示向上平移；当0b <时，表示向下平移. 例3 函数sin()6y x π=-的图象，经过怎样的平移变换得到函数sin()33y x π=++的图象？解：在s i n ()6y x π=-中，以x a -，y b -分别代换x ，y ，有s i n [()]6y b x aπ-=--.即sin()6y x a b π=--+，经对比，有633x a x b ππ⎧--=+⎪⎨⎪=⎩，解得23a b π⎧=-⎪⎨⎪=⎩. 故把函数sin()6y x π=-的图象，向左平移2π个单位，再向上平移3个单位，便得函数 sin()33y x π=++的图象.二、函数图象的伸缩与平移事实上，设把函数()y f x =的图象的横坐标伸长到原来的(0)k k >倍（纵坐标不变）， 得到的图象的解析式是''()y f x =,令点00(,)x y 是()y f x =的图象上任一点，点00(,)x y 的横坐标伸长到原来的k 倍，得点''00(,)x y ，则点''00(,)x y 在''()y f x =的图象上，且'00'00x kx y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，有'00'01x x k y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，于是，设把函数()y f x =的图象的横坐标伸长到原来的(0)k k >倍（纵坐标不变），得到的图象的解析式是1()y f x k=（即以1x k代换x ）. 我们定义：当1k >时，表示伸长；当01k <<时，表示缩短.例4 函数sin y x =的图象，经过怎样的平移和伸缩变换得到函数sin(2)46y x π=++的图象？解1：（先平移后伸缩）在sin y x =中，以x a -，y b -分别代换x ，y ，有sin()y b x a -=-，再以1x k代换x ，有1sin()y b x a k -=-，即1sin()y x a b k =-+.对比有1264x a x k b π⎧-=+⎪⎨⎪=⎩，得1,,462a k b π=-==.即把函数sin y x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移4个单位，后将横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得函数sin(2)46y x π=++的图象.解2：（先伸缩后平移）在sin y x =中，以1x k代换x ，有1sin y x k =，再以x a -，y b -分别代换x ，y ，得1sin ()y b x a k -=-，即1sin ()y x a b k=-+于是1()264x a x k b π⎧-=+⎪⎨⎪=⎩，得12,,46a b k k π=-==，∴1,,4212k a b π==-=. 即把函数sin y x =的图象横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移12π个单位，后向上平移4个单位，可得函数sin(2)46y x π=++的图象.把函数()()g y f x =的图象的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的,(,0)k l k l >倍，得到的图象的解析式是11()()g y f x l k =（即分别以1x k，1y l 代换,x y ）. 我们定义：当,1k l >时，表示伸长；当0,1k l <<时，表示缩短.例5 已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象. （I ）求()y g x =的解析式及定义域；（II ）求()()()F x f x g x =-的最大值. 解：（I ）依题意，在2log (1)y x =+中，以(1)x --（即1x +）代换x ，得2log [(1)1]y x =++，即2log (2)y x =+，再以12y 代换y ，得21log (2)2y x =+.故得2()2log (2)g x x =+…….下略. 例6 函数3sin(5)3y x π=+的图象，经过怎样的变换得到函数sin()6y x π=-的图象？解1：（先伸缩后平移）在3sin(5)3y x π=+中，分别以1x k，1y l 代换,x y ，有153sin()3y x l k π=+，再以x a -代换x ，得153sin[()]3y x a l k π=-+， 即53sin[()]3y l x a k π=-+，令315()36l x a x kππ=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，得15,,32k l a π===. 故把函数3sin(5)3y x π=+的图象，横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），再将纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），后向右平移2π个单位，即得函数sin()6y x π=-的图象. 说明：本题也可“先平移后伸缩”行变换，这个留给读者完成.。
函数像的平移与伸缩
函数像的平移与伸缩函数图像的平移和伸缩是数学中常见的操作，它们可以改变函数的位置和形状，对于数学学习和实际问题求解具有重要作用。
本文将介绍函数图像的平移和伸缩的概念、方法以及应用，并通过具体例子进行讲解。
一、函数图像的平移函数图像的平移是指将函数的图像在平面上沿着横轴或纵轴方向上进行移动，从而改变函数的位置而不改变形状。
平移可以向左或向右进行，也可以向上或向下进行。
1. 沿横轴平移沿横轴向左平移a个单位，可以通过将函数中的自变量x替换为x-a来实现。
具体而言，对于一元函数f(x)，平移后的函数可以表示为f(x-a)。
同理，沿横轴向右平移a个单位，则可以表示为f(x+a)。
2. 沿纵轴平移沿纵轴向上平移b个单位，可以通过将函数中的因变量y替换为y-b来实现。
具体而言，对于一元函数f(x)，平移后的函数可以表示为f(x)-b。
同理，沿纵轴向下平移b个单位，则可以表示为f(x)+b。
通过平移操作，函数的图像可以在平面上向左、向右、向上或向下移动，从而实现对函数位置的调整。
二、函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将函数的图像在平面上按照一定的比例进行拉伸或压缩，从而改变函数的形状而不改变位置。
伸缩可以分为水平方向的伸缩和垂直方向的伸缩。
1. 水平方向的伸缩将函数图像在横轴的方向上进行拉伸或压缩，可以通过改变函数中的自变量x的系数来实现。
具体而言，对于一元函数f(x)，水平方向上的伸缩可以表示为f(kx)，其中k为正实数。
当k>1时，图像会被水平拉伸；当0<k<1时，图像会被水平压缩。
2. 垂直方向的伸缩将函数图像在纵轴的方向上进行拉伸或压缩，可以通过改变函数中的因变量y的系数来实现。
具体而言，对于一元函数f(x)，垂直方向上的伸缩可以表示为kf(x)，其中k为正实数。
当k>1时，图像会被垂直拉伸；当0<k<1时，图像会被垂直压缩。
通过伸缩操作，函数的图像可以在水平方向和垂直方向上按比例进行拉伸或压缩，从而实现对函数形状的调整。
平面曲线平移伸缩变换的技巧
平面内曲线平移伸缩变换的技巧江苏省靖江高级中学 蔡正伟在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理方法，供同学们学习时参考。
曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x ，y 在变，且变化的规律与习惯相反。
一、平移规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x 在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是y 在变，且向下变小，向上变大。
下面举例说明。
例1 将函数)(x f y =的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。
求平移后的函数解析式。
解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x 变成2+x ；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y 变成1-y 。
所以平移后的函数解析式是)2(1+=-x f y 。
例2 求)43sin(21π+=x y 向右平移3π个单位，向下平移2个单位后的得到的函数解析式。
解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x 变成3π-x ，y 变成1+y ，所以平移后的函数解析式是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+4)3(3sin 211ππx y ， 化简后得1)433sin(21--=πx y 。
例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是14)3(3sin 211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+ππx y 。
二、放缩课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。
具体的规律是：纵坐标不变横坐标变为原来的ω倍就是将原来解析式中的x 变成ωx；横坐标不变纵坐标变为原来的A 倍就是将原来解析式中的y 变成Ay 。
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平面内曲线平移伸缩变换的技巧
江苏省靖江高级中学 蔡正伟
在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理方法，供同学们学习时参考。
曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x ，y 在变，且变化的规律与习惯相反。
一、平移
规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x 在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是y 在变，且向下变小，向上变大。
下面举例说明。
例1 将函数)(x f y =的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。
求平移后的函数解析式。
解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x 变成2+x ；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y 变成1-y 。
所以平移后的函数解析式是)2(1+=-x f y 。
例2 求)43sin(21π+=
x y 向右平移3π个单位，向下平移2个单位后的得到的函数解析式。
解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x 变成3π-
x ，y 变成1+y ， 所以平移后的函数解析式是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+4)3(3sin 211ππx y ， 化简后得1)4
33sin(21--=πx y 。
例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是14)3(3sin 211-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+ππx y 。
二、放缩
课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。
用心 爱心 专心 具体的规律是：纵坐标不变横坐标变为原来的ω倍就是将原来解析式中的x 变成ωx ；横坐标不变纵坐标变为原来的A 倍就是将原来解析式中的y 变成A
y 。
例 3 （2000年理科全国卷）x y s i n
=经过怎样的平移和伸缩得到1cos sin 2
3cos 212++=x x y 。
解：4
5)62sin(211cos sin 23cos 212++=++=πx x x x y 。
（变化一）
45)62sin(21)62sin(212sin 21sin 21sin )4()3()2()1(++=−→−+=−→−=−→−=
−→−=ππx y x y x y x y x y （1）y 变成了2y ，故横坐标不变，纵坐标变为原来的
2
1； （2）x 变成了2x ，故纵坐标不变，横坐标变为原来的2
1； （3）x 变成了12x x +，故将图象右移12π个单位，需要将)6
2sin(21π+=x y 写成)12
(2sin 21π+=x y ； （4）y 变成了45-y ，故将图象上移45个单位。
变换一和变换二的差别就先放缩后平移还是平移后放缩，变换一的第（3）步比较容易错，如果理解“都是x 、y 在变，变化规律与习惯相反”的规律后，每一步只需抓住变的实质，就可以轻松处理类似问题。
另外，这个结论对于平面内的曲线平移都是适用的。
有兴趣的读者不防一试。