辽宁省沈阳市郊联体高二(上)期末数学试卷(理科)含答案解析
2023-2024学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．抛物线214y x =的焦点到准线的距离为（）A ．18B ．14C ．1D ．2【正确答案】D【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由214y x =⇒242x y p =⇒=，焦点到准线的距离是2p =，故选：D.2．下列式子错误的是（）A ．2577C =C B ．323544C =C +C C ．333553A =C A D ．4356A =4A 【正确答案】D【分析】根据排列和组合数的公式即可求出答案.【详解】对于A ，B ，由组合数公式：()1*1,,,,m n m m m m n n n n n C C C C C m n m n N --+==+≤∈知，2577C =C ，323544C =C +C ，所以A 、B 正确；对于C ，因为m m n nm mA C A =得m m n n m m A C A =，所以333553A =C A ，所以C 正确.对于D ，455432120A =⨯⨯⨯=，36654120A =创=，4356A 4A ≠，所以D 不正确.故选：D.3．圆()()22341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．内切C ．外切D ．相交【正确答案】B【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ，圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切.故选：B4．已知二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（）A ．405-B ．405C ．81-D ．81【正确答案】A【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.【详解】令1x =，可得所有项的系数之和为2325n n =⇔=，则11(5)(52)5522155(1)3C (1)3C r r r r rr rr rr r Txxx------+=-=-，由题意5312r-=，即1r =，所以展开式中含x 项的系数为4153C 405-=-．故选：A ．5．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A B C D 【正确答案】B【分析】过点1A 作111A D B C ⊥，证明1A D ⊥平面11BCC B ，根据线面角的定义确定1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，解三角形求其正弦值即可.【详解】过点1A 作111A D B C ⊥，连接CD ，由已知1CC ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，所以11A D CC ⊥，因为1111B C CC C = ，11B C ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1A D ⊥平面11BCC B ，所以1A CD ∠为1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，因为1A D ⊥平面11BCC B ，CD ⊂平面11BCC B ，所以1A D CD ⊥，所以1A CD △为直角三角形，由已知111A B C 为等边三角形，且112A B AB ==，所以1A D =，在11Rt A C C 中，112CC AA ==，112AC =，所以1A C =，在1Rt ACD中，1A C =，1A D =，所以111sin A D A CD A C ∠===，所以1AC 与平面11BCC B故选：B.6．已知点A 是抛物线2y x =上的动点，焦点为F ，点(1,2)B ，则||+||AB AF 的最小值为（）A ．74B ．2C ．94D ．52【正确答案】C【分析】由抛物线的定义转化后，当三点共线时取得最小值.【详解】∵2y x =，则2x y =，∴焦点1(0,4F ，准线l 方程14y =-，点(1,2)B 在抛物线上方，设过A 作l 的垂线，垂足为E ，∴由抛物线的定义知，||||AF AE =，如图所示，∴||||||||||AB AF AB AE BE +=+≥，当且仅当B 、A 、E 三点共线时取等号，当B 、A 、E 三点共线时，19||244BE =+=，故||+||AB AF 的最小值为94，故选：C.7．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种【正确答案】D【详解】分两个步骤：先分配医生有336A =种方法，再分配护士有422364233390C C C A A =，由分步计数原理可得：422336423333690540C C C A A A ⨯=⨯=，应选答案：D ．本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以33A 而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．8．设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得()220OP OF F P +=，其中O 为坐标原点，且122PF PF = ，则该双曲线的离心率为A ．3B 1CD 【正确答案】D【分析】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，可得12PF PF ⊥，利用双曲线的定义结合勾股定理解出该双曲线的离心率．【详解】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，则2OM PF ⊥，1//OM PF ，所以12PF PF ⊥，设2PF m =，则12PF m =，且122PF PF a m -==，因此222(4)(2)(2)a a c +=，解得ce a==故选：D ．二、多选题9．已知双曲线22:14x C y -=，则（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为1C ．双曲线C 的渐近线方程12y x =±D ．双曲线C 左支上的点到右焦点的最短距离为4【正确答案】ABC【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可.【详解】解：双曲线22:14x C y -=中，224,1a b ==，所以2225c a b =+=，则2,1,a b c ===所以双曲线C的离心率为c aA 正确；双曲线的焦点为()到渐近线12y x =±1=，故B 正确，C 正确；双曲线C 左支上的点P 到右焦点2F的距离为22PF c a ≥++2，故D 不正确.故选：ABC.10．已知点()0,2F 为圆锥曲线C 的焦点，则C 的方程可能为（）A ．28y x=B ．218x y=C ．()221044x y m m m+=<<-D ．()221044y x m m m -=<<-【正确答案】BC分别计算四个选项中圆锥曲线的焦点，即可得正确选项.【详解】对于选项A ：28y x =中，4p =，所以22p=，可得焦点坐标为()2,0，故选项A 不正确；对于选项B ：由218x y =可得28x y =，所以4p =，所以22p =，可得焦点坐标为()0,2，故选项B正确；对于选项C ：2214x y m m+=-，因为04m <<，所以40m -<，所以原方程可化为2214y x m m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，由2a m =，24b m =-，所以22244c a b m m =+=+-=，所以焦点坐标为()0,2±，所以()0,2F 为圆锥曲线()221044x y m m m+=<<-的焦点，故选项C 正确；对于选项D ：2214y x m m -=-中，因为04m <<，所以40m -<，原方程可化为：2214y x m m+=-，当4m m =-即2m =时，22122y x +=表示圆，没有焦点当4m m >-即m>2时，2214y x m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，2a m =，24b m =-，()222424c a b m m m =-=--=-，焦点为(0,，不符合题意，当4m m <-即02m <<时，2214y x m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，24a m =-，2b m =，()222442c a b m m m =-=--=-，焦点为()，不符合题意，故选项D 不正确；故选：BC.11．已知圆C 的方程为()()22114x y -+-=，直线l 的方程为20x my m +--=，下列选项正确的是（）A ．直线l 恒过定点()2,1B ．直线与圆相交C ．直线被圆所截最短弦长为D ．存在一个实数m ，使直线l 经过圆心C 【正确答案】ABC【分析】化简直线l 的方程为2(1)0x m y -+-=，结合方程组的解，可判定A 正确；求得圆心到定点()2,1的距离，得到点P 在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B 正确；根据圆的性质，得到当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C 正确；将圆心坐标代入直线l 的方程，可判定D 不正确.【详解】对于A 项：由直线l 的方程20x my m +--=，可化为2(1)0x m y -+-=，联立方程组2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得2,1x y ==，即直线l 恒经过定点()2,1P ，所以A 正确；对于B 项：由圆C 的方程()()22114x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，半径2r =，又由12PC r =<=，可得()2,1P 在圆内，所以直线与圆相交，所以B 正确；对于C 项：由1PC =，根据圆的性质，可得当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为==C 正确；对于D 项：将圆心(1,1)C 代入直线l 的方程20x my m +--=，可得1210m m +--=-≠，所以不存在一个实数m ，使得直线l 过圆心C ，所以D 不正确.故选：ABC.12．已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b .双曲线2C 和椭圆1C 焦点相同，且双曲线2C 的离心率为2e ，M 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，若123F MF π∠=，则下列说法正确的是（）A ．21e e =B ．1234e e =C ．22122e e +=D ．221232e e -=【正确答案】AC设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，由12PF F △的面积为2b ，可得b c =，可求得1e ，设12,MF m MF n ==，利用定义可得，12,2m n a m n a +=-=，则22221()()4m n m n mn a a +--==-，在12MF F △中，由余弦定理可得222242cos ()33c m n mn m n mn π=+-=+-，代入化简，利用离心率公式可求出2e 【详解】解：设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，因为椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b 。
辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高二上学期期末考试理数试题
④为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防作用”，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918，经查对临界值表知P（K2≥3841）≈0.05，由此，得出以下判断：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防的作用”，
A．2B．4C．6D．12
3．有下列说法：
①一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12人；
②在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X在（0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为0.8．
三、解答题
17．设命题p：实数m满足使方程 1，其中a＞0为双曲线：命题q：实数m满足 ．
（1）若a＝1且p∧q为真，求实数m的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，折合成标准分后，最高分是10分．按成绩共分成五组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10），得到的频率分布直方图如图所示：
A． B． C． D．﹣1
12．点P为双曲线 1上一点，且点P在第一象限．记点P到两条渐近线的距离分别为d1和d2，若d1∈[ ]，则d2的取值范围（）
A．（0， ）B．[ ，+∞）C．[ ]D．[ ，+∞）
辽宁省沈阳市重点高中高二上学期期末数学试题 解析版
高二期末检测数学（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．若方程表示双曲线，则实数k 的取值范围为（ ） 22112x y k k +=+-A ．B ．C ．D ．()1,2-(),1-∞-()2,+∞()(),12,-∞-⋃+∞2．在空间直角坐标系中，点与点关于（ ）O xyz -()1,1,1A ()1,1,1B -A ．原点对称B ．平面xOy 对称C ．平面yOz 对称D ．平面xOz 对称3．已知直线l 恰好经过圆的圆心，且与直线垂()()22:131C x y -++=:20m x y +=直，则直线l 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．210x y +-=210x y ++=250x y --=250x y -+=4．四张红桃纸牌、三张黑桃纸牌及两张梅花纸牌中，每张纸牌上的数字不同，取出两张不同花色的纸牌，不同的取法共有（ ）A ．24种B ．9种C ．10种D ．26种5．的展开式中，项的系数为（）()()412x x --3x A ．2B ．14C ．48D ． 2-6．已知，下列排列组合公式中，不一定正确的是（ ） *,m n ∈N A ． B ．C ．D ． C Cm n m nn-=A C A m m m n n m=A C !mm n nn =11A A m m n n n m+=-7．按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一种数字编码，则不同的数字编码共有（）A ．120种B ．60种C ．40种D ．10种8．已知抛物线，其焦点为F ，P 是拋物线C 上的动点，若点，点Q2:8C y x =()4,2M在以FM 为直径的圆上，则的最小值为（ ）PF PQ +A ．B ．C ．8D ．95-5+二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．已知双曲线的两条渐近线为，则该双曲线的离心率可以是（ ） 13y x =±A B ．2C D 10．设，则下列式子正确的是（ ）()5501521x a a x a x -=+++ A ．B ． 01a =-123451a a a a a ++++=C ．D ．024121a a a ++=135122a a a ++=11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P 为椭圆C 上的一个动点，点22:198x y C +=1F 2F ，则下列结论正确的是（ ）()1,1M -A ．的周长为6B ．的面积的最大值为 12PF F △12PF F △C ．存在点P ，使得D ．的最大值为712PF PF ⊥1PM PF +12．如图，在正方体中，，点P 在侧面及其边界上运1111ABCD A B C D -1AB =11BCC B 动，并且总是保持，则下列结论正确的是（）1AP BD ⊥A ． 113P AA D V -=B ．点P 在线段上1B C C ．平面1BD ⊥11AC DD ．直线AP 与侧面所成角的正弦值的范围为 11BCC B ⎫⎪⎪⎭第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．二项式的展开式中，第4项为______．()532x +14．已知圆，以点为圆心，半径为r 的圆与圆C 有公共点，()22:24C x y ++=()2,0A 则r 的取值范围为______．15．已知空间向量，．若与平行，则______．11,,2a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()2,1,1b =-- 2a b - b a =16．设，分别为椭圆与双曲线1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>的公共焦点，与在第一象限内交于点M ，()222222222:10,0x y C a b a b -=>>1C 2C ．若椭圆的离心率，则双曲线的离心率为______． 1290F MF ∠=︒1C 134e =2C 2e 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念． （1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率；（2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？18．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AMM ABCD -的长为3，且，N 是CM 的中点．设，，60MAB MAD ∠=∠=︒a AB =b AD = ，用，，表示，并求BN 的长．c AM =a b c BN19．（12分）在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为． nx ⎛ ⎝13（1）求n 的值及展开式中的常数项是第几项； （2）展开式中系数最大的项是第几项？20．（12分）已知直线与拋物线的准线相交于点A ，O 为坐1y x =-()2:20C y px p =>标原点，且． 2AO k =（1）求拋物线C 的标准方程；（2）若Q 为抛物线C 上一动点，M 为线段FQ 的中点，F 为抛物线的焦点，求点M 的轨迹方程．21．（12分）在如图所示的五面体ABCDFE 中，面ABCD 是边长为2的正方形，平AE ⊥面ABCD ，，且，N 为BE 的中点，M 为CD 的中点． DF AE ∥112DF AE ==（1）求证：平面ABCD ；FN ∥（2）求二面角的平面角的正弦值．N MF D --22．（12分）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒()2222:10x y C a b a b +=>>22:13x E y -=数，椭圆C 的上顶点为M ，右顶点为N ，O 为坐标原点，的面积为1．MON △（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与曲线相切，与椭圆C 交于A ，B 两点，求的取值范222:D x y b +=AB 围．2022—2023学年度（上）联合体高二期末检测数学 参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．A 【解析】依题意，得，则．故选A ． ()()120k k +-<12k -<<2．D 【解析】在空间直角坐标系中，点关于平面xOz 对称的点的坐标为(),,x y z ，则根据题中所给的坐标，可以判断它们关于平面xOz 对称．故选D ．(),,x y z -3．C 【解析】由直线l 与直线m 垂直，设直线l ，m 的斜率分别为，，则1k 2k ，即，解得．易得圆C 的圆心为，故直线l 的方121k k ⋅=-1112k ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭12k =()1,3-程为，整理可得直线l 的方程为．故选C ．()321y x +=-250x y --=4．D 【解析】红桃+黑桃：（种）；红桃+梅花：（种）；黑桃+梅花：4312⨯=428⨯=（种）．326⨯=故取出两张不同花色的纸牌，共有：（种），故选D ． 128626++=5．B 【解析】在中，项由的项与x 的积和的项()()412x x --3x ()41x -2x ()41x -3x 和的积组成，故可得的系数为．故选B ． 2-3x ()()()2121441C 11C 214-⨯+-⨯-=6．C 【解析】对于A ，由组合数的性质知，成立，A 正确； C C m n m n n-=对于B ，因为，因此成立，B 正确； A C A m m n nmm=A C A m m m n n m =对于C ，，而与不一定相等，则与不一定相等，C 不一定正确；A C !m m n nm =!m !n A !m nm A !m n n 对于D ，，D 正确．故选C ． ()()111!!A A 1!!m mn n n n n m n m n m n m +=⋅==-----7．D 【解析】由题意可得，该题等价于求5个元素（3个分别相同、2个分别相同）排成一列的所有排列数，为（种）．故选D ．552323A 10A A =⋅8．A 【解析】由题得点F 的坐标为，则圆H 的圆心为，半径．()2,0()3,1H r =因为点P 在抛物线上，且抛物线的准线为，所以等于点P 到准线2:8C y x =2x =-PF 的距离．过点P 作准线的垂线，垂足为R ．要使取到最小值，即最小，此时PF PQ +PR PQ +R ，P ，Q 三点共线，且三点连线后直线RQ 过圆心H ．如图所示，此时．故选A ．()min5PR PQ HR r +=-=二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．AC 【解析】设半焦距为c ．①若双曲线的焦点在x 轴上，此时双曲线的方程为． ()222210,0x y a b a b-=>>因为双曲线的两条渐近线为，所以． 13y x =±133b a b a =⇒=由，所以双曲线的离心率； 222a b c c +=⇒=c e a ==②若双曲线的焦点在y 轴上，此时双曲线的方程为．()222210,0y x a b a b-=>>双曲线的两条渐近线为，所以．13y x =±133a b a b =⇒=由，所以双曲线离心率为．222a b c c +=⇒=c e a==AC ． 10．ACD 【解析】令，则，即，A 正确；0x =()501a -=01a =-令，则，即①， 1x =50123451a a a a a a =+++++0123451a a a a a a +++++=则，B 错误；123452a a a a a ++++=令，则，即1x =-()50123453a a a a a a -=-+-+-012345243a a a a a a -+-+-=-②．由①②，可得，，C 、D 正确．故选ACD ．024121a a a ++=-135122a a a ++=11．BD 【解析】对于A ，由椭圆，得的周长为22:198x y C +=12PF F △，A 错误；1212238PF PF F F ++=⨯+=对于B ，当P 为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积12PF F △，B 正确；122S =⨯=对于C ，当P 为椭圆短轴顶点时，最大，12F PF ∠此时，222222121212123327cos 022339PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===>⨯⨯即为锐角，故不存在点P 使得，C 错误；12F PF ∠12PF PF ⊥对于D ，由椭圆，所以． 22:198x y C +=()21,0F 又，所以，所以()1,1M -21MF ==，D 正确．故选BD ．12226667PM PF PM PF PM PF MF +=+-=+-≤+=12．BC 【解析】对于A ，点P 在平面内，平面平面，所以点11BCC B 11BCC B ∥1AA D P 到平面的距离即为点C 到平面的距离，即正方体的棱长，所以1AA D 1AA D ，A 错误；1111111113326P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△对于B ，以D 为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，且()1,0,0A (),1,P x z ()1,1,0B ()10,0,1D ()11,1,1B ()0,1,0C 01x ≤≤，，01z ≤≤所以，，．()1,1,AP x z =- ()11,1,1BD =-- ()11,0,1B C =--因为，所以，所以，即，所以1AP BD ⊥1110AP BD x z ⋅=--+=x z =(),1,P x x ，(),0,CP x x =所以，即，C ，P 三点共线，故点P 在线段上，B 正确；1CP xB C =-1B 1B C 对于C ，由，，根据三垂线定理，可得，1111B D A C ⊥11AD A D ⊥111BD A C ⊥．11BD A D ⊥因为，平面，所以平面，C 正确；11A C 1A D ⊂11AC D 1BD ⊥11AC D 对于D ，，，平面的一个法向量为． ()1,1,AP x x =- 01x ≤≤11BCC B ()0,1,0m =设与平面的夹角为，为锐角，AP11BCC B θθ其正弦值为sin m APm APθ⋅===由，D 错误．故选BC ． 01x ≤≤sin θ≤≤三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 【解析】的展开式中第4项为．680x ()532x +()533336315C280T x x -+=⨯=14． 【解析】由题知的圆心为，两圆心的距离26r ≤≤()22:24C x y ++=()2,0-．()224d =--=因为两圆有公共点，即相交或相切，所以，解得．242r r -≤≤+26r ≤≤15，，得．11,,2a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()2,1,1b =-- ()24,21,2a b n -=- 因为与平行，所以，解得，所以，所2a b - b 4212211n -==--12n =-111,,22a ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 以 a =16，1212MF MF a +=1222MF MF a -=，．因为，所以112MF a a ⇒=+212MF a a =-1290F MF ∠=︒． ()()22212124a a a a c ++-=2221222121122a a c e e ⇒+=⇒+=因为，即，所以，得．134e=211169e =222111229e e =-=2e =四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）7位老师（含甲、乙）随意排成一排有个等可能的基本事件，77A 甲、乙不相邻的事件中含有的基本事件数为，5254A A 所以． ()525477A A 2A 7P ==甲、乙不相邻且不在两端（其他正确解答也可得分）（2）从除甲、乙外的5位老师中任取3人排在甲、乙之间有种， 35A 排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体， 同余下的2位老师作全排列有种， 33A 甲、乙的排列有种．22A 由分步乘法计数原理，得，所以甲、乙之间所隔人数为3，共有720种不332532A A A 720=同的排法．18．解：因为N 是CM 的中点，所以12BN BC CN AD CM =+=+ ()12AD AM AC =+- ．()11111112222222AD AD AD AB AB AD AM a b c ⎡⎤=+-+=-++=-++⎣⎦ 由题意，可得，，，2a AB == 2b AD == 3c AM ==，，60MAB MAD ∠=∠=︒90DAB ∠=︒所以22111222BN a b c ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ()22212224a b c a b a c b c =++-⋅-⋅+⋅， ()14490223cos 60223cos 604=++--⨯⨯︒+⨯⨯︒174=所以BN ．BN = 19．解：（1）二项式展开式的通项公式为nx ⎛⎝．5411C C 2rrn rr n r r r n n T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭（公式写对得1分）因为第3项和第4项的系数比为，所以， 1322331C 1231C 2n n ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫⎪⎝⎭化简得，解得，236C C n n =20n =所以．52041201C 2rrr r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭令，得，所以常数项为第17项．52004r -=16r =（2）设展开式中系数最大的项是第项，1r +则 ()11202011202011C C ,212,222120,11C C ,22r r r r r r r r r r r r --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪-≥⎧⎪⎝⎭⎝⎭⎪⇒⎨⎨+≥-⎪⎩⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩（列不等式组正确得1分，化简2分） 解得．（少一种情况扣1分）． 67r ≤≤因为，所以或，r ∈N 6r =7r =所以展开式中系数最大的项是第7项和第8项．20．解：（1）对抛物线，()2:20C y px p =>其准线方程为． 2p x =-因为准线与直线交于点A ，1y x =-所以点A 的坐标为． ,122p p ⎛⎫--- ⎪⎝⎭因为，则，解得，（斜率列式正确的1分，结果1分） 2AOk =1222p p --=-2p =则抛物线C 的标准方程为． 24y x =（2）由（1）知，则．2:4C y x =()1,0F 设，，根据M 为线段FQ 的中点， ()11,Q x y (),M x y 可得即1112,2,x x y y +=⎧⎨=⎩1121,2.x x y y =-⎧⎨=⎩由Q 为抛物线C 上一动点，可得，即， 2114y x =()()22421y x =-整理可得点M 的轨迹方程为．221y x =-21．（1）证明：方法一：如图，取AB 的中点P ，连接NP ，PD ．（必须展示作辅助线的过程，仅在图中体现但过程无体现扣1分）因为N 为BE 的中点，所以，． NP AE ∥12NP AE =又因为，， DF AE ∥12DF AE =所以，且，所以四边形NPDF 是平行四边形， NP DF ∥NP DF =所以．FN DP ∥因为平面ABCD ，平面ABCD ， DP ⊂FN ⊄所以平面ABCD ．FN ∥（缺条件平面ABCD ，平面ABCD ，扣1分．）DP ⊂FN ⊄方法二：易得AE ，AB ，AD 两两垂直，如图，以A 为原点，AB ，AD ，AE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． （必须展示作辅助线的过程，仅在图中体现但过程无体现的扣1分．）因为平面ABCD 是边长为2的正方形，， DF AE ∥且，N 为BE 的中点，M 为CD 的中点， 112DF AE ==所以，，，，，，()0,0,0A ()2,0,0B ()2,2,0C ()0,2,0D ()0,0,2E ()1,0,1N ，，()1,2,0M ()0,2,1F 所以．()1,2,0NF =-因为平面ABCD 的一个法向量为，()0,0,1n =所以，即．0NF n ⋅= NF n ⊥ 又因为平面ABCD ，所以平面ABCD ．NF ⊄NF ∥（2）解：因为，，()1,2,0NF =- ()1,0,1MF =-设平面MNF 的一个法向量为，(),,m x y z =则 20,0.m NF x y m MF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，所以．1y =2x z ==()2,1,2m =因为平面ABCD ，，所以平面ABCD ， AE ⊥DF AE ∥DF ⊥因为平面ABCD ，所以．AD ⊂DF AD ⊥又因为，，平面MFD ， AD DC ⊥DC DF D ⋂=,DC DF ⊂所以平面MFD ，AD ⊥所以平面MFD 的一个法向量为．()0,2,0AD =设二面角的平面角为，N MF D --θ则，所以1cos 3m AD m ADθ⋅==sin θ=（正确求出余弦值得1分．）所以二面角． N MF D --22．解：（1）设椭圆C 的半焦距为．()0c c >因为双曲线， 22:13x E y -=所以椭圆C ，即． c a =因为的面积为1，所以②． MON △112ab =结合①、②与，解得，，222a b c =+2a =1b =所以椭圆C 的标准方程为． 2214x y +=（2）由（1）知，曲线为圆．22:1D x y +=当与圆D 相切的直线l 斜率不存在时，直线， :1l x =±由解得，则．221,1,4x x y =±⎧⎪⎨+=⎪⎩y =AB =当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为，，，y kx m =+()11,A x y ()22,B x y 由消去y 并整理，得，（此处缺少化简后221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222418440k x kmx m +++-=的方程扣1分．），即，()()222264441440k m k m ∆=-+->22410k m -+>，． 122841km x x k -+=+21224441m x x k -=+又因为直线l 与圆相切，22:1D x y +=，即，显然， 1=221m k =+0k ≠则 ()()222212121222844444141km m x x x x x x k k --⎛⎫-=+-=-⨯ ⎪++⎝⎭，()()2222222641616484141km k k k -+==++于是得．2AB x =+=（此处表示出AB 的长度要有弦长公式，没有弦长公式扣1分．）令，（此处需要说明t的取值范围，不写取值范围扣1分．）()2411k tt +=>则． AB ==而，即，因此．综上所述，的取值范围为． 1t >101t <<02AB <≤AB (]0,2。
2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．抛物线y＝2x2的准线方程是（）A．x＝B．x＝﹣C．y＝D．y＝﹣2．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，18，则输出的a的值为（）A．1B．2C．3D．63．有下列说法：①一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12人；②在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X在（0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为0.8．③废品率x%和每吨生铁成本y（元）之间的回归直线方程为＝2x+256，这表明废品率每增加1%，生铁成本大约增加258元；④为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防作用”，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918，经查对临界值表知P（K2≥3841）≈0.05，由此，得出以下判断：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防的作用”，正确的有（）A．①②④B．①②③C．①③D．③④4．下列命题中正确的是（）A．若（x﹣3）（x﹣7）≠0，则x≠3或x≠7B．以y轴为对称轴的等腰三角形，这个三角形底边的中线方程是x＝0C．“若|x|+y2＝0，则x，y全为0“的逆否命题是“若x，y全不为0，则|x|+y2≠0”D．命题“∀x∈R，2x＞0“的否定是“∀x∈R，2x≤05．设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝2：1，则△F1PF2的面积等于（）A．5B．4C．3D．16．两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A＝{至少有一枚骰子6点向上}，B＝{两枚骰子都是6点向上}，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．7．已知一组数据1，3，5，7的方差为n，则在二项式（2x﹣）n的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（）A．B．C．D．8．过抛物线y2＝﹣8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝1的距离之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在9．已知F是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，点E在以AB为直径的圆外，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（1，1+）D．（1，2）10．设A，B是椭圆C：＝1长轴的两个端点，若C上存在点P满足∠APB＝120°，则k的取值范围是（）A．（0，]∪[12，+∞）B．（0，]∪[6，+∞）C．（0，]∪[12，+∞）D．（0，]∪[6，+∞）11．设椭圆的方程为＝1（a＞b＞0），直线AB不经过原点，而且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的中点．若直线AB的斜率为1，则直线OM的斜率不可能是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣112．点P为双曲线＝1上一点，且点P在第一象限．记点P到两条渐近线的距离分别为d1和d2，若d1∈[]，则d2的取值范围（）A．（0，）B．[，+∞）C．[]D．[，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13．已知双曲线＝1（b＞0）的一条渐近线方程为3x+2y＝0，则b＝．14．由命题“存在x∈R，使x2+4x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．15．小明在书写英文单词“banana”时，只记得该单词由3个a，2个n，1个b组成，则小明书写正确的概率为．16．已知点F为抛物线x2＝8y的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|+|PO|的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设命题p：实数m满足使方程＝1，其中a＞0为双曲线：命题q：实数m 满足．（1）若a＝1且p∧q为真，求实数m的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，折合成标准分后，最高分是10分．按成绩共分成五组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10），得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（Ⅱ）该学校在第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6名同学．①已知甲同学和乙同学均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率②若在这6名同学中随机抽取2名，设第4组中有X 名同学，求X 的分布列和数学期望．19．“新车嗨翻天!首付3000元起开新车”这就是毛豆新车网打出来的广告语．某人看到广告，兴奋不已，计划于2019年1月在该网站购买一辆某品牌汽车，他从当地了解到近五个月该品牌汽车实际销量如表：（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌汽车实际销量y （万辆）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程，并估计2019年1月份该品牌汽车的销量：（2）为了增加销量，厂家和毛豆新车网联合推出对购该品牌车进行补贴．已知某地拟购买该品牌汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买该品牌汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E （ξ）参考公式及数据：①回归方程，其中＝＝，＝；②．20．已知动圆M经过点F（1，0），且与直线l：x＝﹣1相切，动圆圆心M的轨迹记为曲线C（1）求曲线C的轨迹方程（2）若点P在y轴左侧（不含y轴）一点，曲线C上存在不同的两点A、B，满足PA，PB的中点都在曲线C上，设AB中点为E，证明：PE垂直于y轴．21．已知点E（﹣4，0）和F（4，0），过点E的直线l与过点F的直线m相交于点M，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2，如果k1•k2＝﹣．（1）记点M形成的轨迹为曲线C，求曲线C的轨迹方程．（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是曲线C上的两点，A，B是曲线C上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），将C上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C1．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1的极坐标方程（2）设M，N为C1上两点，若OM⊥ON，求的值．2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．抛物线y＝2x2的准线方程是（）A．x＝B．x＝﹣C．y＝D．y＝﹣【解答】解：根据题意，抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，其焦点在y轴上，且2p＝，则p＝，则抛物线的准线方程为：y＝﹣；故选：D．2．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，18，则输出的a的值为（）A．1B．2C．3D．6【解答】解：根据程序框图：a＝12，b＝18，由于：a≠b，所以：b＝b﹣a＝6，由于a＝12，b＝6，所以：a＝6，由于a＝b，所以输出a＝6．故选：D．3．有下列说法：①一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12人；②在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X在（0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为0.8．③废品率x%和每吨生铁成本y（元）之间的回归直线方程为＝2x+256，这表明废品率每增加1%，生铁成本大约增加258元；④为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防作用”，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918，经查对临界值表知P（K2≥3841）≈0.05，由此，得出以下判断：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防的作用”，正确的有（）A．①②④B．①②③C．①③D．③④【解答】解：①∵田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，∴这支田径队有女运动员98﹣56＝42人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本，∴每个个体被抽到的概率是＝＝，∵田径队有女运动员42人，∴女运动员要抽取42×＝12人，①正确；②某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X在（0，1）内取值的概率为0.4，由正态分布的对称性可得：X在（0，2）内取值的概率为0.8，正确．③废品率x%和每吨生铁成本y（元）之间的回归直线方程为＝2x+256，这表明废品率每增加1%，生铁成本每吨大约增加2元，因此不正确；④为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防作用”，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，由此，得出以下判断：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防的作用”，正确．故选：A．4．下列命题中正确的是（）A．若（x﹣3）（x﹣7）≠0，则x≠3或x≠7B．以y轴为对称轴的等腰三角形，这个三角形底边的中线方程是x＝0C．“若|x|+y2＝0，则x，y全为0“的逆否命题是“若x，y全不为0，则|x|+y2≠0”D．命题“∀x∈R，2x＞0“的否定是“∀x∈R，2x≤0【解答】解：A．命题若（x﹣3）（x﹣7）＝0”即“x＝3或x＝7”的否定是若（x﹣3）（x﹣7）≠0”，即x≠3且x≠7，故A错误；B．以y轴为对称轴的等腰三角形，这个三角形底边的中线方程是y轴，即x＝0．，故B 正确；C“若|x|+y2＝0，则x，y全为0“的逆否命题为“若x，y不全为0，则|x|+y2≠0”，故C 错误，D．命题“∀x∈R，2x＞0“的否定是“∃x∈R，2x≤0，故D错误．故选：B．5．设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝2：1，则△F1PF2的面积等于（）A．5B．4C．3D．1【解答】解：∵椭圆，∴a＝3，b＝2，c＝．得椭圆的焦点为F1（﹣，0），F2（，0），∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6，且|PF1|：|PF2|＝2：1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2可得|PF1|2+|PF2|2＝20＝|F1F2|2，因此，△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，得△PF1F2的面积S＝|PF1|•|PF2|＝4，故选：B．6．两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A＝{至少有一枚骰子6点向上}，B＝{两枚骰子都是6点向上}，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【解答】解：有一枚骰子6点向上的概率为P（A）＝，两枚骰子都是6点向上的概率为P（AB）＝，故有一枚骰子6点向上的条件下，另一枚骰子也是6点向上的概率是：P（B|A）＝＝．故选：D．7．已知一组数据1，3，5，7的方差为n，则在二项式（2x﹣）n的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，数据1，3，5，7的平均值为4，它的方差为n＝（1﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2＝20，二项式（2x﹣）n＝（2x﹣）20的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•220﹣r •．令20﹣为整数，可得r＝0，3，6，9，12，15，18，共计7项，而展开式共有21项，故在所有项中任取一项，取到有理项的概率为＝，故选：C．8．过抛物线y2＝﹣8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝1的距离之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在【解答】解：由题意的直线AB的斜率不为零，且焦点F坐标为（﹣2，0），准线方程为：x＝2，所以假设直线AB的方程：x＝my﹣2，A（x，y），B（x'，y'），将直线方程代入抛物线方程：y2+8my﹣16＝0，∴y+y'＝﹣8m，x+x'＝m（y+y'）﹣4＝﹣8m2﹣4，由它们到直线x＝1的距离之和等于5，∴4﹣[﹣8m2﹣4]﹣2＝5∴8m2＝﹣1，所以方程无解，所以不存在这样的直线，故选：D．9．已知F是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，点E在以AB为直径的圆外，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（1，1+）D．（1，2）【解答】解：由题意，直线AB方程为：x＝﹣c，其中c＝，因此，设A（﹣c，y0）（y0＞0），B（﹣c，﹣y0），∴﹣＝1，解得y0＝，得|AF|＝，∵双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外部，∴|EF|＞|AF|，即a+c＞，将b2＝c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，解得﹣1＜e＜2，由于e＞1，则有1＜e＜2．故选：D．10．设A，B是椭圆C：＝1长轴的两个端点，若C上存在点P满足∠APB＝120°，则k的取值范围是（）A．（0，]∪[12，+∞）B．（0，]∪[6，+∞）C．（0，]∪[12，+∞）D．（0，]∪[6，+∞）【解答】解：①0＜k＜4时，C上存在点P满足∠APB＝120°，假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO＝≥tan60°，解得：0＜k≤．②当椭圆的焦点在y轴上时，k＞4，同理可得：k≥12，∴m的取值范围是（0，]∪[12，+∞）故选：A．11．设椭圆的方程为＝1（a＞b＞0），直线AB不经过原点，而且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的中点．若直线AB的斜率为1，则直线OM的斜率不可能是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【解答】解：由题意设A（x，y），B（x'y'），中点M坐标（，）由题意得，＝1代入椭圆中，，两式相减得，+＝0，所以＝﹣•＝﹣，所以k OM＝＝﹣，a＞b＞0，故选：D．12．点P为双曲线＝1上一点，且点P在第一象限．记点P到两条渐近线的距离分别为d1和d2，若d1∈[]，则d2的取值范围（）A．（0，）B．[，+∞）C．[]D．[，+∞）【解答】解：双曲线＝1的渐近线方程为4x+3y＝0或4x﹣3y＝0，设P（m，n），（m＞0，n＞0），可得﹣＝1，即16m2﹣9n2＝144，则d1d2＝•＝＝，由d1∈[]，可得d2∈[，]．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13．已知双曲线＝1（b＞0）的一条渐近线方程为3x+2y＝0，则b＝6．【解答】解：双曲线＝1（b＞0）的渐近线方程为bx±4y＝0，一条渐近线方程为3x+2y＝0，即有＝，解得b＝6，故答案为：6．14．由命题“存在x∈R，使x2+4x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．【解答】解：∵“存在x∈R，使x2+4x+m≤0”是假命题，∴对任意的x∈R，x2+4x+m＞0，∴42﹣4m＜0，解得m＞4．故答案为：（4，+∞）．15．小明在书写英文单词“banana”时，只记得该单词由3个a，2个n，1个b组成，则小明书写正确的概率为．【解答】解：依题意，由3个a，2个n，1个b组成的单词共有＝60个，又书写正确只包含1个基本事件，∴小明书写正确的概率为p＝，故答案为：．16．已知点F为抛物线x2＝8y的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|+|PO|的最小值是2．【解答】解：∵|AF|＝4，由抛物线的定义得，抛物线的焦点坐标（0，2）可得A到准线y＝﹣2的距离为4，即A点的纵坐标为：2，不妨A在第一象限，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（4，2）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为Q（0，﹣4）则|PA|+|PO|的最小值为：|AQ|＝＝2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设命题p：实数m满足使方程＝1，其中a＞0为双曲线：命题q：实数m满足．（1）若a＝1且p∧q为真，求实数m的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由方程＝1，其中a＞0为双曲线，得（3a﹣m）（a﹣m）＜0，又a＞0，所以a＜m＜3a，当a＝1时，1＜m＜3，即p为真时，实数m的取值范围是1＜m＜3；q为真时实数m满足．即q为真时实数m的取值范围是2＜m≤3；若p∧q为真，则p真且q真，所以实数m的取值范围是2＜m＜3．（2）若￢p是￢q的的充分不必要条件，即q是p的的充分不必要条件，即等价于q⇒p，p推不出q；设A＝{m|a＜m＜3a}，B＝{m|2＜m≤3}，则B⫋A；则a≤2，且3a＞3，所以实数a的取值范围是：{a|1＜a≤2}．18．某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，折合成标准分后，最高分是10分．按成绩共分成五组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10），得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（Ⅱ）该学校在第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6名同学．①已知甲同学和乙同学均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率②若在这6名同学中随机抽取2名，设第4组中有X名同学，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）第三组的频率是0.150×2＝0.3，第四组的频率是0.100×2＝0.2，第五组的频率是0.050×2＝0.1，（Ⅱ）①由（I）可知，第三，四，五组所占的比例为3：2：1，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5＝3个，而第三组共有100×0.3＝30个，所以甲乙两名同学同时被选中的概率为，②第四组共有X名同学，所以X的取值为0，1，2P（X＝0）＝；P（X＝1）＝；P（X＝2）＝；所以X的分布列为E（X）＝0×＝．19．“新车嗨翻天!首付3000元起开新车”这就是毛豆新车网打出来的广告语．某人看到广告，兴奋不已，计划于2019年1月在该网站购买一辆某品牌汽车，他从当地了解到近五个月该品牌汽车实际销量如表：（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌汽车实际销量y （万辆）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程，并估计2019年1月份该品牌汽车的销量：（2）为了增加销量，厂家和毛豆新车网联合推出对购该品牌车进行补贴．已知某地拟购买该品牌汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买该品牌汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E （ξ）参考公式及数据：①回归方程，其中＝＝，＝；②．【解答】解：（1），，，，则y 关于t 的线性回归方程为y ＝0.32t +0.08， 当t ＝6时，y ＝2.00，即2019年1月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆．（2）根据给定的频数表可知，任意抽取1名拟购买该品牌汽车的消费者，对补贴金额的心理预期值不低于3万元的概率为＝0.6，由题意可知ξ～（3，0.6）， P （ξ＝0）＝＝0.064， P （ξ＝1）＝＝0.288， P （ξ＝2）＝＝0.432， P （ξ＝3）＝＝0.216， 分布列为：E （ξ）＝3×0.6＝1.8．20．已知动圆M 经过点F （1，0），且与直线l ：x ＝﹣1相切，动圆圆心M 的轨迹记为曲线C（1）求曲线C 的轨迹方程（2）若点P 在y 轴左侧（不含y 轴）一点，曲线C 上存在不同的两点A 、B ，满足PA ，PB 的中点都在曲线C 上，设AB 中点为E ，证明：PE 垂直于y 轴．【解答】解：（1）设圆心M 的坐标（x ，y ），由题意得：|MF |等于到直线l 的距离，∴＝|x +1|整理得：y 2＝4x ，所以曲线C 的轨迹方程为：y 2＝4x ； （2）设P （x 0，y 0），由（1）设A （，y 1），B （，y 2），AB 的中点E （x E ，y E ），则y E ＝，因为PA 的中点在抛物线上，所以（）2＝4•，即：y12﹣2y0y1+8x0﹣y02＝0；同理可得PB的中点也在抛物线上可得：y22﹣2y0y2+8x0﹣y02＝0，所以y1，y2是方程：y2﹣2y0y+8x0﹣y02＝0两个不同的根，∴y1+y2＝2y0，所以y E＝y0，∴P与E的纵坐标相同，所以PE垂直于y轴．21．已知点E（﹣4，0）和F（4，0），过点E的直线l与过点F的直线m相交于点M，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2，如果k1•k2＝﹣．（1）记点M形成的轨迹为曲线C，求曲线C的轨迹方程．（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是曲线C上的两点，A，B是曲线C上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【解答】解：（1）设所求动点A（x，y），由，，得，又，∴，即（x≠±4）．即点A的轨迹方程为（x≠±4）；（2）当∠APQ＝∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2），由，整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48＝0，∴，同理直线PB的直线方程为y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得．∴，，∴＝，∴直线AB的斜率为定值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），将C上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C1．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1的极坐标方程（2）设M，N为C1上两点，若OM⊥ON，求的值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），将C上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C1．转化为，整理为，转换为极坐标方程为．（2）M，N为C1上两点，若OM⊥ON，设M（ρ1，θ），N（），所以，，所以＝＝．。
辽宁省沈阳市2022-2023学年高二上册期末数学质量检测试题(含解析)
辽宁省沈阳市2022-2023学年高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A ．OA 、OB 、OC共线B ．OA 、OB共线C ．OB 、OC共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面【正确答案】D 【分析】根据向量OA 、OB 、OC不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D2．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A ．77A B ．4343A A C ．4343A A D ．4345A A 【正确答案】D 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4名学生站成一排，②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有44A 种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况；则有4345A A 种排法；故选：D .本题考查排列的应用，解题方法是插空法，属于基础题．3．ABC ∆的顶点分别为(112)A -，，、(562)B -，，、(131)C -，，，则AC 边上的高BD 的长为（）A ．2B C ．5D ．6【正确答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示运算即可求解.【详解】∵(112)A -，，、(562)B -，，、(131)C -，，，则(450)AB =- ，，，(043)AC =-，，，∵点D 在直线AC 上，∴设(043)AD AC λλλ==-，，，则(043)(450)(4453)BD AD AB λλλλ=-=---=-+-，，，，，，，又∵BD AC ⊥ ，则40(45)4(3)(3)0BD AC λλ⋅=-⨯++⨯+-⨯-=，解得45λ=-.∴912(4453)(4)55BD λλ=-+-=- ，，，，，则5BD == ，故选：C.4．如图所示，设E ､F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱CD 上两点，且2AB =､1EF =，其中正确的命题为（）A ．异面直线11B D 与EF 所成的角为45°B ．异面直线11B D 与EF 所成的角为30°C ．直线11BD 与平面1B EF 所成的角为45°D ．直线11B D 与平面1B EF 所成的角为60°【正确答案】A 【分析】将两条异面直线平移至相交，找到异面直线所成的角，求解即可判断选项A ，B ，先求出点1D 到平面1DCB 的距离，然后利用直角三角形中的边角关系求解即可判断选项C ，D ．【详解】解：因为11//EF D C ，所以111B D C ∠是异面直线11B D 与EF 所成的角为45︒，故选项A 正确，选项B 错误；在三棱锥11D B DC -中，设点1D 到平面1DCB 的距离为h ，则有1111B D DCD DCB V V --=，所以111122223232⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得h ，则直线11B D 与平面1B EF 12=，所以直线11B D 与平面1B EF 所成的角为30°，故选项C ，D 错误．故选：A ．5．在50的展开式中有理项的项数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6【正确答案】A 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，可得当50r -为偶数，且r 能被3整除时，展开式为有理项，从而得出结论．【详解】解：50 的展开式的通项公式为50150(rr r r T C -+=⋅⋅，故当50r -为偶数，且r 能被3整除时，即0r =，6，12，18，24，30，36，42，48时，展开式为有理项，故选：A ．6．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（）A ．221x y +=或22165x y +=B ．221x y +=或2237x y +=C ．22165x y +=或224x y +=D ．224x y +=或2237x y +=【正确答案】B 【分析】求出圆心到直线AC 的距离，比较得出圆心到三边距离的最小值，求出圆心到三顶点的距离，比较得最大值，可得唯一公共点坐标，从而得所求圆方程．【详解】依题意，直线AC 的方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程：240x y +-=点O 到直线240x y +-=的距离1d =>，又OA ==OB ==，OC =则以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则公共点为(01)-，或(61)-，，故圆的半径为1，则圆的方程为221x y +=或2237x y +=，故选：B.7．已知抛物线24y x =上的点P 到2x =-的距离为1d ，到直线3490x y -+=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（）A ．175B ．115C ．3D 【正确答案】A 【分析】由抛物线定义，把12d d +转化为抛物线的焦点到直线3490x y -+=的距离加1求解即可．【详解】解：如图，抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，由抛物线定义可知，抛物线24y x =上的点P 到2x =-的距离1||1d PF =+，又P 到直线3490x y -+=的距离为2d ，12d d ∴+的最小值为17||115MF +==．故选：A ．8．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（）A ．53B C D ．94【正确答案】B 【分析】根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、的关系，进而求出离心率．【详解】设左焦点为'F ，AF m=，连接','AF CF 则2FC m =，'2AF a m =+，'22CF a m =+，'2FF c =因为BF AC ⊥，且AB 经过原点O 所以四边形'FAF B 为矩形在Rt △'AF C 中，222'+'AF AC F C =，代入()()()2222+3=22a m m a m ++化简得23a m =所以在Rt △'AF F 中，222'+'AF AF F F =，代入()222222233a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得22179c a =，即173e =所以选B本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题．二、多选题9．过点(23)P ，，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A ．50x y +-=B ．240x y +-=C ．320x y -=D ．4250x y -+=【正确答案】AC 【分析】设出直线的点法向式方程为(2)(3)0A x B y -+-=(A 、B 不同时为0)，先讨论0A =或0B =均不合题意，即0AB ≠，然后求出横纵截距，由两截距相等得出AB，代入即得直线方程．【详解】设所求直线方程为(2)(3)0A x B y -+-=(A 、B 不同时为0)，显然，当0A =或0B =时，所得直线方程不满足题意，故A 、B 均不为0，当0x =时，23A y B=+，当0y =时，32Bx A =+，根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则2332A BB A+=+，令Az B =，则3232z z+=+，整理，得2230z z +-=，解得1z =，或32z =-，则0A B =≠，或302A B =-≠，故所求直线方程为50x y +-=或320x y -=，故选：AC.方法点睛：本题考查直线的截距问题．在不学直线的点法向式方程的地区，一般直线在坐标轴的两截距相等，可分类讨论，分截距为0和截距不为0两类，截距为0时设直线方程为y kx =求解，截距不为0时设直线方程为x y a +=求解．两截距一个是另一个倍数问题也一样．10．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论正确的有（）A ．AD 与BC 所成的角为30°B ．AC 与BD 所成的角为90︒C ．BC 与面ACD 所成角的正弦值为3D ．平面ABC 与平面BCD【正确答案】BD 【分析】以O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各选项中的直线的方向向量、平面的法向量后可得向量的夹角的余弦值，从而得到相应的空间角的三角函数值.【详解】取BD 的中点O ，连接,AO CO ，则AO BD ⊥，∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，故平面ABD ⊥平面BCD ，而平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，故AO ⊥平面BCD .∴以O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设1OC =，则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -，∴(0,1,1)BA = ，(0,1,1)AD =-，(1,1,0)BC = ，(1,0,1)AC =-，(0,2,0)BD = .∵1cos ,2||||AD BC AD BC AD BC ⋅〈〉===，因为[],0,AD BC π〈〉∈ ，故,3AD BC π〈〉= ，∴异面直线AD 与BC 所成的角为60°，故A 错误；∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故B 正确；设平面ACD 的法向量为(,,)t x y z =，则0,0,t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩取1z =，得1,1x y ==，∴(1,1,1)t =，设BC 与面ACD 所成角为θ，则||sin |cos ,|||||BC t BC t BC t θ⋅=〈〉===⋅C 错误；易知平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)n =，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z '''=，则0,0,m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=''''+=⎩取1x '=得1,1y z ''=-=，∴(1,1,1)m =-，设两个平面的夹角为α（α为锐角），则||cos cos ,3||||m n m n m n α⋅=〈〉==⋅，故sin α=tan α=.∴平面ABC 与平面BCD，故D 正确.故选：BD.本题考查空间角的计算，一般根据几何体的特征合理建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量、平面的法向量的夹角来计算空间角的大小，本题属于中档题.11．在()821x -的展开式中，下列说法正确的有（）A ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128B ．展开式中所有项的系数和为82C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项D ．展开式中含3x 项的系数为448-【正确答案】ACD 【分析】在()821x -的展开式中，利用奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和，等于72，可得A 正确；求所有项的系数之和的方法是令1x =，可得B 错误，二项式系数最大的为48C ，为第5项，可得C 正确；利用二项展开的通项公式找到3x 项，可得D 正确.【详解】在()821x -的展开式中，所有奇数项的二项式系数和为812128-=，故选项A 正确；令1x =，得所有项的系数和为()8211-=，故选项B 错误；展开式中二项式系数最大的为48C ，它是展开式中的第415+=项，故选项C 正确；展开式中含3x 项的为()()3553821448C x x -=-，系数为448-，故选项D 正确.综上可知，ACD.故选：ACD.12．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则下述结论正确的是（）A ．AF +BF 为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m =ABF 为直角三角形D ．当m =1时，△ABF【正确答案】AD 【分析】根据椭圆的定义可求AF BF +的值，结合三角形的边长关系可判断ABF 周长的取值范围，计算0BA BF ⋅<可判断ABF 不是直角三角形，计算AB ，利用面积公式可求ABF 的面积.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF'=∴=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，∴AB 的范围是()0,6，∴ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =(A ，B ，又∵)F，∴(·60BA BF ⋅=-=-<，∴ABF 不是直角三角形，C 不正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A ，)B ，∴112ABFS=⨯=D 正确．故选：AD 三、填空题13．已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．【正确答案】6【分析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．14．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点.用AB →，AD →，1OA →表示1OC →，则1OC →=______.【正确答案】1AB AD OA →→→++【分析】如图，连接11A C ，利用空间向量的线性运算求解.【详解】如图，连接11A C .由题得1OC →=111111=+OA A C OA AC OA AB AD AB AD OA →→→→→→→→→→+=+=+++.故1AB AD OA →→→++15．某地区高考改革，实行“321++”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有_______.（用数字作答）【正确答案】16【分析】本题可分为在物理、历史两门科目中只选一门以及在物理、历史两门科目中选两门两种情况进行计算，然后相加，即可得出结果.【详解】若在物理、历史两门科目中只选一门，则有12242612C C ´=´=种；若在物理、历史两门科目中选两门，则有2124144C C ´=´=种，则共有41216+=种，故答案为.16本题考查通过排列组合解决有多少种不同的组合方式的问题，考查学生从题目中提取信息的能力，考查推理能力，考查分类讨论思想，是简单题.16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线20bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为______.【正确答案】(]1,2【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得直线20bx ay a -+=与直线0bx ay -=的距离2ad c=，根据圆2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得1d ，求解可得双曲线的离心率的取值范围．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为b y x a=，即0bx ay -=，0(P x ，0)y 是直线20bx ay a -+=上任意一点，则直线20bx ay a -+=与直线0bx ay -=的距离2ad c==， 圆2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，1d ∴ ，即21ac ，得2c e a= ，又1e >，e ∴的取值范围为(1，2]，故(1，2]．四、解答题17．已知()72701271mx a a x a x a x +=++++ 中，且335a =-.（1）求m 的值；（2）求1357a a a a +++的值.【正确答案】（1）1-；（2）64.【分析】（1）由二项展开式的通项公式直接建立方程33735C m =-，解出m ；（2）利用赋值法：令1x =和-1得到方程组，联立即可解得.【详解】()71mx +的二项展开式的通项公式为：17r r rr T C m x +=，（1）因为7i i i a C m =，0,1,2,3,7i =⋅⋅⋅，依题意得：33735C m =-，所以31m =-，得1m =-.（2）()72701271x a a x a x a x -=+++ 令1x =得.()701234567110a a a a a a a a +++++++=-=①令1x =-得.()7701234567112a a a a a a a a -+-+-+-=+=②由①-②得：()7135722a a a a +++=-，即613572a a a a +++=-.所以61357264a a a a +++==18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，BC AC ⊥，13AC BC CC ===，113AE AA =，1113C F CC =.（1）求直线1AC 与面11A FB 所成角的正弦值；（2）求二面角11A FB A --的余弦值.【正确答案】（1）11；（2）77.【分析】（1）根据线面垂直关系，建立如图空间直角坐标系，直接利用直线的方向向量求线线角即可得解；（2）利用空间直角坐标系，求得两面的法向量，利用向量夹角公式，即可得解.【详解】（1）∵1CC ⊥底面ABC ，∴111CC C A ⊥，111CC C B ⊥，∵BC AC ⊥，∴1111C B C A ⊥，于是以1C 为原点，11C A ，11C B ，和1CC 所在直线分别为x ､y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,0,0C ，()13,0,0A ，()3,0,3A ，()10,3,0B ，()0,0,1F ，∴()13,0,3C A = ，()13,0,1A F =-，()113,3,0A B =- ，设平面11A FB 的法向量为(),,m x y z = ，则11100m A F m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30330x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，3z =，∴()1,1,3m =，设直线1AC 与面11A FB 所成的角为α，则111sin cos ,11m C A m C A m C Aα⋅====⋅.故直线1AC 与面11A FB所成角的正弦值为11.（2）由（1）可知，()3,0,2AF =--，()13,3,3AB =-- ，设平面1AFB 的法向量为()111,,n x y z = ，则100n AF n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113203330x z x y z --=⎧⎨-+-=⎩，令12x =，则11y =-，13z =-，()2,1,3n =--，∴cos ,77m n m n m n⋅===-⋅.由题可知，二面角11A FB A --为锐二面角，故二面角11A FB A --.本题主要考查在空间直角坐标中利用向量求线线角和二面角的大小，计算量较大，属于中档题.本题的关键点有：（1）在用向量求线线角时，注意线线角的范围；（2）在用求面的法向量时，注意利用赋值法求法向量，并使数据相对简单.19．已知直线l 过点P (2，3)且与定直线l 0：y =2x 在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点B (a ，0).（1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程.【正确答案】（1）12a >；（2）33y x =-【分析】（1）求出直线l 与直线0:2l y x =平行时，直线l 的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数a 的取值范围；（2）首先求直线的斜率不存在时的面积S ，当直线l 的斜率存在时，设出直线方程，求出直线斜率的范围，联立直线l 与0l 的方程，求出点A 的坐标，由三角形面积公式，结合判别式法，求出S 的最小值，及此时直线方程.【详解】（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，不能构成AOB ，此时322BP k a==-，解得：12a =，所以12a ≠，又因为点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 再第一象限内交于点A ，所以12a >.（2）当直线l 的斜率不存在时，即()2,0B ,()2,4A ，此时12442S =⨯⨯=,当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()23y k x =-+，由于直线的斜率存在，所以12a >，且2a ≠，又32BP k a=- ，2k ∴>或0k <，由()232y k x y x ⎧=-+⎨=⎩，得3264,22k k x y k k --==--，即3264,22k k A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭，则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=--，即()()2412290S k S k ---+=，当40S -≠时，()()21223640S S ∆=---≥，整理得()30S S -≥，得3S ≥，即S 的最小值为3，此时2690k k -+=，解得：3k =，则直线l 的方程为()32333y x x =-+=-即33y x =-本题主要考查直线与直线的位置关系，求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于中档题型.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，且2CD =，1AB =，BC =1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点.（1）求证：//AN 平面PBC ；（2）在直线PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 出DMDP的值；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，23DM DP =或127DM DP =.【分析】（1）取PC 的中点E ，连接BE ，NE ，先证四边形ABEN 为平行四边形，可得//BE AN ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）取CD 的中点F ，连接AF ，证得AB AF ⊥后，以A 为原点建立空间直角坐标系，设DM DP λ=，求得平面PBC 的法向量n|cos CM < ，|n > 列得关于λ的方程，解之即可．【详解】（1）证明：取PC 的中点E ，连接BE ，NE ，N Q 为PD 的中点，////NE CD AB ∴，12NE CD AB ==，∴四边形ABEN 为平行四边形，//BE AN ∴，又BE ⊂平面PBC ，AN ⊂平面PBC ，//AN ∴平面PBC ．（2）解：取CD 的中点F ，连接AF ，则//AB CF ，12AB CF ==，∴四边形ABCF 为平行四边形，又AB BC ⊥，∴四边形ABCF 为矩形，即AB AF ⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，PA AB ∴⊥，PA AF ⊥，故以A 为原点，AF ，AB ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0P ，0，1)，(0B ，1，0)，C 1，0)，D 1-，0)，设DM DP λ=，则M -，1λ-，)λ，∴(CM =-，2λ-，)λ，(0PB = ，1，1)-，PC =1，1)-，设平面PBC 的法向量为(n x = ，y ，)z ，则00n PB n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y z y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1y =，则0x =，1z =，∴(0n =，1，1)，CM 与平面PBC所成角的余弦值为26，∴|cos CM <，|||||||CM n n CM n ⋅>==⋅，化简得，22150240λλ-+=，解得23λ=或127，∴直线PD 上存在点M 满足题意，且23DM DP =或127．21．已知动点M 到定点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到x 轴距离大14，（1）求动点M 的轨迹方程C ；（2）过F 作互相垂直的直线l 与m 交轨迹()0C y ≥于P ､Q 两点及S ､T 两点，A ，B 分别是弦PQ ､ST 的中点，当1AB =时，求直线l 与m 的方程.【正确答案】（1）()()2000y y x y ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩；（2）方程是14y x =+和14y x =-+或14y x =-+和14y x =+.【分析】（1）设出M 的坐标，然后根据已知建立方程化简即可求解；（2）由题意分别设出直线l ，m 的方程，联立直线l 与抛物线的方程，求出点A 的坐标，同理求出B 的坐标，然后求出|AB |，令其为1，化简即可求解．【详解】解（1）法1：设点(),M x y 14y =+化简得21122x y y =+，则点M 的轨迹方程是()()2000yy x y ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩.方法2：已知点M 到定点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到x 轴距离大14，由于点F 到x 轴的距离为14故当0y <时直线0x =上的点适合条件；当0y ≥时，M 到F 的距离等于到直线14y =-的距离，故轨迹方程为抛物线2x y=综上：点M 的轨迹方程是()()2000y y x y ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，l ：14y kx =+代入2x y =得2104x kx --=210k ∆=+>，12x x k +=，212121142224A A x x k k x x x y +=-⇒==⇒=+，∴21,224k k A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭同理∴2111,224B k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭则222422421111140AB k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==⇒+++=⇒-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴21k =，1k =±，则直线l 与m 的方程是14y x =+和14y x =-+或14y x =-+和14y x =+.易错点睛：求解点到点的距离与点到直线的距离是都得带上绝对值，否则容易出错，所以本题中需要出现两种情况讨论.22．已知曲线1C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2C：2y =，1C 的一个焦点在2C 的准线上.（1）求曲线1C 的方程；（2）设曲线1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，若过点1F 的直线l 与曲线1C 的y 轴左侧部分(包含1C 与y 轴的交点)交于A ，B 两点，直线2AF 与曲线2C 交于C ，D 两点，直线2BF 与曲线2C 交于E ，F 两点，试求CD EF +的取值范围.【正确答案】（1）22163x y +=；（2）⎡⎣.【分析】（1）由待定系数法求出曲线1C 的方程；（2）设直线l：x ty =，由题意知[]1,1t ∈-，用设而不求法表示出直线2AF 、2BF 的斜率，进而表示出弦长CD EF +为关于t 的函数，求出范围即可.【详解】（1）由题知，抛物线2C的准线为x =1C的一个焦点为()，∴c =又∵短轴长为b =2226a bc =+=，∴椭圆1C 的方程为22163x y +=.（2）由（1）知()1F，)2F .设直线l：x ty =-，过点(时，1t =；过(0,时，1t =-；由题意知[]1,1t ∈-.联立方程221,63x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22230t y +--=.设()11,A x y ，()22,B x y，则122122232y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设直线2AF 的斜率为1k ，直线2BF 的斜率为2k ，1k ==，2k ==∴12218k k t ⋅==-，12121212121126ty ty y y t t k k y y y y ⎫--++=+=-=⎪⋅⎭.设直线2AF ：(1y kx =，联立方程(12y k x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得)2222111230k x k x k -++=.设()33,C x y ，()44,D x y ，则)2134212k x x k ++=，223421111,CD CF DF x x k ⎫=+=++==+⎪⎭同理2211EF k ⎫=+⎪⎭.∴2212112CD EF k k ⎫+=++⎪⎭()2221212112223628t t k k k k ⎤⎛⎫⎤⎥=++-=+-- ⎪⎦⋅⎥⎝⎭⎣⎦)2179t =+.∵[]1,1t ∈-，∴[]20,1t ∈，∴CD EF ⎡+∈⎣.（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求法”一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.。
辽宁省沈阳市高二上期末数学测试卷(理)(含答案解析)
2019-2020学年辽宁省沈阳市高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若4≤a ≤8，0≤b ≤2，则a+b 的取值范围是（ ） A ．（4，10） B ．[4，10]C ．（6，8）D ．[6，8]2．命题p ：“∀x ∈N +，2x ≥2”的否定为（ ） A ．∀x ∈N +，2x ＜2 B ．∀x ∉N +，2x ＜2C ．∃x ∉N +，2x ＜2D ．∃x ∈N +，2x ＜23．双曲线=﹣1的渐近线方程是（ ）A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x4．已知数列{a n }的首项a 1=1，且a n =2a n ﹣1+1（n ≥2），则a 5为（ ） A ．7B ．15C ．30D ．315．已知△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2+b 2﹣ab=c 2，则C=（ ）A ．B ．C ．D ．6．若点（x ，y ）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x ﹣y 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，﹣1]B ．[﹣2，1]C ．[﹣1，2]D ．[1，2]7．已知抛物线x 2=8y 上的点P 到抛物线的焦点距离为5，则点P 的纵坐标为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，b n ＞0恒成立，若a 2=b 2且a 8=b 8，则（ ） A ．a 5≥b 5B ．a 5≤b 5C ．a 5＞b 5D ．a 5＜b 59．已知曲线C 的方程为=1（a ∈R 且a ≠0），则“a＞1”是“曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=1，S 6=9，则的值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．111．在四面体ABCD 中，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点，设=，=，=，且=，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知数列{a n }的通项公式为a n =sin ﹣kn ，数列{a n }的前n 项和为S n ，且{S n }为递减数列，则实数k的取值范围为（ ）A ．k ＞1B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为 ．14．已知命题“设a ，b ，c ∈R ，如果ac 2＞bc 2，则a ＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，则异面直线AE 与A 1D 所成的角的余弦值为 ．16．设a ∈R ，若x ＞0时，均有（3ax ﹣2）（x 2﹣ax ﹣2）≥0，则a= ．三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinC=csinB ． （Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC 边上中线AD 的长． 18．（Ⅰ）解关于x 的一元二次不等式x （x ﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0（其中a ∈R ）． 19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）． （Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，k ∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．20．已知等差数列{a n }中，a 2=3，a 5=9． （Ⅰ）求数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n ；（Ⅱ）证明：命题“∀n ∈N +，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2，AA 1=4，点F 为C 1D 1的中点，点E 在CC 1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE ⊥平面A 1BD ； （Ⅱ）求二面角F ﹣A 1D ﹣B 的余弦值．22．已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP 与直线BQ 交于点M （﹣9，m ），以PQ 为直径作圆C ，判断点A 与圆C 的位置关系，并说明理由．2019-2020学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）A．（4，10）B．[4，10] C．（6，8）D．[6，8]【考点】不等关系与不等式．【分析】直接利用不等式的简单性质计算即可．【解答】解：4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b∈[4，10]．故选：B．2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（）A．∀x∈N+，2x＜2 B．∀x∉N+，2x＜2 C．∃x∉N+，2x＜2 D．∃x∈N+，2x＜2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为：∃x∈N+，2x＜2．故选：D．3．双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】化方程为标准方程，可得a，b，代入y=可得渐近线方程．【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A4．已知数列{a n }的首项a 1=1，且a n =2a n ﹣1+1（n ≥2），则a 5为（ ） A ．7B ．15C ．30D ．31【考点】数列递推式．【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解 （法二）利用迭代可得a 5=2a 4+1=2（a 3+1）+1=…进行求解（法三）构造可得a n +1=2（a n ﹣1+1），从而可得数列{a n +1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a n +1，进而可求a n ，把n=5代入可求【解答】解：（法一）∵a n =2a n ﹣1+1，a 1=1 a 2=2a 1+1=3 a 3=2a 2+1=7 a 4=2a 3+1=15 a 5=2a 4+1=31（法二）∵a n =2a n ﹣1+1∴a 5=2a 4+1=4a 3+3=8a 2+7=16a 1+15=31 （法三）∴a n +1=2（a n ﹣1+1） ∵a 1+1=2∴{a n +1}是以2为首项，以2为等比数列 ∴a n +1=2•2n ﹣1=2n ∴a n =2n ﹣1 ∴a 5=25﹣1=31 故选：D5．已知△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2+b 2﹣ab=c 2，则C=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】把已知条件移项变形得到a 2+b 2﹣c 2=ab ，然后利用余弦定理表示出cosC 的式子，把变形得到的式子代入即可求出cosC 的值，然后根据角C 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数． 【解答】解：由a 2+b 2﹣ab=c 2，可得：a 2+b 2﹣c 2=ab ，根据余弦定理得：cosC===，又C∈（0，π），所以C=．故选：B．6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，t=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得B（2，0），由，得A（0，1），当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选C．7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线x 2=8y 的焦点坐标（0，2），抛物线x 2=8y 上的点P 到抛物线的焦点距离为5， 可得P 的纵坐标为：3， 故选：B ．8．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，b n ＞0恒成立，若a 2=b 2且a 8=b 8，则（ ） A ．a 5≥b 5B ．a 5≤b 5C ．a 5＞b 5D ．a 5＜b 5【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设公差为d ，公比为q ，作差比较，运用因式分解，即可得出结论． 【解答】解：设公差为d ，公比为q ，则 ∵a 2=b 2，a 8=b 8，∴a 2+6d=a 2q 6，∴d=a 2（q 6﹣1）∴a 5﹣b 5=a 2+3d ﹣a 2q 3=a 2（1﹣q 3）+a 2（q 6﹣1）=a 2（q 3﹣1）2， ∵a 2＞0，（q 3﹣1）2≥0，∴a 2（q 3﹣1）2≥0， 即有a 5≥b 5， 故选：A ．9．已知曲线C 的方程为=1（a ∈R 且a ≠0），则“a＞1”是“曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】曲线C 的方程为=1（a ∈R 且a ≠0），若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则a ≠0．即可判断出结论．【解答】解：曲线C 的方程为=1（a ∈R 且a ≠0），若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则a ≠0．∴“a＞1”是“曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线”的充分不必要条件， 故选：A ．10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=1，S 6=9，则的值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的前n 项和公式列出方程组求出首项和公比，由此利用经数列前n 项和公式能求出的值．【解答】解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3=1，S 6=9，∴，解得a 1=，q=2，∴===2．故选：C ．11．在四面体ABCD 中，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点，设=，=，=，且=，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可画出图形，根据条件及向量加法、减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算便可得到，这样根据平面向量基本定理便可得出x ，y ，z 的值．【解答】解：如图，根据条件， ====；又；∴．故选A ．12．已知数列{a n }的通项公式为a n =sin ﹣kn ，数列{a n }的前n 项和为S n ，且{S n }为递减数列，则实数k的取值范围为（ ）A ．k ＞1B ．C ．D ．【考点】数列与函数的综合．【分析】可通过前n 项的和，结合单调递减，解不等式可得k 的范围，再讨论n 为4的倍数，4的倍数余1，4的倍数余2，4的倍数余3，结合等差数列的求和公式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：a n =sin﹣kn ，可得a 1=1﹣k ，a 2=﹣2k ，a 3=﹣1﹣3k ，a 4=﹣4k ， a 5=1﹣5k ，a 6=﹣6k ，a 7=﹣1﹣7k ，a 8=﹣8k ， 即有S 1=1﹣k ，S 2=1﹣3k ，S 3=﹣6k ，S 4=﹣10k ， S 5=1﹣15k ，S 6=1﹣21k ，S 7=﹣28k ，S 8=﹣36k ，由{S n }为递减数列，可得S 1＞S 2＞S 3＞S 4＞S 5＞S 6＞S 7＞S 8，即为1﹣k ＞1﹣3k ＞﹣6k ＞﹣10k ＞1﹣15k ＞1﹣21k ＞﹣28k ＞﹣36k ，解得k ＞，当n 为4的倍数时，S n =﹣n （n+1）k ，由S n ＞S n+1，可得﹣n （n+1）k ＞1﹣n （n+1）k ﹣（n+1）k ，解得k ＞，显然≤；当n 为4的倍数加1时，S n =1﹣n （n+1）k ，由S n ＞S n+1，可得1﹣n （n+1）k ＞1﹣n （n+1）k ﹣（n+1）k ， 解得k ＞0；当n 为4的倍数加2时，S n =1﹣n （n+1）k ，由S n ＞S n+1，可得1﹣n （n+1）k ＞1﹣n （n+1）k ﹣（n+1）k ， 解得k ＞0；当n 为4的倍数加3时，S n =﹣n （n+1）k ，由S n ＞S n+1，可得﹣n （n+1）k ＞﹣n （n+1）k ﹣（n+1）k ， 解得k ＞0．综上可得k 的范围是k ＞． 故选：C ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的标准方程分别求出a ，c ，由此能求出该椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆的方程为=1，∴a==2，=，∴该椭圆的离心率为e==．故答案为：．14．已知命题“设a ，b ，c ∈R ，如果ac 2＞bc 2，则a ＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为 1 ． 【考点】四种命题．【分析】根据四种命题之间的关系分别进行判断即可【解答】解：若ac 2＞bc 2，则c ≠0，∴a ＞b 成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题． 逆命题为：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2．当c=0时，ac 2＞bc 2．不成立， ∴逆命题为假命题，则否命题也为假命题． 故逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有1个． 故答案为：1．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，则异面直线AE 与A 1D 所成的角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与A 1D 所成的角的余弦值．【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A （0，0，0），E （1，0，2），A 1（0，0，2），D （0，2，0），=（1，0，2），=（0，2，﹣2），设异面直线AE 与A 1D 所成的角为θ，则cosθ=|cos ＜，＞|===．∴异面直线AE 与A 1D 所成的角的余弦值为．故答案为：．16．设a ∈R ，若x ＞0时，均有（3ax ﹣2）（x 2﹣ax ﹣2）≥0，则a= ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】构造函数y 1=3ax ﹣2，y 2=x 2﹣ax ﹣2，它们都过定点P （0，﹣2），函数y 2=x 2﹣ax ﹣2，显然过点M（，0），计算即可得到答案．【解答】解：构造函数y 1=3ax ﹣2，y 2=x 2﹣ax ﹣2，它们都过定点P （0，﹣2），考查函数y 1=3ax ﹣2，令y=0，得M （，0），∴a ＞0；考查函数y 2=x 2﹣ax ﹣2，显然过点M （，0），代入得：﹣﹣2=0，解之得：a=，或a=﹣（舍去）．故答案为：三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinC=csinB ． （Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC 边上中线AD 的长． 【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知等式，利用正弦定理可得：ac=cb ，解得：a=b ，即可得解△ABC 为等腰三角形． （Ⅱ）由已知可求C=120°，BD=1，利用余弦定理可求AB ，在△ABD 中，利用余弦定理可求AD 的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵asinC=csinB ． ∴利用正弦定理可得：ac=cb ，解得：a=b ，∴△ABC 为等腰三角形．（Ⅱ）如图所示：∵BC=AC ，B=30°，BC=2， ∴C=120°，BD=1，∴AB===2，∴△ABD 中，AD===．18．（Ⅰ）解关于x 的一元二次不等式x （x ﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0（其中a ∈R ）． 【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）先求出x 2﹣2x ﹣3＞0，由此能求出关于x 的一元二次不等式x （x ﹣2）﹣3＞0的解集． （Ⅱ）由当2a ＞4，即a ＞2，2a ＜4，即a ＜2，2a=4，即a=2三种情况进行分类讨论，由此能求出关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0（其中a ∈R ）的解集． 【解答】解：（Ⅰ）∵x （x ﹣2）﹣3＞0， ∴x 2﹣2x ﹣3＞0，解方程x 2﹣2x ﹣3=0，得x 1=﹣1，x 2=3，∴关于x 的一元二次不等式x （x ﹣2）﹣3＞0的解集为{x|x ＜﹣1或x ＞3}． （Ⅱ）∵（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0（其中a ∈R ）， ∴（x ﹣4）（x ﹣2a ）=0的解为x 1=4，x 2=2a ， ∴当2a ＞4，即a ＞2时，关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0为{x|4＜x ＜2a}； 当2a ＜4，即a ＜2时，关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0为{x|2a ＜x ＜4}； 当2a=4，即a=2时，关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0为∅．19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）． （Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，k ∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）把定点坐标代入抛物线方程，求得p ，则抛物线方程可求；（Ⅱ）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y 2=2px （p ＞0）， 代入点（1，2），可得p=2， ∴抛物线的标准方程y 2=4x ； （Ⅱ）抛物线焦点坐标为F （1，0）， ∴直线l ：y=k （x ﹣1）． 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l ：y=k （x ﹣1）与y 2=4x ，得：k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0，则由韦达定理有：x 1+x 2=2+，x 1x 2=1．则弦长|AB|=•=4+，∵k ∈[1，2]，∴∈[1，4]，∴弦长|AB|的取值范围是[5，8]．20．已知等差数列{a n }中，a 2=3，a 5=9． （Ⅰ）求数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n ；（Ⅱ）证明：命题“∀n ∈N +，”是真命题．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和；（Ⅱ）求得==（﹣），运用裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 2=3，a 5=9，可得a 1+d=3，a 1+4d=9， 解得a 1=1，d=2，则a n =a 1+（n ﹣1）d=2n ﹣1；前n 项和S n =n （1+2n ﹣1）=n 2；（Ⅱ）证明： ==（﹣），即有++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣﹣）＜，则命题“∀n ∈N +，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2，AA 1=4，点F 为C 1D 1的中点，点E 在CC 1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE ⊥平面A 1BD ； （Ⅱ）求二面角F ﹣A 1D ﹣B 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE ⊥平面A 1BD ．（Ⅱ）求出平面A 1DF 的法向量和平面A 1BD 的法向量，利用向量法能求出二面角F ﹣A 1D ﹣B 的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2，AA 1=4， 点F 为C 1D 1的中点，点E 在CC 1上，且CE=1，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A （2，0，0），E （0，2，1），A 1（2，0，4），B （2，2，0），D （0，0，0），=（﹣2，2，1），=（2，0，4），=（2，2，0），•=0，=0，∴AE ⊥DA 1，AE ⊥DB ，又DA 1∩DB=D，∴AE ⊥平面A 1BD ．解：（Ⅱ）F （0，1，4），=（2，0，4），=（0，1，4），=（2，2，0），设平面A1DF 的法向量=（x ，y ，z ）， 则，取z=1，得=（8，﹣4，1），设平面A1BD 的法向量=（a ，b ，c ）， 则，取c=1，得=（﹣2，2，1），设二面角F ﹣A 1D ﹣B 的平面角为θ，cosθ===．∴二面角F ﹣A 1D ﹣B 的余弦值为．22．已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP 与直线BQ 交于点M （﹣9，m ），以PQ 为直径作圆C ，判断点A 与圆C 的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由离心率公式和四边形的面积公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）A （﹣3，0），B （3，0），M （﹣9，m ），AM 的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x 2+9y 2=72，运用韦达定理，求得P 的坐标，同理可得Q 的坐标，运用向量AP ，AQ 的坐标，运用数量积的坐标表示，由符号即可得到A 与圆C 的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==， •2a•2b=12，a 2﹣b 2=c 2，解得c=1，a=3，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）A （﹣3，0），B （3，0），M （﹣9，m ），AM 的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x 2+9y 2=72，可得（32+m 2）x 2+6m 2x+9m 2﹣288=0，由﹣3x P =，解得x P =，y P =，m ≠0，BM 的方程为y=（x ﹣3），代入椭圆的方程8x 2+9y 2=72，可得x 2﹣6m 2x+9m 2﹣1152=0，由3x Q =，解得x Q =，y Q =，由=（，），=（，），即有•==＜0，即有∠PAQ为钝角，即点A在以PQ为直径的圆C的内部．。
辽宁省沈阳市重点学校联合体2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含解析
2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测数学（答案在最后）（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．椭圆22169x y +=的短轴长为（）A ．B ．C ．3D ．62．5(1)x -的展开式中含2x 的项是（）A ．25x-B ．25xC ．210x -D ．210x3．在空间直角坐标系中，已知点()()()2,3,5,0,2,2,2,,1A B C t ----，若,,A B C 三点共线，则t 的值为（）A ．2-B ．7-C ．10D ．134．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘画时，可以分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，则可配成的不同颜色种数为（）A ．3256种B ．27种C ．3255种D ．6种5．若双曲线221412x y -=上一点P 到其右焦点的距离是8，则点P 到其左焦点的距离是（）A ．4B ．10C ．2或10D ．4或126．已知(61a -=+,a b 均为有理数），则a 的值为（）A ．90B ．91C ．98D ．997．已知抛物线2:4E y x =，圆22:2C x y x +=，过圆心C 作斜率为k 的直线l 与抛物线E 和圆C 交于四点，自上而下依次为,,,A M N B ，若2AM NB MN +=，则k 的值为（）A ．B ．C ．2±D ．28．将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（）A ．90种B ．120种C ．160种D ．190种二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知直线:2210l x y ++=，则（）A ．()1,1m =-是直线l 的法向量B ．直线l 的倾斜角为135︒C ．直线1:0l x y n --+=与直线l 平行的充要条件是12n ≠D ．直线l 在两坐标轴上的截距相等10．在空间直角坐标系中，已知点()()()2,0,0,1,1,2,2,3,1A B C -，则（）A ．5AB BC ⋅=-B ．AC =C ．异面直线OB 与AC 所成角的余弦值为1530D ．OB 在BC 上的投影的数量为1411．已知()62370123732(1)x x a a x a x a x a x -+=+++++ ，则下列结论正确的是（）A ．02a =-B ．385a =C ．2370123722222916a a a a a +++++= D ．135732a a a a +++=12．离心率为512-的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆22121222:1(0),,,,x y C a b A A B B a b+=>>为顶点，12,F F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A ．长轴长为4，短轴长为52-B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21PO A B ∥D ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆221:(2)(1)4O x y +++=和圆222:(1)(3)9O x y -+-=的位置关系是______．14．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．15．如图，在正六边形ABCDEF 中，以,F C 为焦点，且经过点,,,A E B D 的双曲线的离心率e =______．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是过顶点11,,,B D D B 的圆上的一点，Q 为1CC 的中点．当直线PQ 与平面ABCD 所成的角最大时，点P 的坐标为______；直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）已知()3266C C 1m m m -=≠，计算：1236678C C C C m m m m ++++++；（2）解方程：72343C 5A x x x ---=．18．（12分）如图，,M N 分别是四面体O ABC -的棱,OA BC 的中点，,P Q 是MN 的三等分点（点P 靠近点N ），记,,AO a AB b AC c ===．（1）以{},,a b c为基底表示OQ ；（2）若1,2,,32a b c OAB OAC CAB ππ===∠=∠=∠= ，求OQ ．19．（12分）圆22:8O x y +=内有一点()01,2P ，过点0P 的直线交圆O 于,A B 两点．（1）当0P 为弦AB 的中点时，求直线AB 的一般式方程；（2）若圆O 与圆22:(1)(1)9C x y +++=相交于,E F 两点，求EF 的长度．20．（12分）已知2nx x ⎛+ ⎝的展开式的所有二项式系数之和为64．（1）求该二项式及其展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项．21．（12分）如图，AD BC ∥且2,,AD BC AD CD EG AD =⊥∥且,EG AD CD FG =∥且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；（2）求二面角E BC F --的平面角的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．22．（12分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)6,0F，其渐近线与抛物线2C ：22y px =交于点(2．（1）求双曲线1C 及抛物线2C 的标准方程；（2）设A是双曲线1C与抛物线2C在第一象限的交点，作直线l与双曲线1C的两支分别交于点,M N，使得 ．求证：直线MN过定点．AM AN2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测数学参考答案及评分标准一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B 【解析】在椭圆22169x y +=中，b =，所以短轴长为2b =．2．C【解析】5(1)x -的展开式的通项公式为515C (1)k kk k T x-+=⋅⋅-，所以含2x 的项是323245(1)10T C x x =⋅⋅-=-．3．B 【解析】因为()()2,5,3,4,3,6AB AC t =--=-- ，且,,A B C 三点共线，所以352t -=-⨯，解得7t =-．4．A【解析】分3步取色，第一、第二、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成3256256256256⨯⨯=（种）不同的颜色．5．D 【解析】由双曲线的方程可得224,12a b ==，所以22,41216a c ==+=，可得4c =．设右焦点为F ，左焦点为F '．当点P 在左支上时，则6PF a c ≥+=，所以28224PF PF a =-=-⨯='；当点P在右支上时，282212PF PF a =+=+⨯='．6．D【解析】因为(61-的展开式的通项公式为616C (,(1kk k T a +=⋅-=+，所以(((2462466666C C C C 99a =+⨯+⨯+⨯=．7．A 【解析】如图，圆22:(1)1C x y -+=的圆心为()1,0C ，半径1r=，且(1,0)C 为抛物线2:4E y x=的焦点，抛物线E的准线方程为1x =-．设()()1212,,,A y B x y x ，则1212112AB AC BC x x x x =+=+++=++．因为24AM NB MN +==，所以6AB =，则124x x +=．设直线l 的方程为()1y k x =-，显然0k ≠，由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=，所以2122244k x x k++==，解得k =．8．B 【解析】先在编号为2，3的盒子内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，则三个盒子内每个至少再放入1个球．将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中即可，不同的放法共有216C 120=（种）．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．BD 【解析】A ：直线:2210l x y ++=的一个法向量为()2,2，但()1,1m =-与向量()2,2不共线，A错误；B ：直线:2210l x y ++=的斜率为1-，故倾斜角为135︒，B 正确；C ：把直线1:0l x y n --+=的方程改写为2220x y n +-=，则直线1l ，l 平行的充要条件是21n -≠，即12n ≠-，C 错误；D ：直线:2210l x y ++=在,x y 轴上的截距分别是11,22--，D 正确．故选：BD ．10．AC 【解析】A ：()()1,1,2,1,2,3AB BC =--= ，所以1265AB BC ⋅=-+-=-，A 正确；B ：()0,3,1AC = ，所以09110AC =++=B 错误；C ：()1,1,2OB =- ，所以1146OB =++=，所以异面直线OB 与AC 所成角的余弦值为03215cos ,30610OB AC OB AC OB AC⋅==⨯⋅，C 正确；D ：14914BC =++= ，所以OB 在BC 上的投影的数量为1263141414OB BC BC⋅==-，D 错误．故选：AC ．11．ACD【解析】A ：令0x =，得()0212a =-⨯=-，A 正确；B ：6(1)x +的展开式的通项为()16C 0,1,2,,6k kk T x k +== ，所以233415,20T x T x ==，所以()632(1)x x -+的展开式中3x 项的系数()33152205a =⨯+-⨯=，B 错误；C ：令2x =，得()2376012372222322(12)2916a a a a a +++++=⨯-⨯+= ，C 正确；D ：令1x =，得()60127312(11)64a a a a ++++=⨯-⨯+= ．令1x =-，得01270a a a a -+--= ．两式相减，得()1357264a a a a +++=，所以135732a a a a +++=，D 正确．故选：ACD ．12．BD【解析】A ：当长轴长为4，短轴长为2-时，512,12a b a b e a-==-⇒==≠，A 不符合题意；B：当11290F B A ∠=︒时，2111211121tan tan OB OFB A A F B O b ac OA OB ∠==∠=⇒=，即222510102a ac c e e e ---=⇒--=⇒=，B 符合题意；C：当1PF x⊥轴，且21PO A B ∥时，21b PF a ==，且11121121tan tan OB PF B A A FOP b c a OA OF ∠==∠=⇒=⇒=，则25122c e a -==≠，C 不符合题意；D ：当四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 时，点O 到直线22A B 的距离为c ，此时42221sin 310cB A A e e e a∠===⇒=⇒-+=，解得2352e =．又2310122e e e --<<⇒=⇒=，D 符合题意．故选：BD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．外切【解析】根据两圆的方程可知()()1212,1,1,3,2O O r --=，23r =，所以12125O O r r ===+，所以两圆外切．14．216【解析】最左端排甲，共有55120A =（种）；最左端排乙，最右端不能排甲，有1444C A 96=（种），所以不同的排法共有12096216+=（种）．151+【解析】设正六边形ABCDEF 的半径为r ，如图，连接,FC DF ，则,2DC r FC r ==．又90CDF ∠=︒，所以DF =．依题意，双曲线的实轴长)21a DF DC r =-=-，焦距22c FC r ==，所以该双曲线的离心率212c e a ===．16．1)+150,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】过点O 作11B D 的垂线并延长，交 11B D 于点E ，易得()()0,2,1,1,1,1OE Q E =，所以(1,QE =-．由图可知当点P 在点E 的位置时，直线PQ 与平面ABCD所成的角最大．易得平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =．设直线QE 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin cos ,5QE nQE n QE nθ⋅===⋅，即直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的最大值为155．当PQ ∥平面ABCD 时，直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值最小，为0，所以直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是150,5⎡⎢⎣⎦．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）因为()3266C C 1m m m -=≠，所以326m m +-=，解得2m =，所以1231236678778C C C C C C C mm m m m m m +++++++++=++2388C C m m ++=+39C m +=59C =126=．（2）由72343C 5A x x x ---=，得()()()()33!54!7!4!6!x x x x --=--，即()()33654!x x --=，所以()()3640x x --=，解得1211,2x x ==-（舍去），所以原方程的解为11x =．18．解：（1）OQ OM MQ =+()1123AO MA AB BN=-+++()11112322a a b c b ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦211366a b c =-++ ．（2）2222411221936369918OQ a b c a b a c b c =++-⋅-⋅+⋅41121211112093699292=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+14=，所以12OQ = ．19．解：（1）直线AB 的斜率显然存在．因为0P 为弦AB 的中点，由垂径定理得0OP AB ⊥．又因为020210OP k -==-，所以12AB k =-，故直线AB 的方程为()1212y x -=--，整理，得直线AB 的一般式方程为250x y +-=．（2）228x y +=与22(1)(1)9x y +++=相减，得2210x y ++=，所以直线EF 的方程为2210x y ++=．圆心()0,0O 到直线EF的距离24d ==．由垂径定理得EF的长度为2==．20．解：（1）由题意，得264n =，解得6n =，所以该二项式为62x ⎛+ ⎝，则通项公式为：36662166C (2)C 2k k k k k k k T x x ---+==．令3602k -=，解得4k =，所以该二项式的展开式中的常数项为42416C 260T +==．（2）设第1k +项的系数最大，则6176661566C 2C 2,C 2C 2,k k k k k k k k ----+-⎧≥⎨≥⎩解得4733k ≤≤，则2k =，所以展开式中系数最大的项为2433216C 2240T x x +==．21．解：（1）法一：如图1，取DG 的中点为Q ，连接,NQ MQ ．又因为,M N 分别为,CF EG 的中点，所以,MQ CD NQ DE ∥∥．因为,CD DE ⊂平面,,CDE MQ NQ ⊄平面CDE ，所以MQ ∥平面,CDE NQ ∥平面CDE ．又因为,,MQ NQ Q MQ NQ =⊂ 平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面CDE ．因为MN ⊂平面MNQ ，所以MN ∥平面CDE．图1图2法二：以D 为坐标原点，建立如图2的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,2,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0,2D A B C E ，()()()30,1,2,0,0,2,1,0,2,0,,12F G N M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．()()0,2,0,2,0,2DC DE == ．设平面CDE 的法向量为()0000,,n x y z = ，则0000020,220,n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令01z =-，得()01,0,1n =- ．31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则00MN n ⋅= ，即0MN n ⊥ ．又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（2）()()()1,0,0,1,2,2,0,1,2BC BE CF =-=-=- ．设平面BCE 的法向量为(),,n x y z = ，则0,220,n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1z =，得()0,1,1n = ．设平面BCF 的法向量为(),,m a b c = ，则0,20,m BC a m CF b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1c =，得()0,2,1m = ．设二面角E BC F --的平面角为θ，显然θ为锐角，所以二面角E BC F --的平面角的余弦值为310cos 10m n m n θ⋅===，则二面角E BC F --的平面角的正弦值为sin 10θ==．（3）设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()1,2,BP t =-- ．平面ADGE 的一个法向量为()10,1,0n = ．因为直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，所以12cos ,2n BP ==，解得t =．则(DP = ．由（1）知平面CDE 的一个法向量为()01,0,1n =- ，所以点P 到平面CDE的距离002n DPd n ⋅== ．22．解：（1）双曲线1C 的渐近线方程为b y x a =±．因为)F ，双曲线1C的渐近线过点(，所以226,b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩则双曲线1C 的标准方程为22124x y -=．由抛物线2C过点(，得22p =，则抛物线2C 的标准方程为22y x =．（2）由题意知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+．联立221,24,x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()2222240k x kmx m ----=，则()()()222222Δ44248420k m k m m k =--+=+->，212122224,22km m x x x x k k --+==--，所以()12122422m y y k x x m k+=++=-，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++22222224222m k m k m k k --=⋅++--222242m k k-=-．联立2222,24,y x x y ⎧=⎨-=⎩解得2,2,x y =⎧⎨=±⎩所以()()()11222,2,2,2,2,2A AM x y AN x y =--=-- ．由AM AN ⊥，得0AM AN ⋅= ，即()()()()12122222AM AN x x y y ⋅=--+-- ()()12121212228x x y y x x y y =+-+-++222222242448802222m m k km m k k k k---=+--+=----．整理，得221248120k km m m +-+-=，即()()22660k m k m +--+=．显然()2,2A 不在直线MN 上，即220k m +-≠，所以660k m -+=，满足Δ0>，所以直线MN 的方程为()6666y kx k k x =++=++，。
2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
【详解】
输入 a,b,运行到判断框“ a b ”处结果为“是”,
进而运行到判断框“ a b ”处结果为“否”.
执行“ b 18 12 6 ”.此时 a 12, b 6 .
运行到判断框“ a b ”处结果为“是”, 进而运行到判断框“ a b ”处结果为“是”.
执行“ a 12 6 6 ”.此时 a 6,b 6
2018-2019 学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末考试数 学（理）试题
一、单选题
1．抛物线 y 2x2 的准线方程是（ ）
A． x 1 2
B． x 1 2
C． y 1 8
D． y 1 8
【答案】D
【解析】抛物线 y 2x2 可化为 x2 1 y ，焦点在 y 轴上， 2 p 1 , p 1 ,抛物线
A．若（x﹣3）（x﹣7）≠0，则 x≠3 或 x≠7
B．以 y 轴为对称轴的等腰三角形，这个三角形底边的中线方程是 x＝0 C．“若|x|+y2＝0，则 x，y 全为 0”的逆否命题是“若 x，y 全不为 0，则|x|+y2≠0” D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∀x∈R，2x≤0” 【答案】A 【解析】根据对应知识点逐个选项判断即可. 【详解】
运行到判断框“ a b ”处结果为“否”,
输出 “ a 6 ”.
第 1 页 共 17 页
D．12
故选：C
【点睛】
本题主要考查了程序框图的运用,属于基础题型.
3．有下列说法：
①一支田径队有男女运动员 98 人，其中男运动员有 56 人．按男、女比例用分层抽样
的方法，从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，那么应抽取女运动员人数是 12 人；
C．①③
2017-2018学年辽宁省沈阳市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题各出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
）1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c2．（5分）椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．43．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b2+c2﹣a2＝，则A的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．（5分）a，b，c∈R，且a＞b＞0，则下列命题正确的是（）A．ac＞bc B．C．a2＞ab D．c﹣a＞c﹣b 5．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有一个关于数列的运算问题，其大意为“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走分路程为（）A．3里B．6里C．12里D．24里6．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是下底面的中心，N 是按C1D1上任意一点，则异面直线ON与A1M所成角的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．与点N的位置有关7．（5分）关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（2，+∞），则关于x的不等式（2ax+b）（x ﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）8．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上任一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2的乘积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等差数列{a n}满足a2＝2，前5项和S5＝25，若S n＝39，则n的值为（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知正四面体ABCD的棱长是a，若E是AB的中点，则＝（）A．B．C．a2D．﹣a211．（5分）下列命题中，说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“0＜x＜”是“x（1﹣2x）＞0”的必要不充分条件C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B”的逆否命题为真命题12．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2021学年辽宁省沈阳市高二(上)期末数学试卷(理科)
辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知实数a、b、c，且a＞b，则下列不等式正确的是（）A．a2＞b2B．C．a+1＞b﹣1D．ac2＞bc22．（5分）抛物线x2＝16y的准线方程为（）A．y＝﹣4B．y＝﹣8C．x＝﹣4D．x＝﹣83．（5分）若命题p：∃a，b∈R，a2+b2≤0，则￢p为（）A．∀a，b∉R，a2+b2＞0B．∀a，b∈R，a2+b2＞0C．∃a，b∈R，a2+b2＞0D．∃a，b∉R，a2+b2＞04．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定5．（5分）已知目标函数z＝3x﹣2y，若实数x、y满足不等式组，则有（）A．z max＝13，z min＝﹣2B．z max＝13，z无最小值C．z min＝﹣2，z无最大值D．z既无最大值，也无最小值6．（5分）已知平面α的法向量为，直线AB与平面α相交但不垂直，则向量的坐标可以是（）A．（﹣2，2，﹣2）B．（1，3，2）C．（2，1，﹣1）D．（1，2，3）7．（5分）关于x的不等式mx2﹣（1﹣m）x+1＞0对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）正四棱锥P﹣ABCD中，设，，，O为底面ABCD中一点，且PO⊥面ABCD，则＝（）A．B．C．D．9．（5分）等比数列{a n}中，公比q≠1，且a4+a8＝4，则a6的取值范围为（）A．（0，2]B．（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．[﹣2，2]10．（5分）已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，若双曲线的一个焦点坐标为，且圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＞0，n∈N*，若S12＞0，S13＜0，则数列{|a n|}的最小项是（）A．第6项B．第7项C．第12项D．第13项12．（5分）已知F为抛物线y2＝12x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，若点A在抛物线上，且|AF|＝6，则|P A|+|PO|的最小值为（）A．6B．C．D．二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，△PF1F2面积最大值为14．（5分）已知数列{a n}的首项a1＝1，且（n≥1），则a5＝．15．（5分）已知菱形ABCD所在平面与等腰直角△ABE所在平面相交，∠ABE＝90°，点D在平面ABE上的射影为棱AE上的中点O，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为．16．（5分）已知椭圆的右焦点F关于直线对称的点在椭圆上，则椭圆的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知k＞1，命题p：1＜m＜k；表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若k＝3，且p∧q为真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求k的取值范围．18．（12分）已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面积为，a+b＝13，求△ABC外接圆的周长．19．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣5，S6＝0；数列{b n}中，b2＝3，且满足b n+1﹣3b n＝0（n∈N*）．（1）求{a n}，{b n}的通项；（2）求数列{a n+b n+1}的前n项和T n．20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB＝AD＝1，，点E、F分别为AA1、A1D1的中点．（1）证明：AC1⊥平面BDE；（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．21．（12分）中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设．目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（2≤x≤6）．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a ＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．22．（12分）如图所示，椭圆C：的短轴为AB，|AB|＝2，离心率，P为第一象限内椭圆上的任意一点，设PH⊥y轴于H，Q为线段PH的中点，过B作直线l⊥y轴．（1）求椭圆C的方程；（2）若P的纵坐标为，求直线AQ截椭圆C所得的弦长；（3）若直线AQ交直线l于M，D为直线l上一点，且DQ⊥OQ（O为原点），证明：D 为线段BM的中点．2018-2019学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知实数a、b、c，且a＞b，则下列不等式正确的是（）A．a2＞b2B．C．a+1＞b﹣1D．ac2＞bc2【解答】解：若a＝1，b＝﹣1，则A，B错误，若c＝0，则D错误，∵a＞b，∴a+1＞a＞b＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，故C正确，故选：C．2．（5分）抛物线x2＝16y的准线方程为（）A．y＝﹣4B．y＝﹣8C．x＝﹣4D．x＝﹣8【解答】解：由已知2p＝16，所以p＝8，所以准线方程为y＝﹣4，故选：A．3．（5分）若命题p：∃a，b∈R，a2+b2≤0，则￢p为（）A．∀a，b∉R，a2+b2＞0B．∀a，b∈R，a2+b2＞0C．∃a，b∈R，a2+b2＞0D．∃a，b∉R，a2+b2＞0【解答】解：命题p：∃a，b∈R，a2+b2≤0，则￢p为：∀a，b∈R，a2+b2＞0．故选：B．4．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cos C＝∴∴△ABC是钝角三角形故选：C．5．（5分）已知目标函数z＝3x﹣2y，若实数x、y满足不等式组，则有（）A．z max＝13，z min＝﹣2B．z max＝13，z无最小值C．z min＝﹣2，z无最大值D．z既无最大值，也无最小值【解答】解：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由z＝3x﹣2y得y＝x﹣，平移直线y＝x，经过A时，﹣最大，由，求得A（0，1），此时z最小，z最小值为3×0﹣2×1＝﹣2；同理，在B点时，﹣最小，由，求得B（3，﹣2），此时z最大，最大值为3×3﹣2×（﹣2）＝13．故选：A．6．（5分）已知平面α的法向量为，直线AB与平面α相交但不垂直，则向量的坐标可以是（）A．（﹣2，2，﹣2）B．（1，3，2）C．（2，1，﹣1）D．（1，2，3）【解答】解：选项A的向量与平行，从而线面垂直，选项B、C的向量与垂直，从而线面平行或线在面内，而选项D的向量与不平行，也不垂直；∴的坐标可以是（1，2，3）．故选：D．7．（5分）关于x的不等式mx2﹣（1﹣m）x+1＞0对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：当m＝0时，不等式为﹣x+1＞0，即x＜1，不符合题意．当m≠0时，mx2﹣（1﹣m）x+m＞0对任意实数x都成立，则m＞0且△＝（1﹣m）2﹣4m＜0，解得3﹣2＜m＜3+2故选：C．8．（5分）正四棱锥P﹣ABCD中，设，，，O为底面ABCD中一点，且PO⊥面ABCD，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：，故选：C．9．（5分）等比数列{a n}中，公比q≠1，且a4+a8＝4，则a6的取值范围为（）A．（0，2]B．（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．[﹣2，2]【解答】解：由已知得a4，a6，a8同为正数；∴，当且仅当a4＝a8＝2时取等号，（此时q＝﹣1）；∴0＜a6≤2；∴a6的取值范围为（0，2]．故选：A．10．（5分）已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，若双曲线的一个焦点坐标为，且圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的一个焦点坐标为，则c＝由题意可知焦点在y轴上，焦点到渐近线的距离为1，即b＝1，＝2，则双曲线的方程是，故选：B．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＞0，n∈N*，若S12＞0，S13＜0，则数列{|a n|}的最小项是（）A．第6项B．第7项C．第12项D．第13项【解答】解：由题由题意S12＞0，S13＜0，得a6+a7＞0，a7＜0，所以a6＞0，a6＞|a7|，所以|a7|最小．故选：B．12．（5分）已知F为抛物线y2＝12x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，若点A在抛物线上，且|AF|＝6，则|P A|+|PO|的最小值为（）A．6B．C．D．【解答】解：∵|AF|＝6，由抛物线的定义得点A到准线的距离为6，即A点的横坐标为3，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标为（3，6）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（﹣6，0），则|P A|+|PO|的最小值为，故选：D．二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，△PF1F2面积最大值为12【解答】解：椭圆中，a2＝25，b2＝9，∴c2＝a2﹣b2＝16，∴b＝3，c＝4．由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，△PF1F2的面积最大，故|F1F2|b＝bc＝12，故答案为：12．14．（5分）已知数列{a n}的首项a1＝1，且（n≥1），则a5＝．【解答】解析：因为a1＝1，所以代入题中关系式可得，，，．故答案为：．15．（5分）已知菱形ABCD所在平面与等腰直角△ABE所在平面相交，∠ABE＝90°，点D在平面ABE上的射影为棱AE上的中点O，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为．【解答】解：根据条件知，OE，OB，OD三直线两两垂直，∴分别以OE，OB，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设OA＝OB＝OE＝1，则：E（1，0，0）B（0，1，0）A（﹣1，0，0），D（0，0，1）；∴，；∴异面直线AB与CE所成角的余弦值为：＝＝．故答案为：．16．（5分）已知椭圆的右焦点F关于直线对称的点在椭圆上，则椭圆的离心率为．【解答】解：如图，直线的斜率为，△MOF是一个的直角三角形，因为原点O为FF'的中点，且M为FP的中点，所以OM为△PF'F的中位线，所以，△PF'F也是一个直角三角形，且，从而，由定义易得，又因为|FF'|＝2c，所以|PF|2+|PF'|2＝|FF'|2，所以，故离心率为．故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知k＞1，命题p：1＜m＜k；表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若k＝3，且p∧q为真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求k的取值范围．【解答】解：（1）当q为真时，0＜m＜2，又p∧q为真命题，从而p真且q真．由，得1＜m＜2．∴m的取值范围为（1，2）；（2）∵p是q的充分不必要条件∴集合{m|1＜m＜k}是集合{m|0＜m＜2}的真子集，∴1＜k≤2．18．（12分）已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面积为，a+b＝13，求△ABC外接圆的周长．【解答】解：（1）∵，∴，又角C为锐角，∴．（2）∵，∴，∴ab＝40．又a+b＝13，从而a2+b2＝89，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝49，∴c＝7．，外接圆的周长为．19．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣5，S6＝0；数列{b n}中，b2＝3，且满足b n+1﹣3b n＝0（n∈N*）．（1）求{a n}，{b n}的通项；（2）求数列{a n+b n+1}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵{a n}成公差为d的等差数列，S6＝6a1+15d＝﹣30+15d＝0，∴d＝2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣5+2（n﹣1）＝2n﹣7，又∵b n+1﹣3b n＝0，即，∴{b n}为公比q＝3的等比数列，＝3×3n﹣2＝3n﹣1；（2）等差数列{a n}的前n项和，等比数列{b n}的前n项和为，∴数列{a n+b n+1}的前n项和T n＝．20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB＝AD＝1，，点E、F分别为AA1、A1D1的中点．（1）证明：AC1⊥平面BDE；（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）如图，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），，．……（2分）∴，，．…………（3分）∵，∴AC1⊥BD；∵，∴AC1⊥BE．……………（5分）∵BD与BE是平面BDE内两条相交直线，∴AC1⊥平面BDE．………………（6分）解：（2）由（Ⅰ）进一步得，则．设平面BDE的法向量为，可取＝．…………………（7分）设平面FBE的法向量为．由，得．取x＝1，得．……………（9分）∴＝＝＝．……………………（11分）由于二面角F﹣BE﹣D为锐二面角，故所求二面角的余弦值为．…………（12分）21．（12分）中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设．目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（2≤x≤6）．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a ＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．【解答】解：（1）设甲工程队的总造价为y元，则…………（4分）．当且仅当，即x＝4时等号成立．即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．………（6分）（2）由题意可得，对任意的x∈[2，6]恒成立．………………（7分）即，从而.恒成立，又．当且仅当，即x＝2时等号成立．…………………（11分）所以0＜a＜12．……………（12分）22．（12分）如图所示，椭圆C：的短轴为AB，|AB|＝2，离心率，P为第一象限内椭圆上的任意一点，设PH⊥y轴于H，Q为线段PH的中点，过B作直线l⊥y轴．（1）求椭圆C的方程；（2）若P的纵坐标为，求直线AQ截椭圆C所得的弦长；（3）若直线AQ交直线l于M，D为直线l上一点，且DQ⊥OQ（O为原点），证明：D 为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵|AB|＝2b＝2，b＝1．又，∴，a＝2．椭圆C的方程：．（2）∵由点P在椭圆上，，x p＞0，得．∴，，直线AQ：．代入，整理得：，．从而所截弦长为．证明（3）设P（x0，y0），则，+y02＝1…………①直线AQ：，与直线l：y＝1联立，得．设D（x D，1），由DQ⊥OQ，得．解得：，代入①式化简．所以，代入①式，得，从而得证．（法二）简解：易得点Q的轨迹方程为x2+y2＝1，设Q（x0，y0），D（x D，1），M（x M，1）由k AM＝k AQ，k OQ•k DQ＝﹣1，可得，可得．（法三）简解：接法二，易知直线DB，直线DQ为圆x2+y2＝1的切线，所以DB＝DQ 又∠BQA＝90°，从而△BQM为直角三角形，易证明DB＝DQ＝DM．。
辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)
2019－2020学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高二试题答案数 学一、选择题：BCADB DBADC AD二、填空题：13. -1 14.66 15. 221-+n (*∈N n )(没写*∈N n 同样给分) 16.316 三、解答题：17．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为()()211740+++--=m x m y m 可化为(27)(4)0+-++-=m x y x y ， 由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得：31x y =⎧⎨=⎩，即直线()()():211740+++--=∈l m x m y m m R 恒过点()3,1设为M ； …………………………2分 又22125310+=<，所以点M ()3,1在圆22:25C x y +=内； …………………………4分 所以直线l 与圆恒交于两点； …………………………5分 （Ⅱ）由几何知识可知当直线CM l ⊥时，AB 取得最小值，此时10==CM d ………8分 ∴AB 的最小值为15210252=- …………………………10分18．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AC =取AB 中点E ，连接CE ，则四边形AECD 为正方形，∴2AE CE ==,又122BE AB ==， 则ABC ∆为等腰直角三角形，∴AC BC ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥，由AC PA A ⋂=得BC ⊥平面PAC ，∵PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥. （利用空间向量证明同样给分）…………………6分 （Ⅱ）以A 为坐标原点，,,AD AB AP 分别,,x y z 为轴建立如图所示的坐标系，则()()()0,0,20,4,02,2,0P B C ，，，()()0,4,22,2,0BP BC =-=-，. 由（Ⅰ）知BC 即为平面PAC 的一个法向量， …………………8分 •10cos ,BC BPBC BP BC BP 〈〉==，…………………10分 即PB 与平面PAC . …………………12分 19．（本小题满分12分）【解析】解：（Ⅰ）已知抛物线22(0)y px p =>过点()02,A y ，且||4AF =则242p +=，…………2分 ∴4p =，故抛物线的方程为28y x =； ……………………………4分 （Ⅱ）设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立28y x m y x=+⎧⎨=⎩，得22(28)0x m x m +-+=，22(28)40m m ∆=-->，得2m <， 1282x x m ∴+=-，212x x m =， ………………………………………6分 又OP OQ ⊥，则12120OP OQ x x y y ⋅=+=， ………………………………………7分 ()()()22212121212121222(82)0x x y y x x x m x m x x m x m m m x m m ∴+=+++=+++=+-+=， 8m ∴=-或0m =， ……………………………………………………10分 经检验，当0m =时，直线过坐标原点，不合题意，又82m =-<，综上：m 的值为-8． ……………………………………………………12分20．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）因为等比数列{}n a 的公比1q >，12314++=a a a ，21a +是13,a a 的等差中项，所以12321314221a a a a a a q ++=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，即2111211114221a a q a q a q a a q q ⎧++=⎪+=+⎨⎪>⎩， ………………………2分解得122a q =⎧⎨=⎩，因此2n n a =，*n N ∈； ……………………………4分 （Ⅱ）因为数列{}n nb a ⋅的前n 项和为n n S n+='2， 所以()()()[]n n n n n S S b a n n n n 211221=-+--+='-'=⋅-，（2n ≥） 又2111='=⋅S b a 也满足上式，所以2⋅=n n a b n ，*n N ∈； ……………………………6分 由（Ⅰ），1222-==n n n n b n ； 所以其前n 项和21231...222-=++++n n n T ① 因此231123 (22222)=++++n n n T ② ①式减去②式可得：2311111111221...212222222212--+=++++-=-=--n n n n n n n n n T ， ……………………………10分 因此1242n n n T -+=-. ……………………………12分 21．（本小题满分12分）【解析】证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．∵底面ABCD 是正方形，∴AC 与BD 互相平分．又∵F 是BD 中点，∴F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点，∴EF ∥PC ．又∵⊄EF 平面PBC ，⊂PC 平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ． （利用空间向量证明同样给分） ……………………………4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，∵PA =PD ，∴AD PO ⊥．∵面⊥PAD 底面ABCD ，且面⋂PAD 面ABCD=AD ，∴⊥PO 面ABCD ．∵⊂OF 平面ABCD ∴OF PO ⊥．又∵F 是AC 中点，∴AD OF ⊥．如图，以O 为原点，OA,OF,OP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系．∵PA =PD =AD =2，∴3=OP ，则()()()()()0,0,1,0,2,1,0,2,1,0,0,1,0,0,0--D C B A O ,()()0,1,0,23,0,21,3,0,0F E P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛． 于是()()0,1,1,23,0,23,0,2,0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==． ∵⊥PO 面ABCD ，∴()3,0,0=OP 是平面FAD 的一个法向量．……………………………5分 设平面EFD 的一个法向量是()z y x ,,=．则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅023230z x y x 令1=x 则()3,1,1--=n ． ……………………………6分所以515533,cos -=⋅-=<． ……………………………7分 由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A 的余弦值为515． ……………8分 （Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使⊥GF 面EDF ．设()λλλλ3,2,-==CP CG ， 则()λλλ3,21,1-+-=+=CG FC FG ． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是()3,1,1--=．则n FG // ………………………10分 ∴3312111-=--=+-λλλ，无解． 故在棱PC 上不存在一点G ，使⊥GF 面EDF ． ………………………12分22．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）因为,AD AC EB AC =∥，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+==， ………………………2分 由题设得()()2,02,04A B AB -=，，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()22105x y y +=≠. ………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆O1=，∴221m k =+， ………………………………5分 由221,5,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2221510550k x kmx m +++-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理知：()1212122210221515km m x x y y k x x m k k+=-+=++=++，. ………………………………6分 所以PQ 中点N 的坐标为225,1515km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以弦PQ 的垂直平分线方程为22151515m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 即 24015km x ky k ++=+.所以MN =. ………………………………8分将m =MN =55251245145142=⋅≤+=+=k k k k k k MN（当且仅当k =，即m =. ………………………………10分 所以三角形MON的面积为11122S OM MN =⨯⨯⨯≤， 综上所述，三角形MON. ………………………………12分。
2021-2022学年辽宁省沈阳市级重点高中协作校高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年辽宁省沈阳市级重点高中协作校高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值为()A. 5B. 8C. 132D. 72.设x，y∈R，向量a⃗=(x,1,1)，b⃗ =(1,y,1)，c⃗=(2,−4,2)，且a⃗⊥c⃗，b⃗ //c⃗，则|a⃗+b⃗ |=()A. 2√2B. √10C. 3D. 43.从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数的个数为()A. 48B. 36C. 24D. 184.已知二项式(x2+1x)n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是()A. 5B. 20C. 10D. 405.如图，正棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. 15B. 25C. 35D. 456.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A. 4B. 8C. 16D. 327.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是()A. 分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法B. 分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法C. 分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法D. 分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法8. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心，以a 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于A ，B 两点．若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为( )A. √173B. √153C. √113D. √73二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知平面α的法向量为n⃗ =(−1,−2,2)，点A(x 2,2x +1,2)为α内一点，若点P(0,1,2)到平面α的距离为4，则x 的值为( )A. 2B. 1C. −3D. −610. 关于二项式(2x −√x )9的展开式，下列结论正确的是( )A. 各项二项式系数之和为210B. 各项系数之和为1C. 只有第5项的二项式系数最大D. 常数项为67211. 高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有( )A. 若任意选择三门课程，选法总数为C 73种 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为C 21C 62C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为C 73−C 51种 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为C 21C 52−C 51种 12. 以下四个关于圆锥曲线的命题，正确的有( )A. 焦点是(0,2)的抛物线的标准方程是x 2=8yB. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,√2)，其长轴长的取值范围是[2√5,6]，则该椭圆的离心率的取值范围是[√33,√22]C. 方程ax 2−5x +2=0的两个根可以分别作椭圆和双曲线的离心率的充要条件是0<a <3D. 双曲线x 29−y 28=1和椭圆x 24+y 23=1有相同的焦距三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若把英语单词“pear ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有______种．14.(1x−x)10的展开式中x4的系数为______．15.已知线段AB的长度为3，其两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M满足2AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则点M的轨迹方程为______．16.某校周五的课程表设计中，要求安排8节课(上午4节，下午4节)，分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻(注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻)，则周五的课程顺序的编排方法共有______种．(结果用数值表示)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.二项式(13x −x2)n展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍．求：(1)n；(2)展开式中的所有的有理项．18.已知直线l1：2x−y−1=0和l2：x−y+2=0的交点为P，求：(1)过点P且与直线l3：3x+y−2=0垂直的直线l的方程；(2)以点P为圆心，且与直线3x+4y+1=0相交所得弦长为12的圆的方程；(3)从下面①②两个问题中选一个作答，①若直线l过点(1,2)，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为92，求直线l的方程．②求圆心在直线3x−y=0上，与x轴相切，被直线x−y=0截得的弦长2√7的圆的方程．19.如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD=AB=2，M，N分别为AB，PC的中点，求证：(1)MN//平面PAD；(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值．20.已知椭圆C的标准方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若右焦点为F(√2,0)且离心率为√63．(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2相切且M，N，F三点共线，求线段|MN|的长．21.已知三棱柱ABC−A′B′C′中，面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′=3，E，F分别在棱AA′，CC′上，且AE=C′F=2．(Ⅰ)求证：BB′⊥底面ABC；(Ⅱ)在棱A′C′上找一点M，使得BM和面BEF所成角的余弦值为√588，并说明理由．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆C过点(−2,0)，离心率e=12，O为坐标原点，过F2且不平行于坐标轴的动直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．(1)求C的标准方程；(2)记直线OM的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：k1k2为定值．(3)y轴上是否存在点P，使得△ABP为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则8−mm−5=1，解得m=132，∴m的值为132．故选：C．根据两点的坐标写出斜率公式，求出m的值即可．本题考查了利用两点的坐标求斜率的应用问题，是基础题目．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x，y，再由平面向量坐标运算法则求出a⃗+b⃗ ，由此能求出|a⃗+b⃗ |.【解答】解：设x，y∈R，向量a⃗=(x,1,1)，b⃗ =(1,y,1)，c⃗=(2,−4,2)，且a⃗⊥c⃗，b⃗ //c⃗，∴{2x−4+2=012=y−4=12，解得x=1，y=−2，∴a⃗+b⃗ =(1,1,1)+(1,−2,1)=(2,−1,2)，∴|a⃗+b⃗ |=√4+1+4=3．故选：C．3.【答案】B【解析】解：从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，选法种数共有(2,1,3)，(2,1,5)，(2,3,5)，(4,1,3)，(4,1,5)，(4,3,5)六种，每一种选法可排列组成A66=6个无重复数字的三位数，故组成无重复数字的三位数的个数为：6×6=36个．故选：B．先求出选数的总个数，再把数字排序即可．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，考查了有条件限制排列，解答排列问题时要正确区分有重复排列和无重复排列，关键是做到不重不漏，此题是中低档题．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式的形式，要求准确记忆，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．先根据展开式的二项式系数之和求出n的值，然后利用二项式的展开式找出x的指数为1时r的值，从而可求出展开式中含x项的系数．【解答】解：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n=32，可得n=5，则二项式的展开式为T r+1=C5r x2(5−r)⋅x−r=C5r x10−3r，令10−3r=1解得r=3，∴展开式中含x项的系数是C53=10．故选C．5.【答案】D【解析】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=√5a，A1C1=√2a，∠A1BC1的余弦值为4，5故选：D．先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据面积求出ab=8，再根据基本不等式即可求解．【解答】x，解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y=±ba分别将x=a，代入可得y=±b，即D(a,b)，E(a,−b)，a×2b=ab=8，则S△ODE=12∴c2=a2+b2≥2ab=16，当且仅当a=b=2√2时取等号，∴C的焦距的最小值为2×4=8，故选：B．7.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有C62C42C22=90种分配方法，A错误；对于B，先将6本书分为4−1−1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有C64A33=90种分配方法，B错误；对于C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有C62C42种方法；其余2本分给丙丁，有A22种方法，所以不同的分配方法有C62C42A22=180种，C错误；对于D，先将6本书分为2−2−1−1的4组，再将4组分给甲乙丙丁四人，有C 62C 42C 21C 11A 22A 22×A 44=1080种分法，D 正确．故选：D ．根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：设双曲线的一条渐近线方程为y =ba x ，H 为AB 的中点，可得FH ⊥AB ，由F(c,0)到渐近线bx −ay =0的距离为FH =d =√a 2+b 2=b ， 所以BH =√a 2−b 2， 又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OH =3BH =3√a 2−b 2， 因为OH =√OF 2−HF 2=√c 2−b 2， 则3√a 2−b 2=√c 2−b 2， 整理可得9a 2−c 2=8b 2， 即9a 2−c 2=8c 2−8a 2， 则17a 2=9c 2，可得e 2=c 2a 2=179，故e =√173，所以双曲线C 的离心率为√173．故选：A ．设双曲线的一条渐近线方程为y =ba x ，H 为AB 的中点，可得FH ⊥AB ，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知H 为OA 的三等分点，用两种方式表示OH ，可得关于a ，b ，c 的方程组，结合b 2=c 2−a 2，即可求出双曲线的离心率．本题考查了双曲线标准方程的理解与应用，双曲线几何性质的应用，点到直线距离公式的运用，离心率定义的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：点P(0,1,2)到平面α的距离，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在平面α的法向量n ⃗ 上的投影的绝对值， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,2x,0)，平面α的法向量为n ⃗ =(−1,−2,2)， 则4=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |，即4=|−x 2−4x|3，解得x =2或x =−6．故选：AD ．求出PA⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后利用点到平面的计算公式列出等式，求解即可． 本题考查了点到面距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：对于二项式(2x −√x )9的展开式，可得各项二项式系数之和为29，故A 错误；令x =1，得各项系数之和为1，故B 正确；展开式共有10项，故二项式系数最大项是第5项和第6项，故C 错误；通项为T r+1=C 9r (2x)9−r √x)r=(−1)r ⋅29−r C 9r x9−32r ，令9−3r 2=0，求得r =6，故常数项为T 7=23C 96=672，故D 正确．故选：BD ．由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．11.【答案】AC【解析】解：对于A.若任意选择三门课程，选法总数为C 73种，可判断A 正确； 对于B.若物理和化学选一门，有C 21种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有C 52种选法，若物理和化学选两门，有C 22种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有C 51种选法 由分步乘法计数原理知，总数为C 21C 52+C 22C 51种选法，故 B 错误； 对于C.若物理和历史不能同时选，选法总数为C 73−C 22C 51=C 73−C 51种；对于D.若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有C 11C 42种选法；②选化学，不选物理，有C 11C 52种选法； ③物理与化学都选，有C 22C 41种选法， 故总数为C 11C 42+C 11C 52+C 22C 41=6+10+4=20种，故D 错误．故选：AC ．A .若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为C 73种，可判断A 正确；B.若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为C 21C 52+C 22C 51种，可判断B 错误；C.若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为C 73−C 51种，可判断C 正确；D.若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D 错误． 本题考查排列、组合及其简单的计数问题，考查分析运算能力，属于中档题．12.【答案】AC【解析】解：对于A ，焦点是(0,2)的抛物线的标准方程是x 2=2py =2×4y =8y ，故A 正确； 对于B ，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,√2)，则1a 2+2b 2=1， 则b 2=2a 2a 2−1，椭圆离心率e =ca=√c 2a 2=√a 2−b 2a 2=√a 2−2a 2a 2−1a 2=√a 2−3a 2−1=√1−2a 2−1，∵2a ∈[2√5,6]，∴a ∈[√5,3]，a 2−1∈[4,8]，则1−2a 2−1∈[12,34]，可得该椭圆的离心率的取值范围是[√22,√32]，故B 错误；对于C ，设ax 2−5x +2=0的两个根为x 1，x 2，令0<x 1<1，x 2>1， 则x 1−1<0，x 2−1>0，0，得0<a<3，则方程ax2−5x+2=0的两个根可以分别作椭圆和双曲线的离心率的充要条件是0<a<3，故C正确；对于D，双曲线x29−y28=1的焦距为2√17，椭圆x24+y23=1的焦距为2，故D错误．故选：AC．求出抛物线方程判断A；求出椭圆离心率的取值范围判断B；由方程ax2−5x+2=0的两个根可以分别作椭圆和双曲线的离心率，求解a的范围判断C；求出两圆锥曲线的焦距判断D．本题考查命题的真假判断与应用，考查圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】23【解析】解：根据题意，pear有四个不同字母，其不同的排列有A44=24种，而正确的排列只有一种，故可能出现的错误有24−1=23种，故答案为：23．利用概率与统计的知识，可以直接解出．本题考查了统计与概率，学生的逻辑推理能力，数学运算能力，属于基础题．14.【答案】−120【解析】解：(1x−x)10的展开式中通项公式为T r+1=C10r⋅(−1)r⋅x2r−10，令2r−10=4，求得r=7，可得展开式中x4的系数为−C107=−120，故答案为：−120．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】x24+y2=1【解析】解：设M(x,y)，由2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得A(3x2,0)，B(0,3y)， 由|AB|=3，得9x 24+9y 2=9，所以点M 的轨迹方程C 为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1．设动点M(x,y)，根据已知条件得到关于x ，y 的方程． 本题考查动点轨迹方程，属基础题．16.【答案】4800【解析】解：根据题意，分3步进行分析：①生物只能安排在第一节或最后一节，上午、下午有4节符合要求，则生物课的排法有4种，②数学和英语在安排时必须相邻，将数学、英语看成一个整体，有5个位置可选，则有5×A 22=10种情况，③将剩下的5门课程全排列，有A 55=120种情况， 则有4×10×120=4800种不同的排法； 故答案为：4800．分3步进行分析：①分析生物的排法数目，②分析数学英语相邻的排法的数目，③将剩下的5门课程全排列，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．17.【答案】解：(1)展开式的通项为T r+1=(−12)r C n r x 4r−n3，据题意有C n 4=4×(−12)2⋅C n 2，解得n =6；(2)展开式的通项为T r+1=(−12)r C 6r x 4r−63=(−12)r C 6r x4r3−2， 当r 是3的倍数时，为有理项， 所以r =0，3，6，T 1=x −2,T 4=−52x 2,T 7=x 664．【解析】(1)利用二项展开式的通项公式求出通项，求出第五项的二项式系数与第三项系数，列出方程求出n ．(2)将n 的值代入通项，当x 的指数为整数时，为有理项，令r =0，3，6求出展开式的有理项．解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．18.【答案】解：(1)∵直线l 1：2x −y −1=0和l 2：x −y +2=0的交点为P ，∴解方程组{2x −y −1=0x −y +2=0，得{x =3y =5，即P(3,5)，∵直线l 与直线l 3：3x +y −2=0垂直，∴l 的斜率k =−1k 3=13，∴过点P 且与直线l 3垂直的直线l 的方程为y −5=13(x −3)，即x −3y +12=0； (2)∵点P(3,5)到直线3x +4y +1=0的距离d =√32+42=305=6，设所求圆的半径为r ，由垂径定理得：弦长l =2√r 2−d 2=2√r 2−36=12，解得r 2=72， ∴所求圆的方程为(x −3)²+(y −5)²=72；(3)选①：设过点(1,2)，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为92的直线l 的斜率为k ，则k <0，∴l 的方程为y −2=k(x −1)，即kx −y −k +2=0， 它与两个坐标轴的交点分别为(0,2−k)，(k−2k,0)，则由12⋅(2−k)⋅k−2k=92，解得k =−1或k =−4，当k =−1时，直线l 的方程为x +y −3=0，当k =−4时，直线l 的方程为4x +y −6=0， 综上，直线l 的方程为x +y −3=0或4x +y −6=0； 选②：设所求圆的圆心为P(a,3a)，半径为R ， ∵该圆与x 轴相切，∴R =|3a|， 又圆心P(a,3a)到直线l 的距离d =√2，由垂径定理得：2√R 2−d 2=2√7，即R 2=7+2a 2=9a 2， 解得a =±1，R =3，∴圆心P 的坐标为(1,3)或(−1,−3)，∴所求圆的方程为(x −1)2+(y −3)2=9或(x +1)2+(y +3)2=9．【解析】(1)联立方程组{2x −y −1=0x −y +2=0，求出交点P 的坐标，根据直线l 与直线l 3垂直，求得直线l 的斜率，直线方程的由点斜式可求得直线l 的方程；(2)先利用点到直线间的距离公式求得点P(3,5)到直线3x +4y +1=0的距离d ，再根据垂径定理及弦长求得圆的半径，可得所求圆的方程；(3)选①：设所求直线的斜率为k ，则k <0，则l 的方程为kx −y −k +2=0，求得两坐标轴上的截距，表示出面积12⋅(2−k)⋅k−2k=92，解得k ，可得答案；选②：设所求圆的圆心为P(a,3a)，半径为R ，由直线和圆的位置关系和圆的弦长公式求解即可．本题考查直线与圆的位置关系，考查过两直线的交点的与已知方程垂直的方程的求法，考查弦长公式的应用，着重考查方程思想与运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取PD 中点Q ，连接AQ ，QN ，则QN//DC ，QN =12DC ，又因为AM//DC ，AM =12DC ，所以四边形AMNQ 为平行四边形， 所以MN//AQ ，因为MN ⊄平面PAD ，AQ ⊂平面PAD ， 所以MN//平面PAD ；(2)解：建立空间直角坐标系如图，因为PA =AD =AB =2，所以P(0,0,2)，D(0,2,0)，M(1,0,0)，C(2,2,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2)．设平面PMC 法向量为：n⃗ =(x,y,z)， 则n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得x =2z ，y =−z ，令z =1， 则n⃗ =(2,−1,1)． 设PD 与平面PMC 所成角为θ，则sinθ=|cos <PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√4+4⋅√4+1+1=√33．【解析】(1)取PD 中点Q ，连接AQ ，QN ，说明四边形AMNQ 为平行四边形，然后证明MN//平面PAD ；(2)建立空间直角坐标系求出平面PMC 法向量，PD 与平面PMC 所成角为θ，然后利用向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：(1)由题意可知，c =√2且e =c a =√63，∴a =√3，又∵b 2=a 2−c 2=1， ∴椭圆C 的方程：x 23+y 2=1．(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x =1，此时M ，N ，F 三点不共线，不符合题意， 当直线MN 的斜率存在时，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 因为M ，N ，F 三点共线，可设直线MN ：y =k(x −√2) 即kx −y −√2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1相切可得√2k|√k 2+1=1，解得k =±1，联立方程{y =±(x −√2)x 23+y 2=1，消去y 得4x 2−6√2x +3=0， ∴x 1+x 2=3√22，x 1x 2=34，∴|MN|=√1+1⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3．【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，涉及到韦达定理、弦长公式的应用，是中档题． (1)由题意可知，c =√2，e =c a=√63，从而求出a 的值，再结合b 2=a 2−c 2求出b 的值，从而得到椭圆C 的方程．(2)曲线为x 2+y 2=1，显然直线MN 的斜率存在，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，设直线MN ：y =k(x −√2)即kx −y −√2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1相切可求出k 的值，得到直线MN 的方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求出|MN|的值．21.【答案】解：(Ⅰ)如图，取BC 中点O ，连接AO ，因为三角形ABC 是等边三角形，所以AO ⊥BC ， 又因为面BCC′B′⊥底面ABC ，AO ⊂面ABC ，面BCC′B′∩面ABC =BC ，所以AO ⊥面BCC′B′，又BB′⊂面BCC′B′，所以AO ⊥BB′.又BB′⊥AC ，AO ∩AC =A ，AO ⊂面ABC ，AC ⊂面ABC ， 所以BB′⊥底面ABC ；(Ⅱ)取B′C′中点O′，∴OO′⊥底面ABC.分别以OC ，OA ，OO′为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则：B(−1,0,0),E(0,√3,2),F(1,0,1)，在A′C′上找一点M(a,√3(1−a),3)，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +1,√3(1−a),3),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)，设面BEF 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0⇒{x +√3y +2z =02x +z =0，不妨令x =1，则n ⃗ =(1,√3,−2)，∵BM 和面BEF 所成角的余弦值为√588，则|cos <n ⃗ ,BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√68， ∴|2a+2|√8√4a 2−4a+13=√68，解得a =12或a =−232(舍)，∴A′C′的中点符合题意．【解析】(Ⅰ)可取BC 的中点O ，并连接AO ，从而可得出AO ⊥BC ，进而得出AO ⊥平面(Ⅱ)可取B′C′的中点O′，连接OO′，然后分别以直线OC ，OA ，OO′为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后即可得出B ，E ，F 三点的坐标，并设M(a,√3(1−a),3)，进而得出BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +1,√3(1−a),3)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)，并设平面BEF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，根据{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0即可求出法向量n ⃗ =(1,√3,−2)，而根据题意即可得出|cos <n ⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√68，然后即可求出a 的值，从而可得出点M 的位置．本题考查了面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决线面角的问题的方法，平面法向量的坐标的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，(1)因为a =2，e =c a =12，所以c =1， 所以b =√a 2−c 2=√3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)证明：因为x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，所以x 12−x 224+y 12−y 223=0，即y 2−y 1x 2−x 1⋅y 1+y 2x 1+x 2=−34，因为M 为AB 的中点，所以k 1=y 1+y2x 1+x 2，所以k 1k 2=−34．(3)设直线l 的方程为y =k(x −1)，联立{x 24+y 23=1y =k(x −1)，得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，所以x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =−6k3+4k 2， 所以M 点的坐标为(4k 23+4k 2,−3k3+4k 2)，因为△ABP 为等边三角形，所以|MP|=√32|AB|，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(8k 23+4k 2)2−4×4k 2−123+4k 2=12(1+k 2)3+4k 2， |MP|=√1+1k 2|4k 23+4k 2−0|=4|k|√1+k 23+4k 2，即23k2+27=0，无解，所以不存在这样的点P．【解析】(1)由椭圆C过点(−2,0)，离心率e=12，列方程组，解得a，b，c，即可得出答案．(2)由于x124+y123=1，x224+y223=1，两式相减，利用点差法可得y2−y1x2−x1⋅y1+y2x1+x2=−34，由M为AB的中点，得到k1=y1+y2x1+x2，即可得出k1k2为定值．(3)设直线l的方程为y=k(x−1)，联立椭圆的方程，求出x1+x2，x1x2，y1+y2，由弦长公式可得|AB|，|MP|，进而得到M点坐标，由△ABP为等边三角形，得|MP|=√32|AB|，解方程，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题和直线与椭圆的综合，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
2022年-有答案-辽宁省沈阳市市级重点高中联合体高二(上)期末数学试卷
2022学年辽宁省沈阳市市级重点高中联合体高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是（）A.73B.37C.D.2. 已知向量＝(1, x, −2)，＝(0, 1, 2)，＝(1, 0, 0)，若，，共面，则x等于（）A.−1B.1C.1或−1D.1或03. 已知直线ax+y+1＝0及两点P(−2, 1)、Q(3, 2)，若直线与线段PQ的延长线相交（不含Q点），则实数a的取值范围是（）A.a<−1或a>1B.−1<a<−15C.15<a<1 D.−1<a<14. 已知C n+17−C n7=C n8，那么n的值是（）A.12B.13C.14D.155. 若直线y＝x+b与曲线y＝3−有2个公共点，则b的取值范围是（）A.[1−2，1+2]B.(1−2，−1]C.[3，1+2）D.[−1, 3]6. 某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A.120种B.156种C.188种D.240种7. 如图所示，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=√3x8. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60∘，∠BAC＝90∘，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2021-2022学年辽宁省沈阳市级重点高中协作校高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年辽宁省沈阳市级重点高中协作校高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值为()A. 5B. 8C. 132D. 72.设x，y∈R，向量a⃗=(x,1,1)，b⃗ =(1,y,1)，c⃗=(2,−4,2)，且a⃗⊥c⃗，b⃗ //c⃗，则|a⃗+b⃗ |=()A. 2√2B. √10C. 3D. 43.从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数的个数为()A. 48B. 36C. 24D. 184.已知二项式(x2+1x)n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是()A. 5B. 20C. 10D. 405.如图，正棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. 15B. 25C. 35D. 456.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A. 4B. 8C. 16D. 327.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是()A. 分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法B. 分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法C. 分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法D. 分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法8. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心，以a 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于A ，B 两点．若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为( )A. √173B. √153C. √113D. √73二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知平面α的法向量为n⃗ =(−1,−2,2)，点A(x 2,2x +1,2)为α内一点，若点P(0,1,2)到平面α的距离为4，则x 的值为( )A. 2B. 1C. −3D. −610. 关于二项式(2x −√x )9的展开式，下列结论正确的是( )A. 各项二项式系数之和为210B. 各项系数之和为1C. 只有第5项的二项式系数最大D. 常数项为67211. 高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有( )A. 若任意选择三门课程，选法总数为C 73种 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为C 21C 62C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为C 73−C 51种 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为C 21C 52−C 51种 12. 以下四个关于圆锥曲线的命题，正确的有( )A. 焦点是(0,2)的抛物线的标准方程是x 2=8yB. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,√2)，其长轴长的取值范围是[2√5,6]，则该椭圆的离心率的取值范围是[√33,√22]C. 方程ax 2−5x +2=0的两个根可以分别作椭圆和双曲线的离心率的充要条件是0<a <3D. 双曲线x 29−y 28=1和椭圆x 24+y 23=1有相同的焦距三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若把英语单词“pear ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有______种．14.(1x−x)10的展开式中x4的系数为______．15.已知线段AB的长度为3，其两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M满足2AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则点M的轨迹方程为______．16.某校周五的课程表设计中，要求安排8节课(上午4节，下午4节)，分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻(注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻)，则周五的课程顺序的编排方法共有______种．(结果用数值表示)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.二项式(13x −x2)n展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍．求：(1)n；(2)展开式中的所有的有理项．18.已知直线l1：2x−y−1=0和l2：x−y+2=0的交点为P，求：(1)过点P且与直线l3：3x+y−2=0垂直的直线l的方程；(2)以点P为圆心，且与直线3x+4y+1=0相交所得弦长为12的圆的方程；(3)从下面①②两个问题中选一个作答，①若直线l过点(1,2)，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为92，求直线l的方程．②求圆心在直线3x−y=0上，与x轴相切，被直线x−y=0截得的弦长2√7的圆的方程．19.如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD=AB=2，M，N分别为AB，PC的中点，求证：(1)MN//平面PAD；(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值．20.已知椭圆C的标准方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若右焦点为F(√2,0)且离心率为√63．(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2相切且M，N，F三点共线，求线段|MN|的长．21.已知三棱柱ABC−A′B′C′中，面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′=3，E，F分别在棱AA′，CC′上，且AE=C′F=2．(Ⅰ)求证：BB′⊥底面ABC；(Ⅱ)在棱A′C′上找一点M，使得BM和面BEF所成角的余弦值为√588，并说明理由．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆C过点(−2,0)，离心率e=12，O为坐标原点，过F2且不平行于坐标轴的动直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．(1)求C的标准方程；(2)记直线OM的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：k1k2为定值．(3)y轴上是否存在点P，使得△ABP为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则8−mm−5=1，解得m=132，∴m的值为132．故选：C．根据两点的坐标写出斜率公式，求出m的值即可．本题考查了利用两点的坐标求斜率的应用问题，是基础题目．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x，y，再由平面向量坐标运算法则求出a⃗+b⃗ ，由此能求出|a⃗+b⃗ |.【解答】解：设x，y∈R，向量a⃗=(x,1,1)，b⃗ =(1,y,1)，c⃗=(2,−4,2)，且a⃗⊥c⃗，b⃗ //c⃗，∴{2x−4+2=012=y−4=12，解得x=1，y=−2，∴a⃗+b⃗ =(1,1,1)+(1,−2,1)=(2,−1,2)，∴|a⃗+b⃗ |=√4+1+4=3．故选：C．3.【答案】B【解析】解：从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，选法种数共有(2,1,3)，(2,1,5)，(2,3,5)，(4,1,3)，(4,1,5)，(4,3,5)六种，每一种选法可排列组成A66=6个无重复数字的三位数，故组成无重复数字的三位数的个数为：6×6=36个．故选：B．先求出选数的总个数，再把数字排序即可．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，考查了有条件限制排列，解答排列问题时要正确区分有重复排列和无重复排列，关键是做到不重不漏，此题是中低档题．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式的形式，要求准确记忆，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．先根据展开式的二项式系数之和求出n的值，然后利用二项式的展开式找出x的指数为1时r的值，从而可求出展开式中含x项的系数．【解答】解：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n=32，可得n=5，则二项式的展开式为T r+1=C5r x2(5−r)⋅x−r=C5r x10−3r，令10−3r=1解得r=3，∴展开式中含x项的系数是C53=10．故选C．5.【答案】D【解析】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=√5a，A1C1=√2a，∠A1BC1的余弦值为4，5故选：D．先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据面积求出ab=8，再根据基本不等式即可求解．【解答】x，解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y=±ba分别将x=a，代入可得y=±b，即D(a,b)，E(a,−b)，a×2b=ab=8，则S△ODE=12∴c2=a2+b2≥2ab=16，当且仅当a=b=2√2时取等号，∴C的焦距的最小值为2×4=8，故选：B．7.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有C62C42C22=90种分配方法，A错误；对于B，先将6本书分为4−1−1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有C64A33=90种分配方法，B错误；对于C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有C62C42种方法；其余2本分给丙丁，有A22种方法，所以不同的分配方法有C62C42A22=180种，C错误；对于D，先将6本书分为2−2−1−1的4组，再将4组分给甲乙丙丁四人，有C 62C 42C 21C 11A 22A 22×A 44=1080种分法，D 正确．故选：D ．根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：设双曲线的一条渐近线方程为y =ba x ，H 为AB 的中点，可得FH ⊥AB ，由F(c,0)到渐近线bx −ay =0的距离为FH =d =√a 2+b 2=b ， 所以BH =√a 2−b 2， 又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OH =3BH =3√a 2−b 2， 因为OH =√OF 2−HF 2=√c 2−b 2， 则3√a 2−b 2=√c 2−b 2， 整理可得9a 2−c 2=8b 2， 即9a 2−c 2=8c 2−8a 2， 则17a 2=9c 2，可得e 2=c 2a 2=179，故e =√173，所以双曲线C 的离心率为√173．故选：A ．设双曲线的一条渐近线方程为y =ba x ，H 为AB 的中点，可得FH ⊥AB ，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知H 为OA 的三等分点，用两种方式表示OH ，可得关于a ，b ，c 的方程组，结合b 2=c 2−a 2，即可求出双曲线的离心率．本题考查了双曲线标准方程的理解与应用，双曲线几何性质的应用，点到直线距离公式的运用，离心率定义的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：点P(0,1,2)到平面α的距离，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在平面α的法向量n ⃗ 上的投影的绝对值， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,2x,0)，平面α的法向量为n ⃗ =(−1,−2,2)， 则4=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |，即4=|−x 2−4x|3，解得x =2或x =−6．故选：AD ．求出PA⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后利用点到平面的计算公式列出等式，求解即可． 本题考查了点到面距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：对于二项式(2x −√x )9的展开式，可得各项二项式系数之和为29，故A 错误；令x =1，得各项系数之和为1，故B 正确；展开式共有10项，故二项式系数最大项是第5项和第6项，故C 错误；通项为T r+1=C 9r (2x)9−r √x)r=(−1)r ⋅29−r C 9r x9−32r ，令9−3r 2=0，求得r =6，故常数项为T 7=23C 96=672，故D 正确．故选：BD ．由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．11.【答案】AC【解析】解：对于A.若任意选择三门课程，选法总数为C 73种，可判断A 正确； 对于B.若物理和化学选一门，有C 21种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有C 52种选法，若物理和化学选两门，有C 22种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有C 51种选法 由分步乘法计数原理知，总数为C 21C 52+C 22C 51种选法，故 B 错误； 对于C.若物理和历史不能同时选，选法总数为C 73−C 22C 51=C 73−C 51种；对于D.若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有C 11C 42种选法；②选化学，不选物理，有C 11C 52种选法； ③物理与化学都选，有C 22C 41种选法， 故总数为C 11C 42+C 11C 52+C 22C 41=6+10+4=20种，故D 错误．故选：AC ．A .若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为C 73种，可判断A 正确；B.若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为C 21C 52+C 22C 51种，可判断B 错误；C.若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为C 73−C 51种，可判断C 正确；D.若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D 错误． 本题考查排列、组合及其简单的计数问题，考查分析运算能力，属于中档题．12.【答案】AC【解析】解：对于A ，焦点是(0,2)的抛物线的标准方程是x 2=2py =2×4y =8y ，故A 正确； 对于B ，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,√2)，则1a 2+2b 2=1， 则b 2=2a 2a 2−1，椭圆离心率e =ca=√c 2a 2=√a 2−b 2a 2=√a 2−2a 2a 2−1a 2=√a 2−3a 2−1=√1−2a 2−1，∵2a ∈[2√5,6]，∴a ∈[√5,3]，a 2−1∈[4,8]，则1−2a 2−1∈[12,34]，可得该椭圆的离心率的取值范围是[√22,√32]，故B 错误；对于C ，设ax 2−5x +2=0的两个根为x 1，x 2，令0<x 1<1，x 2>1， 则x 1−1<0，x 2−1>0，0，得0<a<3，则方程ax2−5x+2=0的两个根可以分别作椭圆和双曲线的离心率的充要条件是0<a<3，故C正确；对于D，双曲线x29−y28=1的焦距为2√17，椭圆x24+y23=1的焦距为2，故D错误．故选：AC．求出抛物线方程判断A；求出椭圆离心率的取值范围判断B；由方程ax2−5x+2=0的两个根可以分别作椭圆和双曲线的离心率，求解a的范围判断C；求出两圆锥曲线的焦距判断D．本题考查命题的真假判断与应用，考查圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】23【解析】解：根据题意，pear有四个不同字母，其不同的排列有A44=24种，而正确的排列只有一种，故可能出现的错误有24−1=23种，故答案为：23．利用概率与统计的知识，可以直接解出．本题考查了统计与概率，学生的逻辑推理能力，数学运算能力，属于基础题．14.【答案】−120【解析】解：(1x−x)10的展开式中通项公式为T r+1=C10r⋅(−1)r⋅x2r−10，令2r−10=4，求得r=7，可得展开式中x4的系数为−C107=−120，故答案为：−120．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】x24+y2=1【解析】解：设M(x,y)，由2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得A(3x2,0)，B(0,3y)， 由|AB|=3，得9x 24+9y 2=9，所以点M 的轨迹方程C 为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1．设动点M(x,y)，根据已知条件得到关于x ，y 的方程． 本题考查动点轨迹方程，属基础题．16.【答案】4800【解析】解：根据题意，分3步进行分析：①生物只能安排在第一节或最后一节，上午、下午有4节符合要求，则生物课的排法有4种，②数学和英语在安排时必须相邻，将数学、英语看成一个整体，有5个位置可选，则有5×A 22=10种情况，③将剩下的5门课程全排列，有A 55=120种情况， 则有4×10×120=4800种不同的排法； 故答案为：4800．分3步进行分析：①分析生物的排法数目，②分析数学英语相邻的排法的数目，③将剩下的5门课程全排列，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．17.【答案】解：(1)展开式的通项为T r+1=(−12)r C n r x 4r−n3，据题意有C n 4=4×(−12)2⋅C n 2，解得n =6；(2)展开式的通项为T r+1=(−12)r C 6r x 4r−63=(−12)r C 6r x4r3−2， 当r 是3的倍数时，为有理项， 所以r =0，3，6，T 1=x −2,T 4=−52x 2,T 7=x 664．【解析】(1)利用二项展开式的通项公式求出通项，求出第五项的二项式系数与第三项系数，列出方程求出n ．(2)将n 的值代入通项，当x 的指数为整数时，为有理项，令r =0，3，6求出展开式的有理项．解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．18.【答案】解：(1)∵直线l 1：2x −y −1=0和l 2：x −y +2=0的交点为P ，∴解方程组{2x −y −1=0x −y +2=0，得{x =3y =5，即P(3,5)，∵直线l 与直线l 3：3x +y −2=0垂直，∴l 的斜率k =−1k 3=13，∴过点P 且与直线l 3垂直的直线l 的方程为y −5=13(x −3)，即x −3y +12=0； (2)∵点P(3,5)到直线3x +4y +1=0的距离d =√32+42=305=6，设所求圆的半径为r ，由垂径定理得：弦长l =2√r 2−d 2=2√r 2−36=12，解得r 2=72， ∴所求圆的方程为(x −3)²+(y −5)²=72；(3)选①：设过点(1,2)，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为92的直线l 的斜率为k ，则k <0，∴l 的方程为y −2=k(x −1)，即kx −y −k +2=0， 它与两个坐标轴的交点分别为(0,2−k)，(k−2k,0)，则由12⋅(2−k)⋅k−2k=92，解得k =−1或k =−4，当k =−1时，直线l 的方程为x +y −3=0，当k =−4时，直线l 的方程为4x +y −6=0， 综上，直线l 的方程为x +y −3=0或4x +y −6=0； 选②：设所求圆的圆心为P(a,3a)，半径为R ， ∵该圆与x 轴相切，∴R =|3a|， 又圆心P(a,3a)到直线l 的距离d =√2，由垂径定理得：2√R 2−d 2=2√7，即R 2=7+2a 2=9a 2， 解得a =±1，R =3，∴圆心P 的坐标为(1,3)或(−1,−3)，∴所求圆的方程为(x −1)2+(y −3)2=9或(x +1)2+(y +3)2=9．【解析】(1)联立方程组{2x −y −1=0x −y +2=0，求出交点P 的坐标，根据直线l 与直线l 3垂直，求得直线l 的斜率，直线方程的由点斜式可求得直线l 的方程；(2)先利用点到直线间的距离公式求得点P(3,5)到直线3x +4y +1=0的距离d ，再根据垂径定理及弦长求得圆的半径，可得所求圆的方程；(3)选①：设所求直线的斜率为k ，则k <0，则l 的方程为kx −y −k +2=0，求得两坐标轴上的截距，表示出面积12⋅(2−k)⋅k−2k=92，解得k ，可得答案；选②：设所求圆的圆心为P(a,3a)，半径为R ，由直线和圆的位置关系和圆的弦长公式求解即可．本题考查直线与圆的位置关系，考查过两直线的交点的与已知方程垂直的方程的求法，考查弦长公式的应用，着重考查方程思想与运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取PD 中点Q ，连接AQ ，QN ，则QN//DC ，QN =12DC ，又因为AM//DC ，AM =12DC ，所以四边形AMNQ 为平行四边形， 所以MN//AQ ，因为MN ⊄平面PAD ，AQ ⊂平面PAD ， 所以MN//平面PAD ；(2)解：建立空间直角坐标系如图，因为PA =AD =AB =2，所以P(0,0,2)，D(0,2,0)，M(1,0,0)，C(2,2,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2)．设平面PMC 法向量为：n⃗ =(x,y,z)， 则n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得x =2z ，y =−z ，令z =1， 则n⃗ =(2,−1,1)． 设PD 与平面PMC 所成角为θ，则sinθ=|cos <PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√4+4⋅√4+1+1=√33．【解析】(1)取PD 中点Q ，连接AQ ，QN ，说明四边形AMNQ 为平行四边形，然后证明MN//平面PAD ；(2)建立空间直角坐标系求出平面PMC 法向量，PD 与平面PMC 所成角为θ，然后利用向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：(1)由题意可知，c =√2且e =c a =√63，∴a =√3，又∵b 2=a 2−c 2=1， ∴椭圆C 的方程：x 23+y 2=1．(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x =1，此时M ，N ，F 三点不共线，不符合题意， 当直线MN 的斜率存在时，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 因为M ，N ，F 三点共线，可设直线MN ：y =k(x −√2) 即kx −y −√2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1相切可得√2k|√k 2+1=1，解得k =±1，联立方程{y =±(x −√2)x 23+y 2=1，消去y 得4x 2−6√2x +3=0， ∴x 1+x 2=3√22，x 1x 2=34，∴|MN|=√1+1⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3．【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，涉及到韦达定理、弦长公式的应用，是中档题． (1)由题意可知，c =√2，e =c a=√63，从而求出a 的值，再结合b 2=a 2−c 2求出b 的值，从而得到椭圆C 的方程．(2)曲线为x 2+y 2=1，显然直线MN 的斜率存在，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，设直线MN ：y =k(x −√2)即kx −y −√2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1相切可求出k 的值，得到直线MN 的方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求出|MN|的值．21.【答案】解：(Ⅰ)如图，取BC 中点O ，连接AO ，因为三角形ABC 是等边三角形，所以AO ⊥BC ， 又因为面BCC′B′⊥底面ABC ，AO ⊂面ABC ，面BCC′B′∩面ABC =BC ，所以AO ⊥面BCC′B′，又BB′⊂面BCC′B′，所以AO ⊥BB′.又BB′⊥AC ，AO ∩AC =A ，AO ⊂面ABC ，AC ⊂面ABC ， 所以BB′⊥底面ABC ；(Ⅱ)取B′C′中点O′，∴OO′⊥底面ABC.分别以OC ，OA ，OO′为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则：B(−1,0,0),E(0,√3,2),F(1,0,1)，在A′C′上找一点M(a,√3(1−a),3)，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +1,√3(1−a),3),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)，设面BEF 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0⇒{x +√3y +2z =02x +z =0，不妨令x =1，则n ⃗ =(1,√3,−2)，∵BM 和面BEF 所成角的余弦值为√588，则|cos <n ⃗ ,BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√68， ∴|2a+2|√8√4a 2−4a+13=√68，解得a =12或a =−232(舍)，∴A′C′的中点符合题意．【解析】(Ⅰ)可取BC 的中点O ，并连接AO ，从而可得出AO ⊥BC ，进而得出AO ⊥平面(Ⅱ)可取B′C′的中点O′，连接OO′，然后分别以直线OC ，OA ，OO′为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后即可得出B ，E ，F 三点的坐标，并设M(a,√3(1−a),3)，进而得出BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +1,√3(1−a),3)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)，并设平面BEF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，根据{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0即可求出法向量n ⃗ =(1,√3,−2)，而根据题意即可得出|cos <n ⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√68，然后即可求出a 的值，从而可得出点M 的位置．本题考查了面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决线面角的问题的方法，平面法向量的坐标的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，(1)因为a =2，e =c a =12，所以c =1， 所以b =√a 2−c 2=√3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)证明：因为x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，所以x 12−x 224+y 12−y 223=0，即y 2−y 1x 2−x 1⋅y 1+y 2x 1+x 2=−34，因为M 为AB 的中点，所以k 1=y 1+y2x 1+x 2，所以k 1k 2=−34．(3)设直线l 的方程为y =k(x −1)，联立{x 24+y 23=1y =k(x −1)，得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，所以x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =−6k3+4k 2， 所以M 点的坐标为(4k 23+4k 2,−3k3+4k 2)，因为△ABP 为等边三角形，所以|MP|=√32|AB|，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(8k 23+4k 2)2−4×4k 2−123+4k 2=12(1+k 2)3+4k 2， |MP|=√1+1k 2|4k 23+4k 2−0|=4|k|√1+k 23+4k 2，即23k2+27=0，无解，所以不存在这样的点P．【解析】(1)由椭圆C过点(−2,0)，离心率e=12，列方程组，解得a，b，c，即可得出答案．(2)由于x124+y123=1，x224+y223=1，两式相减，利用点差法可得y2−y1x2−x1⋅y1+y2x1+x2=−34，由M为AB的中点，得到k1=y1+y2x1+x2，即可得出k1k2为定值．(3)设直线l的方程为y=k(x−1)，联立椭圆的方程，求出x1+x2，x1x2，y1+y2，由弦长公式可得|AB|，|MP|，进而得到M点坐标，由△ABP为等边三角形，得|MP|=√32|AB|，解方程，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题和直线与椭圆的综合，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为（）A．y=﹣1 B．x=﹣1 C．D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1＞0B．命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题C．设x∈R，则2+x≥0是﹣1≤x≤3的充分不必要条件D．∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy=0，则x≠0 3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点，这样的直线共有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）（x2+3x+2）6展开式中x的系数为（）A．92 B．576 C．192 D．3848．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：x2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数来产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.14210．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）A．B．C． D．11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC 的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）A．﹣4 B．C．4 D．612．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）A．②③B．①④C．①③D．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为．14．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为．15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线x2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，命题P：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：x+6=0的距离小2．（1）求点M的轨迹方程；（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失x∈[0，2000]则取x=1000，且x=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计附：临界值表参考公式：．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63521．（12分）已知椭圆T：的离心率为，若椭圆T与圆=1相交于M，N两点，且圆P在椭圆T内的弧长为π．（1）求a，b的值；（2）过椭圆T的中心作两条直线AC，BD交椭圆T于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为k1，BD的斜率为k2，且k1k2=．①求直线AB的斜率；②求四边形ABCD面积的取值范围．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P 在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为（）A．y=﹣1 B．x=﹣1 C．D．【解答】解：抛物线x2=2y的准线方程为：y=﹣，故选：D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1＞0B．命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题C．设x∈R，则2+x≥0是﹣1≤x≤3的充分不必要条件D．∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy=0，则x≠0【解答】解：对于A，命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故A错误；对于B，命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1的逆否命题为：已知x，y∈R，若x=2且y=1，则x+y=3，是真命题，则原命题是真命题，故B 正确；对于C，设x∈R，由2+x≥0，得x≥﹣2，当x=4时，不满足﹣1≤x≤3，故C错误；对于D，∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy≠0，则x≠0，故D错误．故选：B．3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点，这样的直线共有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【解答】解：由题意可知点（﹣2，﹣4）在抛物线y2=﹣8x上，故过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点时只能是：i）过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x相切，ii）过点（﹣2，﹣4）且平行于对称轴．故选：C．4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即ax±by=0∵双曲线一个焦点到一条渐近线的距离为，∴右焦点F（0，c）到渐近线ax±by=0的距离d==，解之得b=，即，化简得c2=a2因此，该双曲线的标准离心率为e==故选：C．5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，设事件A表示“其中一枚为5角硬币”，事件B表示“另一枚也是5角硬币”，则P（A）=1﹣=，P（AB）==，∴其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为：P（B|A）===．故选：D．6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B袋中，小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，小球落入A袋中的概率为：P（A）=1﹣P（B）=1﹣（）=．故选：D．7．（5分）（x2+3x+2）6展开式中x的系数为（）A．92 B．576 C．192 D．384【解答】解：（x2+3x+2）6 表示6个因式开式（x2+3x+2）的乘积，其中一个因式取3x，其余的都取2，可得展开式中x的系数为•3•25=576，故选：B．8．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：x2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设N（x0，y0），由题意可得M（0，y0），设P（x，y），由点P满足，可得（x，y﹣y0）=（x0，0），可得x=x0，y=y0，即有x0=2x，y0=y，代入圆C：x2+y2=8，可得．即有点P的轨迹方程为．故选：B．9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数来产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.142【解答】解：x2+y2+z2＜1发生的概率为π×13×=，当输出结果为524时，i=1001，m=527，x2+y2+z2＜1发生的概率为P=，∴=，即π=3.144，故选：A．10．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）A．B．C． D．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（，0），∵直线l倾斜角为30°，∴直线l的方程为：y﹣0=（x﹣）．设直线与抛物线的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），∴|AF|=x1+，|BF|=x2+，联立方程组，消去y并整理，得4x2﹣28px+p2=0，解得x1=p，x2=p，或x2=p，x1=p，当x1=p，x2=p时，∴|AF|=x1+=（4+2）p，|BF|=x2+=（4﹣2）p，∴|AF|：|BF|==7+4，当x2=p，x1=p时，∴|AF|：|BF|==7﹣4，故选：C．11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC 的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）A．﹣4 B．C．4 D．6【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0．由A，B在双曲线，则，相减可得=×=×=×，∴k AB=，即=2k OD．同理可得=2k OE，=2k OF．∴=2（k OD+k OE+k OF）=2×（﹣2）=﹣4．故选A．12．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）A．②③B．①④C．①③D．②④【解答】解：由图可知a2＞a1、c2＞c1，从而a1+c1＜a2+c2；根据a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|可知a1﹣c1=a2﹣c2∴①正确，②不正确．∴a1+c2=a2+c1，∴（a1+c2）2=（a2+c1）2，即a12﹣c12+2a1c2=a22﹣c22+2a2c1，∴b12+2a1c2=b22+2a2c1，∵b1＜b2，∴c1a2＜a1c2，∴③不正确；此时④，∴④正确．故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为91．【解答】解：样本间隔为2000÷100=20，则抽出的号码为11+20（x﹣1），则第五组号码为11+20×4=91，故答案为：91．14．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为．【解答】解：椭圆的焦点为（±5，0），双曲线的焦点坐标在x轴上．则双曲线的c=5，即a2+b2=25，由双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，则3b=4a，解得，a=3，b=4．则双曲线的方程为．故答案为：．15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．【解答】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，﹣b）、=（﹣c，﹣b），由∠B1PB2为钝角知道与的数量积大于0，所以有：﹣ac+b2＞0，把b2=a2﹣c2代入不等式得：a2﹣ac﹣c2＞0，除以a2得1﹣e﹣e2＞0，即e2+e﹣1＞0，解得，又0＜e＜1，所以0＜e＜，故答案为：．16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线x2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=﹣8．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），存在满足条件的点P（0，m），直线l：y=tx+m，有，消y可得x2+16tx+16m=0，由△=162t2﹣4×16m＞0可得4t﹣m＞0∴x1+x2=﹣16t，x1x2=16m，∴|AP|2=x12+（y1﹣m）2=x12+t2x12=（1+t2）x12，|BP|2=x22+（y2﹣m）2=（1+t2）x22，∴=+=•=•当m=﹣8时，为定值，故答案为：﹣8．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，命题P：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若q为真命题时：（a+1）（a﹣2）＜0，∴﹣1＜a＜2，∴a∈（﹣1，2）；（2）若p为真命题时：a≤（x2）min x∈[1，2]，∴a≤1，p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，即或，解得1＜a＜2或a≤﹣1，∴a的范围为（1，2）∪（﹣∞，﹣1]．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）第一组学生身高的中位数为，第二组学生身高的中位数为；（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A，，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为；（3）X的可能取值为0，1，2，3，，，，∴X的分布列为X0123P．19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：x+6=0的距离小2．（1）求点M的轨迹方程；（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．【解答】解：（1）由题意知动点M到（4，0）的距离比它到直线l：x=﹣6的距离小2，即动点M到（4，0）的距离与它到直线x=﹣4的距离相等，由抛物线定义可知动点M的轨迹为以（4，0）为焦点的抛物线，则点M的轨迹方程为y2=16x；（2）法一：由题意知直线AB的斜率显然不能为0，设直线AB的方程为x=ty+m（m≠0）A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去x，可得y2﹣16ty﹣16m=0，△＞0即4t2+m＞0，y1+y2=16t，y1y2=﹣16m，，由题意知OA⊥OB，即，则x1x2+y1y2=0，∴m2﹣16m=0，∵m≠0，∴m=16，∴直线AB的方程为x=ty+16，∴直线AB过定点，且定点坐标为（16，0）；法二：假设存在定点，设定点P（x0，0），A（x1，y1），B（x2，y2）（y1y2≠0），∵OA⊥OB，∴，∴x1x2+y1y2=0，又∵A、B在抛物线上，即代入上式，可得，∴y1y2=﹣256，又∵A、B、P三点共线，∴，∴，∴假设成立，直线AB经过x轴的定点，坐标为（16，0）．20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失x∈[0，2000]则取x=1000，且x=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计附：临界值表参考公式：．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【解答】（1）由题意可知P（x=1000）=0.3，P（x=3000）=0.5，P（x=5000）=0.2，ξ的所有可能取值为2000，4000，6000，8000，10000，，P（ξ=10000）=0.22=0.04，所以ξ的分布列为ξ200040006000800010000 P0.090.300.370.200.04 E（ξ）=2000×0.09+4000×0.30+6000×0.37+8000×0.20+10000×0.04=5600元（2）经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30434捐款不超过500元10616合计401050，∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．21．（12分）已知椭圆T ：的离心率为，若椭圆T 与圆=1相交于M，N两点，且圆P在椭圆T 内的弧长为π．（1）求a，b的值；（2）过椭圆T的中心作两条直线AC，BD交椭圆T于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为k1，BD的斜率为k2，且k1k2=．①求直线AB的斜率；②求四边形ABCD面积的取值范围．【解答】解：（1）由圆P在椭圆T 内的弧长为，则该弧所对的圆心角为，M、N 的坐标分别为，设c2=a2+b2，由可得，∴a2=4b2，则椭圆方程可记为+=1，将点（﹣1，）代入得，∴b2=1，a2=4，∵a＞b＞0，∴a=2，b=1；（2）①由（1）知椭圆方程可记为，由题意知直线AB的斜率显然存在，设直线AB的方程为：y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0，即16（1+4k2﹣m2）＞0，∴，∴，∵，∴，即x1x2=4y1y2，∴4k2=1，∴k=±；②，O到直线AB的距离，四边形ABCD面积，∵m2∈（0，1）∪（1，2），∴四边形ABCD面积S∈（0，4）．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P 在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．【解答】解：（1）设点P的极坐标（ρ，θ）（ρ＞0），点M的极坐标（ρ1，θ）（ρ1＞0），由题意可知，由|OP||OM|=4得曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ（ρ＞0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1（y≠0）；（2）法一：由直线的参数方程可知，直线l过原点且倾角为α，则直线l极坐标方程为θ=α，联立，∴A（2sinα，α），∴，∴或，∴或，∴直线l得斜率为或；法二：由题意分析可知直线l的斜率一定存在，且由直线l的参数方程可得，直线l过原点，设直线l的普通方程为y=kx，∴C2到l的距离，可得，∴直线l得斜率为或．。