托马斯微积分课件7.7 Improper Integrals
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托马斯微积分第13版第七章答案
(b)
(c)
df dx x 1
2, dx
df 1 x 1
1 2
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CHAPTER 7 TRANSCENDENTAL FUNCTIONS
7.1 INVERSE FUNCTIONS AND THEIR DERIVATIVES 1. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 2. Not one-to-one, the graph fails the horizontal line test. 3. Not one-to-one since (for example) the horizontal line y 2 intersects the graph twice. 4. Not one-to-one, the graph fails the horizontal line test. 5. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 6. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 7. Not one-to one since the horizontal line y 3 intersects the graph an infinite number of times. 8. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 9. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 10. Not one-to one since (for example) the horizontal line y 1 intersects the graph twice. 11. Domain: 0 x 1, Range: 0 y 12. Domain: x 1, Range: y 0
托马斯微积分
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 9
Figure 2.40: Example 3 shows how to find equations for the tangent and normal to the curve at (2, 4).
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 15
Figure 2.51: The position of the curve y = (a h – 1) /h, a > 0, varies continuously with a.
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 8
Figure 2.39: The graph of y2 = x2 + sin xy in Example 2. The example shows how to find slopes on this implicitly defined curve.
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Figure 2.40: Example 3 shows how to find equations for the tangent and normal to the curve at (2, 4).
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Figure 2.51: The position of the curve y = (a h – 1) /h, a > 0, varies continuously with a.
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Figure 2.39: The graph of y2 = x2 + sin xy in Example 2. The example shows how to find slopes on this implicitly defined curve.
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托马斯微积分课件2.6 Implicit Differentiation
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p 1 p q q 1
qy
q 1
y px
p 1
p 1 q 1 y px qy
p x q
p p 1 p q
p x q
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p 1 q
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Exercises
P204 19, 20, 32, 33, 40, 43. P205 46. P206 56.
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2.6
Implicit Differentiation
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2.6.1 Implicitly Defined Functions 2.6.2 Derivatives of Higher Order 2.6.3 Rational Powers of Differentiable Functions
12 x 6 y y y y 0
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2.6.3
Rational Powers of Differentiable Functions
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பைடு நூலகம்
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Let y x p q , we have
yq x p .
px q x p p 1 p q 1 q x x q
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隐函数求导方法
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ) (含导数 y 的方程)
8.4 非负项级数 托马斯微积分
p
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
前面比值审敛法中的例题请自行练习！
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正项级数审敛法要注意的地方
• 首先判断是正项级数; • 所有审敛法都是充分条件，不是必要的。 就是说满足条件的情况下你可以进行判 断，但是当条件不满足时,不能判断发散 或收敛,而需要更加精密的法则或直接用 定义进行判定。
即
1
( ) n un ( ) n
1
1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
1 1 ( n ) un n n
a
n 1
n
为非负项/正项级数 . 收敛
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
部分和数列
正项级数审敛法的基础 收敛 , 故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n 1
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是两个正项级数, (1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l 0 且 vn 收敛时, (3) 当 l 且 vn 发散时, 也收敛 ; 也发散 .
1 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n un 发散 0l lim n p un l n p 1, 0 l un 收敛
微积分学PPt标准课件23-第23讲微积分的基本公式
F ( x 0 ) x l x 0 iF ( m x x ) F x 0 ( x 0 ) x l x 0 i F ( m ) x l x 0 if( m ) I,
由 I f ( x 0 ) , 于 故 F ( x 0 ) f ( x 0 ) .
(在端点处是指的 左右导数 )
例1
(
x
cotsdt
)
d
x
costdt cx o . s
a
dx a
F(x)
x
(acoxsdx)?
定积分与积分变量的记号无关.
( xcoxdsx)cox.s a
例2
设 F (x )x 2 s1 i t n 2 )d t( ,求 F (x ). 0
积分上限函数是否可导?
由 F (x x ) F (x )x xf( t)d t, x
如果 f(x)C(a [,b])则 , 由积分,中 得值定
x x
F ( x x ) F ( x ) f( t) d t f() x , x (在 x与 xx之) 间
都是 f(x)si2nx的原.函数
验 F (x 证 ) G (x ) C : s2 i x n ( c2 x o ) s s2 i x n c2 x o 1 s
即C1.
定理 若f(x)在区I间 上的原函, 数 则存 它在
的任意两个原仅 函相 数差 之一 间个 . 常数
若 F(x)为 f(x)的一个,则 原它 函的 数所 有原函数可 F(表 x)C 示 的为 形. 式
第五章 一元函数积分学
第二节 微积分的基本公式
一. 积分上限函数 二. 微积分基本公式
一. 积分上限函数 (变上限的定积分)
由 I f ( x 0 ) , 于 故 F ( x 0 ) f ( x 0 ) .
(在端点处是指的 左右导数 )
例1
(
x
cotsdt
)
d
x
costdt cx o . s
a
dx a
F(x)
x
(acoxsdx)?
定积分与积分变量的记号无关.
( xcoxdsx)cox.s a
例2
设 F (x )x 2 s1 i t n 2 )d t( ,求 F (x ). 0
积分上限函数是否可导?
由 F (x x ) F (x )x xf( t)d t, x
如果 f(x)C(a [,b])则 , 由积分,中 得值定
x x
F ( x x ) F ( x ) f( t) d t f() x , x (在 x与 xx之) 间
都是 f(x)si2nx的原.函数
验 F (x 证 ) G (x ) C : s2 i x n ( c2 x o ) s s2 i x n c2 x o 1 s
即C1.
定理 若f(x)在区I间 上的原函, 数 则存 它在
的任意两个原仅 函相 数差 之一 间个 . 常数
若 F(x)为 f(x)的一个,则 原它 函的 数所 有原函数可 F(表 x)C 示 的为 形. 式
第五章 一元函数积分学
第二节 微积分的基本公式
一. 积分上限函数 二. 微积分基本公式
一. 积分上限函数 (变上限的定积分)
微积分学PPt标准课件22-第22讲定积分的概念
定理 1 若 f (x) C([a,b]), 则 f (x) R([a,b]) .
若 f (x) 在[a,b] 上单调、有界, 则 f (x) R([a,b]) .
定理 2 f (x) 在[a,b] 上有界, 且仅有有限个(一类)
间断点, 则 f (x) R([a,b]) .
y
第五章 一元函数的积分
第一节 定积分的概念
一. 曲边梯形的面积 二. 定积分的定义 三. 定积分的性质
第五章 一元函数的积分
第一节 定积分的概念和性质
在我国古代南北朝（公元 429 — 500 年）时， 南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边 数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积， 得到了π 近似值.
b
f (x)d x
b
f (y)d y
b f (t)dt .
a
a
a
(3) || x || 0时, 分点个数 n , 但是, 当分点 个数 n 时, 却不一定有|| x || 0.
(4) 若将非均匀变化的事物看成是均匀变化时, 可以表示为两个变量的乘积形式, 则该非均 匀变化问题可以用定积分方法处理： 分划— 代替 —求和— 取极限
O a c bx
定理 3
若 f (x) R([a,b]), 则 | f (x) | R([a,b]) .
定理 3的逆不真.
例如,
f
( x)
1, 1，
x 为有理数, x 为无理数.
定理 4 若 f (x) R([a,b]), 则 [c,d ] [a,b] ,
f (x) R([c,d]) . y
a f (x)d x 0
托马斯微积分课件5.1 Volumes by Slicing and Rotation About an Axis
Solids of Revolution: Washer Cross Sections (旋转体: 垫圈形横截面)
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Solution.
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Exercises
P402 4. P403 12, 14, 16, 20. P404 32.
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P372 19.
Analysis. A 1 cos x dx sin 2 xdx
2
0
0
1 cos 2 x 2dx
0
1 1 x sin 2 x 4 2 2 0
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(切片法求体积)
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Let us find the volume of above solids
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Step 1. Subdivide the interval [a,b] into subintervals.
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Step 2. Find a suitable approximation to any subinterval.
P 0 k 1 n
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P402 4. P403 12, 14, 16, 20. P404 32.
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P372 19.
Analysis. A 1 cos x dx sin 2 xdx
2
0
0
1 cos 2 x 2dx
0
1 1 x sin 2 x 4 2 2 0
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(切片法求体积)
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Let us find the volume of above solids
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Step 1. Subdivide the interval [a,b] into subintervals.
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Step 2. Find a suitable approximation to any subinterval.
P 0 k 1 n
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