相似三角形基本知识点及典型例题

相似三角形

一、知识点梳理 ★知识点一:比例线段

1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等,就说这四个数成比例，通常我们把d c b a ,,,四个

实数成比例表示成:

a c

b d

=或者a:b=c:ｄ,期中b ，c 称为比例内项，a,d 称为比例外项。 a c b d =等式两边同乘以b ｄ，可得ad=ｂc,反过来等式ａd=ｂc 同除以b ｄ，可得a c b d

=

２、比例线段:在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，即a c

b d

=，那么这四条线段

d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段。

３、比例中项：如果三个数a,b ，c 满足比例式a b b c

=,那么b 叫做a 、

c 的比例中项， 此时有2

b a

c =。 4、黄金分割：如果点Ｐ把线段AB 分成两条线段ＡP 和PB ，使PB AP

AP AB

=

,那么称线段AB 被点P 黄金分割,点P 叫做线段AB

的黄金分割点，比值叫做黄金比。

长短＝全长≈０.618 5、比例式变形:

a c a

b

c

d b d b d ±±=⇔=或a a c

b b d

+=+ ()()

()a b

c d a c d c

b d b a

d b

c a ⎧=⎪⎪

⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩

，

交换内项，交换外项．

同时交换内外项 例1、如果错误!=错误!，那么错误!＝＿＿__＿。 例2、若错误! ，则错误!的值是（ ﻩ)

A 、错误!

B 、错误! Ｃ、错误! Ｄ、错误!

例3、若４x=5ｙ,则x ∶y ＝ . 例4、若3x =4y ＝5z ，则y z y x +-∶

x

x

z y -+＝ ． 例5、已知

13y x -=7

y

,则y y x +的值为 .例６、如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么z y x z y x +--+33=

例7、如果

32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51

b a b a 例8、如果2===

c z b y a x ,那么

=+-+-c

b a z

y x 3232

例9、已知

c b a +=a c b +=b

a

c +=x ，求x ★知识点二:相似三角形

1、定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。如△ABC 与△ＤE Ｆ相似,记作△AB Ｃ ∽△D ＥF 。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

★知识点三:相似三角形的判定

1、定义法：三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.

2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似.

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似.简述为:两角对应相等，两三角形相似.

4、判定定理２：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似. 相似三角形的几种基本图形：

（1） 如图:称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

（2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ＡＢＣ称为“斜交型”的相似三角形。（有“反Ａ共角型”、

“反A 共角共边型”、 “蝶型”）

（3） 如图:称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”)”“三垂

直型”）

A

B C

D E 1

2A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

1241

2

B

B

(D )

(3)

B

（４）如图：∠１=∠2,∠B=∠D ，则△ADE ∽△ＡB Ｃ,称为“旋转型”的相似三角形。

例1、如图,△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC,写出对应边的比例式。

例２、如图,已知△A ＢC ∽△ADE ，ＡE =5０ c ｍ，EC ＝３0 cm,ＢC =７0 ｃm,∠BAC ＝45°， ∠ＡCB ＝4０°,求:1）∠AED 和∠AD Ｅ的度数；2）DE 的长。

例3、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ＡB Ｃ相似的是( ）

例4、如图所示,已知

中,E 为ＡB 延长线上的一点，A Ｂ＝３BE ，D Ｅ与BC 相交于Ｆ，请找出图

中各对相似三角形，并求出相应的相似比. ﻫ

例5、已知：如图正方形ABCD 中,P 是B Ｃ上的点，且B Ｐ=３ＰＣ,Q 是ＣD 的中点.

求证:△AD Ｑ∽△ＱC Ｐ．

例6、已知：如图,ＡＤ是△ABC 的高，E 、Ｆ分别是ＡＢ、AC 的中点． 求证：△ＤF Ｅ∽△AB Ｃ．

B

E

A

C

D 1

2