洛必达法则课后作业

(完整版)洛必达法则巧解高考压轴题

洛必达法则巧解高考压轴题洛必达法则：法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lim f (x )=0及lim g (x )=0；x →a x →a(2)在点a 的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)lim x →a f '(x )=l ，g '(x )f (x )f '(x )0那么lim =lim =l 。

型x →a g (x )x →a g '(x )0法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lim f (x )=∞及lim g (x )=∞；x →a x →a(2)在点a 的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；f '(x )=l ，(3)lim x →a g '(x )那么lim x →a f (x )g (x )=lim x →a f '(x )∞=l 。

型g '(x )∞注意：○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x →a +，x →a -洛必达法则也成立。

2若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

○典例剖析例题1。

求极限∞ln x (型)lim （1）+1∞x →0x（2）lim p 0sin x -1(型)0cos x x 2ln cos x 0(型)2x 0ln x∞lim (型)（4）x →+∞x ∞lim （3）x →0变式练习:求极限（1）lim ln(1+x )sin x -sin alim x →0x →a x x -a(2)e x -e -x ln sin xlim lim π(π-2x )2x →0sin x (3)(4)x →2例题2。

已知函数f (x )=m (x -1)e +x ,m ∈R x 2（1）当m =-1时，求f (x )在[-2,1]上的最小值（2）若x +(m +2)x >f (x )在(-∞,0)上恒成立，求m 的取值范围2'例题3.已知函数f (x )=ax +（1）用a 表示b ,cb +c ,(a >0)的图像在点(1,f (1))处的切线方程为y =x -1，x（2）若f (x )≥ln x 在[1,+∞)上恒成立，求a 的取值范围例题4.若不等式sin x >x -ax 在x ∈ 0,例题5.已知f (x )=x (e -1)-ax （1）若f (x )在x =-1时有极值，求函数f (x )的解析式（2）当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围强化训练1.设函数f (x )=1-e （1）证明：当x >-1时，f (x )≥（2）当x ≥0时f (x )≤x 3⎛⎝π⎫⎪是恒成立，求a 的取值范围2⎭x 2-xx 。

洛必塔法则(习题)

1 x2 lim 2 2 x0 3 x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
2 x 1 cos x ～ 1 2
1 6
4. 解:
1
原式=
1 令 t x
0 型 0
或者
原式=
与等价无穷小代换结合使用更好!
习题:
求下列极限 : 1 2 1) lim [ x ln(1 ) x]; x x

1
分析:
例5. 试证至少存在一点法2 令 f ( x) sin ln x sin1 ln x
使
则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件, 因此存在使
1 1 f ( x) cos ln x sin1 x x
费马(1601 – 1665)
Fermat’s Last Theory:
1. 解:
2
原式=
0 型 0
0 型 0 0 型 0
2. 解:
1
原式=
1 2 x 2
0 型 0
与等价无穷小代换结合使用更好!
3. 解:
1 6
cos x ( x sin x) 原式 lim 2 x0 x sin x x sin x lim x0 x3 1 cos x lim x0 3 x 2
型
e
1 x lim 2 x0 csc x
e
sin 2 x lim x x0
e 1
0
5. 解:
原式=
( 1 )
令 t1
x
提示:
题13.
题15.
f (0) 0
f (0) 0

复习
1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理 f ( ) 0

洛必达法则(简版)

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题洛必达法则：设函数()f x 、()g x 满足：（1）lim ()lim ()0x ax a f x g x →→==；（2）在()U a 内，()f x '和()g x '都存在，且()0g x '≠；（3）()lim()x a f x A g x →'=' （A 可为实数，也可以是±∞）. 则()()lim lim ()()x a x a f x f x A g x g x →→'==' 例1、（2011新课标理）已知函数ln ()1a x b f x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围.例2（2010新课标理）设函数2()1x f x e x ax =---.（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.例3、若不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π∈恒成立，求a 的取值范围例4、（2010海南宁夏文）已知函数2()(1)x f x x e ax =--. （Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.例5、（2010全国大纲理）设函数()1xf x e -=-. （Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围.例6、（2008年全国2理）设函数sin ()2cos xf x x =+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．课后练习：1.（2006年全国理2）设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．2.（2006全国理1）已知函数()11ax x f x e x -+=-.（Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围.3.（2007全国理1）设函数()e e x x f x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．4.（2008辽宁理）设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x =-+++.⑴求()f x 的单调区间和极值; ⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()f x a …的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值范围;若不存在,试说明理由.5.（2010新课标文）已知函数2()(1)x f x x e ax =--.（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.6、若不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π∈恒成立，求a 的取值范围.。

洛必达法则求极限列题

洛必达法则求极限列题洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）是一个重要的实用工具，用于求解限值问题。

这个定理一般是在非法积分和无穷小等引起的极限问题中使用，也可用于求解无穷大等极限问题。

洛必达法则的全称叫做L'Hôpital的判别、比较（L'Hôpital's Rule ofDifferentiation and Comparison），它是由法国十八世纪数学家希哈里姆·劳希特·洛必达（Gilles de l'Hôpital）于1714年发现并申明的。

此定理告诉我们，当连分式的分子分母都是以某个自变量x为指数的函数时，极限的值可以通过求得每个函数两边的导数的比值，即导数之比（derivative of quotient）的方法求得。

具体的，在求极限之前，我们先考虑一个表达式。

如果我们想求解函数f（x）与g（x）的极限lim[f(x)/g(x)]，设其分子分母的极限都存在。

这时，可以根据洛必达法则解决此问题：即求出f（x）与g（x）的极限，然后对其求导，它们的导数之比有可能求出目标极限值，其公式为divf（x）/dvig（x）。

因此，我们有：极限限值lim[f(x)/g(x)]＝lim[divf（x）/dvig（x）]。

下面举一个例子说明洛必达法则：求解极限：lim[x2-5x+6/x2-9]这个题目中分子分母都是某些自变量的函数，因此可以使用洛必达法则求解。

此时，我们先求出分子分母的导数，即2x-5和2x。

由此得出极限值为：lim[x2-5x+6/x2-9]＝lim[2x-5/2x]＝5/2＝2.5综上所述，洛必达法则是一种非常有用的实用工具，它用于求解限值问题，由于它简单易用，因此被广泛应用于数学处理中。

洛必达法则的使用条件例题

洛必达法则的使用条件例题
洛必达法则是用于求解一些特定类型的极限的方法。

其使用的条件为：
1. 极限存在：首先，要求所求的极限存在，即左右极限均存在且相等。

2. 极限取0/0或∞/∞的形式：其次，所求的极限要满足取0/0或∞/∞的形式，即在极限的分子和分母中至少有一个趋于0或趋于无穷。

下面以一道例题来说明洛必达法则的使用条件：
求极限lim(x→0)[1-cos(x)]/x²
解：根据洛必达法则，我们需要先求出该极限的分子和分母的导数：
f'(x) = sin(x)
g'(x) = 2x
当x →0时，f'(x) →0，g'(x) →0，且f(0) = 0，g(0) = 0，满足洛必达法则的使用条件。

因此，我们可以将原式改写为：
lim(x→0)[1-cos(x)]/x²= lim(x→0)[sin(x)/2x] = lim(x→0)[cos(x)/2] = 1/2因此，原式的极限为1/2。

需要注意的是，洛必达法则不能用于所有的极限求解，只能用于特定类型的极限，同时需要满足洛必达法则的使用条件。

高数习题答案3-2

习题3-21. 用洛必达法则求下列极限:(1)xx x )1ln(lim 0+→;(2)xe e x x x sin lim 0-→-; (3)ax a x a x --→sin sin lim ;(4)x x x 5tan 3sin lim π→;(5)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;(6)n n mm a x ax a x --→lim ;(7)x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→;(8)xx x 3tan tan lim 2π→;(9)xarc x x cot )11ln(lim++∞→; (10)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;(11)x x x 2cot lim 0→;(12)2120lim x x e x →;(13))1112(lim 21---→x x x ;(14)x x x a )1(lim +∞→;(15)x x x sin 0lim +→;(16)x x xtan 0)1(lim +→.解 (1)111lim 111lim )1ln(lim 000=+=+=+→→→x x xx x x x .(2)2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e x x x x x x . (3)a x ax a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==--→→.(4)535sec 53cos3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ. (5)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x x x x x πππππ. (6)n m n m n m a x n n m m a x a n m namx nx mx a x a x -----→→===--1111lim lim . (7)22sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim 2200⋅⋅⋅⋅=+→+→x xx x x x x x177s e c 22s e c l i m 277t a n 2t a n l i m 272200=⋅⋅==+→+→x x x x x x . (8)x x x x x x x x x 2222222cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim πππ→→→=⋅= )s i n (c o s 23)3s i n (3c o s 2lim 312x x x x x -⋅-=→πxx x c o s 3c o s l i m2π→-= 3s i n3s i n 3l i m2=---=→x x x π.(9)22221lim 11)1(111lim cot arc )11ln(limxx x xx x x x x x x ++=+--⋅+=++∞→+∞→+∞→ 122lim 212lim ==+=+∞→+∞→x x x x .(10)x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→1s i n lim )sin (cos 22lim00==--=→→xx x x x x x .(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) (11)2122sec 1lim 2tan lim2cot lim 2000=⋅==→→→x x x x x x x x . (12)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 21012022t t t t x x x x e t e x e e x(注: 当x →0时, +∞→=21xt . (13)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (14)因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 221)(11lim 1)1ln(lim)1(ln(lim xx a x ax x a x a x x x x --⋅+=+=+∞→∞→∞→ a a a x ax x x ==+=∞→∞→1lim lim ,所以 a x ax x x x e e xa ==++∞→∞→)1l n (l i m )1(l i m. .(15)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 x x x x x x x x x x c o tc s c 1lim csc ln lim ln sin lim 000⋅-==+→+→+→c o s s i n l i m 20=-=+→xx x x ,所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .(16)因为x x x x e xln tan tan 0)1(lim -+→=,而 xx x x x x x x x 2000c s c 1limcot ln lim ln tan lim -==+→+→+→ 0s i n l i m 20=-=+→xx x , 所以 1l i m )1(l i m 0ln tan 0tan 0===-+→+→e e x x x x x x .2. 验证极限x x x x sin lim +∞→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x x x x sin lim +∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx x x x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则. 3. 验证极限xx x x sin 1sin lim20→存在, 但不能用洛必达法则得出. 解 0011sin sin lim sin 1sin lim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sin lim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos 1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 4. 讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+=-0])1([)(2111x e x e x x f x x 在点x =0处的连续性.解 21)0(-=e f ,)0(lim)(lim 21210f e e x f x x ===---→-→,因为]1)1l n (1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x x x x x x x x e ex x f ,而 200)1l n (l i m]1)1l n (1[1l i m x xx x x x x x -+=-++→+→ 21)1(21lim 2111lim 00-=+-=-+=+→+→x x x x x ,所以]1)1l n (1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x xx x x x x x e ex x f )0(21f e ==-.因此f (x )在点x =0处连续.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ; (csc x )'=-csc x cot x .解 x x x x x x x x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ⋅-⋅-='=' x xx x x 22222c s cs i n 1s i n c o s s i n -=-=+-=. x x xx x x c o t c s c s i n c o s )s i n 1()(c s c 2⋅-=-='='.2. 求下列函数的导数:(1)1227445+-+=x x x y ; (2) y =5x 3-2x +3e x ; (3) y =2tan x +sec x -1; (4) y =sin x ⋅cos x ; (5) y =x 2ln x ; (6) y =3e x cos x ; (7)xx y ln =;(8)3ln 2+=xey x ;(9) y =x 2ln x cos x ;(10)tt s cos 1sin 1++=;解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xx x y 2562562282022820x x x x x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3e x .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ⋅tan x =sec x (2sec x +tan x ). (4) y '=(sin x ⋅cos x )'=(sin x )'⋅cos x +sin x ⋅(cos x )' =cos x ⋅cos x +sin x ⋅(-sin x )=cos 2x . (5) y '=(x 2ln x )'=2x ⋅ln x +x 2⋅x1=x (2ln x +1) .(6) y '=(3e x cos x )'=3e x ⋅cos x +3e x ⋅(-sin x )=3e x (cos x -sin x ).(7)22ln1ln 1)ln (x x x xx x x x y -=-⋅='='. (8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=⋅-⋅='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x )'=2x ⋅ln x cos x +x 2⋅x1⋅cos x +x 2 ln x ⋅(-sin x )2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x . (10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t tt t t t t t t t s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=d d .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) . 解 (1)y '=cos x +sin x , 21321236s i n 6c o s 6+=+=+='=πππx y ,222224s i n 4c o s 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d ,)21(4222422214c o s 44s i n 214πππππθρπθ+=⋅+⋅=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=.求:(1)该物体的速度v (t ); (2)该物体达到最高点的时刻. 解 (1)v (t )=s '(t )=v 0-gt . (2)令v (t )=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻. 5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程. 解因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x ,所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0.6. 求下列函数的导数: (1) y =(2x +5)4 (2) y =cos(4-3x ); (3)23x e y -=; (4) y =ln(1+x 2); (5) y =sin 2x ; (6)22x a y -=; (7) y =tan(x 2);(8) y =arctan(e x ); (9) y =(arcsin x )2; (10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1⋅(2x +5)'=4(2x +5)3⋅2=8(2x +5)3. (2) y '=-sin(4-3x )⋅(4-3x )'=-sin(4-3x )⋅(-3)=3sin(4-3x ). (3)22233236)6()3(x x x xe x e x e y ----=-⋅='-⋅='. (4)222212211)1(11x x x x x x y +=⋅+='+⋅+='.(5) y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x . (6))()(21])[(22121222122'-⋅-='-='-x a x a x a y222122)2()(21xa x x x a --=-⋅-=-.(7) y '=sec 2(x 2)⋅(x 2)'=2x sec 2(x 2). (8)xx x x e e e e y 221)()(11+='⋅+='.(9) y '21arcsin 2)(arcsin arcsin 2x x x x -='⋅=.(10)x x x x x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='⋅='.7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(1-2x ); (2)211xy -=; (3)x e y x3cos 2-=;(4)xy 1arccos =;(5)xx y ln 1ln 1+-=;(6)x x y 2sin =;(7)x y arcsin =; (8))ln(22x a x y ++=; (9) y =ln(sec x +tan x ); (10) y =ln(csc x -cot x ). 解 (1)2221)21(12)21()21(11xx x x x y --=---='-⋅--='. (2))1()1(21])1[(21212212'-⋅--='-='---x x x y222321)1()2()1(21xx x x x --=-⋅--=-.(3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y xxx x )3s i n 63(c o s 213s i n 33c o s 21222x x e x e x e xxx +-=--=---. (4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='. (6)222sin 2cos 212sin 22cos x x x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='. (7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='. (8)])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y2222221)]2(211[1xa x x a x a x +=++⋅++=. (9) x xx x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12=++='+⋅+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12=-+-='-⋅-='.8. 求下列函数的导数: (1)2)2(arcsin x y =;(2)2tan ln x y =;(3)x y 2ln 1+=; (4)xe y arctan=;(5)y =sin n x cos nx ; (6)11arctan -+=x x y ;(7)x x y arccos arcsin =;(8) y =ln[ln(ln x )] ;(9)xx xx y -++--+1111;(10)xxy +-=11arcsin .解 (1)'⋅=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y)2()2(11)2(a r c s i n22'⋅-⋅=x x x 21)2(11)2(a r c s i n 22⋅-⋅=x x .242a r c s i n2x x -= (2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'⋅⋅='⋅='x x x x x yx x x c s c 212s e c 2t a n 12=⋅⋅=. (3))ln 1(ln 121ln 1222'+⋅+=+='x xx y )(l n ln 2ln 1212'⋅⋅+=x x xx x x 1ln 2ln 1212⋅⋅+=x x x 2ln 1ln +=.(4))(arctan arctan'⋅='x e y x)()(112arctan'⋅+⋅=x x e x)1(221)(11a r c t a n2a r c t a nx x e x x ex x +=⋅+⋅=.(5) y '=n sin n -1x ⋅(sin x )'⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx )⋅(nx )' =n sin n -1x ⋅cos x ⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx )⋅n=n sin n -1x ⋅(cos x ⋅cos nx -sin x ⋅sin nx )= n sin n -1x cos(n +1)x . (6)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--⋅-++='-+⋅-++='. (7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-='22)(a r c c o s a r c s i n a r c c o s 11x x x x +⋅-=22)(a r c c o s12x x -=π.(8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'⋅⋅='⋅='x x x x x y)l n (l n ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ⋅=⋅⋅=.(9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111xx -+-=. (10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-⋅+--='+-⋅+--=' )1(2)1(1x x x -+-=.9. 设函数f (x )和g (x )可导, 且f 2(x )+g 2(x )≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数. 解 ])()([)()(212222'+⋅+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'⋅+=)()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=.10. 设f (x )可导, 求下列函数y 的导数dxdy : (1) y =f (x 2);(2) y =f (sin 2x )+f (cos 2x ).解 (1) y '=f '(x 2)⋅(x 2)'= f '(x 2)⋅2x =2x ⋅f '(x 2).(2) y '=f '(sin 2x )⋅(sin 2x )'+f '(cos 2x )⋅(cos 2x )'= f '(sin 2x )⋅2sin x ⋅cos x +f '(cos 2x )⋅2cos x ⋅(-sin x ) =sin 2x [f '(sin 2x )- f '(cos 2x )]. 11. 求下列函数的导数: (1) y =ch(sh x ); (2) y =sh x ⋅e ch x ; (3) y =th(ln x ); (4) y =sh 3x +ch 2x ; (5) y =th(1-x 2); (6) y =arch(x 2+1); (7) y =arch(e 2x ); (8) y =arctan(th x );(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y解 (1) y '=sh(sh x )⋅(sh x )'=sh(sh x )⋅ch x . (2) y '=ch x ⋅e ch x +sh x ⋅e ch x ⋅sh x =e ch x (ch x +sh 2x ) .(3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ⋅='⋅='. (4) y '=3sh 2x ⋅ch x +2ch x ⋅sh x =sh x ⋅ch x ⋅(3sh x +2) .(5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-⋅-='.(6)222)1()1(112422++='+⋅++='x x x x x y . (7)12)(1)(142222-='⋅-='x xx x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11⋅+=⋅+='⋅+=' xx x 222sh 211sh ch 1+=+=.(9))ch (ch 21)ch (ch 124'⋅-'⋅='x xx x yx x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4⋅⋅-=x x x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -⋅=-= x xxx x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-⋅=. (10)'+-⋅+-⋅+-='+-⋅+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y)112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-⋅+=+--+⋅+-⋅=x x x x x x x x . 12. 求下列函数的导数: (1) y =e -x (x 2-2x +3); (2) y =sin 2x ⋅sin(x 2); (3)2)2(arctan x y =;(4)n x x y ln =;(5)t t t t ee e e y --+-=; (6)x y 1cos ln =;(7)x ey 1sin 2-=;(8)x x y +=;(9) 242arcsin x x x y -+=;(10)212arcsin t t y +=.解 (1) y '=-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2) =e -x (-x 2+4x -5).(2) y '=2sin x ⋅cos x ⋅sin(x 2)+sin 2x ⋅cos(x 2)⋅2x =sin2x ⋅sin(x 2)+2x ⋅sin 2x ⋅cos(x 2).(3)2arctan 44214112arctan 222x x x x y +=⋅+⋅='.(4)121ln 1ln 1+--=⋅-⋅='n n n n x x n x nx x x x y . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----tt t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y . (6)x x x x x x x y 1tan 1)1()1sin (1sec )1(cos 1sec 22=-⋅-⋅='⋅='. (7))1(1cos )1sin 2()1sin (21sin 21sin 22x xx exe y x x -⋅⋅-⋅='-⋅='--x e x x1s i n 222s i n 1-⋅⋅=. (8))211(21)(21x xx x x x x y +⋅+='+⋅+='xx x x +⋅+=412.(9)2arcsin )2(421214112arcsin 22x x x x x x y =-⋅-+⋅-⋅+='.(10)22222222)1()2(2)1(2)12(11)12()12(11t t t t tt t t t t y +⋅-+⋅⋅+-='+⋅+-=' )1(|1|)1(2)1()1(2)1(1222222222t t t t t t t +--=+-⋅-+=.总习题一1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件. 数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件.(2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →存在的________条件. )(lim 0x f x x →存在是f (x )在x 0的某一去心邻域内有界的________条件.(3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界是∞=→)(l i m 0x f x x 的________条件.∞=→)(lim 0x f x x 是f (x )在x 0的某一去心邻域内无界的________条件.(4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等是)(lim 0x f x x →存在的________条件.解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ).(A )f (x )与x 是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )是比x 低阶的无穷小.解因为x x xx x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln )1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) .所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B .3. 设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ).解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ].(3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]. (4) 由0≤ cos x ≤1得2222ππππ+≤≤-n x n (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),即函数f (cos x )的定义域为[2,22ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).4. 设⎩⎨⎧>≤=0 0 0)(x x x x f , ⎩⎨⎧>-≤=0 00)(2x x x x g , 求f [f (x )], g [g (x )], f [g (x )], g [f (x )].解因为f (x )≥0, 所以f [f (x )]=f (x )⎩⎨⎧>≤=0 0 0x x x ;因为g (x )≤0, 所以g [g (x )]=0; 因为g (x )≤0, 所以f [g (x )]=0;因为f (x )≥0, 所以g [f (x )]=-f 2(x )⎩⎨⎧>-≤=0 002x x x .5. 利用y =sin x 的图形作出下列函数的图形:(1)y =|sin x |; (2)y =sin|x |; (3)2sin 2x y =.6. 把半径为R 的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为α的函数.解设围成的圆锥的底半径为r , 高为h , 依题意有R (2π-α)=2πr , παπ2)2(-=R r ,παπαπαπ244)2(2222222-=--=-=R R R r R h . 圆锥的体积为παπαπαππ244)2(312222-⋅-⋅=RR V 22234)2(24a R -⋅-=πααππ(0<α<2π). 7. 根据函数极限的定义证明536lim 23=---→x x x x . 证明对于任意给定的ε>0, 要使ε<----|536|2x x x , 只需|x -3|<ε, 取δ=ε, 当0<|x -3|<δ时, 就有|x -3|<ε, 即ε<----|536|2x x x , 所以536lim 23=---→x x x x .8. 求下列极限:(1)221)1(1lim -+-→x x x x ; (2))1(lim 2x x x x -++∞→;(3)1)1232(lim +∞→++x x x x ;(4)30sin tan lim x x x x -→; (5)x x x x x c b a 10)3(lim ++→(a >0, b >0, c >0); (6)x x x tan 2)(sin lim π→.解 (1)因为01)1(lim 221=+--→x x x x , 所以∞=-+-→221)1(1lim x x x x . (2))1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x .(3)2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x 21212)1221()1221(l i m++++=+∞→x x x x e x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim . (4)x x x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→ 21)2(2lim cos 2sin 2sin lim320320=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换).(5)x c b a c b a xx x x xx xx x x x x x x x cb ac ba 3333010)331(lim )3(lim -++⋅-++→→-+++=++,因为e c b a x x x c b a xx x x =-+++-++→330)331(l i m , )111(lim 3133lim 00x c x b x a x c b a xx x x x x x x -+-+-=-++→→])1l n (1lim ln )1ln(1lim ln )1ln(1lim [ln 31000v c u b t a v u t +++++=→→→3ln )ln ln (ln 31abc c b a =++=, 所以 3ln 103)3(lim abc e c b a abc x x x x x ==++→. 提示: 求极限过程中作了变换a x -1=t , b x -1=u , c x -1=v . (6)xx x x xx x x tan )1(sin 1sin 12tan 2)]1(sin1[lim )(sin lim -⋅-→→-+=ππ, 因为e x xx =-+-→1s i n 12)]1(sin1[lim π,x x x x x x x c o s )1(s i n s i n l i mt a n )1(s i n l i m 22-=-→→ππ 01s i n c o s s i n lim )1(sin cos )1(sin sin lim 222=+-=+-=→→x x x x x x x x x ππ, 所以 1)(s i n lim 0tan 2==→e xx x π. 9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=01sin )(2x x a x xx x f , 要使f (x )在(-∞, +∞)内连续, 应怎样选择数a ? 解要使函数连续, 必须使函数在x =0处连续. 因为f (0)=a , a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 200, 01sinlim )(lim 00==++→→xx x f x x , 所以当a =0时, f (x )在x =0处连续. 因此选取a =0时, f (x )在(-∞, +∞)内连续.。

2023届高考数学专项练习洛必达法则含解析

洛必达法则思路引导“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。

法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=0及limx→ag(x)=0；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=∞及limx→ag(x)=∞；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.例题讲解类型一：用洛必达法则处理00型函数【例1】已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.【方法总结】用洛必达法则处理00型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“0”型式子；3.运用洛必达法则求值2023届高考数学专项练习【针对训练】若∀x∈[1,+∞)，不等式ln x≤m x-1 x恒成立，求实数m的取值范围.类型二：用洛必达法则处理∞∞型函数【例2】已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1)，若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．【方法总结】用洛必达法则处理∞∞型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“∞∞”型式子；3.运用洛必达法则求值【针对训练】设函数f(x)=e x-1-x-ax2，若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围模拟训练1.已知函数f(x)=a ln x+bx(a,b∈R)在x=12处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0垂直.(1)求实数a,b的值；(2)若∀x∈[1,+∞)，不等式f(x)≤(m-2)x-m x恒成立，求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2.(1)若f(x)在x=-1时有极值，求函数f(x)的解析式；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.3.已知函数f(x)=a ln xx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。

洛必达法则习题

习题3−21. 用洛必达法则求下列极限:(1)xx x )1ln(lim 0+→; (2)xe e xx x sin lim 0−→−; (3)ax a x a x −−→sin sin lim ; (4)xx x 5tan 3sin lim π→; (5)22)2(sin ln lim x xx −→ππ; (6)n n mm a x ax a x −−→lim ;(7)x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→; (8)xx x 3tan tan lim2π→; (9)xarc x x cot )11ln(lim ++∞→; (10)xx x x cos sec )1ln(lim 20−+→; (11)x x x 2cot lim 0→; (12)2120lim x x e x →; (13)−−−→1112lim 21x x x ; (14)x x xa )1(lim +∞→; (15)x x x sin 0lim +→; (16)x x xtan 0)1(lim +→.解 (1)111lim 111lim )1ln(lim 000=+=+=+→→→xx x x x x x . (2)2cos lim sin lim 00=+=−−→−→xe e x e e xx x x x x . (3)a x ax a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==−−→→. (4)535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2−==→→x x x x x x ππ. (5)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222−=−−−=−⋅−=−→→→x x x x x x x x πππππ. (6)n m n m n m a x n n mm a x a nm na mx nx mx a x a x −−−−−→→===−−1111lim lim . (7)177sec 22sec lim 277tan 2tan lim 2722sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim 22002200=⋅⋅==⋅⋅⋅⋅=+→+→+→+→x x x x x xx x x x x x x x . (8))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim 31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x −⋅−==⋅=→→→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=−−−=−=→→x x x x x x ππ. (9)122lim 212lim 1lim 11)1(111lim cot arc )11ln(lim 2222==+=++=+−⋅+=++∞→+∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x x x x x x x x . (10)x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim −=−+=−+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) 1sin lim )sin (cos 22lim 00==−−=→→xx x x x x x . (11)2122sec 1lim 2tan lim 2cot lim 2000=⋅==→→→x x x x x x x x . (12)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 21012022t t t t x x xx e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ).(13)2121lim 11lim 1112lim 12121−=−=−−= −−−→→→x x x x x x x x . (14)因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x e x a +∞→∞→=+, 而 a a a x ax xx ax a x x a x a x x x x x x ==+=−−⋅+=+=+∞→∞→∞→∞→∞→1lim lim 1)(11lim 1)1ln(lim )1(ln(lim 22, 所以 a x a x x x x e e x a ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . .(15)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=, 而 0cos sin lim cot csc 1lim csc ln lim ln sin lim 20000=−=⋅−==+→+→+→+→xx x x x x x x x x x x x x , 所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x . (16)因为x x x x e xln tan tan 0)1(lim −+→=, 而 0sin lim csc 1lim cot ln lim ln tan lim 202000=−=−==+→+→+→+→xx x x x x x x x x x x , 所以 1lim )1(lim 0ln tan 0tan 0===−+→+→e e x x x x x x . 2. 验证极限x x x x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出. 解 1)sin 1(lim sin lim =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限xx x x sin lim +∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (lim x x x x x x x x +=+=′′+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则. 3. 验证极限xx x x sin 1sin lim 20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 0011sin sin lim sin 1sinlim 020=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sin lim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos 1sin 2lim )(sin )1sin (lim 020−=′′→→不存在, 不能用洛必达法则. 4. 讨论函数≤>+=−0 0 ])1([)(2111x e x ex x f x x 在点x =0处的连续性. 解 21)0(−=e f , )0(lim )(lim 212100f e e x f x x ===−−−→−→,因为 ]1)1ln(1[101100lim ])1([lim )(lim −+−→−→+→=+=x x x x x x x x e e x x f ,而 21)1(21lim 2111lim )1ln(lim ]1)1ln(1[1lim 00200−=+−=−+=−+=−++→+→+→+→x x x x x x x x x x x x x , 所以 )0(lim ])1([lim )(lim 21]1)1ln(1[101100f e e ex x f x x x x x x x x ===+=−−+−→−→+→. 因此f (x )在点x =0处连续.。

洛必达法则(高考题)

洛必达法则一．洛必达法则法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x af x →= 及()lim 0x ag x →=；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。

法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=；(2)0A∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0；(3)()()lim x f x l g x →∞'='，那么 ()()lim x f x g x →∞=()()lim x f x l g x →∞'='。

法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；(3)()()limx a f x l g x →'='，那么 ()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a+→，x a-→洛必达法则也成立。

○2洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。

○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

3.2洛必达法则

例3 求
x
lim 2
arctan x 1 x
(
0 0
型)
解：
1 arctan x 2 1 x 2 lim lim 1 x 1 x 2 x x

x2 lim 2 x 1 x
1
例4
求
ln x lim x x n
1 x nx n 1
(1) lim f ( x) 0 ，lim g ( x ) 0 ； x x
0
0 0
型)
x x0
(2) f ( x) 与 g ( x ) 在点 x0 的某个邻域内 (点 x0 可除外)可导，且 g ( x) 0
f ( x) A（或） (3) lim x x g ( x ) 0
(2) f ( x) 与 g ( x ) 在点 x0 的某个邻域内(点
x0 可除外)可导，且 g ( x) 0
f ( x) A( 或 ) (3) lim x x g ( x )
0
则
f ( x) lim lim x x g ( x) x x
0 0
f ( x) A （或） g ( x)
( 型)
lim
x
12 x 2 2

例1
ex 1 求 lim 2 x 0 x x
(
0
型)
x ex 1 e 解： lim 2 lim x 0 2 x 1 x 0 x x
1
(
0 0
例2
求
1 cos x lim x 0 x3
型)
cos x 1 cos x sin x lim lim 解： lim 2 x 0 x 0 3 x x 0 6 x x3

3-2 洛必达法则(高等数学)

§3.2 洛必达法则教学内容：一．“”型未定式 1.定理:（洛必达法则I ）设)(x f 、()g x 在0x 的某一去心邻域内有定义，如果 (1)0lim ()0→=x x f x ，0lim ()0→=x x g x ；(2))(x f 、()g x 在0x 的某邻域内可导，且()0g x '≠； (3)0()lim()x x f x g x →''存在(或无穷大)，那么00()()lim =lim ()()→→''x x x x f x f x g x g x .2.如果0()lim()→''x x f x g x 还是“0”型未定式，且函数()f x '与()g x '满足洛必达法则I 中应满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即有000()()()limlim lim ()()()x x x x x x f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''，依此类推，直到求出所要求的极限．3．洛必达法则I 中，极限过程0x x →若换成0x x +→，0x x -→以及x →∞，x →+∞，x →-∞情形的0型未定式，结论仍然成立．二．“∞∞”型未定式 1.定理：（洛必达法则II ）设)(x f 、()g x 在0x 的某一去心邻域内有定义，如果)1(0lim ()→=∞x x f x ，0lim ()→=∞x x g x ；)2()(x f 、()g x 在0x 的某邻域内可导，且()0g x '≠；)3(0()lim()x x f x g x →''存在(或无穷大)，那么00()()lim =lim ()()x x x x f x f x g x g x →→''.2.如果0()lim()→''x x f x g x 还是“∞∞”型未定式，且函数()f x '与()g x '满足洛必达法则II 中应满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即有000()()()limlim lim ()()()→→→'''=='''x x x x x x f x f x f x g x g x g x ，依此类推，直到求出所要求的极限．3.洛必达法则II 中，极限过程0x x →若换成0x x +→，0x x -→以及x →∞，x →+∞，x →-∞情形的“∞∞”型未定式，结论仍然成立．三．其它类型的未定式1．“0⋅∞”型未定式设0lim ()0→=x x f x ，0lim ()→=∞x x g x ，则0()lim ()()=lim1()→→⋅x x x x f x f x g x g x （00型）, 或00()lim ()()=lim 1()→→⋅x x x x g x f x g x f x （∞∞型）.2．“∞-∞”型未定式：可以通过通分化简等方式转化为“00”型或“∞∞”型未定式．3．“000 , 1, ∞∞”型未定式：可以通过取对数进行转化,()()ln ()lim ()ln ()lim[()]lim e e g x g x f x g x f x f x ==，无论()[()]g x f x 是上述三种类型中的哪一种，lim ()ln ()g x f x 均为“0⋅∞”型未定式.四．小结利用洛必达法则求未定式的极限，总结如下： 1.洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则．2.只要条件具备，可以连续使用洛必达法则．3.洛必达法则可以和其它求未定式的方法结合使用．4.洛必达法则的条件是充分的，但不必要．在某些特殊情况下洛必达法则可能失效，此时应寻求其他解法.五．例题讲解例1.计算20e 1lim x x x x →--．例2.计算33221216lim 248x x x x x x →-+--+．例3.计算20tan lim sin →-x x x x x ．例4.计算0ln cot limln x xx+→．例5.计算sin lim 1x x xx →∞++．例6.计算0limln x x x +→．例7.设()f x ''在x a =点附近连续，求极限2()()2()lim→++--h f a h f a h f a h．例8.计算 (1) ln lim (0)a x xa x→+∞>; (2) lim (0)e n xx x n →+∞>.。

第3章中值定理与洛必达法则习题集及答案

第三章习题一中值定理与洛必达法则一．选择题1．下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ）（A ）123)(2+=x x f ，]1,1[-；（B ）x xe x f -=)(，]1,0[；（C ）⎩⎨⎧≥<+=1112)(x x x x f ，，，]1,1[-；（D ）||)(x x f =，]1,1[-．2．x y sin ln =在闭区间]65,6[ππ上满足罗尔定理的全部条件，则使定理结果成立的=ξ（ A ）（A ）2π；（B ）32π；（C ）65π；（D ）6π．3．函数)1ln()(x x f +=在]1,0[-e 上满足拉格朗日定理中的数值ξ是（ C ）（A ）e ；（B ）1-e ；（C ）2-e ；（D ）1．4．若函数)(x f 在区间),(b a 内可导，1x 和2x 是区间),(b a 内的任意两点，且21x x <，则至少存在一点ξ，使（ C ）（A ）))(()()(a b f a f b f -'=-ξ，其中b a <<ξ；（B ）))(()()(11x b f x f b f -'=-ξ，其中b x <<ξ1；（C ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ，其中21x x <<ξ；（D ）))(()()(22a x f a f x f -'=-ξ，其中2x a <<ξ． 5．能用洛必达法则求下列极限的是（ B ）（A ）4314lim21-+-→x x x x ；（B ）x x xx x ln ln lim ++∞→；（C ）xx x x sin 1sinlim 20→；（D ）x x x x x e e e e --+∞→+-lim ．二．填空题1．设)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 恰有 2 个实根．2．=++∞→)3ln()31ln(lim 42x x x 0.5 ． 3．=+→xxx cot ln lim 0 0 ． 4．=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11ln 1lim 1x x x 21． 5．=-→212)2(tan lim ππx x x e ． 6．=++→1ln 100)(sin limx x x e ． 7．=+→x x x sin 00)(cot lim 1 ．三．计算题1．求)sin 4cos 4csc (lim 30xx x x x x -→．解：原式x x x x sin 4cos 1lim 30-=→2304cos 1lim x x x -=→xxx x 8sin cos 3lim 20→= x x 20cos lim 83→=x x x sin lim 0→⋅83=． 2．求20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：原式201sin lim x x e x x --=→x x e x x 2cos lim 0-=→2sin lim 0x e x x +=→21=． 3．求3arctan sin limx x xx →-解：原式330330033003300arctan sin limarctan sin lim lim tan sin lim lim tan tan sin lim lim 113616x x x y x y x x x x xx x x x x x x x y y x x y x y y x x y x →→→→→→→--=+--=+--=+--=+=-+=-4．求222cos 40lim x xx e e x -→- 解：原式222cos 22cos 41limxxxx e e x -+-→-=222cos 22cos 4240301lim lim22cos 1lim22sin lim 42146112xxxx x x x e ex x xx x x x -+-→→→→-=⋅-+=⋅-==⋅=5．若0)(6sin lim30=+→xx xf x x ，求20)(6lim x x f x +→．解：2)(6xx f +Θ3)(6x x xf x +=3)(6sin xx xf x +=36sin 6xxx -+ 而0)(6sin lim 30=+→xx xf x x ， 306sin 6lim x x x x -→2036cos 66lim x x x -=→206cos 1lim 2x x x -=→220)6(21lim 2xx x →=36= 20)(6limx x f x +∴→++=→30)(6sin lim x x xf x x 306sin 6lim x x x x -→36=．6．设)(a f ''存在，求)]()()([1lim 0a f xa f x a f x x '--+→．解：原式)(212)()(lim )()()(lim 020a f x a f x a f xa f x a f x a f x x ''='-+'='--+=→→．四．证明题1．设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且(0)(1)0f f ==。

洛必达法则求极限例题

洛必达法则求极限例题在微积分中，洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是一种用于求解极限的重要工具。

它适用于某些类型的极限问题，可以帮助我们解决一些复杂的极限计算。

本文将通过几个例题来展示洛必达法则的应用。

例题1：求极限lim(x→0) [sin(x)/x]首先，我们将直接代入x=0，得到的结果是0/0，这是一个不确定的形式。

此时，我们可以使用洛必达法则来求解。

根据洛必达法则，我们对函数的分子和分母同时求导。

对于分子sin(x)，求导后得到cos(x)；对于分母x，求导后得到1。

将求导后的结果代入，我们得到新的极限lim(x→0) [cos(x)/1]。

再次代入x=0，我们得到的结果是cos(0)/1=1/1=1。

因此，原始的极限lim(x→0) [sin(x)/x]的值为1。

例题2：求极限lim(x→∞) [x/(x+1)]将x代入∞，得到的结果是∞/∞，仍然是一个不确定的形式。

使用洛必达法则，我们对分子和分母同时求导。

对于分子x，求导后得到1；对于分母(x+1)，求导后得到1。

将求导后的结果代入，我们得到新的极限lim(x→∞) [1/1]。

再次代入x=∞，我们得到的结果是1/1=1。

因此，原始的极限lim(x→∞)[x/(x+1)]的值为1。

例题3：求极限lim(x→∞) [ln(x+1)/x]同样地，将x代入∞，得到的结果是∞/∞。

我们可以应用洛必达法则，对分子和分母同时求导。

对于分子ln(x+1)，求导后得到1/(x+1)；对于分母x，求导后得到1。

将求导后的结果代入，我们得到新的极限lim(x→∞) [(1/(x+1))/1]。

再次代入x=∞，我们得到的结果是(1/(∞+1))/1=1/∞=0。

因此，原始的极限lim(x→∞) [ln(x+1)/x]的值为0。

洛必达法则是求解极限的一种有用的工具，特别适用于处理不确定形式的极限。

它的基本思想是通过求导，将原始的极限转化为一个新的极限，往往更容易求解。

洛必达法则

1 x2
arctan x m 7. 求 lim ( m, n为整数). n x 0 (sin x ) sin2 x x 2 cos2 x 8. 求 lim . x0 x 2 sin2 x
第三章
第二节洛必达法则
一、主要内容
二、典型例题
三、同步练习四、同步练习解答
一、主要内容
0 (一) 型未定式的洛比达法则 0
定理 3.4
(1) lim f ( x ) lim F ( x ) 0
xa
(2) f ( x)与F ( x )在 U (a)内可导且 F ( x ) 0
f ( x ) (3) lim 存在(或为 ) x a F ( x ) f ( x) f ( x ) lim lim xa F( x) x a F ( x )
注
1° 洛必达法则适合于任一自变量极限过程，
如：
x a x a ,
以及 x ， x 或 x 的情形，
只要函数 f ( x), F ( x ) 满足相应于定理3.4及3.5 的条件即可 .
2º 在连续使用罗比达法则时，每次使用前
都要检验极限是否为未定式，否则可能导致错误. 3º 应用洛比达法则时, 是通过分子与分母
原式 lim eln y
xe
lim ln y e xe
e 1.
(方法2)
1 lim (ln x)1ln x xe
lim
xe
1 {[1 (ln x 1)]ln x 1 }1 1 u)u ]1
u ln x 1 lim [(1
u 0
e 1.
1 1 1 2 2 x sin x cos ( 2 ) x x x lim cos x x0

洛必达法则例题

洛必达法则例题洛必达法则是微积分中的一项重要工具，用于计算极限。

它的应用广泛，可以解决各种数学和物理问题。

本文将以一个具体的例题来说明洛必达法则的使用方法和步骤。

例题：求函数f(x)=(e^x - 1)/x 在 x趋近于0时的极限。

解答：根据洛必达法则的要求，首先判断函数的极限是否符合形式不定型0/0或无穷/无穷。

对于这个例题，当x趋近于0时，分子e^x - 1和分母x都会趋近于0，符合形式不定型0/0。

因此，我们可以使用洛必达法则来求解该极限。

接下来，按照洛必达法则的步骤进行计算：1.求导对于给定的函数f(x)，分别对分子和分母求导。

首先计算分子e^x - 1的导数，它的导数仍为e^x。

然后计算分母x的导数，即为1。

2.计算导数极限将求得的导数代入洛必达法则的极限公式中，得到极限Lim[(e^x) / 1 ](x→0)。

这个极限是显而易见的，当x趋近于0时，导数e^x / 1 也趋近于1。

3.得出结论根据洛必达法则的结论，当分子和分母的导数极限存在且为有限数时，原函数的极限等于导数极限的比值。

因此，我们可以得出结论：Lim[(e^x - 1)/x](x→0) = 1。

至此，我们完成了对该例题的求解。

通过这个例题，我们可以看到洛必达法则的应用过程。

首先判断极限是否符合形式不定型0/0或无穷/无穷，然后按照洛必达法则的步骤计算导数和极限，最后得出结论。

需要注意的是，在使用洛必达法则时，我们要保证所得的导数极限存在且为有限数，否则洛必达法则无法应用。

洛必达法则不仅适用于这个例题，还可以用于解决更复杂的极限问题。

对于其他形式的极限，我们可以根据洛必达法则的思想进行合适的变形和计算。

总结起来，洛必达法则是一种有效的工具，可以处理形式不定的极限，并得到准确的结果。

在解决需要计算极限的问题时，我们可以尝试使用洛必达法则来简化计算过程，提高求解的准确性和效率。

作业15 洛必达法则

作业15 洛必达法则1．求下列极限：（1）22cos ln(2)lim ln(e e )x x x x +→--；解：原式=22222221ln(2)cos 2e e 2cos 2lim cos 2lim lim cos 2ln(e e )2e e x x x x x x x x x e e x +++→→→---===--- （2）0(1cos )2lim tan sin x x x x x→--；解：原式=()23002111228lim lim 1tan 1cos 42x x x x x x x x x →→⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，用洛必塔法则繁些，请试试（3）22ln sin lim(π2)x x x π→-；解：原式=()222cos 1cos 1sin 1sin lim lim lim 2(π2)22π4284sin 2x x x xx x x x x ππππ→→→-===---- （4）0x x →解：原式=0002e sin 1e cos e sin lim lim lim 1112x x x x x x x x x x x →→→---+===⎛⎫-- ⎪⎝⎭（5）1πlim(1)tan2x x x →-；解：原式=111πsin π1122lim(1)sin lim lim πππ2cos cos sin 2222x x x x x x x x x ππ→→→---===- （6）21lim (sin cos )x x x x →+∞+．解：原式=sin 2cos 111sin 2cos 100lim(1sin 2cos 1)lim (1sin 2cos 1)t t t t t t t t t t t t +-+-→+→+⎡⎤++-=++-⎢⎥⎣⎦ 而sin 2cos 12cos 2sin 0lim lim 2100t t t t t t t +---==→→，因此原式=2e 2．已知)(x f 有一阶连续导数，且1)0()0(='=f f ，求极限)(ln 1)(sin lim 0x f x f x -→．解：由已知，该极限为00型的，由罗必塔法则与连续定义原式=()()()()0(sin )cos (sin 0)cos 0lim 010x f x x f f f x f f x →''=='' 3．设)(x ϕ具有二阶连续导数，且(0)0ϕ=，若,0,)()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x a x x x f ϕ（１）确定a ，使)(x f 在(,)-∞+∞内连续；（２）证明所确定的a 值使)(x f 在(,)-∞+∞内的导数连续．解：（1）使)(x f 在(,)-∞+∞内连续，只要()()()000()0()lim ()0,lim lim 01x x x x x f x f a x x ϕϕϕϕ→→→-'====-（2）当()2()0,()x x x x f x x ϕϕ'-'≠=而()()()()()20000(0)(0)0(0)lim lim lim 22x x x x x x x x f x x x ϕϕϕϕϕϕϕ→→→'-'''''--'====又()()()2000()0()lim ()lim lim 022x x x x x x x x f x f x x ϕϕϕϕ→→→'''-''''====，命题得证 4．设210e ()00xx f x x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，试证明导函数)(x f '在0=x 处连续．证：当21320,()e x x f x x-'≠=，而()()2221000e 01(0)lim lim lim lim 02x t t x x t t x t x f xx e te ϕϕ-→→→∞→∞'--'===== 又()2222232130022633lim ()lim e lim lim lim lim 0e 2te e 2tex t t t t x x t t t t t t t f x f x -→→→∞→∞→∞→∞''======，命题得证。

【高中数学】MS11洛必达法则与恒成立问题训练

(Ⅱ)
若 x 0 时,
f
x ln x 1 1,求实数 a 的取值范围；（Ⅲ）求证： e2
e
3
.
2
10.（2016•红桥区一模）设函数 f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（1）若 f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为，求 a 的值；（2）当 a＞0 时，求 f（x）的单调区间；（3）若 g（x）=ax﹣ex，求证：在 x＞0 时，f（x）＞g（x）．
﹣x+kln（x+1）≥0 在 x∈[0，+∞）恒成立；设 g（x）=x2﹣x+kln（x+1），g（0）=0，只需证对于任意的 x∈[0，+∞）有 g（x）≥g（0），通过分类讨论利用导数得到函数 g（x）的单调性即可得到最值；
（Ⅲ）利用（II）的结论：令 k=1，有﹣x2+x≤ln（x+1），即 x≤x2+ln（x+1）在 x∈[0，+∞）恒成立．再令，得
6.（2010•新课标）设函数 f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2 （Ⅰ）若 a= ，求 f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当 x≥0 时 f（x）≥0，求 a 的取值范围．
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7.（2010•湖北）已知函数 f（x）=ax+ +c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为 y=x﹣1．（1）用 a 表示出 b，c；（2）若 f（x）≥lnx 在[1，+∞）上恒成立，求 a 的取值范围．
x
实数 a 的取值范围是2, .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a 2 时, g x ex 2x ln x 1 1在0, 上单调递增.
1，所以 f 0 em 1，解得 m 0 .
（Ⅱ）因为 f (x) ex+m x3 , g x ln x 1 2 ，所以 f x g(x) x3 等价于 ex+m ln x 1 2 0 ．根据不等式 exm ex1 x 11，即证 x lnx 1 0 。

洛必达法则求极限例题

洛必达法则求极限例题
首先，我们来看一个简单的例子：
考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 4，我们要计算当x 趋于无穷大时，f(x) 的极限。

根据洛必达法则，我们可以对f(x) 进行求导，得到f'(x) = 2x - 4。

然后，我们再对f'(x) 进行求导，得到f''(x) = 2。

由于f''(x) 在x 趋于无穷大时是常数，所以f'(x) 在x 趋于无穷大时的极限是2。

因此，f(x) 在x 趋于无穷大时的极限是2。

接下来，我们来看一个稍微复杂一点的例子：
考虑函数f(x) = (x^2 - 1)/(x^2 + 1)，我们要计算当x 趋于无穷大时，f(x) 的极限。

首先，我们对f(x) 进行求导，得到f'(x) = (2x^3 - 2x) / (x^4 + 2x^2 + 1)。

然后，我们再对f'(x) 进行求导，得到f''(x) = (6x^2 - 2) / (x^4 + 2x^2 + 1)。

由于f''(x) 在x 趋于无穷大时是常数，所以f'(x) 在x 趋于无穷大时的极限是0。

因此，f(x) 在x 趋于无穷大时的极限是-1。