第章《函数与导数》函数模型及应用PPT课件
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《高中数学必修二——函数与导数课件PPT》
《高中数学必修二——函 数与导数课件PPT》
通过本课件，我们将深入探讨高中数学必修二课程中的函数与导数，包括函 数的定义及表示方式，基本初等函数及其性质等。
函数的定义及表示方式
什么是函数？如何表示一个函数？我们将从基本概念出发，详细讲解函数的定义和各种表示方式。
基本初等函数及其性 帮助您加深对函数的理解。
函数的单调性、最值及其应用
函数的单调性和最值是函数研究中的重要内容。我们将学习如何判断函数的单调性，并应用到实际问题中。
极限的基本概念与性质
通过学习极限的基本概念和性质，我们将更深入地理解函数的变化趋势和趋 近性。
极限的四则运算及其应用
四则运算是函数极限研究中的基本操作。我们将学习如何通过四则运算求解 函数的极限，并应用到实际问题中。
反函数与复合函数
反函数和复合函数是函数理论中重要的概念。通过本节课程，您将学习如何求解反函数和复合函数。
算术组合函数
组合函数在实际问题中起到重要作用。我们将学习如何将函数进行算术组合， 解决更复杂的问题。
函数的图像与性质
函数的图像能够直观地展示函数的特点。我们将学习如何绘制函数的图像， 并分析函数的性质。
函数、导数及其应用-课件PPT
[例 3] (1)已知 fx＋1x＝x3＋x13，求 f(x)； (2)已知 f2x＋1＝lgx，求 f(x)； (3)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17， 求 f(x)； (4)已知 f(x)满足 2f(x)＋f1x＝3x，求 f(x)．
[课堂记录] (1)∵fx＋1x＝x＋1x3－3x＋1x， ∴f(x)＝x3－3x，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)令2x＋1＝t，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝lgt－2 1，∴f(x)＝lgx－2 1，x∈(1，＋∞)． (3)设 f(x)＝ax＋b，则
从近两年的高考试题看，表示函数的解析法、图 象法，分段函数以及函数与其他知识的综合问题 是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有 解答题，难度中等偏高；客观题主要考查解析法、 图象法、分段函数的应用及对函数概念的理解．
提醒：定义域必须写成集合或区间的形式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的定 义域 是 [0,2]，那么 g(x)＝ 1＋lfg(x(x2)＋1)的定义域是________．
[思路探究] (1)x2 与已知 f(x)中 x 的含义相同． (2)分析分式的分母及对数式的真数满足的条件．
[课堂记录]
(3)列表法：用列出 自变量x 与对应的 函数值y 的表格 来表达 两个变量间的对应关系 的方法叫做列表法．
3．映射的定义
一般地，设A、B是两个 非空集合 ，如果按照某一 个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一 个 元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应， 那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个 映射．
即时训练
已知函数
f(x)＝2－x22＋x 1
x≤0 x>0
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
121n0≥1232，1n0≤32，解得 n≤15.
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
《函数导数及其应用》PPT课件
设A、B是两个非空 设A、B是两个非空 集
数集
合
如果按照某种确定
如果按某一个确定的对
的对应关系f，使对
对应关系
于集合A中的 任意
应关系f，使对于集合A 中的任意 一个元素x，
f：A→B
一个数x，在集合B 中都有唯一确定的
在集合B中都有唯一确 定 的元素y与之对应
数f(x)和它对应
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6
名称
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(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝
2x＋17，求f(x)的解析式；
(2)已知
，求f(x)的解析式.
[思路点拨]
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[课堂笔记] (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b ＝ax＋5a＋b，
即可； 3.待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般
形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；
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25
4.赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式. 5.解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关
系式，通过解关于f(x)的方程组求f(x).
[特别警示] 函数的解析式是函数表示法的一种.求函数的 解析式一定要说明函数的定义域.
系统； 2.对应关系f具有方向性，即强调从集合A到集合B的对应，
它与从B到A的对应关系是不同的； 3.对于A中的任意元素a，在B中有唯一元素b与之相对应.
其要点在“任意”、“唯一”两词上.
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21
已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝
－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之相对
函数与导数的应用PPT教学课件
范围.
变式新题型2：
已 知 函 数f (x) x3 3bx 2c ， 若 函f (数x)
的一个极值点落在 x 轴上，求b3 c 2的值。
热点题型3：导函数与转化的思想方法(理科）
已 知 函 数 f(x) ＝ lnx ， g(x) ＝ － ax2 ＋ bx ， a≠0。
（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单 调递减区间，求a的取值范围；
上(单1调,1)递减，若存在，求出 的取值a 范围；
若不存在，请说明理由。
热点题型2：导函数的极值与分 类讨论（理科）
• 已知 a R ，讨论函数 f (x) ex (x2 ax a 1)
• 的极值点的个数.
热点题型2：导函数的极值与分类讨论（文科）
• 设函数f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8,其中a R. • （1）若f (x)在x 3处取得极值，求常数a的值； • （2）若 f (x)在(,0) 上为增函数，求a的取值
五、幼虫选优技术
• （一）在孵化槽内孵化的幼体
• （二）在蓄养池内产卵、孵化的幼体
•
虹吸法
•
浓缩法
•
拖网法
六、耳状幼虫培育技术
• （一）耳状幼虫培育密度 • （二）饵料 • （三）日常管理技术 • （四）培育水体的主要环境因子
耳状幼虫培育密度
• 多年人工育苗实践及实验表明，培育初 耳幼体的最适密度0.5个/毫升左右；如果 有充气条件下，密度可以适当加大，一 般可控制在1个/毫升以下。在适宜范围内， 密度越小，幼体个体越大，发育越快， 成活率、变态率越高。
稚参培育环境
• 水温 • 光照 • 盐度 • PH值 • 溶解氧
稚参敌害与病害的防治技术
变式新题型2：
已 知 函 数f (x) x3 3bx 2c ， 若 函f (数x)
的一个极值点落在 x 轴上，求b3 c 2的值。
热点题型3：导函数与转化的思想方法(理科）
已 知 函 数 f(x) ＝ lnx ， g(x) ＝ － ax2 ＋ bx ， a≠0。
（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单 调递减区间，求a的取值范围；
上(单1调,1)递减，若存在，求出 的取值a 范围；
若不存在，请说明理由。
热点题型2：导函数的极值与分 类讨论（理科）
• 已知 a R ，讨论函数 f (x) ex (x2 ax a 1)
• 的极值点的个数.
热点题型2：导函数的极值与分类讨论（文科）
• 设函数f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8,其中a R. • （1）若f (x)在x 3处取得极值，求常数a的值； • （2）若 f (x)在(,0) 上为增函数，求a的取值
五、幼虫选优技术
• （一）在孵化槽内孵化的幼体
• （二）在蓄养池内产卵、孵化的幼体
•
虹吸法
•
浓缩法
•
拖网法
六、耳状幼虫培育技术
• （一）耳状幼虫培育密度 • （二）饵料 • （三）日常管理技术 • （四）培育水体的主要环境因子
耳状幼虫培育密度
• 多年人工育苗实践及实验表明，培育初 耳幼体的最适密度0.5个/毫升左右；如果 有充气条件下，密度可以适当加大，一 般可控制在1个/毫升以下。在适宜范围内， 密度越小，幼体个体越大，发育越快， 成活率、变态率越高。
稚参培育环境
• 水温 • 光照 • 盐度 • PH值 • 溶解氧
稚参敌害与病害的防治技术
函数与导数-课件ppt
考纲要求
(2)指数函数 ①了解指数函数模型的实际背景． ②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． ③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通 过的特殊点． ④知道指数函数是一类重要的函数模型． (3)对数函数 ①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成 自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． ②理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通 过的特殊点． ③知道对数函数是一类重要的函数模型．
知识梳理
1．函数 (1)设集合A是一个__非_空_____的数集，对A中的任意数x，按照确定 的法则f，都有_唯__一_确__定__的数y与它对应，则这种_对_应__关__系__叫做集合A 上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫自变量，自变量取值的范 围(数集A)叫做这个函数的_定__义__域___，所有函数值构成的集合叫做这个 函数的_值__域_____． (2)确定一个函数只需两个要素：__定__义__域__和_对__应_法__则__． (3)函数的表示方法：_解__析__法___、__列__表_法___、_图__象__法___.
命题趋势
命题趋势
5．在解答题中出现，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应用，往往与 函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考查学生的分类讨论，转 化化归等思想．
预测高考在选择题、填空题中主要考查函数的概念、性质和图象，解答题 主要以函数为背景，与导数、不等式、数列、甚至解析几何等知识相整合设计试 题，考查函数知识的综合应用。在选择题，填空题中主要考查导数的概念、几何 意义、导数的运算，大题主要以函数为背景，以导数为工具，考查应用导数研究 函数的单调性、极值或最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点 命题。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第10讲 函数模型及其应用课件
12/11/2021
• 3．(必修1P104例5改编)某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)， 设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )
• A．200只 B．300只 • C．400只 D．500只 • [解析] ∵繁殖数量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)，这种动物第2年有100
12/11/2021
题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论不正确的是(ABCD ) A．函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大 B．“指数爆炸”是指数型函数 y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快 的形象比喻 C．幂函数增长比直线增长更快 D．不存在 x0，使 ax0<x0a<logax0
12/11/2021
• (3)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的 始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M. 将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象 大致为( B )
12/11/2021
• [解析] (1)通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是 递增的，所以B正确．从图观察C是正确的，D也正确，1月至6月比较 平稳，7月至12月波动比较大．故选A．
•
例 3 季节性商品的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某商品开始时
定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10
周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该商品不再销售．
• (1)试建立价格p与周次t之间的函数关系式；
• (2)若此商品每周进货一次，每件进价Q与周次之间的关系式为Q＝－0.125(t－8)2 ＋12，t∈[0,16]，t∈N，试问该商品第几周每件销售利润最大？最大值是多少？
• 3．(必修1P104例5改编)某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)， 设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )
• A．200只 B．300只 • C．400只 D．500只 • [解析] ∵繁殖数量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)，这种动物第2年有100
12/11/2021
题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论不正确的是(ABCD ) A．函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大 B．“指数爆炸”是指数型函数 y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快 的形象比喻 C．幂函数增长比直线增长更快 D．不存在 x0，使 ax0<x0a<logax0
12/11/2021
• (3)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的 始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M. 将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象 大致为( B )
12/11/2021
• [解析] (1)通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是 递增的，所以B正确．从图观察C是正确的，D也正确，1月至6月比较 平稳，7月至12月波动比较大．故选A．
•
例 3 季节性商品的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某商品开始时
定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10
周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该商品不再销售．
• (1)试建立价格p与周次t之间的函数关系式；
• (2)若此商品每周进货一次，每件进价Q与周次之间的关系式为Q＝－0.125(t－8)2 ＋12，t∈[0,16]，t∈N，试问该商品第几周每件销售利润最大？最大值是多少？
解析高中数学中的函数与导数PPT
区间内
Within the interval
利用导数研究函数的曲率和曲率半径
导数是函数的切线斜率 通过求导数，我们可以知道函数在某一点的切线斜率，从而研究函数在该点的曲率。例如，在二维平面上，函数f(x, y) = x^2 + y^2的导数为f'(x, y) = (2x, 2y)，表示函数在点(x, y)处的切线斜率为(2x, 2y)。 曲率半径是描述曲线弯曲程度的指标 曲率半径R可以通过导数和曲率公式计算得出。例如，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导数为f'(x) = 2ax + b。当曲率为k时，曲率半径R可以通过以下公式计算：R = |1 + (k^2)| / (1 - k^2)a。因此，曲率半径可以用于描 述曲线的弯曲程度，曲率越大，曲线越弯曲。 导数与曲率、曲率半径的关系密切 导数是研究函数曲率和曲率半径的重要工具。通过求导数，我们可以知道函数在某一点的切线斜率，从而研究函数在该点的曲率。同时，曲率半径也可以通过导数和曲率公式计算得出。因此，导数与曲率、曲率半径之间存在密 切的关系。
函数的表达式和方程
函数表达式的解析 函数表达式如f(x)=x^2，表示输入x，输出结果为x的平方。 导数函数的定义 导数描述函数在某一点的切线斜率，如f'(x)=2x。 方程的解法 通过求导数找到函数的极值点，从而确定方程的解。
02. 导数的重要性和应用
导数在物理中的实际意义
函数与实际问题的关联
03. 求导法则与技巧
基本求导法则的介绍和理 解
导数法则的普适性 导数法则适用于所有函数，包括多项式函数、有理函数、无理 函数等。 求导法则的直观理解 通过极限的概念，我们可以直观地理解导数是函数在某一点的 切线斜率。
Within the interval
利用导数研究函数的曲率和曲率半径
导数是函数的切线斜率 通过求导数，我们可以知道函数在某一点的切线斜率，从而研究函数在该点的曲率。例如，在二维平面上，函数f(x, y) = x^2 + y^2的导数为f'(x, y) = (2x, 2y)，表示函数在点(x, y)处的切线斜率为(2x, 2y)。 曲率半径是描述曲线弯曲程度的指标 曲率半径R可以通过导数和曲率公式计算得出。例如，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导数为f'(x) = 2ax + b。当曲率为k时，曲率半径R可以通过以下公式计算：R = |1 + (k^2)| / (1 - k^2)a。因此，曲率半径可以用于描 述曲线的弯曲程度，曲率越大，曲线越弯曲。 导数与曲率、曲率半径的关系密切 导数是研究函数曲率和曲率半径的重要工具。通过求导数，我们可以知道函数在某一点的切线斜率，从而研究函数在该点的曲率。同时，曲率半径也可以通过导数和曲率公式计算得出。因此，导数与曲率、曲率半径之间存在密 切的关系。
函数的表达式和方程
函数表达式的解析 函数表达式如f(x)=x^2，表示输入x，输出结果为x的平方。 导数函数的定义 导数描述函数在某一点的切线斜率，如f'(x)=2x。 方程的解法 通过求导数找到函数的极值点，从而确定方程的解。
02. 导数的重要性和应用
导数在物理中的实际意义
函数与实际问题的关联
03. 求导法则与技巧
基本求导法则的介绍和理 解
导数法则的普适性 导数法则适用于所有函数，包括多项式函数、有理函数、无理 函数等。 求导法则的直观理解 通过极限的概念，我们可以直观地理解导数是函数在某一点的 切线斜率。
高二数学函数和导数及其应用PPT优秀课件
变式1－1
函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的大致区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
解析：由于f′(x)＝＋2，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．因为f(2)＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3>0，f(2)·f(3)<0，且函数f(x)＝ln x＋2x－6的图像是连续曲线，所以 f(x)在区间(2,3)内有零点，故选C.
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间
平分为二，使区间的两个端
点 逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．
7. 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c) ①若f(c)＝ 0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c) < 0，则令b＝c(此时零 点x0∈(a，c))； ③若f(c)·f(b) < 0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))； (4)判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则 重复(2)～(4)．
解析：因为 f32＝2×94－32a＋3＝0，所以 a＝5，
所以 f(x)＝2x2－5x＋3，故 f(1)＝2－5＋3＝0.
答案：0
5. 利用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算f(0.625)<0， f(0.75)>0 ， f(0.687 5)<0 ， 则 可 得 到 方 程 精 确 到 0.1 的 一 个 近 似 解 是 ________．
第九节 函数与方程
1. 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二 次方程根的存在性及根的个数；
函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的大致区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
解析：由于f′(x)＝＋2，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．因为f(2)＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3>0，f(2)·f(3)<0，且函数f(x)＝ln x＋2x－6的图像是连续曲线，所以 f(x)在区间(2,3)内有零点，故选C.
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间
平分为二，使区间的两个端
点 逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．
7. 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c) ①若f(c)＝ 0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c) < 0，则令b＝c(此时零 点x0∈(a，c))； ③若f(c)·f(b) < 0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))； (4)判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则 重复(2)～(4)．
解析：因为 f32＝2×94－32a＋3＝0，所以 a＝5，
所以 f(x)＝2x2－5x＋3，故 f(1)＝2－5＋3＝0.
答案：0
5. 利用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算f(0.625)<0， f(0.75)>0 ， f(0.687 5)<0 ， 则 可 得 到 方 程 精 确 到 0.1 的 一 个 近 似 解 是 ________．
第九节 函数与方程
1. 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二 次方程根的存在性及根的个数；
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学案10 函数模型及应用
老 师 都 说 好
!
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1.构建函数模型的基本步骤
不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律,
老 师
函数模型可以处理生产 、生活、 科技中很多实际问 题.
都
解决应用问题的基本步骤:
说
好
标
资 源
二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化
网
问题,值得注意的是:一定要注意自变量的取值范围,根据
图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置
老
师 关系讨论求解.
都
说
好
!
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＊对应演练＊
新
课
标 资
某人定制了一批地砖,每块地砖(如图2-10-2中(1)所示)
师
4
!
都 说 好
此时当x=b时，S有最大值为-2b-( a b )2+ (a b)2 =ab-b2.
4
8
综上可知，当a≤3b时，x=
a b时，四边形面积
4
Smax=
(a b)2 8
,当a>3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.
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新 课
【评析】二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立
=
2
(5×5
52 2
) -(0.5+0.25x)
=
4.75x- x2 -0.5(0≤x≤5) 2 12-0.25x(x>5).
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(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x- x-20.5,
新
2
课 标
当x=4.75时,L(x)max=10.78125万元.
资
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新 (1)求证:四边形EFGH是正方形;
课
标 资
(2)E,F在什么位置时,定制这批地砖所需的材料的费用最省?
源
网
老 师 都 说 好
!
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(1)证明:图(2)是由四块图(1)所示地砖绕点C按顺时
新
课 针旋转90°后得到的,△CFE为等腰直角三角形,∴四边
当x>5时,L(x)=12-0.25x为减函数.
此时L(x)<10.75(万元).
老 ∴生产475台时利润最大.
师 都 说 好
(3)由
0≤x≤5 x2 4.75x- 2 -0.5≥0
x>5 或
12-0.25x≥0,
（1）审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系,
!
恰当选择模型;
（2）建模:将文字语言、图形（或数表）等转化为数
学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
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（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
新
课
（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还
标
资 源
原为实际问题的意义.
网
2.常见的几种函数模型
(1)一次函数型y=kx+b;
老 师
(2)反比例函数型y= k (k≠0);
x
都
说
(3)二次函数型y=ax2+bx+c(a≠0);
!
好
(4)指数函数型y=N(1+p)x(增长率问题)(x>0);
(5)对数函数型y=AlogaN+B(a>0且a≠1,N>0); (6)分段函数型.
标
资 源
形EFGH是正方形.
网
(2)设CE=x,则BE=0.4-x,每块地砖的费用为W,制成
△CFE,△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格
老 依次为3a,2a,a(元),
师 都
W= 1 x2·3a+ 1 ×0.4×(0.4-x)×2a
说 好
2
+〔 0.16-
1
2
x2-
1 ×0.4×(0.4-x) 〕a
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新
课
标
资
源
考点一 二次函数模型
网
如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b<a),
在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF都等于
老
师
x,当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最
都
说
大面积.
好
!
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新
【分析】依据图形建立起四边形EFGH的面积S关于
源
网
是边长为0.4米的正方形ABCD,点E,F分别在边BC和CD
上,△CFE,△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制
老
成△CFE,△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方
师
都
米价格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图中(2)所示的
说
好
形式铺设,能使中间的深色阴影部分组成四边形EFGH.
!
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网
元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投
入)0.25万元.市场对此x产2 品的年需求量为500台,销售的
老
收入函数为R(x)=5x- 2 (万元)(0≤x≤5),其中x是产品售
师 都
出的数量(单位:百台).
说
(1)把利润表示为年产量的函数;
好
!
(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?
(3)年产量是多少时,工厂才不亏本?
22
!
=a(x2-0.2x+0.24)=a［(x-0.1)2+0.3］(0<x<0.4).
由a>0,当x=0.1时,W有最小值,即总费用最省.
答:当CE=CF=0.1米时,总费用最省.
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新 考点二 分段函数型
课
标
资 源
某工厂生产一种机器的固定成本 (即固定投入) 为0.5万
4
8
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新
由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}.
课
标
又0<b<a,∴0<b< a b ,
资 源 网
若
a
b
2
≤b,即a≤3b时,
4
则当x= a b 时,S有最大值 (a b)2 ;
4
8
老
若 a b >b,即a>3b时，S(x)在(0,b］上是增函数.
课
标 自变量x的目标函数,然后利用解决二次函数的最值问题
资
源 网
求出S的最大值.
【解析】设四边形E1FGH的面积为S,则
老
S△AEH =S△CFG = 2 x2,
师 都
S△BEF =S△DGH = 1 (a-x)(b-x),
!
说 好
2
S
ab
-
2
1 2
x2
1 2
(a
-
x)(b
-
x)
-2x2 (a b)x -2(x - a b )2 (a b)2 .
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【分析】对于一些较复杂的应用题,有时仅构造一
新
课 个数学模型还不能解决根本问题,需先后或同时构造、
标
资 源
利用几个数学模型才可.
网
【解析】 (1)当x≤5时,产品能售出x百台;
当x>5时,只能售出5百台,
老
师
故利润函数为L(x)=R(-C(x)
都
x2
!
说 好
(5x- )-(0.5+0.25x)