第章《函数与导数》函数模型及应用PPT课件

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新
由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}.
课
标
又0<b<a,∴0<b< a b ,
资 源 网
若
a

b
2
≤b,即a≤3b时,
4
则当x= a b 时,S有最大值 (a b)2 ;
4
8
老
若 a b >b,即a>3b时，S(x)在(0,b］上是增函数.
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【分析】对于一些较复杂的应用题,有时仅构造一
新
课 个数学模型还不能解决根本问题,需先后或同时构造、
标
资 源
利用几个数学模型才可.
网
【解析】 (1)当x≤5时,产品能售出x百台;
当x>5时,只能售出5百台,
老
师
故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)
都
x2
!
说 好
(5x- )-(0.5+0.25x)
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新 (1)求证:四边形EFGH是正方形;
课
标 资
(2)E,F在什么位置时,定制这批地砖所需的材料的费用最省?
源
网
老 师 都 说 好
!
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(1)证明:图(2)是由四块图(1)所示地砖绕点C按顺时
新
课 针旋转90°后得到的,△CFE为等腰直角三角形,∴四边
当x>5时,L(x)=12-0.25x为减函数.
此时L(x)<10.75(万元).
老 ∴生产475台时利润最大.
师 都 说 好
(3)由
0≤x≤5 x2 4.75x- 2 -0.5≥0
x>5 或
12-0.25x≥0,
课
标 自变量x的目标函数,然后利用解决二次函数的最值问题
资
源 网
求出S的最大值.
【解析】设四边形E1FGH的面积为S,则
老
S△AEH =S△CFG = 2 x2,
师 都
S△BEF =S△DGH = 1 (a-x)(b-x),
!
说 好
2
S

ab
-
2
1 2
x2

1 2
(a
-
x)(b
-
x)
-2x2 (a b)x -2(x - a b )2 (a b)2 .
源
网
是边长为0.4米的正方形ABCD,点E,F分别在边BC和CD
上,△CFE,△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制
老
成△CFE,△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方
师
都
米价格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图中(2)所示的
说
好
形式铺设,能使中间的深色阴影部分组成四边形EFGH.
!
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22
!
=a(x2-0.2x+0.24)=a［(x-0.1)2+0.3］(0<x<0.4).
由a>0,当x=0.1时,W有最小值,即总费用最省.
答:当CE=CF=0.1米时,总费用最省.
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新 考点二 分段函数型
课
标
资 源
某工厂生产一种机器的固定成本 (即固定投入) 为0.5万
（1）审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系,
!
恰当选择模型;
（2）建模:将文字语言、图形（或数表）等转化为数
学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
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（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
新
课
（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还
标
资 源
原为实际问题的意义.
标
资 源
二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化
网
问题,值得注意的是:一定要注意自变量的取值范围,根据
图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置
老
师 关系讨论求解.
都
说
好
!
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＊对应演练＊
新
课
标 资
某人定制了一批地砖,每块地砖(如图2-10-2中(1)所示)
网
2.常见的几种函数模型
(1)一次函数型y=kx+b;
老 师
(2)反比例函数型y= k (k≠0);
x
都
说
(3)二次函数型y=ax2+bx+c(a≠0);
!
好
(4)指数函数型y=N(1+p)x(增长率问题)(x>0);
(5)对数函数型y=AlogaN+B(a>0且a≠1,N>0); (6)分段函数型.
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新
课
标
资
源
考点一 二次函数模型
网
如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b<a),
在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF都等于
老
师
x,当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最
都
说
大面积.
好
!
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新
【分析】依据图形建立起四边形EFGH的面积S关于
标
资 源
形EFGH是正方形.
网
(2)设CE=x,则BE=0.4-x,每块地砖的费用为W,制成
△CFE,△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格
老 依次为3a,2a,a(元),
师 都
W= 1 x2·3a+ 1 ×0.4×(0.4-x)×2a
说 好
2
+〔 0.16-
1
2
x2-
1 ×0.4×(0.4-x) 〕a
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新 课 标 资 源 网
学案10 函数模型及应用
老 师 都 说 好
!
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新 课 标 资 源 网
1.构建函数模型的基本步骤
不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律,
老 师
函数模型可以处理生产 、生活、 科技中很多实际问 题.
都
解决应用问题的基本步骤:
说
好
师
4
!
都 说 好
此时当x=b时，S有最大值为-2b-( a b )2+ (a b)2 =ab-b2.
4
8
综上可知，当a≤3b时，x=
a b时，四边形面积
4
Smax=
(a b)2 8
,当a>3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.
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新 课
【评析】二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立
=
2
(5×5
52 2
) -(0.5+0.25x)
=
4.75x- x2 -0.5(0≤x≤5) 2 12-0.25x(x>5).
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(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x- x-20.5,
新
2
课 标
当x=4.75时,L(x)max=10.78125万元.
资
源 网
网
元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投
入)0.25万元.市场对此x产2 品的年需求量为500台,销售的
老
收入函数为R(x)=5x- 2 (万元)(0≤x≤5),其中x是产品售
师 都
出的数量(单位:百台).
说
(1)把利润表示为年产量的函数;
好ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
!
(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?
(3)年产量是多少时,工厂才不亏本?