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山东省菏泽市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
山东省菏泽市2020年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.下列各数中，绝对值最小的数是（）A. -5B. 12C. -1D. √2【答案】B【考点】绝对值及有理数的绝对值【解析】【解答】解：|−5|=5，|12|=12，|−1|=1，|√2|=√2，∵5>√2>1>12，∴绝对值最小的数是12；故答案为：B．【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．2.函数y=√x−2x−5的自变量x的取值范围是（）A. x≠5B. x>2且x≠5C. x≥2D. x≥2且x≠5【答案】 D【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：由题意得：{x−2≥0x−5≠0,解得：x≥2且x≠5.故答案为：D．【分析】由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围．3.在平面直角坐标系中，将点P(−3,2)向右平移3个单位得到点P′，则点P′关于x轴的对称点的坐标为（）A. (0,−2)B. (0,2)C. (−6,2)D. (−6,−2)【答案】A【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征，平移的性质【解析】【解答】解：∵将点P(−3,2)向右平移3个单位，∴点P′的坐标为：(0，2)，∴点P′关于x轴的对称点的坐标为：(0，-2)．故答案为：A．【分析】先根据点向右平移3个单位点的坐标特征：横坐标加3，纵坐标不变，得到点P′的坐标，再根据关于x轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可．4.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：从正面看所得到的图形为a选项中的图形．故答案为：a．【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图图形即可．5.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（）A. 互相平分B. 相等C. 互相垂直D. 互相垂直平分【答案】C【考点】勾股定理，矩形的判定与性质【解析】【解答】根据题意画出图形如下：答：AC与BD 的位置关系是互相垂直．证明：∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH=90°，又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH=∠OMH=90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH=∠COB=90°，即AC⊥BD．故答案为：C．【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形．6.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（）A. α2 B. 23α C. α D. 180°−α【答案】 D【考点】多边形内角与外角，旋转的性质【解析】【解答】由旋转的性质得：∠BAD= α，∠ABC=∠ADE，∵∠ABC+∠ABE=180º，∴∠ADE+∠ABE=180º，∵∠ABE+∠BED+∠ADE+∠BAD=360º，∠BAD= α∴∠BED=180º- α，故答案为：D．【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360º即可求解．7.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2−4x+k=0的两个根，则k的值为（）A. 3B. 4C. 3或4D. 7【答案】C【考点】一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2−4k＝0，解得k＝4，此时，两腰的和=x1+x2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9−12＋k＝0，解得k＝3；综上，k的值为3或4，故答案为：C．【分析】分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程可计算出k的值即可．8.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】一次函数的图象，一次函数的性质，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A不符合题意；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a>0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B符合题意；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a<0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C不符合题意；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不符合题意．故答案为：B．【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．二、填空题（共6题；共6分）9.计算(√3−4)(√3+4)的结果是________．【答案】﹣13【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】(√3−4)(√3+4)=√32−42=3−16=−13.故答案为﹣13.【分析】根据平方差公式计算即可.10.方程x−1x =x+1x−1的解是________．【答案】x=13【考点】解分式方程【解析】【解答】方程两边都乘以x(x−1)，得：(x−1)2=x(x+1)，解得：x=13，检验：x=13时，x(x−1)=−29≠0，所以分式方程的解为x=13，故答案为：x=13．【分析】方程两边都乘以x(x−1)化分式方程为整式方程，解整式方程得出x的值，再检验即可得出方程的解．11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC=4，CD= 3，则cos∠DCB的值为________．【答案】23【考点】锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D是AB边的中点，∴DC=DB，∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，∴cos∠DCB=cos∠B=BCAB =46=23，故答案为：23．【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DC=DB，∠DCB=∠B，根据锐角三角函数的定义即可求解．12.从-1，2，-3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y=abx，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是________．【答案】23【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质，概率公式【解析】【解答】从-1，2，-3，4中任取两个数值作为a，b的值，其基本事件总数有：共计12种；其中积为负值的共有：8种，∴其概率为：812=23故答案为：23．【分析】从-1，2，-3，4中任取两个数值作为a，b的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可．13.如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA=OB=2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为________．【答案】2√3−π【考点】等边三角形的性质，扇形面积的计算【解析】【解答】解：如图，连接OD，∵AB是切线，则OD⊥AB，在菱形OABC中，∴AB=OA=OB=2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=∠A=60°，∴OD= 2×sin60°=√3，∴SΔAOB=12×2×√3=√3，∴扇形的面积为：60°×π×(√3)2360°=π2，∴阴影部分的面积为：2×(√3−π2)=2√3−π；故答案为：2√3−π．【分析】连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．14.如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P在对角线BD上，且BP=BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为________．【答案】3√17【考点】平行线的性质，勾股定理，矩形的性质【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，AB=5，AD=12，∴∠BAD=∠BCD=90º，AB=CD=5，BC=AD=12，AB∥CD，∴BD=√AB2+AD2=13，又BP=BA=5，∴PD=8，∵AB∥DQ，∴BPPD =ABDQ=ABCD+CQ，即55+CQ=58解得：CQ=3，在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3，BQ=√BC2+CQ2=√122+32=3√17．故答案为：3√17【分析】由矩形的性质求得BD，进而求得PD ，再由AB∥CD得BPPD=ABDQ=ABCD+CQ，求得CQ，然后由勾股定理解得BQ即可．三、解答题（共10题；共90分）15.计算：2−1+|√6−3|+2√3sin45°−(−2)2020⋅(12)2020．【答案】解：2−1+|√6−3|+2√3sin45°−(−2)2020⋅(12)2020=12+(3−√6)+2√3×√22−(−2×12)2020=12+3−√6+√6−1=52．【考点】负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值，实数的绝对值，积的乘方【解析】【分析】根据负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，积的乘方公式的逆向应用进行计算即可．16.先化简，再求值： (2a −12a a+2)÷a−4a 2+4a+4 ，其中a 满足 a 2+2a −3=0 ．【答案】 解：原式=(2a 2+4a a +2−12a a+2)÷a−4(a+2)2 = 2a 2−8a a +2÷a−4(a+2)2 = 2a(a−4)a +2×(a +2)2a−4=2a(a+2)=2a 2+4a.∵ a 2+2a −3=0 ，∴a 2+2a=3.∴原式=2（a 2+2a ）=6.【考点】利用分式运算化简求值【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值．17.如图，在 △ABC 中， ∠ACB =90° ，点E 在 AC 的延长线上， ED ⊥AB 于点D ，若 BC =ED ，求证： CE =DB ．【答案】 证明：∵ ED ⊥AB ，∴∠ADE=90°，∵ ∠ACB =90° ，∴∠ACB=∠ADE ，在 ΔAED 和 ΔABC 中{∠ACB =∠ADE∠A =∠A BC =ED，∴ ΔAED ≅ΔABC ，∴AE=AB ，AC=AD ，∴AE-AC=AB-AD ，即EC=BD ．【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】利用AAS证明ΔAED≅ΔABC，根据全等三角形的性质即可得到结论．18.某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B 处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i=1:2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）【答案】解：如下图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，在Rt△ABE中，AB=52，∵i=1:2.4∴tan∠BAE= BEAE = 12.4，∴AE=2.4BE，又∵BE2+AE2=AB2，∴BE2+(2.4BE)2=522，解得：BE=20，∴AE=2.4BE=48；∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，∴四边形BEDF是矩形，∴FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；在Rt△BCF中，tan∠CBF= CFBF，即：tan53°= CFBF = 43∴CF= 43BF=32，∴CD=CF+FD=32+20=52．答：大楼的高度CD为52米．【考点】矩形的判定与性质，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题【解析】【分析】过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，在Rt△ABE中，根据坡度i=1:2.4及勾股定理求出BE和AE的长，进而由三个角是直角的四边形是矩形判断四边形BEDF是矩形，得到BF和FD 的长，再在Rt△BCF中，根据∠CBF的正切函数解直角三角形，得到CF的长，由CD=CF+FD得解．19.某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x<70；B：70≤x<80；C：80≤x<90；D：90≤x≤100，并绘制出如下不完整的统计图．（1）求被抽取的学生成绩在C：180≤x<90组的有多少人；（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x<70组的学生有多少人．【答案】（1）解：由图可知：B组人数为12；B组所占的百分比为20%，∴本次抽取的总人数为：12÷20%=60（人），∴抽取的学生成绩在C：80≤x<90组的人数为：60−6−12−18=24（人）；（2）解：∵总人数为60人，∴中位数为第30,31个人成绩的平均数，∵6+12=18<30，且6+12+24=42>30∴中位数落在C组（3）解：本次调查中竞赛成绩在A：60≤x<70组的学生的频率为：660=110，故该学校有1500名学生中竞赛成绩在A：60≤x<70组的学生人数有：1500×110=150（人）．【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，中位数【解析】【分析】（1）根据扇形统计图的B组所占比例，条形统计图得B在人数，用总人数减去A，B，D人数，可得C组人数；（2）根据总人数多少，结合中位数的概念确定即可；（3）根据样本中A组所占比例，用总人数乘以比例，即可得到答案．20.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A(1,2)，B(n,−1)两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线 AB 交x 轴于点C ，点P 是x 轴上的点，若 △ACP 的面积是 4 ，求点P 的坐标．【答案】 （1）解：将点A （1,2）坐标代入 y =m x 中得：m=1×2=2，∴反比例函数的表达式为 y =2x ，将点B(n ，-1)代入 y =2x 中得：−1=2n ，∴n=﹣2，∴B(-2，-1)，将点A （1，2）、B （-2，-1）代入 y =kx +b 中得：{k +b =2−2k +b =−1 解得： {k =1b =1， ∴一次函数的表达式为 y =x +1 ；（2）解：设点P （x ，0），∵直线 AB 交x 轴于点C ，∴由0=x+1得：x=﹣1，即C （-1，0），∴PC=∣x+1∣，∵ △ACP 的面积是 4 ，∴ 12×|x +1|×2=4∴解得： x 1=3,x 2=−5 ，∴满足条件的点P 坐标为（3，0）或（-5，0）．【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象，反比例函数的性质，一次函数的性质【解析】【分析】（1）将点A 坐标代入 y =m x 中求得m ，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B 坐标，再根据A 、B 两点坐标可得一次函数表达式；（2）设点P(x ，0)，由题意解得PC 的长，进而可得点P 坐标．21.今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．【答案】 （1）解：设购买一根跳绳需要x 元，一个毽子需要y 元，依题意，得： {2x +5y =324x +3y =36， 解得： {x =6y =4， 答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；（2）解：设学校购进跳绳m 根，则购进毽子（54-m ）根，根据题意，得： 6m +4(54−m)≤260 ，解得：m≤22，又m ﹥20，且m 为整数，∴m=21或22，∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根．【考点】一元一次不等式的应用，二元一次方程组的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）设购买一根跳绳需要x 元，一个毽子需要y 元，依题意列出二元一次方程组解之即可；（2）设学校购进跳绳m 根，则购进毽子（54-m ）根，根据题意列出不等式解之得m 的范围，进而可判断购买方案．22.如图，在 △ABC 中， AB =AC ，以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交 AC 于点E ．（1）求证： DE ⊥AC ；（2）若⊙O 的半径为5， BC =16 ，求 DE 的长．【答案】 （1）解：连接OD ，如图：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵OB=OD ，∴∠B=∠ODB，∴∠B=∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE是切线，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE；（2）解：连接AD，如（1）图，∵AB为直径，AB=AC，∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，∴CD=BD= 12BC=12×16=8，∠ADC=90°，∵AB=AC= 2×5=10，由勾股定理，得：AD=√102−82=6，∵SΔACD=12×8×6=12×10×DE，∴DE=4.8；【考点】三角形的面积，切线的性质【解析】【分析】（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；（2）连接AD，则有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出DE的长度．23.如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD+CD．图1 图2（1）过点A作AE//DC交BD于点E，求证：AE=BE；（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD′．①求证：BD′//CD；②若AD′//BC，求证：CD2=2OD⋅BD．【答案】（1）解：连接CE，∵AE//DC，∴∠OAE=∠OCD，∵∠OAE=∠OCD，OA=OC，∠AOE=∠COD，∴△OAE≌△OCD，∴AE=CD，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE=CD，OE=OD，∵OB=OD+CD=OE+B E，∴CD=BE，∴AE=BE（2）解：①过A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，连接CE，由（1）得，AE=BE，∴∠ABE=∠BAE，由翻折的性质得∠D′BA=∠ABE，∴∠D′BA=∠BAE，∴BD′//AF，∴BD′//CD；②∵AD′//BC，BD′//AF，∴四边形AFBD′为平行四边形，∴∠D′=∠AFB，BD′=AF，∴AF=BD，∵AE=BE，∴EF=DE，∵四边形AECD是平行四边形，∴CD=AE=BE，∵AF∥CD，∴∠BEF=∠CDE，∵EF=DE，CD=BE，∠BEF=∠CDE，∴△BEF≌△CDE（SAS），∴∠BFE=∠CED，∵∠BFE=∠BCD，∴∠CED=∠BCD，又∵∠BDC=∠CDE，∴△BCD∽△CDE，∴CDBD =DECD，即CD2=BD×DE，∵DE=2OD，∴CD2=2OD⋅BD．【考点】全等三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）连接CE，根据全等证得AE=CD，进而AECD为平行四边形，由OB=OD+CD进行等边代换，即可得到AE=BE；（2）①过A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，连接CE，AE=BE，得∠ABE=∠BAE，利用翻折的性质得到∠D′BA=∠BAE，即可证明；②证△BEF≌△CDE，从而得∠BFE=∠CED，进而得∠CED=∠BCD，且∠CDE=BDC，得到△BCD∽△CDE，得CDBD =DECD，即可证明．24.如图，抛物线y=ax2+bx−6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA=2，OB= 4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是92时，求△ABD的面积；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵OA=2，OB=4，∴A（-2，0），B（4，0），将A（-2，0），B（4，0）代入y=ax2+bx−6得：{4a−2b−6=016a+4b−6=0，解得：a=34,b=−32∴抛物线的函数表达式为： y =34x 2−32x −6（2）解：由（1）可得抛物线 y =34x 2−32x −6 的对称轴l ： x =1 ， C(0,−6) ，设直线BC ： y =kx +m ，可得： {4k +m =0m =−6解得 k =32,m =−6 ，∴直线BC 的函数表达式为： y =32x −6 ，如图1，过D 作DE ⊥OB 交OB 于点F,交BC 于点E ，设 D(d,34d 2−32d −6) ，则 E(d,32d −6) ，∴ DE =−34d 2+3d ，由题意可得 12(−34d 2+3d)×4=92整理得 d 2−4d +3=0解得 d 1=1 （舍去）， d 2=3∴ D(3,−154) ， ∴ DF =154,AB =6∴ S △ABD =12AB ·DF=12×6×154 =154 ；（3）解：存在由（1）可得抛物线y=34x2−32x−6的对称轴l：x=1，由（2）知D(3,−154)，①如图2当MB//ND，MB=ND时，四边形BDNM即为平行四边形，此时MB=ND=4，点M与点O重合，四边形BDNM即为平行四边形，∴由对称性可知N点横坐标为-1，将x=-1代入y=34x2−32x−6解得y=−154∴此时N(−1,−154)，四边形BDNM即为平行四边形．②如图3当MN//BD，MN=BD时，四边形BDMN为平行四边形，过点N做NP⊥x轴，过点D做DF⊥x轴，由题意可得NP=DF∴此时N点纵坐标为154将y= 154代入y=34x2−32x−6，得 34x 2−32x −6=154 ，解得： x =1±√14∴此时 N(1−√14，154) 或 N(1+√14，154) ，四边形BDMN 为平行四边形．综上所述， N(−1,−154) 或 N(1−√14，154) 或 N(1+√14，154) ．【考点】待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，二次函数y=ax^2+bx+c 的图象，二次函数y=ax^2+bx+c 的性质【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法可求得函数解析式；（2）先求出函数的对称轴和直线BC 的函数表达式，过D 作DE ⊥OB 交OB 于点F,交BC 于点E ，用式子表示出 △BCD 的面积从而求出D 的坐标，进一步可得 △ABD 的面积；（3）根据平行四边形的性质得到 MB //ND,MB=ND ，结合对称轴和点D 坐标易得点N 的坐标．。
菏泽市中考数学试题及答案
菏泽市中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列选项中，正确的是（）A. 平方根的定义是：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
B. 两个等腰三角形全等，那么它们的底边一定相等。
C. 如果a > b，那么a - b > 0。
D. 相邻的两个整数一定互质。
答案：C2. 下列各数中，是无理数的是（）A. √9B. 3πC. 1/2D. 0.333...答案：B3. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）A. y = x^3B. y = |x|C. y = x^2 + 1D. y = x^2 - x答案：D4. 下列图形中，一定是中心对称图形的是（）A. 矩形B. 等边三角形C. 正方形D. 等腰梯形答案：C5. 已知a、b、c是三角形的三边，则下列关系式中正确的是（）A. a + b > cB. a + c > bC. b + c > aD. a + b + c > 2a答案：C6. 下列各数中，最大的数是（）A. 2√3B. √10C. 3√2D. 4√1.5答案：D7. 在三角形ABC中，a = 5, b = 7, sinA = 3/5，那么三角形ABC的面积S等于（）A. 14B. 10.5C. 7D. 5.6答案：B8. 下列关于x的不等式中，有解的是（）A. x(x - 3) < 0B. x(x - 3) > 0C. x(x + 3) < 0D. x(x + 3) > 0答案：C9. 下列关于x的方程中，有唯一解的是（）A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 - 4x + 5 = 0C. x^2 + 4x + 4 = 0D. x^2 + 4x + 5 = 0答案：A10. 下列关于x的方程组中，有唯一解的是（）A. x + y = 2x - y = 4B. x + y = 22x + y = 5C. x + y = 23x + 2y = 8D. x + y = 2x + 2y = 5答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知a = 2 + √3，b = 2 - √3，则a - b的值为________。
2023年菏泽中考数学试题
2023年山东省菏泽市中考数学试卷（附答案）一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.1．（3分）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．a2•a3＝a5C．（2a3）2＝2a6D．（a+b）2＝a2+b23．（3分）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（3分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A．c（b﹣a）＜0B．b（c﹣a）＜0C．a（b﹣c）＞0D．a（c+b）＞0 5．（3分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则的值为（）A．B．﹣3C．3D．7．（3分）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形8．（3分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B （﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（）A．﹣≤c＜1B．﹣4≤c＜﹣3C．﹣≤x＜6D．﹣4≤c＜5二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）9．（3分）因式分解：m3﹣4m＝．10．（3分）计算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝．11．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为．12．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为（结果保留π）．13．（3分）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝度．14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内.）15．（6分）解不等式组．16．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．17．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD 于点F．求证：AE＝CF．18．（6分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的侧角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．19．（7分）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：（1）A组数据的中位数是，众数是；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是度；（2）补全学生心率频数分布直方图；（2）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？20．（7分）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C（a，1）．（1）求反比例函数y＝和直线OC的表达式；（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．21．（10分）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BC＝DE；（2）P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．23．（10分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．24．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.1．答案：A2．答案：B3．答案：B4．答案：C5．答案：A6．答案：C7．答案：D8．答案：D二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）9．（3分）因式分解：m3﹣4m＝m（m+2）（m﹣2）．【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），故答案为：m（m+2）（m﹣2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（3分）计算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝1．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝2﹣+2×﹣1＝2﹣+﹣1＝1．故答案为：1．11．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，∴是偶数的概率为，故答案为：．12．6π13．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABE＝55°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝35°，由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∵∠EGC是△BEG的一个外角，∴∠EGC＝∠BEF+∠EBC＝80°，故答案为：80．14．﹣2三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内.）15．（6分）解不等式组．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得：x＜2.5，解不等式②，得：x≤，∴该不等式组的解集是x≤．16．【解答】解：（+）÷＝＝＝2（2x+y），∵2x+y﹣3＝0，∴2x+y＝3，∴原式＝2×3＝6．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．17．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠D，∠BAD＝∠BCD，∵AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，∴∠BAE＝∠FCD，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF．18．【分析】过P作PH⊥AB于H，过C作CG⊥PH于Q，而CB⊥AB，则四边形CQHB 是矩形，先解Rt△APH，求出PH，AH，得到CQ的长度，再解Rt△PQC，得到PQ的长即可解决问题．【解答】解：如图所示：过P作PH⊥AB于H，过C作CG⊥PH于Q，而CB⊥AB，则四边形CQHB是矩形，∴QH＝BC，BH＝CQ，由题意可得：AP＝80，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70，∴PH＝AP sin6°＝80×＝40，AH＝AP cos60°＝40，∴CQ＝BH＝70﹣40＝30，∴PQ＝CQ••tan30°＝10，∴BC＝QH＝40﹣10＝30，∴大楼的高度BC为30m．【点评】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．19．（1）A组数据的中位数是69，众数是74；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是54度；（2）补全学生心率频数分布直方图；（2）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？【解答】解：（1）把A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，故A组数据的中位数是：＝69，众数是74；由题意得，样本容量为：8÷8%＝100，在统计图中B组所对应的扇形圆心角是：360°×＝54°．故答案为：69，74，54；（2）C组频数为：100﹣8﹣15﹣45﹣2＝30，补全学生心率频数分布直方图如下：（3）2300×（30%+）＝1725（名），答：估计大约有1725名学生达到适宜心率．【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，先证△CBD∽△BAO，求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式和直线OC的解析式；（2）先求出直线l的解析式，然后与反比例函数的解析式组成方程组，求出方程组的解即得出直线l与反比例函数图象的交点坐标．【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∴∠BDC＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠BDC＝∠AOB，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，∴△CBD∽△BAO，∴，∵A（0，4），B（2，0），C（a，1），∴AO＝4，BO＝2，CD＝1，∴，∴BD＝2，∴OD＝BO+BD＝4，∴a＝4，∴点C的坐标是（4，1），∵反比例函数过点C，∴k＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为；设直线OC的解析式为y＝mx，∵其图象经过点C（4，1），∴4m＝1，解得，∴直线OC的解析式为；（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，∴直线l的解析式为，由题意得，，解得，，∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或（2，2）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数交点问题，熟知反比例函数与一次函数的交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解．21．【解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120﹣3x）米，根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，∵﹣3＜0，∴当x＝20时，S取最大值1200，∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，∵学校计划购买费用不超过5万元，∴25m+15（2400﹣m）≤50000，解得m≤1400，∴最多可以购买1400株牡丹．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．22．【解答】（1）证明：∵D是的中点，∴，∵DE⊥AB且AB为⊙O的直径，∴，∴，∴BC＝DE；（2）解：连接OD，∵，∴∠CAB＝∠DOB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DFO＝90°，∴△ACB∽△OFD，∴，设⊙O的半径为r，则，解得r＝5，经检验，r＝5是方程的根，∴AB＝2r＝10，∴，∴，∵∠BPC＝∠CAB，∴；（3）解：如图，过点B作BG⊥CP交CP于点G，∴∠BGC＝∠BGP＝90°，∵∠ACB＝90°，CP是∠ACB的平分线，∴∠ACP＝∠BCP＝45°，∴∠CBG＝45°，∴，∴，∴，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．23．【分析】（1）由矩形的性质得∠C＝∠ADE＝90°，再证∠AED＝∠DFC，即可得出结论；（2）证Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），得DE＝CF，再证△DCF≌△DCH（SAS），得∠DFC ＝∠H，然后由平行线的性质得∠ADF＝∠DFC，即可得出结论；（3）延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，△ADE≌△DCG（SAS），得∠DGC ＝∠AED＝60°，AE＝DG，再证△DFG是等边三角形，得FG＝DF＝11，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝90°，∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF，∵CH＝DE，∴CF＝CH，∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°，又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H；（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS），∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11，∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的长为3．【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．24．【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答；（2）过B′作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到AB'＝AB＝5，由AB'＝AB＝5＝2AH，推出，解直角三角形得到OD的长，即可解答；（3）求得BC所在直线的解析式为y1＝﹣4x+4，设P（m，﹣m2﹣3m+4），设PE所在直线的解析式为：y2＝﹣x+b2，得，令y1＝y2，解得，分别表示出FG和，再对进行化简计算，配方成顶点式即可求解．【解答】解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，4），∴c＝4，∵对称轴为，∴，b＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；（2）如图，过B'作x轴的垂线，垂足为H，令﹣x2﹣3x+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（1，0），∴AB＝1﹣（﹣4）＝5，由翻折可得AB′＝AB＝5，∵对称轴为，∴，∴AB'＝AB＝5＝2AH，∴∠AB'H＝30°，∠B'AB＝60°，∴，在Rt△AOD中，，∴；（3）设BC所在直线的解析式为y1＝k1x+b1，把B、C坐标代入得：，解得：，∴y1＝﹣4x+4，∵OA＝OC，∴∠CAO＝45°，∵∠AEB＝90°，∴直线PE与x轴所成夹角为45°，设P（m，﹣m2﹣3m+4），设PE所在直线的解析式为：y2＝﹣x+b2，把点P代入得，∴，令y1＝y2，则﹣4x+4＝﹣x﹣m2﹣2m+4，解得，∴FG＝，，∴，∵点P在直线AC上方，∴﹣4＜m＜0，∴当m＝时，FG+FP的最大值为．【点评】本题主要考查了二次函数的综合问题，利用数形结合的思想是解答本题的关键．。
2023年山东省菏泽市中考数学真题(原卷版和解析版)
2023年菏泽市初中学业水平考试一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）1.剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.下列运算正确的是（）A.632a a a ÷= B.235a a a ⋅= C.()23622a a = D.()222a b a b +=+3.一把直尺和一个含30︒角的直角三角板按如图方式放置，若120∠=︒，则2∠=（）A.30︒B.40︒C.50︒D.60︒4.实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A.()0c b a -<B.()0b c a -<C.()0a b c ->D.()0a c b +>5.如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（）A.B.C.D.6.一元二次方程2310x x +-=的两根为12x x ，，则1211+x x 的值为（）A.32B.3- C.3D.32-7.ABC 的三边长a ，b ，c满足2()||0a b c --=，则ABC 是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形8.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：(1,3),(2,6),(0,0)A B C --等都是三倍点”，在31x -<<的范围内，若二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（）A.114c -≤< B.43c -≤<- C.154c -<< D.45c -≤<二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）9.因式分解：24m m -=______．10.计算：0|2|2sin 602023-+︒-=___________．11.用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为__________．12.如图，正八边形ABCDEFGH 的边长为4，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留π）．13.如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，将ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90︒得到CBF V ．若55ABE ∠=︒，则EGC ∠=__________度．14.如图，在四边形ABCD 中，90,5,4,ABC BAD AB AD AD BC ∠=∠=︒==<，点E 在线段BC 上运动，点F 在线段AE 上，ADF BAE =∠∠，则线段BF 的最小值为__________．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）15.解不等式组：()5231,32232x x x x x ⎧-<+⎪⎨--≥+⎪⎩．16.先化简，再求值：223x x xx y x y x y⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x ，y 满足230x y +-=．17.如图，在ABCD Y 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ；CF 平分BCD ∠，交AD 于点F ．求证：AE CF =．18.无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处俯角为60︒，楼顶C 点处的俯角为30︒，已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）19.某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x （次/分钟）分为如下五组：A 组：5075x ≤<，B 组：75100x ≤<，C 组：100125x ≤<，D 组：125150x ≤<，E 组：150175x ≤≤．其中，A 组数据为73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：（1）A 组数据的中位数是_______，众数是_______；在统计图中B 组所对应的扇形圆心角是_______度；（2）补全学生心率频数分布直方图；（3）一般运动的适宜行为为100150x ≤<（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科项目研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？20.如图，已知坐标轴上两点()()0,4,2,0A B ，连接AB ，过点B 作BC AB ⊥，交反比例函数ky x=在第一象限的图象于点(,1)C a ．（1）求反比例函数ky x=和直线OC 的表达式；（2）将直线OC 向上平移32个单位，得到直线l ，求直线l 与反比例函数图象的交点坐标．21.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A ，B 两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A ，B 两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？22.如图，AB 为O 的直径，C 是圆上一点，D 是 BC的中点，弦DE AB ⊥，垂足为点F ．（1）求证：BC DE =；（2）P 是»AE 上一点，6,2AC BF ==，求tan BPC ∠；（3）在（2）的条件下，当CP 是ACB ∠的平分线时，求CP 的长．23.（1）如图1，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF ⊥，垂足为点G ．求证：ADE DCF △∽△．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H ∠=∠．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，11AE DF ==，8DE =，60AED ∠=︒，求CF 的长．24.已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,4C，其对称轴为32x =-．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD BD ，，将ABD △沿直线AD 翻折，得到AB D 'V ，当点B '恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；（3）如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG x ⊥轴，垂足为G ，求FG 的最大值．2023年菏泽市初中学业水平考试一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）1.剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A ．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A 符合题意；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 不符合题意；C ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C 不符合题意；D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D 不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．2.下列运算正确的是（）A.632a a a ÷=B.235a a a ⋅= C.()23622a a = D.()222a b a b +=+【答案】B 【解析】【分析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式分别判断即可．【详解】解：A 、633a a a ÷=，故选项错误；B 、235a a a ⋅=，故选项正确；C 、()23624a a =，故选项错误；D 、()2222a b a ab b +=++，故选项错误；故选：B ．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方以及完全平方公式，正确掌握相关乘法公式是解题关键．3.一把直尺和一个含30︒角的直角三角板按如图方式放置，若120∠=︒，则2∠=（）A.30︒B.40︒C.50︒D.60︒【答案】B 【解析】【分析】根据平行线的性质，得出3120∠=∠=︒，进而260340Ð=°-Ð=°．【详解】由图知，3120∠=∠=︒∴2603602040Ð=°-Ð=°-°=°故选：B【点睛】本题考查平行线的性质，特殊角直角三角形，由图形的位置关系推出角之间的数量关系是解题的关键．4.实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A.()0c b a -<B.()0b c a -<C.()0a b c ->D.()0a cb +>【答案】C 【解析】【分析】根据数轴可得，0a b c <<<，再根据0a b c <<<逐项判定即可．【详解】由数轴可知0a b c <<<，∴()0c b a ->，故A 选项错误；∴()0b c a ->，故B 选项错误；∴()0a b c ->，故C 选项正确；∴()0a c b +<，故D 选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查实数与数轴，根据0a b c <<<进行判断是解题关键．5.如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．【详解】解：从正面看该几何体，有三列，第一列有2层，第二和第三列都只有一层，如图所示：故选：A ．【点睛】本题主要考查了简单几何组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．6.一元二次方程2310x x +-=的两根为12x x ，，则1211+x x 的值为（）A.32B.3- C.3D.32-【答案】C 【解析】【分析】先求得123x x +=-，121x x ⋅=-，再将1211+x x 变形，代入12x x +与12x x ⋅的值求解即可．【详解】解：∵一元二次方程2310x x +-=的两根为12x x 、，∴123x x +=-，121x x ⋅=-∴1211+x x 1212x x x x +=31=--3=．故选C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记12b x x a+=-，12cx x a ⋅=是解决本题的关键．7.ABC 的三边长a ，b ，c满足2()||0a b c --=，则ABC 是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形【答案】D 【解析】【分析】由等式可分别得到关于a 、b 、c 的等式，从而分别计算得到a 、b 、c 的值，再由222+=a b c 的关系，可推导得到ABC 为直角三角形．【详解】解∵2()|0a b c -+-=又∵()200a b c ⎧-≥≥-≥⎪⎩∴()2000a b c ⎧-==-=⎪⎩，∴02300a b a b c ⎧-=⎪--=⎨⎪-=⎩解得33a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴222+=a b c ，且a b =，∴ABC 为等腰直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．8.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：(1,3),(2,6),(0,0)A B C --等都是三倍点”，在31x -<<的范围内，若二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（）A.114c -≤< B.43c -≤<- C.154c -<< D.45c -≤<【答案】D【解析】【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为3y x =，根据二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”转化为2y x x c =--+和3y x =至少有一个交点，求0∆≥，再根据3x =-和1x =时两个函数值大小即可求出．【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为3y x =，在31x -<<的范围内，二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”，即在31x -<<的范围内，2y x x c =--+和3y x =至少有一个交点，令23x x x c =--+，整理得：240x x c --+=，则()()22444116+40b ac c c ∆---⨯-⨯≥===，解得4c ≥-，41642x±=-，∴12x =-+22x =--∴321-<-+或321-<--<当321-<-+时，13-<，即03≤<，解得45c -≤<，当321-<--时，31-<<，即01≤<，解得43c -≤<-，综上，c 的取值范围是45c -≤<，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）9.因式分解：24m m -=______．【答案】()4-m m【解析】【分析】直接提取公因式m ，进而分解因式即可．【详解】解：m 2-4m =m (m -4)．故答案为：m (m -4)．【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．10.计算：0|2|2sin 602023-+︒-=___________．【答案】1【解析】【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再进行加减计算即可．22sin 602023-+︒-32212=⨯-1=故答案为：1．【点睛】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．11.用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为__________．【答案】59【解析】【分析】先列表得出所有的情况，再找到符合题意的情况，利用概率公式计算即可．【详解】解：0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同，列表如下：1230102030121312123231323一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32，∴是偶数的概率为59．故答案为：59．【点睛】本题考查了列表法求概率，注意0不能在最高位．12.如图，正八边形ABCDEFGH 的边长为4，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留π）．【答案】6π【解析】【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：由题意，()821801358HAB -⋅︒∠==︒，4AH AB ==∴213546360S ππ⋅==阴，故答案为：6π．【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积2360n r S π=，正多边形的每个内角度数为()2180n n-⋅︒．13.如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，将ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90︒得到CBF V ．若55ABE ∠=︒，则EGC ∠=__________度．【答案】80【解析】【分析】先求得BEF ∠和CBE ∠的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC ∠=︒，∵55ABE ∠=︒，∴905535CBE ∠=︒-︒=︒，∵ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90︒得到CBFV ∴90EBF ∠=︒，BE BF =，∴45BEF ∠=︒，∴EGC ∠=354580CBE BEF ∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：80．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转图形的性质和三角形外角的性质，利用旋转图形的性质求解是解题的关键．14.如图，在四边形ABCD 中，90,5,4,ABC BAD AB AD AD BC ∠=∠=︒==<，点E 在线段BC 上运动，点F 在线段AE 上，ADF BAE =∠∠，则线段BF 的最小值为__________．【答案】292-##229-+【解析】【分析】设AD 的中点为O ，以AD 为直径画圆，连接OB ，设OB 与O 的交点为点F '，证明90DFA ∠=︒，可知点F 在以AD 为直径的半圆上运动，当点F 运动到OB 与O 的交点F '时，线段BF 有最小值，据此求解即可．【详解】解：设AD 的中点为O ，以AD 为直径画圆，连接OB ，设OB 与O 的交点为点F '，∵90ABC BAD ∠=∠=︒，∴AD BC ∥，∴DAE AEB ∠=∠，∵ADF BAE =∠∠，∴90DFA ABE ==︒∠∠，∴点F 在以AD 为直径的半圆上运动，∴当点F 运动到OB 与O 的交点F '时，线段BF 有最小值，∵4=AD ，∴122AO OF AD '===，，∴BO ==，BF2-，2-．【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F 的运动轨迹是解题的关键．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）15.解不等式组：()5231,32232x x x x x ⎧-<+⎪⎨--≥+⎪⎩．【答案】23x ≤【解析】【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可．【详解】解：解()5231x x -<+得：52x <，解32232x x x --≥+得：23x ≤，∴不等式组的解集为23x ≤．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的关键．16.先化简，再求值：223x x x x y x y x y⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x ，y 满足230x y +-=．【答案】42x y +，6【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结果，将230x y +-=变形整体代入计算即可求解．【详解】解：原式()()()()()()()()3x x y x x y x y x y x y x y x y x y x ⎡⎤+--+=+⨯⎢⎥-+-+⎣⎦()()()()2233x y x y x xy x xy x y x y x -+++-=⨯-+()()()()242x y x y x xy x y x y x -++=⨯-+42x y =+；由230x y +-=，得到23x y +=，则原式()226x y =+=．【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解．17.如图，在ABCD Y 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ；CF 平分BCD ∠，交AD 于点F ．求证：AE CF =．【答案】证明见解析【解析】【分析】由平行四边形的性质得B D ∠=∠，AB CD =，AD BC ∥，由平行线的性质和角平分线的性质得出BAE DCF ∠=∠，可证BAE DCF ≌△△，即可得出AE CF =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B D ∠=∠，AB CD =，BAD DCB ∠=∠，AD BC ∥，∵AE 平分BAD ∠，CF 平分BCD ∠，∴BAE DAE BCF DCF ∠=∠=∠=∠，在BAE 和DCF 中，B D AB CD BAE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA BAE DCF ≌ ∴AE CF =．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键．18.无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处俯角为60︒，楼顶C 点处的俯角为30︒，已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）【答案】大楼的高度BC 为．【解析】【分析】如图，过P 作PH AB ⊥于H ，过C 作CQ PH ⊥于Q ，而CB AB ⊥，则四边形CQHB 是矩形，可得QH BC =，BH CQ =，求解sin 60802PH AP =︒=⨯= cos 6040AH AP =︒= ，可得704030CQ BH ==-=，tan 30PQ CQ =︒= BC QH ==【详解】解：如图，过P 作PH AB ⊥于H ，过C 作CQ PH ⊥于Q ，而CB AB ⊥，则四边形CQHB 是矩形，∴QH BC =，BH CQ =，由题意可得：80AP =，60PAH ∠=︒，30PCQ ∠=︒，70AB =，∴3sin 60802PH AP =︒=⨯= cos 6040AH AP =︒= ，∴704030CQ BH ==-=，∴tan 30PQ CQ =︒=∴BC QH ===，∴大楼的高度BC 为．【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．19.某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x （次/分钟）分为如下五组：A 组：5075x ≤<，B 组：75100x ≤<，C 组：100125x ≤<，D 组：125150x ≤<，E 组：150175x ≤≤．其中，A 组数据为73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：（1）A 组数据的中位数是_______，众数是_______；在统计图中B 组所对应的扇形圆心角是_______度；（2）补全学生心率频数分布直方图；（3）一般运动的适宜行为为100150x ≤<（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科项目研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？【答案】（1）69，74，54；（2）见解析（3）大约有1725名学生达到适宜心率．【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解，先求出总人数，然后求出B 组所占的百分比，最后乘以360︒即可求出在统计图中B 组所对应的扇形圆心角；（2）根据样本估计总体的方法求解即可．【小问1详解】将A 组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，∴中位数为6870692+=；∵74出现的次数最多，∴众数是74；88%100÷=，1536054100︒⨯=︒∴在统计图中B 组所对应的扇形圆心角是54︒；故答案为：69，74，54；【小问2详解】10081545230----=∴C 组的人数为30，∴补全学生心率频数分布直方图如下：【小问3详解】304523001725100+⨯=（人），∴大约有1725名学生达到适宜心率．【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图，扇形统计图的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键．20.如图，已知坐标轴上两点()()0,4,2,0A B ，连接AB ，过点B 作BC AB ⊥，交反比例函数k y x=在第一象限的图象于点(,1)C a ．（1）求反比例函数k y x=和直线OC 的表达式；（2）将直线OC 向上平移32个单位，得到直线l ，求直线l 与反比例函数图象的交点坐标．【答案】（1）4y x=，14y x =（2）()2,2或18,2⎛⎫--⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）如图，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，证明ABO BCD ∽ ，利用相似三角形的性质得到2BD =，求出点C 的坐标，代入k y x=可得反比例函数解析式，设OC 的表达式为y mx =，将点()4,1C 代入即可得到直线OC 的表达式；（2）先求得直线l 的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标．【小问1详解】如图，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则1CD =，90CDB ∠=︒，∵BC AB ⊥，∴90ABC ∠=︒，∴90ABO CBD ∠+∠=︒，∵90CDB ∠=︒，∴90BCD CBD ∠+∠=︒，∴BCD ABO ∠=∠，∴ABO BCD ∽ ，∴OA BDOB CD =，∵()()0,4,2,0A B ，∴4OA =，2OB =，∴421BD=，∴2BD =，∴224OD =+=，∴点()4,1C ，将点C 代入k y x =中，可得4k =，∴4y x=，设OC 的表达式为y mx =，将点()4,1C 代入可得14m =，解得：14m =，∴OC 的表达式为14y x =；【小问2详解】直线l 的解析式为1342y x =+，当两函数相交时，可得13442x x +=，解得12x =,8x =-,代入反比例函数解析式，得1122x y =⎧⎨=⎩，22812x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴直线l 与反比例函数图象的交点坐标为()2,2或18,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移问题，解一元二次方程等知识．21.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A ，B 两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A ，B 两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？【答案】（1）长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米（2）最多可以购买1400株牡丹【解析】【分析】（1）设长为x 米，面积为y 平方米，则宽为1203x -米，可以得到y 与x 的函数关系式，配成顶点式求出函数的最大值即可；（2）设种植牡丹的面积为a 平方米，则种植芍药的面积为()1200a -平方米，由题意列出不等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答．【小问1详解】解：设长为x 米，面积为y 平方米，则宽为1203x -米，∴()221140601200331203y x x x x x =⨯=--+-+=-，∴当60x =时，y 有最大值是1200，此时，宽为120203x -=（米）答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米．【小问2详解】解：设种植牡丹的面积为a 平方米，则种植芍药的面积为()1200a -平方米，由题意可得()252152120050000a a ⨯+⨯-≤解得：700a ≤，即牡丹最多种植700平方米，70021400⨯=（株），答：最多可以购买1400株牡丹．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．22.如图，AB 为O 的直径，C 是圆上一点，D 是 BC的中点，弦DE AB ⊥，垂足为点F ．（1）求证：BC DE =；（2）P 是»AE 上一点，6,2AC BF ==，求tan BPC ∠；（3）在（2）的条件下，当CP 是ACB ∠的平分线时，求CP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）43（3）72【解析】【分析】（1）由D 是 BC的中点得 CD BD =，由垂径定理得 BE BD =，得到»»BC DE =，根据同圆中，等弧对等弦即可证明；（2）连接OD ，证明ACB OFD ∽ ，设O 的半径为r ，利用相似三角形的性质得=5r ，210AB r ==，由勾股定理求得BC ，得到84tan 63BC CAB AC ∠===，即可得到tan BPC ∠43=；（3）过点B 作BG CP ⊥交CP 于点G ，证明CBG 是等腰直角三角形，解直角三角形得到cos 4542CG BG BC ==︒=，由tan BPC ∠43=得到43BG GP =，解得32GP =【小问1详解】解：∵D 是 BC的中点，∴ CDBD =，∵DE AB ⊥且AB 为O 的直径，∴ BEBD =，∴»»BCDE =，∴BC DE =；【小问2详解】解：连接OD ，∵ CD BD =，∴CAB DOB ∠=∠，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵DE AB ⊥，∴90DFO ∠=︒，∴ACB OFD ∽ ，∴AC OFAB OD =，设O 的半径为r ，则622r r r -=，解得=5r ，经检验，=5r 是方程的根，∴210AB r ==，∴228AB BC AC -==，∴84tan 63BCCAB AC ∠===，∵BPC CAB ∠=∠，∴tan BPC ∠43=；【小问3详解】解：如图，过点B 作BG CP ⊥交CP 于点G ，∴90BGC BGP ∠=∠=︒∵90ACB ∠=︒，CP 是ACB ∠的平分线，∴45ACP BCP ∠=∠=︒∴45CBG ∠=︒∴cos 45CG BG BC ==︒=∵tan BPC ∠43=∴43BG GP =，∴GP =∴CP =+=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．23.（1）如图1，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF ⊥，垂足为点G ．求证：ADE DCF △∽△．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADFH ∠=∠．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，11AE DF ==，8DE =，60AED ∠=︒，求CF 的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）3【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得90ADE DCF ∠=∠=︒，则90CDF DFC ∠+∠=︒，再由AE DF ⊥，可得90DGE ∠=︒，则90CDF AED ∠+∠=︒，根据等角的余角相等得AED DFC ∠=∠，即可得证；（2）利用“HL ”证明 ≌ADE DCF ，可得DE CF =，由CH DE =，可得CF CH =，利用“SAS ”证明DCF DCH ≌，则DHC DFC ∠=∠，由正方形的性质可得AD BC ∥，根据平行线的性质，即可得证；（3）延长BC 到点G ，使8CG DE ==，连接DG ，由菱形的性质可得AD DC =，AD BC ∥，则ADE DCG ∠=∠，推出()SAS ADE DCG △≌△，由全等的性质可得60DGC AED ∠=∠=︒，DG AE =，进而推出DFG 是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是矩形，90ADE DCF ∴∠=∠=︒，90CDF DFC ∴∠+∠=︒，AE DF ⊥，90DGE ∴∠=︒，90CDF AED ∴∠+∠=︒，AED DFC ∴∠=∠，ADE DCF ∴△∽△；（2）证明： 四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，AD BC ∥，90ADE DCF ∠=∠=︒，AE DF = ，()HL ADE DCF ∴ ≌，DE CF ∴=，又 CH DE =，∴CF CH =，点H 在BC 的延长线上，∴90DCH DCF ∠=∠=︒，DC DC = ，()SAS DCF DCH ∴ ≌，H DFC ∴∠=∠，AD BC ∥，ADF DFC H ∴∠=∠=∠；（3）解：如图，延长BC 到点G ，使8CG DE ==，连接DG ，四边形ABCD 是菱形，AD DC ∴=，AD BC ∥，ADE DCG ∴∠=∠，()SAS ADE DCG ∴ ≌，60DGC AED ∴∠=∠=︒，DG AE =，AE DF = ，DG DF ∴=，DFG ∴ 是等边三角形，11FG FC CG DF ∴=+==，111183FC CG ∴=-=-=．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键．24.已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,4C ，其对称轴为32x =-．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD BD ，，将ABD △沿直线AD 翻折，得到AB D 'V ，当点B '恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；（3）如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG x ⊥轴，垂足为G ，求2FG 的最大值．【答案】（1）234y x x =--+（2）D ⎛ ⎝（3）496【解析】【分析】（1）由题易得c 的值，再根据对称轴求出b 的值，即可解答；（2）过B '作x 轴的垂线，垂足为H 求出A 和B 的坐标，得到5AB AB '==，52AH =，由52AB AB AH '===，推出1302DAB B AB '∠=∠=︒，解直角三角形得到OD 的长，即可解答；（3）求得BC 所在直线的解析式为144y x =-+，设()2,34P m m m --+，设PE 所在直线的解析式为：22y x b =-+，得2224y x m m =---+，令12y y =，解得223m m x +=，分别表示出FG ，再对FG 进行化简计算，配方成顶点式即可求解．【小问1详解】解：抛物线与y 轴交于点()0,4C，∴4c =，∵对称轴为32x =-，∴322b -=--，3b =-，∴抛物线的解析式为234y x x =--+；【小问2详解】如图，过B '作x 轴的垂线，垂足为H ，令2340x x --+=，解得：121,4x x ==-，∴()4,0A -，()10B ,，∴()145AB =--=，由翻折可得5AB AB '==，∵对称轴为32x =-，∴()35422AH =---=，∵52AB AB AH '===，∴30AB H '∠=︒，60B AB '∠=︒∴1302DAB B AB '∠=∠=︒，在Rt AOD中，tan 30OD OA =︒=，∴D ⎛ ⎝；【小问3详解】设BC 所在直线的解析式为111y k x b =+，把B 、C 坐标代入得：11104k b b +=⎧⎨=⎩，解得1144k b =-⎧⎨=⎩，∴144y x =-+，∵OA OC =，∴45CAO ∠=︒，∵90AEB ∠=︒，∴直线PE 与x 轴所成夹角为45︒，设()2,34P m m m --+，设PE 所在直线的解析式为：22y x b =-+，把点P 代入得2224b m m =--+，∴2224y x m m =---+，31令12y y =，则24424x x m m -+=---+，解得223m mx +=，∴()24243F m m FG y -+==+()()223F P x x m m ==-=-∴()()22422433m m m m FG -+-+=++22549326m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵点P 在直线AC 上方，∴40m -<<，∴当52m =-时，FG +的最大值为496．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键．。
山东菏泽中考数学试卷真题
山东菏泽中考数学试卷真题一、选择题1. 某数的百位与十位之和是12，个位数是2，该数是（）A. 332B. 423C. 542D. 6212. 8×0.125+0.125×0.625的积是（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 表格中每个框中填入的数为两数字母相同的数，则A与C的值分别为（）A. |2-6|和6×2B. 6-2和2×6C. |2-6|6D. |6-2|64. （根号128-根号32）×根号2的值是（）A. 48B. 64C. 32D. 165. 如果甲、乙、丙三人为真，那么“甲说的是假话”与“丙说的是真话”同时为真，则也有（）A. 乙说的是真话B. 乙说的是假话C. 甲说的是真话D. 甲说的是假话二、填空题6. 除以384以后，商最小的两位数是__________。
7. 设集合A={x|3＜x≤8，x为奇数}，则集合A中的元素个数是__________。
8. 已知a:b=3:5，则2a:3b=__________。
三、解答题9. 某种草原上有羊和鹿两种动物，在草原上随机选择一只动物，如果它是羊的概率是0.6，那么它是鹿的概率是多少？10. 将一个立方体剖面如下图所示，则该图分别是截去了该立方体的二分之一（图1）、一个顶点（图2）和一个棱（图3）。
问：剩下的图形是什么？【图片占位符】四、解题过程及答案解析1. 根据题意，百位与十位之和是12，个位数是2，故该数是421，因此选B。
2. 计算可得：8×0.125+0.125×0.625 = 1+0.078125 = 1.078125，因此选A。
3. 设两个数字为a和b，则根据题意列方程得：|a-b|=4，ab=12。
解得a=6，b=2，因此选B。
4. 根据题意，先计算根号128-根号32 = 8-4 = 4，然后再计算4×根号2 = 4×1.414 ≈5.656，因此选D。
(中考精品卷)山东省菏泽市中考数学真题 (解析版)
菏泽市二〇二二年初中学业水平考试（中考）数学试题注意事项：1．本试题共24个题，满分120分，考试时间120分钟．2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B 铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分．一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）1. 2022的相反数是（ ）A. 2022B. 2022-C. 12022D.12022- 【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义直接求解．【详解】解：实数2022的相反数是2022-，故选：B ．【点睛】本题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．2. 2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就．主要包括：北斗全球卫星导航系统平均精度2~3米；中国高铁运营里程超40000000米；“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米；中国嫦娥五号带回月壤重量1731克．其中数据40000000用科学记数法表示为（ ）A. 80.410⨯B. 7410⨯C. 84.010⨯D. 6410⨯【答案】B【解析】【分析】把比较大的数写成a ×10n ，其中1≤a ＜10，n 为正整数即可得出答案．【详解】解：40000000＝4×107，故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．3. 沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一个角，得到如图所示的几何体，则他的主视图是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的和看不到的棱都应表现在图中．【详解】解：从几何体的正面看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看得见的小三角形画为实线，故选：D ．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．4. 如图所示，将一矩形纸片沿AB 折叠，已知36ABC ∠=︒，则1D AD ∠=（ ）A 48° B. 66° C. 72° D. 78°【答案】C【解析】.【分析】由折叠及矩形的性质可得1,AD BC DAB D AB ∠=∠∥，再根据平行线的性质求出1144DAB D AB ∠=︒=∠，根据周角的定义求解即可．【详解】∵将一矩形纸片沿AB 折叠，∴1,AD BC DAB D AB ∠=∠∥，180DAB ABC ∴∠+∠=︒，36ABC ︒∠= ，1144DAB D AB ∴∠=︒=∠，136014414472D AD ∠=︒-︒-︒=︒∴，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．5. 射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是（ ）A. 平均数是9环B. 中位数是9环C. 众数是9环D. 方差是0.8【答案】D【解析】 【分析】分别求出平均数，中位数，众数以及方差即可求解【详解】解：根据题意得：10次射击成绩从小到大排列为8.4，8.6，8.8，9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，A 、平均数是()9.48.49.29.28.898.619199.094=+++++++++环，故本选项正确，不符合题意；B 、中位数是9992+=环，故本选项正确，不符合题意； C 、9出现次数最多，则众数是9环，故本选项正确，不符合题意；D、方差是的()()()()()()()()()(22222222218.498.698.899999999.299.299.499.10é-+-+-+-+-+-+-+-+-+êë，故本选项错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数以及方差，解答本题的关键是掌握相关统计量的求法．6. 如图，在菱形ABCD 中，2,60AB ABC =∠=︒，M 是对角线BD 上的一个动点，CF BF =，则MA MF +的最小值为（ ）A. 1 D. 2【答案】C【解析】 【分析】连接AF ，则AF 的长就是AM +FM 的最小值，证明△ABC 是等边三角形，AF 是高线，利用三角函数即可求解．【详解】解：连接AF ，则AF 的长就是AM +FM 的最小值．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，又∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∵CF BF =∴F 是BC 的中点，∴AF ⊥BC ．则AF ＝AB •sin60°＝2=．即MA MF +故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF 的长就是MA MF +的最小值是关键．7. 根据如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象，判断反比例函数a y x=与一次函数y bx c =+的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据二次函数的图象，确定a 、b 、c 的符号，再根据a 、b 、c 的符号判断反比例函数y a x=与一次函数y ＝bx +c 的图象经过的象限即可． 【详解】解：由二次函数图象可知a ＞0，c ＜0， 由对称轴x 2b a=-＞0，可知b ＜0， 所以反比例函数y a x =的图象在一、三象限， 一次函数y ＝bx +c 经过二、三、四象限．故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a 、b 、c 的取值范围．8. 如图，等腰Rt ABC 与矩形DEFG 在同一水平线上，2,3AB DE DG ===，现将等腰Rt ABC 沿箭头所指方向水平平移，平移距离x 是自点C 到达DE 之时开始计算，至AB 离开GF 为止．等腰Rt ABC 与矩形DEFG 的重合部分面积记为y ，则能大致反映y 与x 的函数关系的图象为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平移过程，可分三种情况，当01x ≤<时，当13x ≤<时，当34x ≤≤时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y 与x 的函数关系式，再结合函数图象即可求解．【详解】过点C 作CM ⊥AB 于N ，3DG =，在等腰Rt ABC 中，2AB =，1CN ∴=，①当01x ≤<时，如图，CM x =，2PQ x ∴=，211222y PQ CM x x x ∴=⋅⋅=⨯⋅=， ∴01x ≤<，y 随x 的增大而增大；②当13x ≤<时，如图，12112ABC y S ∴==⨯⨯= ， ∴当13x ≤<时，y 是一个定值为1；③当34x ≤≤时，如图，3CM x =-，()23PQ x ∴=-，()()2211112123132222y AB CN PQ CM x x ∴=⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯-=--, 当x =3，y =1，当3<x <4，y 随x 的增大而减小，当x =4，y =0，结合ABCD 选项的图象，故选：B ．【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）9. 分解因式：229x y -=________．【答案】(3)(3)x y x y +-【解析】【分析】根据平方差公式分解因式即可得到答案．【详解】解：原式=22(3)(3)(3)x y x y x y -=+- ，故答案为：(3)(3)x y x y +-．【点睛】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解题的关键．10. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是________． 【答案】x >3【解析】【分析】根据分式有意义条件和二次根式有意义的条件得x -3>0，求解即可．【详解】解：由题意，得030x ≠-⎪⎩…所以x -3>0，解得：x >3，故答案为：x >3．【点睛】本题考查分式有意义条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义条件：分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键．11. 如果正n 边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n =_______．【答案】5【解析】【分析】设多边形的一个内角为3x 度，一个外角则为2x 度，求得外角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，进而求出n 的值．【详解】解：∵正n 边形的一个内角度数与其外角度数的比是3：2，∴设多边形的一个内角为3x 度，一个外角则为2x 度，∴3x +2x ＝180°，解得x ＝36°，∴一个外角为2x ＝72°，360°÷72°＝5，∴n ＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查了多边形的内角、外角的知识和外角和定理，理解一个多边形的一个内角与它相邻外角互补是解题的关键．12. 如图，等腰Rt ABC 中，AB AC ==A 为圆心，以AB 为半径作 BDC﹔以BC 为直径作¼CAB ．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）【答案】2π-【解析】【分析】由图可知：阴影部分的面积＝半圆CAB 的面积-△ABC 的面积+扇形ABC 的面积-△ABC 的面积，可根据各自的面积计算方法求出面积即可．【详解】解：∵等腰Rt ABC 中，AB AC ==∴BC =2∴S 扇形ACB 9023260ππ⨯==，S 半圆CAB 12=π×（1）22π=，S △ABC 12=⨯； 所以阴影部分的面积＝S 半圆CAB -S △ABC +S 扇形ACB -S △ABC 21122πππ=-+-=-．故答案是：2π-． 【点睛】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．13. 若22150a a --=，则代数式2442a a a a a -⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值是________． 【答案】15【解析】【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a 2-2a =15，整体代入即可． 【详解】解：2442a a a a a -⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭ =22(2)2a a a a -⋅- =a (a -2)=a 2-2a ，∵a 2-2a -15=0,∴a 2-2a =15，∴原式=15．故答案为：15．【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．14. 如图，在第一象限内的直线:l y =上取点1A ，使11OA =，以1OA 为边作等边11OA B ，交x 轴于点1B ；过点1B 作x 轴的垂线交直线l 于点2A ，以2OA 为边作等边22OA B △，交x 轴于点2B ；过点2B 作x 轴的垂线交直线l 于点3A ，以3OA 为边作等边33 OA B ，交x 轴于点3B ；……，依次类推，则点2022A 的横坐标为_______．【答案】20202【解析】【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征和等边三角形的性质及等腰三角形的三线合一性质，得出：点1A 的横坐标为12，点2A 的横坐标为1，点3A 的横坐标为2，点4A 的横坐标为4，找出规律即可求解．【详解】解：过点1A 作1A C x ⊥轴于点C ，点3B 作34B A x ⊥轴交直线l 于点4A ， ∵11OA B 是等边三角形，11OA =，∴11111A B OB OA ===， ∴11122OC OB ==， ∴点1A 的横坐标为12，即12-，∵22OA B △是等边三角形，21A B x ⊥轴，11OB =，∴点2A 的横坐标为1，即02，222OA A B =∴212212OB OB ==⨯=，∵33 OA B 是等边三角形，32A B x ⊥轴，∴点3A 的横坐标为2，即12，333OA A B =∴322224OB OB ==⨯=，∵44 OA B 是等边三角形，43A B x ⊥轴，∴点4A 的横坐标为4，即22，以此类推，点n A 的横坐标为22n -，∴当2022n =时，点2022A 的横坐标为20202．故答案为：20202【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质．解题的关键是找出点n A 的横坐标的变化规律．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内，写在其他区域不得分．）15. 计算：()1014cos 452022π2-⎛⎫+︒- ⎪⎝⎭． 【答案】3【解析】【分析】先计算乘方和化简二次根式，并把特殊三角函数值代入，再合并同类二次根式，即可求解．【详解】解：原式+1+1=3．【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂与零指数幂运算法则，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．16. 解不等式组()3122,321,32x x x x ⎧-≤-⎪⎨+++>⎪⎩①②并将其解集在数轴上表示出来．【答案】x ≤1，图见解析【解析】【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再求出其公共解集即可求解，然后把解集用数轴表示出来即可．【详解】解：解①得：x ≤1，解②得：x <6，∴x ≤1，解集在数轴上表示为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．也考查了用数轴表示不等式的解集．17. 如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，E 是边AC 上一点，且BE BC =，过点A 作BE 的垂线，交BE 的延长线于点D ，求证：ADE ABC △△∽．【答案】见解析【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C =∠BEC ，又由对顶角相等可证得∠AED =∠C ，再由∠D =∠ABC =90°，即可得出结论．【详解】证明：∵BE BC =∴∠C =∠BEC ，∵∠BEC =∠AED ，∴∠AED =∠C ，∵AD ⊥BD ，∴∠D =90°，∵90ABC ∠=︒，∴∠D =∠ABC ，∴ADE ABC △△∽．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．18. 荷泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB 的长为8米，更换后的电梯坡面为AD ，点B 延伸至点D ，求BD 的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin 370.60,cos370.80,tan 37 1.73≈≈≈≈︒︒︒）【答案】约为1.9米【解析】【分析】根据正弦的定义求出AC ，根据余弦的定义求出BC ，根据正切的定义求出CD ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，AB =8米，∠ABC =37°，则AC =AB •sin ∠ABC ≈8×0.60=4.8（米），BC =AB •cos ∠ABC ≈8×0.80=6.40（米），在Rt △ADC 中，∠ADC =30°，则CD= 4.8tan tan 30AC ADC ==∠︒≈8.30（米）， ∴BD =CD -BC =8.30-6.40≈1.9（米），答：BD 的长约为1.9米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．19. 某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球?【答案】（1）每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．（2）100个【解析】【分析】（1）设每个排球的进价为x 元，则每个篮球的进价为1.5x 元，根据“用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个”得到方程；即可解得结果；（2）设健身器材店可以购进篮球a 个，则购进排球（300﹣a ）个，根据题意得不等式组即可得到结果．【小问1详解】设每个排球的进价为x 元，则每个篮球的进价为1.5x 元 根据题意得36003200101.5x x=-． 解得x ＝80．经检验x ＝80是原分式方程的解．∴1.5x ＝120（元）．∴篮球的进价为120元，排球的进价为80元答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．【小问2详解】设该体育用品商店可以购进篮球a 个，则购进排球（300﹣a ）个，根据题意，得120a +80（300﹣a ）≤28000．解得a ≤100．答：该健身器材店最多可以购进篮球100个．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，找准数量关系是解题的关键．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象都经过()()2,44,A B m --、两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）过O 、A 两点的直线与反比例函数图象交于另一点C ，连接BC ，求ABC 的面积．【答案】（1）反比例函数的表达式为8y x=-；一次函数的表达式为2y x =-- （2）12【解析】 【分析】（1）由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 值，从而得出反比例函数表达式，再由点B 的坐标和反比例函数表达式即可求出m 值，结合点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；（2）利用分解图形求面积法，利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+，求面积即可．【小问1详解】将A (2，-4)代入k y x=得到24k -=，即：8k =-． ∴反比例函数的表达式为：8y x =-． 将B (-4，m )代入8y x=-，得：824m =-=-， ()4,2B ∴-，将A ，B 代入y ax b =+，得：2442a b a b +=-⎧⎨-+=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数的表达式为：2y x =--．【小问2详解】设AB 交x 轴于点D ，连接CD ，过点A 作AE ⊥CD 交CD 延长线于点E ，作BF ⊥CD 交CD 于点F ．令20y x =--=，则2x =-，∴点D 的坐标为(-2，0)，∵过O 、A 两点的直线与反比例函数图象交于另一点C ，∴A (2，-4)关于原点的对称性点C 坐标：(-2，4)，∴点C 、点D 横坐标相同，∴CD ∥y 轴，∴ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+1122CD AE CD BF =⋅+⋅ ()12CD AE BF =⋅+ 12A B CD x x =⋅- 1462=⨯⨯ =12．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数表达式；（2）利用分割图形求面积法求出△AOB 的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．21. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A “健美操”、B “跳绳”、C “剪纸”、D “书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；（2）C 组所对应的扇形圆心角为_______度；（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．【答案】（1）40，图见解析（2）72（3）560（4）12【解析】【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C 组人数即可补全图形；（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】÷=（名），本次调查总人数为410%40---=（名），C组人数为40416128补全图形如下：故答案为：40；【小问2详解】836072⨯︒=︒，40故答案为：72；【小问3详解】161400560⨯=（人），40故答案为：560；【小问4详解】画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为61122=． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．22. 如图，在ABC 中，以AB 为直径作O 交AC 、BC 于点D 、E ，且D 是AC 的中点，过点D 作DG BC ⊥于点G ，交BA 的延长线于点H ．（1）求证：直线HG 是O 的切线；（2）若23,cos 5HA B ==，求CG 的长． 【答案】（1）见解析（2）65【解析】 【分析】（1）连接OD ，利用三角形中位线的定义和性质可得∥OD BC ，再利用平行线的性质即可证明；（2）先通过平行线的性质得出HBG HOD ∠=∠，设OD OA OB r ===，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC ，BG 的长度，即可求解．【小问1详解】连接OD ，DG BC ⊥ ，90BGH ∴∠=︒，∵D 是AC 的中点，AB 为直径，OD BC ∴∥，90BGH ODH ∴∠=∠=︒，∴直线HG 是O 的切线；【小问2详解】由（1）得∥OD BC ，∴HBG HOD ∠=∠，2cos 5HBG ∠=， 2cos 5HOD ∴∠=， 设OD OA OB r ===，3HA = ，3OH r ∴=+，在Rt HOD 中，90HDO ∠=︒，2cos 35OD r HOD OH r ∴∠===+， 解得2r =， ∴2,5,7OD OA OB OH BH =====，∵D 是AC 的中点，AB 为直径，24BC OD ∴==，90BGH ODH ∠=∠=︒ ，ODH BGH ∴ ，OH OD BH BG ∴=，即527BG=， 145BG ∴=， 146455CG BC BG ∴=-=-=． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．23. 如图1，在ABC 中，45,ABC AD BC ∠=︒⊥于点D ，在DA 上取点E ，使DE DC =，连接BE 、CE ．（1）直接写出CE 与AB 的位置关系；（2）如图2，将BED 绕点D 旋转，得到B E D ''△（点B '，E '分别与点B ，E 对应），连接CE AB ''、，在BED 旋转的过程中CE '与AB '的位置关系与（1）中的CE 与AB 的位置关系是否一致?请说明理由；（3）如图3，当BED 绕点D 顺时针旋转30°时，射线CE '与AD 、AB '分别交于点G 、F ，若,CG FG DC ==，求AB '的长．【答案】（1）CE ⊥AB ，理由见解析（2）一致，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC =∠DAB =45°，∠DCE =∠DEC =∠AEH =45°，可得结论；（2）通过证明ADB CDE ''≅ ，可得DAB DCE ''∠=∠，由余角的性质可得结论；（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得AB '=，即可求解．【小问1详解】如图，延长CE 交AB 于H ，∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ，∴∠ADC =∠ADB =90°，∠ABC =∠DAB =45°，∵DE =CD ，∴∠DCE =∠DEC =∠AEH =45°，∴∠BHC =∠BAD +∠AEH =90°，∴CE ⊥AB ；【小问2详解】在BED 旋转的过程中CE '与AB '的位置关系与（1）中的CE 与AB 的位置关系是一致的，理由如下：如图2，延长CE '交AB '于H ，由旋转可得：CD =DE '，B D '=AD ，∵∠ADC =∠ADB =90°，∴CDE ADB ''∠=∠， ∵1CD AD DE DB ==''， ∴ADB CDE '' ,DAB DCE ''∴∠=∠，∵DCE '∠+∠DGC =90°，∠DGC =∠AGH ，∴∠DA B '+∠AGH =90°，∴∠AHC =90°，CE AB ''∴⊥；【小问3详解】如图3，过点D 作DH AB '⊥于点H ，∵△BED 绕点D 顺时针旋转30°，∴30,BDB BD BD AD ''∠=︒==，120,30ADB DAB AB D '''∴∠=︒∠=∠=︒，,DH AB AD B D ''⊥= ，∴AD =2DH ，AH =B H '，AB '∴=，由（2）可知：ADB CDE '' ，30DAB DCE ''∴∠=∠=︒，∵AD ⊥BC ，CD∴DG =1，CG =2DG =2，∴CG =FG =2，30,DAB DH AB ''∠=︒⊥ ，∴AG =2GF =4，∴AD =AG +DG =4+1=5，∴AB =='【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．24. 如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于()()2,08,0A B -、两点，与y 轴交于点()0,4C ，连接AC 、BC ．（1）求抛物线的表达式；（2）将ABC 沿AC 所在直线折叠，得到ADC ，点B 的对应点为D ，直接写出点D 的坐标．并求出四边形OADC 的面积；（3）点P 是抛物线上的一动点，当PCB ABC ∠=∠时，求点P 的坐标．【答案】（1）213442y x x =-++ （2）()8,8,24D -（3）()6,4P 或34100,39⎛⎫-⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先利用勾股定理的逆定理证明ABC 为直角三角形，再根据折叠的性质得出点B 、C 、D 三点共线，继而通过证明DBE CBO ，利用相似三角形的性质即可得出点D 的坐标，根据四边形OADC 的面积ADC AOC ABC AOC S S S S =+=+ 进行求解即可； （3）分两种情况讨论：当点P 在x 轴上方时，当点P 在x 轴下方时，分别求解即可．【小问1详解】将()2,0A -，()8,0B ，()0,4C 代入抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，得04206484a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，解得14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， 所以，抛物线表达式为213442y x x =-++； 【小问2详解】如图，过点D 作DE ⊥x 轴于E ， 90DEB COB ∴∠=∠=︒，的∵()2,0A -，()8,0B ，()0,4C ，10,8,4,2AB AC BC OB OC OA ∴========， 222AB AC BC =+ ，ABC ∴ 直角三角形且90ACB ∠=︒，将ABC 沿AC 所在直线折叠，得到ADC ，点B 的对应点为D ，此时，点B 、C 、D 三点共线，BC =DC ，ABC ADC S S =△△，DBE CBO ∠=∠ ，DBE CBO ∴ ，2DB DE BE CB OC BO∴===， 8,28OB OE DE OC ∴====，()8,8D ∴-，∴四边形OADC 的面积111124242222ADC AOC ABC AOC S S S S AC BC OA OC =+=+=⋅⋅+⋅⋅=⨯+⨯⨯= ；【小问3详解】为当点P 在x 轴上方时，∵PCB ABC ∠=∠，∴CP x ∥轴，∴点P 的纵坐标为4，即2134442x x =-++， 解得6x =或0（舍去） ()6,4P ∴；当点P 在x 轴下方时，设直线CP 交x 轴于F ，∵PCB ABC ∠=∠，∴CF BF =，设OF t =，则8CF BF t ==-，在Rt COF 中，由勾股定理得222OC OF CF +=，即()22248t t +=-，解得3t =， ()3,0F ∴，()0,4C ，∴设直线CF 解析式为4y kx =+，即034k =+，解得43k =-， ∴直线CF 的解析式为443y x =-+， 令241344342x x x -+=-++，解得343x =或0（舍去），的当343x =时，2134334100443239y ⎛⎫=-⨯+⨯+=- ⎪⎝⎭ 34100,39P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； 综上，()6,4P 或34100,39⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点并能够灵活运用是解题的关键。
2024年山东菏泽中考数学试题及答案
2024年山东菏泽中考数学试题及答案本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．1. 下列实数中，平方最大的数是（ ）A. 3B. 12C. 1-D. 2-2. 用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）A.B. C. D.3. 2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为（ ）A. 30.61910´B. 461.910´C. 56.1910´D. 66.1910´4. 下列几何体中，主视图是如图的是（ ）的A. B. C. D.5. 下列运算正确的是（ ）A. 437a a a += B. ()2211a a -=-C. ()2332a ba b = D. ()2212a a a a +=+6.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）A. 200B. 300C. 400D. 5007.如图，已知AB ，BC ，CD 是正n 边形三条边，在同一平面内，以BC 为边在该正n 边形的外部作正方形BCMN ．若120ABN Ð=°，则n 的值为（ ）A. 12B. 10C. 8D. 68. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）A 19 B. 29 C. 13 D. 239. 如图，点E 为ABCD Y 的对角线AC 上一点，5AC =，1CE =，连接DE 并延长至点F ，使得EF DE =，连接BF ，则BF 为（ ）A. 52 B.3 C. 72 D. 410. 根据以下对话，的.给出下列三个结论：①1班学生的最高身高为180cm ；②1班学生的最低身高小于150cm ；③2班学生的最高身高大于或等于170cm ．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11. 因式分解：22x y xy +=________．12. 写出满足不等式组21215x x +³ìí-<î的一个整数解________．13. 若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为________．14. 如图，ABC V 是O e 的内接三角形，若OA CB ∥，25ACB Ð=°，则CAB Ð=________．15.如图，已知MAN Ð，以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM 、AN 相交于点B ，C ；分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧在MAN Ð内部相交于点P ，作射线AP ．分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点D ，E ，作直线DE 分别与AB ，AP 相交于点F ，Q ．若4AB =，67.5PQE Ð=°，则F 到AN 的距离为________．16.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy 中，将点(),x y 中的x ，y 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x ，y 均为正整数．例如，点()6,3经过第1次运算得到点()3,10，经过第2次运算得到点()10,5，以此类推．则点()1,4经过2024次运算后得到点________．三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （11122-æö+--ç÷èø；（2）先化简，再求值：212139a a a +æö-¸ç÷+-èø，其中1a =．18. 和湖心岛上鸟类栖息点P 之间的距离【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B ．测量A ，B 两点间的距离以及ÐPAB 和PBA Ð，测量三次取平均值，得到数据：60AB =米，79PAB Ð=°，64PBA Ð=°．画出示意图，如图【问题解决】（1）计算A ，P 两点间的距离．（参考数据：sin640.90°»，sin790.98°»，cos790.19°»，sin370.60°»，tan370.75°»）【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图2，选择合适的点D ，E ，F ，使得A ，D ，E 在同一条直线上，且AD DE =，DEF DAP Ð=Ð，当F ，D ，P 在同一条直线上时，只需测量EF 即可．（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）①解直角三角形 ②三角形全等【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．19.某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水x 表示），并将其分成如下四组：6070x £<，7080x £<，8090x £<，90100x ££．下面给出了部分信息：8090x £<的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．根据以上信息解决下列问题：（1）请补全频数分布直方图；（2）所抽取学生模型设计成绩的中位数是________分；的（3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；（4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3:2的比例确定这次活动各人的综合成绩．某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：模型设计科技小论文甲的成绩9490乙的成绩9095通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？20.列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数2y x b =+与k y x=部分自变量与函数值的对应关系：（1）求a 、b 的值，并补全表格；（2）结合表格，当2y x b =+图像在k y x=的图像上方时，直接写出x 的取值范围．21. 如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，60DAB Ð=°，22AB BC AD ===．以点A 为圆心，以AD 为半径作»DE交AB 于点E ，以点B 为圆心，以BE 为半径作»E F 所交BC 于点F ，连接FD 交»E F 于另一点G ，连接CG ．的（1）求证：CG 为»EF 所在圆的切线；（2）求图中阴影部分面积．（结果保留p ）22. 一副三角板分别记作ABC V 和DEF V ，其中90ABC DEF Ð=Ð=°，45BAC Ð=°，30EDF Ð=°，AC DE =．作BM AC ^于点M ，EN DF ^于点N ，如图1．（1）求证：BM EN =；（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C 与点E 重合记为C ，点A 与点D 重合，将图2中的DCF V 绕C 按顺时针方向旋转a 后，延长BM 交直线DF 于点P ．①当30a =°时，如图3，求证：四边形CNPM 为正方形；②当3060a °<<°时，写出线段MP ，DP ，CD 的数量关系，并证明；当60120a °<<°时，直接写出线段MP ，DP ，CD 的数量关系．23.在平面直角坐标系xOy 中，点()2,3P -在二次函数()230y ax bx a =+->的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线x m =．（1）求m 的值；（2）若点(),4Q m -在23y ax bx =+-的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当04x ££时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；（3）设23y ax bx =+-的图像与x 轴交点为()1,0x ，()()212,0x x x <．若2146x x <-<，求a 的取值范围．参考答案本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】D二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．【11题答案】【答案】()2xy x +【12题答案】【答案】1-（答案不唯一）【13题答案】【答案】14##0.25【14题答案】【答案】40°##40度【15题答案】【16题答案】【答案】()2,1三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）3 （2）3a - 2-【18题答案】【答案】（1）A ，P 两点间的距离为89.8米；（2）②【19题答案】【答案】（1）画图见解析（2）83（3）600人（4）甲的综合成绩比乙高.【20题答案】【答案】（1）25a b =-ìí=î，补全表格见解析 （2）x 的取值范围为702x -<<或1x >；【21题答案】【答案】（1）见解析 （23p -【22题答案】【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②当3060a °<<°时，线段MP ，DP ，CD 的数量关系为DP MP CD +=；当60120a °<<°时，线段MP ，DP ，CD 的数量关系为MP DP CD -=；【23题答案】【答案】（1）1m =（2）新的二次函数的最大值与最小值的和为11；（3）318a <<2024年山东菏泽中考数学试题及答案本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．1. 下列实数中，平方最大的数是（ ）A. 3B. 12C. 1-D. 2-2. 用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）A.B. C. D.3. 2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为（ ）A. 30.61910´B. 461.910´C. 56.1910´D. 66.1910´4. 下列几何体中，主视图是如图的是（ ）的A. B. C. D.5. 下列运算正确的是（ ）A. 437a a a += B. ()2211a a -=-C. ()2332a ba b = D. ()2212a a a a +=+6.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）A. 200B. 300C. 400D. 5007.如图，已知AB ，BC ，CD 是正n 边形三条边，在同一平面内，以BC 为边在该正n 边形的外部作正方形BCMN ．若120ABN Ð=°，则n 的值为（ ）A. 12B. 10C. 8D. 68. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）A 19 B. 29 C. 13 D. 239. 如图，点E 为ABCD Y 的对角线AC 上一点，5AC =，1CE =，连接DE 并延长至点F ，使得EF DE =，连接BF ，则BF 为（ ）A. 52 B.3 C. 72 D. 410. 根据以下对话，的.给出下列三个结论：①1班学生的最高身高为180cm ；②1班学生的最低身高小于150cm ；③2班学生的最高身高大于或等于170cm ．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11. 因式分解：22x y xy +=________．12. 写出满足不等式组21215x x +³ìí-<î的一个整数解________．13. 若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为________．14. 如图，ABC V 是O e 的内接三角形，若OA CB ∥，25ACB Ð=°，则CAB Ð=________．15.如图，已知MAN Ð，以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM 、AN 相交于点B ，C ；分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧在MAN Ð内部相交于点P ，作射线AP ．分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点D ，E ，作直线DE 分别与AB ，AP 相交于点F ，Q ．若4AB =，67.5PQE Ð=°，则F 到AN 的距离为________．16.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy 中，将点(),x y 中的x ，y 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x ，y 均为正整数．例如，点()6,3经过第1次运算得到点()3,10，经过第2次运算得到点()10,5，以此类推．则点()1,4经过2024次运算后得到点________．三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （11122-æö+--ç÷èø；（2）先化简，再求值：212139a a a +æö-¸ç÷+-èø，其中1a =．18. 和湖心岛上鸟类栖息点P 之间的距离【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B ．测量A ，B 两点间的距离以及ÐPAB 和PBA Ð，测量三次取平均值，得到数据：60AB =米，79PAB Ð=°，64PBA Ð=°．画出示意图，如图【问题解决】（1）计算A ，P 两点间的距离．（参考数据：sin640.90°»，sin790.98°»，cos790.19°»，sin370.60°»，tan370.75°»）【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图2，选择合适的点D ，E ，F ，使得A ，D ，E 在同一条直线上，且AD DE =，DEF DAP Ð=Ð，当F ，D ，P 在同一条直线上时，只需测量EF 即可．（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）①解直角三角形 ②三角形全等【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．19.某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水x 表示），并将其分成如下四组：6070x £<，7080x £<，8090x £<，90100x ££．下面给出了部分信息：8090x £<的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．根据以上信息解决下列问题：（1）请补全频数分布直方图；（2）所抽取学生模型设计成绩的中位数是________分；的（3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；（4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3:2的比例确定这次活动各人的综合成绩．某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：模型设计科技小论文甲的成绩9490乙的成绩9095通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？20.列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数2y x b =+与k y x=部分自变量与函数值的对应关系：（1）求a 、b 的值，并补全表格；（2）结合表格，当2y x b =+图像在k y x=的图像上方时，直接写出x 的取值范围．21. 如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，60DAB Ð=°，22AB BC AD ===．以点A 为圆心，以AD 为半径作»DE交AB 于点E ，以点B 为圆心，以BE 为半径作»E F 所交BC 于点F ，连接FD 交»E F 于另一点G ，连接CG ．的（1）求证：CG 为»EF 所在圆的切线；（2）求图中阴影部分面积．（结果保留p ）22. 一副三角板分别记作ABC V 和DEF V ，其中90ABC DEF Ð=Ð=°，45BAC Ð=°，30EDF Ð=°，AC DE =．作BM AC ^于点M ，EN DF ^于点N ，如图1．（1）求证：BM EN =；（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C 与点E 重合记为C ，点A 与点D 重合，将图2中的DCF V 绕C 按顺时针方向旋转a 后，延长BM 交直线DF 于点P ．①当30a =°时，如图3，求证：四边形CNPM 为正方形；②当3060a °<<°时，写出线段MP ，DP ，CD 的数量关系，并证明；当60120a °<<°时，直接写出线段MP ，DP ，CD 的数量关系．23.在平面直角坐标系xOy 中，点()2,3P -在二次函数()230y ax bx a =+->的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线x m =．（1）求m 的值；（2）若点(),4Q m -在23y ax bx =+-的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当04x ££时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；（3）设23y ax bx =+-的图像与x 轴交点为()1,0x ，()()212,0x x x <．若2146x x <-<，求a 的取值范围．参考答案本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B【答案】D二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．【11题答案】【答案】()2xy x +【12题答案】【答案】1-（答案不唯一）【13题答案】【答案】14##0.25【14题答案】【答案】40°##40度【15题答案】【16题答案】【答案】()2,1三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）3 （2）3a - 2-【18题答案】【答案】（1）A ，P 两点间的距离为89.8米；（2）②【19题答案】【答案】（1）画图见解析（2）83（3）600人（4）甲的综合成绩比乙高.【20题答案】【答案】（1）25a b =-ìí=î，补全表格见解析 （2）x 的取值范围为702x -<<或1x >；【答案】（1）见解析 （23p -【22题答案】【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②当3060a °<<°时，线段MP ，DP ，CD 的数量关系为DP MP CD +=；当60120a °<<°时，线段MP ，DP ，CD 的数量关系为MP DP CD -=；【23题答案】【答案】（1）1m =（2）新的二次函数的最大值与最小值的和为11；（3）318a <<。
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A B M NE FPQB C A BCD GE F A B D E CF ) 3菏泽市 初中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1． 元月19日，山东省气象局预报我市元月20日的最高气温是4℃，最低气温是－6℃，那么我市元月20日的最大温差是（ ）A ．10℃B ．6℃C ．4℃D ．2℃2．负实数a 的倒数是（ ）A ．－aB ．1aC ．－1aD ．a 3．下列运算正确的是（ ）A ．(a ＋b )(b －a )＝a 2－b 2B ．(a －2)2＝a 2－4C ．a 3＋a 3＝2a 6D ．(－3a 2)2＝9a 44．如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）5．如图，直线PQ ∥MN ，C 是MN 上一点，CE 交PQ 于 A ，CF 交PQ 于B ，且∠ECF ＝90º．若∠FBQ ＝50º， 则∠ECM ＝（ ） A ．60º B ．50º C ．40º D ．30º 6．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3．折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，点A 落在点A 1处， 则△A 1BG 的面积与矩形ABCD 的面积的比为（ ）A ．112B ．19C ．18D ．167．如图，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少． 用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥．若圆的半径为r ，扇形的半径为R ，则（ ） A ．R ＝2r B ．R ＝r C ．R ＝3r D ．R ＝4r8．如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60º，AB ＝2cm ，E 、F 分别是BC 、 CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A ．23cm B ．33cm C ．43cm D ．3cm 9．某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内 气体的气压P (kPa )是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象 如图所示．当气球内气体的气压大于120kPa 时，气球将爆炸． 为了安全，气体的体积应该（ ）A ．不大于54m 3B ．小于54m 3C ．不小于45m 3D ．小于45m 3 10．某医院决定抽调甲、乙、丙、丁4A ．B ．C ．D ．A B CD O B C DEF GC 1B 1A 1 2人作为第一批救灾医护人员，那么丁被抽到作为第一批救灾医护人员的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．34二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）11．分解因式：a 3－6a 2b ＋9ab 2＝ ．12．月球距离地球地面为384000000m ，将这个距离用科学记数法表示(保留两个有效数字)应为 m ．13．若关于x 的不等式3m －2x ＜5的解集是x ＞2，则实数m 的值为 ．14．已知2是关于x 的方程x 2＋4x －p ＝0的一个根，则该方程的另一个根是 ．15．已知点P 的坐标为(m ，n )，O 为坐标原点．连接OP ，将线段OP 饶O 点顺时针旋转90º得OP 1，则点P 1的坐标为 ．16．刘谦的魔术表演风靡全国．小明也学起刘谦，发明了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b )进入其中时，会得到一个新的实数：a 2＋b －1，例如把(3，－2)放入其中，就会得到32＋(－2)－1＝6．现将实数对(－2，－3)放入其中，得到的实数是 ．17．如图，在正方形ABCD 中，O 是CD 上的一点，以O 为圆心、 OD 为半径的半圆恰好与以B 为圆心、BC 为半径的扇形的弧外切，则∠OBC 的正弦值为 ．18．如图，三角板ABC 的直角边AC 、BC 的长分别为40cm 和30cm ， 点G 在斜边AB 上，且BG ＝30cm ．将这个三角板以G 为中心按 逆时针旋转90º至△A 1B 1C 1的位置，那么旋转前后两个三角板重 叠部分(四边形DEFG )的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分66分） 19．（每小题4分，满分12分） (1)计算：)4(60sin 4120π-+- ．(2)解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≤+<+．，3128)2(3x x x x(3)解分式方程：xx x -=+--21221．ABC D20．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90º，∠A＝30º，BD是∠ABC的平分线，CD＝5cm，求AB的长．21．(10分)某中学初三(1)班、(2)班各选5名同学参加“爱我中华”演讲比赛，其预赛成绩(满分100分)如图所示：(1(2)根据两班的平均数和中位数，分析哪班成绩较好？(3)如果每班各选2名同学参加决赛，你认为哪个班实力更强些？说明理由．A B OC D 22．(12分)如图，在△AOB 中，OA ＝OB ，∠A ＝30º，⊙O 经过AB 的中点E 分别交OA 、OB 于C 、D 两点，连接CD ．(1)求证：AB 是⊙O 的切线． (2)求证：AB ∥CD ． (3)若CD ＝43，求扇形OCED 的面积．23．(12分)我市为绿化城区，计划购买甲、乙两种树苗共计500棵，甲种树苗每棵50元，乙种树苗每棵80元，调查统计得：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%、95%．(1)如果购买两种树苗共用28000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？(2)市绿化部门研究决定，购买树苗的钱数不得超过34000元，应如何选购树苗？(3)要使这批树苗的成活率不低于92%，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？24．(12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y＝kx＋4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于点B(1，m)、C(2，2)．(1)求直线与抛物线的解析式．(2)若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x，y)，设∠PON＝α，求当△PON的面积最大时tanα的值．(3)若动点P保持(2)中的运动线路，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON的面积的815？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
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山东省菏泽市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（20xx 菏泽）点P （﹣2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 考点：点的坐标。
解答：解：点P （﹣2，1）在第二象限． 故选B ．2．（20xx 菏泽）在算式（）□（）的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）A ．加号B ．减号C ．乘号D ．除号 考点：实数的运算；实数大小比较。
解答：解：当填入加号时：（）+（）=﹣；当填入减号时：（）﹣（）=0； 当填入乘号时：（）×（）=； 当填入除号时：（）÷（）=1．∵1＞＞0＞﹣， ∴这个运算符号是除号． 故选D ． 3．（20xx 菏泽）如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）A ．B ．C ．D ． 考点：简单组合体的三视图。
解答：解：从正前方观察，应看到长有三个立方体，且中间的为三个立方体叠加；高为两个立方体，在中间且有两个立方体叠加． 故选B ．4．（20xx 菏泽）已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组81mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则n m -2的算术平方根为（ ）A ．±2B ． 2C ．2D ． 4考点：二元一次方程组的解；算术平方根。
解答：解：∵⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+18my nx ny mx 的解，∴2821m n n m +=⎧⎨-=⎩，解得：32m n =⎧⎨=⎩，∴2m ﹣n=4，∴n m -2的算术平方根为2． 故选C ． 5．（20xx 菏泽）下列图形中是中心对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：中心对称图形。
山东省菏泽市2021年中考数学试卷 (Word版,含答案与解析)
山东省菏泽市2021年中考数学试卷一、单选题1.（2021·攸县模拟）如图，点A 所表示的数的倒数是（ ）A. 3B. ﹣3C. 13D. −13【答案】 D【考点】数轴及有理数在数轴上的表示【解析】【解答】解：由数轴可知，点A 表示 −3 ，∴ −3 的倒数是 −13 ；故答案为：D.【分析】由数轴和倒数的定义，即可得到答案.2.（2021·菏泽）下列等式成立的是（ ）A. a 3+a 3=a 6B. a ⋅a 3=a 3C. (a −b)2=a 2−b 2D. (−2a 3)2=4a 6【答案】 D【考点】同底数幂的乘法，完全平方公式及运用，合并同类项法则及应用，积的乘方【解析】【解答】解：A 、 a 3+a 3=2a 3 ，故A 选项不符合题意；B 、 a ⋅a 3=a 4 ，故B 选项不符合题意；C 、 (a −b)2=a 2−2ab +b 2 ，故C 选项不符合题意；D 、 (−2a 3)2=4a 6 ，故D 选项符合题意，故答案为：D ．【分析】熟练掌握合并同类项、同底数幂、完全平方式、积的乘方运算法则。
3.（2021·菏泽）如果不等式组 {x +5<4x −1x >m 的解集为 x >2 ，那么 m 的取值范围是（）A. m ≤2B. m ≥2C. m >2D. m <2【答案】 A【考点】不等式的解及解集，解一元一次不等式组【解析】【解答】∵ {x +5<4x −1①x >m ② ，解①得x ＞2，解②得x ＞m ，∵不等式组 {x +5<4x −1x >m 的解集为 x >2 ，根据大大取大的原则，∴ m ≤2 ，故答案为：A.【分析】解题关键：掌握解一元一次不等式，再根据不等式组的解集来确定m 的值。
4.（2021·菏泽）一副三角板按如图方式放置，含 45° 角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行，则 ∠α 的度数是（ ）A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°【答案】 B【考点】角的运算，平行线的性质【解析】【解答】如图，∵AB ∥DE ，∴∠BAE=∠E=30°，∴ ∠α =∠CAB-∠BAE= 45°-30°=15°，故答案为：B【分析】两直线平行，内错角相等。
山东省菏泽市中考数学试题(word版,含解析)
山东省菏泽市=O-四年初中学业水平考试数学试题山东省菏泽市牡丹中学一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项A 、B 、C 、D 中只有一项是正确的，请把正确的选项选出来并填在第3页该题相应的答题栏内．1．比-l 大的数是A. -3B. -910 C. 0 D ．一l 考点: 有理数的加减法．分析：可利用数轴进行思考比较.解答：选C点评：本题考查了有理数的大小比较，是基础题，熟记大小比较方法是解题的关键2．如图，直线l ∥m ∥n ，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线n 和m上，边BC 与直线n 所夹锐角为25°,则∠α的度数为A ．25°B ．45° C. 35° D. 30°考点: 平行线的性质,等边三角形的性质．分析：利用两直线平行同位角相等，内错角相等得到∠a+250=∠ACB ，即可求出∠a 的度数 解答：选C点评：本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质是解题的关键，利用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观3．下列计算中，正确的是A.a 3·a 2=a 6B.（π-3.14）º=1C.3)31(1-=- D. 39±= 考点: 零指数幂；负指数幂；同底数幂的乘法；算术平方根分析：在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据运算法则求得计算结果 解答: A 、a 3•a 2=a 3+2=a 5，故本选项错误；B 、（π-3.14）0=1，故本选项正确；C 、3)31(1=-，故本选项错误； D 、39=，故本选项错误． 故选B点评：本题考查了负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，同底数幂的乘法，零指数幂的定义以及算术平方根的定义，是基础题4. 2014年4月21日8时我市区县的可吸入颗粒物数值统计如下表该日这一时刻的可吸入颗粒物数值的众数和中位数分别是A．0.15和0.14 B．0.18和0.15 C．0.18和0.14 D．0.15和0.15考点: 众数；中位数．分析：在这一组数据中0.15是出现次数最多的，故众数是0.15；在这10个数中，按大小排列处于中间位置的第5、6两个数都是0.15，所以中位数是0.15．解答:选D点评：此题考查对众数和中位数的定义的掌握情况．记住定义是解决此类题目的关键. 5．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其展开图正确的为考点: 几何体的展开图；截一个几何体．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．解答：选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，•与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．故选B．点评：考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．6．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b =O有一个非零根-b，则a-b的值为 A．1 B．-1 C．0 D．一2考点: 一元二次方程的解；分解因式．分析：将x=-b代入到x2+ax+b=0中，利用分解因式可求得a-b的值．解答: ∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，∴b2-ab+b=0，∵-b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b-a+1=0，∴a-b=1．故选A．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．7．若点M(x，y)满足(x+y)2 =x2 +y2 -2，则点M所在象限是A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限 D．不能确定考点：各象限内点的坐标的符号特征；完全平方公式．分析：利用完全平方公式展开并整理得到xy=-1，从而判断出x、y异号，再根据各象限内点的坐标特征解答．记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键.解答：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，∴2xy=-2，xy=-1，∴x、y异号，∴点M（x，y）在第二、四象限．故选B．点评：本题考查了点的坐标，求出x、y异号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）8．如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是考点：动点问题的函数图象．分析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2-2（x-1）2，配方得到y=-（x-2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．解答：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△EN M=0.5，（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，故选A．点评：本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分．9. 2014年“原创新春祝福微博大赛”作品充满了对马年的浓浓祝福，主办方共收到原创祝福短信作品62800条，将62800用科学计数法表示应为_ __．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．解答：6.28×104点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．10．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠=25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则D B 的度数为考点：圆的认识；等腰三角形的性质；直角三角形的性质．分析：根据直角三角形两锐角和是90°，可以求出∠A 的度数，在△ACD 中由三内角和为180°，可以求出∠ACD 的度数，由∠ACB=90°，求出∠BCD ，就可以得到答案。
2023年山东菏泽中考数学试题及答案
2023年山东菏泽中考数学试题及答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）1. 剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A ．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A 符合题意； B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 不符合题意； C ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C 不符合题意； D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D 不符合题意． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么180︒这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2. 下列运算正确的是（ ） A.B.C.D.632a a a ÷=235a a a ⋅=()23622a a =()222a b a b +=+【答案】B 【解析】【分析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式分别判断即可． 【详解】解：A 、，故选项错误； 633a a a ÷=B 、，故选项正确；235a a a ⋅=C 、，故选项错误；()23624a a =D 、，故选项错误； ()2222a b a ab b +=++故选：B ．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方以及完全平方公式，正确掌握相关乘法公式是解题关键．3. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则30︒120∠=︒2∠=（ ）A. B.C. D.30︒40︒50︒60︒【答案】B 【解析】【分析】根据平行线的性质，得出，进而． 3120∠=∠=︒260340Ð=°-Ð=°【详解】由图知， 3120∠=∠=︒∴ 2603602040Ð=°-Ð=°-°=°故选：B【点睛】本题考查平行线的性质，特殊角直角三角形，由图形的位置关系推出角之间的数量关系是解题的关键．4. 实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）A.B.C.D.()0c b a -<()0b c a -<()0a b c ->()0a c b +>【答案】C 【解析】【分析】根据数轴可得，，再根据逐项判定即可． 0a b c <<<0a b c <<<【详解】由数轴可知，0a b c <<<∴，故A 选项错误； ()0c b a ->∴，故B 选项错误； ()0b c a ->∴，故C 选项正确； ()0a b c ->∴，故D 选项错误； ()0a c b +<故选：C ．【点睛】本题考查实数与数轴，根据进行判断是解题关键．0a b c <<<5. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．【详解】解：从正面看该几何体，有三列，第一列有2层，第二和第三列都只有一层，如图所示：故选：A ．【点睛】本题主要考查了简单几何组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 6. 一元二次方程的两根为，则的值为（ ） 2310x x +-=12x x ，1211+x x A.B.C. 3D. 323-32-【答案】C【解析】【分析】先求得，，再将变形，代入与的值123x x +=-121x x ⋅=-1211+x x 12x x +12x x ⋅求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的两根为， 2310x x +-=12x x 、∴， 123x x +=-121x x ⋅=-∴1211+x x 1212x x x x +=31=--． 3=故选C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是12b x x a+=-12cx x a ⋅=解决本题的关键．7. 的三边长a ，b ，c 满足，则是ABC A 2()23|32|0a b a b c -+--+-=ABC A （ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】【分析】由等式可分别得到关于a 、b 、c 的等式，从而分别计算得到a 、b 、c 的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．222+=a b c ABC A 【详解】解∵2()23|32|0a b a b c -+--+-=又∵()20230320a b a b c ⎧-≥⎪⎪--≥⎨⎪-≥⎪⎩∴， ()20230320a b a b c ⎧-=⎪⎪--=⎨⎪-=⎪⎩∴ 0230320a b a b c ⎧-=⎪--=⎨⎪-=⎩解得 ，3332a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴，且， 222+=a b c a b =∴为等腰直角三角形， ABC A 故选：D ．【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．8. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数(1,3),(2,6),(0,0)A B C --31x -<<的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（ ） 2y x x c =--+A. B. C. D.114c -≤<43c -≤<-154c -<<45c -≤<【答案】D 【解析】【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象3y x =2y x x c =--+上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，2y x x c =--+3y x =0∆≥再根据和时两个函数值大小即可求出． 3x =-1x =【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为，3y x =在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 31x -<<2y x x c =--+即在的范围内，和至少有一个交点， 31x -<<2y x x c =--+3y x =令，整理得：，23x x x c =--+240x x c --+=则，解得， ()()22444116+40b ac c c ∆---⨯-⨯≥===4c ≥-当时，，， 3x =-()()213312+y c c =----+-=29y =-∴，解得：，912+c ->-3c <当时，，， 1x =111+y c c =--+-2=23y =∴，解得：， 3>2+c -5c <综上: c 的取值范围是， 45c -≤<故选：D ．【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）9. 因式分解：______． 24m m -=【答案】 ()4-m m 【解析】【分析】直接提取公因式m ，进而分解因式即可． 【详解】解：m 2-4m =m (m -4)． 故答案为：m (m -4)．【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 10. 计算：___________． 0|32|2sin 602023-+︒-=【答案】1 【解析】【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再进行加减计算即可． 【详解】解：0322sin 602023-+︒-323212=-+⨯-1=故答案为：1．【点睛】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．11. 用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为__________． 【答案】59【解析】【分析】先列表得出所有的情况，再找到符合题意的情况，利用概率公式计算即可． 【详解】解：0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同， 列表如下： 1 2 3 0 10 20 30 1 21 31 2 12 32 31323一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32， ∴是偶数的概率为． 59故答案为：． 59【点睛】本题考查了列表法求概率，注意0不能在最高位．12. 如图，正八边形的边长为4，以顶点A 为圆心，的长为半径画圆，ABCDEFGH AB 则阴影部分的面积为__________（结果保留）．π【答案】 6π【解析】【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，，()821801358HAB -⋅︒∠==︒4AH AB ==∴，213546360S ππ⋅==阴故答案为：．6π【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积，正多边形的每个内角度数为． 2360n r S π=()2180n n-⋅︒13. 如图，点E 是正方形内的一点，将绕点B 按顺时针方向旋转得到ABCD ABE A 90︒．若，则__________度．CBF V 55ABE ∠=︒EGC ∠=【答案】80 【解析】【分析】先求得和的度数，再利用三角形外角的性质求解即可． BEF ∠CBE ∠【详解】解：∵四边形是正方形，ABCD∴， 90ABC ∠=︒∵，55ABE ∠=︒∴，905535CBE ∠=︒-︒=︒∵绕点B 按顺时针方向旋转得到 ABE A 90︒CBF V ∴，， 90EBF ∠=︒BE BF =∴，45BEF ∠=︒∴， EGC ∠=354580CBE BEF ∠+∠=︒+︒=︒故答案为：80．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转图形的性质和三角形外角的性质，利用旋转图形的性质求解是解题的关键．14. 如图，在四边形中，，点ABCD 90,5,4,ABC BAD AB AD AD BC ∠=∠=︒==<E 在线段上运动，点F 在线段上，，则线段的最小值为BC AE ADF BAE =∠∠BF __________．【答案】## 292-229-+【解析】【分析】设的中点为O ，以为直径画圆，连接，设与的交点为点AD AD OB OB O A F '，证明，可知点F 在以为直径的半圆上运动，当点F 运动到与90DFA ∠=︒AD OB O A 的交点时，线段有最小值，据此求解即可．F 'BF 【详解】解：设的中点为O ，以为直径画圆，连接，设与的交点为点AD AD OB OB O A ，F '∵， 90ABC BAD ∠=∠=︒∴， AD BC ∥∴， DAE AEB ∠=∠∵， ADF BAE =∠∠∴，90DFA ABE ==︒∠∠∴点F 在以为直径的半圆上运动，AD ∴当点F 运动到与的交点时，线段有最小值， OB O A F 'BF ∵， 4=AD ∴，， 122AO OF AD '===∴，225229BO =+=的最小值为，BF 292-故答案为：．292-【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F 的运动轨迹是解题的关键．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）15. 解不等式组：．()5231,32232x x x x x ⎧-<+⎪⎨--≥+⎪⎩【答案】 23x ≤【解析】【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可．10【详解】解：解得：， ()5231x x -<+52x <解得：，32232x x x --≥+23x ≤∴不等式组的解集为． 23x ≤【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的关键．16. 先化简，再求值：，其中x ，y 满足． 223x x xx y x y x y⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭230x y +-=【答案】，6 42x y +【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结果，将变形整体代入计算即可求解．230x y +-=【详解】解：原式 ()()()()()()()()3x x y x x y x y x y x y x y x y x y x ⎡⎤+--+=+⨯⎢⎥-+-+⎣⎦()()()()2233x y x y x xy x xy x y x y x -+++-=⨯-+()()()()242x y x y x xyx y x y x -++=⨯-+；42x y =+由，得到， 230x y +-=23x y +=则原式．()226x y =+=【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解．17. 如图，在中，平分，交于点E ；平分，交ABCD Y AE BAD ∠BC CF BCD ∠AD 于点F ．求证：．AE CF =【答案】证明见解析 【解析】【分析】由平行四边形的性质得，，，由平行线的性质和B D ∠=∠AB CD =AD BC ∥角平分线的性质得出，可证，即可得出． BAE DCF ∠=∠BAE DCF ≌△△AE CF =【详解】证明：∵四边形是平行四边形，ABCD ∴，，，， B D ∠=∠AB CD =BAD DCB ∠=∠AD BC ∥∵平分，平分， AE BAD ∠CF BCD ∠∴， BAE DAE BCF DCF ∠=∠=∠=∠在和中，BAE A DCF A B D AB CDBAE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ ()ASA BAE DCF ≌A A ∴．AE CF =【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键．18. 无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，BC 无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处俯角为，楼顶C 点处的俯60︒角为，已知点A 与大楼的距离为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的30︒AB 高度（结果保留根号）BC【答案】大楼的高度为． BC 303m 【解析】【分析】如图，过作于，过作于，而，则四边P PH AB ⊥H C CQ PH ⊥Q CB AB ⊥形是矩形，可得，，求解CQHB QH BC =BH CQ =，，可得3sin 60804032PH AP =︒=⨯=A cos 6040AH AP =︒=A ，，可得704030CQ BH ==-=tan 30103PQ CQ =︒=A ．403103303BC QH ==-=【详解】解：如图，过作于，过作于，而，P PH AB ⊥H C CQ PH ⊥Q CB AB ⊥则四边形是矩形， CQHB ∴，，QH BC =BH CQ =由题意可得：，，，，80AP =60PAH ∠=︒30PCQ ∠=︒70AB =∴，， 3sin 60804032PH AP =︒=⨯=A cos 6040AH AP =︒=A ∴， 704030CQ BH ==-=∴， tan 30103PQ CQ =︒=A ∴， 403103303BC QH ==-=∴大楼的高度为．BC 303m 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．19. 某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x （次/分钟）分为如下五组：A 组：，B 组：，C 组：5075x ≤<75100x ≤<，D 组：，E 组：．其中，A 组数据为73，100125x ≤<125150x ≤<150175x ≤≤65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：（1）A 组数据的中位数是_______，众数是_______；在统计图中B 组所对应的扇形圆心角是_______度；（2）补全学生心率频数分布直方图；（3）一般运动的适宜行为为（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据100150x ≤<此次跨学科项目研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？ 【答案】（1）69，74，54；（2）见解析 （3）大约有1725名学生达到适宜心率． 【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解，先求出总人数，然后求出B 组所占的百分比，最后乘以即可求出在统计图中B 组所对应的扇形圆心角； 360︒（2）根据样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】将A 组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74， ∴中位数为； 6870692+=∵74出现的次数最多， ∴众数是74；，88%100÷= 1536054100︒⨯=︒∴在统计图中B 组所对应的扇形圆心角是； 54︒故答案为：69，74，54； 【小问2详解】10081545230----=∴C 组的人数为30，∴补全学生心率频数分布直方图如下：【小问3详解】（人）， 304523001725100+⨯=∴大约有1725名学生达到适宜心率．【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图，扇形统计图的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键．20. 如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B 作，交反比例()()0,4,2,0A B AB BC AB ⊥函数在第一象限的图象于点． ky x=(,1)C a（1）求反比例函数和直线的表达式； ky x=OC （2）将直线向上平移个单位，得到直线l ，求直线l 与反比例函数图象的交点坐OC 32标．【答案】（1），4y x=14y x =（2）或 ()2,218,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）如图，过点C 作轴于点D ，证明，利用相似三角形CD x ⊥ABO BCD ∽A A 的性质得到，求出点C 的坐标，代入可得反比例函数解析式，设的表达2BD =ky x=OC 式为，将点代入即可得到直线的表达式；y mx =()4,1C OC （2）先求得直线l 的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标． 【小问1详解】如图，过点C 作轴于点D ，CD x ⊥则，， 1CD =90CDB ∠=︒∵， BC AB ⊥∴，90ABC ∠=︒∴， 90ABO CBD ∠+∠=︒∵，90CDB ∠=︒∴， 90BCD CBD ∠+∠=︒∴， BCD ABO ∠=∠∴， ABO BCD ∽A A ∴， OA BDOB CD=∵， ()()0,4,2,0A B ∴，， 4OA =2OB =∴， 421BD =∴， 2BD =∴， 224OD =+=∴点， ()4,1C 将点C 代入中， ky x=可得， 4k =∴， 4y x=设的表达式为，OC y mx =将点代入可得， ()4,1C 14m =解得：， 14m =∴的表达式为； OC 14y x =【小问2详解】直线l 的解析式为， 1342y x =+当两函数相交时，可得，13442x x+=解得,, 12x =8x =-代入反比例函数解析式，得， 1122x y =⎧⎨=⎩22812x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴直线l 与反比例函数图象的交点坐标为或()2,218,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移问题，解一元二次方程等知识．21. 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A ，B 两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A ，B 两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？【答案】（1）长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米 （2）最多可以购买1400株牡丹 【解析】【分析】（1）设长为x 米，面积为y 平方米，则宽为米，可以得到y 与x 的函数1203x-关系式，配成顶点式求出函数的最大值即可；（2）设种植牡丹的面积为a 平方米，则种植芍药的面积为平方米，由题意列出()1200a -不等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答． 【小问1详解】解：设长为x 米，面积为y 平方米，则宽为米， 1203x-∴， ()221140601200331203y x x x x x =⨯=--+-+=-∴当时，y 有最大值是1200， 60x =此时，宽为（米） 120203x-=答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米． 【小问2详解】解：设种植牡丹的面积为a 平方米，则种植芍药的面积为平方米， ()1200a -由题意可得 ()252152120050000a a ⨯+⨯-≤解得：，700a ≤即牡丹最多种植700平方米， （株）， 70021400⨯=答：最多可以购买1400株牡丹．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．22. 如图，为的直径，C 是圆上一点，D 是的中点，弦，垂足为点AB O A A BCDE AB ⊥F ．（1）求证：；BC DE =（2）P 是上一点，，求；»AE 6,2AC BF ==tan BPC ∠（3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长． CP ACB ∠CP 【答案】（1）证明见解析； （2）43（3） 72【解析】【分析】（1）由D 是的中点得，由垂径定理得，得到，A BCA A CD BD =A A BE BD =»»BC DE =根据同圆中，等弧对等弦即可证明；（2）连接，证明，设的半径为r ，利用相似三角形的性质得OD ACB OFD ∽A A O A ，，由勾股定理求得，得到，即可得到=5r 210AB r ==BC 84tan 63BC CAB AC ∠===； tan BPC ∠43=（3）过点B 作交于点G ，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得BG CP ⊥CP CBG A 到，由得到，解得，cos 4542CG BG BC ==︒=tan BPC ∠43=43BG GP =32GP =即可求解． 【小问1详解】解：∵D 是的中点， A BC∴， A A CDBD =∵且为的直径，DE AB ⊥AB O A ∴， A A BEBD =∴， »»BCDE =∴； BC DE =【小问2详解】 解：连接，OD∵， A A CDBD =∴， CAB DOB ∠=∠∵为的直径， AB O A ∴， 90ACB ∠=︒∵， DE AB ⊥∴， 90DFO ∠=︒∴， ACB OFD ∽A A ∴， AC OFAB OD =设的半径为r ， O A 则， 622r r r-=解得，经检验，是方程的根， =5r =5r ∴， 210AB r ==∴，228AB BC AC -==∴， 84tan 63BC CAB AC ∠===∵， BPC CAB ∠=∠∴； tan BPC ∠43=【小问3详解】解：如图，过点B 作交于点G ，BG CP ⊥CP∴90BGC BGP ∠=∠=︒∵，是的平分线， 90ACB ∠=︒CP ACB ∠∴ 45ACP BCP ∠=∠=︒∴45CBG ∠=︒∴， cos 4542CG BG BC ==︒=∵ tan BPC ∠43=∴， 43BG GP =∴，32GP =∴．423272CP =+=【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．23. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足ABCD E F DC BC AE DF ⊥为点．求证：．G ADE DCF △∽△【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长ABCD E F DC BC AE DF =到点，使，连接．求证：．BC H CH DE =DH ADF H ∠=∠【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，ABCD E F DC BC 11AE DF ==，，求的长．8DE =60AED ∠=︒CF 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再90ADE DCF ∠=∠=︒90CDF DFC ∠+∠=︒由，可得，则，根据等角的余角相等得AE DF ⊥90DGE ∠=︒90CDF AED ∠+∠=︒，即可得证；AED DFC ∠=∠（2）利用“”证明，可得，由，可得HL A A ≌ADE DCF DE CF =CH DE =，利用“”证明，则，由正方形的性质可CF CH =SAS DCF DCH A A ≌DHC DFC ∠=∠得，根据平行线的性质，即可得证；AD BC ∥（3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，BC G 8CG DE ==DG AD DC =，则，推出，由全等的性质可得AD BC ∥ADE DCG ∠=∠()SAS ADE DCG △≌△，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关60DGC AED ∠=∠=︒DG AE =DFG A 系计算求解即可．【详解】（1）证明：四边形是矩形，ABCD ，90ADE DCF ∴∠=∠=︒，90CDF DFC ∴∠+∠=︒，AE DF ⊥，90DGE ∴∠=︒， 90CDF AED ∴∠+∠=︒，AED DFC ∴∠=∠；ADE DCF ∴△∽△（2）证明：四边形是正方形，ABCD ，，， AD DC ∴=AD BC ∥90ADE DCF ∠=∠=︒，AE DF = ，()HL ADE DCF ∴A A ≌，DE CF ∴=又，CH DE =，∴CF CH =点在的延长线上，H BC ，∴90DCH DCF ∠=∠=︒，DC DC = ，()SAS DCF DCH ∴A A ≌，H DFC ∴∠=∠，AD BC ∥；ADF DFC H ∴∠=∠=∠（3）解：如图，延长到点，使，连接，BC G 8CG DE ==DG四边形是菱形，ABCD ，，AD DC ∴=AD BC ∥，ADE DCG ∴∠=∠，()SAS ADE DCG ∴A A ≌，，60DGC AED ∴∠=∠=︒DG AE =，AE DF = ，DG DF ∴=是等边三角形，DFG ∴A ， 11FG FC CG DF ∴=+==．111183FC CG ∴=-=-=【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键．24. 已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点，其对称轴2y x bx c =-++()0,4C 为． 32x =-（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D 是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，OC AD BD ，ABD △AD 得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；AB D 'V B '（3）如图2，动点P 在直线上方的抛物线上，过点P 作直线的垂线，分别交直线AC AC ，线段于点E ，F ，过点F 作轴，垂足为G ，求的最大值．AC BC FG x ⊥2FG FP +【答案】（1） 234y x x =--+（2） 40,33D ⎛⎫⎪⎝⎭（3）496【解析】【分析】（1）由题易得c 的值，再根据对称轴求出b 的值，即可解答；（2）过作x 轴的垂线，垂足为H 求出A 和B 的坐标，得到，，B '5AB AB '==52AH =由，推出，解直角三角形得到的长，52AB AB AH '===1302DAB B AB '∠=∠=︒OD 即可解答；（3）求得所在直线的解析式为，设，设所在直BC 144y x =-+()2,34P m m m --+PE 线的解析式为：，得，令，解得22y x b =-+2224y x m m =---+12y y =223m mx +=，分别表示出和，再对进行化简计算，配方成顶点式即可求解． FG 2PF 2FG FP +【小问1详解】解：抛物线与y 轴交于点，()0,4C∴， 4c =∵对称轴为， 32x =-∴，， 322b -=--3b =-∴抛物线的解析式为； 234y x x =--+【小问2详解】如图，过作x 轴的垂线，垂足为H ，B '令， 2340x x --+=解得：， 121,4x x ==-∴，， ()4,0A -()10B ,∴， ()145AB =--=由翻折可得，5AB AB '==∵对称轴为， 32x =-∴，()35422AH =---=∵，52AB AB AH '===∴， 30AB H '∠=︒60B AB '∠=︒∴， 1302DAB B AB '∠=∠=︒在中，， Rt AOD A 4tan 3033OD OA =︒=∴； 40,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问3详解】设所在直线的解析式为， BC 111y k x b =+把B 、C 坐标代入得：，11104k b b +=⎧⎨=⎩解得，1144k b =-⎧⎨=⎩∴， 144y x =-+∵， OA OC =∴， 45CAO ∠=︒∵，90AEB ∠=︒∴直线与x 轴所成夹角为， PE 45︒设，()2,34P m m m --+设所在直线的解析式为：， PE 22y x b =-+把点P 代入得， 2224b m m =--+∴，2224y x m m =---+令，则，12y y =24424x x m m -+=---+解得，223m m x +=∴()24243Fm mFG y -+==+()()222222cos 453F P F P x x PF x x m m -==⋅⋅-=-︒∴ ()()224224332FG F m m m m FG P -++-=+=+22549326m ⎛⎫=-++⎪⎝⎭∵点P 在直线上方， AC ∴， 40m -<<∴当时，的最大值为． 52m =-2FG FP +496【点睛】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键．。
山东省荷泽市中考数学试题(word版含答案)
义务教育基础课程初中教学资料绝密★启用前 试卷类型：A菏泽市二〇一五年初中学业水平考试(中考)数 学 试 题注意事项：1．本试题分为选择题和非选择题两部分，其中选择题24分，非选择题96分，满分120分，考试时间120分钟.2．请把答案作答在答题卡上，选择题用2B 铅笔填涂，非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题卡的指定区域内, 答在其他位置上不得分.一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项A 、B 、C 、D 中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置.）1．现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2014年的“双11”网上促销活动中天猫和淘宝的支付交易额突破57000 000 000元，将数字57000 000 000用科学计数法表示为9111091057.D 1057.0.C 107.5.B 107.5.A ⨯⨯⨯⨯2．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则: ∠BOC 的大小为A ．140° B.160° C.170° D.150°3. 将多项式a 4ax 4ax 2+-分解因式,下列结果中正确的是 )2x )(2x (a .D )4x (a .C )2x (a .B )2x (a .A 222-+-+-4.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数x 与方差2S :甲 乙 丙 丁 平均数x (cm) 561 560 561 560 方差)cm (S 223.53.515.516.5根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择 A. 甲 B.乙 C.丙 D.丁5.如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体,将正方体①移走后,所得 几何体A.主视图改变,左视图改变B.俯视图不变,左视图不变C.俯视图改变,左视图改变D.主视图改变,左视图不变6.如图,四个有理数在数轴上的对应点M,P,N,Q,若点M,N 表示的有理数互为相反数,则图中表示绝对值最小的数的点是 A.点M B.点N C.点P D.点Q7.小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至途中自行车出了故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上课,加快了骑车速度.下面是小明离家后他到学校剩下的路程S 关于时间t 的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=3x 经过点A,作AB ⊥x 轴于点B ，将⊿ABO 绕点B 逆时针旋转60°得到⊿CBD ，若点B 的坐标为（2，0），则点C 的坐标为)2,3.(D )1,3.(C )3,2.(B )3,1.(A ----二.填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分，只要求把结果填写在答题卡的相应 区域内）9．直线y= -3x+5不经过的象限为_______________.10.已知一组数据6,2,4,2,3,5,2,4,这组数据的中位数为____________. 11.已知A(-1, m) 与B(2, m-3)是反比例函数y=xk图象上的两个点，则m 的值为________. 12.若)n x )(3x (m x x 2+-=++对x 恒成立，则n=_________.13.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<-≤-41x 3x )1x (3)2x (2的解集是___________. 14.二次函数y=2x 3的图象如图,点O 为坐标原点,点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在二次函数y=2x 3的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA= 120°，则菱形OBAC 的面积为___________.三.解答题(本题共78分,把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内) 15.(本题12分,每小题6分) (1)计算: 102015)21()14.3(30sin )1(-+-π-︒+-(2)解分式方程:12x x4x 22=-+-16.(本题12分,每小题6分)(1)如图,M 、N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞, 工程人员为了计算工程量，必须计算M 、N 两点之间的直线距离，选择测量点A 、B 、C ，点B 、C 分别在AM 、AN 上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米，BC=45米，AC=30米，求M 、N 两点之间的直线距离.(2)列方程(组)或不等式(组)解应用题:2015年的5月20日是第15个中国学生营养日,我市某校社会实践小组在这天开展活动,调查快餐营养情况,他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图一矩形内),若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%,求这份 快餐最多含有多少克的蛋白质?17.(本题14分,每小题7分) (1)已知m 是方程01x x 2=--的一个根,求4)3m (m )1m (m 22++-+的值.(2)一次函数y=2x+2与反比例函数y=xk(k ≠0)的图象都过点A(1,m), y=2x+2的图象与x 轴交于点B. ①求点B 的坐标及反比例函数的表达式;②点C(0,-2),若四边形ABCD 是平行四边形,请在直角坐标系内画出口ABCD,直接写出点．．．．．D ．的坐标．．．,并判断D 点是否在此反比例函数的图象上,并说明理由.18.(本题10分)如图,在⊿ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F。
2023年山东菏泽中考数学试题及答案
2023年山东菏泽中考数学试题及答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）1. 剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A ．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A 符合题意； B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 不符合题意； C ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C 不符合题意； D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D 不符合题意． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么180︒这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2. 下列运算正确的是（ ） A.B.C.D.632a a a ÷=235a a a ⋅=()23622a a =()222a b a b +=+【答案】B 【解析】【分析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式分别判断即可． 【详解】解：A 、，故选项错误； 633a a a ÷=B 、，故选项正确；235a a a ⋅=C 、，故选项错误；()23624a a =D 、，故选项错误； ()2222a b a ab b +=++故选：B ．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方以及完全平方公式，正确掌握相关乘法公式是解题关键．3. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则30︒120∠=︒2∠=（ ）A. B.C. D.30︒40︒50︒60︒【答案】B 【解析】【分析】根据平行线的性质，得出，进而． 3120∠=∠=︒260340Ð=°-Ð=°【详解】由图知， 3120∠=∠=︒∴ 2603602040Ð=°-Ð=°-°=°故选：B【点睛】本题考查平行线的性质，特殊角直角三角形，由图形的位置关系推出角之间的数量关系是解题的关键．4. 实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）A.B.C.D.()0c b a -<()0b c a -<()0a b c ->()0a c b +>【答案】C 【解析】【分析】根据数轴可得，，再根据逐项判定即可． 0a b c <<<0a b c <<<【详解】由数轴可知，0a b c <<<∴，故A 选项错误； ()0c b a ->∴，故B 选项错误； ()0b c a ->∴，故C 选项正确； ()0a b c ->∴，故D 选项错误； ()0a c b +<故选：C ．【点睛】本题考查实数与数轴，根据进行判断是解题关键．0a b c <<<5. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．【详解】解：从正面看该几何体，有三列，第一列有2层，第二和第三列都只有一层，如图所示：故选：A ．【点睛】本题主要考查了简单几何组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 6. 一元二次方程的两根为，则的值为（ ） 2310x x +-=12x x ，1211+x x A.B.C. 3D. 323-32-【答案】C【解析】【分析】先求得，，再将变形，代入与的值123x x +=-121x x ⋅=-1211+x x 12x x +12x x ⋅求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的两根为， 2310x x +-=12x x 、∴， 123x x +=-121x x ⋅=-∴1211+x x 1212x x x x +=31=--． 3=故选C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是12b x x a+=-12cx x a ⋅=解决本题的关键．7. 的三边长a ，b ，c 满足，则是ABC A 2()23|32|0a b a b c -+--+-=ABC A （ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】【分析】由等式可分别得到关于a 、b 、c 的等式，从而分别计算得到a 、b 、c 的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．222+=a b c ABC A 【详解】解∵2()23|32|0a b a b c -+--+-=又∵()20230320a b a b c ⎧-≥⎪⎪--≥⎨⎪-≥⎪⎩∴， ()20230320a b a b c ⎧-=⎪⎪--=⎨⎪-=⎪⎩∴ 0230320a b a b c ⎧-=⎪--=⎨⎪-=⎩解得 ，3332a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴，且， 222+=a b c a b =∴为等腰直角三角形， ABC A 故选：D ．【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．8. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数(1,3),(2,6),(0,0)A B C --31x -<<的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（ ） 2y x x c =--+A. B. C. D.114c -≤<43c -≤<-154c -<<45c -≤<【答案】D 【解析】【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象3y x =2y x x c =--+上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，2y x x c =--+3y x =0∆≥再根据和时两个函数值大小即可求出． 3x =-1x =【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为，3y x =在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 31x -<<2y x x c =--+即在的范围内，和至少有一个交点， 31x -<<2y x x c =--+3y x =令，整理得：，23x x x c =--+240x x c --+=则，解得， ()()22444116+40b ac c c ∆---⨯-⨯≥===4c ≥-当时，，， 3x =-()()213312+y c c =----+-=29y =-∴，解得：，912+c ->-3c <当时，，， 1x =111+y c c =--+-2=23y =∴，解得：， 3>2+c -5c <综上: c 的取值范围是， 45c -≤<故选：D ．【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）9. 因式分解：______． 24m m -=【答案】 ()4-m m 【解析】【分析】直接提取公因式m ，进而分解因式即可． 【详解】解：m 2-4m =m (m -4)． 故答案为：m (m -4)．【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 10. 计算：___________． 0|32|2sin 602023-+︒-=【答案】1 【解析】【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再进行加减计算即可． 【详解】解：0322sin 602023-+︒-323212=-+⨯-1=故答案为：1．【点睛】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．11. 用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为__________． 【答案】59【解析】【分析】先列表得出所有的情况，再找到符合题意的情况，利用概率公式计算即可． 【详解】解：0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同， 列表如下： 1 2 3 0 10 20 30 1 21 31 2 12 32 31323一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32， ∴是偶数的概率为． 59故答案为：． 59【点睛】本题考查了列表法求概率，注意0不能在最高位．12. 如图，正八边形的边长为4，以顶点A 为圆心，的长为半径画圆，ABCDEFGH AB 则阴影部分的面积为__________（结果保留）．π【答案】 6π【解析】【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，，()821801358HAB -⋅︒∠==︒4AH AB ==∴，213546360S ππ⋅==阴故答案为：．6π【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积，正多边形的每个内角度数为． 2360n r S π=()2180n n-⋅︒13. 如图，点E 是正方形内的一点，将绕点B 按顺时针方向旋转得到ABCD ABE A 90︒．若，则__________度．CBF V 55ABE ∠=︒EGC ∠=【答案】80 【解析】【分析】先求得和的度数，再利用三角形外角的性质求解即可． BEF ∠CBE ∠【详解】解：∵四边形是正方形，ABCD∴， 90ABC ∠=︒∵，55ABE ∠=︒∴，905535CBE ∠=︒-︒=︒∵绕点B 按顺时针方向旋转得到 ABE A 90︒CBF V ∴，， 90EBF ∠=︒BE BF =∴，45BEF ∠=︒∴， EGC ∠=354580CBE BEF ∠+∠=︒+︒=︒故答案为：80．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转图形的性质和三角形外角的性质，利用旋转图形的性质求解是解题的关键．14. 如图，在四边形中，，点ABCD 90,5,4,ABC BAD AB AD AD BC ∠=∠=︒==<E 在线段上运动，点F 在线段上，，则线段的最小值为BC AE ADF BAE =∠∠BF __________．【答案】## 292-229-+【解析】【分析】设的中点为O ，以为直径画圆，连接，设与的交点为点AD AD OB OB O A F '，证明，可知点F 在以为直径的半圆上运动，当点F 运动到与90DFA ∠=︒AD OB O A 的交点时，线段有最小值，据此求解即可．F 'BF 【详解】解：设的中点为O ，以为直径画圆，连接，设与的交点为点AD AD OB OB O A ，F '∵， 90ABC BAD ∠=∠=︒∴， AD BC ∥∴， DAE AEB ∠=∠∵， ADF BAE =∠∠∴，90DFA ABE ==︒∠∠∴点F 在以为直径的半圆上运动，AD ∴当点F 运动到与的交点时，线段有最小值， OB O A F 'BF ∵， 4=AD ∴，， 122AO OF AD '===∴，225229BO =+=的最小值为，BF 292-故答案为：．292-【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F 的运动轨迹是解题的关键．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）15. 解不等式组：．()5231,32232x x x x x ⎧-<+⎪⎨--≥+⎪⎩【答案】 23x ≤【解析】【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可．10【详解】解：解得：， ()5231x x -<+52x <解得：，32232x x x --≥+23x ≤∴不等式组的解集为． 23x ≤【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的关键．16. 先化简，再求值：，其中x ，y 满足． 223x x xx y x y x y⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭230x y +-=【答案】，6 42x y +【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结果，将变形整体代入计算即可求解．230x y +-=【详解】解：原式 ()()()()()()()()3x x y x x y x y x y x y x y x y x y x ⎡⎤+--+=+⨯⎢⎥-+-+⎣⎦()()()()2233x y x y x xy x xy x y x y x -+++-=⨯-+()()()()242x y x y x xyx y x y x -++=⨯-+；42x y =+由，得到， 230x y +-=23x y +=则原式．()226x y =+=【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解．17. 如图，在中，平分，交于点E ；平分，交ABCD Y AE BAD ∠BC CF BCD ∠AD 于点F ．求证：．AE CF =【答案】证明见解析 【解析】【分析】由平行四边形的性质得，，，由平行线的性质和B D ∠=∠AB CD =AD BC ∥角平分线的性质得出，可证，即可得出． BAE DCF ∠=∠BAE DCF ≌△△AE CF =【详解】证明：∵四边形是平行四边形，ABCD ∴，，，， B D ∠=∠AB CD =BAD DCB ∠=∠AD BC ∥∵平分，平分， AE BAD ∠CF BCD ∠∴， BAE DAE BCF DCF ∠=∠=∠=∠在和中，BAE A DCF A B D AB CDBAE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ ()ASA BAE DCF ≌A A ∴．AE CF =【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键．18. 无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，BC 无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处俯角为，楼顶C 点处的俯60︒角为，已知点A 与大楼的距离为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的30︒AB 高度（结果保留根号）BC【答案】大楼的高度为． BC 303m 【解析】【分析】如图，过作于，过作于，而，则四边P PH AB ⊥H C CQ PH ⊥Q CB AB ⊥形是矩形，可得，，求解CQHB QH BC =BH CQ =，，可得3sin 60804032PH AP =︒=⨯=A cos 6040AH AP =︒=A ，，可得704030CQ BH ==-=tan 30103PQ CQ =︒=A ．403103303BC QH ==-=【详解】解：如图，过作于，过作于，而，P PH AB ⊥H C CQ PH ⊥Q CB AB ⊥则四边形是矩形， CQHB ∴，，QH BC =BH CQ =由题意可得：，，，，80AP =60PAH ∠=︒30PCQ ∠=︒70AB =∴，， 3sin 60804032PH AP =︒=⨯=A cos 6040AH AP =︒=A ∴， 704030CQ BH ==-=∴， tan 30103PQ CQ =︒=A ∴， 403103303BC QH ==-=∴大楼的高度为．BC 303m 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．19. 某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x （次/分钟）分为如下五组：A 组：，B 组：，C 组：5075x ≤<75100x ≤<，D 组：，E 组：．其中，A 组数据为73，100125x ≤<125150x ≤<150175x ≤≤65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：（1）A 组数据的中位数是_______，众数是_______；在统计图中B 组所对应的扇形圆心角是_______度；（2）补全学生心率频数分布直方图；（3）一般运动的适宜行为为（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据100150x ≤<此次跨学科项目研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？ 【答案】（1）69，74，54；（2）见解析 （3）大约有1725名学生达到适宜心率． 【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解，先求出总人数，然后求出B 组所占的百分比，最后乘以即可求出在统计图中B 组所对应的扇形圆心角； 360︒（2）根据样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】将A 组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74， ∴中位数为； 6870692+=∵74出现的次数最多， ∴众数是74；，88%100÷= 1536054100︒⨯=︒∴在统计图中B 组所对应的扇形圆心角是； 54︒故答案为：69，74，54； 【小问2详解】10081545230----=∴C 组的人数为30，∴补全学生心率频数分布直方图如下：【小问3详解】（人）， 304523001725100+⨯=∴大约有1725名学生达到适宜心率．【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图，扇形统计图的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键．20. 如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B 作，交反比例()()0,4,2,0A B AB BC AB ⊥函数在第一象限的图象于点． ky x=(,1)C a（1）求反比例函数和直线的表达式； ky x=OC （2）将直线向上平移个单位，得到直线l ，求直线l 与反比例函数图象的交点坐OC 32标．【答案】（1），4y x=14y x =（2）或 ()2,218,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）如图，过点C 作轴于点D ，证明，利用相似三角形CD x ⊥ABO BCD ∽A A 的性质得到，求出点C 的坐标，代入可得反比例函数解析式，设的表达2BD =ky x=OC 式为，将点代入即可得到直线的表达式；y mx =()4,1C OC （2）先求得直线l 的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标． 【小问1详解】如图，过点C 作轴于点D ，CD x ⊥则，， 1CD =90CDB ∠=︒∵， BC AB ⊥∴，90ABC ∠=︒∴， 90ABO CBD ∠+∠=︒∵，90CDB ∠=︒∴， 90BCD CBD ∠+∠=︒∴， BCD ABO ∠=∠∴， ABO BCD ∽A A ∴， OA BDOB CD=∵， ()()0,4,2,0A B ∴，， 4OA =2OB =∴， 421BD =∴， 2BD =∴， 224OD =+=∴点， ()4,1C 将点C 代入中， ky x=可得， 4k =∴， 4y x=设的表达式为，OC y mx =将点代入可得， ()4,1C 14m =解得：， 14m =∴的表达式为； OC 14y x =【小问2详解】直线l 的解析式为， 1342y x =+当两函数相交时，可得，13442x x+=解得,, 12x =8x =-代入反比例函数解析式，得， 1122x y =⎧⎨=⎩22812x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴直线l 与反比例函数图象的交点坐标为或()2,218,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移问题，解一元二次方程等知识．21. 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A ，B 两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A ，B 两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？【答案】（1）长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米 （2）最多可以购买1400株牡丹 【解析】【分析】（1）设长为x 米，面积为y 平方米，则宽为米，可以得到y 与x 的函数1203x-关系式，配成顶点式求出函数的最大值即可；（2）设种植牡丹的面积为a 平方米，则种植芍药的面积为平方米，由题意列出()1200a -不等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答． 【小问1详解】解：设长为x 米，面积为y 平方米，则宽为米， 1203x-∴， ()221140601200331203y x x x x x =⨯=--+-+=-∴当时，y 有最大值是1200， 60x =此时，宽为（米） 120203x-=答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米． 【小问2详解】解：设种植牡丹的面积为a 平方米，则种植芍药的面积为平方米， ()1200a -由题意可得 ()252152120050000a a ⨯+⨯-≤解得：，700a ≤即牡丹最多种植700平方米， （株）， 70021400⨯=答：最多可以购买1400株牡丹．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．22. 如图，为的直径，C 是圆上一点，D 是的中点，弦，垂足为点AB O A A BCDE AB ⊥F ．（1）求证：；BC DE =（2）P 是上一点，，求；»AE 6,2AC BF ==tan BPC ∠（3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长． CP ACB ∠CP 【答案】（1）证明见解析； （2）43（3） 72【解析】【分析】（1）由D 是的中点得，由垂径定理得，得到，A BCA A CD BD =A A BE BD =»»BC DE =根据同圆中，等弧对等弦即可证明；（2）连接，证明，设的半径为r ，利用相似三角形的性质得OD ACB OFD ∽A A O A ，，由勾股定理求得，得到，即可得到=5r 210AB r ==BC 84tan 63BC CAB AC ∠===； tan BPC ∠43=（3）过点B 作交于点G ，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得BG CP ⊥CP CBG A 到，由得到，解得，cos 4542CG BG BC ==︒=tan BPC ∠43=43BG GP =32GP =即可求解． 【小问1详解】解：∵D 是的中点， A BC∴， A A CDBD =∵且为的直径，DE AB ⊥AB O A ∴， A A BEBD =∴， »»BCDE =∴； BC DE =【小问2详解】 解：连接，OD∵， A A CDBD =∴， CAB DOB ∠=∠∵为的直径， AB O A ∴， 90ACB ∠=︒∵， DE AB ⊥∴， 90DFO ∠=︒∴， ACB OFD ∽A A ∴， AC OFAB OD =设的半径为r ， O A 则， 622r r r-=解得，经检验，是方程的根， =5r =5r ∴， 210AB r ==∴，228AB BC AC -==∴， 84tan 63BC CAB AC ∠===∵， BPC CAB ∠=∠∴； tan BPC ∠43=【小问3详解】解：如图，过点B 作交于点G ，BG CP ⊥CP∴90BGC BGP ∠=∠=︒∵，是的平分线， 90ACB ∠=︒CP ACB ∠∴ 45ACP BCP ∠=∠=︒∴45CBG ∠=︒∴， cos 4542CG BG BC ==︒=∵ tan BPC ∠43=∴， 43BG GP =∴，32GP =∴．423272CP =+=【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．23. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足ABCD E F DC BC AE DF ⊥为点．求证：．G ADE DCF △∽△【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长ABCD E F DC BC AE DF =到点，使，连接．求证：．BC H CH DE =DH ADF H ∠=∠【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，ABCD E F DC BC 11AE DF ==，，求的长．8DE =60AED ∠=︒CF 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再90ADE DCF ∠=∠=︒90CDF DFC ∠+∠=︒由，可得，则，根据等角的余角相等得AE DF ⊥90DGE ∠=︒90CDF AED ∠+∠=︒，即可得证；AED DFC ∠=∠（2）利用“”证明，可得，由，可得HL A A ≌ADE DCF DE CF =CH DE =，利用“”证明，则，由正方形的性质可CF CH =SAS DCF DCH A A ≌DHC DFC ∠=∠得，根据平行线的性质，即可得证；AD BC ∥（3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，BC G 8CG DE ==DG AD DC =，则，推出，由全等的性质可得AD BC ∥ADE DCG ∠=∠()SAS ADE DCG △≌△，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关60DGC AED ∠=∠=︒DG AE =DFG A 系计算求解即可．【详解】（1）证明：四边形是矩形，ABCD ，90ADE DCF ∴∠=∠=︒，90CDF DFC ∴∠+∠=︒，AE DF ⊥，90DGE ∴∠=︒， 90CDF AED ∴∠+∠=︒，AED DFC ∴∠=∠；ADE DCF ∴△∽△（2）证明：四边形是正方形，ABCD ，，， AD DC ∴=AD BC ∥90ADE DCF ∠=∠=︒，AE DF = ，()HL ADE DCF ∴A A ≌，DE CF ∴=又，CH DE =，∴CF CH =点在的延长线上，H BC ，∴90DCH DCF ∠=∠=︒，DC DC = ，()SAS DCF DCH ∴A A ≌，H DFC ∴∠=∠，AD BC ∥；ADF DFC H ∴∠=∠=∠（3）解：如图，延长到点，使，连接，BC G 8CG DE ==DG四边形是菱形，ABCD ，，AD DC ∴=AD BC ∥，ADE DCG ∴∠=∠，()SAS ADE DCG ∴A A ≌，，60DGC AED ∴∠=∠=︒DG AE =，AE DF = ，DG DF ∴=是等边三角形，DFG ∴A ， 11FG FC CG DF ∴=+==．111183FC CG ∴=-=-=【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键．24. 已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点，其对称轴2y x bx c =-++()0,4C 为． 32x =-（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D 是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，OC AD BD ，ABD △AD 得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；AB D 'V B '（3）如图2，动点P 在直线上方的抛物线上，过点P 作直线的垂线，分别交直线AC AC ，线段于点E ，F ，过点F 作轴，垂足为G ，求的最大值．AC BC FG x ⊥2FG FP +【答案】（1） 234y x x =--+（2） 40,33D ⎛⎫⎪⎝⎭（3）496【解析】【分析】（1）由题易得c 的值，再根据对称轴求出b 的值，即可解答；（2）过作x 轴的垂线，垂足为H 求出A 和B 的坐标，得到，，B '5AB AB '==52AH =由，推出，解直角三角形得到的长，52AB AB AH '===1302DAB B AB '∠=∠=︒OD 即可解答；（3）求得所在直线的解析式为，设，设所在直BC 144y x =-+()2,34P m m m --+PE 线的解析式为：，得，令，解得22y x b =-+2224y x m m =---+12y y =223m mx +=，分别表示出和，再对进行化简计算，配方成顶点式即可求解． FG 2PF 2FG FP +【小问1详解】解：抛物线与y 轴交于点，()0,4C∴， 4c =∵对称轴为， 32x =-∴，， 322b -=--3b =-∴抛物线的解析式为； 234y x x =--+【小问2详解】如图，过作x 轴的垂线，垂足为H ，B '令， 2340x x --+=解得：， 121,4x x ==-∴，， ()4,0A -()10B ,∴， ()145AB =--=由翻折可得，5AB AB '==∵对称轴为， 32x =-∴，()35422AH =---=∵，52AB AB AH '===∴， 30AB H '∠=︒60B AB '∠=︒∴， 1302DAB B AB '∠=∠=︒在中，， Rt AOD A 4tan 3033OD OA =︒=∴； 40,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问3详解】设所在直线的解析式为， BC 111y k x b =+把B 、C 坐标代入得：，11104k b b +=⎧⎨=⎩解得，1144k b =-⎧⎨=⎩∴， 144y x =-+∵， OA OC =∴， 45CAO ∠=︒∵，90AEB ∠=︒∴直线与x 轴所成夹角为， PE 45︒设，()2,34P m m m --+设所在直线的解析式为：， PE 22y x b =-+把点P 代入得， 2224b m m =--+∴，2224y x m m =---+令，则，12y y =24424x x m m -+=---+解得，223m m x +=∴()24243Fm mFG y -+==+()()222222cos 453F P F P x x PF x x m m -==⋅⋅-=-︒∴ ()()224224332FG F m m m m FG P -++-=+=+22549326m ⎛⎫=-++⎪⎝⎭∵点P 在直线上方， AC ∴， 40m -<<∴当时，的最大值为． 52m =-2FG FP +496【点睛】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键．。
2023年山东省菏泽市中考数学试卷及其答案
2023年山东省菏泽市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.1．（3分）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．a2•a3＝a5C．（2a3）2＝2a6D．（a+b）2＝a2+b23．（3分）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（3分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A．c（b﹣a）＜0B．b（c﹣a）＜0C．a（b﹣c）＞0D．a（c+b）＞05．（3分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3分）一元二次方程x 2+3x ﹣1＝0的两根为x 1，x 2，则的值为（）A．B．﹣3C．3D．7．（3分）△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a ﹣b ）2++|c ﹣3|＝0，则△ABC 是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形8．（3分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A （1，3），B （﹣2，﹣6），C （0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x ＜1的范围内，若二次函数y ＝﹣x 2﹣x +c 的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（）A．﹣≤c ＜1B．﹣4≤c ＜﹣3C．﹣≤x ＜6D．﹣4≤c ＜5二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）9．（3分）因式分解：m 3﹣4m ＝．10．（3分）计算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝．11．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为．12．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH 的边长为4，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则阴影部分的面积为（结果保留π）．13．（3分）如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，将△ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，得到△CBF ．若∠ABE ＝55°，则∠EGC ＝度．14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC 上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内.）15．（6分）解不等式组．16．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．17．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．18．（6分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．19．（7分）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：（1）A组数据的中位数是，众数是；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是度；（2）补全学生心率频数分布直方图；（3）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？20．（7分）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C（a，1）．（1）求反比例函数y＝和直线OC的表达式；（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．21．（10分）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BC＝DE；（2）P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．23．（10分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．24．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值．2023年山东省菏泽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.1．（3分）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．a2•a3＝a5C．（2a3）2＝2a6D．（a+b）2＝a2+b2【解答】解：A、原式＝a3，故本选项计算错误，不符合题意；B、原式＝a5，故本选项计算正确，符合题意；C、原式＝4a6，故本选项计算错误，不符合题意；D、原式＝a2+2ab+b2，故本选项计算错误，不符合题意；故选：B．3．（3分）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：如图，由题意得：∠CAD ＝60°，∵AB ∥DE ，∠1＝20°，∴∠3＝∠1＝20°，∴∠2＝∠CAD ﹣∠3＝40°．故选：B ．4．（3分）实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A．c （b ﹣a ）＜0B．b （c ﹣a ）＜0C．a （b ﹣c ）＞0D．a （c +b ）＞0【解答】解：由数轴可得a ＜0＜b ＜c ，则b ﹣a ＞0，c ﹣a ＞0，b ﹣c ＜0，c +b ＞0，那么c （b ﹣a ）＞0，b （c ﹣a ）＞0，a （b ﹣c ）＞0，a （c +b ）＜0，则A ，B ，D 均不符合题意，C 符合题意，故选：C ．5．（3分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、1、1．故选：A ．6．（3分）一元二次方程x 2+3x ﹣1＝0的两根为x 1，x 2，则的值为（）A．B．﹣3C．3D．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣3；x1x2＝﹣1．∴＝＝＝3．故选：C．7．（3分）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：由题意得，解得，∵a2+b2＝c2，且a＝b，∴△ABC为等腰直角三角形，故选：D．8．（3分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（）A．﹣≤c＜1B．﹣4≤c＜﹣3C．﹣≤x＜6D．﹣4≤c＜5【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y和y＝3x至少有一个交点，令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣12+c，代入y＝3x得y＝﹣9，∴﹣9＞﹣12+c，解得c＜3；把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，∴3＞﹣2+c，解得c＜5，综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5．故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）9．（3分）因式分解：m3﹣4m＝m（m+2）（m﹣2）．【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），故答案为：m（m+2）（m﹣2）10．（3分）计算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝1．【解答】解：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝2﹣+2×﹣1＝2﹣+﹣1＝1．故答案为：1．11．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，∴是偶数的概率为，故答案为：．12．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为6π（结果保留π）．【解答】解：由题意得，∠HAB＝＝135°，AH＝AB＝4，＝＝6π，∴S阴影部分故答案为：6π．13．（3分）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝80度．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABE＝55°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝35°，由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∵∠EGC是△BEG的一个外角，∴∠EGC＝∠BEF+∠EBC＝80°，故答案为：80．14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC 上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为﹣2．【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠ADF＝∠BAE，∴∠DFA＝∠ABE＝90°，∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，∵AD＝4，∴，∴，∴线段BF的最小值为﹣2，故答案为：﹣2．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区城内.）15．（6分）解不等式组．【解答】解：，解不等式①，得：x＜2.5，解不等式②，得：x≤，∴该不等式组的解集是x≤．16．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．【解答】解：（+）÷＝＝＝2（2x+y），∵2x+y﹣3＝0，∴2x+y＝3，∴原式＝2×3＝6．17．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠D，∠BAD＝∠BCD，∵AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，∴∠BAE＝∠FCD，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF．18．（6分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．【解答】解：如图所示：过P作PH⊥AB于H，过C作CG⊥PH于Q，而CB⊥AB，则四边形CQHB是矩形，∴QH＝BC，BH＝CQ，由题意可得：AP＝80，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70，∴PH＝AP sin60°＝80×＝40，AH＝AP cos60°＝40，∴CQ＝BH＝70﹣40＝30，∴PQ＝CQ•tan30°＝10，∴BC＝QH＝40﹣10＝30，∴大楼的高度BC为30m．19．（7分）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：（1）A组数据的中位数是69，众数是74；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是54度；（2）补全学生心率频数分布直方图；（3）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？【解答】解：（1）把A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，故A组数据的中位数是：＝69，众数是74；由题意得，样本容量为：8÷8%＝100，在统计图中B组所对应的扇形圆心角是：360°×＝54°．故答案为：69，74，54；（2）C组频数为：100﹣8﹣15﹣45﹣2＝30，补全学生心率频数分布直方图如下：（3）2300×（30%+）＝1725（名），答：估计大约有1725名学生达到适宜心率．20．（7分）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C（a，1）．（1）求反比例函数y＝和直线OC的表达式；（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∴∠BDC＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠BDC＝∠AOB，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，∴△CBD∽△BAO，∴，∵A（0，4），B（2，0），C（a，1），∴AO＝4，BO＝2，CD＝1，∴，∴BD＝2，∴OD＝BO+BD＝4，∴a＝4，∴点C的坐标是（4，1），∵反比例函数过点C，∴k＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为；设直线OC的解析式为y＝mx，∵其图象经过点C（4，1），∴4m＝1，解得，∴直线OC的解析式为；（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，∴直线l的解析式为，由题意得，，解得，，∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或（2，2）．21．（10分）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？【解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120﹣3x）米，根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，∵﹣3＜0，∴当x＝20时，S取最大值1200，∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，∵学校计划购买费用不超过5万元，∴25m+15（2400﹣m）≤50000，解得m≤1400，∴最多可以购买1400株牡丹．22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BC＝DE；（2）P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．【解答】（1）证明：∵D是的中点，∴，∵DE⊥AB且AB为⊙O的直径，∴，∴，∴BC＝DE；（2）解：连接OD，∵，∴∠CAB＝∠DOB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DFO＝90°，∴△ACB∽△OFD，∴，设⊙O的半径为r，则，解得r＝5，经检验，r＝5是方程的根，∴AB＝2r＝10，∴，∴，∵∠BPC＝∠CAB，∴；（3）解：如图，过点B作BG⊥CP交CP于点G，∴∠BGC＝∠BGP＝90°，∵∠ACB＝90°，CP是∠ACB的平分线，∴∠ACP＝∠BCP＝45°，∴∠CBG＝45°，∴，∴，∴，∴．23．（10分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝90°，∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF，∵CH＝DE，∴CF＝CH，∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°，又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H；（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS），∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11，∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的长为3．24．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值．【解答】解：（1）抛物线与y 轴交于点C （0，4），∴c ＝4，∵对称轴为，∴，b ＝﹣3，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣3x +4；（2）如图，过B '作x 轴的垂线，垂足为H ，令﹣x 2﹣3x +4＝0，解得：x 1＝1，x 2＝﹣4，∴A （﹣4，0），B （1，0），∴AB ＝1﹣（﹣4）＝5，由翻折可得AB ′＝AB ＝5，∵对称轴为，∴，∴AB '＝AB ＝5＝2AH ，∴∠AB 'H ＝30°，∠B 'AB ＝60°，∴，在Rt△AOD中，，∴；（3）设BC所在直线的解析式为y1＝k1x+b1，把B、C坐标代入得：，解得：，∴y1＝﹣4x+4，∵OA＝OC，∴∠CAO＝45°，∵∠AEB＝90°，∴直线PE与x轴所成夹角为45°，设P（m，﹣m2﹣3m+4），设PE所在直线的解析式为：y2＝﹣x+b2，把点P代入得，∴，令y1＝y2，则﹣4x+4＝﹣x﹣m2﹣2m+4，解得，∴FG＝，，∴，∵点P在直线AC上方，∴﹣4＜m＜0，∴当m＝时，FG+FP的最大值为．。
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精品文档菏泽市 =O－四年初中学业水平考试数学试题试卷类型： A注意事项：1．本试题分为选择题和非选择题两部分，其中选择题24 分，非选择题96 分，满分 120 分，考试时间 120 分钟．2．用黑色、蓝色水笔或圆珠笔答卷，答卷前将密封线内的项目填写清楚．3．请将选择题的正确答案代号（ABCD ）填写在相应的“答题栏”内，将非选择题的答案直接答在试卷上，一、选择题：本大题共8 个小题，每小题 3 分，共24 分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D中只有一项是正确的，请把正确的选项选出来并填在第 3 页该题相应的答题栏内．1．比－ l 大的数是A. －310C. 0D．一 l B.92．如图，直线 l ∥m∥ n，等边△ ABC 的顶点 B、 C 分别在直线 n 和 m 上，边BC 与直线 n 所夹锐角为 25°,则∠α的度数为A．25°B．45° C.35 ° D.30 °3．下列计算中，正确的是A. a3·a2=a6B.（π－ 3.14）o=1C.(1)13D.93 34.2014 年 4 月 21 日 8 时我市区县的可吸人颗粒物数值统计如下表区县曹县单县成武定陶巨野东明郓城鄄城牡丹区开发区可吸入颗粒0.150.150.150.150.180.180.130.160.140.14物（ mg/m3）该日这一时刻的可吸人颗粒物数值的众数和中位数分别是A ． 0.15 和 0. 14 B． 0.18 和 0.15 C． 0. 18 和 0.14D． 0.15 和 0.155．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其展开图正确的为6．已知关于x 的一元二次方程x2+ax+b =O 有一个非零根－b，则 a－ b 的值为A．1B．－ 1C．0D．一 27．若点 M(x，y)满足 (x+y)2 =x2 +y2－2，则点 M 所在象限是A ．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限D．不能确定8．如图， Rt△ABC 中，AC=BC=2，正方形 CDEF 的顶点 D 、F 分别在 AC、BC 边上，设 CD 的长度为 x，△ ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y 与 x 之间的函数关系的是二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分．9.2014 年“原创新春祝福微博大赛”作品充满了对马年的浓浓祝福，主办方共收到原创祝福短信作品62800 条，将 62800 用科学计数法表示应为 ___．10．如图，在△ ABC 中，∠ C=90 °，∠ =25 °，以点 C 为圆心， BC 为半径的圆交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E，则BD的度数为11．分解因式： 2x3－ 4x2+2 x=______________________12．如图，平行于 x 轴的直线2( x≥o)与y2x 2AC 分别交函数y2x( x≥ 0)的图象于 B、 C 两点，3过点 c 作 y 轴的平行线交y1的图象于点 D ，直线 DE∥ AC，交 y2的图象于点 E，则DEAB 13．如图所示， Rt△ ABO 中，∠ AOB=90 °，点 A 在第一象限、点 B 在第四象限，且 AO: BO=1： 2 ，若点A(x0，y0)的坐标(x0，y0)满足x01，则点 B(x，y)的坐标 x，y 所满足的关系y0式为14．下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（ n 是整数，且n>3）行从左向右数第n－ 2 个数是（用含 n 的代数式表示）三、解答题：本大题共7 个小题，共78 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15．（本题12 分，每题 6 分）(1)计算：21 3 tan 30(22)012x 30(2)解不等式，并判断x 3 是否为该不等式组的解，2( x 1) 33x16．（本题12 分，每题 6 分）(l)在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC．BD⊥ AD ，垂足为 D ，过 D 作 DE //AC，交 AB 于 E，若 AB =5，求线段 DE 的长．(2)已知 x2－ 4x+l= O，求2(x1)x 6 的值x4x17．（本题14 分，每题7 分）(1)食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、 B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂 2 克，B 饮料每瓶需加该添加剂 3 克，已知 270 克该添加剂恰好生产了A、 B 两种饮料共1OO 瓶，问 A、 B 两种饮料各生产了多少瓶？(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y =kx+b 的图象经过点 A(1，0) ，与反比例函数y mB(2，1)．( x>0) 的图象相交于点x①求 m 的值和一次函数的解析式；②结合图象直接写出：当x>0 时，不等式kx+b> m的解集 . x18．（本题 IO 分）如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在 0O 上，连接 BC，AC，作 OD ∥ BC 与过点 A 的切线交于点 D ，连接 DC 并延长交 AB 的延长线于点 E．（ 1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)若CE2，求 cos∠ABC 的值DE319．（本题10 分）课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好； B:较好； C:－般； D :较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：(l)王老师一共调查了多少名同学？(2)C 类女生有名，D类男生有名，并将上面条形统计图补充完整；(3) 为了共同进步，王老师想从被调查的 A 类和 D 类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．20．（本题lO 分）已知：如图，正方形ABCD ， BM ，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN =45 0，连结MN .(1)若正方形的边长为a，求 BM ·DN 的值；(2）若以 BM ， DN，MN 为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．21．（本题10 分）在平面直角坐标系xOy，已知抛物线y=x2－ 2mx+m2－ 9．(1)求证：无论m 为何值，该抛物线与x 轴总有两个交点；(2)该抛物线与x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧，且 OA＜ OB，与 y 轴的交点坐标为（ O，－ 5），求此抛物线的解析式；(3)在 (2)的条件下，抛物线的对称轴与x 轴的交点为N，若点 M 是线段 AN 上的任意一点，过点M 作直线MC ⊥ x 轴，交抛物线于点C，记点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 D ，点 P 是线段1MC 上一点，且满足 MP = MC ，连结 CD,PD，作 PE⊥ PD 交 x 轴与点 E,问是否存在这样的点E，4使得 PE=PD，若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准卷 知：1， 便于 卷，本 卷答案中有关解答 的推 步 写得 ， 卷 ，只要考生将主要 程正确写出即可．2．若考生的解法与 出的解法不同，正确者可参照 分参考相 分3． 分参考中所注分数，表示考生正确做到此步 得的累加分数． 一、 （本大 共8 个小 ，每小3 分，共24 分．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案CCBDBABA二、填空 （本大 共6 个小 ，每小 3 分，共 18 分．）9. 6.28xl04 10. 50 11°. 2x(x － l )212. 3313． y2 （写成 xy=－ 2，亦可） 14．n 2 2x三、解答 （本 共78 分）1 3 12 3 ⋯⋯⋯⋯ ．4分15． (1)解：原式 =323=33⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2（ 2）解：x 32(x 1) 33x由①得 x>－3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ． 1 分由②得 x ≤1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分3∴原不等式 的解集是－ 3＜ x ≤l ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ． 4 分∵ 3＞1，∴x=3 不是 不等式 的解．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分616． (1)解：∵ AD 平分∠ B4C, ∴∠ l=∠ 2∵ DE//AC ∴∠ 2 =∠ADE .∴∠ 1 =∠ADE .∴ AE=DE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分精品文档∵AD⊥DB, ∴ ∠ADB = 90 °∴∠ 1 +∠ABD =90°,∠ADE + ∠BDE = ∠ADB= 90°,∴∠ ABD = ∠BDE .∴DE =BE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)解：2(x1)x6x4x2x(x 1) ( x 4)( x 6)x( x4)x 24x 243分x24x.............................. .............................x 2x 24 x 1 0,4x 1.................... (4)分原式x 24x2412423.........6分24x1x17、 (1)解法一： A 料生了x 瓶， B 料生了 (100— x)瓶，⋯⋯⋯1 分依意，得2x+3(100－ x)=270 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分解得x=30 ， l00 一 x=70 ．⋯⋯⋯⋯6分答： A 料生了30 瓶． B 料生了70 瓶．⋯⋯⋯⋯⋯7 分解法二： A 料生了x 瓶， B 料生了y 瓶⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分x y 100依意，得：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分2x 3 y 270x30............................ 6 分解得70y答： A 料生了30 瓶， B 料生了70 瓶．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分m(2)解：①反比例函数y(x>O)的象点B(2，1) ，x∴m=lx2=2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵一次函数 y=kx+b 的象点 A(l ，O)、 B(2，1)两点，∴一次函数的解析式 y=x－ l . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分② x>2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分18、（本小分IO 分）(1)明：如，接OC．∵AD 是点 A 的切， AB 是⊙ O 的直径，.精品文档∴AD⊥AB．∴∠ DAB =90 0．∵OD //BC，∴∠ DOC = ∠ OCB. ∠ AOD =∠ABC.∵OC= OB．∴∠ OCB=∠ABG∴∠ DOC =∠ AOD．在△ COD 和△ AOD 中，OC OADOC AODOD OD∴ _△CDD ≌△ AOD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∴∠ OCD =∠DAB =90 0.∵OC⊥ DE 于点 C．∵OC 是⊙ O 的半径，∴ DE 是⊙ O 的切．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)解：由CE2，可 CE=2k(k>O) ， DE =3k⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分DE3∴AD =DC=k在 Rt△DAE 中， AE=DE 2AD 2=22 k⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分∵OD∥BC,CE2DE3∴BE =20B∴0A= 1AE=2k⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分42∴在 RRt△ AOD 中， OD = AO2AD 23 k ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分2∴ cos∠ABC=cos∠ AOD= OA3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分10．OD3（明：其它方法，酌情分）.19、解： (1)(6+4) 50%=20÷ ．所以王老一共了20 名学生．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分(2)C 女生有 3 名， D 男生有 1 名；充条形略．⋯⋯⋯⋯⋯5 分（明：其中每空 1 分，条形 1 分．）(3)解法一：由意画形如下：从 A 中取从 D 中取⋯⋯⋯⋯8 分从形看出，所有可能出的果共有 6 种，且每种果出的可能性相等，所两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的果共有 3 种．所以 P（所两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）=31⋯⋯⋯⋯ 10分62解法二：由意列表如下：由上表得出，所有可能出的果共有 6 种，且每种果出的可能性相等，所两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的果共有 3 种，所以 P（所两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）31=⋯⋯⋯⋯ 10分62.20．解： (1) ∵ BM 、DN 分 平分正方形的外角，∴ ∠CBM= ∠ CDN =45 °．∴∠ ABM= ∠ ADN= 135 °，∵∠ MAN =45 °．∴∠ BAM+ ∠ NAD =45 °．在△ ABM 中，∠ BAM+∠ AMB=180 °－135 °=45 °,∴∠ NAD=∠ AMB 、在△ ABM 和△ NDA 中，∵∠ ABM=∠ NDA , ∠ NAD =∠AMB∴△ ABM ≌△ NDA ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴ABBM⋯⋯⋯5 丹DNAD∴BM ·DN=AB ·AD =a 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)以 BM 、D ． N 、 MN 所 成三角形 直角三角形， 明如下：如 点A 作 AN 的垂 AF ，在 垂 上截取 AF =AN ， 接 BF 、 FM.(或将△ AND 点 A 旋 90。