【清华】lesson7联立方程法_228901811
计量经济学知识点整理：联立方程
联立方程模型一、概念：联立方程模型系统将变量分为内生变量和外生变量两大类。
内生变量：是具有某种概率分布的随机变量，是由模型系统决定的，取值也是由系统决定的，同时也对模型系统产生影响，它会受到随机项的影响。
一般都是经济变量。
每一个内生变量的值都要利用模型中的全部方程才能决定。
外生变量：是不由系统决定的变量，是系统外变量，取值由系统外决定。
一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。
外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。
外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。
先决变量：外生变量和滞后内生变量注：联立方程模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程结构式模型：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系的计量经济学方程系统称为结构式模型。
结构方程的正规形式：将一个内生变量表示为其他内生变量、先决变量和随机干扰项的函数形式完备的结构式模型：g个内生变量、k个先决变量、g个结构方程行为方程：描述变量之间经验关系的方程，含有未知的参数和随机扰动项。
例如：凯恩斯收入决定模型中的消费函数制度方程：由法律、制度、政策等制度性规定的经济变量之间的函数关系，如税收方程。
恒等式：定义方程式和平衡方程。
简化式模型：用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量所形成的模型。
参数关系体系：描述简化式参数与结构式参数之间的关系。
二、识别方程之间的关系有严格的要求，一个方程模型想要能估计，必须可识别。
∴进行模型的估计之前需要判断模型是否可以识别（即是否能被估计）。
1、识别的基本定义：是否具有确定的统计形式。
注：识别的定义是针对结构方程而言的。
模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。
如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型系统是可以识别的。
反之不识别。
恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存在识别问题。
但是，在判断随机方程的识别性问题时，应该将恒等方程考虑在内。
联立方程模型
引子：是先有鸡，还是先有蛋？对货币供给量、经济增长及通货膨胀的关系有如下的争论：究竟是物价上升导致货币供应量增加？还是货币供应量增加导致物价上涨？为了验证这种类似先有鸡，还是先有蛋的争论：有人主张建立分析物价水平和经济增长影响货币供给量的方程，也有人主张建立分析货币供给量影响物价水平和经济增加的方程。
这两个方程有什么关系?如果给定经济增长、物价水平和货币供给量的样本数据，这两个方程可以同时估计吗？迄今为止我们讨论的都是单一方程的计量经济模型，单一方程计量经济模型一般描述的是单向因果关系，即解释变量引起被解释变量变化。
当两个变量之间存在双向因果关系时，如前面提到的先有鸡，还是先有蛋的问题，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。
另外，对于一个比较复杂的经济系统而言，只用单一方程模型进行描述显然是不全面的。
从而需要给出联立方程模型的概念。
本章包括以下几小节：联立方程模型的概念及特点联立方程模型的分类联立方程模型的识别联立方程模型的估计方法联立方程模型举例第一节 联立方程模型的概念及特点1 联立方程模型的概念经济现象是错综复杂的，许多情况下所研究的问题不只是一个单一的变量，而是一个由多变量构成的经济系统，在经济系统中多个经济变量之间可能存在着双向或者多向的因果关系。
所谓联立方程模型是指用若干个相互关联的单一方程，同时去表示一个经济系统中经济变量的相互依存关系的模型，即用一个联立方程组去表现多个变量间的互为因果的联立关系。
单一方程模型：一个被解释变量，一个或多个解释变量。
解释变量是因，被解释变量是果。
只研究解释变量对被解释变量的影响，不研究被解释变量对解释变量的影响。
联立方程模型：由一个以上的相互关联的单一方程组成的系统，每一单一方程中包含一个或多个相互关联的经济变量。
例如：商品需求与价格模型，根据经济理论，商品的需求量Q 受商品的价格P 和消费者的收入X 等因素的影响，可建立需求模型：012t t t t Q P X u ααα=+++ （9.1）同时，该商品价格P 也受商品需求量Q 和其他代用商品价格P *的影响，又可建立价格模型：*012t t t t P Q P v βββ=+++ （9.2）（9.1）和（9.2）式中的商品需求量Q 和商品价格P ，事实上存在双向因果关系，不能只用单一方程模型去描述这种联立依存性，而需要把两个单一方程组合一个联立方程组，同时去研究商品需求量Q 和商品价格P 的数量关系和变化规律，从而建立以下的联立方程模型：012*012t t t tt t t t Q P X u P Q P v αααβββ=+++=+++ （9.3）又如，凯恩斯宏观经济模型，设变量有国民总收入Y 、消费C 、投资I 、政府支出G 。
第七章 联立方程模型
第七章 联立方程模型在前面的章节中我们讨论了一个应变量被一个或多个解释变量所解释的问题。
在这些模型中，如果解释变量与应变量之间有因果关系的话，则这种关系是单向的：解释变量是原因，而应变量是结果。
然而，经济理论告诉我们许多经济变量之间的影响是双向的。
即一个经济变量受到一个或多个经济变量影响的同时又影响这些变量。
例如在单一的商品市场上，商品的需求量在受到价格的影响的同时又影响价格；在宏观经济理论中，总量消费受到总量收入影响的同时又影响总收入；在货币市场上，货币的需求受到利率的影响的同时又影响等利率，等等。
为了说明这种相互关系，需要用两个或两个以上的方程：一个方程反映一个变量受到其它变量的影响，而另一个或另一些方程反映其反馈影响。
一般来说，一个经济系统之间的相交关系往往要用一系列相关系联系的方程来表示，其中有些方程(事实上是大多数方程)是随机的。
像这样用两个或两个以上的方程(其中含有随机方程)来表示经济系统之间相互关系的模型，称为联立方程模型。
本章主要就是对联立方程因联立而产生的问题及联立方程的估计进行探讨。
第一节 联立方程举例例7.1 需求与供给模型。
众所周知，一个商品的价格P 和它的出售量Q 是由对该商品需求和供给曲线的交点来决定的。
比如，为简单起见，假定供求曲线是线性的，那么加上随机干扰项1u 和2u ,我们就可以写出经验需求与供给函数为::1110<++=αααt t d t u P Q 需求函数 (7.1) 0 :1210>++=βββt t s t u P Q 供给函数 (7.2)s t d t Q Q = :均衡条件 (7.3)其中,t Q Q s d ,,分别表示需求量,供给量与时间；而诸βα和是参数，预期1α为负（向下倾斜的需求曲线），而1β为正（向上倾斜的供给曲线）。
现在不难看出P 和Q 是联合应变量。
例如，由于影响d t Q 的其它变量（诸如收入，财富和嗜好）的改变，(7.1)式中的t u 1将改变。
联立方程模型(蓝色)
• 联立方程模型概述 • 联立方程模型的建立 • 联立方程模型的求解方法 • 联立方程模型的应用案例 • 联立方程模型的优缺点 • 联立方程模型的发展趋势与展望
01
联立方程模型概述
定义与特点
01
02
定义：联立方程模型是 特点 一种数学模型，用于描 述一组变量之间的相互 关系。它由多个方程组 成，每个方程描述一个 变量与其他变量的关系。
模型的可解释性和透明度
随着对模型复杂度增加的关注，未来联立方程模 型将更加注重可解释性和透明度。这有助于提高 模型的可靠性和可信度，促进模型在实际决策中 的应用。
人工智能技术的应用
人工智能技术，如深度学习、神经网络等，将在 联立方程模型中发挥越来越重要的作用。这些技 术可以帮助模型更好地处理非线性关系、高维数 据和复杂动态系统。
环境影响评估
联立方程模型可以用于评估各种人类活动对生态环境的影响，为环境决策提供科学依据。
05
联立方程模型的优缺点
优点
01
全面性
联立方程模型能够同时考虑多个经济变量之间的相互影响，从而更全面
地描述经济系统的内在机制。
02
准确性
联立方程模型通过建立多个方程来描述经济现象，可以更准确地估计参
数，提高预测的准确性。
政策效果评估
通过联立方程模型，可 以评估政策变动对经济 的影响，分析政策效果， 为政策制定提供参考。
交通规划
交通流量预测
联立方程模型可以用于预测交通流量，帮助交通管理部门 制定合理的交通规划，优化交通网络布局。
交通需求管理
通过联立方程模型分析交通需求与各种因素之间的关系， 制定有效的交通需求管理策略，缓解城市交通拥堵。
联立方程
Q t 1 2 Pt 3Yt 4Yt 1 u1 t Q t 1 2 Pt 3 Rt u2 t
21
方程的识别
二、结构方程可识别的充要条件（秩条件）
若方程中有k个内生解释变量，该方程至少要 排除k个外生变量 并在其它方程中出现（该变量系数非零）
1.联立方程模型的性质 2.模型的识别问题 3.参数的估计
1
联立方程模型的性质
单方程模型： 模型由一个方程构成 只含有一个被解释变量和若干个解释变量 联立方程模型： 由一个以上的相互关联的单方程组成的系 统 每个单方程中包含一个或多个相互关联的 内生变量
2
一个联立方程的模型的例子
22
联立模型的估计
一、恰可识别方程的估计： 间接最小二乘法（ILS）
步骤1：由结构式导出简化式； 步骤2：对简化式的每个方程用OLS方法回归； 步骤3：利用简化式系数的估计值求结构式系数 的估计值。
23
二、过度识别方程的估计
Qt 1 2 Pt t Qt 1 2 Pt 3Yt 4Wt u t
用前定变量和扰动项表示内生变量 描述内生变量是怎样被真正决定的 简化系数又称为影响乘数（impact multipliers) 度量外生变量单位变动对内生变量的影响。
13
间接最小二乘法（ILS）
在联立方程模型中，通过先对简化方程进行 普通最小二乘法的估计，然后通过得到的普通最 小二乘估计值再间接的求得原方程参数值的估计 方法称之为间接最小二乘法（ILS） 间接最小二乘估计量是一致估计量，但对小 样本而言，间接最小二乘估计量是有偏的。
C t Yt ut Yt C t I t
联立方程模型的估计
,
23
14 22 22 12
, 24
12 23 22 12
v1
u1 u2
22 12
,
v2
22u1 22
12u2 12
联立方程模型的识别
例题5.5：过度识别的模型
在本例中，有7个待估结构系数，却有8个简化系数， 无法确定唯一的结构系数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
联立方程模型的识别
例题5.6：不可识别
Q D
Q
t
S
t
Q
D
t
11 21
QS t
12 Pt 22 Pt
Q
u1t u2t
P Q
11 21
v1 v2
11
11 22
21 12
, 21
2211 22
cov( Y t , u t ) E {[ Y t E ( Y t )][ u t E ( u t )]}
1
1 1
E(
u
2 t
)
1
1 1
2
0
联立性偏误
联立性偏误：OLS估计量的有偏性
1
(
Ct
C )(Yt Y (Yt Y )2
)
i
程中内生
变量的个
数
ki：该方程中前定变量的个数
K：模型中前定变量的个数
若K ki mi 1，方程不可识别 若K ki mi 1，方程恰可识别 若K ki mi 1，方程过度识别
【清华】lesson 7 联立方程法_228901811
F4 F5 F8 F4 x41 F5 x51 F8 x81 F4 x42 F5 x52 F8 x82 F4 x43 F5 x53 F8 x83 F4 x44 F5 x54 F8 x84
11
求解稀疏方程组的特殊的解算方法： 只对非零元素进行运算，以提高运算速度； 压缩贮存系数矩阵的非零元素，减少存储空间； …… ……
求解方法大致可分为两类：降维求解法和线性联立求解法。
12
§3.2 大型稀疏非线性方程组的降维解法
对大型稀疏非线性方程组降维的方法： ——针对全流程的模型方程组的直接降维 建立独立的物性估算模块 取消单元间的联结方程
线性的，在迭代过程中随时更新方程参数，以保持各迭代点附件近似模型与严 格模型的等效性）
9
初值的选取
困难：－变量维数大 －迭代的收敛稳定性对初值要求苛刻
产生初值的方法： － 利用严格模型在基点附近产生一组简化模型，利用序贯模块 法产生一组初值 － 产生一组近似线性模型，联立求解线性方程组得到初值 － 直接用严格模型按序贯模块法直接迭代数次后，得到初值
块对角矩阵（block diagonal matrix）”，识别出不相关子方 程组。
18
事件矩阵的行、列调换，识别出不相关子方程组
f1x1, x5 0
f2 x2 0 f3 x1, x4 0
f4 x2 , x3 0
f5 x1, x4 , x5 0
联立方程
第一讲联立方程（上）内生外生变量联立方程概念案例分析案例：金融与经济的关系分析鸡生蛋or蛋生鸡?经济影响金融？or金融影响经济？联立方程？本案例几个关键问题内生变量如何确定？外生变量有哪些？联立方程如何估计？该案例以我国金融与经济的关系进行分析（一）联立方程模型概念1.联立方程模型——描述经济变量间联立依存性的方程体系。
一个经济变量在某方程中可能是被解释变量，在另一方程中却是解释变量，如Y 、I 。
2、内生变量——由模型本身所决定的变量。
3、外生变量——由模型外因素决定的变量。
4、先决变量——包括外生变量、外生滞后变量、内生滞后变量。
⎪⎩⎪⎨⎧++=+++=++=-ttt ttt t t t t t G I C Y u Y Y I u Y C 21210110βββαα内生变量先决变量（二）联立方程的分类1.结构模型。
把内生变量表达为其他内生变量、先决变量与随机误差项的联立方程模型。
2.简化型模型。
把内生变量只表示为先决变量与随机误差项函数的的联立方程模型。
◆消费方程，行为方程⎪⎩⎪⎨⎧++=+++=++=-t t t t t t t t t tt G I C Y u Y Y I u Y C 21210110βββαα◆投资方程，行为方程◆定义方程，平衡方程⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=---ttt tt t t t t t t t v G Y Y v G Y I v G Y C 332131222121112111ππππππ先决变量简化式模型看不出方程中的结构关系，如消费结构、投资结构。
案例：金融与经济的关系分析案例分析思路第一步：选择变量第四步：研究结果第三步：建立模型第二步：采集数据经济影响金融？or 金融影响经济？经济影响因素？经济=f(金融，投资，进出口，…)金融影响因素？金融=f(经济，利率，投资，…)内生变量: 模型重点研究的变量前定变量: 不由模型决定但又影响模型的变量slr ：金融效率社会贷款总额/存款总额rgdp ：经济增长水平人均GDP fin ：金融发展水平M2供应量/ GDPinv ：全社会固定资产投资xm ：进出口总额rgdp-1：滞后一期的人均GDP fin-1：滞后一期的M2供应量/ GDP可能方程经济增长函数：lnrgdp 金融发展函数：fin{}{}11ln ,,ln ,ln ,ln ,ln ,t t t t t t t t t t rgdp f slr fin inv xm rgdp fin f slr rgdp fin --==第二步采集数据变量rgdp inv xm slr fin变量rgdp inv xm slr fin 19976374 24941 26967 0.909 1.155 200720498 137324 166924 0.672 1.490 19986718 28406 26850 0.904 1.247 200824209 172828 179921 0.651 1.478 19997105 29855 29896 0.862 1.342 200926115 224599 150648 0.669 1.751 20007816 32918 39273 0.803 1.359 201030671 251684 201722 0.667 1.765 20018562 37213 42184 0.782 1.449 201135978 311485 236402 0.677 1.757 20029379 43500 51378 0.768 1.536 201239815 374695 244160 0.687 1.807 200310569 55567 70483 0.764 1.620 201343390 446294 258169 0.689 1.874 200412418 70477 95539 0.738 1.574 201447140 512021 264242 0.717 1.905 200514225 88774 116922 0.678 1.606 201549937 562000 245503 0.692 2.028 200616663 109998 140975 0.672 1.578 201653561 606466 243386 0.708 2.093用两阶段最小二乘法估计经济增长方程经济模型：lnrgdp=c(1)+c(2)*slr+c(3)*fin+c(4)*lninv+c(5)*lnxm+c(6)*log(rgdp(-1))前定变量：inst slr lninv lnxm log(rgdp(-1))fin经济方程估计结果经济方程用两阶段最小二乘法估计经济增长方程031425ˆˆ-0.795 -0.120ˆˆ0.126 0.198ˆˆ-0.072 1.004αααααα======Stag1:用先决变量估计具有内生性的变量fin ；stag2:用fin 的估计值finf 代替原经济方程中fin ，再应用OLS 估计lnrgdp 。
谈直线和双曲线的位置关系之(1)联立方程法
【专题九】登峰造极,唯我独尊——谈直线和双曲线的位置关系之（1）联立方程法直线与双曲线的位置关系题型包括①判断交点个数②判断相切、相交、相离三种位置关系③求弦长及三角形面积等问题；用到的思想是数形结合思想，方法是联立方程法，具体做法如下：① 联立方程： 直线l ：)0(≠+=m m kx y双曲线C ：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12222b y ax m kx y ②消去y(或x) ，得到关于x(或y)的方程02)(222222222=----b a m a mkx a x k a ba) 讨论二次项系数为零和不为零两种情况ⅰ）为零，相交，且只有一个交点当0222=-k a b ，即abk ±=时，直线l 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C 相交于一点； ⅱ）不为零时，利用判别式△来判断当2220b a k -≠，即a b k ±≠时，2222(2)4()()(a m k b a k a k a ∆=------ ①0∆>时，直线l 与双曲线相交，有两个公共点②0=∆时，直线l 与双曲线相切，有且仅有一个公共点③0∆<时，直线l 与双曲线相离，无公共点【点拨】①直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么? ?（不一定）②直线与双曲线相交，必有两个公共点?（对吗，为什么?）③弦长公式：ⅰ） 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21（含x的方程）ⅱ）2122122124)(1111y y y y ky y k AB -++=-+=211()k a ∆=+（含y 的方程）④相交两点时，首先0∆>，ⅰ）若120x x >直线与双曲线交与单支；ⅱ）120x x <直线与双曲线交与两支；ⅲ）若120x x +>，且120x x >直线与双曲线交于右单支；ⅳ）若120x x +<，且120x x >直线与双曲线交于左单支。
联立方程模型
School of economics,Qingdao university
点击System（系统）窗口上的estimation（估计）键，立刻弹出 系统估计方法窗口。共有9种估计方法可供选择，分别是OLS， WLS，SUR，2SLS，WTSLS，3SLS，FIML，GMM（White协 方差矩阵，用于截面数据），GMM（HAC协方差矩阵，用于 时间序列数据）。选择Two-Stage Least Squere，得到结果。 整理估计结果得到如下表达式： 消费方程：Ct = 362.0544 + 0.3618 Yt + 0.2467 Ct-1 (3.5) (17.0) (4.9) R2 = 0.9995 投资方程：It = 625.9373 + 0.4095 Yt-1 (1.0) (26.0) R2 = 0.9713 收入方程；Yt = Ct + It + Gt
联立方程模型的两段最小二乘估计 联立方程模型的两段最小二乘估计
点击主功能菜单 上的Objects键， 上的 键 选New Object功 功 能，
School of economics,Qingdao university
例7.1：天津市宏观经济联立方程模型 ：
选择System，并在Name ，并在 选择 of Object处为联立方程模 处为联立方程模 型起名 图中显示为Untitled）。 （图中显示为 ）。
联立方程模型
• 广义矩法
• 联立方程模型模拟
平衡方程： QtD QtS
Байду номын сангаас 模型的估计
• 利用工具变量法进行估计
• 欲建立的联立模型： GOV 0 1AID 2INC 3POP AID 0 1GOV 2PS
• 利用两阶段最小二乘法进行估计
• 系统估计法
• 三阶段最小二乘法估计
第7章 联立方程模型
• 单方程模型用于揭示单个被解释变量受多 个解释变量影响形成的因果关系，它适用 于只有单个规律现象的研究。、
• 而现实的社会经济现象往往错综复杂，规 律之间相互依存、彼此影响，形成一个独 立的系统，需要用一组方程加以说明。
模型的基本问题
• 看一个简单的供给-需求模型
需求方程： QtD 0 1Pt 2 yt t 供给方程： QtS 0 1Pt 2Pt1 t
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优化计算
规定
计
计
设
程计 流
算
算
程 单 元计
过 性计 算 物算
1
2
3
4
5
序贯模块法的迭代层次示意图
优化计算
规定
计
计
设
程计 流
算
算
程 单 元计
过 性计 算 物算
1 2
联立方程法的迭代层次示意图
（3）方程组的稀疏性 无论描述全系统的方程组的维数有多高，函数关系有多复杂 每个过程单元所涉及的仅局限于几个方程，且每个方程往往仅涉及 少数几个变量。
（2）方程组的复杂性 过程系统数学模型所包含的方程的种类非常复杂，是一个极其复杂 的混合型方程组： ? 过程系统由若干单元组成，整个系统的总变量数很大 ? 现代化工物料、热量充分利用，热集成度高，组成了高度交联 的流程拓扑结构 ? 线性代数方程，如物料平衡方程 ? 非线性代数方程，如化学平衡方程、热力学方程、物性估算方 程； ? 微分方程，如化学反应动力学方程、描述反应器内部传递特征 的偏微分方程
?
4
?
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4
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? ? 2F 3 x 31 ? F3 ?? 1 ?
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7
8
§3.1 过程系统数学模型的特点与建立
? 联立方程组中微分方程的处理
F2 ? F10 ? F3 F2 x 21 ? F10 x10 ,1 ? F3 x 31 F2 x 22 ? F10 x10,2 ? F3 x 32 F2 x 23 ? F10 x10,3 ? F3 x 33 F2 x 24 ? F10 x10,4 ? F3 x 34
F4 ? F5 ? F8 F4 x 41 ? F5 x 51 ? F8 x 81 F4 x 42 ? F5 x 52 ? F8 x 82 F4 x 43 ? F5 x 53 ? F8 x 83 F4 x 44 ? F5 x 54 ? F8 x 84
? 化工系统的模型方程组是 超大型 稀疏矩阵。
描述方程组的稀疏程度－稀疏比：α＝N0/N2 N－描述系统的方程组的阶数
N0－为方程组线性化后的系数矩阵含非零元素的数目。
大型化工系统的数学模型，稀疏比一般小于1％，约为0.2～0.5％。
5
氨合成工艺流程物料平衡数学模型
F1 ? F7 ? F2 F1 x11 ? F7 x 71 ? F2 x 21 F1 x12 ? F7 x72 ? F2 x 22 F1 x13 ? F7 x73 ? F2 x 23 F1 x14 ? F7 x74 ? F2 x 24
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F3 x 33 ? F 4 x 43
CH 4 :
F 3 x 34 ? F 4 x 44
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3 42
x 91 ? x 81 , x10 ,1 ? x 81 x 92 ? x82 , x10 ,2 ? x82 x 93 ? x83 , x10 ,3 ? x83 x 94 ? x84 , x10 ,4 ? x 84 F8 ? F9 ? F10 F9 ? f ?F8
F ?X ,W ?? 0
X —— 状态变量；
W —— 设计变量；
F( ) —— 系统模型方程组，其中包括：
? 物性估算方程：计算混合物在各种状态下的物性
? 单元模型方程：包括物料平衡方程、能量平衡方程、反应动力学 方程、传递方程等
? 过程单元间的联结方程：描述过程系统结构的拓扑关系
? 设计规定方程
2
§3 过程系统模拟的联立方程法
§3.1 过程系统数学模型的特点与建立 §3.2 大型稀疏非线性方程组的降维解法 §3.3 联立线性方程组法解大型稀疏非线性方程组 §3.5 联立方程法的优势
1
§3.1 过程系统数学模型的特点与建立
? 过程系统数学模型的特点
（1）高维大型非线性方程组
系统的模型方程组：
?
k 3?,
x 74 x 64
?
k 4?,
? 4 ?? 4 ?
? ? ??1 ? x 7 j ?? ??1 ? x 6 j ?? ? k5?
? j?1 ? ? j?1 ?
方程数=45； 变量数=62，设计变量数=17
6
方程组的事件矩阵
F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34 x41 x42 x43 x44 x51 x52 x53 x54 x61 x62 x63 x64 x71 x72 x73 x74 x81 x82 x83 x84 x91 x92 x93 x94 x101 x102 x103 x104
F5 ? F6 ? F7 F 5 x 51 ? F6 x 61 ? F7 x 71 F 5 x 52 ? F6 x 62 ? F7 x 72 F 5 x 53 ? F6 x 63 ? F7 x 73 F 5 x 54 ? F6 x 64 ? F7 x 74
? ?N : ?
?? ?H : ? ?
? ??
11
1
21
1
1
1
31
1
1
1
41
1
1
1
51
1
1
1
611
1
711
11
1
1
811
1
1
1
1
911
1
1
1
1
10 1 1
1
1
1
1
11
11
111 11 111
12
11
111 11 111
13
11
1
1
14
11
1
1
15
1 111
16
11
1
17
11
1
1
1
1
18
11
1Hale Waihona Puke 11119
11
1
1
1
1
20
11
1
1
1
1
21
1
1
22
1
1
23
1
1
24
1
1
25
111 1
11 11
26
111
27
111
1
1
1
28
111
1
1
1
29
111
1
1
1
30
111
1
1
1
31
1
1
32
1
1
33
1
1
34
1
1
35
1 111 111 1
36
1
1
37
1
1
38
1
1
39
1
1
40
1
1
41
1
1
42
1
1
43
1
1
44
11 1
45
11
N0=184，N=45，α=N0/N2=0.09=9%
x 81 x 51
?
k1,
x 82 x 52
?
k2,
x 83 x 53
?
k3 ,
x 84 x 54
?
k4,
? ? ???1 - 4 x 8 j ??? ???1 - 4 x5 j ??? ? k5
? j?1 ? ? j? 1 ?
x 71 x 61
?
k 1?,
x 72 x 62
?
k 2?,
x 73 x 63