【清华】lesson7联立方程法_228901811

（2）方程组的复杂性 过程系统数学模型所包含的方程的种类非常复杂，是一个极其复杂 的混合型方程组： ? 过程系统由若干单元组成，整个系统的总变量数很大 ? 现代化工物料、热量充分利用，热集成度高，组成了高度交联 的流程拓扑结构 ? 线性代数方程，如物料平衡方程 ? 非线性代数方程，如化学平衡方程、热力学方程、物性估算方 程； ? 微分方程，如化学反应动力学方程、描述反应器内部传递特征 的偏微分方程
F ?X ,W ?? 0
X —— 状态变量；
W —— 设计变量；
F( ) —— 系统模型方程组，其中包括：
? 物性估算方程：计算混合物在各种状态下的物性
? 单元模型方程：包括物料平衡方程、能量平衡方程、反应动力学 方程、传递方程等
? 过程单元间的联结方程：描述过程系统结构的拓扑关系
? 设计规定方程
2
F5 ? F6 ? F7 F 5 x 51 ? F6 x 61 ? F7 x 71 F 5 x 52 ? F6 x 62 ? F7 x 72 F 5 x 53 ? F6 x 63 ? F7 x 73 F 5 x 54 ? F6 x 64 ? F7 x 74
? ?N : ?
?? ?H : ? ?
? ??
?
4
?
?
4
?
? ? 2F 3 x 31 ? F3 ?? 1 ?
x 3 j ?? ? 2 F4 x 41 ? F4 ??1 ?
x 4 j ??
?
j?1
?
?
j?1
?
?
4
பைடு நூலகம்
?
?
4
?
? ? 2F 3 x 32 ? 3F3 ?? 1 ? x 3 j ?? ? 2 F4 x 42 ? 3F 4 ?? 1 ? x 4 j ??
?
j?1
?
?
j? 1
?
Ar :
F3 x 33 ? F 4 x 43
CH 4 :
F 3 x 34 ? F 4 x 44
2
? K ? P? 2 ???1?
4
? x 4 j ??
? j?1 ?
x
41
?
x
3 42
x 91 ? x 81 , x10 ,1 ? x 81 x 92 ? x82 , x10 ,2 ? x82 x 93 ? x83 , x10 ,3 ? x83 x 94 ? x84 , x10 ,4 ? x 84 F8 ? F9 ? F10 F9 ? f ?F8
7
8
§3.1 过程系统数学模型的特点与建立
? 联立方程组中微分方程的处理
?
k 3?,
x 74 x 64
?
k 4?,
? 4 ?? 4 ?
? ? ??1 ? x 7 j ?? ??1 ? x 6 j ?? ? k5?
? j?1 ? ? j?1 ?
方程数=45； 变量数=62，设计变量数=17
6
方程组的事件矩阵
F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34 x41 x42 x43 x44 x51 x52 x53 x54 x61 x62 x63 x64 x71 x72 x73 x74 x81 x82 x83 x84 x91 x92 x93 x94 x101 x102 x103 x104
§3 过程系统模拟的联立方程法
§3.1 过程系统数学模型的特点与建立 §3.2 大型稀疏非线性方程组的降维解法 §3.3 联立线性方程组法解大型稀疏非线性方程组 §3.5 联立方程法的优势
1
§3.1 过程系统数学模型的特点与建立
? 过程系统数学模型的特点
（1）高维大型非线性方程组
系统的模型方程组：
x 81 x 51
?
k1,
x 82 x 52
?
k2,
x 83 x 53
?
k3 ,
x 84 x 54
?
k4,
? ? ???1 - 4 x 8 j ??? ???1 - 4 x5 j ??? ? k5
? j?1 ? ? j? 1 ?
x 71 x 61
?
k 1?,
x 72 x 62
?
k 2?,
x 73 x 63
23
1
1
24
1
1
25
111 1
11 11
26
111
27
111
1
1
1
28
111
1
1
1
29
111
1
1
1
30
111
1
1
1
31
1
1
32
1
1
33
1
1
34
1
1
35
1 111 111 1
36
1
1
37
1
1
38
1
1
39
1
1
40
1
1
41
1
1
42
1
1
43
1
1
44
11 1
45
11
N0=184，N=45，α=N0/N2=0.09=9%
3
优化计算
规定
计
计
设
程计 流
算
算
程 单 元计
过 性计 算 物算
1
2
3
4
5
序贯模块法的迭代层次示意图
优化计算
规定
计
计
设
程计 流
算
算
程 单 元计
过 性计 算 物算
1 2
联立方程法的迭代层次示意图
（3）方程组的稀疏性 无论描述全系统的方程组的维数有多高，函数关系有多复杂 每个过程单元所涉及的仅局限于几个方程，且每个方程往往仅涉及 少数几个变量。
11
1
21
1
1
1
31
1
1
1
41
1
1
1
51
1
1
1
611
1
711
11
1
1
811
1
1
1
1
911
1
1
1
1
10 1 1
1
1
1
1
11
11
111 11 111
12
11
111 11 111
13
11
1
1
14
11
1
1
15
1 111
16
11
1
17
11
1
1
1
1
18
11
1
1
1
1
19
11
1
1
1
1
20
11
1
1
1
1
21
1
1
22
1
1
F2 ? F10 ? F3 F2 x 21 ? F10 x10 ,1 ? F3 x 31 F2 x 22 ? F10 x10,2 ? F3 x 32 F2 x 23 ? F10 x10,3 ? F3 x 33 F2 x 24 ? F10 x10,4 ? F3 x 34
F4 ? F5 ? F8 F4 x 41 ? F5 x 51 ? F8 x 81 F4 x 42 ? F5 x 52 ? F8 x 82 F4 x 43 ? F5 x 53 ? F8 x 83 F4 x 44 ? F5 x 54 ? F8 x 84
? 化工系统的模型方程组是 超大型 稀疏矩阵。
描述方程组的稀疏程度－稀疏比：α＝N0/N2 N－描述系统的方程组的阶数
N0－为方程组线性化后的系数矩阵含非零元素的数目。
大型化工系统的数学模型，稀疏比一般小于1％，约为0.2～0.5％。
5
氨合成工艺流程物料平衡数学模型
F1 ? F7 ? F2 F1 x11 ? F7 x 71 ? F2 x 21 F1 x12 ? F7 x72 ? F2 x 22 F1 x13 ? F7 x73 ? F2 x 23 F1 x14 ? F7 x74 ? F2 x 24