奥数小六课堂4-10：组合问题 最值问题二
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“学而不疑则怠，疑而不探则空。”
GS数学 第四部分
组合问题
“独学而无友，则孤陋而寡闻。”
第10讲
最值问题二
各种类型的复杂最值问题，处理时应先
考虑引起变化的关键量，通常采用枚举、 局部调整和极端分析等方法找出最大最
小值；利用一笔画、对称等思想分析几
何问题中的最值问题.有些情况下，既
要构造出取得最值的具体实例，又要对
典型例题
5、如图,用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱 长都是整数厘米的长方体框架.请问：这个长 方体的体积最大可能是多少？ 解：∵该长方体满足： 长+宽+高=80÷4=20厘米， 要使体积最大，就应使三边长度尽 量接近米. ∴当三边长度为7厘米、7厘米、6厘米 时,体积最大,为7×7×6=294立方厘米.
8、一个三位数除以它的各位数字之和，商最 小是多少？ 解：假设这个三位数是 abc 那么三位数除以它的各位数字之和为 100 a 10b c 99 a 9b 99 a 9b 1 ≥ 1 abc abc ab9 90 a 81 90 a 81 9 1 ≥ 10 ab9 a99 90 a 81 9 10 最小，是10 . 当a=1时， a99 19 100 a 10b c 9 因此， 的最小值是 10 .此时，a=... abc 19
典型例题
9、一个人骑马从甲地出发，要到河边让马饮 水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线 最短，应该让马在什么地方饮水？ 甲 乙 A 解：在图中的C地饮水. B
B' AP+PB =AP+PB'＞AB' =AC+CB' =AC+CB
假如不在 C 地，而在河 边的其他一点P，则有
P C
典型例题 ★、(1)在分母是一位数的最简真分数中，两个 不相等的分数最小相差多少？ 解：若两分数的分母相同,设为a,则差最小为 1 1 ≥ ； a 9 若两分数的分母不相同,设为a、b,则差最小为 1 1 1 . ≥ ab 9 8 72
典型例题
2、将135个人分成若干个小组，要求任意两个 组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时， 人数最少的那组有多少人？ 解：要使分组最多，那么应该每组人越少越好， 最少情形就是第一组1人，第二组2人，以此类 推，进行估算， 15×16÷2＜135＜16×17÷2 ， 所以最多 15 组 . 例如 1+2+3+...+14+(15+15) ，可 以最少那组人数为1，如果最小那组人数为2， 可以是2+3+4+...+15+16=135，这两种是极限情 形.最少人数不能更多了，所以人数最少为1或 者2.
这个八边形的底边要尽量长， 1 那就是8. 顶边就是8-1-2=5. 4 现在就剩下一个 7 和一个 6 ， 把它们分配给3和4， 6 那么原长方形的长就是 3+7=4+6=10. 由此得出此八边形的面积为 8×10-4-6=70.如图所示.
5
2
3
7 8
典型例题
8、一个三位数除以它的各位数字之和，商最 大是多少？ 解：假设这个三位数是 abc 那么三位数除以它的各位数字之和为 100 a 10b c 100 a 100 b 100 c =100 ≤ abc abc 所以商最大是 100 ，此时 a 可以是 1 到 9 中任意整数，b=0，c=0.
1 1 1 1 . Fra Baidu bibliotek 因此，差最小为 72 8 9 72 符合条件.
典型例题 ★、(2)从1至9中选取四个不同的数字填入算式 中,使算式的结果小于1.这个结果最大 是多少？ 解：设两个分母分别为a、b, 则结果与1的差最小为 1 1 1 . ≥ ab 9 8 72 71 因此，结果最大为 . 72 1 7 71 9 8 72 符合条件.
4、我们知道，很多自然数都可以表示成两个 不同质数的和，例如8=3+5.有的数有几种不 同的表示方法，例如100=3+97=11+89=17+83. 请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？ 解：讨论小于等于6的数后，知道恰有两种方 法表示的数大于 6. 由于奇数必定拆分成一奇 一偶，而质数只有一个偶数是2，所以所求的 数必须为偶数，讨论8=3+5,10=3+7,12=5+7, 14=3+11 ， 16=5+11=3+13 满足，所以满足题 目的最小数为16.
典型例题
6、如图,在等腰直角三角形ABC中，CA=CB= 4厘米,在其中作一个矩形CDEF,则矩形CDEF 的面积最大可能是多少？ 解：∵DE=BD, A
F C
E D
∴CD+DE=CD+DB =4厘米, ∴CD=DE时， CD×DE 最 大 ， B 为4平方厘米.
典型例题
7、在4×4的方格表中将一些方格染成黑色， 使得任意两个黑格都没有公共顶点.请问：最 多可以将多少个方格染成黑色？ 解：将4×4的方格表分成4个 2×2 的小方格表 . 要使任意两 个黑格都没有公共顶点，则 每个 2×2 的方格表中只能把 一个方格染成黑色，因此最 多可以将4个方格染成黑色.
此方案的最优性进行论证.
典型例题 1、用0,1,2,...,9这10个数字各一次组成5个 两位数a,b,c,d,e.请问：a-b+c-d+e最大可 能是多少？ 解 ： 将 a-b+c-d+e 整 理 为 (a+c+e)(b+d).a+c+e 要尽可能大，它们的十位数 字应该分别为9、8、7，个位数字分别为 6、5、4，和最大为255；b+d要尽可能小， 它们的十位数字分别为 2 、 1 ，个位数字 分别为3、0，和为33. 所以最大值为255-33=222.
典型例题 3、有11个同学计划组织一场围棋比赛， 他们准备分为两组，每组进行单循环比 赛，那么他们最少需要比赛多少场？
解：假设两组人数分别为 a 和 b. 在两组都进行 单循环比赛之后，假如甲组的每个人都再跟乙 组的每个人比赛一次，即再比赛a×b场，那么 11个人中任意两人都比赛过了，共11×10÷2 =55 场 . 因 此 ， 两 组 内 的 单 循 环 比 赛 共 有 55a × b 场，要使这个数最小，则 a × b 应最大， a 和b尽量接近，取5和6，结果是55-5×6=25场.
典型例题 ★、如图,从一个长方形的两个角上挖去两个小 长方形后得到一个八边形.这个八边形的边长恰 好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面 积最大可能是多少？ 解：这个八边形是一个长方形减去 两个小长方形得来的.要使面积最大， 减去的两个小长方形面积尽量要小. 1、2、3、4是这列数里最小的，由 此可得出两个面积最小的长方形为 1×4=4,2×3=6.
GS数学 第四部分
组合问题
“独学而无友，则孤陋而寡闻。”
第10讲
最值问题二
各种类型的复杂最值问题，处理时应先
考虑引起变化的关键量，通常采用枚举、 局部调整和极端分析等方法找出最大最
小值；利用一笔画、对称等思想分析几
何问题中的最值问题.有些情况下，既
要构造出取得最值的具体实例，又要对
典型例题
5、如图,用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱 长都是整数厘米的长方体框架.请问：这个长 方体的体积最大可能是多少？ 解：∵该长方体满足： 长+宽+高=80÷4=20厘米， 要使体积最大，就应使三边长度尽 量接近米. ∴当三边长度为7厘米、7厘米、6厘米 时,体积最大,为7×7×6=294立方厘米.
8、一个三位数除以它的各位数字之和，商最 小是多少？ 解：假设这个三位数是 abc 那么三位数除以它的各位数字之和为 100 a 10b c 99 a 9b 99 a 9b 1 ≥ 1 abc abc ab9 90 a 81 90 a 81 9 1 ≥ 10 ab9 a99 90 a 81 9 10 最小，是10 . 当a=1时， a99 19 100 a 10b c 9 因此， 的最小值是 10 .此时，a=... abc 19
典型例题
9、一个人骑马从甲地出发，要到河边让马饮 水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线 最短，应该让马在什么地方饮水？ 甲 乙 A 解：在图中的C地饮水. B
B' AP+PB =AP+PB'＞AB' =AC+CB' =AC+CB
假如不在 C 地，而在河 边的其他一点P，则有
P C
典型例题 ★、(1)在分母是一位数的最简真分数中，两个 不相等的分数最小相差多少？ 解：若两分数的分母相同,设为a,则差最小为 1 1 ≥ ； a 9 若两分数的分母不相同,设为a、b,则差最小为 1 1 1 . ≥ ab 9 8 72
典型例题
2、将135个人分成若干个小组，要求任意两个 组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时， 人数最少的那组有多少人？ 解：要使分组最多，那么应该每组人越少越好， 最少情形就是第一组1人，第二组2人，以此类 推，进行估算， 15×16÷2＜135＜16×17÷2 ， 所以最多 15 组 . 例如 1+2+3+...+14+(15+15) ，可 以最少那组人数为1，如果最小那组人数为2， 可以是2+3+4+...+15+16=135，这两种是极限情 形.最少人数不能更多了，所以人数最少为1或 者2.
这个八边形的底边要尽量长， 1 那就是8. 顶边就是8-1-2=5. 4 现在就剩下一个 7 和一个 6 ， 把它们分配给3和4， 6 那么原长方形的长就是 3+7=4+6=10. 由此得出此八边形的面积为 8×10-4-6=70.如图所示.
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典型例题
8、一个三位数除以它的各位数字之和，商最 大是多少？ 解：假设这个三位数是 abc 那么三位数除以它的各位数字之和为 100 a 10b c 100 a 100 b 100 c =100 ≤ abc abc 所以商最大是 100 ，此时 a 可以是 1 到 9 中任意整数，b=0，c=0.
1 1 1 1 . Fra Baidu bibliotek 因此，差最小为 72 8 9 72 符合条件.
典型例题 ★、(2)从1至9中选取四个不同的数字填入算式 中,使算式的结果小于1.这个结果最大 是多少？ 解：设两个分母分别为a、b, 则结果与1的差最小为 1 1 1 . ≥ ab 9 8 72 71 因此，结果最大为 . 72 1 7 71 9 8 72 符合条件.
4、我们知道，很多自然数都可以表示成两个 不同质数的和，例如8=3+5.有的数有几种不 同的表示方法，例如100=3+97=11+89=17+83. 请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？ 解：讨论小于等于6的数后，知道恰有两种方 法表示的数大于 6. 由于奇数必定拆分成一奇 一偶，而质数只有一个偶数是2，所以所求的 数必须为偶数，讨论8=3+5,10=3+7,12=5+7, 14=3+11 ， 16=5+11=3+13 满足，所以满足题 目的最小数为16.
典型例题
6、如图,在等腰直角三角形ABC中，CA=CB= 4厘米,在其中作一个矩形CDEF,则矩形CDEF 的面积最大可能是多少？ 解：∵DE=BD, A
F C
E D
∴CD+DE=CD+DB =4厘米, ∴CD=DE时， CD×DE 最 大 ， B 为4平方厘米.
典型例题
7、在4×4的方格表中将一些方格染成黑色， 使得任意两个黑格都没有公共顶点.请问：最 多可以将多少个方格染成黑色？ 解：将4×4的方格表分成4个 2×2 的小方格表 . 要使任意两 个黑格都没有公共顶点，则 每个 2×2 的方格表中只能把 一个方格染成黑色，因此最 多可以将4个方格染成黑色.
此方案的最优性进行论证.
典型例题 1、用0,1,2,...,9这10个数字各一次组成5个 两位数a,b,c,d,e.请问：a-b+c-d+e最大可 能是多少？ 解 ： 将 a-b+c-d+e 整 理 为 (a+c+e)(b+d).a+c+e 要尽可能大，它们的十位数 字应该分别为9、8、7，个位数字分别为 6、5、4，和最大为255；b+d要尽可能小， 它们的十位数字分别为 2 、 1 ，个位数字 分别为3、0，和为33. 所以最大值为255-33=222.
典型例题 3、有11个同学计划组织一场围棋比赛， 他们准备分为两组，每组进行单循环比 赛，那么他们最少需要比赛多少场？
解：假设两组人数分别为 a 和 b. 在两组都进行 单循环比赛之后，假如甲组的每个人都再跟乙 组的每个人比赛一次，即再比赛a×b场，那么 11个人中任意两人都比赛过了，共11×10÷2 =55 场 . 因 此 ， 两 组 内 的 单 循 环 比 赛 共 有 55a × b 场，要使这个数最小，则 a × b 应最大， a 和b尽量接近，取5和6，结果是55-5×6=25场.
典型例题 ★、如图,从一个长方形的两个角上挖去两个小 长方形后得到一个八边形.这个八边形的边长恰 好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面 积最大可能是多少？ 解：这个八边形是一个长方形减去 两个小长方形得来的.要使面积最大， 减去的两个小长方形面积尽量要小. 1、2、3、4是这列数里最小的，由 此可得出两个面积最小的长方形为 1×4=4,2×3=6.