随机信号分析(第3版)第五章习题及答案

5.1 求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。

R
R
C
1
C 2
C 1
C 2
C 1
R 2
R
题图5.1
解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数 1/1
()1/1j C H j R j C j RC
ωωωω=
=
++ 第二个图中系统地传输函数 ()21
11221
1/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+=
=
++++ 第三个图中系统地传输函数
()22222121
11221212121122
/1/()//1/1/R j C R j C R j R R C H j R j C R j C R R j R R C C R j C R j C ωωωωωωωωω++==++++
++
5.2
若平稳随机信号)(t X 的自相关函数|
|2)(ττ-+=Be
A R X ，其中，A 和
B 都是正
常数。

又若某系统冲击响应为()()wt
h t u t te -=。

当)(t X 输入时，求该系统输出的均值。

解： 因为[]()2
2X E
X R A =∞=
所以[]E X A A =±=±。

()()()()()20wt A E Y t E h X t d E X t h d A te dt w
ξξξξξ∞∞∞--∞-∞±⎡⎤=-==±=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 5.3
5.4 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。

求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。

解：首先我们求系统的频率响应()H j ω。

根据电路分析、信号与系统的知识，
/1/1
1()()()1/1t RC
j C H j h t e u t R j C j RC
RC
ωωωω-=
=
↔=
++ 然后，计算)(t X 的均值与自相关函数，
[]()1/2X m E X t ==
[]{}(){
}{}0
000(,)cos cos X R t t E
X
t X t τωωτ+=++Φ+++Φ=⎡⎤⎣⎦
()0
1/31/2cos ωτ+
可见)(t X 是广义平稳的。

考虑系统稳态时的解，可利用推论得出
()[][]()2002
00222021()()()()()321()
2()()2(1)3
Y X S S H j RC R C ππωωωδωδωωδωωωππ
δωωδωωδωω⎧⎫
==+-++⨯⎨⎬+⎩⎭=-++++
于是，
022201()cos 1/32(1)
Y R R C τωτω=
++
5.5
5.6 设某积分电路输入输出之间满足以下关系
()()t
t T
Y t X d ττ-=⎰
式中，T 为积分时间。

并设输入输出都是平稳过程。

求证输出功率谱密度为
224()
()sin 2X Y S T S ωωωω⎛⎫=
⎪⎝⎭
（提示：()()()Y t X t h t =*，而()()()h t u t u t T =--，是矩形方波。

）
解：因为 ()()t
t T
Y t X d ττ-=⎰
所以 ()()()Y t X t h t =* ()()()h t u t u t T =--
而 ()()()
/22sin /2j t
j T H j h t e
dt e ωωωωω
∞
---∞
=
=
⎰
所以 ()
22
2
4sin 2T
H j ωωω
⎛⎫
⎪⎝⎭=
所以()2
()()Y X S S H j ωωω==
22
4()
sin 2
X S T ωωω⎛⎫
⎪⎝⎭
5.7 5.8 5.9
5.10 若线性时不变系统的输入信号()X t 是均值为零的平稳高斯随机信号，且自相关函数为
()()X R τδτ=，输出信号为()Y t 。

试问系统()h t 要具备什么条件，才能使随机变量1()X t 与1()
Y t 互相独立。

解： 由于输入信号()X t 是均值为零的平稳高斯随机信号，所以通过线性时不变系统后()Y t 仍然是均值为零的平稳高斯随机信号，且()X t 和()Y t 是高斯联合平稳过程。

如果()1X t 与
()1Y t 相互独立，则()()11[X t Y t ](0)0XY E R ==。

而
()()()()XY X R R h h ττττ=*-=-
因此，()h t 要满足()00h =。

5.11
若功率谱为5W/Hz 的平稳白噪声作用到冲击响应为
()e ()at
h t u t -=的系统上，求系统的均方值与功率谱密度。

解：由题知：()1H j j a ωω=
+，所以()()222
5
5Y S H j a
ωωω==+ 而输出过程的自相关函数()()1
522a j Y Y R S e d e
a
τ
ωττωωπ
∞
--∞
=
=
⎰。

于是，()()2
502Y E Y t R a
⎡⎤==
⎣⎦ 5.12
5.13
功率谱为02N 的白噪声作用到|(0)|2H =的低通网络上，网络的等效噪声带宽
为2MHz 。

若噪声输出平均功率是0.1瓦，求0N 的值。

解： 由()2
000.1N N B H =得，()
8
02
60.10.1 1.25102104
0N N B H -==
=⨯⨯⨯（瓦/Hz ）
5.14 5.15
5.16
已知平稳随机信号的相关函数为
（1） 2
1(1||),()10,X X R σαττα
ττα⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>
⎪⎩
（2）2||
()X X R e
αττσ-=
求它们的矩形等效带宽。

解：（1）因为()X R τ是三角函数，所以，由几何图形易知，2
eq B α
=
（2）()()222
2j X X X S R e
d ωτ
σα
ωττωα∞
--∞
=
=+⎰
所以()
()()
()22
001
22044
X X X eq X X X S R B d S S ωασα
ωπ
ωσ∞
=
===⎰。