随机信号分析(第3版)第五章习题及答案

5.1 求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。

R

R

C

1

C 2

C 1

C 2

C 1

R 2

R

题图5.1

解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数 1/1

()1/1j C H j R j C j RC

ωωωω=

=

++ 第二个图中系统地传输函数 ()21

11221

1/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+=

=

++++ 第三个图中系统地传输函数

()22222121

11221212121122

/1/()//1/1/R j C R j C R j R R C H j R j C R j C R R j R R C C R j C R j C ωωωωωωωωω++==++++

++

5.2

若平稳随机信号)(t X 的自相关函数|

|2)(ττ-+=Be

A R X ，其中，A 和

B 都是正

常数。又若某系统冲击响应为()()wt

h t u t te -=。当)(t X 输入时，求该系统输出的均值。

解： 因为[]()2

2X E

X R A =∞=

所以[]E X A A =±=±。

()()()()()20wt A E Y t E h X t d E X t h d A te dt w

ξξξξξ∞∞∞--∞-∞±⎡⎤=-==±=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 5.3

5.4 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。

解：首先我们求系统的频率响应()H j ω。根据电路分析、信号与系统的知识，

/1/1

1()()()1/1t RC

j C H j h t e u t R j C j RC

RC

ωωωω-=

=

↔=

++ 然后，计算)(t X 的均值与自相关函数，

[]()1/2X m E X t ==

[]{}(){

}{}0

000(,)cos cos X R t t E

X

t X t τωωτ+=++Φ+++Φ=⎡⎤⎣⎦

()0

1/31/2cos ωτ+

可见)(t X 是广义平稳的。考虑系统稳态时的解，可利用推论得出

()[][]()2002

00222021()()()()()321()

2()()2(1)3

Y X S S H j RC R C ππωωωδωδωωδωωωππ

δωωδωωδωω⎧⎫

==+-++⨯⎨⎬+⎩⎭=-++++

于是，

022201()cos 1/32(1)

Y R R C τωτω=

++

5.5

5.6 设某积分电路输入输出之间满足以下关系

()()t

t T

Y t X d ττ-=⎰

式中，T 为积分时间。并设输入输出都是平稳过程。求证输出功率谱密度为

224()

()sin 2X Y S T S ωωωω⎛⎫=

⎪⎝⎭

（提示：()()()Y t X t h t =*，而()()()h t u t u t T =--，是矩形方波。）

解：因为 ()()t

t T

Y t X d ττ-=⎰

所以 ()()()Y t X t h t =* ()()()h t u t u t T =--

而 ()()()

/22sin /2j t

j T H j h t e

dt e ωωωωω

∞

---∞

=

=

⎰

所以 ()

22

2

4sin 2T

H j ωωω

⎛⎫

⎪⎝⎭=

所以()2

()()Y X S S H j ωωω==

22

4()

sin 2

X S T ωωω⎛⎫

⎪⎝⎭

5.7 5.8 5.9

5.10 若线性时不变系统的输入信号()X t 是均值为零的平稳高斯随机信号，且自相关函数为

()()X R τδτ=，输出信号为()Y t 。试问系统()h t 要具备什么条件，才能使随机变量1()X t 与1()

Y t 互相独立。

解： 由于输入信号()X t 是均值为零的平稳高斯随机信号，所以通过线性时不变系统后()Y t 仍然是均值为零的平稳高斯随机信号，且()X t 和()Y t 是高斯联合平稳过程。如果()1X t 与

()1Y t 相互独立，则()()11[X t Y t ](0)0XY E R ==。而

()()()()XY X R R h h ττττ=*-=-

因此，()h t 要满足()00h =。

5.11

若功率谱为5W/Hz 的平稳白噪声作用到冲击响应为

()e ()at

h t u t -=的系统上，求系统的均方值与功率谱密度。 解：由题知：()1H j j a ωω=

+，所以()()222

5

5Y S H j a

ωωω==+ 而输出过程的自相关函数()()1

522a j Y Y R S e d e

a

τ

ωττωωπ

∞

--∞

=

=

⎰

。于是，()()2

502Y E Y t R a

⎡⎤==

⎣⎦ 5.12

5.13

功率谱为02N 的白噪声作用到|(0)|2H =的低通网络上，网络的等效噪声带宽

为2MHz 。若噪声输出平均功率是0.1瓦，求0N 的值。 解： 由()2

000.1N N B H =得，()

8

02

60.10.1 1.25102104

0N N B H -==

=⨯⨯⨯（瓦/Hz ）

5.14 5.15

5.16

已知平稳随机信号的相关函数为

（1） 2

1(1||),()10,X X R σαττα

ττα⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>

⎪⎩

（2）2||

()X X R e

αττσ-=

求它们的矩形等效带宽。

解：（1）因为()X R τ是三角函数，所以，由几何图形易知，2

eq B α

=

（2）()()222

2j X X X S R e

d ωτ

σα

ωττωα∞

--∞

=

=+⎰

所以()

()()

()22

001

22044

X X X eq X X X S R B d S S ωασα

ωπ

ωσ∞

=

===⎰