江苏省高二上学期期末数学试卷(理科)(提高班)

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江苏省连云港市高二上册期末理科数学试题与答案

江苏省连云港市高二上册期末理科数学试题一、填空题．请把答案填写在答题纸相应位置上．1.双曲线的渐近线方程是（用一般式表示）【答案】由题意得在双曲线中，，所以双曲线的准线方程为。

答案：2.焦点为的抛物线标准方程是_____.【答案】设抛物线标准方程为x2＝﹣2py，由焦点坐标公式可得p值，将p值代入抛物线方程即可得答案．抛物线的焦点为（0，-5）在y轴上，设抛物线的标准方程为x2＝﹣2py，则有＝5，解可得p＝10，故抛物线标准方程为x2＝﹣20y；故答案为：x2＝﹣20y．本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线焦点的位置，进而设出抛物线的标准方程．3.命题“若，则”的逆否命题为____.【答案】若，则根据逆否命题的定义进行求解即可．命题若p则q的逆否命题为若￢q则￢p，则命题“若，则”的逆否命题为：若x2≤0，则x≥0，故答案为：若x2≤0，则x≥0．本题考查四种命题之间的关系，根据逆否命题的定义是解决本题的关键．4.若，，且，则的最大值是_____.【答案】1试题分析：根据约束条件画出可行域，当直线z=x-y过点A（1，0）时，z最大值，最大值是1，考点：简单的线性规划，以及利用几何意义求最值．5.已知双曲线与椭圆有公共焦点且离心率为，则其标准方程为_____.【答案】求出椭圆的焦点坐标得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a，c，得到b，即可求出双曲线方程．双曲线与椭圆有公共焦点，可得c＝5，双曲线的离心率为，可得a＝3，则b＝4，则该双曲线方程为：．故答案为：．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6.已知函数，则_____.【答案】3对函数求导，将x=代入即可得到答案.f’(x)=2cos2x+，则故答案为：3本题考查导数公式的应用，考查计算能力.7.函数的极小值是______.【答案】求函数的导数，由f’(x)＞0，得增区间，由f’(x)＜0，得减区间，从而可确定极值．函数，定义域为,则f’(x)＝x-，由f’(x)＞0得x＞1，f（x）单调递增；当x＜0或0＜x＜1时，f’(x)＜0，f（x）单调递减，故x＝1时，f（x）取极小值故答案为：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，注意判断极值点的条件，考查运算能力，属于基础题．8.已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______.【答案】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系进行求解即可．x2﹣（a+1）x+a≤0即（x﹣1）（x﹣a）≤0，p是q的必要不充分条件，当a＝1时，由（x﹣1）（x﹣1）≤0得x＝1，此时不满足条件，当a＜1时，由（x﹣1）（x﹣a）≤0得a≤x≤1，此时不满足条件．当a＞1时，由（x﹣1）（x﹣a）≤0得1≤x≤a，若p是q的必要不充分条件，则a＞3，即实数a的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为不等式的包含关系是解决本题的关键.9.若直线是曲线的一条切线，则实数的值是_____.【答案】1设出切点坐标P（x0，e x0），利用导数的几何意义写出在点P处的切线方程，由直线y＝x+b是曲线y＝e x的切线，根据对应项系数相等可求出实数b的值．∵y＝e x，∴y′＝e x，设切点为P（x0，e x0），则在点P处的切线方程为y﹣e x0＝e x0（x﹣x0），整理得y＝e x0x﹣e x0•x0+e x0，∵直线是y＝x+b是曲线y＝e x的切线，∴e x0＝1，x0＝0，∴b＝1．故答案为：1．本题考查导数的几何意义，考查曲线在某点处的切线方程的求法，属于基础题.10.已知是椭圆上一点，，为椭圆的两个焦点，则的最大值与最小值的差是_____.【答案】1试题分析：设P（x0，y0），|PF1| =2+x0，|PF2| =2-x0，∴|PF1|•|PF2|=4-x02，，∴|PF1|•|PF2|的最大值是4，最大值是3，的最大值与最小值之差1。

江苏省2022年高二上期末数学理科试卷(1)含答案解析

高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（12小题，每小题5分，共60分，请将答案涂在机读答题卡）1．（5分）下列特称命题中，假命题是（）A．∃x∈R，x2﹣2x﹣3=0B．至少有一个x∈Z，x能被2和3整除C．存在两个相交平面垂直于同一直线D．∃x∈{x|x是无理数}，使x2是有理数2．（5分）椭圆+=1和+=1（a2＞b2＞k2）的关系是（）A．有相同的长、短轴B．有相同的离心率C．有相同的准线D．有相同的焦点3．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X＞2）=0.023，则P （﹣2≤X≤2）等于（）A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.9774．（5分）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），则（）A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真5．（5分）已知随机变量ξ的分布列为ξ1234P则Dξ的值为（）A．B． C． D．6．（5分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数．A．6 B．9 C．10 D．87．（5分）设M是椭圆上的一点，F1，F2为焦点，∠F1MF2=，则△MF1F2的面积为（）A．B．C．D．168．（5分）已知随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=2.4，Dξ=1.44，则n，p值为（）A．8，0.3 B．6，0.4 C．12，0.2 D．5，0.69．（5分）（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．210．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+＜2”；③对于∀x∈（0，），tanx+≥2；④∃x∈R，使sinx+cosx=．其中正确的为（）A．③B．③④C．②③④D．①②③④11．（5分）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）A．108种B．186种C．216种D．270种12．（5分）已知a、b、c为集合A={1，2，3，4，5，6}中三个不同的数，通过如图框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是（）A．B．C．D．二．填空题（每空5分，共20分）13．（5分）已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）在平面直角坐标系中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P 是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）给出下列四个命题：①命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题为假命题；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1；③“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，使sinx0+cosx0=”；命题q：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，那么（￢p）∧q为真命题．其中正确的序号是．三、解答题17．（10分）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知（+）n展开式中偶数项二项式系数和比（a+b）2n展开式中奇数项二项式系数和小120，求：（1）（+）n展开式中第三项的系数；（2）（a+b）2n展开式的中间项．19．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．20．（12分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．21．（12分）“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X的分布列和数学期望．22．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每小题5分，共60分，请将答案涂在机读答题卡）1．（5分）下列特称命题中，假命题是（）A．∃x∈R，x2﹣2x﹣3=0B．至少有一个x∈Z，x能被2和3整除C．存在两个相交平面垂直于同一直线D．∃x∈{x|x是无理数}，使x2是有理数【解答】解：对于A：当x=﹣1时，x2﹣2x﹣3=0，故A为真命题；对于B：当x=6时，符合题目要求，为真命题；对于C假命题，垂直于同意直线的两个平面平行；对于D：x=时，x2=3，故D为真命题．故选C2．（5分）椭圆+=1和+=1（a2＞b2＞k2）的关系是（）A．有相同的长、短轴B．有相同的离心率C．有相同的准线D．有相同的焦点【解答】解：椭圆+=1的焦点坐标（，0）和+=1（a2＞b2＞k2）的焦点坐标（，0），故选：D．3．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X＞2）=0.023，则P （﹣2≤X≤2）等于（）A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977【解答】解：∵随机变量X服从标准正态分布N（0，σ2），∴正态曲线关于X=0对称，∵P（X＞2）=0.023，∴P（﹣2≤X≤2）=1﹣2×0.023=0.954，故选：C．4．（5分）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），则（）A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真【解答】解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故命题p 为假．又由函数y=的定义域为|x﹣1|﹣2≥0，即|x﹣1|≥2，即x﹣1≥2或x ﹣1≤﹣2．故有x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．∴q为真命题．故选D．5．（5分）已知随机变量ξ的分布列为ξ1234P则Dξ的值为（）A．B． C． D．【解答】解：Eξ=1×+2×+3×+4×=，Dξ=×（1﹣）2+×（2﹣）2+×（3﹣）2+×（4﹣）2=，故选：C．6．（5分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数．A．6 B．9 C．10 D．8【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有A33=6个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列．共有A22=2种结果，前三位是123．第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字，故选C．7．（5分）设M是椭圆上的一点，F1，F2为焦点，∠F1MF2=，则△MF1F2的面积为（）A．B．C．D．16【解答】解：∵椭圆方程为上的一点，F1，F2为焦点，∠F1MF2=，∴a2=25，b2=16，可得c2=a2﹣b2=9，即a=5，c=3，设|PF1|=m，|PF2|=n，则有m+n=10，∵∠F1MF2=，∴36=m2+n2﹣2mncos∵（m+n）2=m2+n2+2mn，∴mn=，∴|PF1|•|PF2|=．∴△PF1F2的面积S=|PF1|•|PF2|sin=••=16（2﹣）．故选：C．8．（5分）已知随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=2.4，Dξ=1.44，则n，p值为（）A．8，0.3 B．6，0.4 C．12，0.2 D．5，0.6【解答】解：∵ξ服从二项分布B～（n，p）由Eξ=2.4=np，Dξ=1.44=np（1﹣p），可得1﹣p==0.6，∴p=0.4，n==6．故选：B．9．（5分）（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【解答】解：令x=1，则a0+a1+…+a4=，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4=．所以，（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+…+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）==1故选A10．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+＜2”；③对于∀x∈（0，），tanx+≥2；④∃x∈R，使sinx+cosx=．其中正确的为（）A．③B．③④C．②③④D．①②③④【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，可知①不正确；②正确；由基本不等式可知③正确；由sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，可知④正确；故选C．11．（5分）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）A．108种B．186种C．216种D．270种【解答】解：从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，有A73种选法，其中只选派男生的方案数为A43，分析可得，“这3人中至少有1名女生”与“只选派男生”为对立事件，则这3人中至少有1名女生等于从全部方案中减去只选派男生的方案数，即合理的选派方案共有A73﹣A43=186种，故选B．12．（5分）已知a、b、c为集合A={1，2，3，4，5，6}中三个不同的数，通过如图框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据框图判断，本框图输出的a为输入的三个数a，b，c中的最大值最大值是3的情况，输入的三个数为1，2，3 1种情况最大值是4的情况，输入的三个数为1，2，3里两个以及4 3种情况最大值是5的情况，输入的三个数为1，2，3，4里两个数以及5 6种情况最大值是6的情况，输入的三个数为1，2，3，4，5里两个数及6 10种情况a=5的概率P==故选：A二．填空题（每空5分，共20分）13．（5分）已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是e≤a≤4．【解答】解：对于命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，∴a≥（e x）max，x∈[0，1]，∵e x在x∈[0，1]上单调递增，∴当x=1时，e x取得最大值e，∴a≥e．对于命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，∴△=42﹣4a≥0，解得a≤4．若命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，∴e≤a≤4．故答案为：e≤a≤4．14．（5分）在平面直角坐标系中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P 是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程x2+3y2=4，（x≠±1）．【解答】解：∵点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，∴点B的坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y），∵直线AP与BP的斜率之积等于﹣，∴=﹣，（x≠±1）．化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为：x2+3y2=4（x≠±1）．故答案为：x2+3y2=4（x≠±1）．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为16．（5分）给出下列四个命题：①命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题为假命题；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1；③“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，使sinx0+cosx0=”；命题q：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，那么（￢p）∧q为真命题．其中正确的序号是②③．【解答】解：①命题“若α=，则tanα=1”为真命题，由互为逆否命题的等价性可知，其逆否命题是真命题，故①错；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1，故②对；③函数y=sin（2x+φ）为偶函数，由诱导公式可知，φ=+kπ（k∈Z），反之成立，故③对；④由于sinx+cosx=sin（x）≤，故命题p为假命题，比如α=﹣300°，β=30°，满足sinα＞sinβ，但α＜β，故命题q为假命题．则（￢p）∧q为假命题，故④错．故答案为：②③三、解答题17．（10分）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．18．（12分）已知（+）n展开式中偶数项二项式系数和比（a+b）2n展开式中奇数项二项式系数和小120，求：（1）（+）n展开式中第三项的系数；（2）（a+b）2n展开式的中间项．【解答】解：（1）由题意可得2n﹣1+120=22n﹣1，故有（2n﹣16）（2n+15）=0，故2n=16，解得n=4．故（+）n展开式中第三项为T3=•=．（2）（a+b）2n即（a+b）8，它的开式的中间项为T5=•a4•b4=70a4b4．19．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．【解答】解：（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（0，4），则b=4，椭圆离心率为e===，则a=5，∴C的方程为+=1；（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y=（x﹣3），设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入C的方程，得x2﹣3x﹣8=0，解得：x1=，x2=，∴AB的中点M（x0，y0）坐标x0==，y0==（x1+x1﹣6）=﹣，即中点为（，﹣）．20．（12分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．【解答】解：当p为真命题时，，∴m＞2．当q为真命题时，△=42（m﹣2）2﹣16＜0，∴1＜m＜3．若“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，即，p真q假或p假q真，①若p真q假，∴，∴m≥3．②若p假q真，∴，∴1＜m≤2．综上m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．21．（12分）“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由已知得，（0.003 2+0.004 3+0.005 0）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．（2）易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人，所以X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X的分布列为X012PE（X）=0×+1×+2×=．22．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），∴P（A i）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，∴P（B）=P（A3）+P（A4）=（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=∴ξ的分布列是ξ024P数学期望Eξ=。

江苏省数学高二上学期理数期末考试试卷

江苏省数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·哈尔滨期末) 已知集合，则等于（）A .B .C .D .【考点】2. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 计算的结果是（）A .B .C .D .【考点】3. （2分） (2020高二上·望城期末) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .【考点】4. （2分） (2017高三上·宜宾期中) 对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a+c ＞b+d；（2）若ac2＞bc2 ，则a＞b；（3）若a＞b，则；（4）若a＞b，c＞d，则ac＞bd．其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4【考点】5. （2分）在等比数列中，，则公比q等于（）A . 2B .C . －2D .【考点】6. （2分）已知命题p：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q：函数y=f(x)是一次函数，则命题p是命题q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【考点】7. （2分） (2019高一下·菏泽月考) 若向量，，，则用表示为（）A .B .C .D .【考点】8. （2分） (2020高二上·怀化月考) “ ”是“曲线表示椭圆”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【考点】9. （2分） (2020高二上·武威月考) 已知实数满足则的取值范围为（）A .B .C .D .【考点】10. （2分） (2020高二下·林州月考) 已知抛物线上的点到焦点的距离为，则的面积为（）A . 2B . 4C . 8D . 16【考点】11. （2分）已知正项数列{an}满足：a1=3,(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2,(n>1,) ，设数列{bn}的前n项的和Sn ，则Sn的取值范围为（）A .B .C .D .【考点】12. （2分） (2019高二上·集宁月考) 点P是抛物线上一动点，则点P到点的距离与P 到直线的距离和的最小值是（）A .B .C . 3D .【考点】二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·新沂模拟) 若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位)，则z＝________.【考点】14. （1分） (2020高二下·柳州模拟) 若等差数列和等比数列满足，，则 ________．【考点】15. （1分） (2020高一下·济南月考) 在△ABC中,若则角B等于________ .【考点】16. （1分） (2019高三上·乐山月考) 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ________；函数在处的导数 ________．【考点】三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2020高一下·石家庄期中) 已知等差数列中，，且依次成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若，求n的值.【考点】18. （10分） (2019高三上·蚌埠月考) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且， .（1）求；（2）若，求的周长.【考点】19. （5分） (2016高二下·抚州期中) 设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．【考点】20. （5分） (2018高二下·邗江期中) 如图，在长方体中，点是棱的中点，点在棱上，且（为实数）．（1）求二面角的余弦值；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；（3）求证：直线与直线不可能垂直．【考点】21. （10分） (2017高一下·张家口期末) 已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn ，且满足（n+1）an=2Sn （n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=ancos（πan），求数列{bn）的前n项和Tn ．【考点】22. （10分） (2020高三上·海淀期末) 已知椭圆的右顶点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点、，直线和分别与直线交于点、，求与面积之和的最小值.【考点】参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、略考点：解析：略答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。

2021年高二上学期提高班期末考试理科数学试卷含答案

2021年高二上学期提高班期末考试理科数学试卷含答案一、选择题(共10小题，每题5 分，共计50分，请考生将正确答案填写在答题卡上)1．若，且，则下列不等式一定成立的是（）A． B. C．D．2.设，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.在△ABC中，若,, ,则角的大小为（）A. B．C．或D．或4.已知数列中，，，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．5.在等比数列中,若,则该数列的前10项和为( )A．B．C．D．6.若实数x，y满足则的最大值为（）A．B．C．D．7.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.8.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.9.如图8-218，直三棱柱中，若∠BAC=90°，AB=AC=，则异面直线与所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°10.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于( )A. B.C. D.二、填空题(共4小题，每题5 分，共计20分，请考生将正确答案填写在答题卡上)11.将全体正整数排成一个三角形数阵，如下所示，则第行（）从左到右的第3个数为__________12 34 5 67 8 9 1012.已知，且，求的最小值为13.过抛物线的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB 的长为8，则_____.14.连结双曲线与(a＞0，b＞0)的四个顶点的四边形面积为，连结四个焦点的四边形的面积为，则的最大值是________．第Ⅱ卷三、解答题(共2小题，每题15 分，共计30分，请考生将正确答案及必要的演算过程填写在答题卡上)15.如图，在直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60.(Ⅰ)证明：；16.在直角坐标系中，点P到两点,的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与交于A,B两点.求：（1）的方程；（2）若⊥,求的值西安新东方学校高二数学理科提高班期末试卷答题卡班号__________ 姓名__________ 学校__________ 电话__________题号 1 2 3 4 5答案题号 6 7 8 9 10答案11. 12.13. 14.三、解答题15.16.高二数学理科（提高班）期末测试题答案1-5 DAABB6-10 CBACC11.12. 1613. 214.15.（1）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以，在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，由正弦定理，得∠ACB=30°，所以∠BAC=90°，即AB⊥AC，所以AB⊥平面ACC1A1，又因为AC1平面ACC1A1，所以AB⊥A1C。

江苏省2022年上学期高二期末考试试卷理科数学

上学期高二期末考试理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·浙江学考]对于实数a ，b ，则“0a b <<”是“1ba<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．[2018·东城期末]已知双曲线22115y x -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于（） A ．2B ．4C ．5D ．63．[2018·宿州期中]如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是（）A ．3B ．12C ．14D ．04．[2018·重庆调研]已知实数x ，y 满足22033030x y x y x y -+≥+-≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．2B ．3C ．143D ．45．[2018·静宁县一中]古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（） A ．2031 B ．35C ．815D ．236．[2018·陕西四校联考]在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，()()3a b c a c b ac +++-=，则角B =（）A ．2π3B ．π3C ．5π6D ．π67．[2018·济南一中]在ABC △中，“A B <”是“sin sin A B <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设[2018·银川一中]抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为3-，那么PF =（） A ．43B ．8C ．83D ．169．[2018·海南期末]在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1C C 的中点，则直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值为（） A ．10-B ．10C ．15-D ．15 10．[2018·清华附中]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2018项和为（） A ．20182019B ．20162018C ．20162017D ．2019201811．[2018·银川一中]已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（）A ．2 B ．3 C ．6 D ．3412．[2018·书生中学]如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，3BC =，点M 在棱1CC 上，此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号且1MD MA⊥，则当1MAD△的面积最小时，棱1CC的长为（）A．32B．10C．2 D．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·海安中学]若不等式220x px++<的解集为()1,2，则p的值为______．14．[2018·福州期中]在ABC△中，2ab=，tan3C=，则ABC△的面积为_______．15．[2018·安师附中]已知：如图，在60︒的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知4AB=，6AC=，8BD=，则CD=__________．16．[2018·天津期末]设椭圆22162x y+=与双曲线2213xy-=有公共焦点1F，2F，P是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF∠等于__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）[2018·重庆八中]已知等比数列{}n a中，12a=，416a=．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若3a，5a分别是等差数列{}n b的第8项和第20项，试求数列{}n b的通项公式及前n项和n S．18．（12分）[2018·宜昌期中]已知三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2cos cos cosa Ab Cc B=+．（1）求A；（2）若3a=1b=，求c．19．（12分）[2018·吉林实验中学]已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴且焦点到准线的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线:21l y x=+与抛物线相交于A，B两点，求弦长AB．20．（12分）[2018·济南一中]如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，90BAD ADC∠=∠=︒，12AB AD CD a===，2PD a=，M为PA中点．（1）求证：AC∥平面MDE；（2）求直线ME与平面PBC所成角的正弦值．21．（12分）[2018·天津七校联考]已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，离心率为12．（1）求椭圆的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆有且只有一个交点P ，且与直线4x =交于点Q ，设()(),0M t t ∈R ，且满足0MP MQ ⋅=恒成立，求t 的值．22．（12分）[2018·湖北期中]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AD CD ⊥，且2AD CD ==，22BC =，2PA =．（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45︒，如果存在，求PM PD的值；如果不存在，请说明理由．理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】若“0a b <<”，即a b >，则“1b b a a =<”，故“0a b <<”是“1ba<”的充分条件．若“1b a <”，假设1a =-，3b =，则“1b a <”，得a b <且0a <，0b >，故“0a b <<”是“1ba<”的不必要条件；对于实数a ，b ，则“0a b <<”是“1ba <”充分不必要条件，故选A ．2．【答案】D【解析】由题意得42PF -=，6PF ∴=，负值舍去，所以选D ． 3．【答案】C【解析】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()10,1,2A -，()3,0,0B ，()13,0,2B ，()0,1,0C ，向量()13,1,2A B =-，()13,1,2B C =--，1111111cos 4222,2A B B C A B B C A B B C⋅===⨯⋅．本题选择C 选项． 4．【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域为ABC △边界及其内部，如图，由22030x y x y -+=+-=⎧⎨⎩，得4353x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，所以45,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭．作直线:20l x y +=，平移直线:20l x y +=．当直线:20l x y +=经过点45,33A ⎛⎫⎪⎝⎭时，2z x y =+取最大值．所以max 45142333z =+⨯=．故选C ． 5．【答案】A【解析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5，设首项为1a ，前n 项和为n S ，则由题意得()51511231512a S a -===-，∴1531a =，∴2352023131a =⨯=，即该女子第3天所织布的尺数为2031．故选A ． 6．【答案】B【解析】由()()3a b c a c b ac +++-=，可得222a c b ac +-=，根据余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-==，∵()0,πB ∈，∴π3B =．故应选B ．7．【答案】C【解析】在ABC △中，A B <，三角形中大边对大角，则a b <，由正弦定理可得2sin a R A =，2sin b R B =，2sin 2sin R A R B ∴<，sin sin A B ∴<，充分性成立，sin sin A B <，由正弦定理可得sin 2a A R =，sin 2b B R =，22a b R R∴<，则a b <，三角形中大边对大角，则A B <，必要性也成立，故选C ． 8．【答案】B【解析】∵抛物线方程为28y x =，∴焦点()2,0F ，准线l 方程为2x =-， ∵直线AF 的斜率为3AF 的方程为)32y x =--，由)232x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，可得A 点坐标为(2,43-，∵PA l⊥，A为垂足，∴P点纵坐标为43，代入抛物线方程，得P点坐标为()6,43，∴()628PF PA==--=．故选B．9．【答案】B【解析】以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以1DD为z轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,0,0D，()2,2,0B，()12,2,2B，()0,2,1E，∴()2,2,0BD=--，()10,0,2BB=，()2,0,1BE=-，设平面1B BD的法向量为(),,x y z=n，∵BD⊥n，1BB⊥n，∴22020x yz--==⎧⎨⎩，令1y=，则()1,1,0=-n，∴10cos,BEBEBE⋅==⋅〉〈nnn，设直线BE与平面1B BD所成角为θ，则10sin cos,BEθ=〈〉=n，故选B．10．【答案】A【解析】因为数列{}n a是等差数列，所以()1553552a aS a+==，因为44a=，515S=，所以()11345215a da d+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，解方程组得111ad==⎧⎨⎩，所以数列{}n a的通项公式为()111na n n=+-⨯=，所以()1111n na a n n+=⨯+，则2018111111223342017201820182019S=+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯1111112011111223342018201720981=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-12018120192019=-=，所以选A．11．【答案】C【解析】设M为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB∠≥∠=︒，即60AMO∠≥︒，因为tanaOMAb∠=，所以tan603ab≥︒=，3a b∴≥，()2223a a c≥-，2223a c∴≤，223e≥，6e≥，故选C．12．【答案】A【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，()0,0,0D，设()0,1,M t，()10,0,D z，)()3,0,00,0A z t z≥≥≠，，()10,1,MD z t=--，()3,1,AM t=-，1MD MA⊥，()110MD AM t z t∴⋅=-+-=，即1z tt-=，()()()12222222111113141222AMDS AM MD t z t t z t==+++-++-△()2222221114143415522222t t tt t t⎛⎫++=+++⨯=⎪⎝⎭，当且仅当2t=，32z=时取等号，所以132CC z==，故选A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】3-【解析】∵不等式220x px++<的解集是{}12x x<<，∴1和2是一元二次方程220x px++=的两个实数根，∴12p+=-，∴3p=-，故答案为3-．14．3【解析】tan3C22sin3cossin cos1CCC C⎧=+=⎪⎨⎪⎩，解得3sin C=，1133sin222ABCS ab C∴==⨯=△3．15．【答案】217【解析】CD CA AB BD =++，所以()()222222CD CA AB BDCA AB BD CA AB CA BD AB BD =++=+++⋅+⋅+⋅21636642068cos π011648683⎛⎫=++++⨯⨯+=-= ⎪⎝⎭，所以217CD =，故填217．16．【答案】13【解析】由题意得124F F =．设P 是两条曲线在第一象限内的交点，则12122623PF PF PF PF +=-⎧⎪⎨⎪⎩=，解得126363PF PF =+=⎧⎪⎨⎪⎩-．在12PF F △中，由余弦定理的推论得()()()()22222212121212636341cos 2326363PF PF F F F PF PF PF ++--+-∠===+-．答案13．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）2n n a =；（2）28n b n =-，27n S n n =-．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则3341216a a q q ==⨯=，解得：2q =，所以数列{}n a 的通项公式112n nn a a q-==．（2）设等差数列{}n b 的公差为d ，依题意由：838b a ==，20532b a ==，所以2081224d b b =-=，解得：2d =，又8117148b b d b +=+==，所以16b =-，所以数列{}n b 的通项公式()1128n b b n d n =+-=-，前n 项和公式()1272n n b b nS n n +==-．18．【答案】（1）60︒；（2）2c =．【解析】（1）三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a A b C c B =+，由正弦定理可知2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，可得()sin 2sin A B C =+，∴2A B C =+，又180A B C ++=︒，得60A =︒．（2）由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，可得231c c =-+，解得2c =．19．【答案】（1）24x y =；（2）20AB =．【解析】（1）2p =，∴抛物线的方程为24x y =．（2）直线l 过抛物线的焦点()0,1F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y x x y=+=⎧⎨⎩，消y 得2840x x --=，128x x ∴+=，()1212122212122420AB y y x x x x ∴=++=++++=++=或212120AB k x x =+-=．20．【答案】（1）见解析；（2）51938．【解析】（1）连接PC ，交DE 于N ，连接MN ，在PAC △中，M ，N 分别为两腰PA ，PC 的中点，MN AC ∴∥，又AC ⊄面MDE ，MN ⊂面MDE ，AC ∴∥平面MDE ．（2）以D 为空间坐标系原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,2P a ，(),,0B a a ，()0,2,0C a ，(),0,0A a ，2,0,22a a M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,2E a a ， (),,2PB a a a =-，(),,0BC a a =-，设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则()()()(),,,,20,,,,00x y z a a a x y z a a ⋅-=⋅-=⎧⎪⎨⎪⎩，即200x y z x y +⎧-=-+=⎪⎨⎪⎩，取1z =，则22,,1⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ，2,2,2a ME a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线ME 与法向量的夹角为θ，5254cos 19381922a ME ME a θ===⋅⨯⋅n n，直线ME 与平面PBC 51938． 21．【答案】（1）22143x y +=；（2）1t =．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有1c =，12c a =，又由222a b c =+，得2a =，3b =1c =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由22143y kx mx y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，消去y 得()2223484120k x kmx m +++-=，所以()()2222644344120Δk m k m =-+-=，即2234m k =+．设()00,P x y ，则024434km k x k m =-=-+，20043k y kx m m m m =+=-+=，即43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为()4,4Q k m +，所以43,kMP t mm ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()4,4MQ t k m =-+，由0MP MQ ⋅=恒成立可得，即()()2434,4,44310kk t t k m t t t m m m ⎛⎫--⋅-+=-++-= ⎪⎝⎭恒成立，故21430t t t =-+⎧⎨⎩=，所以1t =． 22．【答案】（1）见解析；（2）23．【解析】（1）证明：如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知2AD CD ==，22BC =，可得ABC △是等腰直角三角形，即AB AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥，又PAAC A =，所以AB ⊥平面PAC ，所以AB PC ⊥；（2）建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0A ，)2,2,0C ，()2,0D ，()0,0,2P ，)2,2,0B-，()0,2,2PD =-，()2,2,0AC =，()2,22AM t t =-，设()01PM tPD t =<<，则M 的坐标为()2,22t t -，设(),,x y z =n 是平面AMC 的一个法向量，则00AC AM ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，得()2202220x ty t z +=+-=，则可取21,t ⎛=- ⎝⎭n ，又()0,0,1=m 是平面ACD 的一个法向量，所以()()2221cos ,cos452221tt t t -⋅===︒⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭m n m n m n，23t =，23PM PD ∴=．。