[数学]导数应用的题型与方法
导数知识点各种题型归纳方法总结
导数的基础知识一．导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()limx yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx -=；11()'()'n n n x nx x---==-；1()'m mn n m x x n -== ③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =- ⑤()'x x e e = ⑥()'ln (0,1)x xa a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x =题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x = 3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（）三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。
考研数学-专题5 导数的概念及应用
f (x), x 0;
F
(
x)
0, x 0;
f (x), x 0;
若 f (0) 1, 则
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x
x0
x
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x0
则
lim ln[ f (x) ex ] ln 2
x0
x
从而 lim ln[ f (x) ex ] 0, lim f (x) f (0) 0,
x0
x0
当 x 0 时， ln[ f (x) ex ] ln[1 f (x) ex 1] ~ f (x) ex 1
则 lim ln[ f (x) ex ] lim f (x) ex 1 f (0) 1 ln 2
1
【例 2】已知 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim[ f (x) ex ]x 2, 则 f (0) （ ） x0
(A)不存在
(B)等于 e2 ,
(C)等于 2,
(D)等于 1 ln 2
1
ln[ f ( x)e x ]
【解】 由于 lim[ f (x) ex ]x lim e x 2
3
f (x0 n ) f (x0 ) f (x0 )n n
（其中 lim 0 ） n
f
( x0
n ) f (x0 n n
n)
f
(
x0
)
n n
n n
n n n n
n n n n n n
0
则 lim n
高中数学经典的解题技巧和方法(导数及其应用)
高中数学经典的解题技巧和方法(导数及其应用) 导数及其应用是高中数学考试的必考容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考容之一。
因此，针对这两个部分的容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。
好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。
首先，解答导数及其应用这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1•导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景。
(2 )理解导数的几何意义。
2 •导数的运算(1 )能根据导数定义求函数y C(C为常数),y x, y x2, y x3, y丄，y J X的导数。
x(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
(3)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax b)的复合函数)的导数。
3 •导数在研究函数中的应用(1 )了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)。
(2 )了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间了函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)4 •生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5 .定积分与微积分基本定理(1 )了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
(2 )了解微积分基本定理的含义。
好了，搞清楚了导数及其应用的基本容之后，下面我们就看下针对这两个容的具体的解题技巧。
一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1.利用导数研究曲线y f(x)的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。
2 .常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
2-2导数及其应用常考题型导数的运算法则 含解析
导数的运算法则【知识梳理】1．导数的四则运算法则（1)条件：f（x），g(x)是可导的．(2）结论：①f（x)±g（x)]′＝f′(x）±g′(x）．②f(x）g(x)］′＝f′(x)g(x)＋f（x)g′（x)．③错误!′＝错误!(g(x）≠0）．2．复合函数的求导公式（1）复合函数的定义：①一般形式是y＝f(g（x)）．②可分解为y＝f(u）与u＝g（x)，其中u称为中间变量．（2)求导法则：复合函数y＝f（g(x））的导数和函数y＝f(u），u ＝g(x)的导数间的关系为：y x′＝y u′·u x′.【常考题型】题型一、利用导数四则运算法则求导典例］求下列函数的导数：（1）y＝x2＋log3x;（2)y＝x3·e x；(3)y＝错误!。
解] (1）y′＝（x2＋log3x）′＝（x2)′＋（log3x)′＝2x＋错误!.（2）y′＝（x3·e x）′＝（x3)′·e x＋x3·（e x）′＝3x2·e x＋x3·e x＝e x（x3＋3x2）．（3)y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝－错误!。
【类题通法】求函数的导数的策略（1）先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．【对点训练】求下列函数的导数：（1）y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；（3)y＝e x sin x。
解：(1）y′＝（sin x－2x2)′＝(sin x)′－（2x2）′＝cos x－4x。
（2）y′＝（cos x·ln x)′＝(cos x）′·ln x＋cos x·（ln x)′＝－sin x·ln x＋错误!.（3）y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝错误!题型二、复合函数的导数运算典例］求下列函数的导数：（1）y＝错误!；(2）y＝e sin（ax＋b)；（3）y＝sin2错误!;(4)y＝5log2(2x＋1)．解] （1)设y＝u－错误!，u＝1－2x2，则y′＝（u－12）′ （1－2x2）′＝错误!·(－4x）＝－错误!（1－2x2)－错误!(－4x）＝2x(1－2x2）－错误!。
导数的应用 知识点与题型归纳
●高考明方向1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)★备考知考情由于高考对本节知识的考查仍将突出导数的工具性，重点考查利用导数研究函数极值、最值及单调性等问题，其中蕴含对转化与化归、分类讨论和数形结合等数学思想方法的考查，故备考时要认真掌握导数与函数单调性、极值的关系，强化导数的工具性的作用．另外，导数常与解析几何、不等式、方程相联系．因此，要加强导数应用的广泛意识，注重数学思想和方法的应用.....一、 知识梳理《名师一号》P41注意：定义域优先原则！！！第一课时 函数的导数与单调性知识点一 函数的导数与单调性的关系一般地，函数()y f x =在某个区间内可导：• 如果恒有()'0f x >，则 ()f x 是增函数。
• 如果恒有()'0f x <，则()f x 是减函数。
•如果恒有()'0f x =，则()f x 是常数。
注意：（补充）求函数单调区间的一般步骤：（1）求函数的定义域--单调区间必定是定义域的子集. （2）求函数的导数 （3）令()'0fx >以及()'0f x <,求自变量x 的取值范围，即函数的单调区间。
单调区间须写成区间！单调性的证明方法：定义法及导数法 单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性 (同增异减)、用已知函数的单调性等单调性的简单性质：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反.注意:《名师一号》P40 问题探究问题1、2对于可导函数f(x)，f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件吗？若不是，那其充要条件是什么？f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x ∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.由函数单调性确定参数取值范围的方法是什么？(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即利用“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．二、例题分析：(一)利用函数单调性确定函数的图象..例1.《名师一号》P42 高频考点例1 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()A B C D由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小，观察图象可知只有B符合．故选B.注意:《名师一号》P42 高频考点例1 规律方法已知y＝f′(x)的图象识别y＝f(x)的图象，关键是理解导函数的图象与函数图象的升降关系，本例中导函数y＝f′(x)的图象先递增后递减，且区间具有对称性，从而可得y＝f(x)图象的斜率变化情况也应该是先递增后递减，并注意图象的对称性，正确的选项就不难得到．注意：（补充）....一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快,这时函数的图像就比较陡峭(向上或向下); 反之,函数的图像就平缓一些(二) 求函数的单调区间 例1.(1)周练13-44. 函数5224+-=x x y 的单调递减区间为（ ）A.(]]1,0[,1,-∞-B.[)+∞-,1],0,1[C.[-1，1]D.[)+∞--∞,1),1,(例1.(2)周练13-16设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1，0<x <2π， 求函数f (x )的单调区间与极值．16.解: 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，知f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：..因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.例1.(3)《名师一号》P43 高频考点 例2已知函数f (x )＝ln x ＋kex (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值． (2)求f (x )的单调区间．解析：(1)由题意得f ′(x )＝1x －ln x －ke x，又f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1...(2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x2－1x <0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0， 从而f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．例2.（1）（补充）周练13-17设函数f （x ）=x 3－21ax 2+3x +5（a >0），求f （x ）的单调区间.17.解：（1）f '（x ）=3x 2－ax +3， 判别式Δ=a 2－36=（a －6）（a +6）.1°0<a <6时，Δ<0，f '（x ）>0对x ∈R 恒成立. ∴当0<a <6时，f '（x ）在R 上单调递增.2°a =6时，y =x 3－3x 2+3x +5=（x －1）3+4.∴在R 上单调递增...3°a >6时，Δ>0，由f '（x ）>0⇒x >6362-+a a 或x<6362--a a .f '（x ）<0⇒6362-+a a <x <6362--a a .∴在（63622-+a a ，+∞）和（－∞，6362--a a ）内单调递增，在（6362--a a ，6362-+a a ）内单调递减.例2.（2）（补充）周练13-18已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈． (1)当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；(2)当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间．18.（1）解：.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当所以曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率为3.e（2）22'()[(2)24].xf x x a x a a e =++-+解：.2232.220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论。
高中数学导数题型归纳总结
高中数学导数题型归纳总结高中数学中，导数是一个重要的概念，它是微积分的基础。
在考试中，导数题型往往是必考的内容。
为了帮助同学们更好地复习导数，下面对高中数学导数题型进行归纳总结。
1. 求函数的导数：这是最基本的导数题型，要求根据函数的定义求出其导数。
常见的函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 导数的四则运算：利用导数的基本性质，可以进行导数的四则运算。
例如，两个函数的和、差、积或商的导数可以通过分别求出函数的导数，然后利用四则运算的性质计算得到。
3. 链式法则：当函数是复合函数时，可以使用链式法则进行求导。
链式法则的基本思想是将复合函数分解为内层函数和外层函数，并利用导数的链式法则求出导数。
4. 隐函数求导：当一个函数的表达式中包含未知数的隐式关系时，可以利用隐函数求导的方法求出导数。
常见的隐函数求导题型包括求曲线的切线斜率、求极值等。
5. 参数方程求导：当函数由参数表示时，可以通过对参数方程进行求导，然后用参数方程的导数表达式消去参数，得到函数的导数。
6. 反函数求导：如果函数存在反函数，可以利用反函数求导的方法求出导数。
反函数求导的基本思想是将函数的自变量和因变量互换，然后求出反函数的导数。
7. 极限与导数：导数的定义中包含了极限的概念，所以在求导过程中经常需要应用极限的性质。
例如，使用极限的性质求出函数导数的极限，或者利用导数的定义证明极限存在等。
除了上述的题型，还有一些常见的应用题型，如最值问题、曲线的凹凸性、切线和法线方程等。
这些题型往往需要综合运用导数的概念和性质进行解答。
总之，高中数学导数题型的归纳总结包括基本的导数求法、导数的四则运算、链式法则、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导以及与极限的关系等。
通过对这些题型的理解和熟练掌握，可以帮助同学们更好地应对高中数学考试中的导数题目。
高中导数题所有题型及解题方法
高中导数题所有题型及解题方法一、导数的概念1.1 导数的定义•导数的定义公式：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ•导数表示函数在某一点的变化率1.2 导数的几何意义•函数图象在某一点的切线斜率•函数图象在某一点的局部线性近似二、导数的基本运算法则2.1 基本导数公式•常数函数：d dx (C)=0•幂函数：d dx (x n)=nx n−1•指数函数：ddx(a x)=a x ln(a)2.2 函数和、差、积、商的导数•和的导数：(u+v)′=u′+v′•差的导数：(u−v)′=u′−v′•积的导数：(uv)′=u′v+uv′•商的导数：(uv)′=u′v−uv′v2,其中v≠02.3 复合函数的导数•复合函数的求导公式：如果y=f(u)及u=g(x), 则dy dx =dy dududx三、导数的应用3.1 函数的单调性•若f′(x)>0，则函数f(x)在该区间上单调递增•若f′(x)<0，则函数f(x)在该区间上单调递减3.2 函数的极值与最值•极大值：若f′(x0)=0，且f″(x0)<0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极大值•极小值：若f′(x0)=0，且f″(x0)>0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极小值3.3 函数的拐点•拐点：若f″(x0)=0，则f(x)在x0处的图像有拐点3.4 函数的图像•函数图象的基本性质–若f′(x)>0，则函数的图像上的点随x的增大而上升–若f′(x)<0，则函数的图像上的点随x的增大而下降–若f″(x)>0，则函数的图像在该区间上凹–若f″(x)<0，则函数的图像在该区间上凸四、基础导数题型4.1 求导数•题型1：求函数的导数y=f(x)•题型2：求函数的高阶导数y(n)=f(x)4.2 高阶导数应用•题型1：求函数的极值和拐点•题型2：求函数在某点的切线方程•题型3：求函数的图像4.3 求解极值问题•题型1：求一定范围内函数的极大值和极小值•题型2：求满足一定条件的函数极值4.4 函数的单调性•题型1：判断函数的单调区间•题型2：填空题，填写使函数单调递增或递减的区间五、综合题型5.1 数学建模•题型1：利用导数求解实际生活中的问题5.2 物理应用•题型1：利用导数求解物理问题，如速度、加速度等5.3 函数的变化率•题型1：求函数在某点的变化率•题型2：求函数在某段区间的平均变化率六、总结本篇文章主要介绍了高中阶段导数相关的内容，包括导数的基本定义、几何意义、基本运算法则，以及导数在函数的单调性、极值与最值、图像以及物理应用中的运用。
高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧
高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧知识总结一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f （x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作，即。
二. 导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四. 推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：(1) 找出两类事物的相似性或一致性；(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3) 一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
高考数学各题型备考策略导数
高考数学各题型备考策略导数导数应用的题型与方法一、专题综述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中时期关于导数的学习，要紧是以下几个方面:1.导数的常规问题：(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。
2.关于函数特点，最值问题较多，因此有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
二、知识整合1.导数概念的明白得。
2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。
要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。
在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。
复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我专门重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清晰，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，如此能引起幼儿的注意。
当我发觉有的幼儿不用心听别人发言时，就随时夸奖那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们用心听，用心记。
平常我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，如此幼儿学得生动爽朗，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了经历，又进展了思维，为说打下了基础。
导数应用的题型与方法
作者：谢立荣
导数应用的题型与方法
一、考试内容
撰写人：谢立荣
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和
最小值。
二、考试要求
⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函
数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。
函数 f (x) 的极大值是 f (1) 0 ，极小值是 f (1) 4 ．
(3) 函数 g(x) 的图象是由 f (x) 的图象向右平移 m 个单位，向上平移 4 m 个单位得到的，
所以，函数 f (x) 在区间[3, n m] 上的值域为[4 4m, 16 4m] （ m 0 ）．
而 f (3) 20 ，∴ 4 4m 20 ，即 m 4 ．
3
益阳市箴言中学
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作者：谢立荣
当2 3
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又 f (1) 4, f (x) 在[－3，1]上最大值是
13。
（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又 f (x) 3x 2 2ax b, 由①知 2a+b=0。
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3 lim f (a 3h) f (a) 1 lim f (a h) f (a)
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2 h0
导数常见题型与解题方法总结
导数题型总结1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法-----结合图像分析5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。
例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.解:由函数得（1）在区间上为“凸函数”，则在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：分离变量法：∵当时, 恒成立,当时, 恒成立等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)∵当时在区间上都为“凸函数”则等价于当时恒成立变更主元法再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）例2：设函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.解：（Ⅰ）令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b.（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
上是增函数. （9分）∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系例3：已知函数图象上一点处的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
高考数学秘籍18法导数应用的题型与方法试题
智才艺州攀枝花市创界学校高考数学秘籍18法导数应用的题型与方法一、专题综述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：〔1〕刻画函数〔比初等方法准确细微〕；〔2〕同几何中切线联络〔导数方法可用于研究平面曲线的切线〕；〔3〕应用问题〔初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便〕等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或者函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合才能的一个方向，应引起注意。
二、知识整合 1．导数概念的理解．2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．复合函数的求导法那么是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法那么，接下来对法那么进展了证明。
3．要能正确求导，必须做到以下两点：〔1〕纯熟掌握各根本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法那么，复合函数的求导法那么。
〔2〕对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进展：(1〕适中选定中间变量，正确分解复合关系；〔2〕分步求导〔弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导〕；〔3〕把中间变量代回原自变量〔一般是x 〕的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代。
纯熟以后，可以略中间过程。
假设遇多重复合，可以相应地屡次用中间变量。
三、例题分析例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，那么=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f x b a x f x +=+→)(lim 11)1(=f ∴1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xy x =∆∆+→∆0lim ∴2=a 1-=b例2．f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求以下极限：〔1〕hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆；〔2〕h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不管△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。
高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法
高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数;两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1. 在区间上的最大值是22.已知函数处有极大值，则常数c= 6 ;3.函数有极小值-1 ,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1.曲线在点处的切线方程是2.若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为(1，0)3.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为4.求下列直线的方程：(1)曲线在P(-1,1)处的切线; (2)曲线过点P(3,5)的切线;解：(1)所以切线方程为(2)显然点P(3，5)不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为，所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有②，由①②联立方程组得，，即切点为(1，1)时，切线斜率为;当切点为(5，25)时，切线斜率为;所以所求的切线有两条，方程分别为题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1.已知函数的切线方程为y=3x+1(Ⅰ)若函数处有极值，求的表达式;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求函数在[-3，1]上的最大值;(Ⅲ)若函数在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围解：(1)由过的切线方程为：而过故由①②③得a=2，b=-4，c=5(2)当又在[-3，1]上最大值是13。
(3)y=f(x)在[-2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。
依题意在[-2，1]上恒有0，即①当;②当;③当综上所述，参数b的取值范围是教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
高中数学导数难题七大题型答题技巧全解析
高中数学导数难题七大题型答题技巧全解析，转给所有高中生
在考试过程中，很多高中生由于没有掌握适用的解题技巧，尤其是对相关的知识点掌握不够牢固的同学，只能放弃，今天，小编为大家总结了导数七大题型，帮助大家在高考数学中多拿一分，轻松拿下140+！
1 导数单调性、极值、最值的直接应用
2 交点与根的分布
3 不等式证明
（一）做差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
4 不等式恒成立求字母范围（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离参数
（三）恒成立之讨论字母范围
5 函数与导数性质的综合运用
6 导数应用题
7 导数结合三角函数。
导数常见题型与解题方法总结
导数常见题型与解题方法总结导数题型总结：1.分离变量：在使用分离变量时，需要特别注意是否需要分类讨论（大于0，等于0，小于0）。
2.变更主元：已知谁的范围就把谁作为主元。
3.根分布。
4.判别式法：结合图像分析。
5.二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系；（2）端点处和顶点是最值所在。
基础题型：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：1.令f'(x)=0，得到两个根。
2.画两图或列表。
3.由图表可知。
另外，变更主元（即关于某字母的一次函数）时，已知谁的范围就把谁作为主元。
例1：设函数y=f(x)在区间D上的导数为f'(x)，f'(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)<___成立，则称函数y=f(x)在区间D上为“凸函数”。
已知实数m是常数，f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62.1.若y=f(x)在区间[0,3]上为“凸函数”，求m的取值范围。
解法一：从二次函数的区间最值入手，等价于g(x)<0在[0,3]上恒成立，即g(0)<0且g(3)<0.因此，得到不等式组-3<m<2.解法二：分离变量法。
当x=0或x=3时，g(x)=-3<0.因此，对于0≤x≤3，g(x)<___成立。
根据分离变量法，得到不等式组-3<m<2.2.若对满足m≤2的任何一个实数m，函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b-a的最大值。
由f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62得到f'(x)=(-4x^3+3mx^2+6x)/62，f''(x)=(-12x^2+6mx+6)/62.因为f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”，所以f''(x)>0在(a,b)___成立。
因此，得到不等式组a≤x≤b和-12a^2+6ma+6>0，即a≤x≤b且m≤2或a≤x≤b且m≥1/2.由于m≤2，所以a≤x≤b且m≤2.根据变更主元法，将F(m)=mx-x^2+3视为关于m的一次函数最值问题，得到不等式组F(-2)>0和F(2)>0，即-2x-x^2+3>0且2x-x^2+3>0.解得-1<x<1.因此，b-a=2.Ⅲ）由题意可得，对任意x∈[1,4]，有f(x)≤g(x)代入g(x)得：x3+(t-6)x2-(t+1)x+3≥x3+(t-6)x2/2化___：x2(t-7/2)-x(t+1/2)+3≥0由于对于任意x∈[1,4]，不等式都成立，所以判别式≤0：t+1/2)2-4×3×(t-7/2)≤0化___：t2-10t+19≤0解得：1≤___≤9综上所述，a=-3，b=1/2，f(x)的值域为[-4,16]，t的取值范围为1≤t≤9.单调增区间为：$(-\infty,-1),(a-1,+\infty)$和$(-1,a-1)$。
《导数的定义与基础应用》题型归纳与训练
令 f '(x) 0 ，解得： x 1 或 x 1 .
当 x 变化时， f '(x) ， f (x) 的变化情况如下表：
x
(-∞，-1)
-1
(-1，1)
1
(1,+∞)
f '(x)
+
0
-
0
+
f (x)
↗
5
↘
1
↗
因此， x 1时， f (x) 有极大值，并且极大值为 f (1) 5 ；当 x 1 时， f (x) 有极
【答案】函数 f (x) 在区间[3,4] 上的最大值为 28 ，最小值为 4 .
3
3
【解析】(1) f '(x) x2 4 . 令 f '(x) 0 ，解得： x 2 或 x 2 .
当 x 变化时 f '(x) ， f (x) 的变化情况如下表：
x
-3
(-3,-2)
-2
(-2，2)
2
(2,4)
小值，并且极小值为 f (1) 1.
【易错点】极值是指的函数值，而非自变量 x 的值，定义要清楚
【思维点拨】用导数求函数极值的步骤
（1）求 f (x) ； （2）求出方程 f (x)=0 所有的根； （3）对于在函数 f (x) 定义域内的根，逐个进行检验：（建议列表） ①如果在根 x0 附近的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x) 0 ，那么 f (x0 ) 是极大值； ②如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x) 0 ，那么 f (x0 ) 是极小值．
【易错点】不能根据曲线的方程起初切线的斜率 【思维点拨】曲线在某点处的切线斜率，即在该点处导函数的函数值
高中数学常见题型解法归纳 导数的应用
高中数学常见题型解法归纳 导数的应用【知识要点】一、用导数求函数的单调区间求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ,得函数的单调递增（减）区间.一般地，函数()f x 在某个区间可导 ，'()f x ＞0 ⇒()f x 在这个区间是增函数 一般地，函数()f x 在某个区间可导 ，'()f x ＜0 ⇒()f x 在这个区间是减函数 二、求函数的极值的一般步骤先求定义域D ,再求导，再解方程()0f x '=（注意和D 求交集），最后列表确定极值.一般地，函数在()f x 点0x 连续时，如果0x 附近左侧()f x '>0，右侧()f x '<0，那么)(0x f 是极大值.一般地，函数在()f x 点0x 连续时，如果0x 附近左侧()f x '<0，右侧()f x '>0，那么)(0x f 是极小值. 三、用导数求函数的最值（1）设)(x f y =是定义在闭区间[],a b 上的函数，)(x f y =在(),a b 内有导数，可以这样求最值： ①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程0)(/=x f 在(),a b 内的根n x x x ,,,21 ）； ②比较函数值)(a f ，)(b f 与)(,),(),(21n x f x f x f ，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值.（2）如果是开区间(,)a b ，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后通过分析确定函数的最值. 【方法讲评】【例1】已知函数22()(1)x bf x x -=-,求导函数()f x ',并确定()f x 的单调区间.所以，当2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减，在(11)b -，上单调递增， 在(1)+∞，上单调递减．当2b >时，函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减． 当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减． 【点评】（1）求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式'()f x ＞（＜)0（不要带 等号），最后求二者的交集，把它写成区间.（2）注意分类讨论的思想.【反馈检测1】已知函数.)(.0),ln 2(2)(的单调性讨论x f a x a xx x f >-+-=【例2】已知函数()ln 3(0)f x x ax a =--≠. （1）求函数()f x 的极值；（2）若对于任意的[1,2]a ∈，若函数23'()[2()]2x g x x m f x =+-在区间(,3)a 上有最值，求实数m 的取值范围.（2）23'32()[2()]()22x m g x x m f x x a x x =+-=++-，∴'2()3(2)1g x x m a x =++-， ∵()g x 在区间(,3)a 上有最值，∴()g x 在区间(,3)a 上有极值，即方程'()0g x =在(,3)a 上有一个或两个不等实根，又'(0)1g =-，∴''()0(3)0g a g ⎧<⎪⎨>⎪⎩则题意知：对任意[1,2]a ∈，'22()3(2)1510g a a m a a a ma =++⋅-=+-<恒成立，∴21515a m a a a-<=-，因为[1,2]a ∈，∴192m <-，对任意[1,2]a ∈，'(3)26360g m a =++>恒成立∴62626233a m a -->=--，∵[1,2]a ∈，∴323m >-∴321932m -<<-. 【点评】（1）考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数学思想的考查，特别是问题（2）的设置很好的考查学生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力．函数在开区间内有最值等价于函数在该区间内有极值，故可转化为方程'()0g x =在(,3)a 上有一个或两个不等实根，通过数形结合，转化为'22()3(2)1510g a a m a a a ma =++⋅-=+-<恒成立，利用分离参数得解.【反馈检测2】设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．【例3】 已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为0∞(，+)， ()f x 的导数()1ln f x x '=+. 令()0f x '>，解得1ex >；令()0f x '<，解得10e x <<.从而()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在1e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+单调递增.所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1e-.故()g x 是(1)+∞，上的增函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =，所以a 的取值范围是(1]-∞，. 【点评】（1）如果是开区间(,)a b ，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值.（2）分离参数法是处理参数问题常用的方法，注意灵活运用.【反馈检测3】已知函数21()ln ,[,2]2a x f x x a R x x-⎛⎫=+∈∈ ⎪⎝⎭(Ⅰ)当1[2,)4a ∈-时, 求()f x 的最大值;(Ⅱ) 设2()[()ln ]g x f x x x =-⋅, k 是()g x 图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a ，使得1k <恒成立?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由.【例4】求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x （2）πxx 2sin >)2,0(π∈x（3）x x x x -<-tan sin )2,0(π∈x（2）原式π2sin >⇔x x 令 x x x f /sin )(= )2,0(π∈x 0cos >x 0tan <-x x ∴ 2)tan (cos )(x x x x x f -=' ∴ )2,0(π∈x 0)(<'x f )2,0(π↓ 因为ππ2)2(=f ∴ πxx 2sin >（3）令x x x x f sin 2tan )(+-= 0)0(=fxx x x x x x f 222cos )sin )(cos cos 1(cos 2sec )(+-=+-='因为)2,0(π∈x 0)(>'x f ∴ ↑)2,0(π∴ x x x x sin tan ->-【方法点评】证明函数不等式，一般先要构造函数，再利用导数研究函数的单调性、最值和极值等来解答.【反馈检测4】设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>． （Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．【例5 】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()(010),35kC x x x =≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.【点评】（1）本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.（2）理解函数f （x ）的含义并求出函数的表达式是此题的关键点.【反馈检测5】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米.（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？参考答案【反馈检测1答案】0a <≤()f x 在(0,)+∞上也是增函数；a >()f x 在上单调递增, 在是上单调递减, 在)+∞上单调递增.此时()f x 在上单调递增, 在是上单调递减, 在)+∞上单调递增.【反馈检测2答案】（Ⅰ）580x y +-=；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）证明见解析.【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）解：当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在3ax =处取得极小值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =． （2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3ax =处取得极大值3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：由3a >，得13a >，当[]10k ∈-，时，cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤． 由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤ 即22cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ①设2211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．【反馈检测3答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 存在7(,]4a ∈-∞符合条件.(Ⅱ)答: 存在7(,]4a ∈-∞符合条件.解: 因为2()[()ln ]g x f x x x =-⋅=3ax x -,不妨设任意不同两点111222(,),(,)p x y p x y ，其中12x x <则332212122111221212()()()y y a x x x x k a x x x x x x x x --+-===-++-- ,由 1k <知:a < 1+221122()x x x x ++.因为2222111222333124x x x x x x ≤<++<≤，所以1+221122()x x x x ++7,134⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故存在7(,]4a ∈-∞符合条件.【反馈检测4答案】（Ⅰ）()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+；（Ⅱ）证明见解析.【反馈检测4详细解析】（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x '=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22()10x F x x x x-'=-=>，， 列表如下：故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．【反馈检测5答案】（1）从甲地到乙地要耗油17.5升；（2）当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.【变式演练5详细解析】（1）若40x =千米/小时，每小时耗油量为7y =升/小时. 共耗油100717.540⨯=升.所以，从甲地到乙地要耗油17.5升.（2）设当汽车以x 千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少，()0120x <≤，耗油量为S 升. 则321001318001581280008012804S x x x x x ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭， 21800'640S x x =-， 令'0S =，解得，80x =. 列表：所以，当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.。
导数与微分题型与做题方法总结
导数与微分题型与做题方法总结目录1. 导数与微分题型概述 (3)1.1 导数的概念 (4)1.2 微分的概念 (4)1.3 导数与微分的联系 (4)2. 导数题型分类及解题方法 (5)2.1 一阶导数求法 (6)2.1.1 利用导数定义求导 (6)2.1.2 利用导数公式求导 (7)2.1.3 利用求导法则求导 (7)2.2 高阶导数求法 (7)2.2.1 利用高阶导数公式求导 (8)2.2.2 利用求导法则求高阶导数 (9)2.3 复合函数求导 (9)2.3.2 分部积分求导 (10)2.4 隐函数求导 (11)2.4.1 直接求导法 (12)2.4.2 对数求导法 (13)2.5 参数方程求导 (13)3. 微分题型分类及解题方法 (14)3.1 微分公式及运算 (15)3.1.1 微分的基本公式 (15)3.1.2 微分的运算规则 (16)3.2 微分在近似计算中的应用 (16)3.2.1 微分近似计算公式 (17)3.2.2 微分近似计算的步骤 (17)3.3 微分在经济学中的应用 (18)3.3.1 边际分析 (19)4. 导数与微分综合题型及解题技巧 (21)4.1 导数与微分的综合应用 (22)4.1.1 导数与微分在几何中的应用 (23)4.1.2 导数与微分在物理中的应用 (24)4.2 解题步骤及注意事项 (25)4.2.1 分析题意，确定题型 (26)4.2.2 选择合适的求导方法 (27)4.2.3 注意细节，避免错误 (28)5. 案例分析及解题思路 (29)5.1 一阶导数求法案例分析 (29)5.2 高阶导数求法案例分析 (30)5.3 复合函数求导案例分析 (30)5.4 隐函数求导案例分析 (31)5.5 参数方程求导案例分析 (32)5.6 微分公式及运算案例分析 (32)5.7 微分在近似计算中的应用案例分析 (33)5.8 微分在经济学中的应用案例分析 (33)6. 常见错误及注意事项 (34)6.1 求导过程中的常见错误 (34)6.2 微分运算中的常见错误 (36)6.3 注意事项总结 (37)7. 总结与展望 (38)7.1 导数与微分的重要性 (39)7.2 学习建议及展望 (40)1. 导数与微分题型概述导数和微分是数学中的重要概念，用于描述函数的变化率和通过微小变化对函数值的影响。
高二数学导数的定义及其几何意义的应用例题+方法总结+课后作业
导数的概念及几何意义知识点一、导数的概念1． 导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆， 当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim lim＝注意：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数． （4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近． （5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示．知识点二、导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示：当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．注意：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．知识点三、导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．题型一、导数定义的应用例1． 用导数的定义，求函数()y f x==x =1处的导数．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下： （1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； （2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； （3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2． 已知函数()24f x x=，求()f x '．【变式1】求函数y =在(0,)+∞内的导函数． 【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．例3（1）若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．题型二、求曲线的切线方程方法总结：1.求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率． （2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =． 2.求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立； （3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程．例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程．例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．例6.过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( )A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0【变式1】 已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线． 求切线方程．【变式2】已知曲线1y x=． （1）求曲线过点()10A ，的切线方程； （2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．题型三、导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．课后作业1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是3.设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a=A. 0B.1C.2D.34.若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=5.若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是6.在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=7.设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2) 8.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 9.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 110.已知点P 在曲线y=14x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是。
高二数学期末复习之三导数应用的题型与方法
高二数学期末复习之三导数应用的题型与方法第一部分．复习目标：1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2．熟记基本导数公式（c,x m (m 为有理数)，sin x, cos x, e x , a x, lnx, log a x 的导数）。
掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。
能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
4．了解复合函数的概念。
会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。
掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。
第二部分．内容小结：（Ⅰ）基础知识详析导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
4．曲线的切线在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如图3—1中的曲线C 是我们熟知的正弦曲线y=sinx ．直线1l 与曲线C 有惟一公共点M ，但我们不能说直线1l 与曲线C 相切；而直线2l 尽管与曲线C 有不止一个公共点，我们还是说直线2l 是曲线C 在点N 处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．5．瞬时速度在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．6．导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)．(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，x y ∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到f(x)在点0x 处的导数．(3)如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)取极限，得导数x y x f x ∆∆=→∆00lim)('。
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导数应用的题型与方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数
两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值
二、考试要求
（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。
x （2）熟记基本导数公式（c，x m (m为有理数)，sin x， cos x， e x， a x，ln x， log
a
的导数）。
掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
三、复习目标
1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数。
掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。
了解曲线的切线的概念。
在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念。
x 2．熟记基本导数公式（c，x m (m为有理数)，sin x， cos x， e x， a x， ln x， log
a
的导数）。
掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。
能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
4．了解复合函数的概念。
会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。
掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。
四、双基透视
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导
数的学习，主要是以下几个方面:
1．导数的常规问题：
（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；
（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；
（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
4．曲线的切线
在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如图3—1中的曲线C 是我们熟知的正弦曲线y =sin x 。
直线1l 与曲线C 有惟一公共点M ，但我们不能说直线1l 与曲线C 相切；而直线2l 尽管与曲线C 有不止一个公共点，我们还是说直线2l 是曲线C 在点N 处的切线。
因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义。
所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线。
5．瞬时速度
在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度。
6．导数的定义
导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以。