高三数学复习专题数形结合

专题讲座： 数形结合

一、填空题

例1曲线241x y -+=（22≤≤-x ）与直线()24-=-x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是 【答案】：53,124⎛⎤

⎥⎝

⎦ 【提示】曲线为圆的一部分，直线恒过定点M (2，4)，由图可得有两

个交点时k 的范围。

例2已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1,β=且αβα-与的夹角为120︒

，则α的

取值范围是 【答案】：23

03

α<≤

【提示】作出草图，由1

sin sin 60

B

α

︒

=

，故α=23sin 3B 又0120B ︒

︒

<<

0sin 1B ∴<≤，23

03

α∴<≤

例3已知向量(2, 0)OB =,(2, 2)OC =, (2cos , 2sin ),CA αα=则OA 与OB 夹角的范围为 【答案】：]12

5,12[

π

π 【提示】因2(cos ,sin ),CA αα=说明点A 的轨迹是以(2, 2)C 为圆心，2为半径的圆，如图，则OA 与OB 夹角最大是

5,4612πππ+=最小是4612

πππ

-=

例4若对一切R θ∈，复数(cos )(2sin )z a a i θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为

【答案】：55,55⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

【提示】复数的模2

2

(cos )(2sin )2z a a θθ=++-≤，可以借助单位圆上一点(cos ,sin )θθ-和直线2y x =的一点(,2)a a 的距离来理解。

x x

y

M

例5若11

||2

x a x -+≥对一切0x >恒成立，则a 的取值范围是

【答案】：(,2]-∞ 【提示】分别考虑函数1y x a =-和211

2

y x =-

+的图像

例6 已知抛物线()y g x =经过点(0,0)O 、(,0)A m 与点(1,1)P m m ++，

其中0>>n m ，a b <，设函数)()()(x g n x x f -=在a x =和b x =处取到极值，则n m b a ,,,的大小关系为 【答案】b n a m <<<

【提示】由题可设()(),(0)g x kx x m k =->，

则()()()f x kx x m x n =--，作出三次函数图象即可。

例7若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 【答案】：0k <或4k =

【提示】：研究函数1y kx =（10y >）和函数2

2(1),(1)y x x =+>-的图像

例8已知函数2 1

()(2) 1ax bx c x f x f x x ⎧++≥-=⎨--<-⎩

，其图象在点(1,(1)f )处的切线方程为

21y x =+,则它在点(3,(3))f --处的切线方程为 【答案】：230x y ++= 【提示】：由()(2)f x f x =--可得()f x 关于直线1x =-对称，画出示意图（略），(1,(1)f )和(3,(3))f --为关于直线1x =-的对称点，斜率互为相反数，可以快速求解。

例9直线1y =与曲线2

y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是__________

【答案】：514a <<

【提示】研究22,0

,0

x x a x y x x a x ⎧-+≥⎪=⎨++<⎪⎩，作出图象，如图所示．此曲线与y 轴

交于(0,)a 点，最小值为1

4

a -，要使1y =与其有四个交点，只需

114a a -<<，∴514

a <<

例10已知：函数()f x 满足下面关系：①(1)(1)f x f x +=-； ②当[]1,1x ∈-时，2

()f x x =.则方程()lg f x x =解的个数是

【答案】：9

【提示】：由题意可知，()f x 是以2为周期，值域为[0,1]的函数． 画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．又∵lg101=， ∴由图象可知共9个交点．

例11设定义域为R 函数⎩⎨⎧=≠-=1

01

1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程

0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是 【答案】：0,0c b =< 【提示】：由)(x f 的图象可知要使方程有7个解，应有0)(=x f 有3个解，0)(≠x f 有4个解。0,0<=∴b c

例12已知a 是实数，函数()22f x a x x a =+-，若函数()y f x =有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是_____________

【答案】：(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【提示】易知0,()0a f x ≠=由，即220a x x a +-=，变形得11

2x x a

-=-，分别画出函数112y x =-

，21

y x a

=-的图象(如图所示)，由图易知： 当101a <-<或1

10a

-<-<时，1y 和2y 的图象有两个不同的交点，

∴当1a <-或1a >时，函数()y f x =有且仅有两个零点。

例13已知1,1,m n ≥≥且2222log

log log ()log ()2a

a a a m n am an +=+-，(1)a >，则

log ()a mn 的最大值为

【答案】：222+

【提示】令log ,log a a x m y n ==，这时问题转化为：

22(1)(1)4,(0,0)x y x y -+-=≥≥，求x y +的最值．

例14函数246u t t =++-的值域是 【答案】：22,26⎡⎤⎣⎦

【提示】可令24,6x t y t =+=-消去

t

得：

22

216(04,022),

x y x y +=≤≤≤≤所给函数化为含参数u 的直线系

y ＝－x ＋u ，如图知min 22u =，当直线与椭圆相切于第一象限时u 取

最大值，此时由方程组22

216

y x u x y =-+⎧⎨+=，则22

342160x ux u -+-=，由026,u ∆=⇔=±因直线过第一象限，max 26u ∴=，故所求函数的值域为

22,26⎡⎤⎣⎦

y

22

4

x