高三数学复习专题数形结合
高三数学复习专题之一解析几何
高三数学复习专题之一----解析几何高考题目的分析解析几何是历届高考的热点和重点，它的基本特点是数形结合，是代数、三角、几何知识的综合应用.一般以四个小题、一个大题的结构出现，且大题往往是压轴题.纵观近几年高考试题有如下特征：(1)考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，判定直线的位置关系等题目，多以选择题、填空题形式出现；(2)中心对称与轴对称、充要条件多为基本题目；(3)考查圆锥曲线的基本知识和基本方法也多以选择题、填空题形式出现；(4)有关直线与圆锥曲线等综合性试题，通常作为解答题形式出现，有一定难度.一般情况是：给出几何条件，求曲线(动点的轨迹)方程；或利用曲线方程来研究诸如几何量的计算、直线与曲线的位置关系、最近(或最远)问题.但近几年的高考解析几何试题类型比较分散，每年都有不同.解题过程中的运算量有逐年降低的趋势，而解题过程中的思维量在增加.但万变不离其宗，常用的解题规律与技巧不变. 例①求圆锥曲线的有关轨迹方程时，要注意运用平面几何的基本知识特别是圆的知识，便于简化运算和求解；②在直线与圆锥曲线的有关问题中，要注意韦达定理和判别式的运用；③要注意圆锥曲线定义的活用.另外，解析几何的解答题也常在知识网络的交汇处出题，它具有一定的综合性，重点考察数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等能力.解析几何常与函数、不等式等建立联系.., ),0,1()3 ,)2 )1 , ,)0,(1:.12222222中点的轨迹方程求、为轴的端点为左准线的椭圆，其短为左焦点，以经过点设双曲线的方程；求双曲线截得的弦长为被直线若双曲线的值；的离心率求双曲线为等边，且右焦点两点、与两条渐近线交于右准线的离心率为设双曲线例BF F B l F C C ae b b ax y C e C PQF F Q P l e b a by a x C +=∆∆>=-. ),3 , 2(21的轨迹方程顶点求：当椭圆移动时其下为离心率，且过点轴为准线，以练习：设椭圆恰以P A x .)2( )1( 41)0,4( 02010.2222的方程求双曲线的渐近线方程；求双曲线上，又满足在线段点，且点轴交于两点，和、交于和双曲线，使的直线做斜率为过点相切，近线与圆的中心在原点，它的渐双曲线例G G PCPB PA AB P C y B A G l l P x y x G =⋅-=+-+最大值为多少？，多少时矩形的面积最大，当矩形的长与宽各是若矩形内接于曲线的方程求抛物线顶点轨迹轴为准线且以已知抛物线经过例 )2( ;)1( ),4,3(.3l l y A .)2( )1( )0,6( 8)0(2.42面积的最大值求求抛物线方程的垂直平分线通过定点又线段为焦点，且，、上有两动点设抛物线例AQB Q AB BF AF F B A p px y ∆=+>=。
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习(含答案解析)
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习（含答案解析）一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线():40l x m y +−=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤【答案】B【解析】x =()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +−=必过定点()0,4， 当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得m =当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点， 所以要使直线和曲线有两个交点，则0m ≤故选：B.2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x ，y 是实数，且22410x y x +−+=，则21y x ++的最大值是（ ）A B ．116C ．336D 【答案】D【解析】方程可化为()223x y −+=，表示以()2,021y x ++的几何意义是圆上一点与点A ()1,2−−连线的斜率，设21k y x =++，即()21y k x +=+，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB 时斜率最大.=k =，所以21y x ++故选：D ．3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()24f x x x =−.若函数()()()R g x f x m m =+∈，则函数()g x 的零点个数不可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()224(2)4f x x x x =−=−−,作出()f x 的图像如图：，故当0m =时，()()g x f x =有3个零点；当0m <或4m =时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有两个交点，则函数有2个零点； 当04m <<时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有4个交点，则函数有4个零点；由于()()g x f x m =+也为偶函数，结合()f x 图像可知，()()g x f x m =+不可能有1个零点， 故选：A4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨−<⎩， 若函数()()()g x f x f x =−−，则函数()g x 的零点个数为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】当0x >时，0x −<，()3f x x −=当0x <时，0x −>，()e xf x −−=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x −⎧−>⎪∴=−−==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x −=−−=−，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =−>，()3e 0x g x '=−>，令()3e 0x g x '=−>，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln3)3ln330g =−>，而()226e 0g =−<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞−上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数()f x 的定义域为(),1f x −R 为偶函数，当1x ≥−时，()31xf x −=−，则函数()()12g x f x =−的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】令310x −−≥解得0x ≤，令310x −−<解得0x >， 所以当1x ≥−时，()11,1033111,03xxxx f x x −⎧⎛⎫−−≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=−=⎨⎛⎫⎪−+> ⎪⎪⎝⎭⎩， ()1f x −为偶函数，所以()1f x −的图像关于y 轴对称，所以()f x 的图像关于直线=1x −轴对称， 故作出()f x 的图像如下，令()()102g x f x =−=，即()12f x =， 由图像可知，()f x 的图像与12y =的图像共有四个交点， 所以函数()()12g x f x =−的零点个数为4个.故选:D.6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)f x −是奇函数，当01x 剟时，有()f x =()(2021)y f x k x =−−的零点个数为5，则实数k 取值范围是（ ） A ．15<2<1kB ．16<3<1kC k k =D ．k <k 【答案】C【解析】∵偶函数()f x ，()()f x f x ∴−=，(1)f x −是奇函数，得(1)(1)f x f x −=−−−，即 ()(2)f x f x =−−−，(2)()f x f x −−−=−，得4T =，()(2021)0f x k x −−=，即()y f x =与(2021)y k x =−的图像交点的个数，因为4T =，即为()y f x =与(1)y k x =−的图像交点的个数，因为()f x =k 应该在1k 与2k 之间或为3k ，213k k k ==k k =故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln2,01ln 2ln 2,12xx f x x x ⎧<<⎪=⎨−+≤<⎪⎩，若存在02a b c <<<<使得()()()f a f b f c ==，则111ab bc ca++的取值范围是（ ） A ．20,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】∵()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤−+=−⎣⎦，∴ln 2y x =与()ln 2ln2y x =−+的图像关于直线1x =对称，作出()f x 的大致图像如图所示，易知2b c +=，由ln2ln2a b =，即ln 2ln 2a b −=，ln 40ab =，得14ab =， ∵112b <<，∴11124a<<，得1142a <<，∴()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a+++++++====−−. 设81t a =−， 则()1,3t ∈，111117184t ab bc ca t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭. 17t t+≥=t 故当()1,3t ∈时，令()1718h t t t +=+，()h t 单减，()()80136,33h h ==， 故1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A 二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yE a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A ．2160PF F ∠=，B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【答案】BCD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以212PF F π∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 正确；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BCD ．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F l 与抛物线交于,P Q 两点（P 在第一象限），以,PF QF 为直径的圆分别与y 轴相切于,A B 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．32||3PQ =B ．AB =C ．若M 为抛物线C 上的动点，(2,1)N ，则min (||||)4MF MN +=D ．若0(,M x 为抛物线C 上的点，则9MF = 【答案】ABC【解析】设直线PQ 的方程为：y x ﹣2），与28y x =联立整理可得：3x 2﹣20x +12=0，解得：x 23=或6，则P （6，，Q （23，；所以|PQ |=623++4323=，选项A 正确；因为F (2,0),所以PF ，QF 的中点分别为：（4，，（43，，所以A （0，，B （0，，所以|AB =， 选项B 正确；如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |=|ME |， 所以|MF |+|MN |=|ME |+|MN |≥NE =2+2=4，当N ，M ，E 三点共线时， |MF |+|MN |最小，且最小值为4，选项C 正确；对于选项D ，若0(M x 为抛物线C 上的点，则05x =，又4p =， 所以072pMF x =+=，选项D 错误. 故选：ABC.10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2BD CD ==，ABD △为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE与BF AF 的值可能为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．53【答案】AC【解析】由ABD △为等边三角形，取BD 的中点O ，连接AO ,则AO BD ⊥ 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD = 所以AO ⊥平面BCD ，由BD CD ⊥过O 作与CD 平行的直线为y 轴，分别以,OB OA 为,x z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为2BD CD ==，则()1,0,0B ，()()(1,0,0,1,2,0,D C A −−，所以12E ⎛− ⎝⎭．设()F a ，则12DE ⎛= ⎝⎭，()BF a =−，则28=13a =−或23a =−， 故1233AF AD ==或2433AF AD ==．故选：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知G 为ABC 的重心，60BAC ∠=︒，2AB AC ⋅=，则||AG uuu r的可能取值为（ ）A ．23B ．1CD ．32【答案】CD【解析】如图，G 是ABC 的重心，记,,AB c AC b AB a ===， 则2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+， 222222111()(2)(4)999AG AB AC AB AB AC AC b c =+=+⋅+=++，又1cos6022AB AC bc bc ⋅=︒==，即4bc =，所以2228b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以214(84)93AG ≥⨯+=．即233AG ≥CD 满足． 故选：CD ．12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（ ）A ．43B ．32C ．53D ．3【答案】BD【解析】如图，()AM MB AB AM λλ==−，1AM AB λλ∴=+，即1AB AM λλ+=，设AC t AN =，则11()333tAG AB AC AM AN λλ+=+=+， M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=−， 所以12AC AN λ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，AMN ∴与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯， 即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ−+=，解得32λ=或3. 故选：BD13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯，()b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=，(,a b 表示向量a ，b 的夹角)． 在正方体1111ABCD A B C D −中，有以下四个结论，正确的有（ ）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯ B ．111AC A D ⨯与1BD 共线C ．AB AD AD AB ⨯=⨯ D ．6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A ，设正方体的棱长为1，在正方体中1,60AB AC =︒，则111sin ,2AB AC AB AC AB AC ⨯===， 因为11//BD B D ，且1160AD B ∠=︒，所以1,120AD DB =︒，所以111sin ,2AD DB AD DB AD DB ⨯=== 所以11AB AC AD DB ⨯=⨯，所以A 正确；对于B ，1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B B B D B ⋂=，111,B B B D ⊂平面11BB D D ，11AC ⊥平面11BB D D ，因为1BD ⊂平面11BB D D ，所以111BD AC ⊥，同理可证11BD A D ⊥， 再由右手系知，111AC A D ⨯与1BD 同向，所以B 正确；对于C ，由a ，b 和a b ⨯构成右手系知，a b ⨯与b a ⨯方向相反， 又由a b ⨯模的定义知，sin ,sin ,a b a b a b b a a b b a ⨯===⨯， 所以a b ba ⨯=−⨯，则AB AD AD AB ⨯=−⨯，所以C 错误； 对于D ，正方体棱长为a ，266sin 456BC AC BC AC a a ⨯=⋅︒=⨯， 正方体表面积为26a ，所以D 对． 故选：ABD ．三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩.若关于x 的方程()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，则m 的取值范围___________.【答案】7,5⎛− ⎝⎭【解析】因为243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩，所以当0x ≤时，()243f x x x =++开口向上，对称轴为2x =−，()()min 21f x f =−=−，两零点为1,3x x =−=−；当0x >时，()411f x x =−+，则()f x 在()0,∞+上单调递减，零点为3x =，且()1f x >−； 由此作出()f x 的图像如图，.令()t f x =，则当13t −<<时，()t f x =有三个实数根，因为()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，所以()22110t m t m +−−+=必须有两个不等实根12,t t ，且()21,1,3t t ∈−，令()()2211g t t m t m =+−−+，则()()103021132Δ0g g m ⎧−>⎪>⎪⎪⎨−−<−<⎪⎪>⎪⎩，即()()()()212110932110621221410m m m m m m m ⎧−−−+>⎪+−−+>⎪⎨−<−<⎪⎪−−−+>⎩，解得75m −<<7,5m ⎛∈− ⎝⎭.故答案为：7,5⎛− ⎝⎭. 15．（2023春·全国·高一期末）已知函数241,1()log 3,1xx f x x x ⎧−⎪=⎨+>⎪⎩…集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=−++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M 中有3个元素，则实数t 的取值范围为________．【答案】{|0t t =或1}2t ≥【解析】令()f x m =，记21()(2)2g m m t m t =−++的零点为12,m m ，因为集合M 中有3个元素，所以()f x 的图像与直线12,y m y m ==共有三个交点，则，12001m m =⎧⎨<<⎩或12101m m =⎧⎨<<⎩或12001m m >⎧⎨<<⎩当10m =时，得0=t ，212m =，满足题意； 当11m =时，得12t =，212m =，满足题意；当12001m m >⎧⎨<<⎩时，(0)01(1)1202g t g t t =>⎧⎪⎨=−−+<⎪⎩，解得12t >. 综上，t 的取值范围为{|0t t =或1}2t ≥.故答案为：{|0t t =或1}2t ≥16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30,12=︒=A b ，若ABC 有两解，写出a 的一个可能的值为__________．【答案】7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一） 【解析】由于满足条件的ABC 有两个，则sin b A a b <<，即612a <<.故答案为：7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）．17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数()314f x x m π⎛⎫=++− ⎪⎝⎭在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则1232x x x ++=______． 【答案】53π−【解析】令()0f x =314x m π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故()314f x x m π⎛⎫++− ⎪⎝⎭的零点为函数()314g x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭与函数y ＝m 交点的横坐标，作出函数g (x )在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的大致图像：令3()42x k k πππ+=+∈Z ，解得()123k x k ππ=+∈Z ， 令1k =−，得4x π=−，则由图知2322=4x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭，令2k =−，得712x π=−，则由图知12772=126x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭， 故123752263x x x πππ++=−−=−． 故答案为：53π−﹒18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线22:14x y C m −=与直线2y x =无交点，则m 的取值范围是_____． 【答案】(]0,16【解析】依题意，由22:14x y C m −=可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为y =，因为双曲线C 与直线2y x =无交点，所以直线2y x =应在两条渐近线上下两部分之间，2≤，解得016m <≤，即(]0,16m ∈. 故答案为：(]0,16..。
高三数学专题复习 函数(4)函数求参数范围问题解决方法及针对性练习 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校芝罘区数学函数求参数范围问题解决方法及针对性练习2021年高三专题复习-函数专题〔4〕一、变换“主元〞思想，适用于一次函数型处理含参不等式恒成立的某些问题时，假设能适时的把主元变量和参数变量进行“换位〞思考，往往会使问题降次、简化。
例1.对于满足04≤≤p 的一切实数p ，不等式x 2+px>4x+p-3恒成立，求x 的取值范围．分析：习惯上把x 当作自变量，记函数y= x 2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p []4,0∈时y>0恒成立，求x 的范围．假设把x 与p 两个量互换一下角色，即p 视为变量，x 为常量，那么上述问题可转化为在[0,4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x 2-4x+3，当x=1显然不满足题意．由题设知当04≤≤p 时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x 2-4x+3>0且x 2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x 的取值范围为x>3或x<-1． 例2．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x恒成立，求x 的取值范围。
答案：),3()1,(+∞-∞ 。
例3．假设不等式)1x (m 1x 22->-，对满足2m 2≤≤-所有的x 都成立，求x 的取值范围。
答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-231271， 注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为⎩⎨⎧>>0)(0)(βαf f 。
二、别离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行别离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
例1．假设对于任意角θ总有sincos 22410θθ++-<m m 成立，求m 的范围．〔注意分式求最值得方法〕分析与解：此式是可别离变量型，由原不等式得m (cos )cos 242θθ+<，又cos θ+>20，那么原不等式等价变形为222m <+cos cos θθ恒成立．即2m 必须小于cos cos 22θθ+的最小值，问题化归为求cos cos 22θθ+的最小值．因为cos cos 22θθ+2cos 4)2(cos 4)2(cos 2+++-+=θθθ4cos 24440cos 2θθ=++-≥-=+ 即cos θ=0时，有最小值为0，故m <0．例2．函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
高考数学复习----《数形结合》典型例题讲解
高考数学复习----《数形结合》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，()2sin h x x x =+的零点分别为a ，b ，c 则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】D【解析】由()2sin 0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由()0f x =得2x x =−，由()0g x =得2log x x =−.在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、y x =−的图像， 由图像知a<0，0b >，a c b ∴<<.故选：D例2、（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c −−+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a −−−−⇒+=+−=−，故令()e e x x f x −=−，则()e e c c f c −=−，()e e a a f a −=−．易知1e ex x y −=−=−和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数． ∵2e e a a −−<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a −−−−=−>−，即()()f c f a >，则0c a >>．易知222log 3log log 2b =+>，2log 2c c =−，作出函数2log y x =与函数2y x =−的图像，如图所示，则两图像交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．例3、（2023·全国·高三专题练习）已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】令()()ln ,0x f x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x −'=>， 由()0f x ¢>，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0x f x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减； 因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln e πe<， 所以eln ππln e <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 在同一坐标系中作出xy =与y x =的图像，如图：由图像可知在()2,4中恒有x x >， 又2π4<<，所以ππ>， 又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以e πe πe π=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A例3、（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()lng x x =，()31h x x =−的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（ ）A ．αβ≥B ．αβ>C ．αβ≤D ．αβ<【答案】D【解析】∵()ln g x x =，则()1g x x'=， 由题意可得：1ln a α=， 令()1ln G x x x=−，则α为()G x 的零点， 可知()G x 在定义域()0,∞+内单调递增，且()()1110,e 10eG G =-<=->， ∴()1,e α∈；又∵()31h x x =−，则()23h x x '=， 由题意可得：3213ββ−=，令()3231H x x x =−−，则β为()H x 的零点，()()23632H x x x x x '=−=−，令()0H x '>，则0x <或2x >，∴()H x 在(),0∞−，()2,+∞内单调递增，在()0,2内单调递减，当(),2x ∈−∞时，()()010H x H ≤=−<，则()H x 在(),2−∞内无零点， 当[)2,x ∞∈+时，()()310,4150H H =−<=>，则()3,4β∈， 综上所述：()3,4β∈；故αβ<.故选：D.。
高三数学专题复习11：数形结合思想
专题十一 数形结合思想一、考点回顾1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
二、经典例题剖析1．选择题（1）设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ） A ．(][)11--+∞，，∞B ．(][)10--+∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞解析：因为()g x 是二次函数，值域不会是A 、B ，画出函数()y f x =的图像（图1）易知，当()g x 值域是[)0+，∞时，(())f g x 的仁政域是[)0+，∞，答案：C 。
数形结合思想在函数中的运用
题型四、与数形结合有关的综合问题
例 4：已知函数 f ( x) lg x ，若存在互不相等的实数 a ， b ，使得
f (a) f (b) ，求 ab 的值.
lg x , 0 x 10 变式：已知函数 f ( x) 1 ，若实数 a, b, c 互 x 6, x 10 2
题型二、比较数的大小问题
例 2：若 a 30.6 ， b log3 0.6 ， c 0.6 3 ，则 a, b, c 的大小关系为 （用“ ”连接）
变式：已知函数 f ( x) 2x x ， g ( x) x log2 x ， h( x) x3 x 的 零点分别为 a, b, c ，则 a, b, c 的大小关系为 .
镇江市实验高级中学2014届高三数学二轮复习
数形结合思想在函数中的运用
数形结合是通过“以形助数” （将所研究的代数问题转化 为研究其对应的几何图形）或“以数解形” （借助数的精确性 来阐明形的某种属性） ，把抽象的数学语言与直观的图形结合 起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来， 解决问题的一种数学思想方法.它能使抽象问题具体化，复杂 问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导和调节 作用.
.
题型三、求函数的最值与参变量的范围问题
1 例 3：记 min a, b 为 a , b 两数的最小值.若 t min x, ，则 2x
t 的最大值为
变式：已知函数 y
.
x 1
2
x 1
的图象与函数 y kx 2 的图象恰有两个 .
交点，则 k 的取值范围为
具体地说,数形结合的基本思路是:根据数的结构 特征,构造出与之相应的几何图形,并利用图形的特性 和规律,解决数的问题；或将图形信息全部转化为代数 信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论.
2-1-18直接对照型、概念辨析型、数形结合型
第十八讲 直接对照型、概念辨析型、数形结合型
数学（理） 第12页 新课标· 高考二轮总复习
好方法好成绩
1.直接对照法： 直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已 知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等 基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而 直接得出正确结论，然后对照题目所给出选项“对号入 座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计 算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由 因导果，直接求解．
数学（理） 第4页 新课标· 高考二轮总复习
考情分析
选择题的知识覆盖面广、概括性强、题型灵活多变， 每道选择题所考查的知识点的个数一般为2～5个，因此 选择题考查的知识点可达到40多个，这是其他题型难以 考查到的．
数学（理） 第5页 新课标· 高考二轮总复习
考情分析
2．选择题的解答原则和要求 选择题属于客观性试题，同填空题一样属于“小 题”．其解题的基本原则是：小题小做，不能小题大做， 力争小题巧做．
数学（理） 第21页 新课标· 高考二轮总复习
类型二 【例 2】
概念辨析法 已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
给出下列条件：①a＝kb(k∈R)；②x1x2＋y1y2＝0；③(a ＋3b)∥ (2a－b)；④a· b＝|a||b|；⑤x2y2＋x2y2≤2x1x2y1y2. 1 2 2 1 其中能够使得 a∥b 的个数是( A．1 C．3 B．2 D．4 )
x
1 x f(x)＝ ， 在同一坐标系下分别 2
1 x y＝ 的图象，如图所示．可以发现其 2 1 x f(x)＝ 有两个实数根．故选 2
图象有两个交点，因此方程 C.
[答案]
《“数形结合”思想在高中数学中的应用》ppt课件
B. 2个 D. 1个或2个或3个
6
一.与方程有关的问题
例1 已知0 a 1，则方程a|x| | log a x |的实根个数为Ｂ()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 1个或2个或3个
解析：判断方程的根的个数就是判断图象 y a|x|与y | loga x |
的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交 点．故方程有2个实根，选（B）。
高三数学第二轮专题复习
“数形结合”思想 在高中数学中的应用
1
x1 x
考题热身
r
已知向量a (cos 75o,sin 75o),
r
b (cos15o,sin15o),
x1 x
rr
求 a b 的值等于多少？
rr 答案：a b 1
2
数形结合思想
复习目标
数学：数量关系、空间形式 数形结合：以形助数、以数解形 复杂问题简单化、抽象问题具体化
值范围
答案
2. 已知复数z满足6|、z 2 2i | 2则，|z|的最大值为
答案
3.若关于x的方程x 2 – 4|x| + 5 = m有四个不相等的实根 则实数m的取值范围为____ 答案
4.若不等式 4x x2 (a 1)x 的解集为A，且A {x | 0x
2}，求a的取值范围。 答案
22
1.若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,求常数 k的取值范围 {k|k≥4或k<0}
解析：方程lg(kx)=2lg(x+1)的解 等价于两线交点
y=kx, (y>0)
如图：
y
y=(x+1)2 , (x>-1)
2006年福建省数学科高三冲刺演练 数形结合 人教版重点
2006年福建数学科高三冲刺演练 数形结合1. 数形结合是根据数量与图形的对应关系，通过“以形助数”、“以数解形”，使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，兼取了形的直观、数的严谨。
2. 应用数形结合解题思想的渠道主要有：⑴解几中点与坐标、曲线与方程、距离与有关根式、区域（区间）与不等式的对应；⑵函数与它的图像及有关的几何变换；⑶三角函数线的概念，复数的几何意义；⑷与解三角形有关的计算；⑸集合的图示法、数轴的应用；3. 数形结合通常有以下几种方式：⑴借助数轴解不等式；⑵借助韦恩图解有关集合问题；4. ⑶借助距离的几何意义解题；⑷借助斜率和截距的几何意义解题；⑸借助函数的图像解题；⑹借助轨迹方程解题；5. 函数y ＝sinx|cotx|（0＜x ＜）的图像的大致形状是（ B ）1. 将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：①a→的坐标可以是（－3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a →的坐标可以是（－3，0）或（0，6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．42. 若点P （1，1）和Q(2，2)到直线l ：2 (a 2－2a)x ＋2 (b 2＋4b)y ＋15＝0的距离相等，且分别在l 的两侧，则a ＋b ＝______.解：把P 、Q 的中点代入直线得054222=+++-b b a a ，故a ＝1、b ＝－2，∴a ＋b ＝－1。
3. 当sin2x ＞0时，求不等式)13(log )152(log 21221+--x x x 的解集。
解：先解出对数不等式－4＜x ＜3或5＜x ＜7，由图象得3-- x π或72 x π。
4. 已知5x ＋12y ＝60，求22y x +的最小值。
解：1360。
5. 不查表求sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°的值。
3-25数形结合思想
高考专题训练二十五 数形结合思想班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分_______一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716解析：设P 到l 1的距离为d 1，P 到l 2的距离为d 2，由抛物线的定义知d 2＝|PF |，F (1,0)为抛物线焦点，所以d 1＋d 2＝d 1＋|PF |.过F 作FH ⊥l 1于H ，设F 到l 1的距离为d 3，则d 1＋|PF |≥d 3.当且仅当H ，P ，F 三点共线时，d 1＋d 2最小，由点到直线距离公式易得d 3＝105＝2.答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：如图所示，根据直线与渐近线斜率的大小关系：ba ＝c 2－a 2a ＝e 2－1≥3，从而e ≥2.答案：C3．已知OB→＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA→与OB →的夹角的取值范围为( ) A ．[0，π4]B ．[π4，512π]C ．[512π，π2]D ．[π12，512π]解析：如图，在以O 为原点的平面直角坐标系中，B (2,0)，C (2,2)，A 点轨迹是以2为半径的圆C ，OD ，OE 为⊙C 的切线，易得∠COB ＝π4，∠COD ＝∠COE ＝π6，当A 点位于D 点时，OA →与OB →的夹角最小为π12，当A 点位于E 点时，OA →与OB →的夹角最大为512π，即夹角的取值范围为[π12，512π]．答案：D4．函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π3与y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －73π⎝ ⎛⎭⎪⎫76π≤x ≤53π的图象和两直线y ＝±3所围成的封闭区域的面积为( )A ．8πB ．6πC ．4πD ．以上都不对解析：∵函数y ＝3cos(2x －73π)＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43π＋π3.∴y ＝3cos(2x －73π)的图象是将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移43π个单位得到的．由画图可知，所围成的区域的面积为43π×6＝8π.答案：A5．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧1|x －2|(x ≠2)，1 (x ＝2).若关于x的方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0有3个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则下列说法中错误的是( )A ．x 21＋x 22＋x 23＝14B ．1＋a ＋b ＝0C ．x 1＋x 3＝4D ．x 1＋x 3>2x 2解析：作出f(x)的图象，图象关于x＝2对称，且x＝2时，f(x)＝1，故f(x)＝1有3个不同实数根x，除此之外，只有两个根或无根．又f2(x)＋af(x)＋b＝0有3个不同的实数解x1<x2<x3，x2＝2，而x1＋x3＝2x2＝4.又f(x)＝1，1|x－2|＝1，x1＝1，x3＝3，故A，B，C正确．答案：D6．若函数f(x)＝log a x－x＋a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为()A．0<a<1 B．a>1C．a>0且a≠1 D．1<a<2解析：设函数y＝log a x(a>0且a≠1)和函数y＝x－a，则函数f(x)＝log a x－x＋a有两个零点，就是函数y＝log a x(a>0且a≠1)与函数y ＝x－a有两个交点，由图象可知当0<a<1时，两函数只有一个交点，不符合；当a>1时，函数y＝log a x图象过点(1,0)，而直线y＝x－a 与x轴交点(a,0)在点(1,0)右侧，所以一定有两个交点，故a>1.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．设有一组圆C k：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四个命题：A．存在一条定直线与所有的圆均相切B．存在一条定直线与所有的圆均相交C．存在一条定直线与所有的圆均不相交D．所有的圆不经过原点其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)解析：假设圆经过原点，则有(0－k＋1)2＋(0－3k)2＝2k4，即2k4－10k 2＝－2k ＋1，而上式左边为偶数，右边为奇数，故矛盾，所以D 正确．而所有圆的圆心轨迹为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k －1，y ＝3k ，即y ＝3x ＋3.此直线与所有圆都相交，故B 正确．由于圆的半径在变化，故A ，C 不正确．答案：BD8．当0≤x ≤1时，不等式sin π2x ≥kx ，则实数k 的取值范围是________．解析：在同一坐标系下，作出y 1＝sin π2x 与y 2＝kx 的图象，要使不等式sin π2x ≥k π成立，由图可知需k ≤1. 答案：k ≤19．函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx 在[－1,2]上是单调减函数，则a ＋b的最小值为________．解析：∵y ＝f (x )在区间[－1,2]上是单调减函数， ∴f ′(x )＝x 2＋2ax －b ≤0在区间[－1,2]上恒成立． 结合二次函数的图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a －b ≤0，4＋4a －b ≤0也即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b －1≥0，4a －b ＋4≤0.作出不等式组表示的平面区域如图：当直线z ＝a ＋b 经过交点P (－12，2)时，z ＝a ＋b 取得最小值，且z min ＝－12＋2＝32.∴z ＝a ＋b 取得最小值32.答案：32点评：由f ′(x )≤0在[－1,2]上恒成立，结合二次函数图象转化为关于a ，b 的二元一次不等式组，再借助线性规划问题，采用图解法求a ＋b 的最小值．10．用计算机产生随机二元数组成区域⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－2<y <2.对每个二元数组(x ，y )，用计算机计算x 2＋y 2的值，记“(x ，y )”满足x 2＋y 2<1为事件A ，则事件A 发生的概率为________．解析：本题为几何概型问题，应转化为图形的面积比求解．如图，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－2<y <2及(x ，y )满足x 2＋y 2<1的平面区域．∴P (A )＝π8.答案：π8三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)若关于x 的方程x 2＋2kx ＋3k ＝0的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围．解：令f (x )＝x 2＋2kx ＋3k ，其图象与x 轴交点的横坐标就是方程f (x )＝0的解，由y ＝f (x )的图象(如图)可知，要使两根都在－1,3之间，只需f (－1)>0，f (3)>0，f ⎝⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝f (－k )<0，－1<－k <3同时成立，解得－1<k <0，故k ∈(－1,0)．12．(13分)(四川)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，右准线为l ，M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0.(1)若|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，求a 、b 的值；(2)求证：当|MN |取最小值时，F 1M →＋F 2N →与F 1F 2→共线． 解：由a 2－b 2＝c 2与e ＝ca ＝22，得a 2＝2b 2.F 1(－22a,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，l 的方程为x ＝2a .设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)则F 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a ，y 1，F 2N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，y 2 由F 1M →·F 2N →＝0得 y 1y 2＝－32a 2<0①(1)由|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫322a 2＋y 21＝25 ② ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋y 22＝25 ③由①②③三式，消去y 1，y 2，并求得a 2＝4故a ＝2， b ＝22＝ 2.(2)证明：|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝6a 时，|MN |取最小值6a .此时，F 1M →＋F 2N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a ，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，y 2 ＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→. 故F 1M →＋F 2N →与F 1F 2→共线．。
2012届高三数学第二轮复习《数形结合思想》专题三
2012届高三数学第二轮复习【数形结合】专题三 数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
题型一数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式解集的问题中的应用【例题1】① 已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时， f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是 ；A ．5B ．7C ．9D ．10② 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则f (x )－f (－x )x<0的解集为 ； A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)题型二 数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用【例题2】已知a 是实数，函数f (x )＝2a |x |＋2x －a ，若函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是__________________．题型三 数形结合思想在几何中的应用【例题3】已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．题型三 数形结合思想在向量中的应用 【例题4】已知,a b 为不共线的向量，设条件:()M b a b ⊥- ；条件:N 对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥- 恒成立．则M 是N 的________条件．1．方程sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝14x 的实数解的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．以上均不对2．设函数,021(),0x x f x x x -≤⎧-=⎨>⎩，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是 ( ) A.(-1,1) B.(-1，+∞) C.(-∞，-2)∪(0，+∞) D.(-∞，-1)∪(1，+∞)3．在R 上的偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2，则 ( )A ．f (sin 12)<f (cos 12)B ．f (sin π3)>f (cos π3)C ．f (sin 1)<f (cos 1)D ．f (sin 32)>f (cos 32) 4．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到 直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( )A ．2B ．3 C.115 D.37165．不等式x 2－log a x <0，在x ∈(0，12)时恒成立，则a 的取值范围是 ( ) A ．0<a <1 B ．116≤a <1 C ．a >1 D ．0<a ≤1166．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )， 则abc 的取值范围是 ( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 7．不等式组00x y x y x a +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积是4，则y x +2的最小值为 .8．在ABC ∆中，4,3AB AC ==，G 为外心，则AG BC ⋅ 的值为________．9(1)k x ≤+的解集为区间[,]a b ,且1=-a b ,则k = .10．已知实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积；(2)b －2a －1的取值范围；(3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．2012届高三数学第二轮复习【数形结合】解答【例题1】解答：(1)由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．又∵lg 10＝1，故当x >10时，无交点．∴由图象可知共9个交点．(2) ∵f (x )为奇函数，∴f (x )－f (－x )＝2f (x )画出y ＝2f (x )的大致图象．则f (x )与x 异号的区间 ∴解集为(－1,0)∪(0,1)，故选D.【例题2】解析 易知a ≠0，f (x )＝0，即2a |x |＋2x －a ＝变形得|x |－12＝－1a x ，分别画出函数y 1＝|x |－12，y 2＝－1ax 当0<－1a <1或－1<－1a<0时，y 1和y 2∴当a <－1或a >1时，函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【例题3】(14，－1) 【例题4】【解析】 方法一：构造直角三角形OAB ，其中a ＝OA →，b ＝OB →，xb ＝OD →，则a －b ＝BA →，由b ⊥(a －b )得∠ABO ＝90°，当点D 与点B 不重合时，由斜边大于直角边得 |a －xb |>|a －b |，当点D 与点B 重合时|a －xb |＝|a －b |，反之也成立，M 是N 的充要条件．方法二：将不等式|a －xb |≥|a －b |两边平方后转化为b 2x 2－2()a ·b x ＋2a ·b －b 2≥0对于任意实数x 恒成立，Δ＝4()a ·b 2－4b 2()2a ·b －b 2＝4()b 2－a ·b 2≤0，即b 2－a ·b ＝0，b (b －a )＝0，所以有b ⊥(a －b )．1．解析：分别作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4和y ＝14x 的图象如图： 由图象知方程的实数解有3个．2．解析 方法二 首先画出函数y ＝f (x )与y ＝1的图象(如图)，解方程f (x )＝1，得x ＝－1，或x ＝1.由图中易得f (x 0)＞1时，所对应x 0的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．解析 由f (x )＝f (x ＋2)知T ＝2为f (x )的一个周期，设x ∈[－1,0]，知x ＋4∈[3,4]， f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2，画出函数f (x )的图象，如图所示：sin 12<cos 12⇒f (sin 12)>f (cos 12)； sin π3>cos π3⇒f (sin π3)<f (cos π3)； sin 1>cos 1⇒f (sin 1)<f (cos 1)；sin 32>cos 32⇒f (sin 32)<f (cos 32)．故选C. 4．解析 记抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，则F (1,0)，注意到直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，于是抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 2的距离等于|PF |，问题即转化为求抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离与它到焦点F (1,0)的距离之和的最小值，结合图形，可知，该最小值等于焦点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即等于|4×1－3×0＋6|5＝2，5．解析 B.6．解析 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．7．解析 当抛物线2y x z =-+与直线0x y +=相切时，z 最小联立20y x z x y ⎧=-+⎨+=⎩，得20x x z --=，min 11404z z ∆=+=⇒=-． 8．11(2)()22AG BC AB AC GO BC AB AC BC ∴⋅=+-⋅=+⋅ 22117()()()222AB AC AC AB AC AB =+⋅-=-=- .9．解 令1y =)1(2+=x k y .其示意图如图8-3:若0k >,要满足21y y ≤,则2=b ,此时1=a .从而k ==若0k <,要满足21y y ≤,则2-=a .则11-=+=a b ,从而k 不存在.10．解 方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b >0，a ＋2b ＋1<0，a ＋b ＋2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0.解得A (－3,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋2＝0，b ＝0.解得B (－2,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0b ＝0.解得C (－1,0)．∴在如图所示的aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．(1) △ABC 的面积为S △ABC ＝12×|BC |×h ＝12(h 为A 到Oa 轴的距离)． (2) b －2a －1几何意义是点(a ，b )和点D (1,2)连线的斜率．∵k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1， 由图可知k AD <b －2a －1<k CD ，∴14<b －2a －1<1，即b －2a －1∈(14，1)． (3) ∵(a －1)2＋(b －2)2表示区域内的点(a ，b )与定点(1,2)之间距离的平方，∴(a －1)2＋(b －2)2∈(8,17)．。
2022届高考数学一轮专题复习之数形结合(含解析)
数形结合 A 组一、选择题1. 函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f (x )=a 有且只有一个实根，那么a 满足( )A.a <0B.0≤a <1C.a =1D.a >1答案：C解析 ：由图知a =1时，图象只有一个交点，故选C.2.已知函数f (x )＝x 2＋e x－12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1eB.()－∞，eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e答案：B解析：由题意可得，当x >0时，y ＝f (－x )与y ＝g (x )的图象有交点，即g (x )＝f (－x )有正解，即x 2＋ln(x ＋a )＝(－x )2＋e －x－12有正解，即e－x－ln(x ＋a )－12＝0有正解，令F (x )＝e －x－ln(x ＋a )－12，则F ′(x )＝－e －x－1x ＋a<0，故函数F (x )＝e －x－ln(x ＋a )－12在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g (x )＝f (－x )有正解，则存在正数x 使得F (x )≥0，即e －x－ln(x ＋a )－12≥0，所以a ≤1e 2e x x ---，又y ＝1e 2e x x ---在(0，＋∞)上单调递减，所以a <1e 02e 0---＝12e ，选B.3.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 答案：B解析.根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离.因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.4.设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x)≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( ) A.34π B.35π C.47π D.π2答案：D 解析：因为对于集合A ，(y －x )⎝⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0，其表示的平面区域如图.对于集合B ，(x －1)2＋(y －1)2≤1表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆及其内部区域，其面积为π.由题意意知A ∩B 所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y ＝1x与直线y ＝x 将圆(x －1)2＋(y －1)2＝1分成S 1，S 2，S 3，S 4四部分.因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与y ＝1x的图象都关于直线y ＝x 对称，从而S 1＝S 2，S 3＝S 4，而S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝π，所以S 阴影＝S 2＋S 4＝π2.二、填空题5.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称.若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________.答案：(210，＋∞) 解析 由已知得h x ＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2，3x ＋b >4－x 2恒成立.在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b10>2，即b >210，故答案为(210，＋∞).6．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．【解析】 ∵|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )，得a 2＝5c 2，∴e ＝c a ＝55.【答案】 55三、解答题7.已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.(2)g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2（x ＋1）（x －1）x.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，∴当g ′(x )＝0时，x ＝1.当1e <x <1时，g ′(x )>0； 当1<x <e 时，g ′(x )<0.故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g (e)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是g (e)．g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0， 解得1<m ≤2＋1e2，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.8.已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m 25－1. 解 法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x . 从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z ). (2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5). ②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。
高三数学数形结合的解题方法与技巧分析
高三数学数形结合的解题方法与技巧分析数学与数形结合是高中阶段数学学习中一个非常重要的话题，通过数学和数形相结合可以更好地理解和记忆数学概念和定理，提高解题能力和创新思维水平。
本文将从以下两个方面来分析高三数学数形结合解题的方法与技巧：一、数形结合的优势数学和数形结合的主要优势在于能够直观地展现数学概念和定理，帮助学生更深入地理解数学知识。
在解题中利用数形结合的方法，可以让学生通过对图形的观察、分析和推理，更深层次地理解和应用数学概念和定理。
比如，在解决立体几何问题时，如果能够将模型构建完整，按照比例缩小，将其投影到二维平面上，然后在平面图形中寻找和应用几何知识，就可以更好地促进学生对几何学和代数学的理解和融合。
此外，数形结合的方法也能够激发学生解题的兴趣和好奇心，吸引他们积极参与学习过程，探索数学的奥秘。
在具体解题时，数形结合也有一些具体的方法和技巧，下面简单介绍一下：1. 绘制图形。
在解决几何问题时，首先要绘制出几何图形，并标注出已知条件和需求，这可以帮助我们更好地理解和分析问题。
2. 利用运动方法。
在解决三角函数、立体几何等问题时，可以运用类似“旋转”、“平移”等运动方法，来变换图形的形态，使问题更加清晰、简单。
3. 利用相似与比例。
在解决几何和代数相关的问题时，可以利用相似性和比例关系，将问题转化成易于计算和解决的形式。
4. 利用投影与视角。
在解决立体几何问题时，可以利用三视图或进行透视投影，将三维的情形转变为平面图形，在平面图形中进行理解和计算。
5. 利用变量与方程。
在解决代数问题时，可以引入变量，建立数学模型，并用方程或不等式来描述问题，进而求解未知量。
总之，数学和数形结合有着不可替代的优势和方法，通过分析和应用这些方法和技巧，可以提高学生的解题能力，促进学生的数学思维的发展。
同时，学生也需要不断地锻炼和实践，确保数学和数形结合这种方法真正落地并取得成效。
高三数学一轮复习资料基础知识归纳整理
高三数学一轮复习：根底学问归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2.数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素及集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 〔2〕德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.〔3〕A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=留意：探讨的时候不要遗忘了φ=A 的状况. 〔4〕集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空真子集有2n –2个.4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数及导数1．映射：留意: ①第一个集合中的元素必需有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义〔斜率、间隔 、 肯定值的意义等〕；⑧利用函数有界性〔xa 、x sin 、x cos 等〕；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: 〔1〕复合函数定义域求法：① 假设f(x)的定义域为［a ，b ］,那么复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 假设f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.〔2〕复合函数单调性的断定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为根本函数：内函数)(x g u =及外函数)(u f y = ②分别探讨内、外函数在各自定义域内的单调性③依据“同性那么增，异性那么减〞来推断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域〔最值〕、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
高三数学第二轮《数形结合》公开课教案
华侨中学高三数学（理科）第二轮复习专题：数形结合思想教学地点：厦门一中集美分校高三（4）班授课教师：华侨中学王磊【思想方法概述】数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等.对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效. 从2015年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数” •预测2016年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法.复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系.1 •数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.2 •运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则.在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞•有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应.（2）双方性原则•既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错.（3）简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合•具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3 •数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点(1) 集合的运算及Venn 图； (2) 函数及其图象；(3) 数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； (4) 方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可； (6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的 问题，可通过函数的图象求解(函数的 零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用.4 •数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填 空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和 速度•具体操作时，应注意以下几点：(1) 准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2) 用图象法讨 论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法， 值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调 整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解；(3) 在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相 关的计算和推理论证.【变式】设点P(x, y)为圆x 2 y 2 1上的动点.(1)求(x 2)2 (y 1)2的取值范围(2)求x y 的取值范围；(3)求丄」的取值范围x 2【规律方法】如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形 所谓的几何法求解，比较常见的对应有：(1) y = kx + b 中k 表示直线的斜率，b 表示直线在y 轴上的截距. b — n(2) 表示坐标平面上两点(a , b) , (m , n)连线的斜率. a — m⑶(a — m ) 2+( b — n ) 2表示坐标平面上两点(a , b) , (m , n)之间的距离.只要具有一定的观察能力， 再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法.【例题2】已知0 a 1.则方程a |x| |log a x|的实根个数为 ________________________【例题1】•【2015课标全国I 理15】若x, y 满足约束条件x 1 0x y 0，则I 的最大值xx y 4 0结合的方法来解题，即【变式】已知关于x的方程x2 4x 5 m有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为_________【规律与总结】抽象的数学问题通过图象的直观性获得解题思路，以形辅数。
高三数学第二轮专题讲座复习：数形结合思想
张喜林制[选取日期]高三数学第二轮专题讲座复习：数形结合思想高考要求数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 重难点归纳应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化 （1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合典型题例示范讲解例1设A ={x ｜–2≤x ≤a }，B ={y ｜y =2x +3，且x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，且x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将C ⊆B 用不等式这一数学语言加以转化错解分析 考生在确定z =x 2，x ∈［–2,a ］的值域是易出错，不能分类而论 巧妙观察图象将是上策 不能漏掉a ＜–2这一种特殊情形技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决解 ∵y =2x +3在［–2, a ］上是增函数∴–1≤y ≤2a +3，即B ={y ｜–1≤y ≤2a +3}作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜a 2≤z ≤4}要使C ⊆B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥21与–2≤a ＜0矛盾 ②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图可知必须且只需⎩⎨⎧≤≤≥+20432a a 解得21≤a ≤2③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}，要使C ⊆B 必须且只需⎩⎨⎧>+≤2322a a a 解得2＜a ≤3 ④当a ＜–2时，A =∅此时B =C =∅，则C ⊆B 成立综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］ 例2已知a cos α+b sin α=c , a cos β+b sin β=c (ab ≠0,α–β≠k π, k ∈Z )求证22222c o sb a +=-βα 命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题证明:在平面直角坐标系中，点A （cos α,sin α）与点B （cos β, sin β）是直线l :ax +by =c 与单位圆x 2+y 2=1的两个交点如图从而 ｜AB ｜2=(cos α–cos β)2+(sin α–sin β)2=2–2cos(α–β) 又∵单位圆的圆心到直线l 的距离22||ba c d +=由平面几何知识知｜OA ｜2–(21｜AB ｜)2=d 2即 b a c d +==---2224)cos(221βα∴22222cos ba c +=-βα 例3曲线y =1+24x - (–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围解析 方程y =1+24x -的曲线为半圆，y =r (x –2)+4为过（2，4）的直线答案 （43,125］ 例4设f (x )=x 2–2ax +2,当x ∈［–1,+∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围 解法一 由f (x )＞a ，在［–1,+∞)上恒成立 ⇔x 2–2ax +2–a ＞0在［–1,+∞)上恒成立考查函数g (x )=x 2–2ax +2–a 的图象在［–1,+∞］时位于x 轴上方 如图两种情况不等式的成立条件是(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)(2)⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<≥∆0)1(10g a a ∈(–3,–2]， 综上所述a ∈(–3,1)解法二 由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 值（即直线的斜率）分别为1，–3， 故直线l 对应的a ∈(–3,1) 学生巩固练习1 方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 以上均不对2 已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )A α＜a ＜b ＜βB α＜a ＜β＜bC a ＜α＜b ＜βD a ＜α＜β＜b3(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是4 已知集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当A B 时，则a 的取值范围是5 设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在（0,π）内有相异解α、β（1）求a 的取值范围； （2）求tan(α+β)的值6 设A ={(x ,y )｜y =222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –3)2=a 2,a ＞0},且A ∩B≠∅，求a 的最大值与最小值 参考答案1 解析 在同一坐标系内作出y 1=sin(x –4π)与y 2=41x 的图象如图答案 B2 解析 a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐标系中作出函数f (x )、g (x )的图象如图所示 答案 A3 解析 联想到距离公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,1–2t )点A的几何图形是椭圆，点B 表示直线 考虑用点到直线的距离公式求解 答案227 4 解析 解得A ={x ｜x ≥9或x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，画数轴可得 答a ＞35 解 ①作出y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知当｜–2a ｜＜1且–2a ≠23时，曲线与直线有两个交点， 故a ∈(–2,–3)∪(–3,2)②把sin α+3cos α=–a ,sin β+3cos β=–a 相减得tan 332=+βα， 故tan(α+β)=36 解 ∵集合A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a 为半径的半圆；集合B 中的元素是以点O ′(1,3)为圆心，a 为半径的圆 如图所示∵A ∩B ≠∅，∴半圆O 和圆O ′有公共点 显然当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小2a +a =｜OO ′｜=2,∴a min =22–2当半圆O 与圆O ′内切时，半圆O 的半径最大，即2a 最大此时2a –a =｜OO ′｜=2,∴a max =22+2。
高中数学数形结合性质教案
高中数学数形结合性质教案
一、目标：
1. 掌握数学与几何图形结合的相关性质；
2. 学会运用相关性质解决实际问题；
3. 提高数学思维能力和逻辑推理能力。
二、教学内容：
1. 数学与几何图形的关系；
2. 数形结合性质的应用。
三、教学重点和难点：
1. 认识数学与几何图形的关系；
2. 运用数形结合性质解决问题。
四、教学方法：
1. 讲授和示范结合；
2. 练习和讨论结合。
五、教学流程：
1. 引入：通过展示一些具有数学特征的几何图形，引导学生发现数学与几何图形的联系；
2. 讲解：介绍数形结合的基本概念和性质，并举例说明；
3. 练习：让学生进行相关练习，巩固所学知识；
4. 拓展：给学生一些实际问题，引导他们运用所学知识解决问题；
5. 总结：总结数学与几何图形结合的性质，并强调应用。
六、教学辅助工具：
1. 几何图形模型；
2. 教学PPT。
七、作业布置：
1. 完成课上练习题；
2. 完成一定数量的相关练习题目。
八、教学反馈：
1. 随堂检测学生对于数形结合性质的理解情况；
2. 收集学生作业，及时反馈学习成果。
九、教学评价：
通过学生的课堂表现和作业情况，评价教学效果，及时调整教学方向，提高教学质量。
数形结合专题(张松)
课题：数形结合专题上课学校 上海市大团高级中学 上课班级 高三（8）班（物理班） 指教教师 张松 上课时间 2012-2-28教学设计教学目标1、知识目标：函数、函数图像、曲线、方程相关概念，性质；2、能力目标：数形结合能力；函数、方程思想；3、情感目标：勇于探究未知事物的思维品质 教学重点和难点 培养勇于探究未知事物的思维品质 教学模式 合作探究 教学设计思路1、研究观察高考题的知识，能力要求；2、反思要想达到高考要求，需要哪些知识和能力方面的要求；3、热身训练；4、小结与反思；5、高考真题实战演练；6、深化与探究；7、小结与反思 教学过程 【高考题观察】（2005理10）函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________（2006理11）若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ．（2008理11）方程210x +-=的解可视为函数y x =+的图像与函数1y x=的图像交点的横坐标。
若方程440x ax +-=的各个实根12,,(4)k x x x k ≤所对应的点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14,x x i （i =1，2，…，k ）均在直线y x =的同侧，则实a 的取值范围是____________（2009理11）当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sin π成立，则实数k 的取值范围是___________（2010理17）若0x 是方程31)21(x x =的解，则0x 属于区间 [答]（ ）（A ）（1,32）. （B ）（32,21）. （C ）（21,31） （D ）（31,0）【知识技能的准备】1、掌握函数基本性质（定义域、值域、奇偶性、单性、周期性、最值）2、会画基本函数图像（一次，二次函数；幂、指、对数函数；三角函数；(,0)by ax a b x=±>）3、熟练掌握图像变换相关知识（平移、对称变换；();()y f x y f x ==）4、熟练掌握作图基本步骤，技巧（利用对称性(1)(1)f x f x +=-，周期性(1)(1)f x f x +=-；先画0x >部分图像）5、掌握圆锥曲线的图像和性质（圆，椭圆，双曲线，抛物线）6、 函数，方程思想：解方程()0f x =就是求函数()y f x =当函数值为零时自变量x 的值；求方程()()f x g x =的根或根的个数就是求函数()y f x =与()y g x =的图像的交点或交点个数；7、零点：一般的地，对于函数()()y f x x D =∈，如果存在实数()c c D ∈，当x c =时，()0f c =，那么就把x c =叫做函数()()y f x x D =∈的零点 【热身训练】1、已知方程210x x a -+-=有四个根，求a 的取值范围。
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专题讲座： 数形结合一、填空题例1曲线241x y -+=（22≤≤-x ）与直线()24-=-x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是 【答案】：53,124⎛⎤⎥⎝⎦ 【提示】曲线为圆的一部分，直线恒过定点M (2，4)，由图可得有两个交点时k 的范围。
例2已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1,β=且αβα-与的夹角为120︒，则α的取值范围是 【答案】：2303α<≤【提示】作出草图，由1sin sin 60Bα︒=，故α=23sin 3B 又0120B ︒︒<<0sin 1B ∴<≤，2303α∴<≤例3已知向量(2, 0)OB =,(2, 2)OC =, (2cos , 2sin ),CA αα=则OA 与OB 夹角的范围为 【答案】：]125,12[ππ 【提示】因2(cos ,sin ),CA αα=说明点A 的轨迹是以(2, 2)C 为圆心，2为半径的圆，如图，则OA 与OB 夹角最大是5,4612πππ+=最小是4612πππ-=例4若对一切R θ∈，复数(cos )(2sin )z a a i θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为【答案】：55,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【提示】复数的模22(cos )(2sin )2z a a θθ=++-≤，可以借助单位圆上一点(cos ,sin )θθ-和直线2y x =的一点(,2)a a 的距离来理解。
x xyM例5若11||2x a x -+≥对一切0x >恒成立，则a 的取值范围是【答案】：(,2]-∞ 【提示】分别考虑函数1y x a =-和2112y x =-+的图像例6 已知抛物线()y g x =经过点(0,0)O 、(,0)A m 与点(1,1)P m m ++，其中0>>n m ，a b <，设函数)()()(x g n x x f -=在a x =和b x =处取到极值，则n m b a ,,,的大小关系为 【答案】b n a m <<<【提示】由题可设()(),(0)g x kx x m k =->，则()()()f x kx x m x n =--，作出三次函数图象即可。
例7若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 【答案】：0k <或4k =【提示】：研究函数1y kx =（10y >）和函数22(1),(1)y x x =+>-的图像例8已知函数2 1()(2) 1ax bx c x f x f x x ⎧++≥-=⎨--<-⎩，其图象在点(1,(1)f )处的切线方程为21y x =+,则它在点(3,(3))f --处的切线方程为 【答案】：230x y ++= 【提示】：由()(2)f x f x =--可得()f x 关于直线1x =-对称，画出示意图（略），(1,(1)f )和(3,(3))f --为关于直线1x =-的对称点，斜率互为相反数，可以快速求解。
例9直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是__________【答案】：514a <<【提示】研究22,0,0x x a x y x x a x ⎧-+≥⎪=⎨++<⎪⎩，作出图象，如图所示．此曲线与y 轴交于(0,)a 点，最小值为14a -，要使1y =与其有四个交点，只需114a a -<<，∴514a <<例10已知：函数()f x 满足下面关系：①(1)(1)f x f x +=-； ②当[]1,1x ∈-时，2()f x x =.则方程()lg f x x =解的个数是【答案】：9【提示】：由题意可知，()f x 是以2为周期，值域为[0,1]的函数． 画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．又∵lg101=， ∴由图象可知共9个交点．例11设定义域为R 函数⎩⎨⎧=≠-=1011lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是 【答案】：0,0c b =< 【提示】：由)(x f 的图象可知要使方程有7个解，应有0)(=x f 有3个解，0)(≠x f 有4个解。
0,0<=∴b c例12已知a 是实数，函数()22f x a x x a =+-，若函数()y f x =有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是_____________【答案】：(－∞，－1)∪(1，＋∞)【提示】易知0,()0a f x ≠=由，即220a x x a +-=，变形得112x x a-=-，分别画出函数112y x =-，21y x a=-的图象(如图所示)，由图易知： 当101a <-<或110a-<-<时，1y 和2y 的图象有两个不同的交点，∴当1a <-或1a >时，函数()y f x =有且仅有两个零点。
例13已知1,1,m n ≥≥且2222loglog log ()log ()2aa a a m n am an +=+-，(1)a >，则log ()a mn 的最大值为【答案】：222+【提示】令log ,log a a x m y n ==，这时问题转化为：22(1)(1)4,(0,0)x y x y -+-=≥≥，求x y +的最值．例14函数246u t t =++-的值域是 【答案】：22,26⎡⎤⎣⎦【提示】可令24,6x t y t =+=-消去t得：22216(04,022),x y x y +=≤≤≤≤所给函数化为含参数u 的直线系y ＝－x ＋u ，如图知min 22u =，当直线与椭圆相切于第一象限时u 取最大值，此时由方程组22216y x u x y =-+⎧⎨+=，则22342160x ux u -+-=，由026,u ∆=⇔=±因直线过第一象限，max 26u ∴=，故所求函数的值域为22,26⎡⎤⎣⎦y224x例15已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：①对任意的x R ∈都有(4)()f x f x +=；②对任意的1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③(2)y f x =+的图象关于y 轴对称.则(4.5),(6.5),(7)f f f 的大小关系是 【答案】：(4.5)(7)(6.5)f f f <<.【提示】由①：4T =；由②：()f x 在[]0,2上是增函数；由③：(2)(2)f x f x -+=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称.由此，画出示意图便可比较大小.例16关于曲线C ：221x y --+=的下列说法：①关于原点对称；②关于直线0x y +=对称；③是封闭图形，面积大于π2；④不是封闭图形，与圆222x y +=无公共点；⑤与曲线D ：22x y +=的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的序号是 【答案】：①②④⑤【提示】研究曲线C ：221x y --+=的图像，与坐标轴没有交点，不是封闭图形，且2x →+∞ 时，21y →；2y →+∞时21x →，作出草图即可二、解答题例17设a a >≠01且，试求方程)(log )(log 222a x ak x a a -=-有解时k 的取值范围：【提示】将原方程化为log ()log a a x ak x a -=-22∴-=-x ak x a 22，且x ak x a ->->0022， 令y x ak 1=-，它表示倾角为45︒的直线系，y 10>令y x a 222=-，它表示焦点在x 轴上，顶点为()()-a a ，，，00的等轴双曲线在x 轴上方的部分，y 20> 原方程有解 ∴两个函数的图象有交点，由图像知->ak a 或-<-<a ak 0 ∴<-<<k k 101或k ∴的取值范围为()()-∞-，，101例18已知函数),2,(12131)(23-≥∈+++=b R b a bx ax x x f 且、当]2,2[-∈x 时，总有0)(≤'x f .（Ⅰ）求函数f (x )的解析式；（Ⅱ）设函数)(6)(3)(2R m x mx x f x g ∈-+-=，求证：当]1,0[∈x 时，1|)(|≤'x g 的充要条件是31≤≤m .【提示】（Ⅰ）由条件，得b ax x b x a x x f ++=+⋅+⋅='22221331)(， 当]2,2[-∈x 时，总有0)(≤'x f ，结合2()f x x ax b '=++的图像，所以有⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤'≤-'.022,022.0)2(,0)2(b a b a f f 由①+②得，2024-≤⇒≤+b b ，又2b ≥-，∴2b =-，把2b =-代入①和②得 .0.0,0.0222,0222=⇒⎩⎨⎧≤≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--a a a a a 因此1231)(3+-=x x x f（Ⅱ）36)1231(3)(2323-+-=-++--=mx x x mx x x x g ，mx x x g 23)(2+-='是关于x 的二次函数，借助()y g x '=的图像（略）当]1,0[∈x 时，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤='≤≤≤+-='⇔≤';13|)3(|,130,1|23||)1(|1|)(|2m m g m m g x g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤='>≤+-=';10|)0(|,13,1|23||)1(|g mm g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤='<≤+-='.10|)0(|,03,1|23||)1(|g m m g 解得，31≤≤m 因此，当]1,0[∈x 时，1|)(|≤'x g 的充要条件是31≤≤m例19已知函数2()3f x x x =-，[]0,x m ∈，其中m R ∈，且0m >. (1) 如果函数()f x 的值域是[]0,2，试求m 的取值范围；(2) 如果函数()f x 的值域是20,m λ⎡⎤⎣⎦，试求实数λ的最小值．【提示】先考虑2()3f x x x =-，0x ≥的情形则333,(03)()3,(3)x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩当03x ≤≤时，由2()330f x x '=-=得1x =，所以()f x 在[]0,1上是增函数，在1,3⎡⎤⎣⎦上是减函数．当3x >时，由2()330f x x '=->，所以()f x 在)3,⎡+∞⎣上是增函数．所以当0,3x ⎡⎤∈⎣⎦时，函数()f x 的最大值是(1)2f =，最小值是(0)(3)0f f ==① ②从而01m <<均不符合题意，且13m ≤≤均符合题意．当3m >时，在0,3x ⎡⎤∈⎣⎦时，[]()0,2f x ∈；在(3,x m ⎤∈⎦时，[]()0,()f x f m ∈．这时()f x 的值域是[]0,2的充要条件是()2f m ≤，即332m m -≤，，解得32m <≤.综上所述，m 的取值范围是[]1,2(2)由(1)知，①当01m <<时，函数()f x 的最大值是3()3f m m m =-，由题意知323m m m λ-=，即3m mλ=-，容易得()m λ是减函数，故λ的取值范围是()2,+∞；②当12m ≤≤时，函数()f x 的最大值是(1)2f =，由题意知，22m λ=，即22m λ=且是减函数，故λ的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③当2m >时，函数()f x 的最大值是3()3f m m m =-，由题意知，323m m m λ-=，即3m m λ=-且是增函数，故λ的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，λ的最小值是12，且此时2m =.例20已知函数1)(2-=x x f ，|1|)(-=x a x g .⑴若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； ⑵若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，求实数a 的取值范围；⑶求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演算．．．．．．步骤．．）. 【提示】（1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a <.（2）（2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥① 当1,22aa >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.② 当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a-上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.③ 当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a-上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.④ 当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a-上递减，在[,1]2a ，[,2]2a-上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递增，在[1,2]上递减， 故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.综上，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +；当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +； 当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.。