截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式教程文件

A
zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
3
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三、组合截面的面积矩和形心位置的确定
面积矩：
n
Sy = ∑Ai zci
i=1
n
Sz = ∑Ai yci
i=1
n
形心位置： yc
=
Sz A
∑Ai yci
=
i=1 n
∑Ai
i=1
n
zc
=
Sy A
=
∑Ai zci
i=1 n
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作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
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若为空心截面呢？（d/D）求Iy与Iz
（作业题）
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四、惯性半径的定义
√iy =
Iy A
√iz =
Iz A
故 Iy = A iy2 Iz = A iz 2
注意平方问题
第十六次课结束处
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§A-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
一、平行移轴公式
b/2 b/2
z
Iz

1 bh3 12

5 d 4
32
y
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例6 由两个20a号槽钢截面图形组成的组合平面图形，设a =100mm,设求此组合平面图形对y,z两根对称轴的惯性矩。
a
z0
z
zC
y
yC
A=28.83×102mm2, Iyc=128×104mm4
Izc=1780.4×104mm4 ,z0=20.1mm
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二、组合截面惯性矩的计算式
Iy=∫ A z2dA
=∫ A1z2dA +… +∫ Anz2dA
n
=∑ Iyi
i=1
同理
n
Iz =∑ Izi
i=1
n
Iyz =∑ Iyzi
i=1
12
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例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下 图形对z轴的惯性矩。
bh3 12
同样地
hb3 I y 12
I yz 0
y、z为形心主轴
Iy、Iz为形心主惯性矩
bb/来自百度文库/2 bb/2/2
hh/2/2
zz
y
hh/2/2
dy
yy
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例4 计算图示圆形截面对其直径轴y和z的惯性矩。
d
d
z y
z
y
dy
zz y
Iy

Iz


64
d4
∑Ai
i=1
4
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15.5
例2 求图示截面的形心的位置。
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
yC1 255mm yC2 140mm
5c0
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
§A-2 截面的惯性矩和惯性积
一、惯性矩的定义
Iy=∫ A z2dA Iz=∫ A y2dA
惯性矩恒为正
二、惯性积的定义 Iyz=∫ A yzdA
惯性积可正、可负或为零
若y为对称轴，则 Iyz= 0
o
z
y z dA
y
y dA dA z
zz
y
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三、形心主轴和形心主惯性轴
O
z
Iz=∫ A y2dA =∫ A (a+yC)2dA =∫ A a2dA + 2a∫ A yCdA +∫ A yC2dA
y
C
dA
a zc
yc
∫ A yCdA 对形心轴的面积矩=0
b zc z
∫ A yC2dA 对形心轴的惯性矩
y yc
故 Iz=∫ A a2dA + IzC
同理
Iy=∫ A b2dA + IyC Iyz=∫ A abdA + IyCzC11
故 Sz = A yc Sy = A zc
z
o zc
z
yc
y
C
dA
y
形心轴：过平面图形形心的轴
2
截面对形心轴的面积矩为零。
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例1 求如图矩形Sz和Sy
解：Sz
ydA
A

ah
ybdy
a
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy

bh(d

b) 2

50
C3
z
yC

A1
yC1 A2 yC2 A1 A2 A3
A3
yC 3
250
y
15050 255 18050140 25050 25 mm 15050 18050 25050
120mm
zC 0
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附录A 截面的几何性质
§A-1 截面的面积矩和形心位置
一、面积矩的定义
Sy=∫ zdA A
Sz=∫ ydA A
面积矩可为正、负或为零。
o
z
y z dA
y
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二、截面形心的位置
∫ yc =
ydA
A
= A
Sz A
zc
∫ =
zdA
A
A
=
Sy A
主轴： 惯性积为零的一对坐标轴。 主惯性矩： 截面对主轴的惯性矩。
b/2 b/2
形心主轴： 过截面形心的主轴。 h/2
z'
形心主惯性矩：截面对形心主轴的
z
惯性矩。
h/2
y
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例3 计算图示矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。
解： Iz y2dA
A
h/2 y2 bdy h / 2