截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式教程文件
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附录 截面几何性质(1)
A
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC
A1xC1 A2 xC2 A1 A2
105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm
140.9mm
yC
A1 yC1 A2 yC2 A1 A2
105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm
136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC
A1xC1 A2 xC2 A1 A2
105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm
140.9mm
yC
A1 yC1 A2 yC2 A1 A2
105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm
136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。
附录Ⅰ-常见截面的几何性质
取微面积dA=dzdy，则：Izy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
由 Iz 对 A y 2 称 dIy A 性 R IR z2 y ： 2 6D 44R ;2 由 y 几 2 d 何 y 关 R 4 4 系 2＝ ： 6 D y24 ;4 z2,
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
Байду номын сангаас
则截面对该轴的静矩为零。
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二、形心公式：
yc
SAz ;zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i1
z2dA;
A
圆形截面：Iy
Iz
D4 ;
64
几何关系： IP A2 d A A (y 2 z 2 ) d A I Z Iy .
四、惯性积：
Izy
zydA;
A
五、平行移轴公式：
Iz1za2A; y1 y b2A; Iz1y1 Izyab;A
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 o 角，即 形心主惯性轴。
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
材料力学 截面的几何性质
附
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
附录1 截面图形的几何性质概论
一、平行移轴公式（类似于转动惯量的平行移轴定理）
以形心为原点a
b
SxC AyC 0
x
y
a b
xc yc
Ix
y 2dA
A
xc
(b
A
yC
)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC b2 A
¯x y¯
x Sy A
y Sx A
S y Ax Sx Ay
坐标轴通过形心 静矩等于零 4
当截面由若干个简单图形组成（如矩形、圆形），则有：
S y Ax Siy Ai xi Sx Ay Six Ai yi
累加式
:
x
y
xi Ai A yi Ai A
y
x
5
例 I-1-1 试确定下图的形心。
1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时，若
I x0 y0
Ix
Iy 2
sin 20
I xy cos 20
0
则与 0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主
轴之惯性矩称为主惯性矩。
tan 20
2I xy Ix Iy
主
惯
性
矩
：II
x0 y0
yd
S x S1x S2 x
h1 2
bh1
( h2 2
h1 ) dh2
h2
Sy x.A 0
x0
h1
x
y Sx
b
A
8
1.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩(moment of inertia)：（类似于转动惯量）
Ix y2dA A
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式
HOHAI UNIVERSITY
1
HOHAI UNIVERSITY
2
HOHAI UNIVERSITY
例1 求如图矩形Sz和Sy
解：Sz
ydA
A
ah
ybdy
a
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy
bh(d
b) 2
A
zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
3
HOHAI UNIVERSITY
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
yC1 255mm yC2 140mm
5c0
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
50
C3
z
yC
A1
yC1 A2 yC2 A1 A2 A3
A3
yC 3
250
y
15050 255 18050140 25050 25 mm 15050 18050 25050
i=1
同理
n
Iz =∑ Izi
i=1
n
Iyz =∑ Iyzi
i=1
12
HOHAI UNIVERSITY
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下 图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
z
Iz
1 bh3 12
5 d 4
32y13HOHAI UNIVERSITY
14
HOHAI UNIVERSITY
作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15
1
HOHAI UNIVERSITY
2
HOHAI UNIVERSITY
例1 求如图矩形Sz和Sy
解：Sz
ydA
A
ah
ybdy
a
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy
bh(d
b) 2
A
zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
3
HOHAI UNIVERSITY
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
yC1 255mm yC2 140mm
5c0
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
50
C3
z
yC
A1
yC1 A2 yC2 A1 A2 A3
A3
yC 3
250
y
15050 255 18050140 25050 25 mm 15050 18050 25050
i=1
同理
n
Iz =∑ Izi
i=1
n
Iyz =∑ Iyzi
i=1
12
HOHAI UNIVERSITY
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下 图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
z
Iz
1 bh3 12
5 d 4
32y13HOHAI UNIVERSITY
14
HOHAI UNIVERSITY
作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15
材料力学教案-截面的几何性质
Iy
2
Iz
1 2
(I y
§1-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of
an area)
一、静矩(The first moment of the area ）
截面对 y , z 轴的静矩为
z
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
dA z
静矩可正，可负，也可能等于零.
形心主惯性矩( Centroidal principal moment of inertia) ：截面对 形心主惯性轴的惯性矩.
(Properties of Plane Areas)
（1）主惯性轴的位置 设 为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角
则有
Iy
2
Iz
sin
2 0
I
yz
cos 2 0
0
由此
tg2 0
z
负面积
C2 C1
C1（0,0） C2（5,5）
y
y yi Ai y1 A1 y2 A2
A
A1 A2
5 (80 110) 22 120 90 80110
图(b)
(Properties of Plane Areas)
§1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积
(Polar moment of inertia、Moment of
§1-4 转轴公式 (Rotation of axes)
一 、转轴公式 (Rotation of axes)
yOz为过截面上的任 一点建立的坐标系
y1Oz1为yOz 转过 角后形成的新坐标系
逆時针转取为 + 号
附录I截面的几何性质
i1截面的静矩和形心位置i3平行移轴公式i4转轴公式i2惯性矩惯性积惯性半径i1截面的静矩和形心位置静矩是对一定的轴而言同一截面对不同的轴静矩不同静矩可为正可为负也可为零
材料力学
附录I 截面的几何性质
§I-1 截面的静矩和形心位置 §I-2 惯性矩 ·惯性积 ·惯性半径 §I-3 平行移轴公式 §I-4 转轴公式
二、组合截面的惯性矩和惯性积的计算
n
I x I xi i 1 n
I y I yi i 1
n
I xy I xyi i 1
例2.求截面对通过形心的水平及垂直坐标轴的惯性矩。
20
y
Ⅰ
解：1.建立参考坐标x′y
2.求形心坐标 xc， yc
xc 0
60 Ⅱ
C (xc,yc)
cos 2
I x1
Ix
2
Iy
Ix
2
Iy
cos 2
I xy
sin 2
(1)
I y1
Ix
2
Iy
Ix
2
Iy
cos 2
I xy
sin 2
(2)
I x1 y1
Ix
2
Iy
sin 2
I xy
cos 2
(3)
转轴公式
讨论： 1.（1）+（2）得
I x1 I y1 I x I y I p
二、 形心（平面图形的几何中心）
y
由静力学可知：
均质平面薄板的重心公式
x
dA
xc C
y
yc
A
xdA
ydA
材料力学
附录I 截面的几何性质
§I-1 截面的静矩和形心位置 §I-2 惯性矩 ·惯性积 ·惯性半径 §I-3 平行移轴公式 §I-4 转轴公式
二、组合截面的惯性矩和惯性积的计算
n
I x I xi i 1 n
I y I yi i 1
n
I xy I xyi i 1
例2.求截面对通过形心的水平及垂直坐标轴的惯性矩。
20
y
Ⅰ
解：1.建立参考坐标x′y
2.求形心坐标 xc， yc
xc 0
60 Ⅱ
C (xc,yc)
cos 2
I x1
Ix
2
Iy
Ix
2
Iy
cos 2
I xy
sin 2
(1)
I y1
Ix
2
Iy
Ix
2
Iy
cos 2
I xy
sin 2
(2)
I x1 y1
Ix
2
Iy
sin 2
I xy
cos 2
(3)
转轴公式
讨论： 1.（1）+（2）得
I x1 I y1 I x I y I p
二、 形心（平面图形的几何中心）
y
由静力学可知：
均质平面薄板的重心公式
x
dA
xc C
y
yc
A
xdA
ydA
船舶原理中常见截面的几何性质
(2)计算形心主惯性矩：
(z、y轴即形心主轴） 50 10 3 2 z1 z1 a12 1 20 5 500 1.17 10 5 cm4 ; 12 10 50 3 2 2 z 2 z 2 a2 2 35 20 500 2.17 10 5 cm4 ; 12
A A
D 4
四、惯性积： I z y dA; zy A
五、平行移轴公式：
2 I z1 z a 2 A; y1 y b A;
I z1 y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）—使 I z y 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；
cos 2 I zy sin 2 ;
I z1 y1
Iz Iy 2
sin 2 I zy cos 2 ;
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第四节 主惯性轴和主惯性矩：
主惯性轴（主轴）—使截面对zo、yo轴的惯性积 I z y 0 的这对 正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。 特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值； ②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴； ③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 o 角，即 形心主惯性轴。
A
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的 静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心， 则截面对该轴的静矩为零。 返回 下一张 上一张 小结
第7章-截面图形的几何性质（PDF）
第7章 截面图形的几何性质教学提示：在对构件进行应力和强度等计算时，需要用到构件截面图形的几何性质，即与构件截面几何形状和尺寸有关的一些量，例如形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。
本章的主要内容就是讨论这些几何性质的定义和计算。
教学要求：通过本章学习，要求理解形心、静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性矩的概念，会用平行移轴公式计算组合截面对形心轴的惯性矩、主惯性矩等。
受力构件的承载能力，不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关。
当研究构件的强度、刚度和稳定性问题时，都要涉及到一些与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性矩等，统称为“截面图形的几何性质”。
研究这些几何性质时，完全不需考虑研究对象的物理和力学因素，只作为纯几何问题处理。
7.1 静矩与形心考察如图7.1所示任意截面几何图形。
在其上取面积微元d A ，设该微元在Oyz 坐标系中的坐标为(y 、z )。
定义下列积分d y AS z A =∫， d z AS y A =∫(7.1)图7.1分别为截面图形对y 轴和z 轴的静矩(或称为面积矩)。
其量纲为长度的三次方。
常用单位是3m 或3mm 。
由于均质等厚薄板的重心与薄板截面图形的形心有相同的坐标(C y 、C z )，而薄板的重心坐标由式(2.24)给出，即d d AAzCy V y A S y V AA ===∫∫d d y AAC z Vz A S z VAA===∫∫第7章 截面图形的几何性质·91··91·所以，形心坐标为d Az Cy A Sy AA==∫， d y ACz A S z AA==∫ (7.2a)或y C S A z =⋅，z C S A y =⋅(7.2b)由式(7.2)可知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即若0C y =，则0z S =，或若0C z =，则0y S =；反之，若图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必然通过图形的形心。
附录 截面的几何性质
A
y
y1
α逆时针转为正。
2 dA I y1 z1 A 2 dA I z1 y1 A
z
dA z1
y1
O
y
I y1 z1 y1 z1 dA
A
y1 cos cos cos sin sin y cos z sin
64 64 D 4 5 d 4 64 64 17
d4
[例3]
求图示圆对其切线AB的惯性矩。 解：建立形心坐标如图,求图 形对形心轴的惯性矩。
Ip
z
d4
32
I y Iห้องสมุดไป่ตู้z 2I y
d A
y
O
B
I AB
Iy Iz
2
d4
64
4 4 4 d d d 5 d A Iy 64 16 64 2
Iz A
10
例：求图示矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性半径。
z
dz
I y z 2 dA
A
z
h C
b y
h 2 h 2
3 bh bz2dz 12
iy
Iy bh3 h A 12bh 12
b3h 同理： I z 12
iz
Iz A
b3h 12bh
b 12
11
y1 y cos z sin z1 y sin z cos
22
z1 z
y
y1
z
dA z1
y1 y cos z sin z1 y sin z cos
y
y1
α逆时针转为正。
2 dA I y1 z1 A 2 dA I z1 y1 A
z
dA z1
y1
O
y
I y1 z1 y1 z1 dA
A
y1 cos cos cos sin sin y cos z sin
64 64 D 4 5 d 4 64 64 17
d4
[例3]
求图示圆对其切线AB的惯性矩。 解：建立形心坐标如图,求图 形对形心轴的惯性矩。
Ip
z
d4
32
I y Iห้องสมุดไป่ตู้z 2I y
d A
y
O
B
I AB
Iy Iz
2
d4
64
4 4 4 d d d 5 d A Iy 64 16 64 2
Iz A
10
例：求图示矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性半径。
z
dz
I y z 2 dA
A
z
h C
b y
h 2 h 2
3 bh bz2dz 12
iy
Iy bh3 h A 12bh 12
b3h 同理： I z 12
iz
Iz A
b3h 12bh
b 12
11
y1 y cos z sin z1 y sin z cos
22
z1 z
y
y1
z
dA z1
y1 y cos z sin z1 y sin z cos
工程力学 第七章 截面的几何性质
课 时 授 课 计 划
授课日期 班 题 别 目 2011.10.23 1044-3
第七章 截面的几何性质
目 的 要 求
了解重心、形心、静矩、惯性矩的概念 会求解静矩、惯性矩及几何形心 了解平行移轴定理
重 静矩、惯性矩 点
难 平行移轴定理 点
教 具
课本
教 学 方 法
课堂教学
第七章 截面的几何性质 第一节 静矩与形心
的惯性矩 Izc 和 Iyc， 则截面对 z 和 y 轴的惯性矩 Iz 和 Iy，
z c 和y c z c 和y c z c 和y c
zc yc
I z I zc A
I y I yc A
简单证明之：
第 6 页 共 8 页
其中
为图形对形心轴 。
的静矩，其值应等于零，则得：
上式称作平行移轴定理，它表明： （1）截面对任一坐标轴的惯性矩等于截面对该轴的形心轴的惯性矩加上截面 面积和两轴之间距离的平方的乘积。 （2）由于 a2 和 b2 恒为正值，面积也为正值，因此截面对一些相互平行的坐标 轴的惯性矩中，经过截面形心的惯性矩是的最小。
I yz zyd A
A
（I − 9） 定义为该截面对于 y、z 轴的惯性积。 从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一般是不同的。惯性 矩的数值恒为正值，而惯性积则可能为正，可能为负，也可能等于零。惯性矩和惯性积 的常用单位是 m4 或 mm4。
二、惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式
二、组合截面对形心轴惯性矩的计算
常见图形的惯性矩： 矩形： b h z 圆形： d z y 空心圆形： D d
z y
y
bh3 Iz 12 hb3 Iy 12
授课日期 班 题 别 目 2011.10.23 1044-3
第七章 截面的几何性质
目 的 要 求
了解重心、形心、静矩、惯性矩的概念 会求解静矩、惯性矩及几何形心 了解平行移轴定理
重 静矩、惯性矩 点
难 平行移轴定理 点
教 具
课本
教 学 方 法
课堂教学
第七章 截面的几何性质 第一节 静矩与形心
的惯性矩 Izc 和 Iyc， 则截面对 z 和 y 轴的惯性矩 Iz 和 Iy，
z c 和y c z c 和y c z c 和y c
zc yc
I z I zc A
I y I yc A
简单证明之：
第 6 页 共 8 页
其中
为图形对形心轴 。
的静矩，其值应等于零，则得：
上式称作平行移轴定理，它表明： （1）截面对任一坐标轴的惯性矩等于截面对该轴的形心轴的惯性矩加上截面 面积和两轴之间距离的平方的乘积。 （2）由于 a2 和 b2 恒为正值，面积也为正值，因此截面对一些相互平行的坐标 轴的惯性矩中，经过截面形心的惯性矩是的最小。
I yz zyd A
A
（I − 9） 定义为该截面对于 y、z 轴的惯性积。 从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一般是不同的。惯性 矩的数值恒为正值，而惯性积则可能为正，可能为负，也可能等于零。惯性矩和惯性积 的常用单位是 m4 或 mm4。
二、惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式
二、组合截面对形心轴惯性矩的计算
常见图形的惯性矩： 矩形： b h z 圆形： d z y 空心圆形： D d
z y
y
bh3 Iz 12 hb3 Iy 12
附录Ⅰ 截面的几何性质
I max I y Iz 2 Iy Iz 2 1 2 1 2
z0
z z
y0
0
O
2
y
I I
y
I z 4 I yz
2
I min
y
I z 4 I yz
2 2
三、形心主惯性轴，形心主惯性矩
特殊地：若坐标原点即为图形的形心 此时的主惯性轴称为形心主惯性轴 主惯性矩称为形心主惯性矩 形心主轴 形心主矩
y1
y
y1
dA
z α
z1
y1
α
y
O
z1
z
y1
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
y αz
dA
z1
y1
α y
I y1
A
z1 dA
2 2 2
z cos y sin 2 dA A
2 2 A
O
cos z dA sin y dA 2 sin cos yzdA
一、转轴公式 二、主惯性轴，主惯性矩 三、形心主惯性轴，形心主惯性矩
一、转轴公式
I 已知：I y ， z ，I yz ，α
求： I y , I z , I y
1 1
1 z1
z
z1
解： α 从老轴y转至新轴 逆时针转向为正
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
已求得 I y , I z , I y z
1 1 1 1
z1
1 1
z
y1 y
我们最感兴趣的是 I y , I z 取极值的情况。 由： 得：
z0
z z
y0
0
O
2
y
I I
y
I z 4 I yz
2
I min
y
I z 4 I yz
2 2
三、形心主惯性轴，形心主惯性矩
特殊地：若坐标原点即为图形的形心 此时的主惯性轴称为形心主惯性轴 主惯性矩称为形心主惯性矩 形心主轴 形心主矩
y1
y
y1
dA
z α
z1
y1
α
y
O
z1
z
y1
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
y αz
dA
z1
y1
α y
I y1
A
z1 dA
2 2 2
z cos y sin 2 dA A
2 2 A
O
cos z dA sin y dA 2 sin cos yzdA
一、转轴公式 二、主惯性轴，主惯性矩 三、形心主惯性轴，形心主惯性矩
一、转轴公式
I 已知：I y ， z ，I yz ，α
求： I y , I z , I y
1 1
1 z1
z
z1
解： α 从老轴y转至新轴 逆时针转向为正
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
已求得 I y , I z , I y z
1 1 1 1
z1
1 1
z
y1 y
我们最感兴趣的是 I y , I z 取极值的情况。 由： 得：
41-截面的几何参数解析
yC
i1 2
Ai
i1
0 2 7 0 1 0 3 5 0 1 0 3 1 5 0 1 0 3
将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位 置。
以形心为坐标原点，设Oyz坐标系，y、z 轴 一般与简单图 形的形心主轴平行。确定简 单图形对自身形心轴的惯性矩，利 用移轴 定理（必要时用转轴定理）确定各个简单 图形对y、z轴 的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的 Iy、Iz 和Iyz。
A
例1：试求匀质槽形钢板的
形心。
y
A
y
y
解：由对称性可知 xc 0
o
A 1 A 2 1 3 0 0 3c 02 m 0y1=y2=15cm
A3102020c0m 2 y35cm
3
yc
i1
3
A
i y ci Ai
3001522005=12.5cm 3002200
i1
30cm
10cm x
（2）负面积法 解：由对称性可知
❖3、截面对形心轴的静矩为零
❖4、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴
例3 求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。
h
2
a
y
h 2
b
解： S y
b(ha) 2
(
h 2
2
a)
a
b h2
a2
2 4
§4.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
一、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。
y
I
2dA
A
——图形对 O 点的极惯性矩
I I b2A
y1
yc
I I a2A
z1
zc
大学本科课程截面的几何性质
y 40mm
§ I－2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积
设任意形状截面如图所示。
1.极惯性矩（或截面二次极矩）
y
I p
2d A
A
dA
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
y
I y
x2 d A
A
I x
y2d A
A
（为正值，单位m4 或 mm4)
O
x
x
由于 2 y2 x2
所以
Ip
2 d A
n
S x Ai yi i1
(Ai 和xi , yi分别为第i个简单图形的面积及其形心坐标）
5. 组合截面的形心坐标公式
n
将 S y Ai xi i1
n
S x Ai yi i1
代入 S y A x Sx A y
解得组合截面的形心坐标公式为：
n
Ai xi
x
i 1 n
Ai
i 1
n
Ai yi
I x
y2d A
A
A yc a2 d A
A yc 2 d A 2a A yc d A a2 A d A
I xc 2a A yc a2 A
I xc a 2 A
同理，有：
Ix Ixc a2 A I y I yc b2 A
I xy I xc yc abA
A
(y2
A
x2)
dA IxIy
（等于截面对以某点为原点的任意两正交坐标轴的惯
性矩之和均相等，等于截面对该点的极惯性矩 。）
3. 惯性积
y dA
I xy
xy d A
A
y
（其值可为正、负或0， 单位:m4 或 mm4)
附录--截面的性质
距离之积。
遍及整个截面面积A的积分:
dI xy xydA
y
I xy xydA 截面的惯性积
A
x
dA
惯性矩 Iz、Iy 和极惯性矩 Ip 恒为正值；
r
y
x
惯性积 Iyz可能为正或负也可能为0；
如果截面有一个（或一个以上）的对称轴，则截面对包含此对 称轴的任一对正交轴的惯性积必为0。 惯性矩、极惯性矩、惯性积的量纲为: [L]4，单位为 m4，mm4
I z 2 I z1 (a b) 2 A I (a b) 2 A
C
I z1 I zC b 2 A
× ？
I zC I b 2 A
I z 2 I zC a 2 A I b 2 A a 2 A I (a 2 b 2 ) A
例2
求图示圆对其切线AB的惯性矩。 y 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； d O B x 二是用平行移轴定理等知识求。 建立形心坐标如图,求图形对形
对图形1，形心坐标为（0，0），面积 为80×10；对图2，形心坐标为（－ 35，60），面积为110×10。
C1 80
10
x
x
x A A
i i
i
x1 A1 x 2 A2 A1 A2
35 110 10 20.3mm 80 10 110 10
y A y
i
i
二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
S y Ax 可将上式写为： S x Ay
则在已知截面面积及其形心的坐标时，就可求得截面对y轴 和x轴的静矩。
由上式可知，若截面对于某一轴的静矩等于零，则该轴必通过 截面的形心；反之，截面对通过其形心的轴的静矩恒等于零。
遍及整个截面面积A的积分:
dI xy xydA
y
I xy xydA 截面的惯性积
A
x
dA
惯性矩 Iz、Iy 和极惯性矩 Ip 恒为正值；
r
y
x
惯性积 Iyz可能为正或负也可能为0；
如果截面有一个（或一个以上）的对称轴，则截面对包含此对 称轴的任一对正交轴的惯性积必为0。 惯性矩、极惯性矩、惯性积的量纲为: [L]4，单位为 m4，mm4
I z 2 I z1 (a b) 2 A I (a b) 2 A
C
I z1 I zC b 2 A
× ？
I zC I b 2 A
I z 2 I zC a 2 A I b 2 A a 2 A I (a 2 b 2 ) A
例2
求图示圆对其切线AB的惯性矩。 y 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； d O B x 二是用平行移轴定理等知识求。 建立形心坐标如图,求图形对形
对图形1，形心坐标为（0，0），面积 为80×10；对图2，形心坐标为（－ 35，60），面积为110×10。
C1 80
10
x
x
x A A
i i
i
x1 A1 x 2 A2 A1 A2
35 110 10 20.3mm 80 10 110 10
y A y
i
i
二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
S y Ax 可将上式写为： S x Ay
则在已知截面面积及其形心的坐标时，就可求得截面对y轴 和x轴的静矩。
由上式可知，若截面对于某一轴的静矩等于零，则该轴必通过 截面的形心；反之，截面对通过其形心的轴的静矩恒等于零。
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
I z1 y1 I zy abA ;
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六、主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）—使 I zo yo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；
形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
A
A
m 静矩为代数值。静矩单位： 3 ; mm3 ; 不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同 一截面对不同坐标轴的静矩也不同。 若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等 厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：
S z y dA A yc ;
A
S y z dA A zc ;
z z1 z 2 117 2 17105 3.34105 cm4 ;
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小
结
S y z dA A zc ; 一、静矩： S z A y dA A yc ; A 性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
yc
y 'c
若分解为１、２、３三个矩形，则
பைடு நூலகம்0.6 2.52 (1.26 1.2) 0.16 m; 0.6 2.52 2 0.2 2.4
A1 y1 A2 y2 0.072 2.46 0.481.2 1.36m; A1 A2 0.072 0.48
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七、平面图形几何性质的几何意义： 1. 静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度； 2. 极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集 中或分散程度； 3. 惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分 散程度； 4. 惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的 集中或分散程度。
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b/2 b/2
z
Iz
1 bh3 12
5 d 4
32
y
13
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例6 由两个20a号槽钢截面图形组成的组合平面图形，设a =100mm,设求此组合平面图形对y,z两根对称轴的惯性矩。
a
z0
z
zC
y
yC
A=28.83×102mm2, Iyc=128×104mm4
Izc=1780.4×104mm4 ,z0=20.1mm
50
C3
z
yC
A1
yC1 A2 yC2 A1 A2 A3
A3
yC 3
250
y
15050 255 18050140 25050 25 mm 15050 18050 25050
120mm
zC 0
5
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故 Sz = A yc Sy = A zc
z
o zc
z
yc
y
C
dA
y
形心轴：过平面图形形心的轴
2
截面对形心轴的面积矩为零。
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例1 求如图矩形Sz和Sy
解：Sz
ydA
A
ah
ybdy
a
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy
bh(d
b) 2
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附录A 截面的几何性质
§A-1 截面的面积矩和形心位置
一、面积矩的定义
Sy=∫ zdA A
Sz=∫ ydA A
面积矩可为正、负或为零。
o
z
y z dA
y
1
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二、截面形心的位置
∫ yc =
ydA
A
= A
Sz A
zc
∫ =
zdA
A
A
=
Sy A
若为空心截面呢？（d/D）求Iy与Iz
（作业题）
9
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四、惯性半径z =
Iz A
故 Iy = A iy2 Iz = A iz 2
注意平方问题
第十六次课结束处
10
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§A-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
一、平行移轴公式
O
z
Iz=∫ A y2dA =∫ A (a+yC)2dA =∫ A a2dA + 2a∫ A yCdA +∫ A yC2dA
y
C
dA
a zc
yc
∫ A yCdA 对形心轴的面积矩=0
b zc z
∫ A yC2dA 对形心轴的惯性矩
y yc
故 Iz=∫ A a2dA + IzC
同理
Iy=∫ A b2dA + IyC Iyz=∫ A abdA + IyCzC11
∑Ai
i=1
4
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15.5
例2 求图示截面的形心的位置。
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
yC1 255mm yC2 140mm
5c0
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
A
zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
3
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三、组合截面的面积矩和形心位置的确定
面积矩：
n
Sy = ∑Ai zci
i=1
n
Sz = ∑Ai yci
i=1
n
形心位置： yc
=
Sz A
∑Ai yci
=
i=1 n
∑Ai
i=1
n
zc
=
Sy A
=
∑Ai zci
i=1 n
bh3 12
同样地
hb3 I y 12
I yz 0
y、z为形心主轴
Iy、Iz为形心主惯性矩
bb/2/2 bb/2/2
hh/2/2
zz
y
hh/2/2
dy
yy
8
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例4 计算图示圆形截面对其直径轴y和z的惯性矩。
d
d
z y
z
y
dy
zz y
Iy
Iz
64
d4
主轴： 惯性积为零的一对坐标轴。 主惯性矩： 截面对主轴的惯性矩。
b/2 b/2
形心主轴： 过截面形心的主轴。 h/2
z'
形心主惯性矩：截面对形心主轴的
z
惯性矩。
h/2
y
7
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例3 计算图示矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。
解： Iz y2dA
A
h/2 y2 bdy h / 2
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二、组合截面惯性矩的计算式
Iy=∫ A z2dA
=∫ A1z2dA +… +∫ Anz2dA
n
=∑ Iyi
i=1
同理
n
Iz =∑ Izi
i=1
n
Iyz =∑ Iyzi
i=1
12
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例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下 图形对z轴的惯性矩。
§A-2 截面的惯性矩和惯性积
一、惯性矩的定义
Iy=∫ A z2dA Iz=∫ A y2dA
惯性矩恒为正
二、惯性积的定义 Iyz=∫ A yzdA
惯性积可正、可负或为零
若y为对称轴，则 Iyz= 0
o
z
y z dA
y
y dA dA z
zz
y
6
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三、形心主轴和形心主惯性轴
14
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作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15
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