函数的概念及其三要素(定义域、值域和解析式)

教学过程
一、预习导入
函数及其三要素的知识网络图：
二、复习预习
初中函数的定义：
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定了一个y值，那么称y是x的函数.其中x是自变量，y是因变量。

初中学过哪些函数？
一次函数y=kx+b（k≠0）；
反比例函数y=k/x（k≠0）；
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）。

三、知识讲解
考点1 函数的定义
设A、B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A。

其中，x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f （x）|x∈A}叫做函数的值域，值域是B的子集。

注意：
○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
考点2 函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（2）三要素的运用之判断两个函数的相等：当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
考点3 区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
考点4 函数的定义域
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).
(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
考点5 求值域的方法（1）配方法，
（2）换元法，
（3）分离常数法
考点6 求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式。

例如：一次函数、二次函数、反比例函数。

——待定系数法； （2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ——复合函数换元法
（3）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，例如：)(x f 或者)
1(x f 。

此时需构造另个等式——解
方程组法
四、例题精析
【例题1】
【题干】判断下列各题中，函数)(x f 与)(x g 是不是同一函数？说明理由。

①11
)(2--=x x x f ，1)(+=x x g ； ②2)(x x f =，x x g =)(；
③2)(-=x x f ，44)(2+-=x x x g ；
④1)(=x f ，0)(x x g =；
【规范解答】
①)(x f 的定义域是{}1|≠∈x R x ，而)(x g 的定义域是R ，)(x f 与)(x g 的定义域不同，)(x f ∴与)(x g 是两个不同的函数。

②)(x f 与)(x g 的定义域都是R ，又x x x f ==2)(，即)(x f 与)(x g 的对应法则边相同，所以)(x f 与)(x g 是相同函
数。

③由于2)(-=x x f ，2)(-=x x g ，它们对应法则不同，所以)(x f 与)(x g 是不同函数。

④是不同函数，)(x f 的定义域是R ，而)(x g 的定义域是{}0|≠∈x R x
【总结与反思】注意：定义域、值域、对应法则是函数的三大要素，定义域与对应法则确定则值域也随而定，故两个函数是相同函数的充要条件是它们的定义域与对应法则（在本质上）相同。

【例题2】
【题干】已知函数f(x)=3x ++21
+x ,
(1)求函数的定义域;
(2)求f(-3),f(32
)的值;
(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值.
【规范解答】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值需满足⎩
⎨⎧≠+≥+.02,03x x 解得-3≤x<-2或x>-2, 即函数的定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞). (2)f(-3)=33-++231+-=-1;f(32)=23
21332+++=23383+. (3)∵a>0,∴a ∈［-3,-2)∪(-2,+∞),
即f(a),f(a-1)有意义.
则f(a)=3a ++21+a ; f(a-1)=21131-a +-++a =1
12+++a a . 【总结与反思】(1)函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使3x +和
21+x 有意义的自变量的取值范围;3x +有意义,则x+3≥0, 2
1+x 有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组. (2)f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f(32)表示自变量x=3
2时对应的函数值. (3)f(a)表示自变量x=a 时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值.
分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值.
【例题3】
【题干】设M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（）
【规范解答】A项定义域为［－2，0］，D项值域不是［0，2］，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B. 【总结与反思】仔细观察，图象与定义域值域一一对应
【例题4】
【题干】已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f（2x-1）的定义域。

【规范解答】∵f(x+1)的定义域为[-1,1]；∴012x ≤+≤ ； ∴f(x)的定义域为[0,2]；
∴f(2x-1)中，0212x ≤-≤，∴1322x -≤≤，∴f(2x-1)的定义域为13|22x x ⎧⎫
-≤≤⎨⎬⎩⎭
【总结与反思】本题旨在考查复合函数的定义域（1）定义域是指x 的取值范围（2）“（）”内的范围相同
【例题5】
【题干】求1
x
f的值域
x
+
)(+
=x
【规范解答】带有根号的函数利用换元法求值域 令x t t x t =-≥+=1),0(12，
1,0,45
)21(122-≥≥-+=+-=y t t t t y
【总结与反思】带根号的函数都利用换元法转化成二次函数即可
课程小结
1.判断所给对应是否是函数的基本步骤
（1）集合A、B是否是非空数集，
（2）集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性.即：A中元素必须用尽，B中元素可以有剩余。

（3）对应可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”。

2.函数的定义域
(1)整式,那么函数的定义域是实数集R.
(2)分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合
(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
3.求值域的方法
21
22
（1）配方法，
（2）换元法，
（3）分离常数法。

4.求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式。

例如：一次函数、二次函数、反比例函数。

——待定系数法；
（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ——复合函数换元法
（3）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，例如：)(x f 或者)1(x f 。

此时需构造另个等式——解
方程组法。