上海市位育中学2021届高三下学期开学考试数学试题

故选：C.
【点睛】
解决充分必要条件的判断一般有两种思路：
（1）如果是涉及范围之间的充分必要性问题，利用集合的包含关系判断两个命题之间的充分必要性；
（2）不涉及范围问题的判断，一般需要分别从充分性与必要性两个方面论证.
15．B
【分析】
先取得 或 ，分 和 两种情况讨论，结合三角恒等变换的公式，以及三角函数的性质，即可求解.
余数的范围， ，其中余数 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负.
17．(1) ；(2) .
【解析】
试题分析：（1）由该几何体的三视图可知 平面 ，且 ， ，利用体积公式，可求该几何体的体积；（2）分别以 、 、 方向为 、 、 轴建立空间直角坐标系，分别求出 和平面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得直线 与平面 所成角的大小.
以 为直径的半圆方程为
以 为直径的半圆方程为 ，
设
，
可得
即有 ，即
又 可得 ，即 ，
，
则
可得 即 时， 的最大值为 ，
故答案为：1．
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，解答本题的关键是建立平面坐标系，得出 ， ，由 得出 ，由 ，属于中档题.
11．
【分析】
以 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得 的坐标，可得以 为直径的半圆方程，以 为直径的半圆方程，设出 的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得 ，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．
【详解】
以 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得
所以函数值 ， ， ， ， 中最多有177个不同的值.
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于确定函数的周期，利用 得到函数对称轴，再由对称轴确定函数周期，根据一个周期内的函数值个数，即可得出结果.
13．A
【解析】
正数 满足 ，∴ 4= ，即 ，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4= ，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得 ，且等号成立时 的取值都为2，选A．
12．
【分析】
根据题中条件，确定函数 关于 ､ ､ 对称，从而求出函数 的最小正周期，进而可得出结果.
【详解】
由 得
因为 ，
所以其图象关于 ､ ､ 对称，
因此函数有周期性，
设周期为 ，则 ， ， ､ ，
因为880和528最大公约数为176， ， ，
所以 ， ，因此在同一周期中函数值最多有177个不同的值.
试题解析：（1）由该几何体的三视图可知 平面 ，且 ， .
∴
∴几何体 的体积
(2)分别以 、 、 方向为 、 、 轴建立空间直角坐标系，则： 、 、 、 .
7．
【分析】
利用方程有大于 的实数根，得到 范围，即得 范围，再解分式不等式即得结果.
【详解】
方程 有大于 的实数根，即 ，故 ，即 ，等价于 ，即得 .
故答案为： .
8． .
【分析】
将线段放入长方体中，由三视图的概念可得长方体的长宽高，进而可得线段长.
【详解】
将该线段放入一个长、宽、高分别为 、 、 的长方体中，如图，
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
16．C
【分析】
根据题意有 均为整数，转化为 ，不难发现当 时 均为非负整数，验证当 、 时 和 是否为整数.
（2）求直线CE与平面AED所成角的大小.
18．已知函数f(x) ，k≠0，k∈R．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）已知f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，求实数k的取值范围．
19．某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第 个月从事旅游服务工作的人数 可近似地用函数 来刻画，其中正整数 表示月份且 ，例如 表示1月份， 和 是正整数， ， .统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
【详解】
由题意，在 中，若 ，
因为 ，可得 或 ，
当 时，可得 ，则 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ；
当 时，可得 ，则 ，
可得 ，
其中 ，
设 在区间 上单调递增，在 上单调递减，
又由 ， ，
所以 ，即 ，
综上可得， 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】
解答与三角函数有关的范围问题的求解策略：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为 的形式；
20．设复平面上点 对应的复数 （ 为虚数单位）满足 ，点 的轨迹方程为曲线 .双曲线 : 与曲线 有共同焦点，倾斜角为 的直线 与双曲线 的两条渐近线的交点是 、 ， ， 为坐标原点.
（1）求点 的轨迹方程 ；
（2）求直线 的方程；
（3）设△PQR三个顶点在曲线 上，求证：当 是△PQR重心时，△PQR的面积是定值.
21．对于任意 ，若数列 满足 ，则称这个数列为“K数列”.
（1）已知数列： ， ， 是“K数列”，求实数 的取值范围；
（2）设等差数列 的前 项和为 ，当首项 与公差 满足什么条件时，数列 是“K数列”？
（3）设数列 的前 项和为 ， ，且 ， .设 ，是否存在实数 ，使得数列 为“K数列”.若存在，求实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.
由 可得 ，
所以该抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，
设 ，由抛物线的定义可得 ，
所以 ．
故答案为：3
3．
【分析】
直接利用交集的定义求解即可．
【详解】
， ， ， ，4， ， ， ，6， ，
， ，
， ．
故答案为： ， ．
【点睛】
本题考查交集的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．
4．
【分析】
根据复数的运算法则，化简 ，即可求解.
【详解】
由题意，复数 满足 ，
可得 ，
所以复数 的虚部为 .
故答案为： .
5．
【分析】
求使函数有意义的 的取值范围即可.
【详解】
要使函数有意义只需 ，即 ，
解得 或 .
故答案为： .
6．10
【详解】
设11时至12时的销售额为x
由频率分步直方图可知: ，
所以 .
故答案为：10
由题意可得 ，解得 ，
所以该线段长为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了长方体几何特征及三视图的应用，考查了空间思维能力，属于基础题.
9．16
【分析】
根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可.
【详解】
农场主在中间共有 种站法，
农场主在中间，两名男生相邻共有 种站法，
故所求站法共有 种.
故答案为：16
【点睛】
本题考查计数原理，考查了正难则反原理，考查逻辑推理能力，属于中档题.
10．
【分析】
将该题转化为两个函数图像的交点问题，为了简化问题，特殊化成研究关于 的方程 ，也即是函数 和 的图像的交点问题.画出分段函数的图像，通过取特殊值可以判断出有1个交点，而0个交点和2个交点都是不可能的，需要用反证法去证明.设点 ， ， ， ，借助斜率公式、绝对值三角不等式以及不等式的性质，导出矛盾，从而说明0个交点和2个交点是不可能的，最终得出集合 只能有1个元素.
①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；
③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
（1）试根据已知信息，求 的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.
3．设 ， ，则 ________.
4．若复数 满足 (其中 为虚数单位)，则 的虚部是___________.
5．函数 的定义域为___________.
6．.“沃尔玛”商场在国庆“62”黄金周的促销活动中,对10月2日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如右下图所示.已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时至12时的销售额为________万元.
故选：C.
【点睛】
利用二项式定理解决整除问题的思路：
（1）要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开；
（2）用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意：
∴ ， ，
∴ ，明显矛盾，
∴不可能有2个交点.
其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类.
综上所述，解集 不是无限集时，集合 的元素个数只有1个.
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是将方程的解的个数转化为两个函数图像的交点个数，其中两个分段函数可以用特值法固定一个，再讨论另一个函数的情况.
参考答案
1．6
【分析】
根据代数余子式的定义得到6的代数余子式 ，利用行列式的展开，即可求得答案．
【详解】
由题意，可得6的代数余子式 ．
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查了三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．