最优捕鱼策略ppt

五、模型建立
问题一 模型一： 在假设4龄鱼年底退出系统和连续捕获前提 下如何得到最高捕获量。由问题的分析，可以得到下列优 化问题：
目标函数
s .t
dx1 ( t ) ax1 ( t ), dt dx2 ( t ) ax ( t ), 2 dt dx3 ( t ) ax ( t ) 0.42kx ( t ), 3 3 dt dx3 ( t ) ax ( t ), 3 dt dx ( t ) 4 ax4 ( t ) kx4 ( t ), dt dx ( t ) 4 ax4 ( t ), dt
2. 对于问题二的分析
1)与问题一的相似之处 平均死亡率、成活率、捕捞期等）不变，因此，在 每年内各年龄组的鱼群数量变化情况与问题一相同。 2）与问题一的不同之处 （1）问题一要求持续捕获，问题二要求鱼量不受太 大的破坏，不限制各年龄组年初鱼群的数量，因此作为约
由于对各年龄组鱼群数量起到影响作用的各因素(如：
模型二：假设4龄鱼年末的特征不变，仍做4龄鱼，
则在持续捕捞的情况下，求最大捕获量。
此模型类似于模型一，也可得到优化问题，区别仅将
x4(0)=x3(1)改变为x4(0)=x3 (1)+ x4(1)，同理解得
1.22 10 x3 (0) 2a e p2 0.5e
度系数k=17.36。

2( 0.42 k a ) 3
5
( 5)
1.22 10 m 11 1.22 10 n
11
(6)
产卵量与成活率的乘积就是1龄鱼每年年初的数量，即
n m x1 (0)
(7)
5）对最高收获量的描述
根据第2）点的分析，在t 时刻的捕捞重量等于3龄鱼
捕捞重量与4龄鱼捕捞重量之和，即
s( t ) 0.42kx3 ( t ) g3 kx 4 ( t ) g 4
问题二 在已知初始鱼量的情况下，制定一个最优策略，使承 包 5 年的公司在生产能力破坏不太大的前提下，获得最大 捕鱼量。 根据问题的分析可以得到为数学模型 目标函数
max H max s3 ( t ) s4 ( t )
i 1
5
s .t
dxi ,1 ( t ) axi ,1 ( t ), dt dxi ,2 ( t ) axi ,2 ( t ), dt dxi ,3 ( t ) axi ,3 ( t ) 0.42ki xi ,3 ( t ), dt dxi ,3 ( t ) ax ( t ), i ,3 dt dxi ,4 ( t ) ax ( t ) k x ( t ), i ,4 i i ,4 dt dx ( t ) i ,4 axi ,4 ( t ), dt
量（1龄鱼除外），即
x j 1 (1) x j (0)
j 2,3,4.
( 4)
4）对成活率m 的理解
又由假设可知， 此种鱼在每年8月第一次产卵完毕，
又已知3、4龄鱼每条产卵的个数，因此可将每年的产卵量
n表示为
又已知成活率
2 2 n 1.109 10 0.5 x3 x 4 3 3
1龄鱼
2龄鱼
产 卵 孵 化
4龄鱼
3龄鱼
7）模型建立的思路
（1）以第6）点的第一个假设为基础，建立一个简单 的模型一，其实只是联立以上分析的几个方程为一个方程 组。 （2）以第6）点的第二个假设为基础，即将方程组中
方程x4(0)=x3(1)改变为x4(0)=x3 (1)+ x4(1)得模型二。
（3）假设鱼群产卵过程是一种连续的过程，使假设更 加接近于实际情况，得到模型三。
元函数最优值的问题。
模型二：考虑每年的捕捞强度系数不同，得到一个 多元函数的最优值问题。 模型三：对问题中不太大破坏程度下个定义，再给 出一个破坏程度的惩罚因子， 利用多元函数最优值的求
解方法进行求解。
4.不太大破坏程度的定义 由于4龄鱼4年死亡及两年的捕捞造成的数量减少远远 大于其它年龄组的鱼，以致到末期时的数量相对于整个鱼 群的数量是十分微小的。因此 4龄鱼的减少量对生产能力 不妨定义不太大破坏程度为第 1、 2、 3龄鱼减少数量不得
投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这
时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系
数不妨称为捕捞强度系数。通常用13mm网眼的拉网，这种
网只能捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为 0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
1.建立数学模型分析如何
实现可持续捕获（即每年开始
11
1.22 10 5 1.109 10 p1
11
p1 0.5e
k 20.42 3
e

2 ( 1 0.42 ) 2a k 3 3
将上式代入目标函数中得到 H关于k的一元函数，在利用 一维搜索法求一元函数的最小值方法，求得 H 的最大值
为3.887×105 (吨)，捕捞强度系数k=17.36。
这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条 4龄鱼的产卵量
为1.109105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，1
龄鱼和 2龄鱼不产卵 ,产卵和孵化期为每年最后 4个月；卵
孵化并成活为1龄鱼,成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）
为1.22 109/( 1.22 109 +n)。渔业管理部门规定，每年只 允许在产卵孵化期前的 8个月内进行捕捞作业。如果每年
鱼全年以上及3, 4龄鱼在后四个月的数量只与死亡率有关,
x ( t t ) x ( t ) ax ( t )t
两边同时除以t 时，得
x ( t t ) x ( t ) ax( t ) t
两边同时取t0 时的极限
dx ax( t ) dt
(1)
2）对捕捞强度系数的理解
即
(8)
由于捕捞被看成连续的作业，因此捕捞总收获量即年
收获量可以用t 时刻的捕捞量s(t)关于t 在捕捞期内的积分,
H

2 3
0
s( t )dt
(9 )
要求最高的年收获量，即求H的最大值。
6) 四龄鱼在年末进行的两个假设
(1)4龄鱼在年末与鱼群总数量相比十分微小，它们既
不产卵，又不会被捕捞。可以将它们忽略不计，令其退出 系统。 (2)未死亡的4龄鱼在年末的各个特征（重量、产卵个 数等）均不发生改变，即仍会到4龄鱼组中。
11
1.22 10 5 1.109 10 p2
11

e

2 ( 1 0.42 ) k 5 a 3 3
1 e
2 ka 3
再重复模型二的步骤解得Hmax=3.887×105(吨），捕捞强
模型三：实际生活中，遇的产卵过程不可能瞬间完成， 且产卵比例未知，因此问题非常复杂。为了简化模型，我 们用8月底瞬间产卵量和12月底产卵量的几何平均 值来代替连续的总产量，即
关于问题二的参数说明 i ——表示年数，i {1,2,3,4,5}; k ——表示年平均捕捞率； ni ——表示第i年的产卵量; xi,j(t) ——表示j 龄鱼在第i年时刻t的数量； Si,j(t) ——表示t时刻j 龄鱼第i 年的捕捞总重量,j=3,4； Hi ——表示第i 年总收获量，即捕捞总重量。
它应该是一个连续的过程，但鱼在各个时刻的的数量不同，
n 1.109 10 p3 x 3 (0)
5
p3 0.5e
k=17.02。
a 0.28 k 56

e
2.84 k 15 a 6 2 ka 3
1 e
同理可解得 H ma x =3.876 × 10 5 ( 吨）， 捕捞强度系数
t [0,1], t [0,1], t [0, 2 3 ], t [ 2 3 ,1], t [0, 2 3 ], t [ 2 3 ,1].
xi , j 1 (1) xi 1, j (0)
( 2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类似可得到4龄鱼群（前8个月）的数量变化规律
dx ax( t ) kx( t ) dt
3）对于持续捕获的理解
(3)
随着时间的推移，各年龄组的鱼群数量必将发生变化，
但持续捕获要求每年开始捕捞时渔场中各年龄鱼群条数不
变，再根据鱼群的生长规律，我们可以得到关系式：上一
年 龄 组鱼 群 年底 的 数量 等 于下 一 年龄 组 鱼群 年初的数
能使总收获量最高。
二、问题分析
1. 问题一的分析
1）对于死亡率a 的理解
我们定义平均死亡率 a是单位时间鱼群死亡数量与现
有鱼群数量的正比例系数。由假设条件它是一个与环境等
其它因素无关的常数。由于鱼群是连续变化的，而1，2龄 与其它因数无关。设鱼群数量为x，则在时间[t, t+△t]内， 鱼群数量的减少等于鱼群的死亡数量，即
max H s( t )dt
0
2 3
t [0,1], t [0,1], t [0, 2 3 ], t [ 2 3 ,1], t [0, 2 3 ], t [ 2 3 ,1].
x j 1 (1) x j (0)
j 2,3,4.
求解得
1.22 10 x3 (0) 2a e
束条件的方程组中各年龄组的鱼群数量肯定与年数有关，
而不像问题一是一个常量。
2) 问题一中的各变量呈周期变化，因此，只要考虑
一个周期的变化情况即可。 而问题二则不同，其各年的
初值在变化，因此，要考虑每一年的捕获量，在将5年的 捕获量求和，得到一个目标函数。 3. 根据优化问题提出三个模型 模型一：考虑每年的捕捞强度系数相同，转化为一
题目已假定捕捞强度系数k一定，且只在捕捞期内(即
每年的前八个月）捕捞3、4龄鱼，因此只会影响3、4龄鱼
鱼群的数量，而不会影响其它的鱼群数量。我们可以看到
3、4 龄鱼鱼群的数量在捕捞期内不仅与k有关，而且还与 死亡率a有关，类似于1）的分析，可以得到3龄鱼鱼群(前 8个月）的数量变化规律
dx ax( t ) 0.42kx( t ) dt
数量的比例很小,因此可以认为全部死亡或认为还是4龄鱼.
4. 持续捕获是各年龄组的鱼群数量呈周期性变化,周
期为一年,因此可以只考虑鱼群数量在一年内的变化情况 . 5. 不考虑环境影响,各年龄组平均死亡率为0.8%/年.
6. 参数说明 a ——表示年平均固定死亡率，单位1/年; t ——表示时间，t[0,1]; j ——表示j龄鱼，j=1,2,3,4； gj ——表示每条j 龄鱼的平均重量,单位：g; m ——表示每条4龄鱼的产卵量； 关于问题一的参数说明 k ——表示年平均捕捞率； n ——表示每年的产卵量; xj(t) ——表示j龄鱼在时刻t的数量； sj(t) ——表示t 时刻 j龄鱼的捕捞总重量，j=3,4； H ——表示年总收获量，即捕捞总重量。
数学建模
最优捕鱼策略
一、问题的提出
为了保护人类赖以生存的自然环境， 可再生资源(如
渔业、林业资源等）的开发必须适度。一种合理、简化的
策略是：在可实现持续收获的前提下，求最大产量或最佳
效益。考虑对某种鱼（鳀鱼）的最有捕捞策略： 假设这种鱼分4个年龄组：称为1龄鱼，2 龄鱼，3 龄 鱼,4龄鱼.各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55, 17.86,22.99(克)；各年龄组的自然死亡率为0.8(1/年)；
的破坏可以忽略不计，而只考虑 1、2、3龄鱼的数量要求。 大于初始数量的某个百分比，在模型三中，我们
取30%。
三、模型假设
1. 虽然鱼群本身是离散的， 但是突然增加或减少的 只是个体，与整体相比很小，因此我们可以认为大规模鱼
是随时间连续变化的。
2. 根据已知条件，我们可以认为鱼在每年8月底瞬间 将卵全部产完，而卵在12月底全部孵化完毕。 3. 4 龄鱼在第4年末未死亡或未被捕获的数量占全部
捕捞时渔场中各年龄组鱼群条
数不变），并在此前提下得到
最高的年收获量（捕捞总量）。 2.某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5 年后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各
年龄组鱼群数量分别为：122，29.7，10.1,3.29(109条),
如果固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才