高中数学必修一《函数的单调性》

增函数的定义：
一般地，设函数 f (x) 的定义域为 I：
如果对于定义域 I 内_某__个__区_间__D___上的_任_意____两
个 自 变 量 的 值 x1, x2 ， 当 x1 x2 时 ， 都 有
_f_(_x_1)____f __x_2__，那么
就说函数 f (x) 在区间 D
上是增函数.
是减函数.
注：函数在区间D上是增函数或减函数时，称 函数在区间D上为单调函数，区间D为函数的 单调区间。
问题6 根据你对函数单调性的理解，做 下面几个练习题。 练习1 判断以下说法的对与错：
（1）在区间[a,b] 上，若 f (a) f (b) ，
则函数 f (x) 为增函数.
（2）定义在 R 上的函数 f (x) 在 (, 0] 上是增函数，在 (0, )上也是增函数，则函数 f (x) 在 R 是增函数；
练习 2： 若函数 y f (x) 在 R 上是减函数，且
f (x1) f (x2 ) ，则 x1, x2 的大小关系是___x__1____x_2___．
例1.如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x) 的图像,根据图像说出y=f(x)的单调区间,以及在 每一个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数.
③ y=x3
④y 1
x
y
o
x
增区间（-∞,+∞）
单调递减区间为：
(, 0) , (0, )
例2.证明函数 f ( x) 2 , x [2,6]是减函数.
x1
证明单调性步骤: 取值 作差 定号
下结论
【1】证明函数 调性.
f
(x)
x x2 1
在区间(-1,1)上的单
【2】证明函数
f (x)
x
1 x
在（1，+）上
为增函数.
的 证明函数单f (调x) 性x.2kx 1 (k 0)
在区间(-1,1)上
讨论函数
f
(x)
x
1 的单调性. x
1.函数单调性的定义： 增函数
减函数
图像
图像 特征
自左至右, 图象上升.
自左至右, 图象下降.
数量 y随x的增大而增大. y随x的增大而减小.
特征 当x1＜x2时，y1＜y2 当x1＜x2时，y1＞y2
问题1:观察下面函数的图像,并指出它们的上升与下降趋势.
问题 2 在初中我们学过一次函数、二次函数，它们的
图像又有怎样的变化规律？以函数 y x 1、 y x2
为例，作出它们的图像并加以说明.
y
y x 1
O
x
y
y x2
O
x
从左到右，一次函数
y=x+1的图像逐步上升， 即在(-∞，+ ∞)上，y随x
问题4 增函数定义 中的有哪些关键词？
减函数的定义：
问题5 类比增函 数的定义，如何 定义减函数？
如果对于定义域 I 内_某__个__区___间__D__上的_任__意___两个
自 变 量 的 值 x1, x2 ， 当 x1 x2 时 ， 都 有
__f_(_x_1_)___f__x_2______，那么就说函数 f (x) 在区间 D 上
分析:从左向右看图像的升降情况
答:函数y=f(x)的单调区间有
[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. 其中单调增区间是[-2,1),[3,5]. 单调减区间是[-5,-2),[1,3).
根据下列函数图像,写出其单调区间.
① y=3x+2
②y=x2
增区间（-∞,+∞） 增区间[0, +∞）, 减区间（-∞, 0 ]
Fra Baidu bibliotek的增大而__增__大_.
在y轴右侧，二次函数
y=x2的图像也逐步上升， 即在(0，+ ∞) 上，y随x的
增大而___增__大.
问题3 如何用函数的解析式刻画“y随x的增大而
增大”这句话？
y
f (x) x2
f(x2)
f(x1) O x1 x2 x
“y随x的增大而增大” 当x1 x2时，f (x1) f (x2 )
2.函数单调性的判定：
➢定义法
(1)取值:对任意x1,x2∈D,且x1＜x2 (2)作差:f(x1)-f(x2)
(3)定号 (4)下结论
教材P11 练习T4. 教材P12 A组T7,9,10.
感谢下 载