6.1 倒推法解题

01 倒推法解题

学习目标:

1、使学生在解决实际问题的过程中学会用“倒推”的策略寻求解决问题的思路，并能根据实际的问题确定合理的解题步骤，从而有效地解决问题。

2、使学生在对自己解决实际问题过程的不断反思中，感受“逆推”的策略对于解决特定问题的价值，进一步发展分析、综合和简单推理的能力。

3、使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。

教学重点:

学会用倒推的解题策略解决实际问题。

教学难点：

在正确运用策略的过程中感受“倒推”的策略对于解决特定问题的价值。

教学过程：

一、情景体验

1、路线倒推

师：前不久，学校组织大家去春游，还记得吗？

生：记得

师：游玩后一位同学写了这样的一篇数学日记。来，听一听。

（录音：我们8点从学校出发，一路经过黄鹤楼、长江大桥、归元寺，最后到达动物园。下午沿原路返回，你知道我们的返回路线吗？出示：学校→黄鹤楼→长江大桥→归元寺→动物园）

师：谁能回答？

生：返回路线是从动物园出发，经过归元寺、长江大桥、黄鹤楼，最后到学校。

（出示：学校←黄鹤楼←长江大桥←归元寺←动物园）

师：原来你是倒过来想的。

2、翻牌倒推

师：下面老师玩一个小魔术，想不想看？

生：想

师：看好了。

（出示三张牌：先第一张和第二张交换位置，再将第二张和第三张交换位置）师：要想知道原来这三张牌是怎样摆放的，怎么办？

生：（上台操作）先交换第二张和第三张位置，再交换第一张和第二张位置。师：你为什么这样操作？

生：我是倒过来想的，刚才最后交换的是第二和第三张，那我就先交换这两张，在交换第一张和第二张。

师：原来你也是倒过来想的。

3、小结

师：刚才这2个问题，大家都是怎么想的？

生：倒过来想的

师：在数学上，我们把倒过来想的方法称之为“倒推”（板书：倒推）今天这节课，我们就一起来研究怎样用倒推解决生活中的实际问题。二、思维探索（建立知识模型）

展示例题：

例1：有一个数如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，最后除以6，所得的商等于6.求这个数。

师：你了解到哪些信息？

生：我知道一个数加上6，然后乘以6，再减去6，最后除以6，所得的商等于6。求这个数是多少？

师：你能将这些信息进行整理吗？

同座位讨论，其中一人记录。

生：（同座位讨论整理过程）

师：谁来介绍一下你们是怎么整理的？

生：原数→加6→乘以6→减6→除以6→最后得6

师：我们已经整理了信息，你准备怎样解决这个问题？试一试。

生：（尝试解题）

师：谁来介绍你的计算方法？

生1：(6×6+6)÷6-6 =1

师：你能具体说说算式的意思吗？

生：从结果开始想，利用“倒推法”，从最后一个条件“所得的商等于6”向前逐步推算：①“最后除以6，所得的商等于6”，除以6之前的数是6×6 =36；

②“减去6，差是36”，减去6之前的数是36+6 =42；③“乘以6，积是42”，乘以6之前的数是42÷6 =7；④“加上6，和是7”，加上6之前的数是7 -6 =1。。师：你听懂了吗？

这个结果正确吗？你有办法验证吗？

小结：

从结果出发，根据加、减、乘、除互逆运算，由后往前一步一步推出原数的方法。（即倒过来算的的方法）叫倒推法解题

展示例题：

例2：在计算一道除法算式时，把除数32看成23了，结果得到34还余18，这道计算题正确的结果是多少？

师：你从题中知道了什么？

生1：原除数为32，错误的除数为23，商是34，余数是18.

生2：被除数÷除数=商......余数

正确（）÷ 32 =（）......（）

错误（）÷ 23 = 34 (18)

师：你会解决这个问题吗？试一试。

师：谁来说说你是怎么解决的？

生：根据“被除数=除数×商+余数”可求出被除数。

被除数：23×34+18=800

正确：800÷32=25

师：如果题中没有余数或余数相同，我们还可以有其他方法解决吗？

小结：解决错中求解的倒推问题，可先根据错误答案求出不变量，再求正确答案，或根据算式中的变化规律求解。

三、思维拓展（知识模型拓展）

展示例题：

例3蔬菜市场运来一批白菜，第一天卖出总数的一半多3吨，第二天卖出剩下的一半多5吨，这时还剩下6吨白菜。蔬菜市场运来多少吨白菜？

师：认真读题。

你会解决吗？在练习纸上画一画。

师：谁愿意说说你的方法？

生：（边展示边讲解）

生：由图中可以看出剩下的一半是（5+6）吨，所以剩下的是(5+6)×2=22（吨）再加3吨就是原有白菜的一半，所以原有白菜为（22+3）×2=50（吨）

师：大家同意他的做法吗？

小结：解决一半的倒推问题，可采用画图的方式。

展示例题：

例4：小明书包里有若干个巧克力，他每次拿出其中的一半再放回一个，一共这样操作了5次，最后书包里还有3个巧克力，小明书包里原来有多少个巧克力？

师：这题我们要画图吗？

生：可以，但是次数太多太麻烦。

师：那么可以直接计算吗？

生：可以，每个步骤都是一样的。

师：我们可以列个表格试试看。

学生尝试填写，小组讨论完成，教师评价小结。

小结：解决反复操作的倒推问题，可采用列表格的方式。

四、融汇贯通（知识模型的运用）

展示例题：

例5：孙亮、李凡、刘杰、吴莹四人共有240元钱。现在孙亮给李凡15元，李凡给刘杰13元，刘杰给吴莹21元，吴莹给孙亮28元。此时四人拥有的钱数相等。问孙亮原来有多少钱？

师：分析题目，知道最后四人分别有多少元？为什么？

生：最后四人钱数相等且四人前的总数是不变的，所以分别有：240÷4=60（元）。师：那么你们能算出原来孙亮有多少钱吗？

生1：可以列表按照他们给钱的顺序，反过来计算出每一步他们的钱数。

生2：这样太麻烦，我们只要求孙亮原来有多少钱，我们只需要观察孙亮的钱发生了什么变化。

师：非常好。你能找出孙亮钱数的变化吗？

生：孙亮给李凡15元，吴莹给孙亮28元。

师：说得很好！你能求出孙亮原来有多少钱吗？

生：60+15－28＝47元。