2019-2020学年北京市清华附中高一(上)期末数学试卷(1)
北京市清华大学附属中学2019-2020学年高一上学期数学期末考试卷带讲解
则方程 ，即 在 内有实数根，
若函数 在 内有零点．
则 ，解得 ，或 ．
（1） ， ． ．
对称轴： ．
① 时， ， ， （1） ，因此此时函数 在 内一定有零点． 满足条件．
② 时， ，由于 （1） ，因此函数 在 内不可能有零点，舍去．
综上可得：实数 的取值范围是 ， ．
【详解】因为 ，所以 ； ； ； .
故 最大.
故选：B.
【点睛】本题考查了根据实数范围比较实数大小，属于基础题.
5.“ ， ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由 可解得 或 ，即可判断.
【详解】若 ，则 ， ，
即 或 ，
则可得“ ， ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
6.下列区间包含函数 零点的为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.
【详解】 ， ，
， ，
，又 为 上单调递增连续函数
故选：C .
7.函数 的定义域为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
2.下列函数在定义域内单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A， ，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于B， ，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C， ，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；
2021-2022学年北京清华附中高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年北京清华附中高一上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{|20}A x x =-<，{|1}x B x =>e ，则A B = A ．R B ．(,2)-∞ C ．(0,2) D ．(2,)+∞【答案】C【详解】因为集合{|20}{|2}A x x x x =-<=<，{}{}1x 0xB x e x ==,所以,故选C.2．已知命题:(0,)p a ∀∈+∞，12a a+>则p ⌝是（ ） A ．0,()a ∃∈+∞，12a a+> B ．(0,)a ∃∉+∞，12a a+> C ．0,()a ∃∈+∞，12a a +≤ D ．(0,)a ∃∉+∞，12a a+≤ 【答案】C【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得结果.【详解】由全称命题的否定是特称命题知：:(0,)p a ∀∈+∞，12a a+>， p ⌝是0,()a ∃∈+∞，12a a+≤，故选：C.3．已知ln3a =，0.3log 2b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】C【解析】根据函数的性质，指对数,,a b c 先和0，1比较大小，再比较,,a b c 的大小. 【详解】由函数单调性可知ln3ln 1a e =>=，0.3log 20b =<， 0.200.30.31c =<=，01c ∴<<，所以b c a <<. 故选：C4．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上为减函数的是A ．2|sin |y x =B ．cos y x =C ．sin 2y x =D ．|cos |y x =【答案】A【详解】2sin y x =最小正周期π，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，适合；cos y x =最小正周期为2π，不适合；sin2y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，不适合；cos y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，不适合.故选A5．已知1()f x -是函数()10x f x =的反函数，则1(1)f -的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．10 D ．100【答案】A【分析】根据给定条件求出1()f x -的解析式，再代入求函数值作答.【详解】因1()f x -是函数()10x f x =的反函数，则1()lg f x x -=，1(1)lg10f -==， 所以1(1)f -的值为0. 故选：A6．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点，则()cos πα+=（ ）A ．BC ．D 【答案】A【解析】根据任意角三角函数的概念可得出cos α，然后利用诱导公式求解.【详解】因为角α以Ox 为始边，且终边与单位圆交于点，所以cos α=()cos cos παα+=-=故选：A.【点睛】当α以Ox 为始边，已知角α终边上一点的坐标为(),x y 时，则sin α=cos α7．已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解.【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈， 由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集.8．已知指数函数()xf x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ）A ．32B ．23C D 【答案】D【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数a 的等式，进而可求得实数a 的值.【详解】由题意可得()3xg x a =，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，得到函数()23x f x a -=，又因为()xf x a =，所以，23x x a a -=，整理可得23a =，因为0a >且1a ≠，解得a =故选：D.9．已知函数1()sin()f x x ωφ=+（0,2ωφπ><）的部分图象如图所示，则,ωφ的值分别为A ．2,3π B ．2, 3π-C ．1,6π D ．1, 6π-【答案】B【详解】由条件知道：27,36x x ππ== 均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到27sin()0,sin()036w w πφπφ+=+=，由图像知道周期是π ，故2w =，故47sin()0,sin()033πφπφ+=+=，再根据三角函数的对称中心得到4+=k 3πφπ ，故.3πφ=- 如果7433k πφπφπ+=⇒=- ，根据2πφ<，得到.3πφ=-故答案为B ．点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法．10．已知函数()12x f x =-，2()43g x x x =-+，若存在实数a ，b 使得()()f a g b =，则b 的取值范围是（ ） A ．[22,22] B ．(22,22)+C ．[1,3]D ．(1,3)【答案】B【分析】根据给定条件求出函数()f x 的值域，由()g b 在此值域内解不等式即可作答. 【详解】因函数2x y =的值域是(0,)+∞，于是得函数()12x f x =-的值域是(,1)-∞， 因存在实数a ，b 使得()()f a g b =，则()()(,1)g b f a =∈-∞， 因此，2431b b -+<，解得2222b < 所以b 的取值范围是(22,22). 故选：B 二、填空题 11．已知1tan 2x =，则tan 2x 的值为___________.【答案】43113【分析】根据给定条件结合二倍角的正切公式计算作答.【详解】因1tan 2x =，则22122tan 42tan 2131tan 1()2x x x ⨯===--，所以tan 2x 的值为43.故答案为：4312．已知函数ln ,0()e 1,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________.【答案】12m <≤【分析】作出函数()y f x =的图象，把函数()g x 的零点转化为直线y m =与函数()y f x =图象交点问题解决.【详解】由()0g x =得()f x m =，即函数()g x 的零点是直线y m =与函数()y f x =图象交点横坐标，当0x ≤时，()e 1x f x =+是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当0x >时，()ln f x x =是增函数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当12m <≤时，直线y m =与函数()y f x =图象有2个交点，即函数()g x 有2个零点，所以实数m 的取值范围是：12m <≤. 故答案为：12m <≤13．已知{}12max ,,,n x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，…，n x 这n 个数中最大的数.能够说明“a ∀，b ，c ，d ∈R ，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”是假命题的一组整数a ，b ，c ，d 的值依次为___________.【答案】2，1，-1，-2【分析】根据给定条件不妨规定a ，b ，c ，d 的大小，确定命题为真的条件即可推理作答.【详解】依题意，不妨令a b c d >>>，则有{}max ,a b a =，{}max ,c d c =，{}max ,,,a b c d a =，则原命题等价于a c a +≥，因此当0c <时，不等式a c a +≥不成立，即满足条件的只需排序后的第三个数小于0即可，所以，所求的一组整数a ，b ，c ，d 的值依次为：2，1，-1，-2. 故答案为：2，1，-1，-214．已知函数()sin()cos 22f x x xπ=+，给出下列四个命题：①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象关于点(,0)π成中心对称； ③函数()f x 的图象关于直线2x π=-成轴对称； ④函数()f x 在区间3(,)2ππ上单调递增. 其中，所有正确命题的序号是___________. 【答案】①②③【分析】利用诱导公式化简函数()f x ，借助周期函数的定义判断①；利用函数图象对称的意义判断②③；取特值判断④作答.【详解】依题意，()cos cos 2f x x x =，因4(4)cos(4)cos cos cos ()22x xf x x x f x πππ++=+==，()f x 是周期函数，4π是它的一个周期，①正确；因()cos()coscos sin 22πx xf πx πx x +=+=+，()cos()cos2f πx πx πx =---cos sin 2x x =-， 即()()f x f x ππ+=--，因此()f x 的图象关于点(,0)π成对称中心，②正确； 因(2)cos(2)coscos cos 222πxf πx πx x x -+=-+=--+，(2)cos(2)coscos cos 222πx f πx πx x x --=--=---， 即(2)(2)f πx f πx -+=--，因此()f x 的图象关于直线2x π=-成轴对称，③正确； 因()cos cos 02f πππ==，4421()cos cos 3334f πππ==，333()cos cos 0224f πππ==，显然有4332πππ<<，而34()()()23f f f πππ=<，因此函数()f x 在区间3(,)2ππ上不单调递增，④不正确，所以，所有正确命题的序号是①②③. 故答案为：①②③【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，(1)存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.(2)存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称. 三、双空题15．已知[3,1]x ∈--，则函数42y xx =++的最大值为___________，最小值为___________. 【答案】 2- 3-【分析】利用对勾函数的单调性直接计算函数的最大值和最小值作答.【详解】因函数42y x x =++在(,2)-∞-上单调递增，在(2,0)-上单调递减，当[3,1]x ∈--时，函数42y xx =++在[3,2]--上单调递增，在[2,1]--上单调递减，即有当2x =-时，max 2y =-，而当3x =-时，73y =-，当1x =-时，3y =-，则min 3y =-，所以函数42y xx =++的最大值为2-，最小值为3-.故答案为：2-；3- 四、解答题16．求下列关于x 的不等式的解集： (1)517x ≥--； (2)222320a x ax -->【答案】(1){2x x ≤或}7x >； (2)答案见解析.【分析】（1）将原不等式变形为207x x -≥-，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集；（2）分0a =、0a <、0a >三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集. (1)解：由517x ≥--得521077x x x -+=≥--，解得2x ≤或7x >， 故不等式517x ≥--的解集为{2x x ≤或}7x >. (2)解：当0a =时，原不等式即为20->，该不等式的解集为∅； 当0a ≠时，220a >，原不等式即为()()2120ax ax +->. ①若0a <，则122a a ->，原不等式的解集为2x x a ⎧<⎨⎩或12x a ⎫>-⎬⎭；②若0a >，则122a a -<，原不等式的解集为12x x a ⎧<-⎨⎩或2x a ⎫>⎬⎭. 综上所述，当0a =时，原不等式的解集为∅； 当0a <时，原不等式的解集为2x x a ⎧<⎨⎩或12x a ⎫>-⎬⎭；当0a >时，原不等式的解集为12x x a ⎧<-⎨⎩或2x a ⎫>⎬⎭. 17．己知集合{}24xA x =>，{}2B x x a =-<，其中0a >且 1. a ≠(1)当2a =时，求A B 及A B ；(2)若集合{}log 0a C x x =<且C B ⊆，求a 的取值范围. 【答案】(1){}0A B x x ⋃=>，{}24A B x x ⋂=<<； (2)12a <≤.【分析】（1）当2a =时，解出集合A 、B ，利用交集和并集的定义可求得集合A B 及A B ；（2）解出集合B ，分01a <<、1a >两种情况讨论，解出集合C ，由C B ⊆可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：当2a =时，由22x -<可得222x -<-<，解得04x <<，即{}04B x x =<<，因为{}{}242xA x x x =>=>，故{}0AB x x ⋃=>，{}24A B x x ⋂=<<.(2)解：由2x a -<得22x a -<-<，即22a x a -<<+，所以，{}22B x a x a =-<<+. 当01a <<时，{}{}log 01a C x x x x =<=>，此时C B ⊄；当1a >时，{}{}log 001a C x x x x =<=<<， 由C B ⊆可得20211a a a -≤⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得12a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是12a <≤. 18．已知函数()2sin sin f x x x x =+. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】(1)函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)最大值为32，最小值为12-.【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期，解不等式()222Z 262k x k k πππππ-≤-≤+∈可得出函数()f x 的单调递增区间；（2）由236x ππ-≤≤可求得26x π-的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数()f x 的最大值和最小值.(1)解：因为()21cos 2sin sin 22xf x x x x x -=+=+1112cos 2sin 22262x x x π⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭. 所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由()222Z 262k x k k πππππ-≤-≤+∈，解得()Z 63k x k k ππππ-≤≤+∈，因此，函数()f x 的单调递增区间为(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2) 解：因为236x ππ-≤≤，所以，32266x πππ-≤-≤， 所以，当262x ππ-=-时，函数()f x 取最小值，即()min 11122f x =-+=-，当3262x ππ-=-时，函数()f x 取最大值，即()max 13122f x =+=. 19．已知函数2()21f x x ax a =++-.(1)若()f x 的图象恒在直线1y =-上方，求实数a 的取值范围； (2)若不等式()0f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)08a <<； (2)1a ≥.【分析】(1)根据给定条件可得2211x ax a ++->-恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得.(2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答. (1)因函数2()21f x x ax a =++-的图象恒在直线1y =-上方，即R x ∀∈，2221120x ax a x ax a ++->-⇔++>， 于是得280a a ∆=-<，解得08a <<， 所以实数a 的取值范围是：08a <<. (2)依题意，(0,)∀∈+∞x ，()222121010f x x ax a a x x -++-≥⇔≥≥-+⇔，令11x t +=>，22212(1)11241x t t x t t---==+-+， 令函数1()24g t t t=+-，(1,)t ∈+∞，1212,(1,),t t t t ∀∈+∞<，1212121212111()()22()(2)g t g t t t t t t t t t -=+--=--，而121t t <<，即120t t -<，12120t t ->， 则有12()()0g t g t -<，即12()()g t g t <，于是得()g t 在(1,)t ∈+∞上单调递增，因此，1t ∀>，()(1)1g t g >=-，即22111x x ->-+，从而有22111x x --<+，则1a ≥， 所以实数a 的取值范围是1a ≥.20．已知02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫= ⎪⎝⎭-(1)求cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求sin β的值： (3)求αβ-的值.【答案】； (2)13-；(3)4π.【分析】（1）同角三角函数平方关系求得sin 4πα⎛⎫= ⎪⎝⎭+，sin 42πβ⎛⎫⎪⎝⎭-[()()]2442βπααπβ--+=+及差角余弦公式求值即可.（2）由诱导公式、二倍角余弦公式可得2sin cos()2cos ()1242ππβββ=-=--，即可求值.（3）由（1）及和角正余弦公式求cos α、sin α，由（2）及平方关系求cos β，最后应用差角余弦公式求cos()αβ-，结合角的范围求αβ-. (1) 由题设，3444πππα<+<，4422ππβπ<-<，∴sin 4πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+，sin 42πβ⎛⎫= ⎪⎝⎭-又cos cos[()()]cos()cos()sin()sin 42424()24424πβπβπβπππαβααα⎛⎫+=+-=+---++=⎪⎝⎭. (2)21sin cos()2cos ()12423ππβββ=-=--=-.(3)由1cos sin )43πααα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则cos sin αα-=由sin sin )4πααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭4cos sin 3αα+=，∴cos α=sin α=1sin 3β=-，02πβ-<<，则cos β=，∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+=0αβπ<-<，故4αβ-=π.21．己知函数()f x 的定义域为D ，若存在实数a ，使得对于任意1x D ∈都存在2x D ∈满足()122x f x a +=，则称函数()f x 为“自均值函数”，其中a 称为()f x 的“自均值数”.(1)判断函数()2x f x =是否为“自均值函数”，并说明理由：(2)若函数()sin()(0)6g x x πωω=+>，[0,1]x ∈为“自均值函数”，求ω的取值范围；(3)若函数2()23h x tx x =++，[0,2]x ∈有且仅有1个“自均值数”，求实数t 的值. 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)5[,)6π+∞； (3)12-.【分析】(1)假定函数()2x f x =是 “自均值函数”，由函数2()f x 的值域与函数12y a x =-的值域关系判断作答.(2)根据给定定义可得函数2()g x 在[0,1]上的值域包含函数12y a x =-在[0,1]上的值域，由此推理计算作答.(3)根据给定定义可得函数2()h x 在[0,2]上的值域包含函数12y a x =-在[0,2]上的值域，再借助a 值的唯一性即可推理计算作答. (1)假定函数()2x f x =是 “自均值函数”，显然()2x f x =定义域为R ，则存在R a ∈，对于1x ∀∈R ，存在2R x ∈，有2122x x a +=， 即2122x a x =-，依题意，函数22()2xf x =在R 上的值域应包含函数12y a x =-在R 上的值域，而当2R x ∈时，2()f x 值域是(0,)+∞，当1R x ∈时，12y a x =-的值域是R ，显然(0,)+∞不包含R ，所以函数()2x f x =不是 “自均值函数”. (2)依题意，存在R a ∈，对于1[0,1]x ∀∈，存在2[0,1]x ∈，有12()2x g x a +=，即21sin()26x a x πω+=-，当1[0,1]x ∈时，12y a x =-的值域是[21,2]a a -，因此22()sin()6g x x πω=+在2[0,1]x ∈的值域包含[21,2]a a -， 当2[0,1]x ∈时，而0>ω，则2666x πππωω≤+≤+，若62ππω+≤，则2min 1()2g x =，2()1g x ≤，此时2()g x 值域的区间长度不超过12，而区间[21,2]a a -长度为1，不符合题意， 于是得62ππω+>，2max ()1g x =，要22()sin()6g x x πω=+在2[0,1]x ∈的值域包含[21,2]a a -，则22()sin()6g x x πω=+在2[0,1]x ∈的最小值小于等于0，又23[,]622x πππω+∈时，2()g x 递减，且()0π=g ， 从而有6πωπ+≥，解得56πω≥，此时，取12a =，12y a x =-的值域是[0,1]包含于2()g x 在2[0,1]x ∈的值域， 所以ω的取值范围是5[,)6π+∞. (3)依题意，存在R a ∈，对于1[0,2]x ∀∈，存在2[0,2]x ∈，有12()2x h x a +=，即2221232tx x a x ++=-，当1[0,2]x ∈时，12y a x =-的值域是[22,2]a a -，因此2222()23h x tx x =++在2[0,2]x ∈的值域包含[22,2]a a -，并且有唯一的a 值，当0t ≥时，2()h x 在[0,2]单调递增，2()h x 在2[0,2]x ∈的值域是[3,47]t +，由[22,2][3,47]a a t -⊆+得223247a a t -≥⎧⎨≤+⎩，解得57222a t ≤≤+，此时a 的值不唯一，不符合要求，当0t <时，函数2222()23h x tx x =++的对称轴为21x t=-，当12t -≥，即102t -≤<时，2()h x 在[0,2]单调递增，2()h x 在2[0,2]x ∈的值域是[3,47]t +， 由[22,2][3,47]a a t -⊆+得223247a a t -≥⎧⎨≤+⎩，解得57222a t ≤≤+，要a 的值唯一，当且仅当57222t =+，即15,22t a =-=，则12t =-， 当102t <-<，即12t <-时，2max 11()()3h x h t t =-=-，2min ()min{(0),(2)}h x h h =，(0)3h =，(2)47h t =+，由1[22,2][3,3]a a t -⊆-且112t -≤<-得：531222a t≤≤-，此时a 的值不唯一，不符合要求，由1[22,2][47,3]a a t t-⊆+-且1t <-得，9312222t a t +≤≤-，此时a 的值不唯一，不符合要求，综上得：12t =-，所以函数2()23h x tx x =++，[0,2]x ∈有且仅有1个“自均值数”，实数t 的值是12-.【点睛】结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集.。
北京清华附中2022年高一上学期期末数学试题及答案
高一第一学期期末试卷数学（清华附中高21级）2022.01.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若集合{|20}A x x =−<，{|1}xB x =>e ，则AB =( )A.RB.(,2)−∞ C.(0,2)D.(2,)+∞2．已知命题:p (0,)a ∀∈+∞，12a a+>，则p ⌝是 ( ) A.(0,)a ∃∈+∞，12a a +> B.(0,)a ∃∉+∞，12a a +>C.(0,)a ∃∈+∞，12a a+≤ D.(0,)a ∃∉+∞，12a a+≤3． 已知n 3l a =，0.3log 2b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为( )A .a c b<<B .b c a<<C .a b c<<D .c a b<<4．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上为减函数的是( )A. sin 2y x =B. 2cos y x =C. tan y x =−D.cos2x y =5．已知f −1(x )是函数f (x )=10x 的反函数，则 f −1(1) 的值为 ( )A.0B.1C.10D.1006．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点()33−，则cos()απ+=( )B .3C .3−D 37． 已知实数α，β，则 “k αβ=π+，k ∈Z ”是”sin 2sin 2αβ=”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8． 已知指数函数()x f x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是( )A.32B.23C.39． 已知函数1()sin()f x x ωϕ=+ (其中0,2πωϕ><)的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为 ( )A. 2, 3πB. 2, 3π− C. 1, 6π D. 1, 6π−10． 已知函数()12x f x =−，2()43g x x x =−+，若存在实数,a b 使得()()f a g b =，则b 的取值范围是( )A ．2⎡⎣B ．(2C ．[]1,3D ．(1,3)第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
【35套试卷合集】清华大学附属中学2019-2020学年数学高一上期末模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1.设集合M={-1，1}，N={x|{x＜0或x＞}，则下列结论正确的是（）A.N⊆MB.N∩M=∅C.M⊆ND.M∪N=R2.设=（2，-1），=（-3，4），则2+等于（）A.（3，4）B.（1，2）C.-7D.33.下列函数是偶函数的是（）A.y=x3B.y=3xC.y=2x2-1D.y=x2+2x-14.在△ABC中，=，=，若点D满足=2，则=（）A.+B.+C.+D.-5.已知a=0.23.5，b=0.24.1，c=e1.1，d=log0.23，则这四个数的大小关系是（）A.a＜b＜c＜dB.a＞b＞c＞dC.d＜b＜a＜cD.b＞a＞c＞d6.设f（x）=e x+x-4，则函数f（x）的零点所在区间为（）A.（-1，0）B.（0，1）C.（1，2）D.（2，3）7.下列函数中，周期为π，且在[]上为减函数的是（）A.y=sin（x+）B.y=cos（x+）C.y=cos（2x+）D.y=sin（2x+）8.已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2-x，那么当x＞0时f（x）的解析式是（）A.f（x）=-x2-xB.f（x）=x2+xC.f（x）=x2-xD.f（x）=-x2+x9.已知，则夹角θ为钝角时，λ取值范围为（）A. B. C.λ＞-且λ≠2 D.λ＜-且λ≠210.设函数f（x）定义在实数集上，当x≥1时，f（x）=3x-1，且f（x+1）是偶函数，则有（）A. B.C. D.11.已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（），则φ的值可以为（）A. B. C. D.12.若函数在区间(-∞，1]上为减函数，则a的取值范围是( )A.(0，1)B.[2，+∞)C.[2，3)D.(1，3)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.若非零向量，满足||=||，（2+）•=0，则与的夹角为 ______ ．14.已知sin（-α）=，则cos（π-α）= ______ ．15.函数y=的定义域为 ______ ．16. 设函数，则下列结论正确的是 ______ （写出所有正确的编号）．①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在区间上单调递增；③f（x）取得最大值的x的集合为④将f（x）的图象向左平移个单位，得到一个奇函数的图象三、解答题17.（本题10分）已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m-1≤x≤2m+1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围．18.（本题12分）已知向量，满足：||=1，||=2，且，夹角为120°（1）求|-2|（2）若（+2）⊥（k-），求实数k的值．19.（本题12分）已知sinα=且α是第二象限角．（1）求tanα的值（2）求sinα•cosα-cos2α的值；（3）求的值．20.（本题12分）已知函数图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为．（1）求该函数的解析式．（2）若，求f（x）的值域．21.（本题12分）已知f（x）=-sin（2x+）+2，求：（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程（2）f（x）的单调递增区间（3）若方程f（x）-m+1=0在x∈[0，]上有解，求实数m的取值范围．22.（本题12分）已知函数（a＞0，a≠1，m≠-1），是定义在（-1，1）上的奇函数．（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并给出证明；（3）若且f（b-2）+f（2b-2）＞0，求实数b的取值范围．数学答案【答案】1.C2.B3.C4.C5.C6.C7.D8.A9.C 10.D 11.A 12.C13.120°14.- 15.（3，] 16.①②④17.解：根据题意，若A∪B=A，必有B⊆A，分2种情况讨论：①当B=∅时，即2m+1＜m-1，解可得，m＜-2；（2分）②当B≠∅时，即2m+1≥m-1，解可得，m≥-2；（4分）此时有，解可得-1≤m≤3；（7分）综合可得：m的取值范围为m≤-2或-1≤m≤3．（10分）18.解：（1）=1，=4，=1×2×cos120°=-1，（2分）∴|-2|2=2-4+42=21，（4分）∴||=．（6分）（2）∵（+2）⊥（k-），∴（+2）•（k-）=0，（8分）即k-+2k-2=0，（10分）∴k-（2k-1）-8=0，解得k=-7．（12分）19. 解：（1）∵sinα=且α是第二象限角，…∴cosα=-=-，…（2分）∴tanα==-．…（3分）（2）sinα•cosα-cos2α==…（5分）==．…（7分）（3）原式==-…（9分）=-…（10分）==2．…（12分）20.解：（1）由题意可得，A=3，==-=，解得ω=2；（3分）再把点（，3）代入函数的解析式可得： 3sin （+φ）=3，即sin （+φ）=1；所以，Z k k ∈+=+2265ππφπ 再结合|φ|＜，可得φ=-，（5分）故此函数的解析式为f （x ）=3sin （2x-）；（6分）（2）x ∈[0，]时， 2x-∈[-，]，sin （2x-）∈[-，1]，（8分） 所以x=0时，sin （2x-）=-，此时f （x ）取得最小-，x=时，sin （2x-）=1，此时f （x ）取得最大值3，（10分）所以函数f （x ）的值域是[-，3]． （12分） 21.解：（1）由于f （x ）=-sin （2x+）+2，它的最小正周期为=π，（1分）令2x +=k π+，求得x=+，（2分）k ∈，故函数f （x ）的图象的对称轴方程为x=+，k ∈．（4分） （2）令2k π+≤2x+≤2k π+，求得k π+≤x ≤k π+，（6分）可得函数f （x ）的增区间为[k π+，k π+]，k ∈．（8分）（3）若方程f （x ）-m+1=0在x ∈[0，]上有解，则函数f （x ）的图象和直线y=m-1在x ∈[0，]上有交点．∵x ∈[0，]，∴2x+∈[，]，sin （2x+）∈[-，1]，f （x ）∈[2-，]，（10分） 故m-1∈[2-，]，∴m ∈[3-，]． （12分）22.解：（I ）∵f （0）=log a 1=0． 因为f （x ）是奇函数，所以：f （-x ）=-f （x ）⇒f （-x ）+f （x ）=0 ∴log a +log a=0；∴log a=0⇒=1，即∴1-m 2x 2=1-x 2对定义域内的x 都成立．∴m 2=1．（3分） 所以m=1或m=-1（舍） ∴m=1． （3分）（II）∵m=1∴f（x）=log a；设设-1＜x1＜x2＜1，则∵-1＜x1＜x2＜1∴x2-x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0∴t1＞t2．（6分）当a＞1时，log a t1＞log a t2，即f（x1）＞f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（-1，1）上是减函数．（7分）当0＜a＜1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．∴当0＜a＜1时，f（x）在（-1，1）上是增函数．（8分）（III）由f（b-2）+f（2b-2）＞0得f（b-2）＞-f（2b-2），∵函数f（x）是奇函数∴f（b-2）＞f（2-2b）（9分），∴0＜a＜1由（II）得f（x）在（-1，1）上是增函数∴（10分）∴∴b的取值范围是（12分）2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共４页，满分120分．考试限定用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考籍号分别填写在试卷和答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 第Ⅰ卷共10题，每小题4分，共40分.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号．只能涂在答题纸上, 答在试卷上无效．参考公式：12．球的表面积公式24S R π=,，其中R 为球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{0,1,2,3},{1,3}U A ==，则集合U C A =A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2 2．空间中，垂直于同一直线的两条直线A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能 3．已知幂函数()αx x f =的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则()4f 的值等于 A ．16 B.116 C ．2 D.124.A.（-2,1）B.[-2,1]C.()+∞-,2D. (]1,2- 5．动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值为AB D ．26．已知圆0964:221=+--+y x y x c ，圆019612:222=-+++y x y x c ，则两圆位置关系是A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离7．设()x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，()x x x f -=22，则()1f 等于A ．－3B ．－1C ．1D ．38．函数yA ．RB ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(2，＋∞) D. (0，＋∞)9．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是A. 78 cm 3B.23cm 3C.56 cm 3D. 12cm 3 10．已知函数()y f x =的定义域为{|x x R ∈且2}x ≠，且()2y f x =+是偶函数，当2x < 时，，那么当2x >时，函数()f x 的递减区间是A ．()3,5B ．()3,+∞C ．(]2,4D ．()2,+∞第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 计算 =+⨯+2lg 5lg 2lg )5(lg 2________.12. 已知直线013:1=-+y ax l 与直线()0112:2=+-+y a x l 垂直，则实数a =_____. 13．设()()()x f x g x x g =++=2,32，则()x f =________.14. 已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的体积为 . 15. 圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是 .三、解答题本大题共6小题, 共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分8分）设集合{|13}A x x =-≤<，{|242}B x x x =-≥-， {|1}C x x a =≥-.（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若B C C =，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分8分）已知平面内两点(8,6)(22)A B -，，.（Ⅰ）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程； （Ⅱ）求线段AB 的垂直平分线方程.18．（本小题满分10分）已知函数()log (1)log (3) (01)a a f x x x a =-++<<. （Ⅰ）求函数()f x 的零点；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值.19.（本小题满分10分）已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (Ⅰ)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(Ⅱ)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．20．（本小题满分12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，△ABC 是边长为4的等边三角形，D 为AB 边中点，且CC 1=2AB ． （Ⅰ）求证：平面C 1CD⊥平面ADC 1； （Ⅱ）求证：AC 1∥平面CDB 1； （Ⅲ）求三棱锥D ﹣CAB 1的体积．21. （本小题满分12分）已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b >0成立．(Ⅰ)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明； (Ⅱ)解不等式：()()x f x f 3112-<-；(Ⅲ)若f(x)≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CDDDBCABAC二、填空题11、1 12、35 13、2x ＋7 14、15、x 2＋y 2－10y ＝0 三、解答题16、解： (Ⅰ)由题意知，{|2}Bx x =≥ 2分所以{}|23A B x x ⋂=≤< 4分 (Ⅱ)因为B C C ⋃=，所以B C ⊆ 6分 所以12a -≤，即3a ≤ 8分 17、解：(Ⅰ)2分 得直线l 的方程4310x y ++= 4分 (Ⅱ)因为AB 的中点坐标为(5,2)-，AB 的垂直平分线斜率为分 得AB 的中垂线方程为34230x y --= 8分18、解：(Ⅰ)要使函数有意义：则有1030x x -⎧⎨+⎩>>，解之得：31x -<< 2分函数可化为2()log (1)(3)log (23)a a f x x x x x =-+=--+由()0f x =，得2231x x --+=即2220xx +-=，()f x ∴的零点是分(Ⅱ)函数化为：22()log (1)(3)log (23)log (1)4a a a f x x x x x x ⎡⎤=-+=--+=-++⎣⎦31x -∵<< 201)44x ++≤∴<-( 7分01a ∵<<2log (1)4log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦∴即min ()log 4a f x =由log 44a =-，得44a-=，分 19、解：(Ⅰ)若直线l 与圆C 相切，则有圆心（0,4）到直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0的分分 (Ⅱ)过圆心C 作CD ⊥AB ，垂足为D.则由AB ＝22和圆半径为2得CD ＝2 7分所以解得7-=a 或1-.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 10分20、解：(Ⅰ)∵CC 1⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AB∵△ABC 是等边三角形,CD 为AB 边上的中线，∴C D ⊥AB 2分∵CD ∩CC 1=C ∴AB ⊥平面C 1CD∵AB ⊂平面ADC 1∴平面C 1CD⊥平面ADC 1； 4分(Ⅱ)连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结DO ．则O 是BC 1的中点，DO 是△BAC 1的中位线．∴DO∥AC 1．∵DO ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1； 8分 (Ⅲ)∵CC 1⊥平面ABC ，BB 1∥CC 1，∴BB 1⊥平面ABC ．∴BB 1 为三棱锥D ﹣CBB 1 的高．=．∴三棱锥D ﹣CAB 1的体积为． 12分21、解：(Ⅰ)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数，∴f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1)＋f(－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)， 2分由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．∴f(x)在[－1,1]上单调递增． 4分(Ⅱ)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-x x x x 3112131111216分7分(Ⅲ)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]恒成立． 9分下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.综上，m＝0或m≤－2或m≥2 12分2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案1．直线3ax －y －1＝0与直线(a －23)x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1或13B ．1或13C ．－13或－1D ．－13或1解析：选D.由3a(a －23)＋(－1)×1＝0，得a ＝－13或a ＝12．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积为A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确解析：选A.由三视图知该几何体为一个圆锥，其底面半径为3 cm ，母线长为5 cm ，高为4 cm ，求表面积时不要漏掉底面积．3．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为 A ．3 cm B ．6 cm C ．8 cmD ．12 cm解析：选B.设大铁球的半径为R ，则有43πR 3＝43π·(62)3＋43π· (82)3＋43π·(102)3，解得R ＝6.4．已知点A(1－t,1－t ，t)，B(2，t ，t)，则A 、B 两点距离的最小值为( ) A.55 B.555C.355D ．2解析：选C.由距离公式d(A 、B) ＝[2－(1－t )]2＋[t －(1－t )]2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2＝5(t －15)2＋95，显然当t ＝15时，d(A 、B)min ＝355，即A 、B 两点之间的最短距离为355. 5．(2011年高考四川卷)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面解析：选B. A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定6．对于直线m 、n 和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β解析：选C.⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎬⎫m ∥n n ⊥β⇒m ⊥β m ⊂α⇒α⊥β7．在空间四边形ABCD 中，若AB ＝BC ，AD ＝CD ，E 为对角线AC 的中点，下列判断正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面BDCB ．平面ABC ⊥平面ABD C ．平面ABC ⊥平面ADCD ．平面ABC ⊥平面BED解析：选D.如图所示，连接BE 、DE.⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎬⎫BE ⊥AC DE ⊥AC ⇒AC ⊥平面BDE AC ⊂平面ABC⇒平面ABC ⊥平面BDE.8．已知直线l ：y ＝x ＋m 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－1,1)C ．[1，2)D ．(－2，2)解析：选C. 曲线y ＝1－x 2表示单位圆的上半部分，画出直线l 与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l 在过点(－1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l 与曲线有两个交点．当直线l 过点(－1,0)时，m ＝1；当直线l 为圆的上切线时，m ＝2(注：m ＝－2，直线l 为下切线)．9．若⊙C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4和⊙C 2：x 2＋y 2＋2x －4my ＝8－4m 2相交，则m 的取值范围是( )A ．(－125，－25)B ．(0,2)C ．(－125，－25)∪(0,2) D ．(－125，2) 解析：选C.圆C 1和C 2的圆心坐标及半径分别为C 1(m,0)，r 1＝2，C 2(－1,2m)，r 2＝3.由两圆相交的条件得3－2<|C 1C 2|<3＋2，即1<5m 2＋2m ＋1<25，解得－125<m<－25或0<m<2 β.10．已知圆C ：(x －a)2＋(y －2)2＝4(a>0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 的值等于( )A. 2B.2－1 C ．2－ 2D.2＋1解析：选B.圆心(a,2)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2，依题意⎝⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋⎝⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝2－1.11．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是 A ．2πR 2 B.94πR 2C.83πR 2 D.52πR 2解析：选B.如图所示，设圆柱底面半径为r，则其高为3R－3r，全面积S＝2πr2＋2πr(3R－3r)＝6πRr－4πr2＝－4π(r－34R)2＋94πR2，故当r＝34R时全面积有最大值94πR2.12. 如图所示，三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N分别在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2x(x∈[0,3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N－AMC 的体积V与x的变化关系，其中正确的是()解析：选A.V＝13S△AMC·NO＝13(12×3x×sin30°)·(8－2x)＝－12(x－2)2＋2，x∈[0,3]，故选A.二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13．三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程．解：AC边上的高线2x－3y＋1＝0，所以k AC＝－3 2.所以AC的方程为y－2＝－32(x－1)，即3x＋2y－7＝0，同理可求直线AB 的方程为x －y ＋1＝0. 下面求直线BC 的方程，由⎩⎨⎧ 3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得顶点C(7，－7)， 由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得顶点B(－2，－1)． 所以k BC ＝－23，直线BC ：y ＋1＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y ＋7＝0.14．过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是________． 解析：易求得AB 的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y ＝x ，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x ＋y －2＝0联立得到圆心O(1,1)，半径r ＝|OA|＝2.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝415. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥平面⊙O ，C 为圆周上一点，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，则B 到平面PAC 的距离为________．解析：连接BC.∵C 为圆周上的一点，AB 为直径，∴BC ⊥AC. 又∵PA ⊥平面⊙O ，BC ⊂平面⊙O ， ∴PA ⊥BC ，又∵PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC ，C 为垂足， ∴BC 即为B 到平面PAC 的距离． 在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝52－22＝21(cm)． 答案：21 cm16．下列说法中正确的是________．①一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．解析：由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确．因为经过直线外一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面．故③错误．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明：(1)因为E、F分别是AP、AD的中点，∴EF∥PD，又∵P，D∈面PCD，E，F∉面PCD，∴直线EF∥平面PCD.(2)∵AB＝AD，∠BAD＝60°，F是AD的中点，∴BF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴BF⊥面PAD，∴平面BEF⊥平面PAD.18．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，F为BD的中点，G在CD上，且CG＝CD4，H为C1G的中点，求：(1)FH的长；(2)三角形FHB的周长．解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由于正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，B(1，1,0)，G(0，34，0)，C1(0,1，1)．(1)因为F 和H 分别为BD 和C 1G 的中点， 所以F(12，12，0)，H(0，78，12)．所以FH ＝ (12－0)2＋(12－78)2＋(0－12)2 ＝418.(2)由(1)可知FH ＝418， 又BH ＝ (1－0)2＋(1－78)2＋(0－12)2`＝98，BF ＝22， 所以三角形FHB 的周长等于42＋41＋98.19.已知()()1,011log ≠>-+=a a xxx f a且 （1）求()x f 的定义域; （2）证明()x f 为奇函数;（3）求使()x f >0成立的x 的取值范围. （14分） 19；解：（1）()().011,011,011<-+<-+∴>-+x x x x x x 即()()11,11，x f x -∴<<-∴的定义域为（2）证明：()()()x f xxx x x x x f x x x f aa a a -=-+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=+-=-∴-+=-11log 11log 11log ,11log 1()x f ∴中为奇函数. （3）解当a>1时, ()x f >0,则111>-+x x ，则012,0111<-<+-+x xx x ()10,012<<∴<-∴x x x因此当a>1时,使()0>x f 的x 的取值范围为（0,1）.10<<a 当时, ()1110,0<-+<>xxx f 则则,011,0111<-+>+-+xxx x解得01<<-x因此10<<a 当时, 使()0>x f 的x 的取值范围为（-1,0）.20．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点O ？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：法一：假设存在且令l 为y ＝x ＋m.圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C(1，－2)，则AB 中点N 是两直线x －y ＋m ＝0与y ＋2＝－(x －1)的交点，即N(－m ＋12，m －12)．以AB 为直径的圆过原点，|AN|＝|ON|. 又CN ⊥AB ，|CN|＝|1＋2＋m|2， 所以|AN|＝CA 2－CN 2＝9－(3＋m )22.又|ON|＝(－m ＋12)2＋(m －12)2，由|AN|＝|ON|，得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. 法二：假设存在，令y ＝x ＋m ， 由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0， 消去y ，得2x 2＋(2m ＋2)x ＋m 2＋4m －4＝0.① 因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.由方程①，得x 1＋x 2＝－m －1，x 1x 2＝m 2＋4m －42.②y 1y 2＝(x 1＋m)(x 2＋m)＝x 1x 2＋m(x 1＋x 2)＋m 2， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m(x 1＋x 2)＋m 2＝0. 把②代入，m 2＋3m －4＝0.解得m ＝1或m ＝－4. 将m ＝1和m ＝－4分别代入方程①，检验得Δ>0，所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.21. 如图△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；(3)求几何体ADEBC的体积V.解：(1)证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH.∵G，F分别是EC和BD的中点，∴HG∥BC，HF∥DE.又∵四边形ADEB为正方形，∴DE∥AB，从而HF∥AB.∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.∴平面HGF∥平面ABC.∴GF∥平面ABC.(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.∴BE⊥AC.又∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.∴AC⊥平面BCE.从而平面EBC⊥平面ACD.(3)取AB的中点N，连接CN，∵AC＝BC，∴CN ⊥AB ，且CN ＝12AB ＝12a.又平面ABED ⊥平面ABC ， ∴CN ⊥平面ABED. ∵C －ABED 是四棱锥，∴V C －ABED ＝13S ABED ·CN ＝13a 2·12a ＝16a 3.22．已知圆x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON(O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，可化为 (x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x 得(4－2y)2＋y 2－2×(4－2y)－4y ＋m ＝0， 化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0 即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得 16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m＝8 5.(3)由m＝85，代入5y2－16y＋m＋8＝0，2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球的组合体2．已知A （-1，3）、B （3，-1），则直线AB 的倾斜角为( )A. 45oB. 60oB. 120oD. 135o3．已知直线1:21l y x =+，若直线2l 与1l 关于直线1x =对称，则2l 的斜率为( )A ．－2B ．－12 C.12D ．24．123,,l l l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A ．1223,l l l l ⊥⊥13l l ⇒PB ．1223,l l l l ⊥P 13l l ⇒⊥C ．123l l l P P 123,l l l ⇒,共面D ．123,l l l ,共点123,l l l ⇒,共面5．在空间直角坐标系中一点P （1，3，4）到x 轴的距离是（ ） A ．5 B ．10 C ．17 D ．266．若两条平行线12,l l 的方程分别是2x ＋3my －m ＋2＝0， mx ＋6y －4＝0，记12,l l 之间的距离为d ，则m ，d 分别为（ ）A. m=2，d=41313B. m=2，d=105C. m =2，d=2105D. m =–2，d=1057．设, l m 是两条不同直线，, αβ是两个不同平面，下列命题正确的是（ ） A ．若,l m m α⊥⊂，则lα⊥ B ．若,l l αβP P ，则αβ//C ．若,l l m α⊥P ，则m α⊥D ．若,l ααβ⊥P ，则l β⊥8．直线y =—3x 绕原点按逆时针方向旋转090后所得直线与圆 (x-2)2+y 2=1的位置关系是（ ）A ．直线过圆心B ．直线与圆相交，但不过圆心C ．直线与圆相切D ．直线与圆没有公共点9．平面α的斜线l 与平面α所成的角是45°，则斜线l 与平面α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°10．则这个球的表面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．2π11．点P(4，－2)与圆224x y ＋＝上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．22(2)1)1x y -+＋(＝B ．22(2)1)4x y -+＋(＝C ．22(4)2)4x y +-＋(＝D ．22(2)1)1x y +-＋(＝12．设集合{(,)|}A x y y x ==与集合{(,)|}B x y x a a R ==∈，若A B ⋂的元素只有一个，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a =．11a -<<或a =C ．a =11a -≤< D ．11a -<≤或a =第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置上.) 13．若直线3y x b =+过圆22240x y x y ++-=的圆心，则b =________.14．一个圆锥的轴截面是个边长为2的正三角形，这个圆锥的侧面积等于 . 15．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝__________.16．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B ，E ，F ，C 四点共面； ②直线BF 与AE 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD ；. ⑤折线B →E →F →C 是从B 点出发，绕过三角形PAD 面，到达点C 的一条最短路径.其中正确的有_____________．(请写出所有符合条件的序号)三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．（本大题12分）已知直线l ：kx －y ＋1－2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k 的值。
北京师大附中2019-2020学年高一数学上学期期末考试新人教A版
北京师大附中2019—2020学年度第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（模块卷）说明：1．本试卷分第I 卷（模块卷，100分）和第II 卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟．2．请将答案填写在答题纸上，考试结束后，监考人员只将答题纸收回．一、 选择题（4＇×10＝40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答题纸上．1．角α的终边上有一点)2,1(-，则αsin = （ ）A.55-B.552-C.55D.552 2．已知1sin ,tan 03αα= <，则cos α的值是 ( ）(A ) 13-(B )13(C ) 3-(D )33．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a //b ，则tan α＝ （ ）（A ）43 (B)－43 (C)34 (D) －344．如果奇函数)(x f 在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间]3,7[--上是（ ）A. 增函数且最小值是5-B.增函数且最大值是5-C. 减函数且最大值是5-D.减函数且最小值是5- 5．已知函数)5sin(3π+=x y 的图像为C ，为了得到函数)5sin(3π-=x y 的图像，只需把C 上所有的点（ ）A ．向左平行移动5π个单位； B ．向右平行移动5π个单位 C ．向左平行移动52π个单位 D ．向右平行移动52π个单位6．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 （ ）A.1B.1或4；C.4D.2或4 7．函数sin()(0)62y x x ππ=+≤≤的值域是 ( )A.[1,1]-B. 1[,1]2C. 1[2D. 8．如图，□ABCD 中，＝，＝，则下列结论中正确的是 （ ）（A ）AB ＋BD ＝a －b （B ）BC ＋AC ＝b （C ）BD ＝a ＋b（D ）AD －BA ＝a ＋b9．下列说法：①若0,a b a c a b c ⋅=⋅≠=且则 ②若0,0,0a b a b ⋅===则或 ③△ABC 中，若AB BC 0⋅>，则△ABC 是锐角三角形 ④△ABC 中，若AB BC 0⋅=，则△ABC 是直角三角形其中正确的个数是 （ ） (A )0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 3 10．函数x x f sin )(2=对于R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为（ ） A ．4π B ． 2πC ． πD ． π2 二、填空题（4＇×5＝20分）：请将答案填在答题纸上．11．设向量a 与b的夹角为θ，且)3,3(=a ，)2,1(b ，则=θcos ______．12．函数⎩⎨⎧->-≤+=)1(,)1(,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ；()3,f x =则x= ___. 13．已知向量a =(2,0)， b =(1,)x ，且a 、b 的夹角为3π，则x =_______． 14．（1）计算：16cos()3π-=___________________； （2）已知1sin 2α=，]2,0[πα∈，则=α___________ 15．已知52cos()3sin()22tan 2,4sin(2)9cos()x x x x x ππππ--+= =-++则_________．北京师大附中2019——2020学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷（答题纸）班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______二、填空题11．______________________________ 12．______________；________________ 13．______________________________ 14．_______________；_______________ 15．______________________________三、解答题16. 已知向量b a ,满足：||1,||2||7a b a b = =＝，－．（1）求|2|;a b －（2）若(2)a b ka b +⊥)（－，求实数k 的值．17. 已知函数m x x f ++=)42sin(2)(π的图象经过点,24π⎛⎫⎪⎝⎭． （Ⅰ）求实数的m 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及此时x 的值的集合； （III ）求函数()f x 的单调区间.18. 已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4．(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=125,求cos2α．北京师大附中2019——2020学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷第II 卷（综合卷）班级_______ 姓名_______ 学号_______一、填空题（5＇×2＝10分）1．函数]65,3[,3sin 2cos )(2ππ∈++=x x x x f 的最小值是_________．2．已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（共40分）3．在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
北京市清华大学附属中学2019-2020学年高三年级第一学期10月考数学试卷
清华附中高三2019年10月月考试卷数学一、选择题1.已知集合{}2A x x =>，()(){}130B x x x =--<，则A B =( )A .{}1x x >B .{}23x x <<C .{}13x x <<D .{}21x x x ><或2.若角θ的终边过点()3,4P -，则()tan θπ+=( ) A .34B .34-C .43 D .43-3.已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A .1b a >>B .1b a >>C .1a b >>D .1a b >>4.设函数()y f x =的定义域为R ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.已知3cos 4α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为( )A .36 B .38- C D .6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 7.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A .4 B .5 C .6 D .78.已知定义在R 上的函数()()2,0ln ,0xa x f x x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若方程()12f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A .1122a -≤≤B .102a ≤<C .01a ≤<D .102a -<≤二、填空题9.已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x =___________处取得极值.10.32-，123，2log 5三个数中最大的数是_____________. 11.在ABC △中，13cos 14A =，73a b =，则B =____________. 12.去年某地的月平均气温y (℃)与月份x (月)近似地满足函数sin 6y a b x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(a 、b为常数，0πϕ<<)，其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为_______℃，ϕ=__________.13.在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，60ABC =︒∠，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF ⋅的值为_____________.14.如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP x =，CPD △的面积为()f x ，则()f x 的定义域为_________，()'f x 的零点是__________.三、解答题15.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+0,0,02A πωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为1-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域是1,⎡-⎢⎣⎦，求m 的取值范围.16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若n n b a =，且数列{}n b 的前n 项和记为n T ，求415T T +的值.17.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()8sin 17A C +=，且角B 为锐角. (1)求cos B 的值；(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求边长b .18.已知函数()1xax f x e-=. (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a <时，求函数()f x 在区间[]0,1上的最小值.19.已知函数()39f x x x =-，函数()23g x x a =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值； (2)若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞，求实数a 的取值范围.20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++=…； ②1231n a a a a ++++=…；(1) 分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；(2) 若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3) 记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…，试证：12k S ≤.。
2020-2021学年北京市清华大学附属中学高一上学期期末考试数学试卷含答案
2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．33．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜07．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为．12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有.（填上正确选项序号即可）三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】由α的范围求出π﹣α的范围，进而看可确定π﹣α的范围．【解答】解：因为×3，k∈Z，所以﹣＜π﹣α＜﹣2kπ，k∈Z，所以π﹣α为第四象限．故选：D．2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】根据题意可得a＞2，即可判断正确的选项．【解答】解：∵集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，∴a＞2，∴a的值可以为3．故选：D．3．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）【答案】B【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：由a＞b＞c，当c＝0时，故A不成立；∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b，故B成立；∵b＞c，∴﹣b＜﹣c，∴a﹣b＜a﹣c，故C不成立；例如a＝1，b＝0，c＝﹣1，则c（b﹣a）＝1，a（b﹣c）＝1，故D不成立．故选：B．4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα的值，进而根据两角和的余弦公式即可得到结论．【解答】解：因为点P（3，﹣4）是角α终边上一点，所以sinα＝＝﹣，cosα＝＝，所以＝cosαcos﹣sinαsin＝（cosα﹣sinα）＝（+）＝．故选：B．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出sinα＝，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：sinα＝等价于或，所以“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的充分不必要条件．故选：A．6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜0【答案】C【分析】结合指数函数为y＝0.3x的单调性即可比较x，y的大小．【解答】解：因为y＝0.3x在R上单调递减，且0.3x＞0.3y＞0.30，所以x＜y＜0．故选：C．7．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由正弦函数的对称性可令2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t，再通过k的取值可得结论．【解答】解：由正弦函数的对称性可得2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t＝+，k∈Z，当k＝0时，t＝，故选：B．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）【答案】B【分析】先求函数的对称轴，然后结合函数取得最大于最小值的位置即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣4x的开口向上，对称轴x＝2，且f（0）＝f（4）＝0，f（2）＝﹣4，∵函数f（x）在[0，m]内的值域为[﹣4，0]，则实数2≤m≤4故选：B．9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【答案】C【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．【解答】解：y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x＝0时，e b＝192，当x＝22时e22k+b＝48，∴e22k＝＝e11k＝e b＝192当x＝33时，e33k+b＝（e11k）3•（e b）＝（）3×192＝24故选：C．10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]【答案】A【分析】根据该分段函数的性质，由函数零点问题转化为函数图像交点问题，由F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇函数的性质，转化为x∈（0，2]时有两解，结合函数图像即可得解．【解答】解：由F（﹣x）＝f（﹣x）﹣f（x）＝﹣[f（x）﹣f（﹣x）]＝﹣F（x），所以F（x）为奇函数，根据对称性可得x∈（0，2]时有两个零点即可，令F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝0，可得f（x）＝f（﹣x），若x∈（0，2]则﹣x∈[﹣2，0），即有两解，结合对称性可得：如图所示可得：，所以0＜a＜2．故选：A．二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为π．【答案】见试卷解答内容【分析】根据三角函数的周期公式即可得到结论．【解答】解：根据三角函数的周期公式可得函数的周期T＝，故答案为：π12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝0．【答案】0．【分析】首先计算f（x）+f（﹣x）的和为常数，再由已知条件可得所求值．【解答】解：函数f（x）＝a sin x+bx+1，则f（﹣x）+f（x）＝a sin（﹣x）+b（﹣x）+1+a sin x+bx+1＝（﹣a sin x+a sin x）+（﹣bx+bx）+2＝2，所以f（1）+f（﹣1）＝f（1）+2＝2，解得f（1）＝0．故答案为：0．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．【答案】．【分析】由正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间，再由集合的包含关系，解不等式可得所求最大值．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+），可令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，由题意可得[﹣，m]⊆[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，即有kπ﹣≤﹣且m≤kπ+，k∈Z，即k≤，可得k＝0时，m取得最大值，故答案为：．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．【答案】；【分析】（1）由题意可得m＝3，则可得y＝3f（x）的解析式，求解3f（x）≥2，即可得答案．（2）先分析有效治疗末端时间点，由此列出满足再服用m个单位药剂后，接下来2个小时能㫃持续有效的不等式，利用恒成立求得m的范围，即可得答案．【解答】解：（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则m＝3，所以当0≤x＜6时，，当6≤x≤8时，令，解得，当6≤x≤8时，令，解得，所以若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，则m＝2，所以，此时，所以治疗时间末端为第6小时结束，因为在治疗时间末端再服用m个单位药剂，所以6≤x≤8，所以，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，设，为开口向上，对称轴为x＝4的抛物线，所以g（x）在[6，8]上单调递增，所以，故，所以m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有②③.（填上正确选项序号即可）【答案】②③．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，根据三角函数图像和图像的变换即可求解．【解答】解：①y＝cos2x＝cos2x+，其可由y＝cos2x先纵坐标缩小一半，再向上平移得到，二者不是同形函数，故①错误；②y＝2sin x cos x＝sin2x＝cos（2x﹣），可由y＝cos2x向右平移个单位得到，故②正确；③y＝sin4x﹣cos4x＝（sin2x2）（sin2x﹣cos2x）＝sin2x+cos2x＝﹣cos2x＝cos（2x+π），可由y＝cos2x向左平移个单位得到，故③正确；④y＝sin2x•tan x＝2sin x cos x•＝2sin2x＝1﹣cos2x＝cos（2x+π）+1，因为y＝sin2x•tan x的定义域不是R，而cos2x的定义域是R，所以不可能平移得到．故④错误；综上所述，②③正确．故答案为：②③．三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝﹣；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．【答案】（Ⅰ）（1）；（2）﹣；（Ⅱ）（1）[﹣1，4]；（2）当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．【分析】（Ⅰ）（1）根据对数定义计算即可；（2）根据诱导公式计算即可；（∐）（1）根据一元二次不等式运算即可；（2）根据一元二次不等式解法对a进行讨论运算即可．【解答】解：（Ⅰ）（1）log93＝；（2）＝﹣cos＝﹣；（Ⅱ）（1）一元二次方程x2﹣3x﹣4的解为﹣1，4，结合二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图像可得一元二次不等式x2﹣3x﹣4≤0的解集为[﹣1，4]；（2）关于x的不等式x2≥ax即为x（x﹣a）≥0，当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）1．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而根据两角和的正切公式即可求解的值．（Ⅱ）由题意利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα，所以tanα＝﹣2，所以＝＝＝﹣．（Ⅱ）因为α为第二象限角，所以∈（kπ+，kπ+），k∈Z，是第一或第三象限角，所以＝﹣＝＝＝＝＝1．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．【答案】（I）a＝2；（II）a＝或a＝．【分析】（I）由已知f（2）＝2（II）结合对数函数的单调性对a进行分类讨论，结合对数的运算性质可求．【解答】解：（I）因为f（2）＝log a（2+a）＝2，所以a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2或a＝﹣1（舍），（II）当a＞1时，f（x）在[1，3]上单调递增，由题意得，，解得，a＝，当0＜a＜1时，f（x）在[1，3]上单调递减，由题意得，，解得，a＝，综上，a＝或a＝．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．【答案】（Ⅰ）2．（Ⅱ）最大值为2+，最小值为0．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行转化求解即可．（Ⅱ）求出角的范围，根据三角函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝4（sin x+cos x）cos x＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+（1+cos2x）＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，则＝2sin（2×+）+＝2sin+＝2×＝2．（Ⅱ）当x∈时，2x∈[0，π]，2x+∈[，]，则sin（2x+）∈[sin，sin]，即sin（2x+）∈[﹣，1]，则2sin（2x+）∈[﹣，2]，2sin（2x+）+∈[0，2+]，即f（x）的最大值为2+，最小值为0．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）【答案】（I）a＝1，b＝﹣1；（II）1．【分析】（1）把已知点的坐标直接代入即可求解a，b；（II），由题意可得相应方程只有一个解，然后结合二次方程根的存在条件可得m，k的关系，再结合二次函数的性质可求．【解答】解：（I）由题意得，，解得，a＝1，b＝﹣1；（II）由题意得，T（﹣，0），k≠0，由x﹣＝kx+m只有一个解，即（k﹣1）x2+mx+1＝0只有一个解，因为k≠1，所以Δ＝m2﹣4（k﹣1）＝0，所以|OT|2＝＝＝﹣4（）＝﹣4[（）2﹣，根据二次函数的性质得，当k＝2时，上式取得最大值1，此时|OT|取得最大值1．21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．【答案】（I）；（II）；（III）．【分析】（I）（II）根据定义和条件得到不等式组，求解即得；（III）先找一特例，使得，然后证明不可能更大即可．【解答】解：（I），，；（II）若，∴，或，解得或，即实数b的所有可能取值构成的集合；（III）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，当时，，所以．若存在X＝{x1，x2，…，x n}∈Ωn，使得，则，∴，∴，∴，矛盾．所以L的最小值．。
北大附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
北大附中2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知变量a b 、已被赋值，要交换a b 、的值，采用的算法是（ ）A ．a b =，b a =B ．a c =，b a =，c b =C ．a c =，b a = ，c a =D ．c a =，a b =，b c =2.从某年纪1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）A ．1000名学生是总体B ．每个被抽查的学生是个体C ．抽查的125名学生的体重是一个样本D ．抽取的125名学生的体重是样本容量3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ． 34.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（ ）A.抽签法B.有放回抽样C.随机抽样D.系统抽样5.下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（ ）A.某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200人入样B 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样6.某学院A B C 、、三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为（ ）A ．30B ．40 C. 50 D ．607.当5x =，20y =-时，下边程序运行后输出的结果为（ ）A ．22，-22B ．22,22 C. 12，-12 D ．-12,128.现要完成下列3项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈;③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。
清华大学附中2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题
外………内………绝密★启用前 清华大学附中2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．命题3:N,1p x x ∀∈≥,则p ⌝为( ) A ．3N,1x x ∀∈< B ．3N,1x x ∀∉≥ C ．300N,1x x ∃∉≥ D ．300N,1x x ∃∈< 2．已知,a b ∈R ,0ab =,则下列等式一定成立的是( ) A ．220a b += B ．||||a b a b +=- C ．()0a a b -= D ．||||0a b += 3．已知,,a b c ∈R ,且a b c >>,则下列不等式一定成立的是( ) A ．ab bc > B ．()()b a b c a b ->- C ．22a b > D ．a b b c ->- 4．已知全集U =R ,集合{}2|230A x x x =-->,集合{|||2}B x x =≤.则下图的阴影部分表示的集合为( ) A ．[1,2)- B ．(2,3]- C ．(2,3] D ．[1,3]- 5．已知,a b ∈R ,则“a b >”是“21a b +>+”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件6．已知集合{1,2,3}A =,(],B t =-∞,若A B ⊄,则实数t 的取值范围是( ) A ．(1,)+∞ B ．(3,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,3)-∞ 7．已知1x >,则91x x +-的最小值为( ) A ．4 B ．6 C ．7 D ．10 8．已知集合{(,)|10,10,,}A x y x y x y N =≤≤∈,B A ⊆,且对于集合B 中任意两个元素()11,x y ,()22,x y ,均有()()12120x x y y --≤,则集合B 中元素的个数最多为( )A ．21B ．19C ．11D ．10第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．集合{1,2}的真子集的个数为________.10．写出能说明命题“若a b c >>,则a b c +>”为假命题的一组的整数值:a =_______;b =_______;c =________.11．已知1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则方程2sgn()60x x x -⋅-=的根为_________.12．若关于x 的方程212x ax -=+的根均为负数,则实数a 的取值范围是_________.13．已知集合{1,2,3,}A x =中的最大值与最小值的差等于集合A 中所有元素之和,则x =______.三、解答题14．在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一､二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单架分别为20元､10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13,且获得一等奖的人数不能少于2人,有下列四个结论:①最多可以购买4份一等奖奖品②最多可以购买16份二等奖奖品③购买奖品至少要花费100元④共有20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为___________.15．解下列关于x 的不等式: (1)2230x x --≤; (2)2450x x -+->; (3)210x ax a -+-≤ 16．已知集合{1,2,}A a =,{}2,1B a a =+ (1)当1a =-时,求A B U . (2)是否存在实数a ,使得{0}A B =I ,说明你的理由; (3)记{}2|,C y y x x A ==∈若B C ⋃中恰好有3个元素,求所有满足条件的实数a 的值.(直接写出答案即可) 17．已知集合{}2|20A x x ax a =-+-< (1)当2a =时,求集合A 中的所有正整数元素; (2)求证:对于任意的,a R A ∈≠∅; (3)若0A ∈,求证:[0,2]A ⊄. 18．己知1,,x y x y R +=∈, (1)若*,x y R ∈,; (2)若*,x y R ∈,求14x y +的最小值; (3)求(13)x y -的最小值. 19．己知抛物线2:(0)G y ax bx c ab =++≠的顶点为P ,与y 轴的交点为Q ,则直线PQ 称为抛物线G 的伴随直线. (1)求抛物线221y x x =-+的伴随直线的表达式; (2)已知抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为24y x =+,且该抛物线与x 轴有两个不同的公共点,求a 的取值范围. (3)已知(3,4),(0,4)A B -,若抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为y ax b =+,且该抛物线与线段AB 恰有1个公共点,求a 的取值范围(直接写出答案即可)参考答案1．D【解析】【分析】根据全称命题的否定方法,由已知中的原命题,写出其否定形式,可得答案.【详解】解:命题3:N,1p x x ∀∈≥,命题的否定为p ⌝:300N,1x x ∃∈<.故选:D【点睛】本题考查的知识点是全称命题,命题的否定,熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键.2．B【解析】【分析】由题可得0ab =,则0a =或0b =,选项A 整理得0a =且0b =,A 错误;选项B 两边同时平方整理得40ab =,即0ab =,B 正确;选项C 乘积为0,则0a =或a b =,C 错误;选项D 整理得0a =且0b =,故D 错误.【详解】解: 已知,a b ∈R ,0ab =,则0a =或0b =,选项A: 220a b +=⇒0a =且0b =,故A 错误;选项B: ||||a b a b +=-222222a ab b a ab b ⇒++=-+,即40ab =,所以0ab =,故B 正确;选项C: ()0a a b -=⇒0a =或a b =,故C 错误;选项D: ||||0a b +=⇒0a =且0b =,故D 错误;故选:B【点睛】本题考查由已知条件判断命题的真假,属于基础题.3．B【解析】【分析】根据不等式的基本性质,结合,,a b c ∈R ,且a b c >>,逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立,即可得出答案.【详解】解: 选项A: ab bc >,若0a b c >=>,则ab bc =,故A 错误;选项B: ()()b a b c a b ->-,因为若a b c >>,故0a b ->,则()()b a b c a b ->-成立,故B 正确;选项C: 22a b >,若0,1a b ==-,则22a b <,故C 错误;选项D: a b b c ->-,若,3,2,0a b c ===,则1,2a b b c -=-=,a b b c -<-,故D 错误;故选:B【点睛】本题考查不等式的性质,可以利用特殊值排除法求解,属于基础题.4．C【解析】【分析】由题意求出集合A 和集合B,图象阴影部分表示求()U C A B ⋃,求解即可.【详解】解: {}2|230A x x x =-->={1x x <-，或}3x >; {|||2}|22}B x x x x =≤=-≤≤;图象阴影部分表示求()U C A B ⋃,所以A B =U {2x x ≤，或}3x >，,所以(){}|23U C A B x x ?<?,即(2,3].故选:C本题考查集合并集和补集的运算,以及Venn 图表示集合,属于基础题.5．A【解析】【分析】设命题:p a b >,命题:21q a b +>+,整理得:1q a b +>,分别从充分性和必要性进行推理即可,推理过程中可用特殊值来判断.【详解】解:设命题:p a b >,命题:21q a b +>+,整理得:1q a b +>.充分性:因为:p a b >,则:1q a b +>显然成绩,所以p q ⇒成立;必要性:因为:1q a b +>,当0,0.5a b ==时, a b <,所以q p ≠>,必要性不成立.所以“a b >”是“21a b +>+”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质,考查了推理能力,属于基础题.6．D【解析】【分析】本题根据A B ⊄,则集合A 中的元素不能够全部属于集合B ,则集合A 中的最大值3B ∉,结合(,]B t =-∞,即可求出结果.【详解】解: 已知集合{1,2,3}A =,(,]B t =-∞,若A B ⊄,则集合A 中的元素不能够全部属于集合B ,又因为(],B t =-∞,则集合{1,2,3}A =中的最大值3B ∉,所以3t <,即实数t 的取值范围为(,3)-∞.【点睛】本题是一道关于集合的题目,解题关键是掌握结合集合间的基本关系及集合间的基本运算. 7．C【解析】【分析】由题意可得10x ->,可得()991111x x x x +=+-+--,利用基本不等式求最小值,并验证等号成立即可.【详解】解: 已知1x >,则10x -> ()991111x x x x ∴+=+-+--17≥=, 当且仅当911x x =--,即4x =时等号成立. 所以91x x +-的最小值为:7 故选:C【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值,整体变形为可用基本不等式的形式,注意”一正二定三相等”.8．A【解析】【分析】根据题意知集合A 表示的是第一象限内的1111121?个点,又因为B A ⊆,B 中任意两个元素()11,x y ,()22,x y ,均有()()12120x x y y --≤,则在同一象限内,y 随着x 的增大而减小或相等.根据规律一一列举即可得出结果.【详解】解:因为{(,)|10,10,,}A x y x y x y N =≤≤∈,则集合A 表示的是第一象限内的1111121?个点,又因为B A ⊆,且对于集合B 中任意两个元素()11,x y ,()22,x y ,均有()()12120x x y y --≤,则12120x x y y -⎧⎨->≤⎩或121200x x y y -<≥-⎧⎨⎩ 则在同一象限内,y 随着x 的增大而减小或相等.若点()0,10A ,则(1,9)B 或(1,10)B ,根据规律可得:()()()()()()()()()2,8,3,7,4,6,5,5,6,4,7,38,29,1,10,0,或()()()()()()()()()2,9,3,8,4,7,5,6,6,5,7,48,39,2,10,1故B 中元素的个数最多为21个.故选:A【点睛】本题考查集合的元素的个数的求法,考查不等式求函数的单调性,利用单调性解决集合问题. 9．3【解析】【分析】解法一: (列举法) 对集合{1,2}的真子集一一列举即可得出个数;解法二:(公式法)算出集合{1,2}中的元素个数n ,再用公式21n -求出真子集个数.【详解】解:解法一: (列举法)集合{1,2}的真子集为∅,{}1,{}2,共3个.故答案为: 3解法二:(公式法)集合{1,2}中的元素有2个,则真子集个数为2213-=,个.故答案为: 3【点睛】本题考查集合的子集个数问题,对于非空集合M 中有n 个元素,则集合的子集有2n 个,真子集有21n -,非空真子集有22n -个.10．1- 2- 3-【解析】【分析】“若a b c >>,则a b c +>”为假命题,依次列举即可,答案不唯一.【详解】解:设,,a b c 是任意实数,“若a b c >>,则a b c +>”为假命题,可设,,a b c 依次为1,2,3---.(答案不唯一)故答案为: 1,2,3---【点睛】本题考查了命题的真假,举例说明即可,属于基础题.11．3x =或3x =-【解析】【分析】根据分段函数,分类讨论,将sgn()x 的值代入2sgn()60x x x -⋅-=中求解即可.【详解】解: 已知1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,①当0x >时,()1sgn x =,则260x x --=,解得3x =或2x =-,又因为0x >,所以3x =.②当0x =时,()0sgn x =,则260x -=,解得x =x =又因为0x =,所以无解.③当0x <时,()1sgn x =-,则260x x +-=,解得3x =-或2x =,又因为0x <,所以3x =-.综上所述: 2sgn()60x x x -⋅-=的根为3x =或3x =-.故答案为: 3x =或3x =-【点睛】本题考查分段函数,分情况讨论是解题的关键.12．()(),44,2-??-【解析】【分析】 根据方程212x a x -=+进行运算求出根,然后根均为负数建立不等式,再结合分式的分母不等于0,即可得出结果.【详解】解: 方程212x a x -=+,则20x +≠,2x ≠- 解方程: 22022x a x x x -+-=++,即()202x a x -+=+, 所以()20x a -+=,2x a =+, 又因为方程212x a x -=+的根均为负数, 所以2022a a +<⎧⎨+≠-⎩,所以2a <-且4a ≠-. 所以实数a 的取值范围是:()(),44,2-??-.故答案为: ()(),44,2-??-【点睛】本题考查根据方程的根即方程的零点求解参数,需要注意分式的分母不等于0,这是一个容易遗漏的条件,属于基础题.13．32-【解析】【分析】因为集合中的x 未知,则x 可为最大值、最小值,或者既不是最大值也不是最小值,分三种情况讨论即可得出结果.【详解】解: 已知集合{1,2,3,}A x =中的最大值与最小值的差等于集合A 中所有元素之和. ①当x 为最大值时, 1123x x -=+++,显然不成立,则无解, x 不是最大值.②当x 为最小值时, 3123x x -=+++, 则32x =-,满足x 为最小值,故32x =-成立. ③当x 既不是最大值也不是最小值时,31123x -=+++则4x =-, x 为最小值,与x 既不是最大值也不是最小值矛盾,故4x =-不成立.综上所述: 32x =-. 故答案为: 32-【点睛】本题考查根据集合中元素的性质求集合的元素,分情况讨论是解题的关键.14．①②③【解析】【分析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x 、y ,则根据题意列出线性规划条件, 作出可行域,再逐一判断即可.【详解】解: 设购买一、二等奖奖品份数分别为x 、y ,则根据题意有2010200132,x y x y x x y Nì+?ïï£ïíï³ïïÎïî , 作可行域为:解得:24x ≤≤,616y ＃,所以最多可以购买4份一等奖奖品,最多可以购买16份二等奖奖品, 故①②正确,购买奖品至少要花费220610100??元,故③正确,由可行域知:()2,6A ,()4,12B ,()2,16C ,可行域内的整数点有()()()2,6,2,7,......,2,16()()()3,9,3,10,......,3,14()4,12,共116118++=个.故④错误.故答案为: ①②③【点睛】本题考查线性规划在实际生活中的应用,关键是求出x 、y 的范围,属于基础题.15．(1)(][),13,-∞-+∞U .(2) ∅(3)当2a <时,解集为[]1,1a -,当2a =时,解集为1x =,当2a >时,解集为[]1,1a -.【解析】【分析】(1)利用十字相乘法将不等式整理成()()310x x -+≤, 13x x ≤-≥或.,故解集为:(][),13,-∞-+∞U .(2)先将2450x x -+->去掉负号得2450x x +<-,利用配方法可得结果.(3) 利用十字相乘法将不等式整理成()()110x a x --+≤⎡⎤⎣⎦,分2a <、2a =、2a <三种情况讨论即可得出不等式的解.【详解】解: (1)2230x x --≤,()()31013x x x x -+≤⇒≤-≥或,故解集为:(][),13,-∞-+∞U .(2)2450x x -+->,()22450210x x x x ∴+<⇒-+<⇒-无解,故解集为:∅(3)210x ax a -+-≤, ()()110x a x ∴---≤⎡⎤⎣⎦,当11a -<,即2a <时,解集为[]1,1a -,当11a -=,即2a =时,解集为1x =,当11a ->,即2a >时,解集为[]1,1a -.所以:当2a <时,解集为[]1,1a -,当2a =时,解集为1x =,当2a >时,解集为[]1,1a -.【点睛】本题考查解一元二次不等式,利用十字相乘法求根,再根据不等式的性质得出解即可.对于含参的一元二次不等式求解需要考虑参数的取值范围.16．(1){}1,0,1,2A B ⋃=-.(2)不存在,证明见解析;(3)0a =,3a =.【解析】【分析】解:(1)将1a =-代入集合中,再求出A B U 即可.(2)不存在.证明:若{0}A B =I ,则0{1,2,}A a ∈=且{}20,1B a a ∈=+,将0a =代入集合A 和B 中,再求交集,得出{0,1}A B =I ,与{0}A B =I 矛盾,故不存在.(3)根据{1,2,}A a =得出{}21,4,C a=,再根据B C ⋃中恰好有3个元素,即可得出满足条件的实数a 的值.【详解】解:(1)当1a =-时, {1,2,1}A =-,{}1,0B =所以{}1,0,1,2A B ⋃=-.(2)不存在实数a ,使得{0}A B =I ,证明:若{0}A B =I ,则0{1,2,}A a ∈=,且{}20,1B a a ∈=+, 所以0a =,则{1,2,0}A =,{}0,1B =则{0,1}A B =I ,与{0}A B =I 矛盾,故不存在实数a ,使得{0}A B =I ;(3)因为{}2|,C y y x x A ==∈,{1,2,}A a =所以C 含有21,4,a ， {}2,1B a a =+,B C ⋃含有21,4,,1a a +，又因为B C ⋃中恰好有3个元素,所以当11a +=时,0a =, {}1,4,0B C ⋃=,当14a +=,3a =,{}1,4,9B C ⋃=,所以满足条件的实数a 的值有0a =,3a =.【点睛】本题考查集合的基本性质和集合的基本运算,注意集合的互异性是解题中容易出错的地方.17．(1)1;(2)证明见详解;(3) 证明见详解.【解析】【分析】(1)代入2a =时, 整理得{}|02A x x =<<,即可得出集合A 中的所有正整数的元素为1;(2)利用根的判别式0>V 得出方程220x ax a -+-<有解,则A ≠∅成立;(3)根据(2)知0>V ,方程有两根,设{}12|A x x x x =<<,又因为0A ∈,则120x x ⋅<,再根据两根之积小于0,得出2a <①,当2x =时, 解得2a >,两者矛盾,则2A ∉,所以[0,2]A ⊄成立.【详解】解: (1) 已知集合{}2|20A x x ax a =-+-<,当2a =时, {}{}2|20|02A x x x x x =-<=<<, 所以集合A 中的所有正整数的元素为1;(2)证明:对于任意的,a R ∈{}2|20A x x ax a =-+-<()()()2224248240a a a a a V =---=-+=-+>,所以220x ax a -+-<有解, A ∴≠∅成立(3)证明:由(2)知0>V ,方程有两根,设{}12|A x x x x =<<,又因为0A ∈,则120x x <<,则120x x ⋅<两根之和122x x a ?-,则20a -<,即2a <①,当2x =时, 22220a a -+-<,则2a >与①矛盾,则2A ∉,[0,2]A ∴⊄成立.【点睛】本题考查集合间的基本关系,考查一元二次不等式的解与参数的关系,属于中档题.18．(1);(2)9;(3)59. 【解析】【分析】(1)由题可知 0>,先平方得到21x y =++=+①,再根据1x y +=,12≤,代入上式子可得22≤,最后再开方;(2) 由1x y +=,得()141445y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭,利用基本不等式求得最小值,验证4y x x y=即可. (3)由1x y +=,可得1x y =-,代入消元得出2(13)341x y y y -=-+,整理至一元二次函数的顶点式,即可得出最小值.【详解】解:(1)若*,x y R ∈,1,,x y x y R +=∈0>,21x y =++=+,又因为1x y +=,所以1x y +=≥12≤②,将②代入①得:2111222=+≤+⨯=,≤,当且仅当12x y ==时等号成立.; (2)因为*,x y R ∈,且1,,x y x y R +=∈ 所以()1414x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459y x x y =+++≥+=, 当且仅当4y x x y =,即12,33x y ==时,等号成立. 所以14x y+的最小值为9. (3)己知1,,x y x y R +=∈,所以1x y =-,则()2(13)1(13)341x y y y y y -=--=-+ 2242553133399y y y ⎛⎫⎛⎫=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以(13)x y -的最小值为59. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值和和利用一元二次函数的顶点式求最值,属于基础题.利用基本不等式要注意”一正二定三相等”.19．(1)1x y +=;(2)()(),00,1-∞U ;(3)425a ?或4a =. 【解析】【分析】(1)先求抛物线的顶点为()1,0P ,再与抛物线y 轴的交点为()0,1Q ,根据截距式即可得出伴随直线方程.(2)先求抛物线2y ax bx c =++的顶点24,24b ac b P a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y 轴的交点为()0,Q c ,将,P Q 代入伴随直线24y x =+方程,解得4b =,4c =,再根据该抛物线与x 轴有两个不同的公共点,用根的判别式列不等式,解得1a <,结合0ab ≠,即可得出a 的取值范围.(3)根据抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为y ax b =+,将抛物线化为222y ax ax a =++,又因为该抛物线与线段AB 恰有1个公共点,即则()()3444f f ⎧-≥⎪⎨<⎪⎩ 或()()3444f f ⎧-<⎪⎨≥⎪⎩,代入数据求解即可. 【详解】解: (1)221y x x =-+的顶点为()1,0P ,与抛物线y 轴的交点为()0,1Q ,直线PQ :111x y +=,即1x y +=, 所以抛物线221y x x =-+的伴随直线为: 1x y +=.(2)已知抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为24y x =+, 顶点为24,24b ac b P a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y 轴的交点为()0,Q c , PQ 在直线24y x =+上, 所以24444ac b b a a c ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩,解得4b =, 又因该抛物线与x 轴有两个不同的公共点,240b ac =->V ,所以24440a -⨯>,解得1a <,又因为0ab ≠,故1a <且0a ≠.所以a 的取值范围为()(),00,1-∞U .(3)因为抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为y ax b =+, 顶点24,24b ac b P a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y 轴的交点为()0,Q c , 2442ac b b a b a a b c ⎧-=-⨯+⎪⎨⎪=⎩,解得:2b c a ==, 所以抛物线可表示为: ()222f x ax ax a =++,对称轴为1x =- 又因为(3,4),(0,4)A B -,且该抛物线与线段AB 恰有1个公共点线段AB 为:4(30)y x =-＃.则()()03404a f f ⎧>⎪-≥⎨⎪<⎩或()014a f >⎧⎨-=⎩ 解得425a ?或4a = ,. 所以可得a 的取值范围为425a ?或4a =. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用,关键是读懂题目所给的条件,根据新定义进行解答,综合性较强.。
2019-2020学年北京市清华附中高一(上)9月月考数学试卷
2019-2020学年北京市清华附中高一（上）9月月考数学试卷试题数：19，总分：01.（单选题，0分）命题p：∀x∈N，x3≥1，则￢p为（）A.∀x∈N，x3＜1B.∀x∉N，x3≥1C.∃x∉N，x3≥1D.∃x∈N，x3＜12.（单选题，0分）已知a，b∈R，ab=0，则下列等式一定成立的是（）A.a2+b2=0B.|a+b|=|a-b|C.a（a-b）=0D.|a|+|b|=03.（单选题，0分）已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A.ab＞bcB.b（a-b）＞c（a-b）C.a2＞b2D.a-b＞b-c4.（单选题，0分）已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，集合B={x||x|≤2}．则如图的阴影部分表示的集合为（）A.[-1，2）B.（-2，3]C.（2，3]D.[-1，3]5.（单选题，0分）已知a，b∈R，则“a＞b”是“a+2＞b+1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.（单选题，0分）已知集合A={1，2，3}，B=（-∞，t]，若A⊄B，则实数t的取值范围是（）A.（1，+∞）B.（3，+∞）C.（-∞，1）D.（-∞，3）7.（单选题，0分）已知实数x＞1，则9x−1+x的最小值为（）A.4B.6C.7D.108.（单选题，0分）已知集合A={（x，y）|x≤10，y≤10，x，y∈N}，B⊆A，且对于集合B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，则集合B中元素的个数最多为（）A.21B.19C.11D.109.（填空题，0分）集合{1，2}的真子集的个数为___ ．10.（填空题，0分）写出能说明命题“若a＞b＞c，则a+b＞c”为假命题的一组的整数值：a=___ ；b=___ ；c=___ ．11.（填空题，0分）已知sgn（x）= {1，x＞00，x=0−1，x＜0，则方程x2-x•sgn（x）-6=0的根为___ ．12.（填空题，0分）若关于x的方程2x−ax+2=1的根均为负数，则实数a的取值范围是___ ．13.（填空题，0分）在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，有下列四个结论：① 最多可以购买4分一等奖奖品② 最多可以购买16份二等奖奖品③ 购买奖品至少要花费100元④ 共有20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为___ ．14.（填空题，0分）已知集合A={1，2，3，x}中的最大值与最小值的差等于集合A中所有元素之和，则x=___ ．15.（问答题，0分）解下列关于x的不等式：（1）x2-2x-3≤0；（2）-x2+4x-5＞0；（3）x2-ax+a-1≤0．16.（问答题，0分）已知集合A={1，2，a}，B={a2，a+1}．（Ⅰ）当a=-1时，求A∪B；（Ⅱ）是否存在实数a，使得A∩B={0}，说明你的理由；（Ⅲ）记C={y|y=x2，x∈A}若B∪C中恰好有3个元素，求所有满足条件的实数a的值．（直接写出答案即可）17.（问答题，0分）已知集合A={x|x2-ax+a-2＜0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A中的所有正整数元素；（Ⅱ）求证：对于任意的a∈R，A≠∅；（Ⅲ）若0∈A，求证：[0，2]⊄A．18.（问答题，0分）已知x+y=1，x，y∈R．（Ⅰ）若x，y∈R*，求√x+√y的最大值；（Ⅱ）若x，y∈R*，求1x +4y的最小值；（Ⅲ）求x（1-3y）的最小值．19.（问答题，0分）已知抛物线G：y=ax2+bx+c（ab≠0）的顶点为P，与y轴的交点为Q，则直线PQ称为抛物线G的伴随直线．（Ⅰ）求抛物线y=x2-2x+1的伴随直线的表达式；（Ⅱ）已知抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=2x+4，且该抛物线与x轴有两个不同的公共点，求a的取值范围；（Ⅲ）已知A（-3，4），B（0，4），若抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=ax+b，且该抛物线与线段AB恰有1个公共点，求a的取值范围．（直接写出答案即可）2019-2020学年北京市清华附中高一（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：19，总分：01.（单选题，0分）命题p：∀x∈N，x3≥1，则￢p为（）A.∀x∈N，x3＜1B.∀x∉N，x3≥1C.∃x∉N，x3≥1D.∃x∈N，x3＜1【正确答案】：D【解析】：根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．【解答】：解：∵命题p：∀x∈N，x3≥1，∴￢p：∃x∈N，x3＜1，故选：D．【点评】：本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键．2.（单选题，0分）已知a，b∈R，ab=0，则下列等式一定成立的是（）A.a2+b2=0B.|a+b|=|a-b|C.a（a-b）=0D.|a|+|b|=0【正确答案】：B【解析】：由ab=0可得a=0，b≠0；a=0，b=0；a≠0，b=0，三种情况，进行判断即可．【解答】：解：由ab=0可得a=0，b≠0；a=0，b=0；a≠0，b=0，A：当a=0，b≠0时，A不成立；B：三种情况B都成立，故B正确；C当a≠0，b=0时，C不正确；D当a=0，b≠0时，D不正确．故选：B．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3.（单选题，0分）已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A.ab＞bcB.b（a-b）＞c（a-b）C.a2＞b2D.a-b＞b-c【正确答案】：B【解析】：对于ACD，可以举反例，对于B用不等式的基本性质证明即可．【解答】：解：当b=0时，ab=bc，故A不成立；若a＞b，b＞c，则a-b＞0，即b（a-b）＞b（a-b），故B成立；若a=1，b=-2，则a2＜b2，故C不成立；若a=3，b=2，c=-2，则a-b＜b-c，故D不成立．故B为真命题故选：B．【点评】：本题以不等式的性质为载体考查了命题的真假判断与应用，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键．4.（单选题，0分）已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，集合B={x||x|≤2}．则如图的阴影部分表示的集合为（）A.[-1，2）B.（-2，3]C.（2，3]D.[-1，3]【正确答案】：C【解析】：图中阴影部分表示的集合为C U（A∪B），由此能求出结果．【解答】：解：∵全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，B={x||x|≤2}．∴A={x|x＞3或x＜-1}，B={x|-2≤x≤2}，∴A∪B={x|x≤2或x＞3}，∴图中阴影部分表示的集合为：C U（A∪B）={x|2＜x≤3}=（2，3]．故选：C．【点评】：本题考查集合的求法，考查维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（单选题，0分）已知a，b∈R，则“a＞b”是“a+2＞b+1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：A【解析】：根据充分条件，必要条件的定义以及不等式性质即可求解．【解答】：解：因为a＞b，所以a＞b-1，即有a+2＞b+1，当a+2＞b+1，即a＞b-1，不一定推出a＞b，比如：a=b=1，满足a＞b-1，但是a＞b不成立，因此“a＞b”是“a+2＞b+1”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】：本题主要考查不等式性质的应用，以及充分条件，必要条件定义的理解和应用，属于容易题．6.（单选题，0分）已知集合A={1，2，3}，B=（-∞，t]，若A⊄B，则实数t的取值范围是（）A.（1，+∞）B.（3，+∞）C.（-∞，1）D.（-∞，3）【正确答案】：D【解析】：根据集合的关系即可求解．【解答】：解：因为A⊄B，所以t＜3．故选：D．【点评】：本题主要考查集合的包含关系的理解和应用，属于容易题．7.（单选题，0分）已知实数x＞1，则9x−1+x的最小值为（）A.4B.6C.7D.10【正确答案】：C【解析】：由9x−1+x = 9x−1+x−1+1≥2√(x−1)•9x−1+1即可求解最小值．【解答】：解：∵x＞1，则9x−1+x = 9x−1+x−1+1≥2√(x−1)•9x−1+1 =7，当且仅当x-1= 9x−1即x=4时取等号，故选：C．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．8.（单选题，0分）已知集合A={（x，y）|x≤10，y≤10，x，y∈N}，B⊆A，且对于集合B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，则集合B中元素的个数最多为（）A.21B.19C.11D.10【正确答案】：A【解析】：根据题意知集合A表示的是第一象限内的11×11=121个点，又因为B⊆A，B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，则在第一象限内y随着x的增大而减小或相等，根据规律一一列举即可得到结果．【解答】：解：因为A={（x，y）|x≤10，y≤10，x，y∈N}，所以集合A表示的是第一象限内的11×11=121个点，又因为B⊆A，且对于B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，所以 {x 1−x 2＞0y 1−y 2≤0 或 {x 1−x 2＜0y 1−y 2≥0， 则在第一象限内或坐标轴的非负半轴，y 随着x 的增大而减小或相等，设M ，N 为集合B 中的元素，若点M （0，10），则N （1，9）或N （1，10），根据规律可得：（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（10，0），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5），（7，4），（8，3），（9，2），（10，1），综上可得，B 中的元素最多有21个．故选：A ．【点评】：本题考查集合的元素的个数的求法，考查不等式求函数的单调性，利用单调性解决集合问题．9.（填空题，0分）集合{1，2}的真子集的个数为___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：若集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n -1个真子集．【解答】：解：集合{1，2}的真子集一共有：22-1=3个．故答案为：3．【点评】：本题考查集合的真子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集定义的合理运用．10.（填空题，0分）写出能说明命题“若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”为假命题的一组的整数值：a=___ ；b=___ ；c=___ ．【正确答案】：[1]-1; [2]-2; [3]-3【解析】：由题意可得若a ＞b ＞c ，则a+b≤c ，可取c ＜0，b ＜0，a ＜0．【解答】：解：若命题“若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”为假命题，即有a ＞b ＞c ，a+b≤c ，则c ＜0，可取c=-3，b=-2，a=-1，故答案为：-1，-2，-3．【点评】：本题考查命题的真假判断，主要是不等式的性质，考查推理能力，属于基础题．11.（填空题，0分）已知sgn（x）= {1，x＞00，x=0−1，x＜0，则方程x2-x•sgn（x）-6=0的根为___ ．【正确答案】：[1]-3，3【解析】：对x分类把sgn（x）代入方程x2-x•sgn（x）-6=0，分别求解得答案．【解答】：解：当x=0时，方程x2-x•sgn（x）-6=0化为-6=0，此式显然不成立；当x＞0时，方程x2-x•sgn（x）-6=0化为x2-x-6=0，解得x=3；当x＜0时，方程x2-x•sgn（x）-6=0化为x2+x-6=0，解得x=-3．∴方程x2-x•sgn（x）-6=0的根为-3，3．故答案为：-3，3．【点评】：本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，是基础题．12.（填空题，0分）若关于x的方程2x−ax+2=1的根均为负数，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-4）∪（-4，-2）【解析】：由已知方程求得x，再由x＜0且x≠-2，可得a的取值范围．【解答】：解：由2x−ax+2=1，得2x-a=x+2，即x=a+2，∵关于x的方程2x−ax+2=1的根均为负数，∴a+2＜0，即a＜-2，又x+2=a+4≠0，∴a≠-4．∴实数a的取值范围是（-∞，-4）∪（-4，-2）．故答案为：（-∞，-4）∪（-4，-2）．【点评】：本题考查函数零点与方程根的关系，是基础题．13.（填空题，0分）在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，有下列四个结论：① 最多可以购买4分一等奖奖品② 最多可以购买16份二等奖奖品③ 购买奖品至少要花费100元④ 共有20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：设出获得一、二等奖的人数分别为x，y，即可根据题意可得x≥2，3x≤y，20x+10y≤200，即可推出各结论的真假．【解答】：解：设获得一、二等奖的人数分别为x，y，（x，y∈N*），由题意可得，x≥2，3x≤y，20x+10y≤200，解得2≤x≤4，6≤y≤16．所以，最多可以购买4分一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品，① ② 正确；购买奖品至少要花费2×20+6×10=100元，③ 正确；当x=2时，y∈{6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，共有11种；当x=3时，y∈{9，10，11，12，13，14}，共有6种；当x=4时，y=12，只有1种，故共有18种，④ 不正确．故答案为：① ② ③ ．【点评】：本题主要考查简单线性规划中的整解问题的求解，意在考查学生的推理能力和阅读理解能力，属于中档题．14.（填空题，0分）已知集合A={1，2，3，x}中的最大值与最小值的差等于集合A中所有元素之和，则x=___ ．【正确答案】：[1]- 32【解析】：根据题意分类讨论x为最大值或最小值或既不最大也不最小，即可解出．，【解答】：解：若集合A={1，2，3，x}中元素的最小值为x，则3-x=1+2+3+x，解得x=- 32满足题意；若集合A={1，2，3，x}中元素的最大值为x，则x-1=1+2+3+x，此时无解；若集合A={1，2，3，x}中元素x既不是最大值，也不是最小值，则3-1=1+2+3+x，解得x=-4，不满足题意．．综上，x=- 32．故答案为：- 32【点评】：本题主要考查集合的性质的应用，属于容易题．15.（问答题，0分）解下列关于x的不等式：（1）x2-2x-3≤0；（2）-x2+4x-5＞0；（3）x2-ax+a-1≤0．【正确答案】：【解析】：（1）不等式化为（x-3）（x+1）≤0，求出解集即可；（2）不等式化为x2-4x+5＜0，利用△＜0得出不等式的解集为∅；（3）不等式化为（x-1）（x-a+1）≤0，利用分类讨论法求出不等式的解集．【解答】：解：（1）不等式x2-2x-3≤0化为（x-3）（x+1）≤0，解得-1≤x≤3，所以不等式的解集为{x|-1≤x≤3}；（2）不等式-x2+4x-5＞0可化为x2-4x+5＜0，且△=（-4）2-4×1×5=-4＜0，所以原不等式的解集为∅；（3）不等式x2-ax+a-1≤0可化为（x-1）（x-a+1）≤0，且不等式对应的方程实数根为1和a-1；当a=2时，1=a-1，不等式化为（x-1）2≤0，不等式的解集为{2}；当a＞2时，1＜a-1，解不等式得1≤x≤a-1，不等式的解集为{x|1≤x≤a-1}；当a＜2时，1＞a-1，解不等式得a-1≤x≤1，不等式的解集为{x|a-1≤x≤1}；综上知，a=2时，不等式的解集为{2}；a＞2时，不等式的解集为{x|1≤x≤a-1}；a＜2时，不等式的解集为{x|a-1≤x≤1}．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．16.（问答题，0分）已知集合A={1，2，a}，B={a2，a+1}．（Ⅰ）当a=-1时，求A∪B；（Ⅱ）是否存在实数a，使得A∩B={0}，说明你的理由；（Ⅲ）记C={y|y=x2，x∈A}若B∪C中恰好有3个元素，求所有满足条件的实数a的值．（直接写出答案即可）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据并集的运算即可求出；（Ⅱ）A∩B={0}，则0∈A，代入验证即可；（Ⅲ）分类讨论，a+1=1，a+1=4，a+1=a，即可求出．【解答】：解：（Ⅰ）当a=-1时，A={1，2，-1}，B={1，0}，则A∪B={-1，0，1，2}；（Ⅱ）A∩B={0}，∴0∈A，∴a=0，当a=0时，B={0，1}，此时A∩B={0，1}，不满足A∩B={0}，故不存在实数a，使得A∩B={0}；（Ⅲ）C={y|y=x2，x∈A}={1，4，a2}，∵B∪C中恰好有3个元素，∴a+1=1，即a=0，此时满足，a+1=4，即a=3，则C={1，4，9}，B={4，9}，此时满足，a+1=a，此时无解，综上所述a的值为0，3．【点评】：本题考查了集合的运算，考查交集并集的定义，是一道基础题．17.（问答题，0分）已知集合A={x|x2-ax+a-2＜0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A中的所有正整数元素；（Ⅱ）求证：对于任意的a∈R，A≠∅；（Ⅲ）若0∈A，求证：[0，2]⊄A．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）当a=2时，整理可得A={x|0＜x＜2}，即可得出集合A中的所有正整数的元素为1；（Ⅱ）利用根的判别式得出方程x2-ax+a-2＜0有解，则A≠∅成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知△＞0，方程有两根，设A={x|x1＜x＜x2}，又有0∈A，则x1x2＜0，再根据两根之积小于0，得出a＜2，当x=2时，解得a＞2，两者矛盾，则2∉A，可得[0，2]⊄A 成立．【解答】：解：（Ⅰ）已知集合A={x|x2-ax+a-2＜0}，当a=2时，A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，所以集合A中的所有正整数的元素为1；（Ⅱ）证明：对于任意的a∈R，A={x|x2-ax+a-2＜0}，△=（-a）2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，所以x2-ax+a-2＜0有解，所以A≠∅成立；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知△＞0，方程有两根，设A={x|x1＜x＜x2}，又有0∈A，则x1＜0＜x2，x1x2＜0，又x1x2=a-2，即a＜2，①当x=2时，22-2a+a-2＜0，解得a＞2，与① 矛盾，则2∉A，可得[0，2]⊄A成立．【点评】：本题主要考查了集合间的基本关系，考查一元二次不等式的解与参数的关系，属于中档题．18.（问答题，0分）已知x+y=1，x，y∈R．（Ⅰ）若x，y∈R*，求√x+√y的最大值；（Ⅱ）若x，y∈R*，求1x +4y的最小值；（Ⅲ）求x（1-3y）的最小值．【正确答案】：【解析】：（I）（√x+√y）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy，然后利用基本不等式即可求解；（Ⅱ）1x +4y= x+yx+4x+4yy=5 +yx+4xy，然后利用基本不等式即可求解；（Ⅲ）由x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1，然后结合二次函数的性质可求．【解答】：解：（I）因为x+y=1，x，y∈R*，所以（√x+√y）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy≤1+x+y=2，当且仅当x=y时取等号，此时√x+√y取得最大值√2；（Ⅱ）∵x，y∈R*，x+y=1，∴ 1 x +4y= x+yx+4x+4yy=5 +yx+4xy≥5+2√yx•4xy=9，当且仅当yx=4xy且x+y=1即x= 13，y=23时取等号，此时取得最小值9；（Ⅲ）∵x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1，结合二次函数的性质可知，当y= 23时取得最小值−13．【点评】：本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．19.（问答题，0分）已知抛物线G：y=ax2+bx+c（ab≠0）的顶点为P，与y轴的交点为Q，则直线PQ称为抛物线G的伴随直线．（Ⅰ）求抛物线y=x2-2x+1的伴随直线的表达式；（Ⅱ）已知抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=2x+4，且该抛物线与x轴有两个不同的公共点，求a的取值范围；（Ⅲ）已知A（-3，4），B（0，4），若抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=ax+b，且该抛物线与线段AB恰有1个公共点，求a的取值范围．（直接写出答案即可）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意求出顶点P坐标和与y轴的交点Q，进而求出伴随直线的表达式；（Ⅱ）将抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标求出，进而求出伴随直线，由题意可得a，b，c 的关系，再由抛物线与x 轴有两个解可得a 的取值范围；（Ⅲ）将抛物线的顶点坐标和与y 轴的交点坐标求出，进而求出伴随直线，由题意可得a ，b ，c 的关系，再由该抛物线与线段AB 恰有1个公共点可得a 的范围．【解答】：解：（Ⅰ）抛物线y=x 2-2x+1的顶点P （1，0），与y 轴的交点Q （0，1）， 由题意可得抛物线y=x 2-2x+1的伴随直线的表达式为：x+y=1，即抛物线y=x 2-2x+1的伴随直线的表达式为x+y-1=0；（Ⅱ）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标P （- b 2a ， 4ac−b 24a ），与y 轴的交点Q （0，c ），所以抛物线y=ax 2+bx+c 的伴随直线为y=2x+4，由题意可得 4ac−b 24a =2•（- b 2a）+4，c=4， 所以可得b=4，又因为该抛物线与x 轴有两个不同的公共点，所以△=b 2-4ac ＞0，即b 2-16a ＞0，可得42＞16a ，解得a ＜1且a≠0，所以a 的取值范围（-∞，0）∪（0，+∞）；（Ⅲ）因为抛物线y=ax 2+bx+c 的伴随直线为y=ax+b ，顶点P （- b 2a ，4ac−b 24a ），与y 轴的交点Q （0，c ）， {4ac−b 24a =−b 2a •a +b b =c ，解得b=c=2a ，所以抛物线的方程为：f （x ）=ax 2+2ax+2a ，对称轴x=-1，又因为A （-3，4），B （0，4），且该抛物线与线段AB 恰有1个公共点，可得线段AB 的方程为：y=4（-3≤x≤0），所以 {a ＞0f (−3)≥4f (0)＜4或 {a ＞0f (−1)=4 ， 解得 45 ≤a ＜2或a=4，所以a 的取值范围{x| 45 ≤a ＜2或a=4}【点评】：本题考查求伴随直线的方程抛物线的性质，属于中档题．。
2022-2023学年北京市清华大学附中高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2022-2023学年北京市清华大学附中高一（上）期末数学试卷1. 已知集合A ={y|y =log 2x,x >2}，B ={y|y <4}，则A ∩B =( ) A. {y|0<y <4}B. {y|0<y <1}C. {y|1<y <4}D. ⌀2. 命题“∀x >0，x 2−2x +1≥0”的否定是( ) A. ∃x >0，x 2−2x +1<0 B. ∀x >0，x 2−2x +1<0 C. ∃x ≤0，x 2−2x +1<0D. ∀x ≤0，x 2−2x +1<03. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( ) A. y =−1x B. y =3x −3−xC. y =tanxD. y =√x4. 已知a =(12)3.1,b =3.112,c=lg 12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <a <bB. a <c <bC. c <b <aD. a <b <c5. 函数f(x)=x|x|+lnx 2的图象可能是( )A.B.C. D.6. 已知函数f(x)={ax 2−x −14,x ≤1log a x −1,x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( )A. [14,12)B. [14,12]C. (0,12]D. [12,1)7. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的最小正周期为π，f(x)≤f(π8)，下列说法正确的是( ) A. f(x)的一个零点为−π8 B. f(x +π8)是偶函数C. f(x)在区间(3π8,7π8)上单调递增D. f(x)的一条对称轴为x =−3π88. 定义域和值域均为[−a,a]的函数y =f(x)和y =g(x)的图象如图所示，其中a >c >b >0，下列四个结论中正确有( )A. 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解B. 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解C. 方程f[f(x)]=0有且仅有八个解D. 方程g[g(x)]=0有且仅有一个解9. 函数f(x)=lg(x −2)+1x−3的定义域是______ .10. 把函数y =cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象向左平移π4个单位，则所得图象对应的函数解析式为______.11. 若α的终边过点(−1,2)，则tanα=______ .sin(π−α)sin(π2+α)−cos(π+α)=______ .12. 设函数f(x)={log a x(x >0)2x (x ≤0)，若f(12)=12，则实数a = (1) ，f(f(2))= (2) . 13. 已知函数f(x)={x 2+2x −3,x ≤0−2+lnx,x >0，方程f(x)=k 有两个实数解，则k 的范围是__________.14. 已知集合A ={x|x−4x+3>0}，集合B ={x|a −2≤x ≤2a +1}.(Ⅰ)当a =3时，求A 和(∁R A)∪B ；(Ⅰ)若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.15. 已知α∈(π2,π)，tanα=−34.(Ⅰ)求tan2α的值； (Ⅰ)求sinα+2cosα5cosα−sinα的值； (Ⅰ)求sin(2α−π6)的值.16. 函数f(x)=2x −b2x+1+a是R 上的奇函数，a ，b 是常数．(1)求a ，b 的值；(2)若不等式f(k ⋅3x )+f(3x −9x −2)<0对任意实数x 恒成立，求实数k 范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={y|y >1}，B ={y|y <4}，∴A ∩B ={y|1<y <4}.故选：C.可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，对数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由已知得，命题“∀x >0，x 2−2x +1≥0”的否定是： ∃x >0，x 2−2x +1<0. 故选：A.全称量词命题的否定，一是量词变成存在量词，二是否定结论，据此解决问题． 本题考查全称量词命题的否定方法，属于基础题．3.【答案】B【解析】 【分析】结合基本初等函数的单调性和奇偶性分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题． 【解答】解：根据反比例函数的性质可知，y =−1x在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)内不单调，不符合题意； 由于y =3x −13x为奇函数且在R 上单调递增，符合题意； 根据正切函数的性质可知，y =tanx 在定义域内不单调，不符合题意；根据幂函数的性质可知，y =√x 定义域[0,+∞)不关于原点对称，为非奇非偶函数，不符合题意． 故选：B.4.【答案】A【解析】解：∵a =(12)3.1∈(0,1)，b =3.112>1，c =lg 12<0，∴c <a <b.故选：A.根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a ，b ，c 的取值范围，从而可得结果．本题主要考查指数函数与对数函数的关系，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数f(x)=x|x|+lnx2在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，故排除AD；因为f(−1)=−1，f(1)=1，所以f(−1)≠f(1)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故排除C.故选：B.根据函数的单调性排除A D；根据f(−1)≠f(1)排除C.本题主要考查函数的图象与图象的变换，属于基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数函数、二次函数的单调性，分段函数单调性的判断，以及减函数的定义，属于基础题．根据题意可讨论a：a>1时，可看出f(x)在(1,+∞)上单调递增，而f(x)在(−∞,1]上不是增函数，显然不合题意；0<a<1时，可看出f(x)在(1,+∞)上单调递减，从而得出{12a≥1a−1−14≥−1，解出a的范围即可．【解答】解：①a>1时，f(x)在(1,+∞)上是增函数；∴f(x)在R上是增函数；显然f(x)在(−∞,1]上不是增函数；∴a>1的情况不存在；②0<a<1时，f(x)在(1,+∞)上是减函数；∴f(x)在R上是减函数；∴{12a≥1a−1−14≥−1；解得14≤a≤12；综上得，实数a的取值范围为[14,1 2 ].故选：B.7.【答案】ABD【解析】解：因为函数f(x)的周期为π，则ω=2，又f(x)≤f(π8)，则f(x)=max =f(π8)，所以2×π8+φ=π2+2kπ,k ∈Z ，解得φ=π4+2kπ,k ∈Z ， 所以f(x)=sin(2x +π4)，选项A ：因为f(−π8)=sin[2×(−π8)+π4]=sin0=0，故A 正确； 选项B ：因为f(x +π8)=sin[2×(x +π8)+π4]=sin(2x +π2)=cos2x ，而cos(−2x)=cos2x ，故B正确；选项C ：当x ∈(3π8,7π8)时，2x +π4∈(π,2π)，此时函数f(x)不单调，故C 错误；选项D ：因为f(−3π8)=sin[2×(−3π8)+π4]=sin(−π2)=−1=f(x)min =sin(−π2)=−1=f(x)min ，故D 正确， 故选：ABD.由函数的周期求出ω的值，再由为f(x)≤f(π8)可得f(π8)为函数的最大值，由此求出φ的值，进而可以求出函数f(x)的解析式，然后对应各个选项逐个判断即可求解．本题考查了三角函数的周期性以及最值问题，考查了正弦函数的性质以及学生的运算能力，属于基础题．8.【答案】ABD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，设t =g(x)，则由f[g(x)]=0，即f(t)=0，当t =0时，则t =g(x)有三个不同值，由于y =g(x)是减函数，所有三个解，A 正确；对于B ，设t =f(x)，若g[f(x)]=0，即g(t)=0，则t =b ，所以f(x)=b ，因为c >b >0，所以对应f(x)=b 的解有3个，B 正确；对于C ，设t =f(x)，若f[f(x)]=0，即f(t)=0，t =−b 或t =0或t =b ，则f(x)=−b ，或f(x)=0，或f(x)=b ，因为a >c >b >0，所以每个方程对应着三个解，所以共9个解，C 错误；对于D ，设t =g(x)，若g[g(x)]=0，即g(t)=0，所以t =b ，则g(x)=b ，因为y =g(x)是减函数，所以方程g(x)=b 只有1解，D 正确； 故选：ABD.根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查根的存在性及根的个数判断，涉及复合函数单调性的判断，属于中档题．9.【答案】(2,3)∪(3,+∞)【解析】解：要使原函数有意义，需要{x −2>0x −3≠0解得：x >2且x ≠3.所以原函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞). 故答案为(2,3)∪(3,+∞).函数解析式含有对数式和分式，由对数式的真数大于0和分式的分母不等于0取交集． 本题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．10.【答案】y =−sin2x【解析】解：函数y =cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，得到y =cos2x ，把图象向左平移π4个单位，得到y =cos[2(x +π4)]=cos(2x +π2)=−sin2x 故答案为：y =−sin2x函数y =cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)x 的系数变为原来的2倍，然后根据平移求出函数的解析式．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换．准确理解变换规则是关键．11.【答案】−2−1【解析】解：∵α的终边过点(−1,2)，∴tanα=2−1=−2； 则sin(π−α)sin(π2+α)−cos(π+α)=sinαcosα+cosα=sinα2cosα=12tanα=12×(−2)=−1.故答案为：−2；−1.由已知利用正切函数的定义求得tanα，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式求sin(π−α)sin(π2+α)−cos(π+α).本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．12.【答案】14√22【解析】解：函数f(x)={log a x(x >0)2x (x ≤0)，若f(12)=12，可得log a 12=12，解得a =14；f(2)=log 142=−12.f(f(2))=f(−12)=2−12=1√2=√22.故答案为：14；√22.利用分段函数的解析式通过f(12)=12，求解a 的值，利用分段函数逐步求解f(f(2))即可． 本题考查分段函数的应用，函数值的求法函数解析式的求法，考查计算能力．13.【答案】{k|k =−4或k >−3}【解析】 【分析】本题考查分段函数的图象及应用，方程的解的个数问题，考查数形结合的思想方法，属于基础题． 画出函数f(x)的图象，作出直线y =k ，观察图象，即可得解. 【解答】解：函数f(x)={x 2+2x −3,x ≤0−2+lnx,x >0的图象如图，作出直线y =k ，观察图象，k =−4或k >−3时，直线y =k 与函数f(x)有两个交点，即方程f(x)=k 有两个实数解，故实数k 的取值范围是{k|k =−4或k >−3}. 故答案为：{k|k =−4或k >−3}.14.【答案】解：(Ⅰ)集合A ={x|x−4x+3>0}，整理得：A ={x|x >4或x <−3}，∁R A ={x|−3≤x ≤4}， 集合B ={x|a −2≤x ≤2a +1}. 当a =3时，B ={x|1≤x ≤7}. 所以(∁R A)∪B ={x|−3≤x ≤7}. (Ⅰ)若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，所以B ⫋A ，当B =⌀时，a −2>2a +1，解得a <−3； 当B ≠⌀时，{a −2≤2a +1a −2>4或{a −2≤2a +12a +1<−3，整理得a >6或−3≤a <−2；综上所述：a 的取值范围为{a|a >6或a <−2}.【解析】本题主要考查集合的交、并，补集的混合运算，必要不充分条件，以及利用集合关系求参数范围，属于中档题.(Ⅰ)首先求出集合A ，再求出集合B ，根据补集和并集的定义即可求出(∁R A)∪B ； (Ⅰ)由x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，可得B ⫋A ，分B =⌀和B ≠⌀讨论即可得解.15.【答案】解：(Ⅰ)∵α∈(π2,π)，tanα=−34，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=−247.(Ⅰ)由tanα=−34，可得sinα+2cosα5cosα−sinα=tanα+25−tanα=−34+25+34=523. (Ⅰ)∵sin2α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=−2425，cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2αtan 2α+1=1−916916+1=725， ∴sin(2α−π6)=sin2αcos π6−cos2αsin π6=−2425×√32−725×12=−24√3+750. 【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的三角公式，属于基础题．(Ⅰ)由题意利用倍角公式，求得tan2α的值; (Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系，求得sinα+2cosα5cosα−sinα的值;(Ⅰ)先求得sin2α、cos2α的值，再利用两角差的正弦公式，求出sin(2α−π6)的值．16.【答案】解：(1)因为函数f(x)=2x −b 2x+1+a是R 上的奇函数，所以{f(0)=0f(−1)=−f(1)，即{1−b2+a=02−1−b 1+a=−2−b 4+a，解得{a =2b =1； (2)由(1)知f(x)=2x −12x+1+2=12−12x+1， 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)，因为x 1<x 2， 所以2x 1−2x 2<0，又2x1+1>0,2x2+1>0，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数，因为不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)<0对任意实数x恒成立，所以不等式f(k⋅3x)<−f(3x−9x−2)=f(−3x+9x+2)对任意实数x恒成立，所以不等式k⋅3x<−3x+9x+2对任意实数x恒成立，所以不等式k<−1+3x+23x对任意实数x恒成立，令g(x)=−1+3x+23x，令t=3x>0，则由对勾函数的性质得：y=−1+t+2t≥2√2−1，即g(x)的最小值为2√2−1，所以k<2√2−1.所以实数k的范围是(−∞,2√2−1).【解析】(1)根据函数f(x)是R上的奇函数，即可求解；(2)由(1)知f(x)=12−12x+1，先利用单调性的定义证明f(x)是R上的增函数，再结合奇偶性，将不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)<0对任意实数x恒成立，转化为不等式k<−1+3x+23x对任意实数x恒成立求解．本题主要考查不等式恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．。
2019-2020学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题(解析版)
（）
A．40° 【答案】C
B．80°
C．20°
2
D．10°
【解析】由 △PAB 为等腰三角形求出 PAB 70 ，再证明 PA AC ，最后由 BAC PAC PA 得出答案.
【详解】
PA PB,P 40
PAB 为等腰三角形，且 PAB 180 40 70 2
PA 是 O 切线， A 为切点， AC 是直径 PA AC 即 BAC PAC PAB 90 70 20
2．分式
x2
x
x 1
2
的值为
0，则
x
的值为（
）
A． 1或 2
B．2
C． 1
【答案】B
x2 x 2 0
【解析】将该分式化为
|
x
|
1
0
，求解即可.
【详解】
x2 x 2 0 x 1
D． 2
x2 | x
x | 1
2 0
0
，解得
x
2
故选：B
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解法，涉及了一元二次方程的解法，属于基础题.
2019-2020 学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题
一、单选题
1．化简 a a2 （ ）
A． a
B． a
C． a
D． a2
【答案】B
【解析】根据根式与分数指数幂的互化即可求解.
【详解】
1
a
a2
a
a2
1 2 2
a2
1
2 a .
故选：B
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
3．如图，在四边形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点.若 EF 2 ， BC 5 ， CD 3 ，则 tan C 等于（ ）
2019_2020学年10月北京海淀区清华大学附属中学高三上学期月考数学试卷
A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件
”是“函数 为奇函数”的（ ）． B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知
，
，则
的值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 层塔共挂了 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数
的解集为
，求实数 的取值范围．
20. 设满足以下两个条件的有穷数列
为
阶“期待数列”：
①
；
②
．
1 ）分别写出一个单调递增的 阶和 阶“期待数列”；
2 ）若某 阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
3 ）记 阶“期待数列”的前 项和为
，试证：
．
A.
B.
C.
D.
8. 已知定义在 上的函数
则 的取值范围是（ ）．
A.
B.
，若方程 C.
有两个不相等的实数根， D.
二、填空题
（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）
9. 已知函数
的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数
在
处取得极值．
10.
，，
三个数中最大的数字是
．
11. 在
中，
，
，则
．
12. 去年某地的月平均气温 （ ）与月份 （月）近似地满足函数
17. 已知
的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
1 ）求
的值．
2 ）若
，
的面积为 ，求边长 ．
，且角 为锐角．
18. 已知函数 1 ）当 2 ）当
北京市海淀区清华大学附属中学2022年高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析
，
结合 ，则 ，所以 ，
又由题设，得 ，
所以 ，
所以 ，
∴三角形ABC的周长 ，
∵外接圆的直径 ，∴ ，
∴外接圆的面积 .
18、（1）
（2）
【解析】【小问1详解】
， ， ，
若选① ，则 ，
则 ，
若选② ，则 ，
则 ，
则 ，
若选③ ，则 ，
， ，则
综上 ，
【小问2详解】
， ， ，
， ，
，
16．已知定义在 上的函数 ，满足不等式 ，则 的取值范围是______
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数 的部分图像如图所示
（1）求函数f（x）的解析式，并写出其单调递增区间；
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 ，且a、b是方程 的两个实数根，试求△ABC的周长及其外接圆的面积
【详解】对于命题①，函数 的定义域为 ，且 ，则函数 为偶函数，命题①为真命题；
对于命题②，当 时， ，则 ，此时，函数 在区间 上单调递减，命题②正确；
对于命题③，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
由偶函数的性质可知，当 时， ，则函数 在 上有无数个零点，命题③错误；
对于命题④，若函数 取最大值时， ，则 ，
A. 或1B.7或
C. 或 D.7或1
6．关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；② 在区间 单调递减；
③ 在 有 个零点；④ 的最大值为 .
其中所有正确结论的编号是（）
A.①②④B.②④
C.①④D.①③
7．已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，函数 是奇函数，且当 时， ，则 （）
2022-2023学年北京市清华大学附属中学高一(非马班)上学期数学期末试题【含答案】
2022-2023学年北京市清华大学附属中学高一（非马班）上学期数学期末试题一、单选题1．设集合{}{}|1,|21xA x xB x =≤=≥，则A B ⋂等于（ ）A ．{|0}x x ≤B ．{|1}x x ≤C ．{|0}x x ≥D ．{|01}x x ≤≤【答案】D【分析】首先解指数不等式得到{}|0B x x =≥，再求A B ⋂即可.【详解】{}{}|21|0xB x x x =≥=≥，{}|1A x x =≤，则{}|01A B x x =≤≤. 故选：D2．若点(1,2)P -在角α的终边上，则sin α=（ ）A ．2-B ．12-C ．D 【答案】C【分析】根据三角函数的概念求解即可得到答案.【详解】O 点为坐标原点，OP ==根据三角函数的概念可得，2sinOP α-==故选：C.3．计算：332log 6log 4-=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．6【答案】B【分析】由对数的运算法则化简即可求得. 【详解】由对数运算法则化简得23333333362log 6log 4log 36log 4log log 9log 324-=-==== 故选：B4．为了得到函数sin(2)4y x π=+的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度D ．向右平移8π个单位长度【答案】C【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.【详解】因为sin(2)sin[2()]48y x x ππ=+=+，所以由函数sin 2y x =的图象向左平移8π个单位长度可以得到函数sin(2)4y x π=+的图象，故选：C5．已知0.50.2lg12,log 5,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >>【答案】C【分析】根据题意得到1a >，0b <，01c <<，即可得到答案. 【详解】1lg12lg 01a =>=，即1a >. 0.20.2log 5log 10b =<=，即0b <. 00.544-<<0，即01c <<.所以a c b >>. 故选：C6．下列函数中，以2π为最小正周期，且在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（ ）A ．sin 2y x =B ．πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．πcos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．tan 2y x =【答案】B【分析】逐项分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可得出结论.【详解】对于A 选项，函数sin 2y x =的最小正周期为2ππ2=，故A 错误； 对于B 选项，函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ,044x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因为sin y x =在π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C 选项，函数πcos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,442⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭x ，因为cos y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以πcos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对于D 选项，函数tan 2y x =的最小正周期为π2，故D 错误.7．下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处的函数值，根据零点存在定理即可判断答案.【详解】因为函数2x y =在()-∞+∞，上单调递增，函数4y x =-在()-∞+∞，上单调递增， 函数()24x f x x =+-在()-∞+∞，上单调递增， 因为()()()()11250,0140,1=230,220,(3)70f f f f f --=-<=-<-<=>=>，所以()()120f f <，函数零点在区间(1,2) 内， 故选：C.8．若函数()cos(3)f x x ϕ=+是奇函数，使得|()|f x 取到最大值时的一个x 值为（ ） A ．π6- B ．0C ．π4D ．π3【答案】A【分析】根据三角函数的奇偶性求出ϕ,再根据对称轴使得|()|f x 取到最大值,计算即可. 【详解】若函数()cos(3)f x x ϕ=+是奇函数,所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈. 所以π()cos(3π)sin32f x x k x =++=, 当|()|f x 取到最大值时,()sin31,sin31f x x x ===±,即π3π,Z 2x k k =+∈,可得ππ,Z 63k x k =+∈， 当1k =-时, π6x =-.故选:A .9．已知实数,αβ，则“(21)π,Z k k αβ=+-∈”是“cos cos αβ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据诱导公式，结合充分性、必要性、余弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】当(21)π,Z k k αβ=+-∈时，[]()(21)πcos cos cos πcos k αβββ+-==-=-， 当cos cos αβ=-时，()()()cos cos cos π2ππZ k k αββαβ=-=-⇒=±-∈，(21)π(Z)k k αβ⇒=+-∈，或(21)π(Z)k k αβ=-+∈，所以“(21)π,Z k k αβ=+-∈”是“cos cos αβ=-”的充分不必要条件，10．已知函数()*()sin cos N n n f x x x n =+∈，则下列说法正确的是（ ）①1n =时，()f x ；②2n =时，方程()2sin |sin |f x x x =+在[0,2π]上有且只有三个不等实根； ③3n =时，()f x 为奇函数；④4n =时，()f x 的最小正周期为π2A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④【答案】D【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函数性质化简不等式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命题③，根据三角恒等变换及余弦型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项.【详解】因为()*()sin cos N n n f x x x n =+∈，所以当1n =时，π()sin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时函数()f x ，命题①为真命题；当2n =时，22()sin cos 1f x x x =+=，方程()2sin |sin |f x x x =+可化为2sin |sin |1x x +=，当0πx ≤≤时，3sin 1x =，故1sin 3x =，由正弦函数性质可得方程1sin 3x =在[]0,π上有两个解，当π2πx <≤时，原方程可化为sin 1x =，方程sin 1x =在(]0,2π上无解，所以方程()2sin |sin |f x x x =+在[0,2π]上有且只有两个不等实根；命题②为假命题；当3n =时，33()sin cos f x x x =+，33πππsin cos 444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭33πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f f ⎛⎫⎛⎫≠-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 不为奇函数，命题③为假命题；当4n =时，44222131()sin cos 12sin cos 1sin 2cos 4244f x x x x x x x =+=-=-=+，所以()f x 的最小正周期为π2，命题④正确；故选：D.二、填空题11．函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案. 【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩， 解得1x > 且2x ≠ ， 故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞， 故答案为：()()1,22,⋃+∞12．已知1sin 3θ=，则sin(π)θ+=___________．【答案】13-【分析】直接运用正弦的诱导公式进行求解即可.【详解】1sin(π)sin 3θθ+=-=-，故答案为：13-13．已知函数()a f x x 经过点(9,3)，则不等式()211f x x -+<的解集为___________．【答案】{01}xx <<∣ 【分析】首先代入求出12a =，则()()211f x x f -+<，利用函数单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得93a =，解得12a =，故12()f x x =， 则()211f x x -+<即为()()211f x x f -+<，根据12()f x x =在[)0,∞+上为单调增函数，则有2011x x ≤-+<， 解得01x <<，故解集为{}1|0x x <<， 故答案为：{}1|0x x <<.14．设函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________． 【答案】1【分析】由条件确定当π3x =时，函数取得最大值，代入即可求ω的集合，从而得到ω的最小值. 【详解】由条件π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，可知，π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的最大值，当π3x =时，πππ2π362k ω⋅+=+，Z k ∈，解得：61,Z k k ω=+∈，0ω>， 所以当k =0时，ω取最小值为1. 故答案为：115．已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，给出下列四个结论： ①若(2)1f =，则12a =或2； ②若0m n <<，且()()f m f n =，则1mn =；③不存在正数k ，使得()()1g x f x kx =--恰有1个零点； ④存在实数1a >，使得()()x g x f x a =-恰有3个零点． 其中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②【分析】对于①，解log 21a =即可判断；对于②，由对数函数的图象与性质可得log log a a m n -=，由对数的运算可判断；对于③，分01x <<与1x >讨论，结合对数函数的图象即可判断；对于④，根据指对数的图象即可判断.【详解】对于①，若(2)1f =，则log 21a =，解得12a =或2，故①正确； 对于②，若0m n <<，且()()f m f n =，则log log a a m n -=， 则()log log log 0a a a n m mn +==，解得1mn =，故②正确；对于③，当01x <<，易知1y kx =+与()y f x =的图象有一个交点， 当k →+∞时，1y kx =+与()y f x =的图象在()1,+∞上没有交点， 此时()()1g x f x kx =--恰有1个零点，故③错误；对于④，当1a >时，log ,01()log log ,1a aa x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩， 易知x y a =与()y f x =的图象在()0,1上有一个交点，因为x y a =与()log a f x x =的图象关于y x =对称，且没有交点， 故()()x g x f x a =-恰有1个零点，故④错误. 故答案为:①②.三、解答题16．已知二次函数2()1f x x x m =-+，其中0m >． (1)若()f x 的最小值为0，求m 的值； (2)若()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：()2121284x x x x -+>+．【答案】(1)2m = (2)证明见解析【分析】（1）根据二次函数的性质即可得到()2min104m f x =-=，再解方程即可.（2）首先根据题意得到()2121284x x m x x m-+=++，再利用基本不等式的性质求解即可. 【详解】（1）222()1124m f x x m x m x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，因为()2min104m f x =-=，0m >，解得2m =.（2）因为()f x 有两个不同的零点12,x x ，所以240m ->， 又因为0m >，所以m>2. 因为12x x m +=，121=x x ，所以()()2221212121212848444x x x x x x m m x x x x m m-++-+===+≥=+++，当且仅当4m m=，即2m =时等号成立， 因为m>2，所以()2121284x x x x -+>+，即证.17．已知函数π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1)，相邻的两个对称中心之间的距离为π2.(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 单调递增区间和对称中心．【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()f x 的增区间为(),,36k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，对称中心为(),0,Z 122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数所过点，建立方程，结合周期的性质以及公式，可得答案； （2）利用整体思想，根据正弦函数的单调性以及对称性，可得答案.【详解】（1）由函数π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1)，()02sin 1f ϕ==，则1sin 2ϕ=，由02πϕ<<，则6πϕ=，由相邻的两个对称中心之间的距离为π2，则函数()f x 的周期222T πππω=⨯==，解得2ω=，故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()222,262k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，解得(),36k x k k ππππ-+<<+∈Z ，则函数()f x 的增区间为(),,36k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ；令()2,6x k k ππ+=∈Z ，解得(),Z 122k x k ππ=-+∈，则函数()f x 的对称中心为(),0,Z 122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 18．已知函数2()21x x f x a a =--，其中0a >且1a ≠． (1)已知()f x 的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (2)若2a =，求()f x 的最小值；(3)若()f x 在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值． 【答案】(1)()0,2-； (2)2-； (3)3.【分析】（1）求出()0f 即可得出结果；（2）由已知2()2221x x f x =-⨯-，令2x t =，0t >，可得()()212f t t =--，即可求出最小值； （3）令x u a =，则2()21f u u u =--.分类讨论当01a <<以及1a >时，根据指数函数的单调性求出x u a =在[0,1]上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出a 的值．【详解】（1）因为()000212f a a =-⨯-=-，所以定点坐标为()0,2-.（2）当2a =时，2()2221x x f x =-⨯-. 令2x t =，0t >.则()()222112f t t t t =--=--，当1t =，即0x =时，函数()f x 有最小值2-.（3）令x u a =，则2()21f u u u =--.①当01a <<时，可知x u a =在[0,1]上单调递减，所以1a u ≤≤.又根据二次函数的性质可知，当1a u ≤≤时，2()21f u u u =--单调递减， 所以2()21f u u u =--在u a =处取得最大值2()21f a a a =--. 由已知可得，2212a a --=，解得1a =-或3a =. 因为01a <<，所以两个数值均不满足；②当1a >时，可知x u a =在[0,1]上单调递增，所以1u a ≤≤.又根据二次函数的性质可知，当1u a ≤≤时，2()21f u u u =--单调递增， 所以2()21f u u u =--在u a =处取得最大值2()21f a a a =--. 由已知可得，2212a a --=，解得3a =或1a =-（舍去），所以3a =. 综上所述，3a =.19．已知函数22π()2sin 4f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(1)求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭，并求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求相应的x 值．【答案】(1)π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，πT =(2)π12x =时，()max 1f x =；5π12x =时，()min 2f x =-.【分析】(1)将函数化简为正弦型函数即可求解；(2)整体替换法先计算区间内是否含有极值，若有则为最值，若无则最值在端点处取得.【详解】（1）22π()2sin 4f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ππcos 221sin 2212sin 2123x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 212cos 104433f ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π2ππ2T ω===. （2）由(1)知()π2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令ππ22π,32x k +=+得ππ,Z 12x k k =+∈, 当0k =时，，()max πππ2sin 21112123f x f ⎛⎫⎛⎫==⨯+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ22π,32x k +=-+得5ππ,Z 12x k k =-+∈, 与区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦无交集，又π2sin 0116f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，5π7π2sin 121126f ⎛⎫⎛⎫∴=-=-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()min 5π212f x f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭故π12x =时，()max 1f x =；5π12x =时，()min 2f x =-. 20．如图，在函数2()log f x x =图像任取三点(,()),(,()),(,())A a f a B b f b C c f c ，满足1a ≥，2b a =+，2c b =+，分别过A 、B 、C 三点作x 轴垂线交x 轴于D 、E 、F ．(1)当2a =时，求梯形ADEB 的周长；(2)用a 表示ABC 的面积S ，并求S 的最大值． 【答案】(1)55+ (2)答案见解析.【分析】对于（1），由题可得12，AD BE DE ===，5AB ，据此可得答案； 对于（2），设AC 与BE 交点为P ，则S 12BP DF =⋅，据此可得答案. 【详解】（1）由题可得，221log AD ==，2242，log DE BE ===.()225AB BE ADDE=-+=，则梯形ADEB 的周长为55+； （2）设AC 与BE 交点为P ，则S 12BP DF =⋅. 又()224log ，log AD a CF a ==+，且AD BE CF ∥∥，E 为DF 中点，则 由梯形中位线定理得()22221442log log log PE a a a a ⎡⎤=++=+⎣⎦（若1a =，PE 变为三角形中位线，结论不变.），则()222222244log log log a BP BE PE a a a a a ⎛⎫+=-=+-+= ⎪ ⎪+⎝⎭则S 22222144421244log log a a BP DF BP a a a a ⎛⎫⎛⎫++=⋅===+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 其中1a ≥.因()22424a a a +=+-，则函数24y a a =+在[)1,+∞上单调递增，得当1a ≥时，2224449450115544a a a a a a+≥⇒<≤⇒<+≤++. 当且仅当1a =时取等号.又函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，则22249154log log a a ⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a =时取等号.即ABC 的面积22414log S a a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，其中1a ≥；当且仅当1a =时，ABC 的面积有最大值295log ⎛⎫⎪⎝⎭.21．已知整数,3m n ≥，集合(){}12,,,{0,1},1,2,,n n i X x x x x i n =∈=∣，对于n X 中的任意两个元素()12,,,n A a a a =，()12,,,n B b b b =，定义A 与B 之间的距离为1(,)ni i i d A B a b ==-∑．若12,,,m n A A A X ∈且()()()12231,,,m m d A A d A A d A A -===，则称是12,,,m A A A 是n X 中的一个等距序列．(1)若1234(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,1)A A A A ====，判断1234,,,A A A A 是否是4X 中的一个等距序列？(2)设A ，B ，C 是3X 中的等距序列，求证：(,)d A C 为偶数； (3)设12,,,m A A A 是6X 中的等距序列，且161(1,1,,1)A =个，60(0,0,,0)m A =个，()12,5d A A =．求m 的最小值．【答案】(1)1234,,,A A A A 不是4X 中的一个等距序列 (2)见解析 (3)7【分析】（1）算出()12,d A A 与()23,d A A 验证不相等； （2）()(),,d A B d B C =结果为0,1,2,3来讨论；（3）分析从1变成0经过变换次数的规律，根据()12,5d A A =知道每次需要变换几个对应坐标. 【详解】（1）()4121,110100001i i i d A A a b ==-=-+-+-+-=∑()4231,101101002i i i d A A a b ==-=-+-+-+-=∑()()1223,,d A A d A A ∴≠所以1234,,,A A A A 不是4X 中的一个等距序列 （2）设()()()123123123,,,,,,A a a a B b b b C c c c ===把123123123,,a a a b b b c c c 分别称作()()()123123123,,,,,,A a a a B b b b C c c c ===的第一个，第二个，第三个坐标，若(){},,0,1,2,3d A B x x =∈则,A B 中有x 个对应坐标不相同，例如当(),1d A B =时，说明,A B 中有1个对应坐标不相同，其中()()1,1,0,1,1,1A B == 就是符合(),1d A B =的一种情况.① 当()(),,0d A B d B C ==得A B C ==，所以(),0d A C =是偶数 ② 当()(),,1d A B d B C ==，则,A B 中有1个对应坐标不相同，并且,B C 中有1个对应坐标不相同，所以,A C 中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A C =则(),0d A C =，当有2个对应坐标不相同时，(),2d A C =，都满足(),d A C 为偶数.③ 当()(),,2d A B d B C ==则,A B 中有2个对应坐标不相同，并且,B C 中有2个对应坐标不相同，所以,A C 中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A C =则(),0d A C =，当有2个对应坐标不相同时，(),2d A C =，都满足(),d A C 为偶数. ④ 当()(),,3d A B d B C ==则,A B 中有3个对应坐标不相同，并且,B C 中有3个对应坐标不相同，所以,A C 中有0个对应坐标不相同，即A C =则(),0d A C =，满足(),d A C 为偶数. 综上：A ，B ，C 是3X 中的等距序列，则(,)d A C 为偶数（3）根据第二问可得()12,5d A A =，则说明12,A A 中有5个对应坐标不相同由i A 变换到1i A +需改变5个坐标，保留1个不变，又因为从1变成0经过奇数次变化， 所以从161(1,1,,1)A =个变到60(0,0,,0)m A =个至少经过6次变换，每个坐标变换5次，故m 的最小值为7.。
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2019-2020学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题4分，共40分）.1．（4分）已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．（4分）下列函数在定义域内单调递增的是（）A．y＝x2B．y＝tan x C．y＝0.5x D．y＝lgx3．（4分）若点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝（）A．B．C．D．4．（4分）在a＝log30.1，b＝tan，c＝2，d＝sin2中，最大的数为（）A．a B．b C．c D．d5．（4分）“α+β＝+2kπ，k∈Z”是“sinα＝cosβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）下列区间包含函数f（x）＝x+log2x﹣5零点的为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）7．（4分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）8．（4分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件9．（4分）已知θ＝（0，），sin2θ＝，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（4分）若函数f（x）的图象上存在一点A（x0，y0），满足x0+y0＝0，且x0y0≠0，称函数f（x）为“可相反函数”．在：①y＝sin x；②y＝lnx；③y＝x2+4x+1；④y＝﹣e﹣x中，为“可相反函数”的全部序号是（）A．①②B．②③C．①③④D．②③④二、填空题（每小题5分，共30分）.11．（5分）已知幂函数f（x）＝x m经过点（2，），则f（）＝．12．（5分）已知θ为第二象限角，且sinθ＝，则sin（θ+）＝．13．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则函数f（x）的单调递增区间为．14．（5分）关于函数f（x）＝sin x与g（x）＝cos x有下面三个结论：①函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象平移得到：②函数f（x）与函数g（x）在（，π）上均单调递减；③若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|≤1．其中全部正确结论的序号为．15．（5分）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣k恰有两个不同的零点．则实数k的取值范围为．16．（5分）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”．x0是它的一个均值点，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分）.17．（13分）计算：（1）log64+2log63．（2）×（3）cos120°+tan135°．18．（13分）已知＝．（1）若α为第三象限角，求cosα的值；（2）求tan（α+）的值；（3）求cos2α的值．19．（13分）已知函数f（x）＝|log a x|（a＞0，a≠1）．（1）若f（2）＝，求实数a的值；（2）若0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求x1x2的值；（3）若函数f（x）在[，3]的最大值与最小值之和为2，求实数a的值．20．（13分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x+）．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程：（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，求实数m的取值范围．21．（14分）若函数f（x）的定义域为R，且存在非零实数T，使得对于任意x∈R，f（x+T）＝Tf（x）恒成立，称函数f（x）满足性质P（T）．（1）分别判断下列函数是否满足性质P（1），并说明理由；①f（x）＝sin2πx；②g（x）＝cosπx．（2）若函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），求函数f（x）的解析式；（3）若函数f（x）满足性质P（1.01）．求证：存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．22．（14分）已知集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{﹣1，1}，直接写出集合A+及A﹣；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，求证x1+x4＝x2+x3；（3）若集A⊆{x|0≤x≤2020，x∈N}，且A+∩A﹣＝∅，求集合A中元素的个数的最大值．2019-2020学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共40分）.1．（4分）已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】化简集合A，利用元素与集合之间的关系即可得出．【解答】解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，四个选项中，只有0∈A，故选：C．2．（4分）下列函数在定义域内单调递增的是（）A．y＝x2B．y＝tan x C．y＝0.5x D．y＝lgx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于B，y＝tan x，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝0.5x，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；对于D，y＝lgx，是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；故选：D．3．（4分）若点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝（）A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝＝，故选：A．4．（4分）在a＝log30.1，b＝tan，c＝2，d＝sin2中，最大的数为（）A．a B．b C．c D．d【分析】分别判断三个数的大小，进行比较即可．【解答】解：a＝log30.1＜0，b＝tan＝1，c＝2∈（0，1），d＝sin2＜1，则最大的是b＝1．故选：B．5．（4分）“α+β＝+2kπ，k∈Z”是“sinα＝cosβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】sinα＝cosβ⇒cos（﹣α）＝cosβ，可得β＝2kπ±（（﹣α），k∈Z．即可判断出结论．【解答】解：sinα＝cosβ⇒cos（﹣α）＝cosβ，∴β＝2kπ±（（﹣α），k∈Z．化为：α+β＝+2kπ，k∈Z，或β﹣α＝﹣+2kπ，k∈Z，∴“α+β＝+2kπ，k∈Z“是“sinα＝cosβ“的充分不必要条件．故选：A．6．（4分）下列区间包含函数f（x）＝x+log2x﹣5零点的为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【分析】此类选择题可以用代入计算出函数值，利用零点判定定理解决【解答】解：经计算f（1）＝1﹣5＝﹣4＜0，f（2）＝2+1﹣5＝﹣2＜0，f（3）＝3+log23﹣5＝log23﹣2＜0，f（4）＝4+2﹣5＝1＞0，故函数的零点所在区间为（3，4），故选：C．7．（4分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则ln（x+1）≠0，且x+1＞0，即x＞﹣1且x≠0，故函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠0}，故选：A．8．（4分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件【分析】若每批生产x件，则平均仓储时间为天，可得仓储总费用为，再加上生产准备费用为800元，可得生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝元，由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小值对应的x值【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f（x）取得最小值、可得x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B．9．（4分）已知θ＝（0，），sin2θ＝，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．【解答】解：∵θ＝（0，），sin2θ＝，∴sinθ﹣cosθ＜0，∴sinθ﹣cosθ＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故选：D．10．（4分）若函数f（x）的图象上存在一点A（x0，y0），满足x0+y0＝0，且x0y0≠0，称函数f（x）为“可相反函数”．在：①y＝sin x；②y＝lnx；③y＝x2+4x+1；④y＝﹣e﹣x中，为“可相反函数”的全部序号是（）A．①②B．②③C．①③④D．②③④【分析】根据已知条件把问题转化为函数f（x）与直线y＝﹣x有交点且交点不在坐标原点，结合图象即可得到结论【解答】解：由定义可得：；函数f（x）为“可相反函数”，即函数f（x）与直线y＝﹣x有交点且交点不在坐标原点．结合图象可得：只有②③④符合要求；故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）.11．（5分）已知幂函数f（x）＝x m经过点（2，），则f（）＝．【分析】把点的坐标代入幂函数解析式求出m的值，求出解析式，再计算f（）的值．【解答】解：幂函数f（x）＝x m经过点（2，），即2m＝，解得m＝﹣2，所以f（x）＝x﹣2；所以f（）＝＝．故答案为：．12．（5分）已知θ为第二象限角，且sinθ＝，则sin（θ+）＝﹣．【分析】由已知结合同角平方关系可求cosθ，然后结合诱导公式进行化简即可求解．【解答】解：因为θ为第二象限角，且sinθ＝，所以cos，则sin（θ+）＝cosθ＝﹣．故答案为：﹣13．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则函数f（x）的单调递增区间为[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A＝1，•＝﹣，∴ω＝π．再根据五点法作图，可得π×+φ＝π，∴φ＝，f（x）＝sin（π•x+）．令2kπ﹣≤π•x+≤2kπ+，求得2k﹣≤x≤2k﹣，故函数的增区间为[2k﹣，2k﹣]，k∈Z，故答案为：[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．14．（5分）关于函数f（x）＝sin x与g（x）＝cos x有下面三个结论：①函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象平移得到：②函数f（x）与函数g（x）在（，π）上均单调递减；③若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|≤1．其中全部正确结论的序号为①②．【分析】根据正弦函数与余弦函数的性质逐个判断即可．【解答】解：对于①，由于f（x）＝sin x＝cos（x+），所以函数f（x）＝sin x的图象可由函数g（x）＝cos x的图象向左平移个单位得到；①正确；对于②，函数f（x）＝sin x在（，π）上为减函数，函数g（x）＝cos x在（，π）上为减函数；②正确；对于③，若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|＝|sin t﹣cos t|＝|sin（t﹣）|≤．故③错误；故正确结论序号为①②；故答案为：①②．15．（5分）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣k恰有两个不同的零点．则实数k的取值范围为（﹣1，0）∪[1，3]．【分析】题目等价于函数f（x）与y＝k的图象有2个不同的交点，作出图象，数形结合即可【解答】解：条件等价于方程f（x）＝k有2个不等实根，也即函数f（x）与y＝k的图象有2个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：由图象可知，﹣1＜k＜0或1≤k≤3，故k∈（﹣1，0）∪[1，3]，故答案为（﹣1，0）∪[1，3]．16．（5分）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”．x0是它的一个均值点，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是[0，+∞）．【分析】根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，若函数g（x）＝x2+mx﹣m 在（﹣1，1）内有零点．首先满足：△≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．对称轴：x＝﹣．对m分类讨论即可得出．【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，若函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内有零点．则△＝m2+4m≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．g（0）＝﹣m．对称轴：x＝﹣．①m≥0时，﹣≤0，g（0）＝﹣m≤0，g（1）＞0，因此此时函数g（x）在（﹣1，1）内一定有零点．∴m≥0满足条件．②m≤﹣4时，﹣≥2，由于g（1）＝1＞0，因此函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内不可能有零点，舍去．综上可得：实数m的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．三、解答题（共6小题，共80分）.17．（13分）计算：（1）log64+2log63．（2）×（3）cos120°+tan135°．【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可得解．（2）利用指数的运算即可求解．（3）利用诱导公式化简根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：（1）log64+2log63＝+2＝＝＝lg6；（2）×＝2+2+2＝2＝21＝2．（3）cos120°+tan135°＝cos（180°﹣60°）+tan（180°﹣45°）＝﹣cos60°﹣tan45°＝﹣﹣1＝﹣．18．（13分）已知＝．（1）若α为第三象限角，求cosα的值；（2）求tan（α+）的值；（3）求cos2α的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得cosα的值．（2）由题意利用两角和的正切公式，求得所给式子的值．（3）由题意利用二倍角公式的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：（1）∵已知＝＝，∴tanα＝3＝．∵α为第三象限角，∴cosα＜0，sinα＜0，且sin2α+cos2α＝1．求得sinα＝﹣，cosα＝﹣．（2）由以上可得，tan（α+）＝＝＝﹣2．（3）cos2α＝2cos2α﹣1＝2•﹣1＝﹣．19．（13分）已知函数f（x）＝|log a x|（a＞0，a≠1）．（1）若f（2）＝，求实数a的值；（2）若0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求x1x2的值；（3）若函数f（x）在[，3]的最大值与最小值之和为2，求实数a的值．【分析】（1）代入直接求解即可；（2）计算可知log a（x1x2）＝0，由此得到x1x2＝1；（3）分析可知函数f（x）在[，3]的最大值为2，讨论即可得解．【解答】解：（1）依题意，，即或，解得a＝4或；（2）依题意，|log a x1|＝|log a x2|，又0＜x1＜x2，故log a x1+log a x2＝0，即log a（x1x2）＝0，故x1x2＝1；（3）显然当x＝1时，函数f（x）＝|log a x|取得最小值为0，则函数f（x）在[，3]的最大值为2，若，解得或；若f（3）＝|log a3|＝2，解得或；结合（2）可知，只有或满足题意．20．（13分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x+）．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程：（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）直接利用已知条件求解即可．（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和对称轴求得f（x）的最小正周期和对称轴即可．（3）求出函数f（0）的值，然后求解函数在（0，π）的范围内，求出x的值等于f（0），即可得到m的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝4cos x sin（x+）．f（）＝0．（2）依题意，得函数f（x）＝4cos x sin（x+）＝4cos x•（sin x+cos x）＝sin2x+2cos2x ﹣1+1＝2（sin2x+cos2x）+1＝2sin（2x+）+1．它的最小正周期为＝π．函数f（x）的图象的对称轴方程令2x+＝kπ+，求得x＝kπ+，k∈Z．（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，f（0）＝4cos0sin＝2．2sin（2x+）+1＝2，可得x＝时，f（）＝2，所以0＜m≤．21．（14分）若函数f（x）的定义域为R，且存在非零实数T，使得对于任意x∈R，f（x+T）＝Tf（x）恒成立，称函数f（x）满足性质P（T）．（1）分别判断下列函数是否满足性质P（1），并说明理由；①f（x）＝sin2πx；②g（x）＝cosπx．（2）若函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），求函数f（x）的解析式；（3）若函数f（x）满足性质P（1.01）．求证：存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．【分析】（1）根据P（1）的定义可知，该函数的周期为1，利用公式可分别求出它们的周期；（2）根据P（2）、P（3）的性质，合理变换x的取值，结合性质，可构造出关于f（x）的方程解出f（x）；（3）采用构造法，将P（1.01）的性质转化为，让函数值随着x后面累加1.01，绝对值逐渐缩小，再利用赋值法求得符合题意的x0．【解答】解：（1）令T＝1，则f（x+1）＝f（x），即该函数的周期为1，∵f（x）＝sin2πx的周期为＝1，故f（x）满足性质P（1），②g（x）＝cosπx的周期为＝2，故g（x）不满足性质P（1），（2）函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），∴f（x+2）＝2f（x），f（x+3）＝3f（x），∴f（x+3）＝f（x+1+2）＝2f（x+1）＝3f（x）①又f（x+2）＝f（x﹣1+3）＝3f（x﹣1）＝2f（x）②结合f（x+1）＝f（x﹣1+2）＝2f（x﹣1）③，联立①②③消去f（x+1）、f（x﹣1）解得f（x）＝0．（3）因为f（x+1.01）＝1.01f（x），所以f（x）＝f（x+1.01），所以f（x﹣1.01）＝，取x＝0，，，……，f（﹣n×1.01）＝，（n∈N+）易知＜0.001，且随着n的增大|f（﹣n×1.01）|的值递减．对两边取常用对数得：﹣nlg1.01+lg|f（0）|＜﹣3整理后得，取大于的整数n时，对应的x0＝﹣n×1.01满足|f（x0）|＜0.001．所以，存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．22．（14分）已知集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{﹣1，1}，直接写出集合A+及A﹣；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，求证x1+x4＝x2+x3；（3）若集A⊆{x|0≤x≤2020，x∈N}，且A+∩A﹣＝∅，求集合A中元素的个数的最大值．【分析】（1）根据题目定义，直接得到集合A+及A﹣；（2）根据两集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的关系；（3）通过假设A集合{m，m+1，m+2，…，4040}，m≤2020，m∈N，求出相应的A+及A ﹣，通过A+∩A﹣＝∅建立不等关系求出相应的值．【解答】解：（1）根据题意，由A＝{﹣1，1}，则A+＝{﹣2，0，2}，A﹣＝{0，2}；（2）由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，所以A﹣中也只包含四个元素，即A﹣＝{0，x2﹣x1，x3﹣x1，x4﹣x1}，剩下的x3﹣x2＝x4﹣x3＝x2﹣x1，所以x1+x4＝x2+x3；（3）设A＝{a1，a2，…a k} 满足题意，其中a1＜a2＜…＜a k，则2a1＜a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a k＜a2+a k＜a3+a k＜…＜a k﹣1+a k＜2a k，∴|A+|⩾2k﹣1，a1﹣a1＜a2﹣a1＜a3﹣a1＜…＜a k﹣a1，∴|A﹣|⩾k，∵A+∩A﹣＝∅，由容斥原理|A+∪A﹣|＝|A+|+|A﹣|⩾3k﹣1，A+∪A﹣中最小的元素为0，最大的元素为2a k，∴|A+∪A﹣|⩾2a k+1，∴3k﹣1⩾2a k+1⩾4041（k∈N*），∴k≤1347，实际上当A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，证明如下：设A＝{m，m+1，m+2，…，2020}，m∈N，则A+＝{2m，2m+1，2m+2，…，4040}，A﹣＝{0，1，2，…，2020﹣m}，依题意有2020﹣m＜2m，即m＞673，故m的最小值为674，于是当m＝674时，A中元素最多，即A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1347．。