第六章均匀设计法
合集下载
6均匀设计
用spss软件，使用回归分析中变量筛选的方法，比如 “向后法”，得到推荐的模型为：
yˆ 0.2142 0.0792x3
这个结果与人们的经验不符。
2019/10/26
25
然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：
y 0 1x1 2 x2 3x3 11x12 22 x22 33x32 12 x1x2 13x1x3 23x2 x3
3.均匀设计表任两列组成的试验方案一般并 不等价。
2019/10/26
16
6.2.3 使用均匀设计表
1.刻划均匀度用偏差D，越小，均匀度越好。 偏差D可对任一均匀设计表 U n或 中U任n* 意二列、任意三列、 …进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使用列，从 而形成使用表。
如下表就是均匀设计表 U7的(76使) 用表，s表示因子数。
6
5
4
3
2
11 2 3 4 5 6
6.2.1
2019/10/26
均匀设计表任两列组成的试验方案一般不等价
15
均匀设计有其独特的布（试验）点方式：
1.每个因素的每个水平做且仅做一次试验。
2.任两个因素的试验点点在平面的格子点上， 每行每列有且仅有一个试验点。
此二性质反映了均匀设计试验安排的“均衡”， 即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。
2019/10/26
20
2.利用均匀设计表来安排试验的步骤：
（1）根据试验目的，选择合适的因素和相应的水平。 （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表
的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列 号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对 号，试验就安排好了。
详见下例：
yˆ 0.2142 0.0792x3
这个结果与人们的经验不符。
2019/10/26
25
然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：
y 0 1x1 2 x2 3x3 11x12 22 x22 33x32 12 x1x2 13x1x3 23x2 x3
3.均匀设计表任两列组成的试验方案一般并 不等价。
2019/10/26
16
6.2.3 使用均匀设计表
1.刻划均匀度用偏差D，越小，均匀度越好。 偏差D可对任一均匀设计表 U n或 中U任n* 意二列、任意三列、 …进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使用列，从 而形成使用表。
如下表就是均匀设计表 U7的(76使) 用表，s表示因子数。
6
5
4
3
2
11 2 3 4 5 6
6.2.1
2019/10/26
均匀设计表任两列组成的试验方案一般不等价
15
均匀设计有其独特的布（试验）点方式：
1.每个因素的每个水平做且仅做一次试验。
2.任两个因素的试验点点在平面的格子点上， 每行每列有且仅有一个试验点。
此二性质反映了均匀设计试验安排的“均衡”， 即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。
2019/10/26
20
2.利用均匀设计表来安排试验的步骤：
（1）根据试验目的，选择合适的因素和相应的水平。 （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表
的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列 号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对 号，试验就安排好了。
详见下例：
6 均匀设计
• 思考题：
• 正交设计和均匀设计各有什么特点？正 交试验设计的基本步骤有哪些？
• 有一组实验数据，用最小二乘法原理可 配置成一元线性回归方程和一元指数回 归方程，如何判断哪个方程更拟合实验 数据？
4 需要注意的问题
• • • • • 试验次数问题 设计表的选择 回归模型建立 回归模型优化 试验参数优化
4.1 试验次数问题
均匀设计的最大特点是试验次数等于 因素的最大水平数 试验次数与被考察的因素的个数有关， 建议试验次数选为因素数的３倍左右为 宜， 这样选择的均匀设计表的均匀性好， 也有利于以后的建模和优化。
第六章 均匀设计
Uniform Design
1 均匀设计的概念与特点 2 均匀设计表 3 均匀设计的基本步骤
4 均匀设计应注意的问题
1 均匀设计的概念和特点
1.1 均匀设计的概念
均匀设计是由中国数学家方开泰教授和王元教授 在1978年共同提出，是数论方法中的“维蒙特卡罗 方法”的一个应用，已得到国际上广泛承认。 只考虑试验点在试验范围内均匀分布的一种试验 设计方法。 它适用于多因素、多水平的试验设计，是部分实 施的试验设计。 试验次数等于因素的水平数,比正交设计更能减少 试验次数。
4.2 模型好坏的判断标准问题
Ｆ检验给出的显著性与否是判断回归模型是否有 效的重要依据，如在复相关系数或相关系数上，R2 数 值越大越好, 但模型的好坏，在数理统计中还有误差自由度 和离回归标准误进行判断。 模型一般应保持误差自由度≥5，前面有 “试 验次数选为因素数的３倍左右为宜” 观点就在于此。
1.2 均匀设计的特点
1）均匀设计具有试验设计方法的共性及本质
内容，从少量试验结果中获取带规律性的结 果,也可进行回归分析。
均匀设计法
第六章 均匀设计法
▪例如用U11(1110)的1，7 和1，2列分别画图，得到下面的图 (a)和图 (b)。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而(b)的点散 布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同， 因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。
11 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
第六章 均匀设计法
▪1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个 五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10， 而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都 不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提 出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将 这一方法用于导弹设计，取得了成效。
▪均匀设计法与正交设计法的不同：
两种设计的均匀性比较
很难找到正交设计和均匀设计具有相同的试验数和相同的水平数。我们从 如下三个角度来比较：
v 1.试验数相同时的偏差的比较
v 当因素s=2时，若用L8(27)安排试验，其偏差为0.4375；
若用均匀设计表
U
* 8
(88
)
，则偏差最好时要达0.1445。
显然试验数相同时均匀设计的均匀性要好得多。值得
U6(64)的使用表
s列
号
213
312 3
412 3 4
偏差值越小，表示均匀度越好
D
0.1875 0.2656 0.2990
第六章 均匀设计法
均匀设计和正交设计的比较
将目前最常用正交设计和均匀设计作一下比较，讨论两种试验设计方法的特 点。
➢1.试验次数的比较 ➢正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为 水平数的平方。例如一项试验，有五个因素，每个因素取31 水平，若用正交设计，至少需要做961次试验，而用均匀设 计只需31次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验。
均匀设计法的基本原理和应用范围
农业试验设计
总结词
在农业研究中，均匀设计法可用于优化种植密度、施肥量等农业措施，提高作物产量和 品质。
详细描述
在农业试验中，需要研究多种因素对作物生长的影响，如种植密度、施肥量、灌溉方式 等。通过均匀设计法，可以有效地安排试验条件，以最少的试验次数获得最佳的试验效
果。
产品制造工艺优化
总结词
在产品制造过程中，均匀设计法可用于优化工艺参数，提高产品质量和生产效率。
均匀设计法的基本原理和应用范围
目录
• 均匀设计法的基本概念 • 均匀设计法的基本原理 • 均匀设计法的应用范围 • 均匀设计法的优势与局限性 • 均匀设计法的实际应用案例
01 均匀设计法的基本概念
定义与特点
定义
均匀设计法是一种实验设计方法，旨在通 过合理地选择实验点和实验次数，最大限 度地获取所需的信息，并减少实验误差。
确定试验点数量
根据试验因素和水平，确定试 验点数量，以确保试验结果的 准确性和可靠性。
进行试验
按照生成的试验点进行试验， 收集数据。
确定试验因素和水平
根据研究目的和问题，确定试 验因素和水平，为后续的试验 设计提供基础。
生成试验点
根据均匀性准则和试验点分布 方法，生成试验点，确保每个 试验点具有代表性。
有限制条件
在满足一定限制条件下选择实验点。
均匀分散
在实验范围内，实验点均匀分散，避免集 中在某些区域。
高效性
通过合理设计，用较少的实验次数获取更 多信息。
与其他设计方法的比较
与正交设计法比较
均匀设计法的实验点分布更均匀，适 用于探索性实验和多因素多水平实验 。
与拉丁方设计法比较
拉丁方设计法适用于两因素实验，而 均匀设计法可应用于多因素实验。
均匀设计-均匀设计.ppt
3.3.3.2 非线性回归模型（续1）
法、后退法、逐步回归法或最优子集法等进行变量的 筛选。其回归系数求解可经过方程项的转换按多元线 性回归的方法完成。 (2) 多项式回归模型
一般地，包含多变量的任意多项式可表述为：
可通过类似x1=Z1,x2=Z2,x3=Z12,x4=Z1Z2,x5=z22 的变换， 将其按多元线性回归分析。多项式回归在回归分析中 占特殊地位，因为任何函数至少在一
S
列号
D
2 15
0.1632
3 145
0.2649
4 1345
0.3528
5 12345
0.4286
6 1 2 3 4 5 6 0.4942
说明：设计表中的列代表的是各因素的水平， 但具体代表的是哪个因素的水平，需按使用 表确定，使用表s一栏的数字是试验的因素数， 它后面的数字指定了各种因素数进行试验时 该如何选择设计表的列；使用表中D栏代表 不同因素数选择设计表的不同列时均匀设计 的偏差，偏差越小，均匀性越好，试验成功 的几率和结果的可靠性越大。
(4) 用分次试验的指标值和取得该指标值的各因 素水平值建立试验指标—各因素水平关系的回归 模型（这也是均匀设计中的最重要的环节之一)；
(5) 成功地建立了回归模型后在各试验因素的试 验范围内寻找最佳的各因素水平组合并进行该组 合的验证试验（也可和步骤６一起进行)；
(6) 验证试验成功则进一步缩小水平划分更为细致的新的一 轮的试验，进一步寻找最优试验条件组合。一般 情况下，此次最优条件即为整个试验的最优条件， 试验结束。
3 均匀设计的应用方法
试验设计的共性问题 均匀设计的应用方法 具体问题的解决方法
3.1 试验设计的共性问题
试验设计（如正交试验设计、裂区试验设 计、系统分组设计等）过程必然离不开试验基 础内容的构思（试验的评价指标；试验的因素、 水平的选择和试验次数的拟定）、试验结果数 据的分析等共性方面的问题。试验的因素和水 平的选择关系到一个试验能否成功的关键，下 列的注意事项和建议对使用试验设计（当然也 包括均匀设计）的人员应该是有益的：
均匀设计方法简介
均匀设计方法简介在工农业生产和科学研究中，常须做试验，以获得予期目的：改进生产工艺，提高产品收率或质量，合成出某化合物等等。
怎样做试验，是大有学问的。
本世纪30年代，费歇（R.A.Fisher）在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作，使试验设计成为统计科学的一个分支。
今天，试验设计理论更完善，试验设计应用更广泛。
本节着重介绍均匀设计方法。
一、试验设计对于一项试验，例如用微波加热法通过离子交换制备Cu13X分子筛。
我们可以13X分子筛、CuCl2为原料来制备，为寻找最佳条件，应如何设计这个试验呢？若我们已确定了微波加热功率（A）、交换时间（B）、交换液摩尔浓度（C）为三个影响因素，每个因素取五个不同值（即水平：A1，…，A5，B1，…，B5，C1，…，C5）。
有两种方法最易想到：1．全面试验：将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验。
对上述示例，不计重复试验，共需做5×5×5=125次试验。
2．多次单因素试验：依次考查各因素（考查某因素时，其它因素固定）取最佳值。
容易知道，对上示例（不计重复试验）共需做3×5=15次试验。
该法在工程和科学试验中常被人们采用，可当考查的因素间有交互作用时，该法所得结论一般不真。
3．正交设计法：利用正交表来安排试验。
本世纪60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，使正交试验设计得到更广泛的使用。
70年代以来，我国许多统计学家深入工厂、科研单位，与广大工程技术人员、工人一起，广泛开展正交设计的研究、应用，取得了大批成果。
该法是目前最流行，效果相当好的方法。
正交表记为：L n(q m)，这里“L”表示正交表，“n”表总共要做的试验次数，“q”表每个因素都有q个水平，“m”表该表有4列，最多可安排m个因素。
常用的二水平正交表为L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)；三水平正交表有L9(34)，L27(313)；四水平正交表L16(45)及五水平正交表L25(56)等。
均匀设计法PPT课件
b x 数 的绝对值不能直接进行比较，必须将各回归系数标准化，按式（8-15）求出标准回
归系数 ，然后才能通过比i较
i
xi
y
y
b'i b'的绝对值来判断各因子影响的大小。
i
26
第26页/共44页
标准回归系数
bi' bi Lij / Lyy
（8―15)
标准回系数 与因子 所' 用单位无关，其绝对值越大，表示该因子对 值的影响越大。
j 1
。f u m
Qe QT U
第24页/共44页
(8―11)
(8－12) (8－13)
24
自由度
f e 从而n统计量m 1
给定显著性水平F，从附表２查U出
/
m
检验临界值
Qe /(n m 1)
F ( fu , fe )
，若 （8－14）
F
F F ( fu , f e )
我们可以在显著性水平下 ，认为所建立的回归方程是有显著意义的。反之，则
用的条件下，只需选用实验次数等于因子数的均匀设计表来安排实验就可以的。而 当要考虑因子高次项与因子之间的交互作用时，需用多项式回归来描述指标函数。 若研究的因子数因子数为 ，在回归方程中，一次项与二次项各
m
13
第13页/共44页
14
m 2m C C 有 项,交互效应项有 项，共有( )项2，因此至少要选用有( )次2实验的均匀设
U 5 (54 ) U 5 (54 ) 则U正表5好(的5每4第列)1安列排和一第个2列因；子若。有又3如个前因面子提，到则的将因子表安，排如在果第只1,安2,排4列2因；子若，有则4个可因由子，
的使用表查得应将这2个因子分别
第六章-均匀试验设计PPT课件
每个因素的每个水平只做1次试验
均匀设计所采用的均匀设计表的任意两列组成的 试验方案一般并不等价 ，每个均匀设计表都有一个附 加的使用表，进行均匀设计时，要遵循使用表的规定 ，才能达到较好的试验效果。
均匀设计的特点
1）均匀设计的最大特点是试验次数等于 因素的最大水平数，而不是平方的关系。
如当水平数从9水平增加到10水平时，试 验数n 也从9增加到10。而正交设计当水平 增加时，试验数按水平数的平方的比例在 增加；当水平数从9到10时，试验数将从 81增加到100。
由于这种方法不再考虑正交设计中为“整 齐可比”而设置的实验点，因而大大减少了 试验次数，这是它与正交试验设计法的最大 不同之处。
均匀设计和正交设计相似，也是通过一套精心 设计的表（均匀设计表）来进行试验设计的。
均匀表符号
均匀表列数（最 多安排因素数）
Un (tq )
均匀表横行数 （试验次数）
字码数 （水平数）
第一轮试验安排做12个样，评价以后进行回归处 理，从中剔除两个对乳化影响不大的乳化剂，再安排 第二轮7次试验。在第二轮试验中就出现了稳定性较 好的样品。第三轮试验下来，整个稳定区间就出来了。 将乳化剂加入量少而又能得到稳定乳状液的配方算出， 验证之，又存放两天观察，得到了看起来像雪花膏一 样的雪白的含苯并噻吩的甲苯─水乳化液。又按对水 含量变化的要求，制备出从10 ％ ～25％不同含水量 的稳定乳液。做完这些以后，我又观察三天，确信乳 液稳定后，将乳化条件、配方变化和稳定性变化关系 图整理出来，然后向指导教授汇报。
中国科学家巧妙的将“数论方法”和“统计 试验设计”相结合，发明了均匀设计法。
均匀设计法诞生於１９７８年。由中国著名
数学家方开泰教授和王元院士合作共同发
均匀设计
表5 用逐步回归法数据处理结果
变量 常数 x1 x2 x3 x12 偏回归系数 -9.105 3.672 -0.768 -4.014 -0.159 标准偏回归系数 — 4.478 -0.936 -0.300 -4.075
各因素对y值影响的大小取决于标准偏回归系数，各因素对y的 影响大小顺序为：x1（葡萄糖）＞x2（硫酸铵） ＞ x3（尿素）
对上述方程求一阶偏导数得：在x1取值的 范围内（8.0—14.0），经计算得： x1=11.55.x2和x3则应选择较低值，以保 证获得较大的y值。 若x1=11.55，x2=2.0， x3=0.1 则y=10.07 若将x3改为x3=0.05 则y=10.30 因此，通过该设计及计算，不但可以 解释因变量y与各自变量间的定量关系， 而且可以寻找优化的实验条件。
3
2
3
4
0.2132
通常有”*”号的均匀设计表有更好的均匀性，应 优先选用，但实验数n确定后，通常Un表比Un* 表能安排更多的因素，故当s较大且超过Un*的 使用范围时，可使用Un表。
例如由表1和表6两个均匀设计表U7(74)和 U7*(74)及它们的使用表来安排实验，今有两个 因素，若选用U7(74)的1.3列，其偏差 D=0.2398，而选用U7*(74)的1.3列，相应偏 差D=0.1582,后者较小，均匀度更好，应优先 选用。
表3 葡萄糖、硫酸铵和尿素因素与水平数
因素
水
平
数
1
葡萄糖x1 硫酸铵x2 尿素x3 8.00 2.00 0.00
2
9.00 3.00 0.05
3
10.00 4.00 0.10
4
11.00 5.00 0.15
5
《试验设计与数据处理》均匀分析
32.0
1.1
92.0
甲醛用量 x4/mL 0.20 0.35 0.50 0.65 0.80 0.95 1.10 1.25 1.40
• 解：根据因素和水平，可以选择均匀设计 表U9（95）。根据U9（95）的使用表，将 x1，x2，x3和x4分别安排在U9（95）表的1、 2、3、5列（D＝0.4066），其试验方案及 试验结果如表21。
• 若各个因素与Y之间的关系是线性的，多 元回归方程为
Y 0 1x1 2 x2 m xm
• 当回归为非线性时，或因素间存在交互作 用时，可回归为多元高次方程。如因素与Y 为二次关系时，回归方程为
m
T
m
Y 0 i xi T xi x j i xi2
i 1
i1, j1
i 1
三、均匀设计表
（一）等水平均匀设计表 • 每一个均匀设计表有一个代号Un(nm)或
U*n(nm) ，其中“U”表示均匀设计，下标 “n”表示要做n次试验，括号中“n”表示每 个因素有n个水平（试验时水平数可以小于 试验次数，但必须能被试验次数整除）， “m”表示该表有m个因素（列）；
• U的右上角加“*”和不加“*”分别 代表两种不同类型的均匀设计表。如 表1和表4分别为均匀表U7(74)和 U*7(74)。通常加“*”的均匀设计表 有更好的均匀性，应优先选用。
• （一般书籍中只列出试验次数为奇数 的均匀设计表）
• 例如：表1、2、6、7、9、11
• ②使用表：每张均匀设计表都附有一 张相应的使用表（试验次数为奇、偶 数的使用表相同）。
• 如表3、8、10、12
（二）混合水平的均匀设计表（拟水平法） • 例1，有2个因素A和B为3水平，1个因素C
为2水平。分别记它们的水平为 A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2 。
均匀设计
均匀设计（Uniform Design），又称均匀设计试验法（Uniform Design Experimentation）），或空间填充设计，是一种试验设计方法（Experimental Design Method。
它是只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。
它由方开泰教授和数学家王元在1978年共同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用。
1简介所有的试验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选代表性点的方法，方开泰、王元完成的“均匀试验设计的理论、方法及其应用”，首次创立了均匀设计理论与方法，揭示了均匀设计与古典因子设计、近代最优设计、超饱和设计、组合设计深刻的内在联系，证明了均匀设计比上述传统试验设计具有更好的稳健性。
该项工作涉及数论、函数论、试验设计、随机优化、计算复杂性等领域，开创了一个新的研究方向，形成了中国人创立的学派，并获得国际认可，已在国内外诸如航天、化工、制药、材料、汽车等领域得到广泛应用。
2提出均匀设计是继60年代华罗庚教授倡导、普及的优选法和我国数理统计学者在国内普及推广的正交法之后，于70年代末应航天部第三研究院飞航导弹火控系统建立数学模型、并研究其诸多影响因素的需要，由中国科学院应用数学所方开泰教授和王元教授提出的一种试验设计方法。
均匀设计是统计试验设计的方法之一，它与其它的许多试验设计方法，如正交设计、最优设计、旋转设计、稳健设计和贝叶斯设计等相辅相成。
我们知道，试验设计就是如何在试验域内最有效地选择试验点，通过试验得到响应的观测值，然后进行数据分析求得达到最优响应值的试验条件。
因此，试验设计的目标，就是要用最少的试验取得关于系统的尽可能充分的信息。
均匀设计即可以较好地实现这一目标，尤其对多因素、多水平的试验。
3原理分布理论均匀设计的数学原理是数论中的一致分布理论，此方法借鉴了“近似分析中的数论方法”这一领域的研究成果，将数论和多元统计相结合，是属于伪蒙特卡罗方法的范畴。
chapter06均匀设计法
2
3
1.4(2)
1.8(3)
19(4)
25(6)
3.0(6)
1.0(2)
0.336
0.294
4
5
2.2(4)
2.6(5)
10(1)
16(3)
2.5(5)
0.5(1)
0.476
0.209
6
7
3.0(6)
3.4(7)
22(5)
28(7)
2.0(4)
3.5(7)
0.451
0.482
根据试验方案进行试验，其收率(Y)列于表的 最后一列，其中以第7号试验为最好，其工艺 条件为配比3.4，吡啶量28ml，反应时间3.5h。 我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据
每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设 计表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的 均匀度。下表是U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因 素，应选用1，3两列来安排试验；若有三个因素，应选用1， 2，3三列，…，最后1列D表示刻划均匀度的偏差 (discrepancy)，偏差值越小，表示均匀度越好。
^
(8 1)
令xik 代表因素xi 在第k次试验时取的值，yk 表示响应值 (8 2) (8 3) (8 4) (8 5)
i 1, 2,, m
xi xi
i 1
_
N
i 1, 2, m
1 N y yk N i 1 回归方程组系数由下列正规方程组决定：
第六章 均匀设计法
§6－1 基本原理
一、引言
正交试验设计利用：
均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀 可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试验 结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，正 交试验的次数也会很大。如5因素5水平，用正交表需 要安排55＝25次试验。这时，可以选用均匀设计法， 仅用5次试验就可能得到能满足需要的结果
均匀设计法
2
1.4(2) 19(4) 3.0(6) 0.336
3பைடு நூலகம்
1.8(3) 25(6) 1.0(2) 0.294
4
2.2(4) 10(1) 2.5(5) 0.476
5
2.6(5) 16(3) 0.5(1) 0.209
6
3.0(6) 22(5) 2.0(4) 0.451
7
3.4(7) 28(7) 3.5(7) 0.482
xik
_
xi
xik
_
xj
Liy
N K 1
xik
_
xi
yk
_
y
Lyy
N i1
yk
_
y
2
_
N
xi xi
i1
i 1, 2, m
i, j 1, 2, , m i 1, 2, , m
(8 2) (8 3) (8 4) (8 5)
_ 1 N
y N i1 yk 回归方程组系数由下列正规方程组决定：
^
2mT
方程(8 9)化为 y b0 bl xl (T Cm2 ) (8 11)
l 1
在这种情况下，为了求得二次项和交互作用项，就不能
选用试验次数等于因素数的均匀设计表，二必须选用试
验次数大于或等于回归方程系数总数的U表了
§9－2 应用举例
▪ 利用均匀设计表来安排试验的步骤：
• （1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。 • （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使
§6－1 基本原理
• 一、引言
• 正交试验设计利用：
▪ 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐
▪ 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀
《均匀试验设计法》课件
实例三：软件开发测试
总结词
全面测试、发现潜在问题、提高软件质量
详细描述
在软件开发测试中，均匀试验设计法可以用于全面测试软件的功能和性能，发现潜在的问题和缺陷。 通过合理地设计测试用例，可以覆盖各种可能的输入和边界条件，提高软件的质量和稳定性。
04
均匀试验设计法的优缺点
优点
高效性
均匀试验设计法能够有效地减 少试验次数，缩短试验周期，
提高试验效率。
均衡性
该方法能够保证试验条件和试 验因素在各个水平之间分布均 衡，避免了某些极端条件下的 试验误差。
适用性强
均匀试验设计法适用于因子水 平数量较多、因子间交互作用 较强的情况，具有较好的通用 性。
易于实现
该方法操作简单，易于实现， 不需要复杂的数学工具和编程
技能。
缺点
对数据要求高
对因子水平要求高
均匀试验设计法需要大量的数据支持，对 于数据量较小的情况可能不太适用。
该方法要求因子水平数量较多，对于因子 水平数量较少的情况可能不太适用。
对因子间交互作用要求高
对试验条件要求高
均匀试验设计法适用于因子间交互作用较 强的情况，对于因子间交互作用较小或无 交互作用的情况可能不太适用。
该方法要求试验条件保持稳定，对于试验 条件不稳定或变化较大的情况可能不太适 用。
进行试验
按照确定的试验点和次数进行 试验。
确定试验范围
首先需要确定试验的范围，即 试验的自变量取值范围。
均匀分布试验点
在试验范围内均匀分布试验点 ，确保每个点都有相同的概率 被选中。
分析结果
对试验结果进行分析，评估均 匀试验设计法的效果和可靠性 。
03
均匀试验设计法的应用实例
均匀设计
2019/1/11 12
7.2.3 使用均匀设计表
* 偏差D可对任一均匀设计表 U n 或 U n 中任意二列、任 意三列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使 用列，从而形成使用表。
如下表就是 U 7 (76 ) 的使用表，s表示因子数。 均匀设计表 U 7 (76 ) 的使用表
若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使 用，把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 U 7 (7 4 ) 及其使用表。
i 2n ，i 1,2, , n
Un(n m)中n个试验点变换成C m=[0，1]m中的n个点。 考虑Un(n m)中n个试验点的均匀性等价于考虑在 [0，1]m中 的均匀性。
2019/1/11 10
（3）设
是[0，1]m中任一点，则
为多维矩形的体积，且 0 V ( x) 1 。 （4）记 nx 为n个点 x1 , x2 ,, xn 落在多维矩形的个数， 则 n x / n 表示有多少比例的点落在矩形中。 若此n个点在[0，1]m中均匀散布，则 n x / n 与该多维 矩形的体积 相差不大。 （5）设 x1 , x2 ,, xn 是[0，1]m中的n个点，则称
2019/1/11 1
王元
方开泰
中国科学院数学研究所 中国科学院院士
中国科学院应用数学研究所 北京师范大学－ 香港浸会大学联合国际学院 美国数理统计科学院终身院士 美国统计学会终身院士
2
2019/1/11
§7.1 均匀设计表
7.1.1 均匀设计概述
例7.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重
金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察 老鼠体内某种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个
7.2.3 使用均匀设计表
* 偏差D可对任一均匀设计表 U n 或 U n 中任意二列、任 意三列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使 用列，从而形成使用表。
如下表就是 U 7 (76 ) 的使用表，s表示因子数。 均匀设计表 U 7 (76 ) 的使用表
若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使 用，把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 U 7 (7 4 ) 及其使用表。
i 2n ，i 1,2, , n
Un(n m)中n个试验点变换成C m=[0，1]m中的n个点。 考虑Un(n m)中n个试验点的均匀性等价于考虑在 [0，1]m中 的均匀性。
2019/1/11 10
（3）设
是[0，1]m中任一点，则
为多维矩形的体积，且 0 V ( x) 1 。 （4）记 nx 为n个点 x1 , x2 ,, xn 落在多维矩形的个数， 则 n x / n 表示有多少比例的点落在矩形中。 若此n个点在[0，1]m中均匀散布，则 n x / n 与该多维 矩形的体积 相差不大。 （5）设 x1 , x2 ,, xn 是[0，1]m中的n个点，则称
2019/1/11 1
王元
方开泰
中国科学院数学研究所 中国科学院院士
中国科学院应用数学研究所 北京师范大学－ 香港浸会大学联合国际学院 美国数理统计科学院终身院士 美国统计学会终身院士
2
2019/1/11
§7.1 均匀设计表
7.1.1 均匀设计概述
例7.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重
金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察 老鼠体内某种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个
均匀设计-均匀设计.ppt
3 均匀设计的应用方法
试验设计的共性问题 均匀设计的应用方法 具体问题的解决方法
3.1 试验设计的共性问题
试验设计（如正交试验设计、裂区试验设 计、系统分组设计等）过程必然离不开试验基 础内容的构思（试验的评价指标；试验的因素、 水平的选择和试验次数的拟定）、试验结果数 据的分析等共性方面的问题。试验的因素和水 平的选择关系到一个试验能否成功的关键，下 列的注意事项和建议对使用试验设计（当然也 包括均匀设计）的人员应该是有益的：
3.1 试验设计的共性问题（续2）
（3） 关于各因素的水平范围：试验水平范围 应当尽可能大一点。如果试验在实验室进行， 试验范围大比较容易实现；如果试验直接在生 产中进行，则试验范围不宜太大，以防产生过 多次品，或产生危险。试验范围太小的缺点是 不易获得比已有条件有显著改善的结果； （4） 关于因素的水平数：若试验水平范围允 许大一些，则每一因素的水平个数最好适当多 一些；
3.1 试验设计的共性问题（续1）
（1） 因素的含义：在一个试验过程中，影响试验指 标的因素通常是很多的，通常固定的试验因素在试验 方案中并不称为因素，只有变化的因素才称为因素； （2） 关于因素数量：在一项试验中，因素不宜选得 太多(如超过10个)，那样可能会造成主次不分；相反 地，因素也不宜选得太少（如只选定一、二个因素）， 这样可能会遗漏重要的因素，或遗漏因素间的交互作 用，使试验的结果达不到预期的目的；
2.2 均匀设计表的产生
每个均匀设计表都规定了它的使用表，用于进 行试验各因素水平组合的具体安排。这样做的原因 是：从均匀设计表Un(nm)中选出 s列, 则可能的选择 有(ms)种， 但不同列组合起来所代表的点集的均匀 性是不同的，所设计试验的效果也是不同的，因而 如何选用均匀设计表中的列必须引入一个判别表的 均匀性好坏的准则。度量均匀性的准则很多,其中偏 差(discrepancy)是使用历史最久、最为广泛接受的 方法，均匀设计也同样采用偏差来衡量其设计表的 均匀性，偏差越小，则设计表的均匀性越好。
均匀设计
全面交叉试验要N=73=343次,太多了。 建议使用均匀设计。 有现成的均匀设计表，提供使用。参见:
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版社(1994).” 之附表 1
也可以浏览如下网页
网络地址:.hk/UniformDesing 9
第1步: 将试验因素的水平列成下表：
U7 (74 )
234 236 465 624 153 312 541 777
表 1.1.4:
No. 1 2 3 1 123 2 246 3 362 4 415 5 531 6 654 7 777
第3步: 应用选择的 UD-表, 做出试验安排。
13
表 1.1.5: 1.5
No. 1 2 3 4 5 6 7
3. 对第二列，第三列做同样 的替代. 4. 完成该设计对应的试验， 得到７个结果，将其放入最 后一列.
14
第 4步: 用回归模型匹配数据 首先，考虑线性回归模型:
y 0 1x1 2 x2 3x3
(1.1.1)
使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到 推荐的模型为：
yˆ 0.2142 0.0792 x3
对某农作物产量的影响,
前两个为定量因素，后两个为定性因素。
如何安排试验，引出了下面的内容。
28
混合型因素混合型水平的均匀设计
一般情况下试验中既有定量型连续变化因素，又有定性型状态变化 因素。
假设有k个定量因素X1,…,Xk；
这k个因素可化为k个连续变量， q1，…，qk。
其水平数分别为
又有t个定性因素G1,…,Gt，
第四列安排种子品种 A，分3个A1，A2，
A3。
31
表 2.1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版社(1994).” 之附表 1
也可以浏览如下网页
网络地址:.hk/UniformDesing 9
第1步: 将试验因素的水平列成下表：
U7 (74 )
234 236 465 624 153 312 541 777
表 1.1.4:
No. 1 2 3 1 123 2 246 3 362 4 415 5 531 6 654 7 777
第3步: 应用选择的 UD-表, 做出试验安排。
13
表 1.1.5: 1.5
No. 1 2 3 4 5 6 7
3. 对第二列，第三列做同样 的替代. 4. 完成该设计对应的试验， 得到７个结果，将其放入最 后一列.
14
第 4步: 用回归模型匹配数据 首先，考虑线性回归模型:
y 0 1x1 2 x2 3x3
(1.1.1)
使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到 推荐的模型为：
yˆ 0.2142 0.0792 x3
对某农作物产量的影响,
前两个为定量因素，后两个为定性因素。
如何安排试验，引出了下面的内容。
28
混合型因素混合型水平的均匀设计
一般情况下试验中既有定量型连续变化因素，又有定性型状态变化 因素。
假设有k个定量因素X1,…,Xk；
这k个因素可化为k个连续变量， q1，…，qk。
其水平数分别为
又有t个定性因素G1,…,Gt，
第四列安排种子品种 A，分3个A1，A2，
A3。
31
表 2.1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
均匀设计
均匀试验设计
组成员：
主要内容
均匀设计的概念、特点、原理
均匀设计的具体应用方法
1 什么是均匀设计
1.1 均匀设计的概念
均匀设计(Uniform Design)是一种试验设计
方法(Experimental Design Method),称为均 匀设计(Uniform Design)或均匀设计试验法 (Uniform Design Experimentation)。它可 以用较少的试验次数，安排多因素、多水平 的析因试 验，是在均匀性的度量下最好的析 因试验设计方法。
3.3.2 设计表的选择 选择均匀设计表需要注意以下几点： (1) 要满足试验次数的要求：即确定Un表n的 问题；
(2) 表的列数要满足试验因素数的要求；即确
定Un表s的问题；
3.3.3 回归模型建立
回归模型可分为线性回归模型和非线性模型 等。 3.3.3.1 线性回归模型 分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。 (1) 一元线性回归模型 模型为 y=a+bx,线性相关的程度常用相关系 数来衡量，在某一显著性水平α下，当相关系数 的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为x和y 有线性相关关系。
3.3 具体问题的解决方法
试验次型优化
试验参数优化 使用均匀设计时需要注意的其它问题
例1 某猪场研究30-
50kg育肥猪的饲料配方 时，研究蛋白质、消化 能和粗纤维三个因素的 不同水平对该阶段猪增 重的影响，具体因素与 水平如表：
3.1 试验设计的共性问题（续1）
（1） 因素的含义：在一个试验过程中，影响试验指 标的因素通常是很多的，通常固定的试验因素在试验 方案中并不称为因素，只有变化的因素才称为因素； （2） 关于因素数量：在一项试验中，因素不宜选得 太多(如超过10个)，那样可能会造成主次不分；相反 地，因素也不宜选得太少（如只选定一、二个因素）， 这样可能会遗漏重要的因素，或遗漏因素间的交互作 用，使试验的结果达不到预期的目的；
组成员：
主要内容
均匀设计的概念、特点、原理
均匀设计的具体应用方法
1 什么是均匀设计
1.1 均匀设计的概念
均匀设计(Uniform Design)是一种试验设计
方法(Experimental Design Method),称为均 匀设计(Uniform Design)或均匀设计试验法 (Uniform Design Experimentation)。它可 以用较少的试验次数，安排多因素、多水平 的析因试 验，是在均匀性的度量下最好的析 因试验设计方法。
3.3.2 设计表的选择 选择均匀设计表需要注意以下几点： (1) 要满足试验次数的要求：即确定Un表n的 问题；
(2) 表的列数要满足试验因素数的要求；即确
定Un表s的问题；
3.3.3 回归模型建立
回归模型可分为线性回归模型和非线性模型 等。 3.3.3.1 线性回归模型 分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。 (1) 一元线性回归模型 模型为 y=a+bx,线性相关的程度常用相关系 数来衡量，在某一显著性水平α下，当相关系数 的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为x和y 有线性相关关系。
3.3 具体问题的解决方法
试验次型优化
试验参数优化 使用均匀设计时需要注意的其它问题
例1 某猪场研究30-
50kg育肥猪的饲料配方 时，研究蛋白质、消化 能和粗纤维三个因素的 不同水平对该阶段猪增 重的影响，具体因素与 水平如表：
3.1 试验设计的共性问题（续1）
（1） 因素的含义：在一个试验过程中，影响试验指 标的因素通常是很多的，通常固定的试验因素在试验 方案中并不称为因素，只有变化的因素才称为因素； （2） 关于因素数量：在一项试验中，因素不宜选得 太多(如超过10个)，那样可能会造成主次不分；相反 地，因素也不宜选得太少（如只选定一、二个因素）， 这样可能会遗漏重要的因素，或遗漏因素间的交互作 用，使试验的结果达不到预期的目的；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
▪ 设先用后退法来选变量.所谓后退法，就是开始将 所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程没有 显著贡献的变量，直到方程中所有的变量都有显 著贡献为止。
▪ 仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程， 得(2.12).统计软件包通常还会提供每个变量的t值， t值越大（按绝对值计）表示该因素越重要.对本 例有
此处我们可以用简单的微积分求得极值。由于X在试
验 范 围 内 极 大 值 3.4， 将 X1＝3.4代 入 (8 15)得
Yˆ
0.06232
0.3309
X
3
0.06
X
2 3
令 Yˆ / X 3 0， 解 得 0.3309-0.12X 3 0, X3 2.7575
这 时 Yˆ的 极 大 值 为51.85%。
值大于该值的因素表示对方程有显著贡献，否则表示不显
著。今 均小于(0.05)=3.18 ，说明回归方程(2.18)的三个
变量至少有一个不起显著作用.于是我们将贡献最小的X2 删去，重新建立Y和X1及X3的线性回归方程，得
Y 0 . 1 6 9 0 . 0 2 5 1 X 1 0 . 0 7 4 2 X 3
因素，每个因素的每个水平一视同仁。
▪ 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价
▪ 例如用U6(64)的1，3 和1，4列分别画图，得到下面的图 (a)和图 (b)。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而(b)的 点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大 的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。
2
1.4(2) 19(4) 3.0(6) 0.336
3
1.8(3) 25(6) 1.0(2) 0.294
4
2.2(4) 10(1) 2.5(5) 0.476
5
2.6(5) 16(3) 0.5(1) 0.209
6
3.0(6) 22(5) 2.0(4) 0.451
7
3.4(7) 28(7) 3.5(7) 0.482
y在 第 k次 试 验 的 结 果 。
L ij
n k 1
xik
_
x
i
x ik
_
x
j
L iy
N K 1
x ik
Байду номын сангаас
_
xi
yk
_
y
L yy
N i1
yk
_
y
2
_
N
xi xi
i1
i 1, 2, m
i, j 1, 2, , m i 1, 2, , m
(8 2) (8 3) (8 4) (8 5)
▪ 7个水平，需要安排7次试验，根据因素和水平，我们可以 选用U7(76)完成该试验。
U7(76)
1 列号
试验号
2
3
4
5
6
11 2 3 6 5 6
22 4 6 5 3 5
33 6 2 4 1 4
44 1 5 3 6 3
55 3 1 2 4 2
66 5 4 1 2 1
77 7 7 7 7 7
因素数
_
x1 2.2
_
x2 19
_
x3 2.0
_
y 0.3683
L11 4.48 L12 16.8 L12 1.4 L1y 0.2404
L22 252.0 L23 10.5 L2 y 0.5640
L33 7.0 L3 y 0.5245
由 于 Lij
L
，
ji
故
不
必
全
部
列
出
，
将
它
们
• 二、均匀设计表
▪ 均匀设计表符号表示的意义
因素数
均匀表的代号
U7(76)
因素的水平数 试验次数
图9-1 两因素均匀设计布点图
▪ 如U6(64)表示要做次6试验，每个因素有6个水平， 该表有4列。
U6(64)
列号 试验号
1
2
3
4
1
1
2
3
6
2
2
4
6
5
3
3
6
2
4
4
4
1
5
3
5
5
3
1
2
6
6
5
4
1
▪ 每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表 中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。 下表是U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1， 3两列来安排试验；若有三个因素，应选用1，2，3三列，…， 最后1列D表示刻划均匀度的偏差(discrepancy)，偏差值越小， 表示均匀度越好。
这时收率大于前面所讲的用U表安排的7号试验的结果
棗 48.2%，达到了优化的目的
例.均匀设计法在全光亮镀镍研究中的应用
• 1. 均匀设计表的选取 • 本实验的目的是提高镀层光亮性。经初步研究，取其固
定组成为硫酸镍25g/L，次磷酸钠25g/L，醋酸钠25g/L。 考察因素为稳定剂，主光亮剂，辅助光亮剂，润湿剂4个 因素，每个因素取值范围为t个水平（t 为实验次数），4 个因素的一次项及二次项各有4项，4项因素间的两两交互 作用设有6项，共14项，实验数不能小于14，本实验选用 U17（178）表。
方差分析表
方差来源 自由度 平方和
均方
F
回归
3
0.048770 0.016257
3.29
误差
3
0.014838 0.004946
总和
6
0.063608
当 0.05时 F表 的 临 界 值 Fm,nm1()F3,3(0.05)9.28F3.29
回 归 方 程 不 可 信 。
• 现在用逐步回归分析的方法来筛选变量：
_
y
1 N
N
yk
i1
回归方程组系数由下列正规方程组决定：
(8 6)
L1 1 b1
L1M bm L1 y
L 21b1
L2mbm L2 y
L
m
1b1
Lmmbm Lmy
_N
_
b0 y bi yi
i1
（8－ 7）
当各因素与响应值关系是非线性关系时，或存在因素
的交互作用时，可采用多项式回归分析的方法
代
入
方
程
组
中
可以解得
b1 0.037, b2 0.00343, b3 0.077 从而
a 0.3683 0.037 2.2 0.00343 19 0.077 2.0 0.201
的 估 计 0.07,于 是 回 归 方 程 为 ：
Y0.2010.037X 10.00343X 20.0077X 3 (812) 进 一 步 对 它 做 方 差 分 析 ， 其 方 差 分 析 表 如 下 ：
U6(64)的使用表
s列
号
D
213
0.1875
312 3
0.2656
4
1
2
3
4
0.2990
• 均匀设计有其独特的布（试验）点方式：
▪ 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验
▪ 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且 仅有一个试验点
▪
以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性”，即对各
均匀表U17（178）
列号
试验号
1
2
3
4
5
6
7
8
水平号
Y 0.2141 0.079 X 3
(8 13)
这 里 t3 3 .3 4 t5 (0 .0 5 ) 2 .5 7 , 0 .0 6 3。 因 此 ， 回 归 方
程 (8-13)并 非 真 正 的 最 终 模 型 ， 而 是 在 线 性 框 架 下 的
最终产物。
上 述 的 分 析 只 发 现 X 3对 Y有 显 著 作 用 ， 其 它 两 个 因 素 均 没有显著作用，该结论与实际经验不吻合，因此猜想用
U7(76)使用表
列号
2
13
3
12 3
4
12 3 6
5
12 3 46
6
12 3 456
U7(76)共有6列，现在有3个因素，根据其使用表，应 该取1，2，3列安排试验。
制备阿魏酸的试验方案U7(73)和结果
No.
配比 吡啶量 反应时 收率
（A） （B） 间（C） （Y）
1
1.0(1) 13(2) 1.5(3) 0.330
用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将 这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排 好了
▪ 在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选 取了原料配比(A)、吡啶量(B)和反应时间(C)三个 因素，它们各取了7个水平如下：
✓ 原料配比（A）：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4 ✓ 吡啶量（B）(ml)：10，13，16，19，22，25，28 ✓ 反应时间（C）(h)：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.5
•
逐步回归是回归分析中的一种筛选变量的技术.开始它
将贡献最大的一个变量选入回归方程，并且预先确定两个
阈值Fin和Fout，用于决定变量能否入选或剔除.逐步回归在 每一步有三种可能的功能：
✓ 将一个新变量引进回归模型，这时相应的F统计量必须大于Fin ✓ 将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的F统计量必须小于Fout ✓ 将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位置。
线性模型不一定符合实际。
于是进一步考虑二次回归模型
m
m