固体物理学-宏观对称性和晶格分类

ε xy ε yy
ε ε
xz yz
⎤ ⎥ ⎥
⎣⎢ε zx ε zy ε zz ⎥⎦
立方对称晶体：
⎡ε0 0 0 ⎤
ε
=
⎢ ⎢
0
ε0
0
⎥ ⎥
⎣⎢ 0 0 ε0 ⎥⎦
六方对称晶体：
⎡ε ⊥ 0 0 ⎤
ε
=
⎢ ⎢
0
ε⊥
0
⎥ ⎥
⎣⎢ 0 0 ε // ⎥⎦
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晶体宏观对称性及其分类
• 宏观对称性 • 点群 • 空间群 • 晶体结构分类
群为一组“元素”的集合，G≡（E, A, B, C, …)，且这些“元素”在定义 一定的“乘法法则”下（不等价于数学乘法），满足下列性质： 1. 闭合性--- 集合内任意两元素“乘积”仍为集合元素
A, B ∈ G, 则AB=C ∈ G 2. 单元性---存在单位元素E，使得所有元素A：
AE= A 3. 可逆性---任意元素A存在逆元素A-1 满足
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立方对称（sc、bcc、fcc）操作
(a)
(b)
(c)
•沿图（a）立方轴转动π/2、 π、 3π/2，有3个立方轴，共9个对称操作。 •沿图（b）面对角线转动π，有6条面对角线，共6个对称操作。 •沿图（c）体对角线转动2π/3、 4π/3，有4个体对角线，共8个对称操作。 •不动为一个对称操作。 •以上共24个对称操作，以上操作再加上反演为新的对称操作。 •共48个对称操作。
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正四面体对称操作
•沿立方轴转动 π，有3个立方轴，共3个对称操作。 •沿图（c）体对角线转动2π/3、 4π/3，有4个体对角线，共8个对称操作。 •不动为一个对称操作。以上共12个对称操作。 •相对立方对称，少去的12个对称操作，即绕立方轴转π/2、3π/2以及绕 面对角线转动π，再加上中心反演为正四面体的对称操作。 •共24个对称操作。
晶格的周期性排列，还使其具有宏观对称性：例如立方晶胞。 当绕任一晶轴旋转90oC及其倍数或对任一原子作反演，晶格复 原。宏观对称性又称点对称性，因为进行此类对称操作时，晶 体至少一点不动，即未做平移。
晶体的宏观对称性产生于晶体中原子的周期排列，因此受到 晶体平移对称性的制约。
晶体的宏观对称性不仅反映在几何外形上，更重要的反映在 物理性质上，同时对晶格的分类起着重要作用。
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宏观对称性的描述---对称操作
描述一个晶体具有的宏观对称性，最简单的办法就是列举 出所具有的全部对称操作。 一个物体在某种几何变换下不变，我们称此几何变换为其 对称操作。
三维晶体的对称操作包括：
•绕某一轴旋转角度θ •对某中心的反演 •以上二者的组合 •特殊的对称操作：不动
宏观对称操作是一个非平移操作，又称为点对称操作。 一个晶体具有的对称操作越多，表明它的对称性越高。
B’
θHale Waihona Puke AA’−θ
B
A' B' = m AB （m为整数）
A'B' = AB+ 2ABcos(1800 −θ) = AB(1−2cosθ)
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所以 m = 1 − 2 cosθ
（m为整数）
m cosθ
θ
‐1
1
0 (2π)
0
1/2 2π/6
1
0 2π/4
2
‐1/2 2π/3
3
‐1 2π/2
因此宏观对称可能的对称素只有以下10种 （非完全独立）：
第二讲 固体结构
一些晶格实例（自己看） 简单与复式晶格 晶格周期性的几何描述 晶列和晶面 晶体宏观对称性及其结构分类 倒点阵
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晶体宏观对称性及其结构分类
• 宏观对称性 • 点群 • 空间群 • 晶体结构分类
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宏观对称性
对称性是指在一定几何操作下，物体保持不变的特性。
晶体的显著特点是具有平移对称性：原子周期排列。平移Rl， 晶格复原。
AA-1= E 4. 结合律：
A(BC)= (AB)C
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宏观对称性的描述---对称操作群
•一个物体的全部对称操作的集合，也满足群的定义，称为对 称操作群。
• “乘法法则”：连续操作。 • 单位元素：不动操作。 • 存在逆元素：中心反演的逆为其自身，转θ的逆为转-θ。 • 显然满足结合律。 • 闭合性：两个对称操作的“乘积”仍是物体的对称操作。
C P T’
O
A
T S
B
•描述物体的对称性只需找出其 对应的对称操作群。晶体对称 性的系统理论就是建立在“群” 的数学理论的基础上。
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晶体宏观对称性与宏观物理性质
Neumann定理：晶体的任一宏观物理性质具有其晶 格所具有的全部对称性。
介电常数一般形式：
D = εε0E
ε
=
⎡ε ⎢⎢ε
xx yx
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宏观对称性的描述---对称素
为简便起见，描述宏观对称性可以不用一一列举其对称 操作，而是指出其所具有的对称素。对称素就是一个物 体借以进行对称操作的一根轴、一个平面或者一个点。
I. 如果一个物体绕某轴旋转2π/n及其倍数不变，称该 轴为n次旋转轴，记为n。
II. 如果一个物体对某点反演不变，称这个点为对称心， 记为i。
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宏观对称性破缺
晶体的宏观对称性不同于几何图形。晶体内部原子的周期排 列会对晶体点对称的对称素和对称素的组合产生严格限制。 因此，晶体的点对称素或者对称素之间的组合都是有限的和 一定的，称为宏观对称性破缺。
绕A点旋转θ角，B→B’ 绕B点旋转-θ角，A→A’
B' A' // AB
同族晶列格点的周期性要求
不动操作
回转群（只含 一个旋转轴）
双面群（一个n 重旋转轴和n个 垂直的二重轴）
熊夫利符号
C1 C2 C3 C4 C6 D2（V) D3 D4 D6 Ci（S1） Cs (S2)
III. 如果一个物体绕某轴旋转2π/n后再反演不变，称该
轴为n次旋转反演轴，记为 n
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立方对称的对称素：
•三条4次旋转轴4和旋转-反演轴4 •六条2次旋转轴2和旋转-反演轴 2 •四条3次旋转轴3和旋转-反演轴 3 •中心反演：i •不动：1次旋转轴1或E
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宏观对称性的描述---对称操作群
数学补充：群
1(E) 2 3 4 6 1(i) 2(m) 3 4 6
1次旋转轴即为不动（E). 1次旋转反演轴即为反演（i） 2次旋转反演轴等价晶面（m）
晶体内不可能由5重轴、7重轴、十重轴…..等等对称元素（原因？）
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32种点群
•由于晶体平移对称性对其宏观对称性的限制，晶体只可能有上述10种对称 素，且对称素的组合也受到严格限制，10种对称素只能组成32种对称操作 群，称为点群。 •也就是说，晶体的宏观对称性只有32中类型，由32个点群来概括：