数列收敛性的判别准则

M
x 证明
6
几点说明：
• 定理中{an}的单调性只要从某一项之后满足即可.
这是因为数列的敛散性与前有限项无关。 • 此定理的条件为充分但非必要条件。
an
(1)n
1 n
,n
1,2,....
• 本定理只是证明了存在性。
7
例6 证明数列 an 3 3 L 3 (n重根
式)的极限存在.
证 (1)显然 a2 a1, 设ak ak1, 则3+ak 3 ak1,
10
Q
an
(1
1 )n n
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
2! n
n! n n
n
an
1
1
1 2!
L
1 n!
11 1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
{an } 是有界的 ;
{an }
是单调递增的有界数列
lim
n
an
存在.
记为
lim
1
1
n
lim(3
n
an ),
a2 3 a,
解得 a 1 13 , a 1 13
2
2
1 13
(舍去)
lim
n
an
2
.
8
例7 证明 lim 1 1 n 存在.
n n
证 用单调有界准则证明.
Q
an
(1
1 )n n
n
Cni
i0
1 ni
n i0
n(n 1)L
[n (n i 1)] 1
3+a k 3 ak1 , 所以 ak1 ak , 故 an 是单调递增的;
（2）又Q a1 3 3, 假定 ak 3,
ak1
3 ak
3 3 3, an
是有上界的
;
lim
n
an
存在.
（3）设
lim
n
an
a
.
Q an1
3 an ,
a2 n1
3
an ,
lim
n
a2 n1
e
(e 2.718281828459045
)
n n
11
EX 求 lim(1 1 )n .
n
n
求 lim( 3 n )2n . n 2 n
解 lim(1 1 )n lim(1 1 )n
n
n
n
n1
lim(1
1 1 )n1(1
1)
1. e
n n 1
n1
解
lim( 3 n )2n lim[(1 1 )n2 ]2(1 1 )4
lim
k
ank
a.
充分性，注意到{an }是其自身的子数列！
18
推论 若数列存在两个子数列分别收敛于不同的 极限，则这个数列必发散。 注意 该推论是证明数列发散的很好的工具。 EX. 证明数列{(1)n1}是发散的.
19
例8
求证
lim
n
an
a 的充要条件是
lim
k
a2 k 1
lim
k
a2k
a.
则数列
n1 n2 L nk L ,
an1 ,an2 ,L ,ank ,L
称为 {an }的子列, 简记为 { ank }.
注 由定义, {an }的子列 {ank }的各项均选自{an },
且保持这些项在 {an }中的先后次序.{ ank }中的第
k 项是 {an}中的第 nk 项, 故总有 nk k.
按照数列极限的定义证明。 利用夹逼性证明。
最简单的思想是利用数列本身的性质 证明数列极限的存在性
4
2.3 数列极限存在的判别准则
（1）单调有界准则 （2） 数列极限的归并原理 （3） Weierstrass(维尔斯特拉斯)定理 （4） 柯西(Cauchy)收敛原理
5
（1）单调有界准则
2! n
n! n n
n
an1
(1
n
1
)n1 1
1
1
1 (1 2!
n
1
) 1
L
1 (1 1 )(1 2 )L (1 n 1)
n! n 1 n 1
n1
1 (1 1 )(1 2 )L (1 n ).
(n 1)! n 1 n 1
n1
正的
显然 an1 an , an 是单调递增的 ;
第1章 函数、极限、连续
第1节 集合、映射与函数
第2节 数列的极限
第3节 函数的极限
第4节 无穷小量及无穷大量
第5节 连续函数
20101015
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
第2节 数列的极限
2.1 数列极限的概念 2.2 收敛数列的性质 2.3数列收敛性的判别准则
2
几种证明极限存在的方法：
i!
ni
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1) (n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
2! n
n! n n
n
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Q
an
(1
1 )n n
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
证明 (必要性) 由定理2.7
(充分性)
设
lim
k
a2 k 1
lim
k
a2k
a, 则
0,
K
N,
当 k K 时， | a2k+1 wenku.baidu.coma | ，| a2k a | .
11
1
an 1 22 32 ... n2
1 1 1 ... 1
12 23
(n 1) n
1 2 n,n N
13
思考
分别用定义，夹逼性及单调有界准则三种方法
证明
n
lim
n
2n
0
进一步考虑
证明
n
lim
n
a
n
0
(a 1)
14
（2） 数列极限的归并原理
子数列概念及其收敛性
定义 设 {an} 为数列,{nk }为N+的无限子集,且
17
数列收敛与其子数列收敛的密切联系：
定理 2.7 (数列极限的归并原理)
lim
n
an
a
对于{an
}
的任意子列{ank
}
都有
lim
k
ank
a.
证明：必要性
设
lim
n
an
a. 则
0,
N
N , 当n
N,
an
a
.
设 {ank } 是 {an }的任意一个子列.由于 nk k,因此
k N 时,nk k N , 亦有 ank a . 这就证明了
如果数列 {an }满足条件
a1 a2 L an an1 L , 单调增加
a1 a2 L an an1 L , 单调减少
单调数列
定理 2.6 单调有界数列必有极限.
更细致地，单调增加且有上界的数列必有极限. 单调递减且有下界的数列必有极限.
几何解释:
用确界定理
a1 a2 a3 an an1 a
n 2 n
x
n2
n2
e2.
EX 设
11
1
an 1 2 3 ... n , n 1,2,...
其中 2，证明 {an }收敛。
12
EX 设
an
1
1 2
1 3
...
1 n
, n 1,2,...
其中 2，证明 {an }收敛。
证明：{an } 递增显然，下面证明有上界，事实上：