数列收敛性的判别准则
数列与级数的收敛性初步了解数列与级数的收敛性概念及其判定方法
数列与级数的收敛性初步了解数列与级数的收敛性概念及其判定方法数列与级数是数学中重要的概念，对于数学学习的初学者来说，了解数列与级数的收敛性概念及其判定方法是十分重要的。
本文旨在帮助读者初步了解数列与级数的收敛性，并介绍一些判定方法。
一、数列的收敛性数列是按一定规律排列的一组数，常用符号表示为{an}或(an)，其中n为自然数。
数列的收敛性是指数列是否能趋于某个确定的数。
1. 数列的极限数列{an}的极限为数a，即lim(n→∞)an=a。
当数列存在极限时，称该数列收敛；当数列不存在极限时，称该数列发散。
2. 数列收敛的判定方法（1）夹逼准则：若对于数列{an}、{bn}、{cn}，满足an≤bn≤cn，并且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=a，则lim(n→∞)bn=a。
（2）单调有界准则：若数列{an}单调递增（递减）且有上（下）界，则数列收敛。
（3）迭代序列的判定方法：对于形如an+1=f(an)的递推公式，如果数列{an}的初值确定并且递推公式满足一定条件，则数列收敛。
二、级数的收敛性级数是数列的和，常用符号表示为∑(n=1)∞an。
级数的收敛性是指级数的部分和是否能趋于某个确定的数。
1. 正项级数的收敛性对于正项级数∑(n=1)∞an，如果数列{Sn}的部分和有上界，则称该级数收敛。
2. 任意项级数的收敛性对于任意项级数∑(n=1)∞an，如果数列{Sn}的部分和存在有限的极限，则称该级数收敛；如果数列{Sn}的部分和无限趋向于正无穷或负无穷，则称级数发散。
3. 级数收敛的判定方法（1）比较判别法：如果存在一个收敛的正项级数∑(n=1)∞bn，并且满足0≤an≤bn，则正项级数∑(n=1)∞an收敛；如果存在一个发散的正项级数∑(n=1)∞bn，并且满足bn≤an，则正项级数∑(n=1)∞an发散。
（2）比值判别法：如果lim(n→∞)│an+1/an│=L<1，则正项级数∑(n=1)∞an收敛；如果lim(n→∞)│an+1/an│=L>1或lim(n→∞)│an+1/an│=∞，则正项级数∑(n=1)∞an发散。
函数极限柯西收敛准则
函数极限柯西收敛准则柯西收敛准则是数列收敛性的一个重要判别准则，具体描述为：一个数列{a_n}收敛的充分必要条件是对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m,n>N时，有，a_n-a_m，<ε。
换句话说，柯西收敛准则要求当数列索引足够大时，数列中的元素之差可以任意小，即数列中的数逐渐趋向于一个固定的极限。
这个极限值被称为该数列的极限。
柯西收敛准则的一个重要应用是证明数列的收敛性。
我们可以通过柯西收敛准则证明一个数列收敛的方法如下：步骤一：假设数列{a_n}是一个满足柯西收敛准则的数列。
步骤二：根据柯西收敛准则的定义，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m,n>N时，有，a_n-a_m，<ε。
步骤三：根据步骤二中得到的N，选择n=N+1，则有，a_n-a_N，<ε。
步骤四：根据步骤三中所得到的不等式，我们可以推断出子数列{a_n}（n > N）是一个 Cauchy 数列，因为对于任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有，a_n - a_N，< ε。
步骤五：由步骤四可知，子数列 {a_n}（n > N）是一个有界数列，即存在常数 M，使得，a_n，≤ M。
这是因为对于任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有，a_n - a_N，< ε，因此取 M = max{，a_1，, ，a_2，, ..., ，a_N，+ ε}。
步骤六：根据步骤五可知，在数列{a_n}中，从第N+1项开始的所有项都在一个有界的区间内。
步骤七：由于步骤六中提到的有界性质，我们可以找到一个闭区间[a,b]，使得数列{a_n}（n>N）中所有的项都在该区间内。
步骤八：由于闭区间[a,b]是一个有界的闭区间，根据闭区间套定理，可以证明在该有界闭区间内存在一个数c，使得数列{a_n}（n>N）的极限等于c。
数列的极限与数列的收敛性的判定总结
数列的极限
PART TWO
定义及性质
定义：数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的项趋于某一固定值。
性质：极限具有唯一性、有界性、局部保序性等性质。
极限的运算性质
极限的四则运算性质：lim(a+b)=lim a + lim b，lim(a-b)=lim a - lim b，lim(a×b)=lim a × lim b，lim(a/b)=lim a / lim b（当lim b≠0）
性质：收敛数列具有唯一确定的极限值；收敛数列的项的绝对值随着项数的增加而趋于无穷小
单调有界定理
定义：如果数列在某个区间内单调递增（或递减），并且存在一个正数M，使得对于该区间内的任意x，都有|a_n|≤M（或-M≤a_n≤M），则称该数列在该区间内有界。
定理：如果数列单调递增（或递减）且有界，则该数列收敛。
定义：如果一个数列从某一项开始，其后续各项都无限接近于某个确定的数，则称该数为该数列的极限。
添加标题
性质：收敛数列的极限是唯一的，即不存在两个不同的数都作为该数列的极限。
添加标题
证明：假设存在两个不同的数 A 和 B 都作为数列 {an} 的极限。由于数列是收敛的，根据定义，对于任意小的正数 ε，存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|an - A| < ε 和 |an - B| < ε 同时成立。这意味着 |A - B| = |(an - A) - (an - B)| < ε，这与 A 和 B 是两个不同的数相矛盾。因此，收敛数列的极限是唯一的。
不收敛：数列不趋近于任何值，没有极限
关系：无穷大数列和无界数列都不收敛，但无界数列不一定是无穷大
无穷小量与无穷大量在数列中的应用
数列的收敛性
数列的收敛性数列是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在数列的研究中，收敛性是一个核心概念，它描述了数列是否趋向于某个特定的值。
本文将介绍数列的收敛性及其相关性质和定理。
一、数列的概念及基本性质数列是按照一定规则排列的一系列数，通常用{an}表示，其中an表示数列的第n项。
数列的基本性质包括有界性和单调性。
1. 有界性如果存在常数M，对于数列中的所有项an，都有|an| ≤ M，那么称该数列是有界的。
有界性是数列收敛性的一个重要判断条件。
2. 单调性如果对于数列中的每一项an，都有an≤an+1（或者an≥an+1），那么称该数列是递增的（或递减的）。
如果一个数列既不递增也不递减，那么它是不单调的。
二、数列的极限数列的极限是数列收敛性的基本概念，它描述了数列是否趋向于某个特定的值。
1. 数列的收敛如果存在常数L，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε成立，那么称数列{an}收敛于L，并将L称为该数列的极限。
用符号lim（n→∞）an = L表示。
2. 数列的发散如果数列{an}不满足收敛的条件，那么称其为发散的。
有界的数列可以发散。
三、数列收敛性的判定准则确定数列是否收敛，需要使用一些判定准则。
1. 单调有界准则如果一个数列既是单调递增的（或递减的），又是有界的，那么它一定是收敛的。
2. 夹逼准则如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，并且lim（n→∞）an = lim（n→∞）cn = L，那么数列{bn}的极限也是L。
3. 子数列收敛准则如果数列{an}收敛于L，并且存在N，使得当n>N时，有an≤bn≤cn，那么数列{bn}也收敛于L。
四、数列收敛的性质和定理在数列的研究中，有一些重要的性质和定理与数列的收敛性密切相关。
1. 收敛数列的性质如果数列{an}收敛于L，那么它满足以下性质：- 数列的极限是唯一的，即如果数列{an}同时收敛于L1和L2，则L1=L2。
高中数学中的数列与级数的收敛性判定方法
高中数学中的数列与级数的收敛性判定方法数列与级数是高中数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中具有广泛的应用。
在数学中，我们经常需要判断一个数列或级数是否收敛，以便进一步研究其性质和应用。
本文将介绍几种常见的数列与级数收敛性判定方法。
一、数列的收敛性判定方法1. 有界性判定法数列的有界性是判断其收敛性的基本条件。
如果一个数列有上界和下界，即存在常数M和N，使得对于数列中的所有项an，都有N≤an≤M，那么这个数列就是有界的。
根据数学中的单调有界原理，如果一个数列是单调递增且有上界的，或者是单调递减且有下界的，那么这个数列就是收敛的。
2. 极限定义法数列的极限定义是判断其收敛性的另一种方法。
对于数列{an}，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，|an-L|<ε成立，那么这个数列就是收敛的，L就是该数列的极限。
3. 夹逼准则夹逼准则是判断数列收敛性的一种常用方法。
如果数列{an}、{bn}和{cn}满足对于所有的n，an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=L，那么数列{bn}也收敛于L。
二、级数的收敛性判定方法1. 正项级数的收敛性判定法正项级数是指级数中的每一项都是非负数。
对于正项级数∑an，如果其部分和数列{Sn}有界，即存在常数M，使得对于所有的n，Sn≤M，那么这个正项级数就是收敛的。
这是由于部分和数列是递增的，且有界的，根据数列的收敛性判定方法可知。
2. 比较判别法比较判别法是判断级数收敛性的一种常用方法。
对于两个级数∑an和∑bn，如果存在正数C和正整数N，使得当n>N时，an≤Cbn成立，那么如果级数∑bn收敛，那么级数∑an也收敛；如果级数∑bn发散，那么级数∑an也发散。
3. 部分和数列的单调性判定法对于级数∑an，如果其部分和数列{Sn}是单调递增的，并且有上界，即存在常数M，使得对于所有的n，Sn≤M，那么这个级数就是收敛的。
收敛和发散怎么判断
收敛和发散怎么判断
收敛与发散判断方法简单来说就是有极限（极限不为无穷）就是收敛，没有极限（极限为无穷）就是发散。
收敛与发散的判断其实简单来说就是看极限存不存在，当n无穷大时，判断Xn是否是常数,是常数则收敛，加减的时候把高阶的无穷小直接舍去，乘除的时候，用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来代。
对于全部级数都可以通用的一些主要方法有柯西收敛准则。
那么有关本质是把级数来转换成数列，从而这是一个最强的判别法。
柯西收敛准则能成立的时候就有可能是级数收敛的中必要条件，然后就从数项级数的定里中进入。
跟着来挖掘出其中一部分里的数列收敛判别法，然后变为余和判别法，用户一定要熟练掌控项数的特征。
经常研究项级数的收敛办法：接着就是交错级数里的Leibniz辨别法与Dirichlet辨别法，然后就根据其中的来判定数列是否收敛。
收敛是指当n→∞时，数列xn无限接近于一个确定的常数，如果在多个数之间摆动，而回不能趋近于一答个确定的常数就是发散。
27题只有B是收敛的，收敛于1。
28题，当n→∞时，数列在a与b之间摆动，并不能趋向于一个确定的常数，所以发散。
高等数学数列收敛的判别
由 lim an lim b n a ， 易知
n x
对 0, N N 0 ，当 n N 0 时，
an a 与 bn a 同时成立．
再由 n N 0 时，an cn bn， 有 n N 时，
a an cn bn a ， 所以， 当 n N 时，
n1 1 n 1
1 1 1 1 1 n 1 ! n 1 n 1
n 1 n 1
an1 的展开 an , an1 展开式前n项中除前2项相等外，
an1 展开式第 n 2 项大于0， 项比 an 对应的展开项大，
N 0 Z , n N 0 时， an cn bn
lim an lim b n a ， （ a 为常数）
n
n
则 lim cn a ．
n
cn a , 只需证 0, N , 当 n N 时， 证明 要证 lim n
有| cn a | ，即 a cn a + .
所以 an an1 ( n 1,2, )，故 an 是单调递增的．
1 2 1 1 1 an 1 1 1 1 1 n n 2! n 3! 1 1 2 1 1 n! n n
几何解析：设an 是一单调上升的数列， 且 M 0，
使对n ， an M ． 则数列an 通项 a n 随 n 的增大
而不断在数轴上向右平移，不会超过点 M ．因此，
a n 必然无限接近某个实数 a an a M ，a 是极限．
. . . . . a a a
1 2 3
收敛发散知识点总结
收敛发散知识点总结本文将从收敛和发散的定义、性质、判别方法、在数学分析和其他数学领域的应用等多个角度系统地进行分析和总结。
通过本文的阐述，读者将更加深入地理解这些重要的数学概念，并掌握它们在不同数学问题中的运用方法。
一、收敛和发散的定义在数学中，收敛和发散是描述数列、级数、函数序列等数学对象的性质的重要概念。
下面分别对数列、级数、函数序列三个方面的收敛和发散进行定义。
1. 数列的收敛和发散对于一个数列{an}来说，当存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在自然数N，使得当n>N时，|an-L|<ε成立，那么就称数列{an}是收敛的，而L就是该数列的极限，用符号「an→L(n→∞)」表示。
反之，如果对于任意实数L，总存在正数ε，使得对任意的自然数N，总存在n>N，使得|an-L|≥ε成立，那么就称该数列是发散的。
2. 级数的收敛和发散对于一个级数{an}来说，如果其部分和数列{Sn}收敛，则称级数{an}是收敛的，否则称为发散的。
3. 函数序列的收敛和发散对于函数序列{fn(x)}来说，如果对于任意给定的实数x0，函数序列{fn(x0)}收敛，则称函数序列{fn(x)}在点x0处收敛。
反之，如果存在实数x0，使得函数序列{fn(x0)}发散，则称函数序列{fn(x)}在点x0处发散。
以上是收敛和发散的基本定义，它们在数学分析、微积分、级数等分支的理论体系中都扮演着至关重要的角色。
二、收敛和发散的性质1. 收敛数列的性质若数列{an}与数列{bn}收敛，且lim(n→∞)(an)=a、lim(n→∞)(bn)=b，则有lim(n→∞)(an+bn)=a+b。
此外，收敛数列具有唯一极限的性质，即若数列{an}同时收敛于a和b，则a=b。
2. 收敛级数的性质若级数{an}与级数{bn}均收敛，则有级数{an+bn}也收敛，并且有lim(n→∞)(∑n=1∞(an+bn))=lim(n→∞)(∑n=1∞(an))+lim(n→∞)(∑n=1∞(bn))。
判断收敛发散的常用公式
判断收敛发散的常用公式一、数列的收敛性判定公式1. 极限定义法：若数列{an}的极限存在且为L，则数列收敛；若不存在极限或极限不为L，则数列发散。
2. 夹逼准则：若数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(an)=lim(cn)=L，则数列{bn}的极限存在且为L。
3. 单调有界准则：若数列{an}单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则数列收敛。
4. 零极限法则：若lim(an)=0，则数列{an}收敛。
二、级数的收敛性判定公式1. 正项级数收敛准则：若级数∑an的各项非负且单调递减，则该级数收敛当且仅当其部分和有上界。
2. 比较判别法：若级数∑an和级数∑bn满足0≤an≤bn，若级数∑bn收敛，则级数∑an也收敛；若级数∑an发散，则级数∑bn也发散。
3. 极限判别法：若lim(an/bn)=L（L为常数），且级数∑bn收敛（或发散），则级数∑an也收敛（或发散）。
4. 比值判别法：若lim|an+1/an|=L（L为常数），则当L<1时，级数∑an绝对收敛；当L>1时，级数∑an发散；当L=1时，级数∑an的收敛性不能确定。
5. 根值判别法：若lim|an|^(1/n)=L（L为常数），则当L<1时，级数∑an绝对收敛；当L>1时，级数∑an发散；当L=1时，级数∑an的收敛性不能确定。
三、函数的收敛性判定公式1. 函数极限定义：若对于任意给定的ε>0，都存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)的极限为L。
2. 函数单调有界准则：若函数f(x)在[a, +∞)上单调递增且有上界（或在[a, +∞)上单调递减且有下界），则函数f(x)在[a, +∞)上收敛。
3. 函数一致连续准则：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称函数f(x)在区间[a, b]上一致连续。
第06讲收敛数列判定准则
∴xn < xn+1
n = 1，2，…
(1 b)
n
j j C nb j 0
n
1 1 1 1 2 1 1 2 k 1 xn 1 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) 2! n 3! n n k! n n n 1 1 2 n1 ∴xn < xn+1 n = 1，2，… n! (1 n )(1 n ) (1 n )
类似 LT9
设数列 x1 a , x2 a a , x3 a a a ,, xn a a a , a 0, 证明 lim xn存在, 并求之.
n
证: …
1 1 4a A , 2
因 xn>0, 由保号性定理, A0 从而
1 1 4a A , 2
sin n ! 0 0 1 lim 3 n lim n n n
n
lim
n
n
a 1 , 其 中 a 0. lim
n
n 1,
n
lim
@
n { 求数列 n }的极限.
n
n
a 1, (a 0).
n
解： 记
n 1 n ( n 0), 则
n n
lim zn a ,
n
那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
P29 LT7 求 lim(
n
1 2 2 ). 2 n 1 n 2 n n
1 lim 1 1 n n
1
1
lim 1
n
1 n
2
1
. lim
高数大一下知识点总结收敛
高数大一下知识点总结收敛高等数学是大学理工类学生所必修的一门重要基础课程，它是提高数学素养、培养逻辑思维能力的重要手段。
在大一下学期，我们学习了一系列涉及到收敛的知识点，下面就对这些知识进行总结。
一、收敛的概念与判定在高等数学中，收敛是一个重要的概念，它在数列、函数以及级数等数学对象中都有着重要的应用。
所谓收敛，就是当自变量趋于某一特定值时，函数或数列的值趋近于一个确定的常数。
我们可以通过极限的概念来判定一个函数或数列是否收敛。
对于数列来说，如果数列的极限存在且唯一，则该数列收敛；对于函数来说，如果函数的极限值存在且唯一，则函数收敛。
二、数列的收敛性判定准则1. 单调有界准则：如果一个数列既单调递增，又有上界（下界），则它收敛。
2. 夹逼准则：如果对于数列的每一项，总存在两个数列，一个上界一个下界，它们都收敛于同一个极限，那么原数列也收敛于该极限。
3. 敛散性的判定：如果一个数列没有极限，或者它的极限值为无穷大或无穷小，则该数列发散。
三、函数的收敛性判定准则1. 函数极限存在性：如果一个函数在某一点的左极限和右极限都存在且相等，则该函数在该点处收敛。
2. 柯西收敛准则：如果对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当x满足0 < |x - x0| < δ时，对应的函数值满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在x0处收敛于L。
四、级数的收敛性判定准则级数是由数列的和所构成的数列，在判断级数的收敛性时，我们可以使用以下准则：1. 正项级数收敛准则：如果一个级数的各项都为非负数且单调递减，则该级数收敛。
2. 比值判别法：对于一个级数，如果存在正数q，使得当n趋于无穷大时，|an+1/an| < q，那么级数收敛；如果 |an+1/an| > 1，那么级数发散；如果 |an+1/an| = 1，那么该判别法不确定。
3. 积分判别法：对于一个正项级数，如果存在一个正函数f(x)，使得当n趋于无穷大时，an = f(n)关于x的定积分收敛，则级数收敛；如果an = f(n)关于x的定积分发散，则级数发散。
对角线法则收敛子列
对角线法则收敛子列对角线法则收敛子列1. 引言对角线法则是数学分析中一种重要的数列收敛准则，可以用来判断一个数列是否收敛，并找出数列的收敛子列。
在本文中，我将详细介绍对角线法则的原理和应用，并探讨其在数学和实际问题中的重要性。
2. 对角线法则的原理对角线法则是通过构造一个特殊的子列来判断数列的收敛性。
假设有一个数列{a_n}，如果存在一个自然数序列{j_k}，使得数列{a_{j_kk}}收敛于某个极限L，那么可以推断原数列{a_n}也收敛于L。
3. 对角线法则的应用对角线法则的应用广泛，特别是在数学分析和函数论中。
它可以帮助我们判断一个数列是否收敛，从而在求解极限、证明定理以及优化算法等问题中起到重要作用。
4. 对角线法则在数学问题中的应用举例举例说明对角线法则在数学问题中的应用。
考虑一个数列{a_n}，其中的每一项是某个函数的极限，我们可以通过对角线法则来判断该函数是否收敛于某个极限。
5. 对角线法则在实际问题中的应用举例不仅在数学问题中，对角线法则也在实际问题中有很多应用。
以优化问题为例，假设我们需要在某个范围内寻找一个最优解，可以将问题转化为数列的收敛性问题，然后利用对角线法则来判断是否收敛，并找出最优解的近似值。
6. 对角线法则的优点和局限性对角线法则的优点在于其简洁明了的判别准则，可以帮助我们迅速判断一个数列的收敛性。
然而，对角线法则也有其局限性，例如只能判断数列是否收敛，而不能给出具体的极限值。
7. 个人观点和理解在我看来，对角线法则是一种非常有用的工具，可以帮助我们理解数列的收敛性，并在实际问题中快速求解最优解。
不仅如此，对角线法则也反映了数学中的一种重要思维方法，即通过构造特殊的子列来推断原数列的性质。
8. 总结与回顾本文详细介绍了对角线法则的原理和应用，并给出了在数学和实际问题中的具体应用示例。
通过对对角线法则的深入理解，我们可以更好地判断数列的收敛性，并应用于实际问题中。
通过这篇文章，我希望读者能理解对角线法则在数学和实际问题中的重要性，并在解决相关问题时能够灵活运用。
判断收敛和发散的方法
判断收敛和发散的方法
判断数列或级数是否收敛或发散是数学分析中的重要问题。
以下是判断收敛和发散的10种方法：
1. 有界性判别法：如果数列或级数中的每一项都有界，并且该界是常数，那么数列
或级数收敛。
2. 单调性判别法：如果数列单调有序，并且有上（下）界，那么数列或级数收敛。
3. 利用夹逼准则：如果存在两个数列或级数，一个上界另一个下界，并且这两个数
列或级数都收敛于同一个极限，那么要判断的数列或级数也收敛于该极限。
4. 比较判别法：通过比较要判断的数列或级数与一个已经判明收敛或发散的数列或
级数的阶来判断。
5. 极限判别法：如果数列或级数的项无论如何排列，都无法收敛于零，那么该数列
或级数发散。
6. 柯西收敛准则：如果对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，当n和m大于N 时，数列的前n项和后m项之差的绝对值都小于ε，那么数列或级数收敛。
7. 能否写成级数形式：判断数列能否按照一定规律变换成级数来判断收敛性。
8. 重排判别法：如果对于某个收敛级数，将其各项重新排列得到的数列或级数仍然
收敛到同一个极限，那么被判断的数列或级数也收敛到该极限。
9. 转化为广义积分：将数列转化为广义积分，通过判断该广义积分的收敛性来判断
数列或级数的收敛性。
10. 部分和数列的平方或绝对值的收敛性判断：如果部分和数列的平方或绝对值收敛，那么原数列或级数也收敛。
以上是判断收敛和发散的十种常用方法，根据具体情况选用不同的方法进行判断可以
更准确地判断数列或级数的收敛性。
数项级数收敛性的判别
级数收敛一、定义定义1：设有数列 表达式 （1）称为数项级数，可记为 ，其中 称为数项级数（1）的第n 项或一般项。
定义2： 称为级数（1）的第n 个部分和，数列称为它的部分和数列。
定义3：设 是级数（1）的部分和数列，若 则说级数（1）的和是S ，这时也说级数（1）是收敛（于S ）的。
记为： 。
若是发散数列，则称级数（1）发散。
余项： 定义4：绝对收敛：若∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛条件收敛：若∑∞=1n n u 发散，则称级数∑∞=1n n u 条件收敛二、性质定理定理1若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则对任意常数,c d ，级数111()nn n n n n n cudv c u d v ∞∞∞===+=+∑∑∑也收敛.定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.+++u u u n 21,,,:}{21u u u u n n ∑∞=1n n u u n u u u S n n ++=21}{S n }{S n S S n n =∞→lim S u n n =∑∞=1}{S n S S r n n -=定理3 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和. 三、分类1、等比级数（几何级数）:2、--p 级数：)0(11>∑∞=p nn p3、正项级数: 若0≥n u ，则称∑n u 为正项级数4、一般级数：任意 ，则称∑n u 为一般级数 三、等比级数收敛性的判别法等比级数（几何级数） ，1<q 时，级数收敛 1≥q 时，级数发散四、--p 级数收敛性判别法：--p 级数)0(11>∑∞=p nn p(1)当10≤<p 时，级数发散 (2)当1>p 时，级数收敛 例：∑21n 为p-级数，p=2>1，显然此级数是收敛的. 五、正项级数收敛性的判别法（1）比较原则：设∑n u 与∑n v 是两个正项级数，若（1） 当+∞<<10时，两级数同时收敛或同时发散； （2） 当0=l 且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛；+++-q a aq a n 1qq a S n n --=1)1()1(≠q ⎪⎩⎪⎨⎧-=∞→发散q a S n n 1lim +++-q a aq a n 1 +++u u u n 21（3） 当+∞=l 且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散； 例： 判别级数∑n 1sin 的敛散性解：由于 111s i nl i m =∞→nn n ，根据比较原则，及调和级数∑n1发散，所以级数∑n1sin 也发散.（2）比式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且lim q u u nn =+1则 (1)当1<q 时，级数∑n u 也收敛；(2)当1>q 时，或+∞=q 时，级数∑n u 发散；注：当1=q 时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数∑21n 与∑n 1，它们的比式极限都是1lim1=+∞→nn n u u 但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的. （3）根式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且1lim =∞→n nn u 则 (1)当1<l 时，级数收敛 (2)当1>l 时，级数发散注：当1=l 时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数∑21n 与∑n 1，二者都有1lim =∞n nn u ，但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的.但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的. 例：判别级数()∑-+nn212的敛散性解：由于232123lim lim122122==-∞→-∞→m m m m mm u u 612321l i m l i m 212212==+∞→+∞→mm m mm m u u 故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别法来考察这个级数，由于 2123l i ml i m 2222==∞→∞→m mm m m m u 2121lim lim 12121212==++∞→++∞→m m m m m m u 所以21lim =∞→n n n u 由根式判别法知原级数收敛. （4）积分判别法：设f 是[)+∞,1上非负递减函数那么正项级数∑)(n f 与非正常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散； 例：讨论级数∑∞=2)(ln 1n pn n 的敛散性 解：研究非正常积分⎰∞+2)(ln px x dx，由于 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+==2ln 22)(ln )(ln )(ln p p p udu x x d x x dx当1>p 时收敛1≤p 时发散，由积分判别法级数∑∞=2)(ln 1n pn n 在1>p 时收敛1≤p 时发散 六、一般级数收敛性的判别法（1）级数∑∞=1n n u 若0lim≠∞→n n u ，则此级数发散. 例：判断级数∑++nnn 2222的敛散性解：由于 1)2(lim 122=+⋅++∞→nx nn ，所以原级数发散（2）（基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.例：判定正项级数()()()112111n n n a a a a ∞=+++∑的敛散性.分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较判别法以及其他的判别法进行判断,因此可选用基本定理进行判断. 解 记()()()12111nn n a u a a a =+++,则()()()()()()()()()121211211111111111nn n n n a u a a a a a a a a a -==-+++++++++级数的前n 项和()()()112111111n n k k n S u a a a ===-<+++∑所以原级数的部分和数列有上界,于是原级数收敛.（3）柯西收敛准则级数∑∞=1n n u 收敛的充要条件：,,0N n ∈∃>∀ε当)(N m n m ∈>时，N p ∈∀有：ε<+⋅⋅⋅+++++m p m m u u u 21例：证明级数∑21n的收敛 证明：由于||21p m m m u u u ++++⋯++=222)(1)2(1)1(1p m m m +⋯++++ <))(1(1)2)(1(1)1(1p m p m m m m m +-++⋯+++++=）（）（）（pm p m m m m m+--++⋯++-+++-1112111111 =p m m +-11<m1 因此，对任给正数ε ，取]1[ε=N ，使得当m>N 及任意自然数p ，由上式就有||21p m m m u u u ++++⋯++<m1<ε由柯西收敛准则推得级数∑21n 是收敛的. （4）绝对收敛定义法：若级数∑n u 各项绝对值所组成的级数∑n u 收敛，则原级数∑n u 收敛； 例：⋯++⋯++=∑!!2!2n n nnαααα的各项绝对值所组成的级数是⋯++⋯++=∑!||!2||||!||2n n nn αααα应用比式判别法，对于任意实数α都有1||lim||||lim1+=∞→+∞→n u u n nn n α=0 因此，所考察的级数对任何实数α都绝对收敛.（5）莱布尼兹判别法：若交错级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 满足下述两个条件：(1)数列{}n u 单调递减；(2)0lim=∞→n n u 则级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 收敛.例：考察级数∑∞=+-111)1(n n n的敛散性.解：因为∑∑∞=+=-111|1)1(|n n nn 发散，不满足绝对收敛定义，而此级数满足莱布尼茨条件，故收敛.。
数列的极限与数列收敛性分析
数列的极限与数列收敛性分析在数学中，数列的极限与数列收敛性是重要的概念，它们在数学分析和实际问题求解中具有广泛的应用。
本文将介绍数列的极限与数列收敛性的概念、性质以及相关的定理和证明。
一、数列的极限概念数列是按照一定规律排列的一系列数字，其中每一个数字称为数列的项。
数列的极限是指当数列的项无限接近某个常数时，这个常数就是数列的极限。
用数学符号表示，即存在一个实数L，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε。
二、数列收敛性的判定对于给定的数列，我们可以通过以下几种方法来判断其是否收敛：1. 根据数列的递推关系式进行归纳分析，若递推关系式在n趋于无穷时存在唯一的有限极限，则数列收敛。
2. 利用比较判别法，将待求的数列与已知的数列进行比较，若已知数列收敛且极限为L，而待求数列不超过L且逐渐逼近L，则它也收敛且极限为L。
3. 利用数列的单调性，若数列既有上界又有下界，并且数列单调递增（递减），则数列收敛。
若数列单调递增（递减）有上（下）界，则数列极限即为它的上（下）确界。
4. 利用夹逼定理，即若数列an≤bn≤cn，且lim(an)=lim(cn)=L，则lim(bn)=L。
三、数列收敛的性质数列的收敛性具有以下几个基本性质：1. 数列的极限唯一性：如果数列an收敛，那么它的极限L是唯一确定的。
2. 收敛数列的有界性：如果数列an收敛，那么它是有界的，即存在正数M，对所有的n成立|an|≤M。
3. 数列极限的保号性：如果数列an收敛且极限L>0，则存在正整数N，使得当n>N时，有an>0。
4. 收敛数列的有限项运算：如果数列an和数列bn收敛，且lim(an)=A，lim(bn)=B，则它们的和差、常数倍和乘积的极限分别是lim(an±bn)=A±B，lim(c·an)=c·A，lim(an·bn)=A·B（其中c为常数）。
判断收敛发散的方法
判断收敛发散的方法收敛发散是数列或级数的一个重要性质，判断一个数列或级数是否收敛可以用一些数学方法来进行分析。
下面我将介绍一些常用的判断收敛发散的方法。
首先，我们先来讨论数列的收敛性。
数列是一个按照特定规律排列的一组实数。
当数列的项随着自变量的增大逐渐趋于某个常数时，我们称该数列是收敛的；当数列的项无论如何变动都不趋向于某个常数时，我们称该数列是发散的。
1. 利用定义法。
根据数列收敛的定义，我们可以通过寻找这个数列的极限值来判断数列的收敛性。
如果数列的极限存在且唯一，则该数列为收敛数列；如果数列的极限不存在或不唯一，则该数列为发散数列。
2. 利用敛散性准则。
常用的敛散性准则有以下几种。
(1) 单调有界准则。
如果数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则数列是收敛的。
(2) 夹逼准则。
如果数列的前后两个数列夹住了另一个数列（即对于该数列的每一项，都存在两个数列的项，其中一个大于该项，另一个小于该项），且这两个数列都是收敛的，那么该数列也是收敛的。
(3) 柯西准则。
如果对于任意给定的正数ε，都存在自然数N，使得数列的第n项和第m项差的绝对值小于ε（当n和m都大于N时），则该数列是收敛的。
(4) 收敛数列的任意子数列也收敛。
3. 利用极限的性质。
若数列a(n)和数列b(n)有以下性质，那么可以通过运用这些性质来判断数列的收敛性。
(1) 如果数列a(n)收敛于A，数列b(n)收敛于B，则a(n)+b(n)收敛于A+B，a(n)-b(n)收敛于A-B。
(2) 如果数列a(n)收敛于A，数列b(n)收敛于B，则a(n)b(n)收敛于AB。
(3) 如果数列a(n)收敛于A，数列b(n)收敛于B且B≠0，则a(n)/b(n)收敛于A/B。
(4) 收敛数列的所有子数列的极限都相等。
接下来我们来讨论级数的收敛性。
级数是把无穷多个数相加的结果，即部分和的极限。
当级数的部分和数列收敛时，我们称该级数是收敛的；当级数的部分和数列发散时，我们称该级数是发散的。
数列收敛性的判别准则共38页PPT
16、云无心以出岫，鸟倦飞而知还。 17、童孺纵行歌，斑白欢游诣。 18、福不虚至，祸不易来。 19、久在樊笼里，复得返自然。 20、羁鸟恋旧林，池鱼思故渊。
数列收敛性的判别准则
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
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最简单的思想是利用数列本身的性质 证明数列极限的存在性
4
2.3 数列极限存在的判别准则
（1）单调有界准则 （2） 数列极限的归并原理 （3） Weierstrass(维尔斯特拉斯)定理 （4） 柯西(Cauchy)收敛原理
5
（1）单调有界准则
e
(e 2.718281828459045
)
n n
11
EX 求 lim(1 1 )n .
n
n
求 lim( 3 n )2n . n 2 n
解 lim(1 1 )n lim(1 1 )n
n
n
n
n1
lim(1
1 1 )n1(1
1)
1. e
n n 1
n1
解
lim( 3 n )2n lim[(1 1 )n2 ]2(1 1 )4
10
Q
an
(1
1 )n n
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
2! n
n! n n
n
an
1
1
1 2!
L
1 n!
11 1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
{an } 是有界的 ;
{an }
是单调递增的有界数列
lim
n
an
存在.
记为
lim
1
1
n
lim(3
n
an ),
a2 3 a,
解得 a 1 13 , a 1 13Biblioteka 221 13
(舍去)
lim
n
an
2
.
8
例7 证明 lim 1 1 n 存在.
n n
证 用单调有界准则证明.
Q
an
(1
1 )n n
n
Cni
i0
1 ni
n i0
n(n 1)L
[n (n i 1)] 1
则数列
n1 n2 L nk L ,
an1 ,an2 ,L ,ank ,L
称为 {an }的子列, 简记为 { ank }.
注 由定义, {an }的子列 {ank }的各项均选自{an },
且保持这些项在 {an }中的先后次序.{ ank }中的第
k 项是 {an}中的第 nk 项, 故总有 nk k.
11
1
an 1 22 32 ... n2
1 1 1 ... 1
12 23
(n 1) n
1 2 n,n N
13
思考
分别用定义，夹逼性及单调有界准则三种方法
证明
n
lim
n
2n
0
进一步考虑
证明
n
lim
n
a
n
0
(a 1)
14
（2） 数列极限的归并原理
子数列概念及其收敛性
定义 设 {an} 为数列,{nk }为N+的无限子集,且
M
x 证明
6
几点说明：
• 定理中{an}的单调性只要从某一项之后满足即可.
这是因为数列的敛散性与前有限项无关。 • 此定理的条件为充分但非必要条件。
an
(1)n
1 n
,n
1,2,....
• 本定理只是证明了存在性。
7
例6 证明数列 an 3 3 L 3 (n重根
式)的极限存在.
证 (1)显然 a2 a1, 设ak ak1, 则3+ak 3 ak1,
证明 (必要性) 由定理2.7
(充分性)
设
lim
k
a2 k 1
lim
k
a2k
a, 则
0,
K
N,
当 k K 时， | a2k+1 a | ，| a2k a | .
第1章 函数、极限、连续
第1节 集合、映射与函数
第2节 数列的极限
第3节 函数的极限
第4节 无穷小量及无穷大量
第5节 连续函数
20101015
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
第2节 数列的极限
2.1 数列极限的概念 2.2 收敛数列的性质 2.3数列收敛性的判别准则
2
几种证明极限存在的方法：
2! n
n! n n
n
an1
(1
n
1
)n1 1
1
1
1 (1 2!
n
1
) 1
L
1 (1 1 )(1 2 )L (1 n 1)
n! n 1 n 1
n1
1 (1 1 )(1 2 )L (1 n ).
(n 1)! n 1 n 1
n1
正的
显然 an1 an , an 是单调递增的 ;
如果数列 {an }满足条件
a1 a2 L an an1 L , 单调增加
a1 a2 L an an1 L , 单调减少
单调数列
定理 2.6 单调有界数列必有极限.
更细致地，单调增加且有上界的数列必有极限. 单调递减且有下界的数列必有极限.
几何解释:
用确界定理
a1 a2 a3 an an1 a
lim
k
ank
a.
充分性，注意到{an }是其自身的子数列！
18
推论 若数列存在两个子数列分别收敛于不同的 极限，则这个数列必发散。 注意 该推论是证明数列发散的很好的工具。 EX. 证明数列{(1)n1}是发散的.
19
例8
求证
lim
n
an
a 的充要条件是
lim
k
a2 k 1
lim
k
a2k
a.
3+a k 3 ak1 , 所以 ak1 ak , 故 an 是单调递增的;
（2）又Q a1 3 3, 假定 ak 3,
ak1
3 ak
3 3 3, an
是有上界的
;
lim
n
an
存在.
（3）设
lim
n
an
a
.
Q an1
3 an ,
a2 n1
3
an ,
lim
n
a2 n1
n 2 n
x
n2
n2
e2.
EX 设
11
1
an 1 2 3 ... n , n 1,2,...
其中 2，证明 {an }收敛。
12
EX 设
an
1
1 2
1 3
...
1 n
, n 1,2,...
其中 2，证明 {an }收敛。
证明：{an } 递增显然，下面证明有上界，事实上：
i!
ni
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1) (n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
2! n
n! n n
n
9
Q
an
(1
1 )n n
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
17
数列收敛与其子数列收敛的密切联系：
定理 2.7 (数列极限的归并原理)
lim
n
an
a
对于{an
}
的任意子列{ank
}
都有
lim
k
ank
a.
证明：必要性
设
lim
n
an
a. 则
0,
N
N , 当n
N,
an
a
.
设 {ank } 是 {an }的任意一个子列.由于 nk k,因此
k N 时,nk k N , 亦有 ank a . 这就证明了