方程求根的迭代法(19-20).
数值分析10-方程求根的迭代法.
[a1, b1] [a2 , b2 ] [a3, b3]
以 此 类 推
y
a3
a2
b2 2
x2
a1
oa
x
y f (x) bx
a2
a1
b1 2
x1
x0
a
2
b
b1
b2
b3
由二分法的过程知
(1) [a, b] [a1, b1] [a2 , b2 ] [ak , bk ] , f (ak ). f (bk ) 0, x* [ak ,bk ],
例2 求方程 f (x) x3 11.1x2 38.8x 41.77 0 的有根 区间. 对 f (x) 0 的根进行搜索计算，
解 表7 -1 计算结果
x
0123456
f (x)的符号
由此可知方程的有根区间为 [1,2],[3,4],[5,6].
4.1.2 二分法
欲使
x*xk
(bk
ak
)
/
2
(b
a)
/
2k
1
1 2
1 2 k 1
0.005,
只需 k 6 ，即只要二分6次，便能达到预定的精度.
k ak
bk
xk
f ( xk )符号Leabharlann 0 1.0 1.5 1.25
1 1.25
1.375
2
1.375 1.3125
3 1.3125
1.3438
x*。
(b) 有如下的误差估计
|
计算方法4方程求根的迭代法
计算方法4方程求根的迭代法四方程求根的迭代法是一种用于解决非线性方程的数值方法。
在计算方法中，非线性方程指的是形如f(x)=0的方程，其中f(x)包含x的非线性项。
在实际中，非线性方程的求解是非常常见的问题，因此有很多不同的迭代法可以用于解决这些问题。
以牛顿迭代法为例，它是一种基于线性近似的迭代方法。
该方法的基本思想是将非线性方程转化为线性方程，通过不断迭代来逼近方程的根。
具体而言，牛顿迭代法的步骤如下：1.选择初始估计值x0作为方程的根，并计算f(x0)的值。
2.计算f(x)的导数f'(x)，并计算方程的线性近似式x-x0=-f(x0)/f'(x0)。
3.计算下一个近似值x1，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
4.判断，x1-x0，是否小于给定的收敛条件，如果是则停止迭代，否则转到步骤55.将x1作为新的近似值x0，转到步骤2牛顿迭代法具有快速收敛的特点，尤其适用于具有单根的方程。
然而，该方法也存在一些限制，如在计算f'(x)时需要知道方程的导数，当方程的导数不易计算时，该方法可能不适用。
除了牛顿迭代法，还有其他一些常用的四方程迭代方法，如割线法、弦截法等。
每种方法都有其特点和适用范围，选择合适的方法对于求根问题的解决至关重要。
总结起来，四方程求根的迭代法是一种用于解决非线性方程的数值方法。
牛顿迭代法是其中一种常用的方法，通过不断迭代来逼近方程的根。
根据方程的特点和计算条件，选择合适的迭代方法是解决求根问题的关键。
希望以上的介绍可以帮助您更好地理解和应用这一方法。
第4章 非线性方程求根的迭代法
精选版课件ppt
18
若{ x k }收敛，即lkimxk x 称迭代法收敛，否则称迭代法发散
精选版课件ppt
19
迭代法的几何意义
x (x)yy(xx)交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
精选版课件ppt
20
例题
例 试用迭代法求方程
f(x)x3x10
在区间(1，2)内的实根。 解：由x3 x1 建立迭代关系
精选版课件ppt
30
例题
若取迭代函数 (x)x3 1 ， 因为|'(x)||3x2|3 x[1,2] 不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn) n0,1,....收敛到方程的根。
精选版课件ppt
31
简单迭代收敛情况的几何解释
精选版课件ppt
32
是否取到合适的初值，是否构造合适的 迭代格式，对于是否收敛是关键的。
x2 0.739085178
x3 0.739085133 x4 0.739085133
故取 x* x4 0.739085133
精选版课件ppt
48
例题
例 用Newton法计算 。 2
解： f(x)x2a0 其 中 a2
由 f (x) 2x及Newton迭代公式得
xn 1xnx2 n 2x n21 2(xnx 2 n) n0,1 ,......
迭代法及收敛性
考察方程 x(x)。不能直接求出它的
根，但如果给出根的某个猜测值 x 0， 代
入 x(x)中的右端得到x1 (x0) ，再以 x 1
为一个猜测值，代入x(x) 的右端
得 x2 (x1)
第四章 方程求根的迭代法
例5 已知方程 e − x = 0 在 x0 = 0.5 附近有一实根， 讨论迭代 x0 = 0.5 , xn+1 =ϕ(xn) = e−x 的敛散性.并计算结 ε = 10−5 果，取 .
−x
n
f (x) = e−x − x ，则 f (0.4) = 0.27 > 0, f (0.6) =−0.05 < 0 解：令
（c）
ϕ ′( x* ) < −1
（d）
定理2 定理 设函数 ϕ ( x ) 在[a,b]上具有连续的一阶导 上具有连续的一阶导 数, 且满足 对所有的x∈ （1）封闭性条件 ） 对所有的 ∈[a,b] 有 ) ] 推论: 若方程 x = ϕ ( x在区间 [ a, b内有根 x * ϕ ( x) ∈[a,b] 且 ϕ ′( x) ≥ 1 , ∀x ∈ [ a, b ] （2）压缩性条件 ） 存在 0 < L< 1 ,使所有的 使所有的 则迭代 xk +1 = ϕ ( xk ) , ∀x0 ∈ [ a, b ]均发散 x∈[a,b]有 ∈ 有
（1）一个迭代若是整体收敛的，则一 ）一个迭代若是整体收敛的， 定局部收敛；反之则不成立． 定局部收敛；反之则不成立． 对初值的要求比较高， （2）定理 对初值的要求比较高，一般 ）定理3对初值的要求比较高 用对分法找出较满意的初值，定理2对初 用对分法找出较满意的初值，定理 对初 值的要a ) xk +1 − a = 2 xk
x k +1 +
x k +1 − x k +1 +
2
( xk + a ) 2 a = 2 xk
a xk − =( a xk + a 2 ) a
迭代法求方程根
迭代法是求解方程根的一种重要方法，它是以某种特定的搜索路径，通过不断迭代更新搜索解的值，最终求得方程的根的一种方法。
迭代法的核心思想是迭代的方法，通俗理解就是不断重复，不断迭代，不断改变，最终找到满足条件的解。
迭代法求解方程根的步骤大致如下：
首先，选定迭代法求解方程的初始值和迭代步长，然后设定迭代次数，并进行初始化。
其次，开始对迭代解进行更新。
在这一步中，根据方程的性质，以及初始值和迭代步长，通过计算求出新的迭代解，然后将新的迭代解更新到原来的迭代解中。
接着，计算迭代解的误差，并根据误差的大小，来判断迭代解是否收敛。
如果迭代解收敛，则将其作为方程的根；如果迭代解不收敛，则重复前面的步骤，继续迭代，直到解收敛为止。
最后，根据迭代解的误差，判断迭代解是否准确，即判断迭代解是否符合方程的性质。
如果误差满足要求，则将迭代解作为方程的根；如果误差过大，则需要重新调整迭代步长，并重复迭代，直到误差满足要求为止。
总之，迭代法求解方程根是一种重要的方法，它可以解决复杂的方程，在求解方程根方面有很大的帮助。
它的基本思想是：以某一特定搜索路径，通过迭代不断改变搜索解，最终得到解。
方程求根的迭代法
§4.1 引 言绪论中讲到方程求根得二分法，但二分法收敛速度慢，有必要掌握新的方法。
§4.1.1迭代法的思想迭代法是一种逐次逼近法，使用某个固定公式（迭代公式）反复校正，逐步精确，直到满足精度。
迭代法求根分两步： 1） 猜测初值 2）迭代如求解初值问题00')(),,(y x y y x f y ==用梯形公式111[(,)(,)2n n n n n n h y y f x y f x y +++≈++ （1）看作关于1+n y 的函数方程，按欧拉公式提供猜测值),()0(1n n n n y x hf y y +=+，代入（1）得)],(),([2)0(11)1(1+++++=n n n n n n y x f y x f h y y若)1(1+n y 仍不满足要求，则将它代入（1）式，继续得到校正值)2(1+n y ，写成迭代公式)],(),([2)(11)1(1k n n n n n k n y x f y x f h y y ++++++= （2）一般地，为了求一元非线性方程0)(=x f 的根，可以先将其转换为如下的等价形式()x x ϕ= （3）式（3）中连续函数()x ϕ称为迭代函数，其右端含未知数，不能直接求解。
先用根的某个猜测值0x 代入（3），构造迭代公式：()k k x x ϕ=+1。
如果迭代值k x 有极限，则称迭代收敛，极限值k k x x ∞→=lim *就是方程（3）的根。
几何意义P127图4-1为使迭代法有效，必须保证它的收敛行，()x ϕ满足什么条件，才能保证收敛？以最简单的线性迭代()d kx x +=ϕ，可以看出收敛的充分必要条件()1'<=k x ϕ。
几何意义P127图4-2,3,4,5。
§4.1.3 压缩映像原理设*x 是方程()x x ϕ=的根，则由微分中值定理))(()()(*'*1*k k k x xx x x x-=-=-+εϕϕϕ，如果存在10<≤L ，使得],[b a x ∈有()k k x x L x x L x -≤-⇒≤+*1*'ϕ，则迭代误差0e L e kk ≤，由于10<≤L ，故0→k e ，即迭代收敛。
第4章方程求根的迭代法.ppt.ppt
相应地可得到两个迭代公式
3 x x ( x ) k 1 1 k k 1 3 x ( x ) x 1 k 1 2 k k
如果取初始值 x 0 ＝1.5，用上述两个迭代公 式分别迭代，计算结果
3 （ 1 ） x 1 . 5 ， x , ( k 0 , 1 , 2 ,) . 0 k 1 x k1
仍平方收敛可将迭代法改为牛顿法不是平方收敛重根情形仍平方收敛用牛顿法得用上述三种方法求的二重根151458333333143660714314254976191514166666671414215686141421356215141176470614142114381414213562牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点但每迭代一次都要计算导数比较复杂时不仅每次计算带来很多不便而且还可能十分麻烦如果用不计算导数的迭代方法往往只有线性收敛的速度
条件
* ( x) 1 2 a 5 1
1 1 2 a5 1
2 2 a5 0
所以
1 5
a0
(x ) 已知方程 x 在 a, b内有根 x *,且在 a, b 上满足 ,利用 ( x) 构造一个迭代函数 g ( x) (x )31
*
* * ( x ) x 当
* (x ) L 1
x x*
,使成立
( x ) ( x ) ( )( x x )
*
故有
( x ) x L x x x x
* * *
x
( x k 1 k) 对于任意的 x 都收敛 由定理1知 x 0
k 0 1 2 3 4 5 6 7
xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
第04章 方程求根的迭代法
定理2：n
次代数方程有 n 个根。
10/74
计算方法——
§4.0 引言
2.
根的分布（有根区间）
求根的隔离区间，定一个[a, b]，使[a, b]内有 且只有一个x*使f(x*)=0 定理3：设函数f(x)在[a, b]内连续，严格单调， 且f(a)*f(b)<0，则在[a, b]内f(x)=0有且仅有一 个实根。 通常有两种做法来确定隔离区间： （1）作y = f(x)的草图，看f(x)在x轴的交点位 臵来定区间[a, b] （2）逐步搜索，在连续区间[a, b]内，选取适 当的x1，x2(a, b)，若f(x1)*f(x2)<0，则[x1, x2] 内有根。
3 2 1 1 3 2 (c ) x g 3 ( x ) 10 x ; 2 1 2
10 (d ) x g4 ( x ) ; 4 x
1 2
x 3 4 x 2 10 (e ) x g5 ( x ) x 3x2 8x
计算方法——
计算方法——
7/74
（3）若f (x)=(x-x*)m
§4.0 引言
例： 代数方程 f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 ... a1 x a0 0， n1 超越方程 f ( x ) e x sin x 0
计算方法——
8/74
§4.0 引言
线性的（一次解）
单个方程 代数方程 非线性 多项式（n个解）
超越的（解的数目不定）
线性（一组解） 方程组
非线性（多组解）
f (x)=0根或 f (x)零点，当 f (x)复杂时，很难求
方程求根的迭代法1
方程求根的迭代法--------------牛顿法和弦截法实验目的：实际问题中碰到的函数f(x)是各种各样的，有的表达是很复杂，这时求解函数方程f(x)=0的根就会变得很困难，而工程应用中，对计算的结果只要保证在某个误差范围之内就足够了，这就要求我们设计一种方法能够求解复杂函数方程的根，迭代法就是这样一种求解复杂函数方程的根的方法。
又由于通常对某些函数方程的根要求比较精确，误差要控制在一定的范围之内，所以计算过程比较复杂，这就要求这种算法能够便于利用计算机编程实现，牛顿法和弦截法为我们提供了一种既能够利用迭代法求解复杂方程的根，又能够便于利用计算机实现，从而方便我们求解，节省我们时间的求解方法。
本实验的目的就在于熟练掌握利用牛顿法和弦截法编程求解方程根，并且比较牛顿法和弦截法的收敛速度，比较两者的不同之处，进而加深对牛顿法和弦截法这两种方法的数学原理的理解。
实验编程实现方程f=@(x)x-exp(-x)及f=@(x)x*exp(x)-1分别利用牛顿法和弦截法求解，并且比较牛顿法和弦截法各自迭代多少次才能达到要求的某一精度，并且理解二者的差别和各自的优缺点。
本实验中要注意在牛顿法的迭代过程中，分母上会出现f(x)的导数项，所以在编程过程中，一定要在程序的一开始就先判断f'(x)是否等于0，如果等于0，则直接跳出，只有在其不为0的情况下才继续执行程序。
另外某些函数可能会发散或者是迭代过程收敛的非常慢，这时用牛顿法就是不合适的，所以这就要求我们另取其他方法。
所以在用牛顿法求解方程根的过程中，要设置一个最大的迭代次数，以免造成电脑资源不足，系统崩溃。
在弦截法的迭代过程中，除了与牛顿法相同的一些注意事项之外，还要注意在计算之前必须要先提供两个开始的值x0，x1。
实验原理： 迭代法的设计思想：迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个固定公式，即所谓的迭代公式，反复校正根的近似值，使之逐步精确化，直到得出满足精度要求的结果。
二元非线性方程组求根的牛顿迭代法
2 二元函数的牛顿迭代法
设 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内连续且 有直到 2 阶的连续偏导数 , ( x0 + h, y0 + k ) 为此邻域 内任一点 , 则有
f ( x0 + h, y0 + k ) ≈ f ( x0 , y0 ) +
记符号
gfx - fgx | ( x k, y k) = g ( xk , yk ) fx ( xk , yk ) - f ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fgy - gfy | ( x k, y k) = f ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) - g ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) gx fy - fx gy | ( x k, y k) = gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) ( 1 ) 式可改写为 x = xk + y = yk + fgy - gfy | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) gfx - fgx | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) fgy - gfy | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) gfx - fgx | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) ( 3) ( 2)
f ( xk ) = xk ( k = 0, 1, …) ( xk ) f′
从而 :
x = xk + y = yk + f ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) - g ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) g ( xk , yk ) fx ( xk , yk ) - f ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) ( 1)
方程求根的数值方法
定理（压缩映像原理）
设迭代函数 x＝φ (x) 在闭区间[a,b]上满足：
（1） 对任意x∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b]；
（2） 满足Lipschitz条件 x1, x2 [a,b]
(x1) (x2 ) L x1 x2 0 L 1
则 x＝φ (x) 在闭区间[a,b]上 存在唯一解x*，使 得对任意x∈[a,b]，由xk+1= φ(xk) 产生的序列 {xk}收敛于x*。
再用逐步搜索法或二分法找到误差较小的 近似根；
最后用牛顿法或弦截法给出高精度的近似 根。
作业：求下面方程的数值解。
x3 x 9 0
xsin(x) 0.5
x tan(x), x (0, 18)
精品课件！
精品课件！
谢 谢！
f (x1)
再由x0 , x2计算x3......
xn1 xn
xn x0 f (xn ) f (x0 )
f (xn )
称之为定端点弦截法.
(n 1,2,...)
定端点弦截法又称单点割线法。
若由x1, x2计算x3 ,以此类推
xn1
xn
xn xn1 f (xn ) f (xn1 )
则过P0 (x0 , f (x0 ))及P1(x1, f (x1))得弦的方程
y
f (x1)
f
(
x1 ) x1
f (x0 x0
)
(
x
x1
)
令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x2。
f (x1)
f
(
x1 ) x1
f( x0
x0
)
第4章方程求根的迭代方法
引论 2+0
第一章 插值方法
第二章 数值积分
8+4
8+2
第三章 常微分方程的差分解法
第四章 方程求根的迭代法
8+4
8+2
第五章 线性方程组的迭代法
第六章 线性方程组的直接法
6+2
8+2
48+16
基本概念
线性方程：未知数都是一次的方程。 非线性方程：高次代数方程和超越方程。 代数方程：由未知数的代数式所组成的方程。
2x
是方程 f ( x) e 1 2 x 2 x 0 的 3 重根。
2x 2
第四章
方程求根的迭代法
4.1 迭代过程的收敛性 4.2 4.3 4.4 迭代过程的加速 牛顿法 弦截法
4.1
4.1.1
迭代过程的收敛性
迭代法的设计思想
有根区间
介 值 定 理 若 函 数 f ( x) 在 [ a , b ] 连 续 ， 且 f ( a ) f ( b ) 0 ，则方程 f ( x ) 0 在 ( a , b ) 内至 少有一个实根。将 [ a , b ] 称为 f ( x ) 的有根区间。
ab )。 2
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围 之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
例：证明方程 x 3 3 x 2 6 x 1 0 在区间（ 0，1）内有唯一的实根，并 用二分法求这个根的近似值，使误差不超过 0.01 。 解 设 f ( x ) x 3 x 6 x 1, x [0,1] 。因为 f ( x ) 在 [0， 1]连续，且
单根和重根
定理 若 f ( x ) 满足 f ( x ) ( x x )
方程求根的数值方法
方程求根的数值方法数值方法是一种求解方程根的近似方法，它通过一系列计算和迭代来逼近方程的根。
这些方法常用于无法通过代数方法求得解析解的复杂方程，或者是当方程没有明确的解析解时。
在这篇文章中，我们将讨论三种常用的数值方法：二分法、牛顿法和割线法。
二分法是一种基于零点定理的根查找方法。
零点定理指出，如果一个函数在区间[a,b]的两个端点处取得正负值，那么这个函数在这个区间内至少存在一个根。
二分法的基本思想是将区间二分，并判断根是否在分割后的子区间内。
具体步骤如下：1.选择一个初始区间[a,b]，使得f(a)和f(b)异号。
2.计算区间中点c=(a+b)/23.如果f(c)等于0或者f(c)的绝对值小于给定的误差限，那么c是近似的根。
4.如果f(c)和f(a)异号，那么根在左半区间[a,c]内；否则，根在右半区间[c,b]内。
5.重复步骤2到4，直到找到满足条件的近似根。
二分法的优点是简单易懂，收敛速度较快；缺点是每次迭代只能减少一半的区间长度。
牛顿法是一种迭代法，通过对函数f(x)的一阶导数进行线性逼近，来求得方程f(x)=0的根。
具体步骤如下：1.选择一个初始近似根x0。
2.计算函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)。
3.计算线性逼近方程的解x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
4.如果f(x1)的绝对值小于给定的误差限，那么x1是近似的根。
5.否则，令x0=x1，重复步骤2到4，直到找到满足条件的近似根。
牛顿法的优点是收敛速度快，通常是二次收敛；缺点是对于一些特殊的函数，可能会出现发散或者陷入局部最优解的情况。
割线法是对牛顿法的改进，它通过将区间的两个端点连接起来，构建一条割线来逼近方程的根。
具体步骤如下：1.选择两个初始近似根x0和x1，使得f(x0)和f(x1)异号。
2.计算割线的斜率k=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)。
3.计算线性逼近方程的解x2=x1-f(x1)/k。
第4章 方程求根的迭代法
' ( x) L
则迭代过程对任意初值x0∈[a,b]均收敛于方程的根x*,且有 下列误差估计式 只要相邻两次 1 x * xk xk 1 xk 迭代值的偏差 1 L 充分小，就能 k L 保证迭代值足 x * xk x1 x0 1 L 够准确。
第4章 方程求根的迭代法
k 2 3 4 5 6 xk 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117 0.56486 |xk-xk-1| 0.06129 0.03446 0.01964 0.01111 0.00631 k 7 8 9 10 xk 0.56844 0.56641 0.56756 0.56691 |xk-xk-1| 0.00358 0.00203 0.00115 0.00065
1.89328947 1.89328925 1.89328921 1.89328920 1.89328920 ……
第4章 方程求根的迭代法
2.迭代法收敛的条件 定理1 设 ( x) 在[a,b]上具有连续的一阶导数,且满足下列 两项条件： (1) 对于任意x∈[a,b],总有 ( x)∈[a,b]; (2) 存在0≤L<1,使对于任意x∈[a,b],成立
容易验证，上例迭代18次得到的精度为10-5的结果 为0.56714，本例只要迭代3次即可得到，加速效果明 显.
第4章 方程求根的迭代法
2.埃特金算法 设xk是根x*的某个近似值，用迭代公式校正一次得
xk 1 ( xk )
再迭代一次，得
~ xk 1 ( xk 1 ) x * xk 1 L( x * xk ) x * ~ xk 1 L( x * xk 1 )
1 xk xk 1 (e 0.6 xk ) 1.6
4.1方程求根的迭代法i
取中点 x0 1 .25 ，将区间二等分，
f ( x ) 0 , 令 a x 1 . 25 , b b 1 . 5 , 0 1 0 1
得新的有根区间 [a1 , b1 ]
*
如此二分下去即可。现估计二分次数
x x 0 . 005 n 5 . 64 n
所以二分6次可达到要求。
不难得出：
ln( b a ) ln n 1 ln 2
区间二分法例题
例1
3 内的 求方程 f( x )x x 1 0 在区间 1 ， 1 . 5
一个实根 ,要求准确到小数点后 2 位 .
解（二分法） a 1 . 0 , b 1 . 5 , f ( a ) 0 , f ( b ) 0
*
则 迭 代 过 程 x ( x ) 对 于 任 意 初 值 x [ a ,] b 均 k 1 k 0
证明 设 f ( x ) x ( x ) , 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 可 导 ,
由 条 件 ( 1 ) f( a ) a ( a ) 0 f( b ) b ( b ) 0
几百年前就已经找到 了代数方程中二次至 五次方程的求解公式 但是,对于更高次数 的代数方程目前仍 无有效的精确解法
对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法 因此,研究非线性方程的数值解法成为必然 本章研究对象
本 章 主 要 讨 论 单 变 量 非 线 性 方 程 fx () 0 的 求 根 问 题
区间二分法分析
区间二分法的分析
优点： 对函数要求低，计算简单; 缺点： 收敛慢且对有偶数重根的情况不适合。
简单迭代法
第二节 简单迭代法
方程求根的迭代法
计算方法 4方程求根的迭代法
这样,我们总可以假设方程(5―1)(a,b)内有且仅有 一个单实根x*。由连续函数的介值定理知
f(a)·f(b)＜0 若数值b-a较小,那么我们可在(a,b)上任取一点x0作 为方程的初始近似根。
例如,方程
f(x)=x3-x-1=0 由于f(1)＜0,f(1.5)＞0,又f(x)在区间(1,1.5)上单调连 续,故可知在(1,1.5)内有且仅有一个实根。于是可取某 个端点或区间内某一个点的值作为根的初始近似值。
方程的形式很多,我们主要讨论一元非线性方程,也 即
f(x)=0
(5―1)
方程(5―1)可以有实根,也可以有复根或者重根等 。本章主要讨论它的实根的数值计算问题。
方程根的数值计算大致可分三个步骤进行: (1) 判定根的存在性。 (2)确定根的分布范围,即将每一个根用区间隔离 开来。 (3)根的精确化,即根据根的初始近似值按某种方 法逐步精确化,直至满足预先要求的精度为止。
设函数f(x)在区间［a,b］上单调连续,且 f(a)·f(b)＜0
则方程(5―1)在区间(a,b)内有且仅有一个实根x。 下面在有根区间(a,b)内介绍二分法的基本思想。
计算f(a)与f(x0),若 f(a)·f(x0)＜0
则根x∈(a,x0),令
a1=a,b1=x0 否则x∈(x0,b),令
a1=x0,b1=b
该序列必以根x为极限,即
故对于预先给定的精度ε,若有
(5―3)
则结果xk就是方程(5―1)满足预给精度ε的近似根, 也即
由式(5―2)和(5―3)还可得到误差估计式为
(5―4)
对于确定的精度ε,从式(5―4)易求得需要二等分 的次数k。
二分法具有简单和易操作的优点。其计算步骤如 下,框图如图5.3所示。
方程求根的迭代法(19-20).
（1）x x 1 1 ( x)
' 1
1 1 1 且 ( x) 2 x 1 2 2.5 3.162 1 1 1 (2) x 1 2 ( x) 因 1.5 1 2 ( x) 1 2 x 2 1.5 1 1 1 ' 且 2 ( x) 2 2 x 1.5 2.25 根据定理，任取x0 [1.5, 2],由这两种等价方程所构造的
定理2 设 x 在 x x 的根 x*邻近有连续导数，且
成立
' x* 1
则迭代过程 xk 1 xk 在 x*邻近具有局部收
敛性。
5、迭代过程的收敛速度
定义：设由某方法确定的序列{xk}收敛于方程的根x*x7 = (x6) =0.3472963
0.3472961 | 106 因为 | x7 x6 || 0.3472963
取近似根为x* = 0.347296
例：用简单迭代法求方程 f ( x) x 2 x 1 0 的根。 解：因 f (1.5) 0.25 0, f (2) 1 0 [1.5, 2] 为有根区间。 因 1.5 1.5 1 1 ( x) 2 1 2
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验：
（1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]，
b1=x1, a1=a; （2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。 反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间： (a, b), (a1, b1), …, (ak, bk), …
*
(7)
(8)
证：设x*是方程的根，即x*=
方程求根的迭代法共36页PPT
方程求根的迭代法
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
xk
1.25 1.375 1.3125 1.3438
f (xk)的符号
+ +
4
5 6
1.3125
1.3125 1.3203
1.3438
1.3281 1.3281
1.3281
1.3203 1.3242
+
-
二分法程序流程图
输入
定义f (x)
a, b,
k=0
f (a) f (b)>0 否 否 m=(a+b)/2 |a-b|< 是 a=m 是 打印m, k 结束 f (a) f (b)=0
f (x) = 0
等价变换
x ( x)
把根的某个猜测值 x0 代入迭代函数得
x1 ( x0 )
x12 x ( x2 = 0 1) 3
一般地：
xk 1 ( xk )
得到序列 {xk }
则若 {xk }收敛就必收敛到 f ( x) 0的根：
lim xk 1 lim ( xk ) ( lim xk )
由于：
lim
k
xk x*
所以，二分法可以求得任意精度的根。 对于任意给定的精度要求： 0
1 (b a) 由 k 2 得： k ln(b a) ln ln 2 | x* xk |
即：只要二分K次，就可得到指定精度的根。
例： 求方程在
解：
f ( x) x x 1 0 区间[1, 1.5]内的 实根。要求准确到小数点后第2位。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验：
（1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]，
b1=x1, a1=a; （2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。 反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间： (a, b), (a1, b1), …, (ak, bk), …
§ 4、 0
二 分 法
二分法的基本思想是：
逐步将有根区间分半，通过判别函数值的符号， 进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从 而求出满足给定精度的根的近似值。
执行步骤
1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
在中学时，我们很熟悉一次、二次代数方程以及某些特殊的 高次方程或超越方程的解法。这些方法都是代数解法，也是精确 法。但在实际中，有许多方程问题无法求出公式解。例如超越方 程
tgx x 0
0.25 tgx 4.8889sin x 0
看起来很简单，却不容易求得精确解。至于解三次、四次代 数方程，尽管存在着求解公式，却不实用，而对一般的五次或五 次以上的代数方程，根本没有求根公式。另一方面，在实际应用 中，只要能获得具有预先给定的误差限内的近似值就可以了。因 此，需要引进能够达到一定精度要求的求方程近似值的方法。
k k k
x (x ( x) :
yx y (x )
yx
Q1
交点即真根。
y
y ( x)
P 0
Q2
P*
O
P 1
P 2
x1 x0 x
x* x2
例：求方程
的一个根
f ( x) x 10x 2 0
解： 10x x 2
求方程 f ( x) 0 的根也叫求函数 f ( x) 的零点。 需要解决的几个问题：
1．根的存在性。方程有没有根？如果有根，有几个根？ 2．这些根大致在哪里？如何把根隔离开来？ 3．根的精确化 定理1：设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0，
则方程 f (x) = 0 在[a, b]内至少有一实根x*。
重庆大学数理学院
数值分析
第十讲
主讲教师： 谭 宏
第四章
1．教学内容：
非线性方程求根
二分法、迭代法的一般原理 、NEWTON迭代法
2．重点难点：
重点：牛顿迭代法及局部收敛性 难点：迭代法及收敛性定理
3．教学目标：
掌握迭代法的一般原理、对给出的方程球根问题，能 利用一般迭代法或者牛顿迭代法进行数值求解
| x* xk | 1 (b a) k 2
得：
1 ln(0.5) ln 102 ln(b a) ln 2 k ln 2 ln 2
解得k = 6，即只要二分6次，即达所求精度。
k
0 1 2 3
ak
1 1.25 1.25 1.3125
bk
1.5 1.5 1.375 1.375
是
是 是
f (a) =0
否
否 f(a)f(b)>0 否 b=m
打印b, k
结束
打印a, k
k=K+1
§ 4、 1
迭代过程的收敛性
1、迭代法的设计思想 迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个固 定公式－所谓迭代公式反复校正根的近似值，使之逐 步精确化，直至满足精度要求的结果。 迭代法的求根过程分成两步，第一步先提供根的 某个猜测值，即所谓迭代初值，然后将迭代初值逐步 加工成满足精度要求的根。 迭代函数 迭代法的设计思想是：
4、当
5、则
bk 1 ak 1
xk 1 1 ( a k bk ) 2
时 即为根的近似
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
Y
y f ( x)
x1 ab 2
x*
0 a
x2
b1
b
x
a1
Y
0
a
x*
b x
误差估计：
| x* xk | 1 (b a) k 2
3
用二分法，这里a = 1, b = 1.5， 且f (a) < 0， f (b) > 0。取区间[a, b]的中点x0 = 1.25将区间二等分， 由于f (x0)< 0，即f (x0)与f (a)同号，故所求的根必在x0 的右侧，这里应令a1 = x0 = 1.25，b1 = b = 1.5，而得到 新的有根区间（a1, b1）。 对区间（a1, b1）再用中点x1 = 1.375二分，并进行 根的隔离，重复上述步骤，如此反复二分下去。 我们预先估计一下二分的次数：按误差估计式
迭代格式
等价变换
x lg( x 2)
xk 1 lg( xk 2)
x1 = 0.4771
x2 = 0.3939 … x6 = 0.3758 x7 =0.3758