圆内接四边形的性质判定定 理习题及答案

5.圆内接四边形ABCD中，BA与CD的延长线交于点P,AC与BD交于点E,则
图中相似三角形有
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
6.如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为，则四边形ABCD面积为
A. B.8 C. D.
T6
T7
T12
7.如图，在以BC为直径的半圆上任取一点P,过弧BP的中点A作于D.连接
圆内接四边形的性质与判定定理习题及答案
教
教学内容与教学设计
学
环
节
设计说明
圆内接四边形的性质定理：
定理1 圆内接四边形的对角互补.
定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角 设计意图：通过梳理
知 的对角
知识,使学生明确本节
识 圆内接四边形的判定定理：
所复习的内容,熟练掌
梳 如果一个四边形的对角互补，那么这个四 握本节的三个定理和
堂中的自主学习,目的
2. 如图2，AD、BE是△ABC的两条高, 是激发学生的学习兴
求证:∠CED=∠ABC.
趣.其中第1题的立意
开
是:考查圆内接四边形
心
性质定理及割线定理
自
的灵活运用.第2题的
测
立意是:考查灵活运用
圆内接四边形性质定
理证明角相等问题.
2.处理过程：让学生
独立完成这两道自测
题,并分成两组,每一
3. 如图9,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B,C 两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.
(1)证明:A,P,O,M四点共圆;
(2)求∠OAM+∠APM的大小.
4.如图10,已知四边形ABCD内接于圆,延长AB和DC相交于E,EG平分∠E, 且与BC、AD分别相交于F、G.求证:∠CFG=∠DGF.
17.已知：如图所示，平分. (1)求AC和DB的长； (2)求四边形ACBD的面积.
18.在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，为垂足. 求证：E、B、C、F四点共圆.
19.如图，矩形ABCD中，AD=8,DC=6,在对角线AC上取一点O,以OC为半径 的圆切AD于点E,交BC于点F,交CD于点G. (1)求⊙O的半径； (2)设，请写出之间关系式，并证明.
5. 如图11,已知PA、PB是圆O的切线,A、B分别是切点,C为圆O上不与 A、B重合的另一点,若∠ACB 一、 选择题 1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有
①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；②圆内接四 边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在 圆内部的四边形叫圆内接四边形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例2(2011·辽宁卷)如图4,A,B,C,D四点在同 一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E 点,且EC=ED. (1)证明:CD∥AB; (2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明 A,B,G,F四点共圆.
圆的基本知识与方法, 考查推理论证能力及
运算求解能力. 2.处理过程：第(1)小 题是证明四点共圆问 题，那么要证四点共 圆,我们有那些方法 呢?通过提问让学生 在大脑中搜索相关知 识,寻找最佳解题方 案.这样问题可以转化 为证明Rt△ADE与 Rt△ABC相似,从而利 用本节的推论来证明 四点共圆.第(2)小题 是计算问题，关键是 引导学生如何确定圆 心的位置.根据圆的性 质可知,圆心即为该圆 弦的中垂线的交点， 问题就转化为在矩形 AFHG中求圆的半径 了. 3.老师点评：证明四 点共圆主要是利用圆 内接四边形的判定定 理或其推论.解题时, 关键是寻找四边形的 对角互补或其一外角 与它的内角的对角相 等.
组推荐一名同学说出
解题思路和答案.
例1 (2011·课标全国卷)如图3,D,E分别为 1.选题立意:本题考查 △ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶 三角形相似、四点共 点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB
的长是关于方程x2-14x+mn=0的两个根. (1)证明:C,B,D,E四点共圆; (2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆 金 的半径. 题 精 讲
内接四边形的性质与
判定定理认识的再次
深化.
能 力 能力锤炼题见表下面. 锤 炼
设计意图:课后检测， 巩固本节知识点，深 化相应的数学能力.
能力锤炼: 1. 如图7,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,以BC为直径的⊙O交AB于E点,D为
AC的中点,连结BD交⊙O于F点.求证:= . 2. 如图8,AB为⊙O的弦,CD切⊙O于P,AC⊥CD于C,BD⊥DC于D,PQ⊥AB于 Q,求证:PQ2=AC·BD.
1.选题立意：本题考 查平面几何的证明问 题,主要涉及两条直线 平行以及四点共圆的 判定. 2.处理过程:第(1)小题 如何利用已知条件来
证明CD∥AB?让学生
去“找路”,证平行问题
主要是运用平行线的
判定定理.本题中A、
B、C、D四点共圆这
个条件的正确运用是
证明该问题的关键.
金
第(2)小题是证明四点
如图6,已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接 圆劣弧上的点(不与A,C重合),延长BD到E.
知
设计意图:检验所学习
能
的知识，从而熟练掌
演
握本节的重点，形成
练
相应的数学能力.
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(1)求证:AD的延长线平分∠CDE; (2)若∠BAC=30°,△ABC中
BC边上的高为2+, 求△ABC外接圆的面积.
17.(1) (2)
18.法一：连结EF, A、E、D、F四点共圆
法二： A、E、D、F四点共圆 19.(1) (2)
BP交AD于点E,交AC于点F,则
A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.以上结论都不对
8.直线与与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数
A.-3 B.3 C.-6 D.6
二、填空题
9.圆内接四边形ABCD中， .
10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 .
11.圆内接四边形ABCD中，，则 .
2.圆内接四边形ABCD中，，AC与BD交于点E，在下图中全等三角形的 对数为
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 3.圆内接四边形ABCD中，,则圆的直径为
A.62 B.63 C.65 D.66
T2
T4
T5
4.如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，，则
A. B. C. D.
角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC 查四点共圆的判定方
上,且AE=AF. (1)证明:B,D,H,E四点共圆; (2)证明:CE平分∠DEF.
法及利用四点共圆的
性质证明角相等问题. 2.处理过程:第(1)小题
只要证明四边形BDHE
的内对角互补即可,但
该小题的的难点恰在
于如何证明内对角互
圆内接四边形的性质与判定定理
一、 选择题
(参考答案)
1-5 BBCAB 6-8 DAB 二、填空题
9. 0 10. 11. 12. 三、解答题
13.法一：
法二：连接BE,的度数为即为正
14.在AC上取点E,使
① ②
①+②即可 15.延长PC至D,作，并取AD=AP， 则P、A、B、C四点共圆
16.
补.这时可以分组讨
论,充分调动学生的学
习积极性,只要学生能
想的就让学生想,学生
能说的让学生说,学生
能做的让学生做.
第(2)小题实际上是证
明角相等问题,请一个
学生用分析法来寻求 证明思路.当学生“找 路”有困难时，及时 正确引导，同时注意 引导方式. 3.老师点评：解答平 面几何问题时不仅要 用到几何定理，而且 还要用到各种不同的 推理形式，推理策 略，有时还要使 用“添加辅助线”之类 的技巧性较高的方法. 在几何学习中，除了 运用逻辑推理外，还 要应用观察、比较、 类比、直觉、猜想、 归纳、概括等合情推 理.
12.如图，AB为半圆O的直径，C、D为半圆上的两点，，则 .
三、解答题
13.如图，锐角三角形ABC中，，BC为圆O的直径，⊙O交AB、AC于D、
E，求证：.
14.求证：在圆内接四边形ABCD中，. 15.在等边三角形ABC外取一点P,若，求证：P、A、B、C四点共圆.
16.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，M为CD中点，N为AB中点，于点 E，连接ON、ME，并延长ME交AB于点F.求证：.
题
共圆问题,引导学生作
精
出辅助线,连接AF、
讲
BG得四边形ABGF,如
何运用四点共圆的判
定定理呢?此时,把问
题交给学生去探究.
要证
∠AFD+∠ABC=180°,
即证∠FAB=∠GBA.
3.老师点评：灵活运
用圆内接四边形性质
与判定定理是解题的
关键.
例3 (2009年·宁夏)如图5,已知△ABC的两条 1.选题立意：本题考
1.本节课我们复习了圆内接四边形的性质 与判定定理. 2.通过开心自测、金题精讲和知能演练，
课 使我们初步掌握了如何灵活运用圆内接四 设计意图:课堂小结使
堂 边形的性质与判定定理解决问题.
学生深切体会到本节
小 3.这节课我们运用了数形结合、转化与化 课的主要内容和思想
结 归等数学思想方法.
方法，从而实现对圆
理 边形的四个顶点共圆.
一个推论.
推论: 如果四边形的一个外角等于它的内
角的对角，那么这个四边形的四个顶点共
圆.
1. 如图1,⊙O的内接四边形BCED,延长
ED,CB交于点A,若
1.选题立意：设计开
BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,
心自测题,主要体现课
则DE=_______;CE=__________.