圆内接四边形的性质判定定理习题及答案

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圆内接四边形的性质定理及其推论习题课件 2023—2024学年鲁教版(五四制)数学九年级下册

AD∶BD＝1∶3, AE＝DE＝2，则半圆O的半径长为
()
A． 5
B．2 2
C．3 D．2 3
【点拨】
∵四边形 BCED 是半圆 O 的内接四边形， ∴∠AED＝∠B，∠ADE＝∠C. ∴△ADE∽△ACB.∴DBCE＝AADC. ∵AE＝DE＝2，∴∠A＝∠ADE. ∴∠A＝∠C.∴AB＝BC. 连接 BE，∵BC 为直径，∴∠BEC＝90°，即 BE⊥AC.
(2)连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数．解：∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形．又∵EO⊥CD，∴CF＝DF. ∴EO是CD的垂直平分线．∴ED＝EC. ∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC. ∴△DCE是等边三角形．∴∠AEB＝60°. ∴△ABE是等边三角形．∴∠A＝60°.
又∵OA＝OC，AC＝4，∴OA＝2 2.
∴⊙O 的半径为 2 2. 【答案】 B
3 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD，若∠BCD＝120°，则∠BDE的度数是 () A．25° B．30° C．32° D．35°
【点拨】连接BE.∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. 又∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°. ∴∠BED＝∠BAD＝60°. ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°. ∴∠BDE＝90°－∠BED＝90°－60°＝30°.
【点拨】由题意可知∠AEF＝∠ABC.
又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC.∴AAEB＝EBFC＝35. ∵BC 为直径，∴∠BEC＝90°.∴∠BEA＝90°. ∴cos∠BAC＝AAEB＝35.易得 sin∠BAC＝45.
∴在 Rt△ ABE 中，BE＝AB·sin∠BAC＝6×45＝254.

第二讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理

第⼆讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理第⼆讲直线与圆的位置关系2.2 圆内接四边形的性质与判定定理A级基础巩固⼀、选择题1．圆内接平⾏四边形⼀定是( )B．菱形A．正⽅形D．矩形C．等腰梯形解析：由于圆内接四边形对⾓互补，平⾏四边形的对⾓相等，所以圆内接平⾏四边形的各⾓均为直⾓，故为矩形．答案：D 2．已知AB，CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC⼀定是( )A．矩形B．菱形D．等腰梯形C．正⽅形解析：AB，CD均为⊙O的直径，故四边形ADBC的四个⾓均为直⾓，且对⾓线AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形．答案：A 3．四边形ABCD内接于圆，∠A∶∠B∶∠C＝7∶6∶3，则∠D等于( )B．72°A．36°D．54°C．144°解析：由圆内接四边形的性质定理，∠A＋∠C＝180°.⼜由∠A∶∠C＝7∶3，设∠A＝7x，∠C＝3x，则10x＝180°，即x＝18°，所以∠B＝6x＝108°.故∠D＝180°－∠B＝72°.答案：B4.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上⼀点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )A．20°B．40°C．80°D．100°解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，⼜由圆周⾓定理知∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C 5．如图所⽰，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠B CD的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．75°解析：如图所⽰，连接AD，则△ABD是直⾓三⾓形，∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝35°，根据同弧所对的圆周⾓相等，∠BCD＝∠DAB＝35°.答案：A⼆、填空题6.如图所⽰，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB与DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为____．解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BCP＝∠A.⼜∠P＝∠P，所以△BCP∽△DAP.所以BCAD＝PBPD＝13.答案：137．如图所⽰，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AC是⊙O1的直径，延长CA，CB，分别交⊙O2于D ，E，则∠CDE＝______．解析：连接AB，因为AC是⊙O1的直径，所以∠ABC＝90°.⼜因为∠ABC＝∠ADE，所以∠ADE＝90°，即∠CDE＝90°.答案：90°8．如图所⽰，点A，B，C，D在同⼀个圆上，AB，DC相交于点P，AD，BC相交于点Q，如果∠A＝50°，∠P＝30°，那么∠Q＝________．解析：因为∠A＝50°，∠P＝30°，所以∠QDC＝∠A＋∠P＝80°.⼜∠QCD＝∠A＝50°，所以∠Q＝180°－80°－50°＝50°.答案：50°三、解答题9.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三⾓形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．⼜AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.⼜∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三⾓形．10.如图所⽰，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AC＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值．(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BCFA＝DCEA，所以△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B、E、F、C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，所以∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°，所以CA是△ABC外接圆的直径．(2)解：连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，因为DB＝BE，CE＝DC，⼜因为BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2，⼜因为DC2＝DB·DA＝3DB2，所以CE2＝3DB2.所以过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值为1 2.B级能⼒提升1.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )A．120°B．136°C．144°D．150°解析：因为∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，所以∠ECD＝72°.由圆内接四边形的性质得∠A＝∠ECD＝72°.⼜由圆周⾓定理知∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.答案：C 2．两圆相交于A，B，过A作两直线分别交两圆于C，D和E，F.若∠EAB ＝∠DAB，则CD＝________．解析：因为四边形ABEC为圆内接四边形，所以∠2＝∠CEB.⼜因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠2，所以∠CEB＝∠ECB.所以BC＝BE.在△CBD与△EBF中，∠ECD＝∠BEF，∠D＝∠F，BC＝BE，所以△CBD≌△EBF，所以CD＝EF.答案：EF3.如图所⽰，A，B，C，D四点在同⼀圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同⼀圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从⽽∠FED＝∠GEC.如图，连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.⼜CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．。

第2讲-2 圆内接四边形的性质与判定定理

二圆内接四边形的性质与判定定理图2－2－11．圆内接四边形的性质定理(1)定理1：圆的内接四边形的对角互补．如图2－2－1：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.图2－2－2(2)定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图2－2－2：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定定理及其推论(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．1．“内接于圆的平行四边形、菱形、梯形分别是矩形、正方形、等腰梯形”这种说法正确吗？【提示】正确．根据圆内接四边形的对角互补可证．2．圆内接四边形的性质定理和它的判定定理及推论有何关系？【提示】性质定理1和判定定理互为逆定理，性质定理2和判定定理的推论互为逆定理．图2－2－3如图2－2－3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，在AB 上截取PA ＝AC ，以PC 为直径的圆分别交AB 、BC 、AC 于D 、E 、F.求证：PA PB ＝DADP.【思路探究】先利用PC 是圆的直径，得到PF ∥BC ，再利用圆内接四边形的性质，得到DF ∥PC ，最后利用平行线分线段成比例证明结论．【自主解答】连接DF 、PF. ∵PC 是直径， ∴PF ⊥AC. ∵BC ⊥AC ， ∴PF ∥BC ，∴PA PB ＝FA FC. ∵四边形PCFD 内接于⊙O ， ∴∠ADF ＝∠ACP ， ∵AP ＝AC ， ∴∠APC ＝∠ACP.∴∠ADF ＝∠APC.∴DF ∥PC ， ∴DA DP ＝FA FC ，∴PA PB ＝DA DP .1．在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等． 2．圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．如图2－2－4所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，延长AB和DC相交于点E，EG平分∠AED，且与BC、AD 分别交于F、G.图2－2－4求证：∠CFG＝∠DGF.【证明】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBF＝∠ADE.又EF是∠AED的平分线，则∠BEF＝∠DEG，∴△EBF∽△EDG.∴∠EFB＝∠DGF.又∵∠EFB＝∠CFG，∴∠CFG＝∠DGF.图2－2－5如图2－2－5所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于G，求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．【思路探究】(1)要证D、E、F、G四点共圆，只需找到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H，证点H即为圆心．(2)要证G、B、C、F四点共圆，只需证∠B＝∠AFG(或∠C＝∠AGF)，由D、E为中点，可知DE∥BC，∠B＝∠ADE，故只需证∠ADE＝∠AFG，由D、E、F、G四点共圆可得．【自主解答】(1)如图，连接GF，取GF的中点H.∵DF⊥AB，EG⊥AC，∴△DGF，△EGF都是直角三角形．又∵点H是GF的中点，∴点H到D、E、F、G的距离相等，∴点H是过D、E、F、G的外接圆的圆心，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由(1)知D、G、F、E四点共圆．由四点共圆的性质定理的推论，得∠ADE＝∠AFG.∵AD＝DB，AE＝EC，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠AFG＝∠B，∴G、B、C、F四点共圆．1．解答本题(1)是利用到定点的距离等于定长的点在同一圆上来证明的，本题(2)利用了圆内接四边形判定定理的推论来证明的．2．判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆；(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；(4)与线段两端点连线夹角相等(或互补)的点连同该线段两端点在内共圆．图2－2－6如图2－2－6，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P，求证：E，D，P，F四点共圆．【证明】∵AP⊥BC，F为AC的中点，∴PF是Rt△APC斜边上的中线，∴PF＝FC，∴∠FPC＝∠C，∵E、F、D分别为AB、AC、BC的中点，∴EF∥CD，ED∥FC，∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C，∴∠FPC＝∠FED，∴E、D、P、F四点共圆.如图2－2－7，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.图2－2－7(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．【思路探究】(1)利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质定理求解．(2)外接圆的圆心在BC边的高上，设出外接圆的半径为r，用r表示BC边上的高．【自主解答】(1)证明：如图，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，又由对顶角相等得∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC.连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB ＝75°.∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，外接圆的面积为4π.1．解答本题(2)时关键是找出外接圆的圆心位置，然后用外接圆的半径表示出BC边上的高．2．此类问题综合性较强，考查知识点较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，最终得到某些结论的成立．如图2－2－8所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB使它们交于点E.求证：AE·AC＝AF·DE.图2－2－8【证明】如图，连接BD，∵AB ∥CD ，∴BD ＝AC. ∵A 、B 、D 、F 四点共圆， ∴∠EBD ＝∠F. 又∵∠DEB ＝∠FEA ， ∴△EBD ∽△EFA. ∴DE AE ＝BD AF .∴DE AE ＝AC AF ，即AE·AC＝AF·DE.(教材第30页习题2.2第3题)如图2－2－9，已知四边形ABCD 内接于圆，延长AB 和DC 相交于E ，EG 平分∠E ，且与BC 、AD 分别相交于F 、G ，求证：∠CFG ＝∠DGF.图2－2－9(2018·广州调研)四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，AB ＝40°，则∠D ＝__________.【【解析】如图连接AC.∵AB ＝40°.BC 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝20°，∠BAC ＝90° ∴∠B ＝180°－∠BAC －∠ACB ＝70° ∴∠D ＝180°－∠B ＝110°.【答案】 110°1．四边形ABCD 内接于圆O ，延长AB 到E ，∠ADC ＝32°，则∠CBE 等于( ) A ．32° B ．58° C ．122° D．148°【解析】根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角知，∠CBE ＝32°.【答案】 A2．下列说法正确的有( )①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角；②圆内接四边形的对角相等；③圆内接四边形不能是梯形；④在圆的内部的四边形叫圆内接四边形．A．0个 B．1个C．2个 D．3个【解析】①是圆内接四边形的性质定理2，正确．由于圆内接四边形的对角互补，不一定相等，②不正确．圆内接四边形可以是梯形，③不正确；顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形．④不正确．【答案】 B3．如图2－2－10，两圆相交于A，B，过A的直线交两圆于点C，D，过B的直线交两圆于点E，F，连CE，DF，若∠C＝115°，则∠D＝________.图2－2－10【解析】如图，连接AB，∵∠C＝115°，∴∠ABE＝65°，∴∠D＝∠ABE＝65°.【答案】65°4．四边形ABCD内接于圆O，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，则∠D＝________.【解析】∵圆内接四边形的对角互补，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝140°.又∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－60°＝120°.【答案】120°一、选择题1．如图2－2－11，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )图2－2－11A．120°B．136°C．144°D．150°【解析】设∠BCD＝3x，∠ECD＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，即∠BCD＝108°，∠ECD＝72°.∴∠BAD＝72°，∴∠BOD＝2∠BAD＝144°.【答案】 C2．如图2－2－12，在⊙O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数为( )图2－2－12A．30° B．45°C．50° D．60°【解析】连接OA，OB，∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°，∴∠BCA＝12∠AOB＝30°，∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°.【答案】 C图2－2－133．如图2－2－13所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似三角形的对数为( )A．4 B．3C．2 D．1【解析】利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4对．【答案】 A图2－2－144．如图2－2－14，AB 是⊙O 的弦，过A 、O 两点的圆交BA 的延长线于C ，交⊙O 于D ，若CD ＝5 cm ，则CB 等于( )A ．25 cmB ．15 cmC ．5 cm D.52cm【解析】连接OA ，OB ，OD ， ∵OA ＝OB ＝OD ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∠ODB ＝∠OBD. ∵C ，D ，O ，A 四点共圆， ∴∠OAB ＝∠CDO ，∠CDO ＝∠OBA ， ∴∠CDO ＋∠ODB ＝∠OBA ＋∠OBD ，即∠CDB ＝∠CBD ，∴CD ＝CB ， ∵CD ＝5 cm ，∴CB ＝5 cm. 【答案】 C 二、填空题图2－2－155．如图2－2－15，以AB ＝4为直径的圆与△ABC 的两边分别交于E ，F 两点，∠ACB ＝60°，则EF ＝________. 【解析】如图，连接AE. ∵AB 为圆的直径， ∴∠AEB ＝∠AEC ＝90°. ∵∠ACB ＝60°，∴∠CAE ＝30°，∴CE ＝12AC.∵∠C ＝∠C ，∠CFE ＝∠B ， ∴△CFE ∽△CBA. ∴EF AB ＝CE AC， ∵AB ＝4，CE ＝12AC ，∴EF ＝2.【答案】 2图2－2－166．如图2－2－16，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________．【解析】由于∠PBC ＝∠PDA ，∠P ＝∠P ，则△PAD ∽△PCB ，∴PC PA ＝PB PD ＝BCAD .又PB PA ＝12，PC PD ＝13，∴PB PA ×PC PD ＝12×13. ∴PC PA ×PB PD ＝16，∴BC AD ×BC AD ＝16. ∴BC AD ＝66. 【答案】66三、解答题7．如图2－2－17，四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作AE ∥BD 交CB 的延长线于点E.图2－2－17求证：AB·AD＝BE·CD. 【证明】如图，连接AC. ∵AE ∥BD ，∴∠1＝∠2. ∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∵∠4是圆内接四边形ABCD 的一个外角，∴∠4＝∠ADC.∴△ABE ∽△CDA ，∴AB CD ＝BE AD， ∴AB·AD＝BE·CD.8．如图2－2－18，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．图2－2－18【解】 (1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD×AB＝mn ＝AE·AC，即AD AC ＝AE AB. 又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB.因此∠ADE ＝∠ACB.所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC. 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12×(12－2)＝5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.9．如图2－2－19，已知P 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点，通过P 作正方形的边的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.你能判断出E 、F 、G 、H 是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想．图2－2－19【解】猜想：E 、F 、G 、H 四个点在以O 为圆心的圆上．证明如下：如图，连接OE 、OF 、OG 、OH.在△OBE 、△OBF 、△OCG 、△OAH 中，OB ＝OC ＝OA.∵PEBF 为正方形，∴BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∠OBE ＝∠OBF ＝∠OCG ＝∠OAH ＝45°.∴△OBE ≌△OBF ≌△OCG ≌△OAH.∴OE ＝OF ＝OG ＝OH.由圆的定义可知：E 、F 、G 、H 在以O 为圆心的圆上．10.如图，锐角△ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点．(1)求证：四点A ，I ，H ，E 共圆；(2)若∠C ＝50°，求∠IEH 的度数．【解】 (1)证明：由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ，结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90°.所以，四点A ，I ，H ，E 共圆．(2)由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，得，∠IEH ＝∠HAI ；在△HIA 中，∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠B ＋12∠A ＝12(∠B ＋∠A) ＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C. 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ；所以∠IEH ＝12∠C. 由∠C ＝50°得∠IEH ＝25°.。

高中选修4.4 圆周角定理与圆内接四边形的性质与判定定理(含答案)

圆周角定理与圆内接四边形的性质与判定定理【学习目标】:1.圆周角定理；2.圆内接四边形的性质定理与判定定理。

【学习过程】：1．圆周角定理(1)圆周角定理: 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的___ ___。

(2)圆心角定理: 圆心角的度数等于_________________。

推论1.同弧或等弧所对的圆周角___ __；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也___ ___。

推论2.半圆(或直径)所对的圆周角是__ __；90°的圆周角所对的弦是_____ _。

2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1.圆的内接四边形的对角__ ____．定理2.圆内接四边形的外角等于它的内角的__ ____．(2)判定判定定理:如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点___ ___．推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点__ ___．【学习评价】：1.下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的个数有（）A.1个 B .2个 C.3个 D.4个2．(2011·天津)如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB＝1，PD ＝3，则BC AD 的值为________．3．(2011·广州调研)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________.4．(2011·深圳调研)如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上一点，E 为BD 的中点，⊙O 的弦AD 与BE 的延长线相交于点C ，若AB ＝18，BC ＝12，则AD ＝________.5．(2011·广州模拟)如图，过点D 作圆的切线切于B 点，作割线交圆于A ，C 两点，其中BD ＝3，AD ＝4，AB ＝2，则BC ＝________.6．如图所示，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，DE ＝CE ＋3，则CD 的长为________．7.(2011·广东实验中学质检)如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为________．8. (2011·广东)如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD＝2a 3，∠OAP ＝30°，则CP ＝________.9.如图所示，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AD ·AE 的值．10. 如图，⊙O 与⊙O ′外切于P ，两圆公切线AC ，分别切⊙O 、⊙O ′于A 、C 两点，AB 是⊙O 的直径，BE 是⊙O ′的切线，E 为切点，连AP 、PC 、BC .求证：AP ·BC ＝BE ·AC .答案:1.B2.13.解析 ∵ABCD 为圆内接四边形，∴∠PBC ＝∠ADP ，又∠P ＝∠P ，∴△BCP ∽△DAP ，∴BC AD ＝PB PD ＝13. 3. 125°.解析连接BD ，由题意知，∠ADB ＝∠MAB ＝35°，∠BDC ＝90°，故∠D ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°.4.14.解析如图，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AE ⊥BE ，又E 是 BD 的中点，∴∠BAE ＝∠EAC ，从而E 是BC 的中点，∴BE ＝EC ＝6，AB ＝AC ＝18，由CD ·CA ＝CE ·CB ，得(18－AD )×18＝6×12，故AD ＝14.5. 32 .解析 ∵∠A ＝∠DBC ，∠D ＝∠D ，∴△ABD ∽△BCD ，AD BD ＝AB BC ，解得BC ＝32. 6. 5.解析由相交弦定理知，EA ·EB ＝EC ·ED .(*)又∵E 为AB 中点，AB ＝4，DE ＝CE ＋3， ∴(*)式可化为22＝EC (CE ＋3)＝CE 2＋3CE ，∴CE ＝－4(舍去)或CE ＝1.∴CD ＝DE ＋CE ＝2CE ＋3＝2＋3＝5. 7. 355.解析延长DO 交圆O 于另一点F ，易知OD ＝1，则AD ＝AO 2＋OD 2＝ 5.由相交弦定理得，AD ·DE ＝BD ·DF ，即5·DE ＝1×3，DE ＝355. 8. 98a.解析依题AP ＝PB ＝32a ，由PD ·CP ＝AP ·PB ，得CP ＝AP 2PD ＝98a . 9.解:如图所示，连接CE ，∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线，∴PA 2＝PB ·PC .又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15.∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP .又∠P 为公共角，∴△PAB ∽△PCA .∴AB CA ＝PA PC ＝1020＝12.∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝90°.∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225.∴AC ＝65，AB ＝3 5.又∠ABC ＝∠E ，∠CAE ＝∠EAB ，∴△ACE ∽△ADB ，∴AB AE ＝AD AC .∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.10.证明由题意可知∠APC ＝90°，连BP ，则∠APB ＝90°，∴B 、P 、C 在同一直线上，即P 点在BC 上，由于AB ⊥AC ，易证Rt △APB ∽Rt △CAB .∴AB CB ＝PB AB ，即AB 2＝BP ·BC ，又由切割线定理，得BE 2＝BP ·BC ，∴AB ＝BE ，又Rt △APB ∽Rt △CAB ，∴AB CB ＝AP CA ，即AP ·BC ＝AB ·AC ，∴AP ·BC ＝BE ·AC.。

第2讲 2 圆内接四边形的性质与判定定理

课前自主导学
AC 的中点，且 AP⊥BC 于 P，求证：E，D，P，F 四点共圆．【证明】 ∵AP⊥BC，F 为 AC 的中点，
∴PF 是 Rt△APC 斜边上的中线， ∴PF＝ FC，∴∠ FPC＝∠C， ∵E、F、D 分别为 AB、AC、BC 的中点，
当堂双基达标
课堂互动探究
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(2)G、B、C、F 四点共圆．
课时作业
图 2－2－5
菜
单
新课标 ·数学选修4-1
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【思路探究】 (1)要证 D、E、F、G 四点共圆，只需找到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取 GF 的中点 H，证点 H 即为圆心． (2)要证 G、B、C、F 四点共圆，只需证∠B＝∠AFG(或
当堂双基达标
课堂互动探究
补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；(4)与线段两端点连线夹角相等(或互补)的点连同该线段两端点在内共圆．
菜单
课时作业
新课标 ·数学选修4-1
如图 2－2－6，在△ABC 中，E，D，F 分别为 AB，BC，
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内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．
课时作业
菜
单
新课标 ·数学选修4-1
如图 2－2－4 所示，已知四边形 ABCD 内接于⊙ O，延
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长 AB 和 DC 相交于点 E，EG 平分∠AED，且与 BC、AD 分别交于 F、G.

高中数学第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理（含解析）4-1(1)

【全程温习方略】2021-2021学年高中数学第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理课时作业（含解析）新人教A 版选修4-11．只有一对边平行的圆内接四边形必然是( )A ．正方形B ．菱形C ．等腰梯形D ．矩形解析：选C.只有一对边平行的四边形为梯形且又为圆内接四边形．故四边形必然是等腰梯形．2．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，那么∠BAD 和∠BCD 的度数别离为( )A ．50°，130°B ．30°，130°C ．100°，130°D ．100°，50°解析：选A.由圆周角定理，得∠BAD ＝12∠BOD ＝50°.依照圆内接四边形的性质定理，得∠BAD ＋∠BCD ＝180°， ∴∠BCD ＝130°，应选A.3．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE ＝50°，那么∠BOD ＝( )A ．75°B ．90°C ．100°D ．120°答案：C4．如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，∠ACB ＝60°，AB ＝a ，那么CD 等于( )a aa a解析：选A.∵AC为BD的垂直平分线，∴AB＝AD＝a，AC⊥BD，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan30°·AD＝3 3 a.5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝CD＝5，AC＝7，BE＝3，以下命题错误的选项是( )A．△ABE≌△DCEB．∠BDA＝45°C．S四边形ABCD＝D．图中全等的三角形共有2对解析：选D.在△ABE和△CDE中，∠CAB＝∠CDB，∠AEB＝∠DEC，AB＝CD，∴△ABE≌△DCE，故A正确；据此，也可得AE＝DE，BE＝CE＝3，∴AE＝DE＝4.∵在△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，∴AC⊥BD.∵AE＝DE，∴∠BDA＝45°，故B正确；S四边形ABCD＝2S△ABE＋S△BEC＋S△ADE＝2×12×3×4＋12×32＋12×42＝，故C 正确；在该图形中，有3对全等三角形，故D 错误．6．过点P(－1,0)，作⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，那么过A 、B 、C 的圆的方程为________．解析：∵PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴P 、A 、B 、C 四点共圆，且PC 是其直径，故此圆的方程为x2＋(y －1)2＝2，即为过A 、B 、C 的圆方程．答案：x2＋(y －1)2＝2.7．如图，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，CD 平分∠ACB ，那么AC ＝________，BD ＝________. 解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°.在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝AB2－BC2＝6.又∵CD 平分∠ACB ，即∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD ，∴BD ＝ AB22＝5 2.答案：6 5 2 8．正方形ABCD 的中心为O ，面积为50 cm2，P 为正方形内一点，且∠OPB ＝45°，PA ∶PB ＝3∶4，那么PB ＝________.解析：如图，连接OA ，OB ，那么∠OAB ＝45°，∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝∠OPB ＝45°.∴A ，B ，O ，P 四点共圆．∴∠APB＝∠AOB＝90°，即△APB为直角三角形．∴AP2＋PB2＝AB2＝50.又∵PA ∶PB ＝3∶4， ∴2516PB2＝50，即PB ＝4 2 (cm)．答案：4 2 cm 9．已知圆内接四边形ABCD 的边长别离是AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解：由于四点共圆，∴∠B ＋∠D ＝180°.∴cos ∠B ＝－cos ∠D.依照余弦定理，得AC2＝22＋62－2×2×6cos∠B ＝22＋62＋2×2×6cos∠D ， AC2＝42＋42－2×4×4cos∠D ，∴cos ∠D ＝－17，si n ∠D ＝sin ∠B ＝4 37. ∴四边形ABCD 的面积＝12×AB×BC×sin∠B ＋12×AD×DC×sin∠D ＝8 3.10．如图，锐角三角形ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点．(1)求证：A ，I ，H ，E 四点共圆；(2)假设∠C ＝50°，求∠IEH 的度数．解：(1)证明：由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ，结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90°.因此，四点A ，I ，H ，E 共圆．(2)由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，那么∠IEH ＝∠HAI.在△HIA 中，∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠ABC ＋12∠BAC＝12(∠ABC ＋∠BAC)＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C. 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ，因此∠IEH ＝12∠C. 由∠C ＝50°，得∠IEH ＝25°.11．如图，已知AD 是△A BC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB 、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)假设AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC.∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC.∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB.∴FB ＝FC.(2)证明：∵∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB.∴FBFD ＝FA FB，∴FB2＝FA·FD. (3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°. ∠D ＝30°.∵BC＝6，∴AC＝2 3 (cm)．∴AD＝2AC＝4 3 (cm)．。

圆内接四边形的性质与判定定理

第 7课圆内接四边形的性质与判定定理【学习目的】理解圆内接四边形的性质与判定定理，能熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理解题。

【学习重点】能熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理解题。

【学习难点】能熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理解题。

【过程展示】1、圆内接四边形的性质定理：定理1：定理2：2、圆内接四边形的判定定理：推论：例1、如图，⊙1和⊙O 2都经过A 、B 两点，经过点A 的直线CD 与⊙O 1交于点C ，与⊙O 2交于点D 经过点B 的直线EF 与⊙O 1交于点E ，与⊙O 2交于点F ．求证：CE ∥DF ．例2、如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC ．（1）求证：FB ＝FC ；（2）若AB 是△ABC 的外接圆的直径， ∠EAC ＝120°，BC ＝6，求AD 的长．O 2 · · O 1F E DC B AA B F C D E你还有解以上各题的好方吗？站在大家面前，勇敢地展示你的想法和解法吧！你评、我评、大家评，评出精彩，评出智慧！6．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为2∶3∶6，则∠D 的度数为________．解析：设∠A ，∠B ，∠C 分别为2x,3x,6x ，因四边形ABCD 内接于圆，∴∠D ＝180°－∠B ＝180°－3x ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝2x ＋3x ＋6x ＋180°－3x ＝360°，解得x ＝22.5°.∴∠D ＝180°－3x ＝112.5°.答案：112.5°1、如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。

若PB=1，PD=3，则BC AD 的值为。

课时作业1：二圆内接四边形的性质与判定定理

二圆内接四边形的性质与判定定理一、基础达标1．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，下列结论中正确的有( )①如果∠A ＝∠C ，则∠A ＝90°②如果∠A ＝∠B ，则四边形ABCD 是等腰梯形③∠A 的外角与∠C 的外角互补④∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的比可以是1∶2∶3∶4A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D 的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．2．如图所示，分别延长圆内接四边形ABCD 两组对边相交于E 和F 两点，如果∠E ＝30°，∠F ＝50°，那么∠A 为( )A ．55°B ．50°C ．45°D ．40°答案 B解析由∠A ＋∠ADC ＋∠E ＝180°，∠A ＋∠ABC ＋∠F ＝180°，∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∴∠A ＝12(180°－∠E －∠F )＝50°. 3．如图所示，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD 等于( )A ．144°B ．36°C ．72°D ．100°答案 A解析 ∵∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，∴可设∠BCD ＝3k ，则∠ECD ＝2k ，∵∠BCD ＋∠ECD ＝180°，∴3k ＋2k ＝180°，解得k ＝36°，∴∠BCD ＝108°，∠ECD ＝72°，∴∠A ＝72°，∴∠BOD ＝144°.4．如图所示，已知在圆内接四边形ABCD 中，AB 和DC 的延长线交于点P ，AC 和BD 相交于点E ，则图中共有相似三角形( )A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对答案 B解析 ∵∠DCE ＝∠ABE ，∠CDE ＝∠BAE ，∴△CDE ∽△BAE .同理△AED ∽△BEC .∵∠P ＝∠P ，∠CDB ＝∠BAC ，∴△PDB ∽△P AC .∵∠DCB ＋∠BCP ＝180°，∠DCB ＋∠DAB ＝180°，∴∠BCP ＝∠DAB ，∵∠P ＝∠P ，∴△PCB ∽△P AD ，∴共有4对．5．若圆内接四边形中三个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为______，最小的内角为______．答案 120° 60°解析四边形ABCD 内接于圆且三个相邻内角比为5∶6∶4，故四个角之比一定为5∶6∶4∶3，从而最大角为360°×65＋6＋4＋3＝120°，最小角为360°×35＋6＋4＋3＝60°. 6．如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝60°，则∠BAD＝________，∠BCD ＝________.答案 30° 150°解析由∠A ＝12∠BOD ＝30°， ∠BCD ＝180°－∠A ＝150°.7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，并且AD 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，AB 和DC 的延长线交⊙O 外一点E .求证：BC ＝EC .证明连接AC .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°＝∠ACE .∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠EBC ＝∠D .∵C 是弧BD 的中点，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠E ＝∠2＋∠D ＝90°，∴∠E ＝∠D ，∴∠EBC ＝∠E ，∴BC ＝EC .二、能力提升8．如图，已知ABCD 是一个以AD 为直径的圆内接四边形，分别延长AB 和DC ，它们相交于P ，若∠APD ＝60°，AB ＝5，PC ＝4，则⊙O 的面积为( )A ．26πB ．16πC ．15πD ．13π答案 D解析连接AC ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∵∠APD ＝60°，∴∠P AC ＝30°，∴AP ＝2PC ＝2×4＝8，∵AB ＝5，∴PB ＝8－5＝3，∵四边形ABCD 是以AD 为直径的圆内接四边形，∴∠BAD ＝∠PCB ，又∵∠APD ＝∠APD ，∴△PCB ∽△P AD ， ∴PC AP ＝PB PD ，即48＝3PD ，PD ＝6， ∴CD ＝PD －PC ＝6－4＝2，∴AC ＝AP 2－PC 2＝ 82－42＝4 3.在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2＋CD 2＝(4 3)2＋22＝213.∴OA ＝12AD ＝13， ∴⊙O 的面积＝π× (13)2＝13π.9．若两条直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0，(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a ＝________.答案 1或－1解析由圆内接四边形的性质，知(a ＋2)(a －1)＋(1－a )·(2a ＋3)＝0，整理得a 2＝1，∴a ＝±1.10．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB P A ＝12，PC PD ＝13，则BC AD的值为________．答案 66解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ，∴△PCB ∽△P AD ，∴PB PD ＝PC P A ＝BC AD . ∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴PB ＝12P A ，PD ＝3PC ，由PB PD ＝PC P A ，得12P A 2＝3PC 2，∴ BC AD ＝PC P A ＝66. 11．如图所示，AB 、CD 都是圆的弦，且AB ∥CD ，F 为圆上一点，延长FD 、AB 交于点E .求证：AE ·AC ＝AF ·DE .证明连接BD ，因为AB ∥CD ，所以BD ＝AC .因为A 、B 、D 、F 四点共圆，所以∠EBD ＝∠F .因为∠E 为△EBD 和△EF A 的公共角，所以△EBD ∽△EF A .所以DE AE ＝BD AF ，所以DE AE ＝AC AF，即AE ·AC ＝AF ·DE .12．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A 、C 重合)，延长BD 至E .(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；(2)若∠BAC ＝30°，△ABC 中BC 边上的高为2＋3，求△ABC 外接圆的面积．(1)证明如图，设F 为AD 延长线上一点，∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠CDF ＝∠ABC .又AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，且∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ADB ＝∠CDF .对顶角∠EDF ＝∠ADB ，故∠EDF ＝∠CDF .即AD 的延长线平分∠CDE .(2)解设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ，则AH ⊥BC .连接OC ，由题意得∠OAC ＝∠OCA ＝15°，∠ACB ＝75°，∴∠OCH ＝60°.设圆半径为r ，则r ＋32r ＝2＋3，得r ＝2，故外接圆面积为4π.三、探究与创新13．如图所示，在半径为1的⊙O中，引两条互相垂直的直径AE和BF，在EF上取点C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q.证明：四边形APQB的面积是1.证明∵AE、BF为互相垂直的两条直径，垂足O为圆心，∴AE、BF互相垂直、平分且相等，∴四边形ABEF是正方形．∴∠ACB＝∠AEF＝45°，即∠DCQ＝∠QED.∴D、Q、E、C四点共圆．连接CE、DQ，PQ，则∠DCE＋∠DQE＝180°.∵AE为⊙O的直径，∴∠DCE＝90°，∠DQE＝90°.∵∠FOE＝90°，∴DQ∥BF，∴S△BPQ＝S△BPD，∴S△ABP＋S△BPQ＝S△ABP＋S△BPD，即S四边形ABQP＝S△ABD.∵⊙O的半径为1，∴正方形ABEF的边长为2，即AB＝AF＝ 2.∴S四边形ABQP＝S△ABD＝12AB·AF＝1.。

圆内接四边形的性质精选题36道

圆内接四边形的性质精选题36道一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（）A．30°B．50°C．70°D．80°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3B．3C．4D．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是（）A．80°B．100°C．60°D．40°8．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°11．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°12．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）A．48°B．96°C．114°D．132°二．填空题（共14小题）13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝．14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝°．15．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝°．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC＝．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为．18．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝度．19．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝．20．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为．21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝°．22．如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝．23．如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝°．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝°．25．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A＝50°，则∠E+∠F＝．三．解答题（共10小题）27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．28．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．（1）求证：BD＝CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．29．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．30．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．（1）求证：AB＝AC；（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．31．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB ＝45°．求⊙O半径的长．32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．34．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的长度．35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，连接BD交AC于点P．（1）求∠EDC的度数；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．36．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．圆内接四边形的性质精选题36道参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC＝∠AOC；∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°，∴，解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，故选：C．【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．∵＝，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°【分析】先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由等腰三角形的性质求得∠DAC的度数．【解答】解：∵∠CBE＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣50°＝130°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣130°＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝＝65°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．【解答】解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（）A．30°B．50°C．70°D．80°【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3B．3C．4D．2【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．【解答】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是（）A．80°B．100°C．60°D．40°【分析】根据圆内接四边形的性质求得∠ABC＝40°，利用圆周角定理，得∠AOC＝2∠B＝80°．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣140°＝40°．∴∠AOC＝2∠ABC＝80°．故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键．8．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°【分析】首先根据∠BOD＝88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD＝180°，据此求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD＝88°，∴∠BAD＝88°÷2＝44°，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣44°＝136°，即∠BCD的度数是136°．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆内接四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．11．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．【解答】解：连接OB，如图所示，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝70°，由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝35°，故选：D．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．12．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）A．48°B．96°C．114°D．132°【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠D＝180°﹣∠B＝48°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．二．填空题（共14小题）13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝70°．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ADB＝∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝215°．【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC＝180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED＝∠CAD，然后求解即可．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝35°，∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．故答案为：215．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．15．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝155°．【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．【解答】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC＝70°．【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠DAB＝20°，∠ACB＝90°，计算即可．【解答】解：连接AC，∵点C为弧BD的中点，∴∠CAB＝∠DAB＝20°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用、圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为110°．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．【解答】解：∵∠B＝110°，∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理．18．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝38度．【分析】由已知我们可以将点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，从而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得即可．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；∵∠CAD＝76°，∴∠CBD＝∠CAD＝×76°＝38°．【点评】本题利用了同弧对的圆周角是圆心角的一半的性质求解．19．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝60°．【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC＝∠AOC；∵∠ADC＝β，∠AOC＝α；而α+β＝180°，∴，解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，故答案为：60°．【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．20．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为8．【分析】如图，连接AC，BD．由△ABC≌△ADE（SAS），推出∠BAC＝∠DAE，AC＝AE ＝4，S△ABC＝S△ADE，推出S四边形ABCD＝S△ACE，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC，BD．∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，∵AB＝AD，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×4×4＝8．故答案为8．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝130°．【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠BOD＝100°，∴∠A＝50°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．22．如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝140°．【分析】根据已知条件利用圆周角定理求出∠BAD的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可求出∠BCD的度数．【解答】解：∵∠BAD为所对的圆周角且∠BOD＝80°，∴∠BAD＝＝＝40°，又∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°，故答案为：140°．【点评】本题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理与圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键．23．如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝80°．【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝140°．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，∴∠BOD＝2∠C＝140°．故答案为：140．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．25．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD＝AB可得出△ABD是等边三角形，则DE＝AD，∠ODE＝∠ADB＝30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°．∵AD＝AB＝2，∴△ABD是等边三角形．∴DE＝AD＝1，∠ODE＝∠ADB＝30°，∴OD＝＝．故答案为【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A＝50°，则∠E+∠F＝80°．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，∴∠EDC+∠FBC＝180°，∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．三．解答题（共10小题）27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A＝∠DCE，证明△ABD≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点D作DM⊥BE于M，根据等腰三角形的性质求出BM，进而求出CM，根据正切的定义求出DM，根据正切的定义计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝∠DCE，∵∠1＝∠2，∴＝，∴AD＝DC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：过点D作DM⊥BE于M，∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，∴BE＝BC+EC＝10，∵BD＝ED，DM⊥BE，∴BM＝ME＝BE＝5，∴CM＝BC﹣BM＝1，∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM＝BM•tan∠2＝5×＝，∴tan∠DCB＝＝．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补、锐角三角函数的定义是解题的关键．28．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．（1）求证：BD＝CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB＝∠DBC求出答案；（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°﹣105°＝75°，∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝75°，∴BD＝CD；（2）解：∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，由圆周角定理，得，的度数为：60°，故＝＝＝π，答：的长为π．【点评】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理等知识，根据题意得出∠DCB的度数是解题关键．29．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；（2）过点A作AG⊥BD，分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB，根据全等三角形的性质计算．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF＝∠ADB，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，在Rt△AED和Rt△AGD中，，∴Rt△AED≌Rt△AGD，∴GD＝ED＝2，在Rt△AEC和Rt△AGB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），∴BG＝CE，∵BD＝11，∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，∴CE＝BG＝9，∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．30．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．（1）求证：AB＝AC；（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．【分析】（1）由圆内接四边形的性质，可求得∠ABC＝∠2；由于∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故∠ABC＝∠4，由此得证．（2）证△ABD∽△AEB，通过相似三角形的对应成比例线段，求出AE及DE的值．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC＝∠4，∴AB＝AC；（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB，∴，∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，∴AE＝＝，∴DE＝＝（cm）．【点评】本题综合考查了角平分线，相似三角形，圆内接四边形的性质，是中学阶段的常规题目．31．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB ＝45°．求⊙O半径的长．【分析】根据圆周角定理得∠ABC＝90°，然后在Rt△ABC利用勾股定理计算即可．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ADB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∵AB＝2，∴BC＝AB＝2，∴AC＝，∴⊙O半径的长为．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．【分析】（1）先利用圆周角定理得∠BAD＝∠BCD＝90°，则根据勾股定理可计算出BD ＝13cm，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到AB的长；（2）把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，根据旋转的性质得到∠CAE ＝∠BAD＝90°，CA＝CE，∠ABC＝∠ADE，再证明E点在CD的延长线上，于是可判断△ACE为等腰直角三角形，所以CE＝AC，从而得到结论．【解答】（1）解：∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝＝13（cm），∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∴AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD＝cm；（2）证明：把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，则∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴E点在CD的延长线上，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，而CE＝CD+DE＝CD+CB，∴BC+CD＝AC．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和旋转的性质．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．【分析】（1）连接OA，作OH⊥AC于H，根据勾股定理的逆定理得到∠AOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质解答；（2）根据圆周角定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：（1）连接OA，作OH⊥AC于H，OA2+OC2＝8，AC2＝8，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴OH＝AC＝，即点O到AC的距离为；（2）由圆周角定理得，∠B＝∠AOC＝45°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°．【点评】本题考查度数圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．34．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的长度．【分析】根据圆周角定理得出∠DAC＝∠CAB，进而利用勾股定理得出AF的值以及三角函数解答即可．【解答】解：作DE⊥AC，BF⊥AC，∵BC＝CD，∴，∴∠CAB＝∠DAC，∵∠DAB＝120°，∴∠DAC＝∠CAB＝60°，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝∠DEC＝90°，∴sin60°＝，cos60°＝，∴DE＝2，AE＝2，∵AC＝7，∴CE＝5，∴DC＝，∴BC＝，∵BF⊥AC，∴∠BF A＝∠BFC＝90°，∴tan60°＝，BF2+CF2＝BC2，∴BF＝AF，∴，∴AF＝2或AF＝，∵cos60°＝，∴AB＝2AF，当AF＝2时，AB＝2AF＝4，∴AB＝AD，∵DC＝BC，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠ADC＝∠ABC，∵ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，但AC2＝49，，AC2≠AD2+DC2，∴AB＝4（不合题意，舍去），当AF＝时，AB＝2AF＝3，∴AB＝3．【点评】此题考查圆内接四边形的性质，关键是根据圆周角定理和勾股定理以及三角函数解答．35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，连接BD交AC于点P．（1）求∠EDC的度数；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ADC＝90°，结合平角的定义可求解；（2）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值；（3）过点O作OG⊥BD于点G，由垂径定理可得BG＝DG，利用PD2+PB2＝8，可求半径为2，即可求解．【解答】解：（1）∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝90°；（2）∵∠CAE+∠E＝90°，∠CAE+∠ACD＝90°，∴∠E＝∠ACD，又∠ACE＝∠ADC＝90°，∴△ACE∽△ADC，∴，即AC2＝AD•AE．设DE＝x，则AC＝x，即（x）2＝AD（AD+x）．整理，得AD2+AD•x﹣20x2＝0．解得AD＝4x或AD＝﹣5x（舍去）．∴DC＝＝2x．∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；（3）如图，过点O作OG⊥BD于点G，由垂径定理，得BG＝DG，设BG＝DG＝m，则PD＝m+PG，PB＝m﹣PG，∵PD2+PB2＝8，∴（m+PG）2+（m﹣PG）2＝8，整理，得2m2+2PG2＝8，即m2+PG2＝4．∵∠DPC＝45°，∴OG＝PG．∴OD2＝DG2+OG2＝m2+PG2＝4，∴⊙O的半径为2．∴AC＝4．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据题意表示出AD，DC的长是解题关键．36．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．【分析】（1）如图1，先利用圆周角定理得到BD为直径，即BD＝12，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形求出AB；（2）如图2，作BH⊥AC于H，先利用圆周角定理得到BD为直径，利用勾股定理计算出BD＝，再证明△CDB为等腰直角三角形得到BC＝BD＝，接着在Rt△ABH中计算出AH＝BH＝，然后在Rt△BCH中计算出CH＝，从而得到AC 的长．【解答】解：（1）∵∠DAB＝90°∴BD是直径，∴BD＝12，∴2AB2＝144，∴AB＝；（2）如图2，连接BD，∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3，∴BD＝，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴＝，∴DC＝CB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠DAB＝90°，∴∠DCB＝90°，∴BC＝，作BH⊥AC，∵∠CAB＝45°，∴AH＝BH＝，CH＝，∴AC＝．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质．。

二圆内接四边形的性质与判定定理(优秀经典公开课教案及练习解答)

二圆内接四边形的性质与判定定理学习目标:(1) 通过对圆内接四边形性质的探究,体会观察,归纳方法在发现数学命题中的作用(2) 理解圆内接四边形的两条性质定理,能应用定理解决相关的几何问题(3) 通过对圆内接四边形判定定理的探究,进一步体会分类思想,掌握反证法(4) 理解圆内接四边形判定定理及推论,能应用定理及推论解决相关的几何问题重点:经历圆内接四边形性质定理的探究过程,理解圆内接四边形的性质与判定定理,能应用定理解决相关的几何问题教学过程:定理1 圆的内接四边形的对角互补定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.,,.,接圆这个圆叫做多边形的外内接多边形那么这个多边形叫做圆一个圆上如果多边形的顶点都在多边形我们来讨论与圆相关的在讨论了圆内的角以后?,???.,吗任意四边形都有外接圆一般地任意矩形是否有外接圆为什么圆吗那么任意正方形有外接任意三角形都有外接圆我们知道思考?,:么特征那么这样的四边形有什圆如果一个四边形内接于我们从问题的反面入手?,,52形的共同特征吗你能从中发现这些四边圆接于这组图中的四边形都内观察图探究-52-图()1()4()3()2.,,,.,,称为穷举法最后获证结论的方法一种情形分别论证对每通过情形时当问题的结论存在多种反证法在每一种情形中都运用关系进行讨论三点确定的圆的位置与我们用分类思想对点明中定理的证在圆内接四边形判定ABC D ().:,180,:0简称四点共圆在同一圆周上、、、求证中四边形假设D C B A D B ABCD =∠+∠.,,.那么就证明了命题过点到圆如果能够由条件得三点作圆、、经过点确定一个圆不在同一条直线上的三分析D O O C B A :,有且只有三种位置关系与点圆显然D O ();1在圆外点D ();2在圆内点D ().3在圆上点D ().,3也就证明了命题成立只有只要证明在假设条件下72-图推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.//:.,.,.,921212121DF CE F O E O EF B D O C O CD A B A O O 求证交于圆与交于点与圆的直线经过点于点交与圆交于点与圆的直线经过点两点、都经过与圆圆如图例-A B C D E F ••1O 2O 92-图.:.,,,1022四点共圆、、、求证边上的高的是如图例Q P B A AC FQ BC FP AB ABC CF ⊥⊥∆-102-图A B C F P Q。

高中数学第二讲直线与圆的位置关系第二节圆内接四边形的性质与判定定理课后导练

第二节圆内接四边形的性质与判定定理课后导练基础达标1.圆内接四边形ABCD中,若∠A∶∠B∶∠C∶∠D=5∶m∶4∶n,则( )A.5m=4nB.4m=5nC.m+n=9D.m+n=100°解析:圆内接四边形对角互补,∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°．∴m+n=9.答案:C2.圆内接四边形ABCD中,cosA+cosB+cosC+cosD等于( )A.0B.4C.2D.不确定解析:∵ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°．∴cosA=-cosC,cosB=-cosD.∴cosA+cosB+cosC+cosD=0.答案:A3.如图2-2-9,四边形ABCD内接于⊙O,则∠BOD等于( )图2-2-9A.140°B.110°C.130°D.150°解析:∵∠A=∠DCE=70°，∠BOD=2∠A=140°．答案:A4.如图2-2-10,在△ABC外接圆中=,D为的中点,E为CA延长线上一点,且∠EAD=114°,则∠BAD等于( )图2-2-10A.57°B.38°C.45°D.30°解析:∵=,∴∠BAD=∠1.∴∠D=180°-2∠BAD.∵∠DAE=∠DBC,∴∠1+∠2=114°．∴∠2=114°-∠1=114°-∠BAD.又∵=,∴∠C=∠2=114°-∠BAD.∵∠C+∠D=180°，∴∠180°-2∠BAD+114°-∠BAD=180°．∴∠BAD=38°．答案:B5.如图2-2-11,AB为⊙Ｏ直径,弦CD⊥AB,M为上一点,AM延长线交DC延长线于E,则能成立的是( )图2-2-11A.∠AMC=∠DCMB.∠A=∠ＥC.∠EMC=∠AMDD.∠ECM=∠AMD解析:∵AB⊥CD,∴=.∴∠ADC=∠AMD.又∠EMC=∠ADC,∴∠EMC=∠AMD.故C正确.答案:C综合运用6.如图2-2-12,四边形ABCD内接于圆,CE∥DB交AB延长线于E点,求证:BC·CD=DA·BE.图2-2-12证明:连结AC,∵=,∴∠2=∠3.∵CE∥BD,。

15-16版：二圆内接四边形的性质与判定定理

二圆内接四边形的性质与判定定理[学习目标] 1.理解圆内接四边形的两条性质定理，能应用定理解决相关的几何问题.2.理解圆内接四边形判定定理及推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题．[知识链接]判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．答案(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．[预习导引]1．圆内接多边形(1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．(2)如果四边形的四个顶点都在同一个圆上，则称该四边形为圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．2．圆内接四边形的性质定理(1)定理1：圆的内接四边形的对角互补．(2)定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．3．圆内接四边形的判定定理(1)圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)圆内接四边形的判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.要点一用圆内接四边形的性质定理解决与线段长度有关的问题例1如图，在⊙O中，AC＝AB，E是弦BC延长线上的一点，AE交⊙O于点D.求证：AC2＝AD·AE.证明如图，连接DC，AB.∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠B.又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EDC＝∠B，∴∠ACB＝∠EDC. ∴∠ADC＝∠ACE.又∵∠EAC＝∠CAD，∴△ADC∽△ACE，∴ACAE＝ADAC，∴AC2＝AD·AE.规律方法要证明等积式，因比例式是等积式的一种特殊形式，故可转化为比例式．只需找到包含AC、AD、AE的两个三角形来证明．而要证三角形相似，可借助圆内接四边形的性质，得出对应的角相等．跟踪演练1如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD·DC＝P A·BC.证明如图，连接BD.∵DP∥AC，∴∠PDA＝∠DAC.∵∠DAC＝∠DBC，∴∠PDA＝∠DBC.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAP＝∠DCB.∴△P AD∽△DCB.得P A∶DC＝AD∶BC，即AD·DC＝P A·BC.要点二利用圆内接四边形的性质定理求角例2如图，已知：AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两弦，且DE⊥AB，延长AC、ED相交于F，求证：∠FCD＝∠ACE.证明连接AE.∵∠FCD是四边形ACDE的外角，∴∠FCD＝∠AED，又AB是⊙O的直径，且AB⊥DE，∴AD＝AE，∴∠AED＝∠ACE，∴∠FCD＝∠ACE.规律方法利用圆内接四边形的性质定理求角(1)观察图形，找出圆内接四边形的对角或外角与其内对角；(2)利用圆内接四边形的性质定理1或性质定理2求出所要求的角．(3)当题目中出现圆内接四边形时，首先利用性质定理，再结合其他条件进行推理证明．跟踪演练2如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，且AC⊥BD.∠BAD＝72°，求四边形其余的各角．解∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.又∵∠BAD＝72°，∴∠BCD＝108°.又∵AC平分BD，并且AC⊥BD，∴AC是四边形ABCD外接圆的直径．∴∠ABC＝∠ADC＝90°.要点三利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆问题例3如图所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．证明(1)如图，连接GF，取GF的中点H.∵DF⊥AB，EG⊥AC，∴△DGF，△EGF都是直角三角形．又∵点H是GF的中点，∴点H到D、E、F、G的距离相等，∴点H是过D、E、F、G的外接圆的圆心，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由(1)知D、G、F、E四点共圆．由四点共圆的性质定理的推论，得∠ADE＝∠AFG.∵AD＝DB，AE＝EC，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠AFG＝∠B，∴G、B、C、F四点共圆．规律方法判断四点共圆的步骤：(1)观察几何图形，找到一定点、一对对角或一外角与其内对角；(2)判断四点与这一定点的关系；(3)判断四边形的一对对角的和是否为180°；(4)判断四边形一外角与其内对角是否相等；(5)下结论．跟踪演练3已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．证明连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠B＋∠C＝180°.因为四边形ABFE内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°.所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．要点四综合运用圆内接四边形的性质定理与判定定理解决问题例4已知CF是△ABC的边AB上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：A、B、P、Q四点共圆．证明连接PQ，在四边形QFPC中，因为PF⊥BC，FQ⊥AC，所以∠FQA＝∠FPC＝90°.所以Q、F、P、C四点共圆．所以∠QFC＝∠QPC.又因为CF⊥AB，所以∠QFC与∠QF A互余．而∠A与∠QF A也互余，所以∠A＝∠QFC.所以∠A＝∠QPC.所以A、B、P、Q四点共圆．规律方法判断四点共圆的常用方法有(1)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(2)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．跟踪演练4如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EF A≌△EGB，故∠F AE＝∠GBE.又CD∥AB，所以∠F AB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆.1．圆内接平行四边形一定是()A．正方形B．菱形C．等腰梯形D．矩形答案 D解析由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．2．若BE和CF是△ABC的边AC和AB边上的高，则________四点共圆．答案B、C、E、F解析由∠BEC＝∠BFC＝90°，知△BCE和△BCF共圆．3．试说明矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．证明如图，∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，又AC＝DB，∴OA＝OC＝OB＝OD.则点A、B、C、D到点O的距离相等，∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上．4．如图所示，AD是△ABC外角∠EAC的角平分线，AD与三角形的外接圆⊙O交于点D.求证：DB＝DC.证明∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD，由题意知A，B，C，D四点共圆，∴∠EAD＝∠BCD，又∵∠CAD＝∠CBD.∴∠DBC＝∠DCB.∴DB＝DC.1.对圆内接四边形的理解(1)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况，它们的关系可以用集合形式表示：{圆内接四边形}⊆{圆内接多边形}．(2)掌握一些常见的结论，例如，正多边形一定存在外接圆；三角形一定存在外接圆，并且三角形的外接圆的圆心(即外心)是三条边的垂直平分线的交点；圆内接梯形一定是等腰梯形等．2．判断四点共圆的基本方法(1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆；(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．。

课时作业3：二　圆内接四边形的性质与判定定理

二圆内接四边形的性质与判定定理一、基础达标1.如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()A.120°B.136°C.144°D.150°解析∵∠BCD∶∠ECD＝3∶2，∴∠ECD＝72°，∴∠BOD＝2∠A＝2∠ECD ＝144°.答案C2.在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A.4∶2∶3∶1B.4∶3∶1∶2C.4∶1∶3∶2D.以上都不对解析四边形ABCD内接于圆，故∠A＋∠C＝∠B＋∠D，所以只有B适合.答案B3.如图所示，已知在圆内接四边形ABCD中，BA的延长线和CD的延长线交于点P，AC和BD相交于点E，则图中共有相似三角形()A.5对B.4对C.3对D.2对解析由圆内接四边形的性质和圆周角定理可以判定：△ABE∽△DCE，△ADE ∽△BCE，△P AC∽△PDB，△P AD∽△PCB,共4对.答案B4.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝110°，那么∠BCD的度数为________.解析∵∠A＝12∠BOD＝12×110°＝55°，∴∠BCD＝180°－55°＝125°.答案125°5.如图，两圆相交于点A ，B ，过点A 的直线交两圆于点C ，D ，过点B 的直线交两圆于点E ，F ，连接CE ，DF ，若∠C ＝115°，则∠D ＝________. 解析如图，连接AB ，∵∠C ＝115°，∴∠ABE ＝65°， ∴∠D ＝∠ABE ＝65°. 答案 65°6.如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC . (1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长. (1)证明连接DE ，∵ACED 是圆的内接四边形， ∴∠BDE ＝∠BCA . 又∠DBE ＝∠CBA ， ∴△BDE ∽△BCA ，即有BE BA ＝DECA ，而AB ＝2AC ，∴BE ＝2DE . 又CD 是∠ACB 的平分线， ∴AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)解由条件得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t ，根据割线定理得BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )， ∴(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即AD ＝12.二、能力提升7.如图，AB是⊙O的弦，过A，O两点的圆交BA的延长线于C，交⊙O于D，若CD＝5 cm，则CB等于()A.25 cmB.15 cmC.5 cmD.52cm解析连接OA，OB，OD，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠ODB＝∠OBD.∵C，D，O，A四点共圆，∴∠OAB＝∠CDO，∠CDO＝∠OBA，∴∠CDO＋∠ODB＝∠OBA＋∠OBD，即∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB，∵CD＝5 cm，∴CB＝5 cm.答案C8.如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC 于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，∴△AEF∽△ACB，∴AC AE＝BCEF，∴2＝BCEF，∴EF＝3.答案39.如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，AC＝a，则四边形ABCD的面积为________.解析如图，连接BD，易知∠BAD＝∠ABD＝∠ADB＝∠ACB ＝∠ACD＝60°.设∠CAD＝θ，AB＝AD＝b，则∠BAC ＝60°－θ， S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12ab sin(60°－θ)＋12ab sin θ ＝12ab sin(60°＋θ)＝12ab sin ∠ABC ，在△ABC 中，由正弦定理可知 a sin ∠ABC ＝b sin ∠ACB ＝bsin 60°，∴b sin ∠ABC ＝a sin 60°.∴S 四边形ABCD ＝12·a ·a ·sin 60°＝34a 2. 答案 34a 210.四边形ABCD 是圆内接四边形，过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点.求证：BE ·AD ＝BC ·CD . 证明如图，连接AC .∵四边形ABCD 为圆内接四边形， ∴∠ADC ＝∠EBC . 又BD ∥EC ，∴∠CEB ＝∠DBA ，且∠ACD ＝∠DBA ，∴∠CEB ＝∠ACD .∴△ADC ∽△CBE .∴AD DC ＝BCBE ，即BE ·AD ＝BC ·CD . 11.如图，⊙O 中AB ︵的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点.(1)若∠PFB ＝2∠PCD ，求∠PCD 的大小；(2)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明:OG ⊥CD .(1) 解连接PB ，BC ，则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ，∠PCD ＝∠PCB ＋∠BCD .因为AP ︵＝BP ︵，所以∠PBA ＝∠PCB ，又∠BPD ＝∠BCD .所以∠BFD ＝∠PCD .又∠PFB ＋∠BFD ＝180°，∠PFB ＝2∠PCD ，所以3∠PCD ＝180°，因此∠PCD ＝60°.(2)证明因为∠PCD ＝∠BFD ，所以∠EFD ＋∠PCD ＝180°，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心.所以G 在CD 的垂直平分线上.又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD . 三、探究与创新12.如图，在正方体ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . (1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.(1)证明因为DF ⊥EC ，则∠EFD ＝∠DFC ＝90°，易得∠DEF ＝∠CDF ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DGCB ，所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF ，因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆.(2)解由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB ，连接GB ，由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB的面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝12.。

圆内接四边形的性质与判定

A
∠E＋∠F＝180°C 1 O1
E
B
CE∥DF
D
O2
F
证明：连结AB
∵ABEC是⊙O1的内接四边形， ∴∠E＋∠1＝180°
∵ADFB是⊙O2的内接四边形，
∴∠1＝∠F
D
∴∠E＋∠F＝180° A
∴CE∥DF
C
1
O1
O2
F
E
B
圆内接四边形的判定：
定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。
圆心角的和是周角
D
∴∠A＋∠C＝180°A 同理∠B＋∠D＝180° O
B
C
圆内接四边形的对角互补。
如果延长BC到E，那么 ∠DCE＋∠BCD ＝ 180° D
A
O
B
E C
又 ∠A ＋∠BCD＝ 180°
所以∠A＝∠DCE
因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角，我们把 ∠A叫做∠DCE的内对角。 D
已知:B D 1800
求证:四边形ABCD内接于圆
D 反正法：以Ｄ在圆外为例
A
D’
B
C
O
D
C
例如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。
求证：CE∥DF
D A
C
O1
O2
F
E
B
连结AB
ABEC是⊙O1 ABFD是⊙O2 的内接四边形的内接四边形
∠E＋∠1＝180°、∠1＝∠F
圆的内接四边形
的性质和判定定理
新课讲解：
若一个多边形各顶点都在同一

初中数学《圆内接四边形性质》在解题中的具体应用例题及解析

初中数学“圆内接四边形性质”在解题中的应用圆的内接四边形具有如下性质：性质1：圆内接四边形对角互补.性质2：圆内接四边形的外角等于内对角.当遇到圆内接四边形时，能为问题的解决从角的层面提供最有效的帮助，下面就具体展示一下性质的灵活应用，供学习借鉴。

1.直接应用性质，求对角的大小例1 ：如图1，四边形ABCD 内接于⊙0，若∠A =40°，则∠C =（）A .110°B .120°C .135°D .140°解析：因为四边形ABCD 内接于⊙0，且∠A 与∠C 是对角，所以∠A +∠C =180°，因为∠A =40°，所以∠C =140°，所以选D .点评：这是性质的直接性应用，应用时，抓住四点：一是确定四边形是圆的内接四边形；二是确定对角是哪一对；三是准确布列对角和为180°的等式；四是代入求值计算即可2.用性质，联手菱形，求角的大小例2：如图2，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°解法1：因为四边形ABCD 是菱形，∠D =80°所以∠ACB =21∠DCB =21（180°﹣∠D ）=50°，因为四边形AECD 是圆内接四边形，所以∠AEB =∠D =80°，所以∠EAC =∠AEB ﹣∠ACE =30°，所以选C ．解法2：因为四边形ABCD 是菱形，∠D =80°所以∠ACB =21∠DCB =21（180°﹣∠D ）=50°，因为四边形AECD 是圆内接四边形，所以∠AEC =180°-∠D =100°，所以∠EAC =180°-∠AEC ﹣∠ACE =30°，所以选C ．点评：解答时，有如下几点体会：一是熟练掌握菱形的性质，这是解题的基础；二是熟练掌握圆内接四边形的性质，这是解题的关键；三是灵活运用性质，性质选择不同，就会得到不同的解法，这是解题的灵魂和创新点所在.3、创造条件用性质，求两角的和例3、如图3，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊙O 上．若∠P ＝102°，则∠A +∠C ＝．解析：如图3，连接AB ，因为四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠BAD +∠C =180°. 因为P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，所以P A =PB ，因为∠P ＝102°，∠P AB =21（180°﹣∠P ）=39°，所以∠P AD +∠C =∠BAD +∠C +∠P AB =180°+39°=219°. 点评：构造圆内接四边形为性质应用创造条件是解题的关键，其次，熟练运用切线长的性质，等腰三角形的性质也是解题的有效支撑.4、创造条件用性质，求线段的长例4：如图4，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，若BA 平分∠DBE ，AD =5，CE =13，则AE = （）A ．3B ．32C ．43D ．23解析：如图4，连接AC ，因为BA 平分∠DBE ，所以∠1=∠2，因为∠1=∠CDA ，∠2=∠3，所以∠3=∠CDA ，所以AC =AD =5，因为AE ⊥CB ，所以∠AEC =90°，所以AE =2222)13(5-=-CE AC =23,所以选D ．点评：解答时，把握好五条脉络：一是角平分线得到的两个等角；二是圆内教师必须外角等于内对角得到的两个等角；三是同弧上的圆周角相等得到的两个等角；四是逻辑推理得到的两个等角；五是等腰三角形的判定和勾股定理的应用.5、用性质，探求三角之间的关系例5 ：如图5矩形ABCD 中，AD =8,DC =6，在对角线AC 上取点O ，以OC 为半径的圆切AD 于E ,交BC 于F ，交CD 于G .（1）求⊙O 的半径R ；（2）设∠BFE =α，∠GED =β，请写出α，β，90°三者之间的关系式（只需写出一个）并证明你的结论．解析：（1）如图5，连接OE ，则OE ⊥AD .因为四边形ABCD 是矩形，所以∠D =90°，根据勾股定理，得AC =10.因为OE ⊥AD ，CD ⊥AD ，所以OE ∥CD ，所以△AOE ∽△ACD ，所以CD OE AC AO =，所以61010R R =-,解得R =415；（2）因为四边形EFCG 是圆的内接四边形，所以∠BFE =∠EGC ，因为∠GED =90°-∠EGD , ∠EGD =180°-∠EGC ,所以∠GED =∠EGC -90°即∠GED =∠BFE -90°，所以α，β，90°三者之间的关系式为α=β+90°．点评：本题是矩形与圆及圆内接四边形相结合的开放型的综合题[2]，解答时，注意如下几点：一是熟练应用切线的性质，为平行线的生成创造条件；二是熟练驾驭平行线与相似三角形的关系，用相似渗透方程的思想确定线段的长度；三是活动圆内接四边形的性质，互余的性质，邻补角的定义综合推理确定三角之间的关系，这是解题的关键.6、用性质，探求三线段之间的关系或线段比值例6：已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图6，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；（2）如图7，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图8，若BC＝5，BD＝4，求的值．解析：（1）解法1：如图9，在AD上截取AE=AB，连接BE，因为∠BAC=120°，∠BAC 的平分线交⊙O于点D，所以∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，所以△ABE和△BCD 都是等边三角形，所以∠DBE=∠ABC，AB=BE，BC=BD，所以△BED≌△BAC，所以DE=AC，所以AD=AE+DE=AB+AC.所以应该填AB+AC=AD．点评：此法的灵魂是在较长的线段上截取一段等于其中一条线段，证明余长等于另一条线段，简称截长法，要熟练掌握.解法2：如图10，延长AB到E，使BE=AC，连接DE，因为∠BAC=120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，所以∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，所以△BCD是等边三角形，所以BD=CD，因为四边形ABDC是圆内接四边形，所以∠DBE=∠DCA，所以△BED≌△CAD，所以DE=DA，因为∠BAD=60°，所以△DAE都是等边三角形，所以AD=AE=AB+BE=AB+AC.所以应该填AB+AC=AD．点评：这种证明的方法叫做等量延长法，实质是构造两线段的和，证明和线段等于所求线段.解答时，有三个关键要把握好：一是用好圆内接四边形的外角等于内对角，为三角形的全等提供条件；二是熟练用好等边三角形的判断，为等线段的构造奠定基础；三是灵活运用三角形全等，为问题的解决提供等线段支撑.（3）AB+AC=2AD．理由如下：解法1：如图11，延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，因为四边形ABDC内接于⊙O，所以∠MBD=∠ACD，因为∠BAD=∠CAD=45°，所以BD=CD，所以△MBD≌△ACD，所以MD=AD，∠M=∠CAD=45°，所以MD⊥AD．所以AM=2AD，即AB+BM=2AD，所以AB+AC=2AD.点评：此法是顺延第一问中的解法2，关键是构造直角三角形，基础是三角形全等.解法2：如图12，过点D作ED⊥AD，垂足为D，交AC的延长线于点E,因为∠BAD=∠CAD=45°，所以BD=CD，∠AED=45°,所以AD=DE，所以AE=2AD.因为四边形ABDC内接于⊙O，ED⊥AD，CD⊥BD，所以∠ECD=∠ABD，∠BDA=∠CDE，所以△ABD≌△CED，所以AB=CE，所以AE=AC+CE=AC+AB=2AD，所以AB+AC=2AD. 点评：此法的最大特点是直角构造出了一个等腰直角三角形，让结论直接生成，利用圆内接四边形性质，互余性质得到全等三角形，从而实现解题目标.（3）如图13，延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，因为四边形ABDC内接于⊙O，所以∠NBD=∠ACD，因为∠BAD=∠CAD，所以BD=CD，所以△NBD≌△ACD，所以ND=AD，∠N=∠CAD，所以∠N=∠NAD=∠DBC=∠DCB，所以△NAD∽△CBD，所以，所以，因为AN=AB+BN=AB+AC，BC=5，BD=4，所以=．点评：用性质，特别是渗透了三角形相似，使得问题求解非常有情趣，有数学味道，从而体会数学解题的乐趣.解后反思：通过对圆内接四边形性质解题应用的探究，深深体会到如下几点：1.学习时，要重视对教材上的每一条性质的掌握，务必从准确记忆，科学把握，灵活应用三个维度去掌握和学习，确实夯实数学基础；2.通过学习，努力更多地去掌握数学的基本解题思路和基本的解题方法，掌握常见题型解题时需要构造的辅助线，使得解题方法更加灵活多样，有生命力，充满解题生机；3.通过学习，要锻炼自己的发散思维能力，通过解题的变式思考，一题多解的思维训练等方式，启迪自己的思维，在解题过程中碰撞数学智慧，探索发现数学解题智慧，切实提高自身数学素养和数学能力；4.通过学习，要牢牢树立数学知识一盘棋的思想，构建起适合自己的数学知识网，让数学知识，数学方法，数学思思，数学智慧都融入这个大棋盘，做到知识选择灵活自如，方法选择灵活自如，思想选择灵活自如，为数学创新思维点燃创新的火花.。

圆内接四边形性质及判定定理

二圆内接四边形的性质及判判断理[ 对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD 内接于⊙ O，则有：∠ A＋∠ C＝ 180°，∠ B＋∠D＝ 180 °.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠ CBE 是圆内接四边形ABCD 的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判断(1)判判断理：假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆．(2)推论：假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个极点共圆．[ 对应学生用书P21]圆内接四边形的性质[例 1]如图，AB是⊙ O的直径，弦BD ， CA 的延伸线订交于点E，EF垂直BA 的延伸线于点 F.求证：∠DEA ＝∠ DFA.[思路点拨]此题主要察看圆内接四边形判断及性质的应用．解题时，只要证A， D， E，F四点共圆后可得结论．[证明 ]连结AD.由于AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝ 90 °又.EF⊥ AB ，∠EFA＝ 90°，所以A，D ，E， F四点共圆．所以∠ DEA ＝∠ DFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相像的条件，进而证明一些比率式的建立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形 ABCD 中，已知∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数比为4∶ 3∶5，求四边形各角的度数．解：设∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数分别为 4x,3x,5x ，则由∠ A ＋∠ C ＝ 180°，可得 4x ＋ 5x ＝ 180°∴.x ＝ 20°.∴∠ A ＝ 4×20°＝80°，∠ B ＝ 3× 20°＝ 60°，∠ C ＝ 5× 20°＝ 100°，∠ D ＝ 180°－∠ B ＝ 120°.2．已知：如图，四边形 ABCD 内接于圆，延伸 AD ，BC 订交于点 E ，点 F 是 BD 的延伸线上的点，且 DE 均分∠ CDF .(1)求证： AB ＝ AC ；(2)若 AC ＝ 3 cm ， AD ＝ 2 cm ，求 DE 的长．解： (1)证明：∵∠ ABC ＝∠ 2，∠ 2＝∠ 1＝∠ 3，∠ 4＝∠ 3，∴∠ ABC ＝∠ 4.∴ AB ＝ AC.(2)∵∠ 3＝∠ 4＝∠ ABC ，∠ DAB ＝∠ BAE ，∴△ ABD ∽△ AEB.∴AB ＝ AD .AE AB∵ AB ＝ AC ＝ 3，AD ＝ 2，2∴ AE ＝AB＝9.AD 2∴ DE ＝9－ 2＝ 5(cm).2 2圆内接四边形的判断[例 2]如图，在△ ABC 中， E ， D ，F 分别为 AB ， BC ， AC 的中点，且 AP ⊥ BC 于 P.求证： E ， D ， P ， F 四点共圆．[思路点拨 ]可先连结PF ，结构四边形EDPF 的外角∠ FPC ，证明∠ FPC ＝∠ C，再证明∠ FPC ＝∠ FED 即可．[证明 ]如图，连结PF ，∵AP⊥ BC， F 为 AC 的中点，∴PF＝1 AC.2∵FC＝1 AC，2∴PF＝ FC .∴∠ FPC＝∠ C.∵E、 F、D 分别为 AB， AC， BC 的中点．∴ EF∥ CD ，ED ∥ FC.∴四边形 EDCF 为平行四边形，∴∠ FED ＝∠ C.∴∠ FPC＝∠ FED .∴ E， D， P， F 四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①假如四点与必然点等距离，那么这四点共圆；②假如四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆；③假如四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个极点共圆；④假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个极点共圆．3．判断以下各命题能否正确．(1)随意三角形都有一个外接圆，但可能不但调个；(2)矩形有独一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解： (1)错误，随意三角形有独一的外接圆；(2)正确，由于矩形对角线的交点到各极点的距离相等；(3) 错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4) 正确，由于正多边形的中心到各极点的距离相等．4．已知：在△ ABC 中， AD＝ DB ，DF ⊥AB 交 AC 于点 F ，AE＝ EC，EG⊥ AC 交 AB 于点 G.求证：(1)D 、E、 F、 G 四点共圆；(2)G、B、 C、 F 四点共圆．证明： (1) 如图，连结 GF ，由DF ⊥AB，EG⊥ AC，知∠GDF ＝∠ GEF ＝ 90°，∴ GF 中点到 D、 E、F 、 G 四点距离相等，∴ D、 E、 F、 G 四点共圆．(2)连结 DE.由 AD＝ DB ， AE＝ EC，知 DE ∥BC，∴∠ ADE＝∠ B.又由 (1)中 D、 E、 F 、 G 四点共圆，∴∠ ADE＝∠ GFE .∴∠ GFE＝∠ B.∴ G、 B、 C、 F 四点共圆 .圆内接四边形的综合应用[ 例 3] 如图，已知⊙ O1与⊙ O2订交于 A、 B 两点， P 是⊙ O1上一点， PA、PB 的延伸线分别交⊙ O2于点 D 、 C，⊙ O1的直径 PE 的延伸线交 CD 于点 M.求证： PM ⊥ CD.[思路点拨 ]⊙ O1与⊙ O2订交，考虑连结两交点A、B 得公共弦AB；PE 是⊙ O1的直径，考虑连结 AE 或 BE 得 90°的圆周角；要证PM ⊥ CD ，再考虑证角相等．[证明 ]如图，分别连结 AB， AE，∵A、B、C、 D 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ D.∵A、E、B、P 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ AEP.∴∠ AEP＝∠ D.∴A、 E、M 、 D 四点共圆．∴∠ PMC ＝∠ DAE .∵PE 是⊙O1的直径，∴ EA⊥ PA.∴∠ PMC ＝∠ DAE ＝ 90°.∴PM⊥ CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的方法大多是先判断四点共圆，此后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论建立．5.如图， P 点是等边△ ABC 外接圆的BC上一点， CP 的延伸线和AB 的延伸线交于点D，连结 BP .求证： (1) ∠D ＝∠ CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明： (1) ∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ ABC＝∠ A＝ 60°.∴∠ DBC＝ 120°.又∵四边形ABPC 是圆内接四边形，∴∠ BPC＝ 180°－∠ A＝ 120°.∴∠ BPC＝∠ DBC .又∵∠ DCB ＝∠ BCP，∴△ BCP∽△ DCB .∴∠ D＝∠ CBP.(2)由 (1)知△ BCP∽△ DCB ，∴BC＝CP.DC CB∴CB2＝ CP·CD .又CB＝ AC，∴ AC2＝ CP·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点 D，E 分别在边BC，AC 上，且 BD ＝1BC，CE＝1CA，33AD， BE 订交于点P.求证： (1) 四点 P，D ， C， E 共圆；(2)AP⊥CP.解： (1)证明：在△ ABC 中，由BD ＝1BC， CE＝1CA 知：33△ABD≌△ BCE，即∠ ADB＝∠ BEC，即∠ ADC ＋∠ BEC＝ 180°，所以四点 P，D ，C， E 共圆．(2)如图，连结DE.在△ CDE 中， CD＝ 2CE，∠ACD＝ 60°，由余弦定理知∠CED ＝90°.由四点 P， D， C， E 共圆知，∠DPC＝∠ DEC ，所以 AP ⊥CP.[ 对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A＝sin C，② sin A＋ sin C＝ 0，③ cos B＋ cos D＝ 0，④ cos B＝cos D.此中恒建立的关系式的个数是 ()A． 1B． 2C． 3D． 4解析：由于圆内接四边形的对角互补，故∠ A＝ 180°－∠ C，且∠ A，∠ C 均不为 0°或 180°，故①式恒建立，②式不建立．相同由∠ B＝180°－∠ D 知，③式恒建立．④式只有当∠B＝∠ D＝ 90°时建立．答案： B2．圆内接四边形A． 4∶ 2∶3∶ 1 C． 4∶ 1∶3∶ 2解析：由四边形ABCD 中，∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 ()B． 4∶ 3∶1∶ 2D．以上都不对ABCD 内接于圆，得∠A＋∠ C＝∠ B＋∠ D，进而只有 B 符合题意．答案： B3．如图，四边形ABCD是⊙ O 的内接四边形， E 为AB 的延伸线上一点，∠CBE＝ 40°，则∠ AOC等于 ()A． 20 °B． 40 °C． 80 °D． 100°解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠ D ＝∠CBE ＝ 40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝ 2∠D ＝80°.答案： C4．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，以下结论中正确的有()①假如∠ A＝∠ C，则∠ A＝ 90°；②假如∠ A＝∠ B，则四边形ABCD 是等腰梯形；③∠ A 的外角与∠ C 的外角互补；④∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 1∶ 2∶3∶ 4A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个解析：由“圆内接四边形的对角互补” 可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等 (亦可能有∠ A＝∠ B＝∠ C＝∠ D 的特例 )；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必然相等 (这里 1＋3≠ 2＋ 4)．所以得出①③正确，②④错误．答案： B二、填空题5． (2014 陕·西高考 )如图，△ ABC 中， BC＝ 6 ，以 BC 为直径的半圆分别交AB ， AC 于点E， F，若 AC＝ 2AE，则 EF＝ ________.解析：∵ B，C， F， E 四点在同一个圆上，∴∠AEF ＝∠ ACB，又∠ A＝∠ A，∴△ AEF∽△ ACB，∴AE＝EF，AC BC即1＝EF，∴ EF ＝ 3.2 6答案： 36．如图，直径 AB＝ 10，弦 BC ＝8，CD 均分∠ ACB，则 AC ＝______，BD＝ ________.解析：∠ ACB＝90°，∠ ADB ＝90°.在Rt△ABC 中，AB＝10，BC＝8，∴ AC＝ AB2－ BC2＝ 6.又∵ CD 均分∠ ACB.即∠ ACD＝∠ BCD，∴AD＝BD .∴ BD＝AB2＝5 2.2答案： 6 5 27．如图，点A， B，C， D 都在⊙ O 上，若∠ C＝ 34 °，则∠ AOB＝ ________，∠ ADB ＝________.解析：∵∠ C 和∠ AOB 分别是AB所对的圆周角与圆心角，∴∠ AOB＝ 2∠ C＝ 68°.∵周角是 360°，劣弧 AB 的度数为68°，∴优弧 AB 的度数为292°.1∴∠ ADB＝× 292°＝ 146°.答案： 68° 146°三、解答题8.已知：如图，E、 F 、 G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线 AC 与 BD 订交于 O 点，求证： E，F ， G， H 共圆．证明：法一：连结EF、FG、GH、HE .∵E、 F 分别为 AB、 BC 的中点，∴ EF∥ AC.同理 EH∥ BD .∴∠ HEF ＝∠ AOB.∵AC⊥ BD ，∴∠ HEF ＝ 90°.同理∠ FGH ＝ 90°.∴∠ HEF ＋∠ FGH ＝ 180°.∴ E、 F、G、 H 共圆．法二：连结 OE、 OF、 OG、OH .∵四边形 ABCD 为菱形．∴AC⊥ BD ，AB＝ BC＝ CD＝DA .∵ E、 F、G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，∴OE＝1AB， OF＝1BC，22OG＝1CD ， OH＝1DA . 22∴OE＝OF ＝ OG ＝ OH.∴E， F，G， H 在以 O 点为圆心，以 OE 为半径的圆上．故E， F ，G， H 四点共圆．9.如图， A， B， C， D 四点在同一圆上，AD 的延伸线与BC 的延伸线交于 E 点，且 EC＝ED .(1)证明： CD∥ AB；(2)延伸 CD 到 F ，延伸 DC 到 G，使得 EF＝ EG，证明： A， B， G， F 四点共圆．证明： (1) 由于 EC＝ ED，所以∠ EDC ＝∠ ECD .由于 A， B， C， D 四点在同一圆上，所以∠ EDC ＝∠ EBA.故ECD＝∠ EBA.所以 CD ∥ AB.(2)由 (1)知， AE＝ BE.由于 EF ＝EG，故∠ EFD ＝∠ EGC，进而∠ FED ＝∠ GEC.连结 AF ，BG，则△ EFA≌ △ EGB，故∠ FAE＝∠ GBE.又CD ∥AB，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠ FAB＝∠ GBA.所以∠ AFG ＋∠ GBA＝ 180°.故 A， B，G， F 四点共圆．10．如图，已知⊙ O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2 3，点 C 与点 D 分别是劣弧 AB 与优弧 ADB 上的任一点(点C、D均不与A、B重合)．(1)求∠ ACB.(2)求△ ABD 的最大面积．解： (1)连结 OA、 OB，作 OE⊥ AB， E 为垂足，则AE＝BE .Rt△ AOE 中， OA＝2.AE＝1AB＝1× 2 3＝ 3. 22AE3所以 sin ∠AOE＝＝，∴∠ AOE＝ 60°，∠ AOB＝ 2∠AOE＝ 120°.又∠ ADB＝1∠ AOB，2∴∠ ADB＝ 60°.又四边形 ACBD 为圆内接四边形，∴∠ ACB＋∠ ADB ＝ 180°.进而有∠ ACB＝180°－∠ ADB ＝120°.(2)作 DF ⊥ AB，垂足为F，则△1A B·DF ＝1× 23× DF ＝ 3DF . 22明显，当DF 经过圆心 O 时， DF 取最大值，进而 S△ABD获得最大值．此时 DF ＝ DO ＋ OF＝3， S△ABD＝3 3，即△ ABD 的最大面积是 3 3.。