运动学与动量部分习题课作业参考解答

x a = y b
风对人
30°
风对地 南
3、一质点作半径为R的变速圆周运动时的加速度大小为（V表 示任一时刻质点的速度） （D ）
4 1/ 2 ⎡ dV dV V V ⎤ V dV 2 （A） （B） （C） （D） ( ) + 2 ⎥ + ⎢ R dt R R ⎦ ⎢ dt dt ⎣ 4、某物体的运动规律为dV/dt=—KV2t，式中的K为大于零的常 数，当t=0时，初速为V。，则速度V与时间t的函数关系是 ( C )
∫
∫
v0 Rdt v0 μ ⋅ t R ) = ln(1 + s = ∫ ds = ∫ R + v0 μ ⋅ t μ R 0 0
4、质量为M的小艇在快靠岸时关闭发动机，此时的船速为V0， 设水对小船的阻力R正比于船速V，即R=KV（K为比例系数）， 求小船在关闭发动机后还能前进多远？
dV −R=m dt
m2 g − T2 = m2 a2
m1 a1 m1g m2 a' T2
a′ = a2 − (− a1 )
(m1 − m2 ) g + m2 a′ (m2 − m1 ) g + m1a′ a1 = ; a2 = ; m1 + m2 m1 + m2
m1m2 (2 g − a′) T1 = T1′ = T2 = T2′ = m1 + m2
dr = 0 得：t=0s或t=3s 代入得： r0 > r3 = 6.08m 令 dt
∴t=3s时质点到原点的距离最近。
4、质点沿半径为R的圆周运动，加速度与速度的夹角保持不 变，求质点速度随时间而变化的规律，已知初速度为v0。 解：如图为t时刻质点的运动情况，设此时其加速度与速度的 夹角为θ，则有： aτ θ a v2 dv
M mg a 30°
N’1 Mg
(m + M ) g sin θ a= 2 M + m sin θ (m + M ) g sin 2 θ ay = M + m sin 2 θ
a y = g / 3 = 3.27m ⋅ s −2
4 N1 = mg 3
3、光滑水平面上平放着半径为R的固定环，环内的一物体以 速率vO开始沿环内侧逆时针方向运动，物体与环内侧的摩擦系数 为μ，求：(1)物体任一时刻t的速率V； (2)物体从开始运动经t秒经历的路程S。
2
2
1 1 (A)V = Kt 2 + Vo (B) V = − Kt 2 + Vo 2 2
1 Kt2 1 + (C) = V 2 VO
1 Kt 2 1 =− + (D) V 2 VO
v0
∫ ∫
0
v
dV 1 Kt 2 1 = − Kt ⋅ dt⇒ = + 2 V 2 V0 V
t
二、填空： 1、一质点的运动方程x=Acosωt(SI) (1)质点运动轨道是： 直线 (2)任意时刻t时质点的加速度a= −
2
3 mV （ B） 2R
2
（ C）2 mV R
2
2
v N − mg sin θ = man = m 2 R v h = R sin θ = 2g
5 （ D） mV 2R O hθ N
2
mg
v
3、如图所示，用一斜向上的力F（与水平成30°角），将一重为G 的木块压靠竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块 向上运动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数μ的大小为( B ) (A)
r v
dv − f =m dt v2 N =m R
f = μN
(2)
v0 R ds =v= dt R + v0 μ ⋅ t
s t
v 2 dv −μ = N R dt v t dv dt = −μ 2 v0 v 0 R f 1 1 μ v0 R − =− t v= v0 v R R + v0 μ ⋅ t
−
（3）
r r r r dr = ( 2 i − 4 tj ) m ⋅ s − 2 v= dt
r r v v 1 = ( 2 i − 4 j )m ⋅ s −1
（4）
r r r dv −2 = −4 j m ⋅ s a≡ dt
r r r v 2 = ( 2 i − 8 j )m ⋅ s −1
r r r ⊥v
ln 2 。 k
dx v = kx → = kx dt
∫
2X0
X0
ln 2 dx t = ∫ kdt t = k x 0
二、选择题 1、体重身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮 的绳子各一端，他们由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对 绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点情况是( C ) (A)甲先到达 (B)乙先到达 (C)同时到达 (D)不能确定 2、一质量为m的质点，自半径为R的光滑半球形碗口由静止下 滑，质点在碗内某处的速率为V，则质点对该处的压力数值为 （ B ） （A）mV R
a2 m2g
2、在倾角为30°的固定光滑斜面上放一质量为M的楔形滑块， 其上表面与水平面平行，在其上放一质量为m的小球（如图）， M与m间无摩擦，且M=2m，试求小球的加速度及楔形滑块对斜 N N1 面的作用力。 m
mg − N1 = ma y
( N1 + Mg ) sin θ = Ma
a x = a cos θ a y = a sin θ
(Aຫໍສະໝຸດ Baidu常数)：
Aω 2 cos ω ⋅ t
π 1、 (3)任意速度为零的时刻t= k ; k = 0、 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω
2、一质点沿半径为R的圆周运动，其路程S随时间t变化的规律为 s=bt-ct2/2 (SI),式中b,c为大于零的常数，且b2＞RC (b − ct ) 2 (1)质点运动的切向加速度at= -c 法向加速度an=
2、如图所示跨过滑轮C的绳子，一端挂有重物B，另一端A被 人拉着沿水平方向匀速运动，其速率为v0=1m /s；A点离地面 的距离保持h=1.5m，运动开始时，重物在地面上的B0处，绳 AC在铅直位置，滑轮离地的高度H=10m，其半径忽略不计， 求：(1)重物B上升的运动方程 C (2)重物在t时刻的速度和加速度 解:如图建立坐标系,则t=0时刻A0C=B0C =H-h任意时刻t:重物坐标为x,即物体离地 高度为x由图可知:AC =H-h+x，而A点沿 水平方向移动距离为v0t H H-h x B0 A0 H-h+x
R
(2)满足at=an时，质点运动经历的时间:
b − Rc t= c
3、小船从岸边A点出发渡河，如果它保持与河岸垂直向前划，则 经过时间t1到达对岸下游C点；如果小船以同样速率划行，但垂直 河岸横渡到正对岸B点，则需与A、B两点联成直线成α角逆流划 行，经过时间t2到达B点，若B、C两点间距为S，则： t st 2 (1)此河宽度 l = (2) α= cos −1 ( 1 ) t2 2 2 B t 2 − t1 ut2 S C
r Δr = 0
− v v=0
O
由 s = π ⋅ t 2 + π ⋅ t = 2πR = 6 ⋅ 28 m 故平均速率
解得：t=1s
ds （2） v = = 2π ⋅ t + π dt
s v = = 6 ⋅ 28m ⋅ s −1 t
t=1s时
v = 3π = 9.42 m ⋅ s −1
瞬时速度大小等于瞬时速率，方向沿轨道切线指向运动一方。 dv −2 v 2 (2π ⋅ t + π ) 2 aτ = = 2π = 6 ⋅ 28m ⋅ s an = = = 9π 2 dt R R 2 2 −2 a = aτ + an ≈ 89m ⋅ s
dV − KV = m dt dV dV dx dV = ⋅ =V dt dx dt dx
dV − kV = mV dx x 0 M M x = ∫ dx = ∫ − dV = V0 K K V0 0
应用动量定理
∫ Fdt = 0 − MV
0
t
0
=
t 0
− K ∫ V dt = − Kx
M x = V0 K
μ ≥1 2
(B) μ ≥1
3
(C)
μ ≥2 3
(D)
2
3、一质点在OXY平面内运动，运动学方程为： x=2t, y=19-2t2 (1)质点的运动轨道方程 (2)写出t=1s和t=2s时刻质点的位矢；并计算这一秒内质点的平 均速度； (3)t=1s和t=2s时刻的速度和加速度； (4)在什么时刻质点的位矢与其速度恰好垂直？这时，它们的x、 y分量各为多少？ (5)在什么时刻，质点离原点最近？距离是多少？ 解：(1)轨道方程
第一章习题课课堂练习（3） 1、一质点在半径R=1米的圆周上按顺时针方向运动，开始时 位置在A点，如图所示，质点运动的路程与时间的关系为 S=πt2+ π t(SI制)试求：(1)质点从A点出发，绕圆运行一周所经 历路程、位移、平 均速度和平均速率各为多少？ A R (2)t=1s时的瞬时速度、瞬时速率、瞬时加速度各为多少？ 解（1） s = 2πR = 6 ⋅ 28m
dv dv dx dv a= = ⋅ = v = −2 x dx dt dx dt
vdv = −2 xdx
∫ vdv = ∫ − 2 xdx
4 0
v
x
2 x + v − 16 = 0
2 2
第二章动量守恒习题课课堂练习（6） 1、一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为m1的物体，另一 边穿在质量为m2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱体可沿绳滑动，今 看到绳子从圆柱细孔中加速上升，圆柱体相对于绳子以匀加速度 a′下滑，求m1、m2相对地面的加速度、绳子的张力以及柱体与 绳子的摩擦力，（绳的质量，滑轮的质量以及滑轮转动摩擦都不 计） m1 g − T1 = m1 a1 T1
vt 1 = l
ut 1 = s
vt2
vt2 cos α = l vt2 sin α = ut2
α
l
vt1 v ut1
A
vt1 sin α = ut1
l sin α = s
三、计算题： 1、一质点沿一直线运动，其加速度为a=-2x，式中x的单位为 m , a的单位为m/s2，求该质点的速度v与位置的坐标x之间的关 系。设x=0时，v0=4m·s-1。 解：
有
r r r r r r 2 r ⋅ v = 0 [2ti + (19 − 2t ) j ]⋅ (2i − 4tj ) = 0
x 0 = 0m; y 0 = 19m
解得：t=0s: t=3s:
x 3 = 6m; y 3 = 1m
x 2 + y 2 = 4t 2 + (19 − 2t 2 ) 2
（5）质点到原点的距离 r =
B
( H − h) 2 + ( v 0 t ) 2 = ( H − h + x ) 2 v 0 = 1m ⋅ s −1 ; H = 10m; h = 1.5m
v0t h A
dx t v= = dt t 2 + 72.25
dv a= = dt 72.25 ( t 2 + 72.25)
3 2
x = t + 72.25 − 8.5(m)
动量守恒习题课后作业（7） 一、填空 1、质量为m的质点沿X轴正向运动：设质点通过坐标点为X时 2 的速度为kx（k为常数），则作用在质点的合外力F＝ 。
mk x
质点从X＝X0到X＝2X0处所需的时间t＝
v = kx
F = ma = mkv = mk x
2
dv kdx a= = = kv dt dt
r （2）r = 2ti + (19 − 2t ) j
r r r r r Δr = r2 − r1 = ( 2i − 6 j )m
r r r r1 = ( 2i + 17 j )m
1 2 y = 19 − x 2 r r 2
r r r r2 = (4i + 11 j )m
r r r v Δr v= = ( 2 i − 6 j )m ⋅ s − 1 Δt
tan θ =
2
n
aτ
aτ =
dt
;an =
R
an a O
v dv = tan θ R dt
dv ∫ v2 = v0
v
dv 1 = ctgθdt 2 R v
∫
0
t
1 ctgθdt R
v0 R v= R − v0tctgθ
第一章习题课后作业（4）
一、选择题： 1、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 （B ） r = at 2 i + bt 2 j （式中，a，b为常量）则该质点作： (A)匀速直线运动 (B)变速直线运动 (C)抛物线运动 (D)一般曲线运动 2、某人骑自行车以速率V向西行驶，今有风以相同速率从北偏 东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？ （C ） （A）北偏东30° (B)南偏东30° 北 (C)北偏西30° (D)西偏南30° 西 人对地 东