利用阿氏圆求几何最值应用举例一

阿氏圆及其应用举例（1）

一、什么是阿氏圆？

已知平面上两点A 、B ，则所有符合

＝k （k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由

古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．

二、阿氏圆基本解法：构造三角形相似．

如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、

BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1

2

PA PB 的最小值为__________．

E

A

B C D

P

M

P

D

C

B

A

分析：在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM 、PC ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=1

2PA ．问

题转化为PM+PB 最小值，连BM 即可． 三、阿氏圆应用举例

例1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则AP +BP 的最小值为（ ） A ．7

B ．5

C ．

D ．

B P

O

解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．

∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴＝，

∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴＝＝，∴PM＝PA，

∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM＝＝5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．

例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则AP+BP的最小值为（）

A．B．6C．2 D．4

解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，

又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．

要使AP+BP最小，只要AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，

即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP 的最小值为，故选：A．

例3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．

解：∵2AD+3BD=

2

3

3

AD BD

⎛⎫

+

⎪

⎝⎭

，∵求

2

3

AD BD

+最小值即可,

在CA上截取CM，使得CM＝4，连接DM，BM．

∵CD＝6，CM＝4，CA＝9，∴CD2＝CM•CA ，∴＝，

∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD ，∴＝＝，∴DM ＝AD ，∴AD+BD＝DM+BD，∵DM+BD≥BM，

在Rt△CBM中，∵∠CMB＝90°，CM＝4，BC＝12，∴BM ＝＝4，

∴AD+BD≥4，∴AD+BD的最小值为4．

例4、如图，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC

的最小值为

．

A

B C

D

P

解：如图2，在AB 上截取BF＝2，连接PF，PC，

∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，∴＝＝，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，

∴＝＝，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC 的值最小，∴CF＝＝＝2，∴AP+PC的值最小值为2，

例5、（2019•路桥区一模）如图，在扇形OCD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A在OD上，AD＝1，点B 为OC的中点，点E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是．

解：如图，延长OC至F，使得CF＝OC＝3．连结EF，OE，

∵，∠EOB为公共角，∴△OBE∽△OEF，∴，∴2BE＝EF

∴AE+2BE＝AE+EF，即A、E、F三点共线时取得最小值.即由勾股定理得：AF＝＝.

例6、如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC 的最大值为．

解：在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵＝2，＝2，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，

当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝＝5．

三、阿氏圆巩固练习

1、（2019•郫都区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上

有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是．

解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝2，连接FD，AF．

∴CD＝4，CF＝2，CB＝8，∴CD2＝CF•CB，∴＝，

∵∠FCD＝∠DCB，∴△FCD∽△DCB，∴＝＝，∴DF＝BD，

∴BD+AD＝DF+AF，∵DF+AD≥AF，AF＝＝2，∴BD+AD的最小值是2，2、（2019秋•玄武区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为．