2019届江苏省南通市高三第一次模拟考试数学试卷及答案

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南通市2019届高三一模数学试卷及答案

南通市2019届高三一模数学试卷 (满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝ .2. 已知复数z ＝2i1－i－3i (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 .3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：次数 2 3 4 5 人数2015105则平均每人参加活动的次数为 .4. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 .5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 .6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的体积为 cm 3.7. 若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线为l ，直线l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝6，则p 的值为 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x ＋t 与曲线y ＝a sin x ＋b cos x(a ，b ，t ∈R )相切于点(0，1)，则(a ＋b )t 的值为。

10. 已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：① 数列{|a n |}是等比数列； ② 数列{a n a n ＋1}是等比数列；③ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； ④ 数列{lg a 2n }是等比数列.其中正确的命题有个.11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x ).当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为 .12. 在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，AB →·AC →＝3，AC →·AD →＝2，则|AC →＋2AD →|的最小值为 .13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P(m ，0)的直线l ，直线l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 .14. 已知函数f(x)＝(2x ＋a)(|x －a|＋|x ＋2a|)(a<0).若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2 019的x 的值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点.已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA ＝DP.求证：(1) MN∥平面PBC；(2) MD⊥平面PAB.16. (本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a cos B＝2b cos A，cos A＝3 3.(1) 求角B的值；(2) 若a＝6，求△ABC的面积.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B.(1) 已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；(2) 已知△ABF 的外接圆的圆心在直线y ＝－x 上，求椭圆的离心率e 的值.18. (本小题满分16分)如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB ，AD 的长分别为2 3 m 和4 m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，∠COD ＝2π3.(1) 求图1中拱门最高点到地面的距离； (2) 现欲以点B 为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC 与地面水平线l 所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax＋ln x(a ∈R ).(1) 讨论函数f (x )的单调性；(2) 设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若函数f (x )有两个不相同的零点x 1，x 2. ① 求实数a 的取值范围；② 证明：x 1f ′(x 1)＋x 2f ′(x 2)>2ln a ＋2.20. (本小题满分16分)已知等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }满足k ＝1n (b k a 2n ＋1－2k )＋2a n ＝3(2n －1)(n ∈N *).① 证明：{b n }为等比数列；② 求集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫（m ，p ）|a m b m＝3a p b p，m ，p ∈N *.2019届高三年级第一次模拟考试(九)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，且(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002，求矩阵M .[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2.求： (1) 直线l 的直角坐标方程；(2) 直线l 被曲线C 截得的线段长.C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤1，求证：1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1≥.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 553等.显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.(1) 求X为“回文数”的概率；(2) 设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).23. (本小题满分10分)设集合B是集合A n＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集.记集合B中所有元素的和为S(规定：集合B为空集时，S＝0).若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”.求：(1) 集合A1的“和谐子集”的个数；(2) 集合A n的“和谐子集”的个数.南通市2019届高三一模数学参考答案1. {0，1，3}2. 53. 34. 75. 23 6. 547. －6 8. 26 9. 4 10. 3 11. 2 12. 2 5 13. ⎝⎛⎭⎫－4，43 14. 337 15. (1) 在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点，所以MN ∥AD.(2分) 又底面ABCD 是矩形，所以BC ∥AD.所以MN ∥BC.(4分)又BC ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以MN ∥平面PBC.(6分) (2) 因为底面ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊂底面ABCD ，所以AB ⊥侧面PAD.(8分) 又MD ⊂侧面PAD ，所以AB ⊥MD.(10分)因为DA ＝DP ，又M 为AP 的中点，从而MD ⊥PA.(12分)又PA ，AB 在平面PAB 内，PA ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面PAB.(14分) 16. (1) 在△ABC 中，因为cos A ＝33，0<A<π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝63.(2分) 因为a cos B ＝2b cos A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A cos B ＝2sin B cos A.所以cos B ＝sin B.(4分)若cos B ＝0，则sin B ＝0，与sin 2B ＋cos 2B ＝1矛盾，故cos B ≠0. 于是tan B ＝sin Bcos B ＝1.又因为0<B<π，所以B ＝π4.(7分)(2) 因为a ＝6，sin A ＝63，由(1)及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得663＝b22，所以b ＝322.(9分)又sin C ＝sin (π－A －B) ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63×22＋33×22 ＝23＋66.(12分) 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×322×23＋66＝6＋324.(14分)17. (1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，所以c a ＝12，则a ＝2c.因为线段AF 中点的横坐标为22，所以a －c 2＝22.所以c ＝2，则a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝6. 所以椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.(4分)(2) 因为点A(a ，0)，点F(－c ，0)，所以线段AF 的中垂线方程为x ＝a －c2.又因为△ABF 的外接圆的圆心C 在直线y ＝－x 上，所以点C ⎝⎛⎭⎫a －c 2，－a －c 2.(6分) 因为点A(a ，0)，点B(0，b)，所以线段AB 的中垂线方程为：y －b 2＝ab ⎝⎛⎭⎫x －a 2. 由点C 在线段AB 的中垂线上，得－a －c 2－b 2＝a b ⎝⎛⎭⎫a －c 2－a 2，整理得，b(a －c)＋b 2＝ac ，(10分)即(b －c)(a ＋b)＝0.因为a ＋b>0，所以b ＝c.(12分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c2＝22.(14分)18. (1) 如图1，过点O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点O 1，O 2，交劣弧CD 于点P ，O 1P 的长即为拱门最高点到地面的距离.在Rt △O 2OC 中，∠O 2OC ＝π3，CO 2＝3，所以OO 2＝1，圆的半径R ＝OC ＝2.所以O 1P ＝R ＋OO 1＝R ＋O 1O 2－OO 2＝5. 故拱门最高点到地面的距离为5 m .(4分)(2) 在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离.由(1)知，在Rt △OO 1B 中，OB ＝OO 21＋O 1B 2＝2 3.以B 为坐标原点，地面所在的直线为x 轴，建立如图2所示的坐标系.① 当点P 在劣弧CD 上时，π6<θ≤π2.由∠OBx ＝θ＋π6，OB ＝23，由三角函数定义，得点O ⎝⎛⎭⎫23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，则h ＝2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6.(8分) 所以当θ＋π6＝π2即θ＝π3时，h 取得最大值2＋2 3.(10分)② 如图3，当点P 在线段AD 上时，0≤θ≤π6.设∠CBD ＝φ，在Rt △BCD 中， DB ＝BC 2＋CD 2＝27，sin φ＝2327＝217，cos φ＝427＝277.由∠DBx ＝θ＋φ，得点D(27cos (θ＋φ)，27sin (θ＋φ)).所以h ＝27sin (θ＋φ)＝4sin θ＋23cos θ.(14分)又当0<θ<π6时，h′＝4cos θ－23sin θ>4cos π6－23sin π6＝3>0.所以h ＝4sin θ＋23cos θ在⎣⎡⎦⎤0，π6上递增. 所以当θ＝π6时，h 取得最大值5.因为2＋23>5，所以h 的最大值为2＋2 3.故h ＝⎩⎨⎧4sin θ＋23cos θ， 0≤θ≤π6，2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， π6<θ≤π2.艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2＋23)m .(16分)19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x －ax 2. ① 当a ≤0时，f′(x)>0成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)为增函数；(2分) ② 当a>0时，(ⅰ) 当x>a 时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(a ，＋∞)上为增函数； (ⅱ) 当0<x<a 时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，a)上为减函数.(4分) (2) ① 由(1)知，当a ≤0时，函数f(x)至多一个零点，不合题意；当a>0时，f(x)的最小值为f(a)，依题意知f(a)＝1＋ln a<0，解得0<a<1e.(6分)一方面，由于1>a ，f(1)＝a>0，函数f(x)在(a ，＋∞)为增函数，且函数f(x)的图象在(a ，1)上不间断.所以函数f(x)在(a ，＋∞)上有唯一的一个零点.另一方面，因为0<a<1e ，所以0<a 2<a<1e .f(a 2)＝1a ＋ln a 2＝1a ＋2ln a ，令g(a)＝1a ＋2ln a ，当0<a<1e 时，g′(a)＝－1a 2＋2a ＝2a －1a 2<0，所以f(a 2)＝g(a)＝1a＋2ln a>g ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2>0.又f(a)<0，函数f(x)在(0，a)为减函数，且函数f(x)的图象在(a 2，a)上不间断，所以函数f(x)在(0，a)有唯一的一个零点.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1e .(10分) ② 设p ＝x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)＝1－a x 1＋1－a x 2＝2－⎝⎛⎭⎫a x 1＋a x 2. 又⎩⎨⎧ln x 1＋ax 1＝0，ln x 2＋a x 2＝0，则p ＝2＋ln (x 1x 2).(12分) 下面证明x 1x 2>a 2.不妨设x 1<x 2，由①知0<x 1<a<x 2.要证x 1x 2>a 2，即证x 1>a 2x 2. 因为x 1，a 2x 2∈(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数，所以只要证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 1).又f(x 1)＝f(x 2)＝0，即证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2).(14分)设函数F(x)＝f ⎝⎛⎭⎫a 2x －f(x)＝x a －a x－2ln x ＋2ln a(x>a). 所以F′(x)＝（x －a ）2ax 2>0，所以函数F(x)在(a ，＋∞)上为增函数.所以F(x 2)>F(a)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2)成立.从而x 1x 2>a 2成立.所以p ＝2＋ln (x 1x 2)>2ln a ＋2，即x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)>2ln a ＋2成立.(16分)20. (1) 设等差数列{a n }的公差为d.因为等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝4，8a 1＋8×72d ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n.(3分)(2) ① 设数列{b n }的前n 项和为B n .由③－④得3(2n －1)－3(2n －1－1)＝(b 1a 2n －1＋b 2a 2n －3＋…＋b n －1a 3＋b n a 1＋2n)－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝[b 1(a 2n －3＋2)＋b 2(a 2n －5＋2)＋…＋b n －1(a 1＋2)＋b n a 1＋2n]－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝2(b 1＋b 2＋…＋b n －1)＋b n ＋2＝2(B n －b n )＋b n ＋2.所以3·2n －1＝2B n －b n ＋2(n ≥2，n ∈N *)，又3(21－1)＝b 1a 1＋2，所以b 1＝1，满足上式.所以2B n －b n ＋2＝3·2n －1(n ∈N *)，⑤(6分)当n ≥2时，2B n －1－b n －1＋2＝3·2n －2，⑥由⑤－⑥得，b n ＋b n －1＝3·2n －2.(8分)b n －2n －1＝－(b n －1－2n －2)＝…＝(－1)n －1(b 1－20)＝0，所以b n ＝2n －1，b n ＋1b n＝2，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.(10分)② 由a m b m ＝3a p b p ，得m 2m －1＝3p 2p －1，即2p －m ＝3p m . 记c n ＝a n b n ，由①得，c n ＝a n b n ＝n 2n －1，所以c n ＋1c n ＝n ＋12n≤1，所以c n ≥c n ＋1(当且仅当n ＝1时等号成立). 由a m b m ＝3a p b p，得c m ＝3c p >c p ，所以m <p .(12分)设t ＝p －m (m ，p ，t ∈N *)，由2p －m ＝3p m ，得m ＝3t 2t －3. 当t ＝1时，m ＝－3，不合题意；当t ＝2时，m ＝6，此时p ＝8符合题意；当t ＝3时，m ＝95，不合题意；当t ＝4时，m ＝1213<1，不合题意. 下面证明当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3<1. 不妨设f (x )＝2x －3x －3(x ≥4)，则f ′(x )＝2x ln 2－3>0，所以函数f (x )在[4，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )≥f (4)＝1>0，所以当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3<1，不合题意. 综上，所求集合{(m ，p )|a m b m ＝3a p b p，m ，p ∈N *}＝{(6，8)}.(16分) 21. A. 由题意知(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002，则MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012.(4分) 因为N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，则N －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(6分) 所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4001.(10分) B. (1) 直线l 的极坐标方程可化为ρ(sin θcos π4－cos θsin π4)＝2，即ρsin θ－ρcos θ＝2. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(4分)(2) 曲线C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)的普通方程为x 2＝y . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，x －y ＋2＝0得x 2－x －2＝0，所以直线l 与曲线C 的交点A (－1，1)，B (2，4).(8分)所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ＝（－1－2）2＋（1－4）2＝3 2.(10分)C. 由柯西不等式，得[(a 2＋1)＋(b 2＋1)＋(c 2＋1)](1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1)≥(a 2＋11a 2＋1＋b 2＋11b 2＋1＋c 2＋11c 2＋1)2＝9，(5分) 所以1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1≥9a 2＋b 2＋c 2＋3≥91＋3＝94.(10分) 22. (1) 记“X 是‘回文数’”为事件A.9个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.所以事件A 的概率P(A)＝29.(3分) (2) 根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2.由(1)得P(A)＝29.(5分) 设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立. 根据已知条件得，P(B)＝20C 29＝59. P(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝(1－29)×(1－59)＝2881； P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－29)×59＋29×⎝⎛⎭⎫1－59＝4381； P(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝29×59＝1081(8分) 所以，随机变量ξξ0 1 2 P 2881 4381 1081所以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)＝0×2881＋1×4381＋2×1081＝79.(10分) 23. (1) 集合A 1＝{1，2，3}的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，其中所有元素和为3的整数倍的集合有∅，{3}，{1，2}，{1，2，3}，所以A 1的“和谐子集”的个数等于4.(3分)(2) 记A n 的“和谐子集”的个数等于a n ，即A n 有a n 个所有元素和为3的整数倍的子集；另记A n 有b n 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有c n 个所有元素和为3的整数倍余2的子集.由(1)知，a 1＝4，b 1＝2，c 1＝2.集合A n ＋1＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n ，3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)}的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1))：第一类：集合A n ＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n}的“和谐子集”，共a n 个；第二类：仅含一个元素3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个；同时含两个元素3n ＋1，3n ＋2的“和谐子集”，共a n 个；同时含三个元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个；第三类：仅含一个元素3n ＋1的“和谐子集”，共c n 个；同时含两个元素3n ＋1，3(n ＋1)的“和谐子集”，共c n 个；第四类：仅含一个元素3n ＋2的“和谐子集”，共b n 个；同时含有两个元素3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共b n 个，所以集合A n ＋1的“和谐子集”共有a n ＋1＝4a n ＋2b n ＋2c n 个.同理得b n ＋1＝4b n ＋2c n ＋2a n ，c n ＋1＝4c n ＋2a n ＋2b n .(7分)所以a n ＋1－b n ＋1＝2(a n －b n )，a 1－b 1＝2，所以数列{a n －b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.所以a n －b n ＝2n .同理得a n －c n ＝2n .又a n ＋b n ＋c n ＝23n ，所以a n ＝23×2n ＋×23n (n ∈N *).(10分)。

2019届江苏南通市高三数学模拟试题答案

参考答案1、 {12}-，2、3-3、1-4、1455、126、(20)(2)-+∞U ，，7、14 8、2 9、73π 10、158- 11、43 12、6 13、13- 14、26215、（1）π3C =．（2）39sin 26B =．16、略17、（1）椭圆C 的方程为22143y x +=．（2）若1l 的斜率为0，则463PQ =，2MN =，所以△PQN的面积为463，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0．设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得22(34)880k x kx ++-=，设()11P x y ，，()22Q x y ，，则2124262134k k x k--⋅+=+，2224262134k k x k -+⋅+=+，所以221212()()PQ x x y y =-+-22212246121134k k k x x k+⋅+=+-=+．直线2l 的方程为11y x k =-+，即0x ky k +-=，所以． 22222111k MN k k=-=++ 所以△PQN的面积12S PQ MN =⋅2222461211232341k k k k +⋅+=⨯⋅=++，解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． 18、（1）方法一：建立直角坐标系四边形ABA F '的面积为24m 3．方法二：设ABF θ∠=，则2ABA θ'∠=．在直角△ABD 中，3tan 24AD AB θ==，所以22tan 341tan θθ=-，解得1tan 3θ=或tan 3θ=-（舍去）．所以2tan 3AF AB θ==．所以△ABF 的面积为21222m 233⨯⨯=，所以四边形ABA F '的面积为24m 3．（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系．设AE a =，AF b =，()00A x y '，，则直线EF 的方程为0bx ay ab +-=，因为点A ，A '关于直线EF 对称，所以0000022y ax b bx ay ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，，解得20222a b y a b =+．因为四边形AEA F '的面积为3，所以3ab =，所以3043232333a y a a a==++．因为02a <≤，302b <≤，以2323a ≤≤．设33()f a a a =+，2323a ≤≤． 244(3)(3)(3)9()1a a a f a a a++-'=-=，令A B CDFE xy()0f a '=，得3a =或3a =-（舍去）．列表如下：当3a =时，()f a 取得极小值，即最小值433，所以0y 的最大值为32，此时点A '在CD 上，3a =，1b =．答：点A '到AB 距离的最大值为3m 2．方法二：设AE a =，AEF θ∠=，则tan AF a θ=．因为四边形AEA F '的面积为3，所以3AE AF ⋅=，即2tan 3a θ=，所以23tan a θ=．过点A '作AB 的垂线A T '，垂足为T ，则sin2sin2sin2A T A E AE a θθθ''=⋅=⋅= 22224332232sincos 2tan 33sin cos tan 11a a a a a a a θθθθθθ⨯=⋅=⋅=⋅=++++．因为02AE <≤，302AF <≤，所以2323a ≤≤．（下同方法一）19、（1）由11(2)(21)n n n n na a a a ---=-，得1122n n n a a -=+-，得()11121n n n n a a -⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦，即12n n b b -=因为1=3a ，所以11121=03b a =--≠，所以12n n bb -=（2n ≥），所以{}n b 是以1b 为首项，2为公比等比数列．（2）① 设111a λ-=，由（1）知，12n n b b -=，所以21121222n n n n b b b b ---====L ，即112n nn a λ--=⋅，所以112k k k a λ-=⋅+．因为1k a ，11k a +，21k a +成等差数列，则11(2)(22)2(21)k k k k k k λλλ-+⋅++⋅++=⋅++，所以120k λ-⋅=，所以0λ=，所以1n n a =，即1n a n=．② 要证111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-，即证111()ln 2n n n a a n +++>，即证1112ln 1n n n n ++>+．设1n t n +=，则111111t t t n n t t -+=-+=-+，且1t >，从而只需证，当1t >时，12ln t t t ->．设1()2ln f x x x x=--（1x >），则22121()1(1)0f x x x x '=+-=->，所以()f x 在(1)+∞，上单调递增，所以()(1)0f x f >=，即12ln x x x ->，因为1t >，所以12ln t t t ->，所以，原不等式得证． 20、（1）()f x 的定义域为()()110e e --+∞，，U ．由， 222112(1ln )2(ln )2()(1ln )(1ln )ax x ax ax x x f x x x +-⋅+'==++ 令()0f x '>，因为0a >，得12e x ->，因为112ee -->，()f x 的单调增区间是()12e -+∞，． a2333⎡⎫⎪⎢⎣⎭，3(32⎤⎦， ()f a ' -0 +()f a单调递减极小值单调递增ABCDFET（2）当0a <时，1(1)02e b f a -=<<，不合题意；当0a >时，令()0f x '<，得10e x -<<或112e e x --<<，所以()f x 在区间()10e-，和()112ee--，上单调递减．因为()1121e e 2--∈，，且()f x 在区间()12e-+∞，上单调递增，所以()f x 在12e x -=处取极小值2e a ，即最小值为2e a ．若12x ∀≥，1()2e b f x -≥，则122e e b a -≥，即e b a ≥．不妨设0b >，则e b b b a ≤．设()e bb g b =（0b >），则1()e b b g b -'=．当01b <<时，()0g b '>；当1b >时，()0g b '<，所以()g b 在()01，上单调递增；在()1+∞，上单调递减，所以()(1)g b g ≤，即1e ebb ≤，所以b a 的最大值为1e ．（3）由（2）知，当0a >时，()f x 无极大值，当0a <时，()f x 在()10e -，和()112e e--，上单调递增；在()12e -+∞，上单调递减，所以()f x 在12e x -=处取极大值，所以122(e )2ea f -==-，即e a =-．设()()e x F x f x =+，即2e ()e 1ln xx F x x=-+，当()10e x -∈，，1ln 0x +<，所以()0F x >；当()1e x -∈+∞，，2e (12ln )()e (1ln )x x x F x x +'=-+，由（2）知，e e x x ≤，又212ln (1ln )x x ++≤，所以()0F x '≥，且()F x 不恒为零，所以()F x 在()1e -+∞，上单调递增．不等式()e 0x f x +<，即为()0(1)F x F <=，所以1e 1x -<<，即不等式的解集为()1e 1-，． 21A 、由题意得，11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AA ，即2122100101a c a dac b d bd b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1120a b c d ====，，，，即矩阵1201-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．设()P x y ，为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点()P x y '''，，则 1201x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩，由已知条件可知，()P x y '''，满足21y x =+，整理得：2510x y -+=，所以曲线C 的方程为2510x y -+=．21B 、（1）分别将()π42A ，，()5π4B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，，所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r += 又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线AB=r21C 、因为关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，所以164(1)0a a ∆=--+≥，即41a a -+≤ 当1a ≥时，421a -≤，得512a ≤≤；当01a <<时，1≤4，恒成立，即01a <<；当0a ≤时，412a -≤，得032a -≤≤，综上：所求a 的取值范围为3522a -≤≤．22、（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）每个人积分不低于9分的概率为59．()()3464=0=9729P ξ=；()()()21354240=1=C 99729P ξ=；()()()22354300=2=C 99729P ξ=；()()35125=3=9729P ξ=．所以，随机变量ξ的概率分布列为所以642403001255()01237297297297293E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．所以，随机变量ξ的数学期望为53．23、（1）由201234444441111153P C C C C C =-+-+=，2123444441234103Q C C C C =-+-+=，所以2220P Q -=．（2）设n n T nP Q =-，则01221232222222221232()()n nn n n n n n n n n n n n n T C C C C C C C C =-+-⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+ 0123222222123nn n n n nn n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ① 因为222k n k n n C C -=，所以2212223022222123n n n n n n n n n n n n n n T C C C C C -------=-+-+⋅⋅⋅+0123222222123nn n n n n n n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ② ①+②得，20T =，即0n n T nP Q =-=，所以0n n nP Q -=．。

2019届江苏省南通市高三第一次模拟考试数学(理)

2019届江苏省南通市高三第一次模拟数学理科(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1. 已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝ . 2. 已知复数z ＝2i1－i－3i (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 .3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：次数 2 3 4 5 人数2015105则平均每人参加活动的次数为 .4. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 .5.有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 .6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的体积为 cm 3.7. 若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线为l ，直线l 与双曲线x24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝6，则p 的值为 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x ＋t 与曲线y ＝a sin x ＋b cos x(a ，b ，t ∈R )相切于点(0，1)，则(a ＋b )t 的值为。

10. 已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：① 数列{|a n |}是等比数列； ② 数列{a n a n ＋1}是等比数列；③ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是等比数列； ④ 数列{lg a2n }是等比数列.其中正确的命题有个. 11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x ).当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为 .12. 在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，AB →·AC →＝3，AC →·AD →＝2，则|AC →＋2AD →|的最小值为 . 13.在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P(m ，0)的直线l ，直线l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 .14. 已知函数f(x)＝(2x ＋a)(|x －a|＋|x ＋2a|)(a<0).若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2 019的x 的值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点.已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证：(1) MN∥平面PBC；(2) MD⊥平面PAB.16. (本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a cos B＝2b cos A，cos A＝3 3.(1) 求角B的值；(2) 若a＝6，求△ABC的面积.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B.(1) 已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；(2) 已知△ABF 的外接圆的圆心在直线y ＝－x 上，求椭圆的离心率e 的值.18. (本小题满分16分)如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB ，AD 的长分别为23 m 和4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，∠COD ＝2π3.(1) 求图1中拱门最高点到地面的距离； (2)现欲以点B 为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC 与地面水平线l 所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax＋ln x(a ∈R ).(1) 讨论函数f (x )的单调性；(2) 设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若函数f (x )有两个不相同的零点x 1，x 2. ① 求实数a 的取值范围；② 证明：x 1f ′(x 1)＋x 2f ′(x 2)>2ln a ＋2.20. (本小题满分16分)已知等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }满足k ＝1n (b k a 2n ＋1－2k )＋2a n ＝3(2n －1)(n ∈N *).① 证明：{b n }为等比数列；② 求集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫（m ，p ）|am bm ＝3ap bp ，m ，p ∈N*.2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，且(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002，求矩阵M .[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.求： (1) 直线l 的直角坐标方程； (2) 直线l 被曲线C 截得的线段长.C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤1，求证：1a2＋1＋1b2＋1＋1c2＋1≥.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 553等.显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.(1) 求X为“回文数”的概率；(2) 设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).23. (本小题满分10分)设集合B是集合A n＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集.记集合B中所有元素的和为S(规定：集合B为空集时，S＝0).若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”.求：(1) 集合A1的“和谐子集”的个数；(2) 集合A n的“和谐子集”的个数.2019届高三年级第一次模拟考试(南通)数学参考答案1.{0，1，3}2. 53.34.75.23 6.547.－6 8.2 6 9.4 10.3 11.2 12.2 513.⎝⎛⎭⎫－4，43 14.337 15. (1) 在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点，所以MN ∥AD.(2分) 又底面ABCD 是矩形，所以BC ∥AD.所以MN ∥BC.(4分)又BC ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以MN ∥平面PBC.(6分) (2) 因为底面ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊂底面ABCD ，所以AB ⊥侧面PAD.(8分) 又MD ⊂侧面PAD ，所以AB ⊥MD.(10分)因为DA ＝DP ，又M 为AP 的中点，从而MD ⊥PA.(12分)又PA ，AB 在平面PAB 内，PA ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面PAB.(14分) 16. (1) 在△ABC 中，因为cos A ＝33，0<A<π，所以sin A ＝1－cos2A ＝63.(2分) 因为a cos B ＝2b cos A ，由正弦定理a sinA ＝bsinB，得sin A cos B ＝2sin B cos A.所以cos B ＝sin B.(4分)若cos B ＝0，则sin B ＝0，与sin 2B ＋cos 2B ＝1矛盾，故cos B ≠0. 于是tan B ＝sinBcosB ＝1.又因为0<B<π，所以B ＝π4.(7分)(2) 因为a ＝6，sin A ＝63，由(1)及正弦定理a sinA ＝b sinB ，得663＝b22，所以b ＝322.(9分)又sin C ＝sin (π－A －B) ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63×22＋33×22 ＝23＋66.(12分) 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×322×23＋66＝6＋324.(14分)17. (1) 因为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，所以c a ＝12，则a ＝2c.因为线段AF 中点的横坐标为22，所以a －c 2＝22.所以c ＝2，则a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝6.所以椭圆的标准方程为x28＋y26＝1.(4分)(2) 因为点A(a ，0)，点F(－c ，0)，所以线段AF 的中垂线方程为x ＝a －c2.又因为△ABF 的外接圆的圆心C 在直线y ＝－x 上，所以点C ⎝⎛⎭⎫a －c 2，－a －c 2.(6分) 因为点A(a ，0)，点B(0，b)，所以线段AB 的中垂线方程为：y －b 2＝ab ⎝⎛⎭⎫x －a 2. 由点C 在线段AB 的中垂线上，得－a －c 2－b 2＝a b ⎝⎛⎭⎫a －c 2－a 2，整理得，b(a －c)＋b 2＝ac ，(10分)即(b －c)(a ＋b)＝0.因为a ＋b>0，所以b ＝c.(12分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝c b2＋c2＝22.(14分)18. (1) 如图1，过点O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点O 1，O 2，交劣弧CD 于点P ，O 1P 的长即为拱门最高点到地面的距离.在Rt △O 2OC 中，∠O 2OC ＝π3，CO 2＝3，所以OO 2＝1，圆的半径R ＝OC ＝2.所以O 1P ＝R ＋OO 1＝R ＋O 1O 2－OO 2＝5. 故拱门最高点到地面的距离为5m .(4分)(2) 在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P. 当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离.由(1)知，在Rt △OO 1B 中，OB ＝OO21＋O 1B 2＝2 3.以B 为坐标原点，地面所在的直线为x 轴，建立如图2所示的坐标系. ①当点P 在劣弧CD 上时，π6<θ≤π2.由∠OBx ＝θ＋π6，OB ＝23，由三角函数定义，得点O ⎝⎛⎭⎫23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，则h ＝2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6.(8分) 所以当θ＋π6＝π2即θ＝π3时，h 取得最大值2＋2 3.(10分)②如图3，当点P 在线段AD 上时，0≤θ≤π6.设∠CBD ＝φ，在Rt △BCD 中， DB ＝BC2＋CD2＝27，sin φ＝2327＝217，cos φ＝427＝277.由∠DBx ＝θ＋φ，得点D(27cos (θ＋φ)，27sin (θ＋φ)).所以h ＝27sin (θ＋φ)＝4sin θ＋23cos θ.(14分)又当0<θ<π6时，h′＝4cos θ－23sin θ>4cos π6－23sin π6＝3>0.所以h ＝4sin θ＋23cos θ在⎣⎡⎦⎤0，π6上递增. 所以当θ＝π6时，h 取得最大值5.因为2＋23>5，所以h 的最大值为2＋2 3.故h ＝⎩⎨⎧4sinθ＋23cosθ， 0≤θ≤π6，2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，π6<θ≤π2.艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2＋23)m .(16分)19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x －ax2.①当a ≤0时，f′(x)>0成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)为增函数；(2分) ②当a>0时，(ⅰ) 当x>a 时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(a ，＋∞)上为增函数； (ⅱ) 当0<x<a 时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，a)上为减函数.(4分) (2) ①由(1)知，当a ≤0时，函数f(x)至多一个零点，不合题意；当a>0时，f(x)的最小值为f(a)，依题意知f(a)＝1＋ln a<0，解得0<a<1e .(6分)一方面，由于1>a ，f(1)＝a>0，函数f(x)在(a ，＋∞)为增函数，且函数f(x)的图象在(a ，1)上不间断.所以函数f(x)在(a ，＋∞)上有唯一的一个零点.另一方面，因为0<a<1e ，所以0<a 2<a<1e .f(a 2)＝1a ＋ln a 2＝1a ＋2ln a ，令g(a)＝1a ＋2ln a ，当0<a<1e 时，g′(a)＝－1a2＋2a ＝2a －1a2<0，所以f(a 2)＝g(a)＝1a＋2ln a>g ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2>0.又f(a)<0，函数f(x)在(0，a)为减函数，且函数f(x)的图象在(a 2，a)上不间断，所以函数f(x)在(0，a)有唯一的一个零点.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1e .(10分) ②设p ＝x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)＝1－a x1＋1－a x2＝2－⎝⎛⎭⎫a x1＋a x2. 又⎩⎨⎧lnx1＋a x1＝0，lnx2＋a x2＝0，则p ＝2＋ln (x 1x 2).(12分) 下面证明x 1x 2>a 2.不妨设x 1<x 2，由①知0<x 1<a<x 2.要证x 1x 2>a 2，即证x 1>a2x2. 因为x 1，a2x2∈(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数，所以只要证f ⎝⎛⎭⎫a2x2>f(x 1).又f(x 1)＝f(x 2)＝0，即证f ⎝⎛⎭⎫a2x2>f(x 2).(14分)设函数F(x)＝f ⎝⎛⎭⎫a2x －f(x)＝x a －a x－2ln x ＋2ln a(x>a). 所以F′(x)＝（x －a ）2ax2>0，所以函数F(x)在(a ，＋∞)上为增函数.所以F(x 2)>F(a)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫a2x2>f(x 2)成立.从而x 1x 2>a 2成立.所以p ＝2＋ln (x 1x 2)>2ln a ＋2，即x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)>2ln a ＋2成立.(16分)20. (1) 设等差数列{a n }的公差为d.因为等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36，所以⎩⎪⎨⎪⎧a1＋3d ＝4，8a1＋8×72d ＝36，解得⎩⎨⎧a1＝1，d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n.(3分)(2) ①设数列{b n }的前n 项和为B n .由③－④得3(2n －1)－3(2n －1－1)＝(b 1a 2n －1＋b 2a 2n －3＋…＋b n －1a 3＋b n a 1＋2n)－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝[b 1(a 2n －3＋2)＋b 2(a 2n －5＋2)＋…＋b n －1(a 1＋2)＋b n a 1＋2n]－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝2(b 1＋b 2＋…＋b n －1)＋b n ＋2＝2(B n －b n )＋b n ＋2.所以3·2n －1＝2B n －b n ＋2(n ≥2，n ∈N *)，又3(21－1)＝b 1a 1＋2，所以b 1＝1，满足上式.所以2B n －b n ＋2＝3·2n －1(n ∈N *)，⑤(6分)当n ≥2时，2B n －1－b n －1＋2＝3·2n －2，⑥由⑤－⑥得，b n ＋b n －1＝3·2n －2.(8分)b n －2n －1＝－(b n －1－2n －2)＝…＝(－1)n －1(b 1－20)＝0，所以b n ＝2n －1，bn ＋1bn＝2，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.(10分)②由am bm ＝3ap bp ，得m 2m －1＝3p 2p －1，即2p －m ＝3p m. 记c n ＝an bn ，由①得，c n ＝an bn ＝n 2n －1，所以cn ＋1cn ＝n ＋12n≤1，所以c n ≥c n ＋1(当且仅当n ＝1时等号成立). 由am bm ＝3ap bp，得c m ＝3c p >c p ，所以m <p .(12分)设t ＝p －m (m ，p ，t ∈N *)，由2p －m ＝3p m ，得m ＝3t 2t －3. 当t ＝1时，m ＝－3，不合题意；当t ＝2时，m ＝6，此时p ＝8符合题意；当t ＝3时，m ＝95，不合题意；当t ＝4时，m ＝1213<1，不合题意. 下面证明当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3<1. 不妨设f (x )＝2x －3x －3(x ≥4)，则f ′(x )＝2x ln2－3>0，所以函数f (x )在[4，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )≥f (4)＝1>0，所以当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3<1，不合题意. 综上，所求集合{(m ，p )|am bm ＝3ap bp，m ，p ∈N *}＝{(6，8)}.(16分) 21.A.由题意知(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002，则MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012.(4分) 因为N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，则N －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(6分) 所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4001.(10分) B. (1) 直线l 的极坐标方程可化为ρ(sin θcos π4－cos θsin π4)＝2，即ρsin θ－ρcos θ＝2. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(4分)(2) 曲线C ⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)的普通方程为x 2＝y . 由⎩⎨⎧x2＝y ，x －y ＋2＝0得x 2－x －2＝0，所以直线l 与曲线C 的交点A (－1，1)，B (2，4).(8分)所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ＝（－1－2）2＋（1－4）2＝32.(10分)C.由柯西不等式，得[(a 2＋1)＋(b 2＋1)＋(c 2＋1)](1a2＋1＋1b2＋1＋1c2＋1)≥(a2＋11a2＋1＋b2＋11b2＋1＋c2＋11c2＋1)2＝9，(5分) 所以1a2＋1＋1b2＋1＋1c2＋1≥9a2＋b2＋c2＋3≥91＋3＝94.(10分) 22. (1) 记“X 是‘回文数’”为事件A.9个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.所以事件A 的概率P(A)＝29.(3分) (2) 根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2.由(1)得P(A)＝29.(5分)设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立.根据已知条件得，P(B)＝20C29＝59. P(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝(1－29)×(1－59)＝2881； P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－29)×59＋29×⎝⎛⎭⎫1－59＝4381； P(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝29×59＝1081(8分) 所以，随机变量ξξ0 1 2 P 2881 4381 1081所以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)＝0×2881＋1×4381＋2×1081＝79.(10分) 23. (1) 集合A 1＝{1，2，3}的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，其中所有元素和为3的整数倍的集合有∅，{3}，{1，2}，{1，2，3}，所以A 1的“和谐子集”的个数等于4.(3分)(2) 记A n 的“和谐子集”的个数等于a n ，即A n 有a n 个所有元素和为3的整数倍的子集；另记A n 有b n 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有c n 个所有元素和为3的整数倍余2的子集.由(1)知，a 1＝4，b 1＝2，c 1＝2.集合A n ＋1＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n ，3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)}的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1))：第一类：集合A n ＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n}的“和谐子集”，共a n 个；第二类：仅含一个元素3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个；同时含两个元素3n ＋1，3n ＋2的“和谐子集”，共a n 个；同时含三个元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个；第三类：仅含一个元素3n ＋1的“和谐子集”，共c n 个；同时含两个元素3n ＋1，3(n ＋1)的“和谐子集”，共c n 个；第四类：仅含一个元素3n ＋2的“和谐子集”，共b n 个；同时含有两个元素3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共b n 个，所以集合A n ＋1的“和谐子集”共有a n ＋1＝4a n ＋2b n ＋2c n 个. 同理得b n ＋1＝4b n ＋2c n ＋2a n ，c n ＋1＝4c n ＋2a n ＋2b n .(7分)所以a n ＋1－b n ＋1＝2(a n －b n )，a 1－b 1＝2，所以数列{a n －b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.所以a n －b n ＝2n .同理得a n －c n ＝2n .又a n ＋b n ＋c n ＝23n ，所以a n ＝23×2n ＋×23n (n ∈N *).(10分)。

江苏南通2019高三第一次调研考试-数学(word版)

江苏南通2019高三第一次调研考试-数学（word 版）参考答案与评分标准〔考试时间：120分钟总分值：160分〕【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分、请把答案填写在答题卡相应的位置上、1、全集U =R ，集合{}10A x x =+>，那么U A =ð ▲ 、答案：(,1]-∞-、2、复数z =32i i-(i 是虚数单位)，那么复数z 所对应的点位于复平面的第 ▲ 象限、答案：三、3、正四棱锥的底面边长是6，那个正四棱锥的侧面积是 ▲ 、答案：48. 4、定义在R 上的函数()f x ，对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=，当(2,0)x ∈- 时，()4x f x =，那么(2013)f = ▲ 、答案：14、那么p 是q 的▲、〔从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空〕答案：否命题、 6、双曲线22221y x a b -=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =0的圆心重合，，那么该双曲线的标准方程为▲、答案：221520y x -=、7、假设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，那么a 5与a 7的等比中项为▲、答案：±、8、实数x ∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，那么输出的x 不小于55的概率为▲、答案：38、9、在△ABC 中，假设AB =1，AC||||AB AC BC +=，那么||BA BCBC ⋅=▲、答案：12、10、01a <<，假设log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，那么λ的最大值为▲、答案：－2、11、曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x'=-+在点(1，f (1))处的切线方程为▲、答案：1e 2y x =-、12、如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，假设振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时、那么该物体5s 时刻的位移为▲cm 、(第12题)O答案：－1.5、13、直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且PA =PB ,那么0x 的取值范围为▲、答案：(1,0)(0,2)-、14、设P (x ，y )为函数21y x =-(x >图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-=+--，那么当m 最小时，点P 的坐标为▲、答案：(2，3)、【二】解答题：本大题共6小题，共计90分、请把答案写在答题卡相应的位置上、解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤、 15、(此题总分值14分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点、求证：〔1〕//EF 平面ABC ；〔2〕平面AEF ⊥平面A 1AD 、解：〔1〕连结11A B A C 和、因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点，因此E F 、分别是11A B A C 和的中点、因此//EF BC 、………………………………………………………3分又BC ⊂平面ABC 中，EF Ø平面ABC 中，故//EF 平面ABC 、………………………………………………6分〔2〕因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，因此1A A ⊥平面ABC ，因此1BC A A ⊥、故由//EF BC ，得1EF A A ⊥、………………………………………8分又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，因此BC AD ⊥、故由//EF BC ，得EF AD ⊥、…………………………………………………………………10分而1A A AD A =，1,A A AD ⊂平面1A AD，因此EF ⊥平面1A AD 、…………………………………12分又EF ⊂平面AEF，故平面AEF ⊥平面1A AD 、………………………………………………………14分 16.〔此题总分值14分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+、〔1〕求角C 的大小；〔2〕假设△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围、解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，因此sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得sin()sin()C A B C -=-、……………………………………………………………………………ABC DE F A 1B 1C 1 (第15题) ABCDE F A 1 B 1 C 1 (第15题)4分因此C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)、即2C A B =+,得3C π=、 (7)分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-、因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====，…………………………………………………………8分故22221cos 21cos 2sin sin 22A Ba b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα、………………………………………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤、……………………………14分 17.〔此题总分值14分〕某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用、如下图，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P 、当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好、〔1〕设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围；〔2〕假设要求最节能，应怎么样设计薄板的长和宽？〔3〕假设要求制冷效果最好，应怎么样设计薄板的长和宽？解：〔1〕由题意，AB x =，2BC x =-、因2x x >-，故12x <<、……………………………2分设DP y =，那么PC x y =-、因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-、由222PA AD DP =+，得2221()(2)2(1)x y x y y x-=-+⇒=-，12x <<、……………………5分〔2〕记△ADP 的面积为1S ，那么11(1)(2)S x x=--………………………………………………………………………………………6分23()2x x=-+≤- 当且仅当x =∈(1，2)时，S 1取得最大值、…………………………………………………………8分故当薄板长为米，宽为2米时，节能效果最好、………………………………………9分〔3〕记△ADP 的面积为2S ，那么ABCD（第17题）B 'P221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+，12x <<、……………………………………………10分因此，3222142(2)02x S x x x x-+'=--==⇒=11分关于x 的函数2S 在上递增，在上递减、因此当x =时，2S 取得最大值、……………………………………………………13分故当薄板长为米，宽为2米时，制冷效果最好、………………………………………14分 18.〔此题总分值16分〕数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=、〔1〕求a 1；〔2〕证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；〔3〕设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？假设存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；假设不存在，说明理由、解：(1)令n =1，那么a 1=S 1=111()2a a -=0、………………………………………………………………3分(2)由1()2n n n a a S -=，即2n n na S =，① 得11(1)2n n n a S +++=、 ② ②－①，得1(1)n nn a na +-=、 ③因此，21(1)n n na n a ++=+、④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=、……………………………………………7分又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，因此，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列、因此，a n =n －1、………………………………………………………………………………………9分(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，那么lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，因此，21333p qp q =+、…………………………………………………………………………………11分因此，213()33q p p q =-(☆)、易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解、……………………………………………………………13分当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp }(p ≥3)为递减数列，因此2133p p-≤323133⨯-<0，因此如今方程(☆)无正整数解、综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列、…………………………16分注在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分、但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分、 19.〔此题总分值16分〕左焦点为F (－1，0)的椭圆过点E (1)、过点P (1，1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点、〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设P 为线段AB 的中点，求k 1；〔3〕假设k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标、解：依题设c =1，且右焦点F '(1，0)、因此，2a =EF EF '++=，b 2=a 2－c 2=2，故所求的椭圆的标准方程为22132y x +=、…………………………………………………………4分 (2)设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，那么2211132x y +=①，2222132x y +=②、②－①，得21212121()()()()032x x x x y y y y -+-++=、因此，k 1=212121212()423()63P P y y x x x x x y y y -+=-=-=--+、………………………………………………………9分 (3)依题设，k 1≠k 2、设M (Mx ,My )，直线AB 的方程为y －1=k 1(x －1)，即y =k 1x +(1－k 1)，亦即y =k 1x +k 2，代入椭圆方程并化简得2221122(23)6360k x k k x k +++-=、因此，1221323M k k x k -=+，221223M k y k =+、……………………………………………………………11分同理，1222323N k k x k -=+，122223N k y k =+、当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k =M N M N y y x x -=-222211212146()9()k k k k k k k k +++-+=21211069k k k k --、……………………………………13分直线MN 的方程为2211222211121063()92323k k k k k y x k k k k ---=--++，即21211222221211110610632()992323k k k k k k k y x k k k k k k --=+⋅+--++，亦即2121106293k k y x k k -=--、如今直线过定点2(0,)3-、………………………………………………………………………………15分当k 1k 2=0时，直线MN 即为y 轴，如今亦过点2(0,)3-、综上，直线MN 恒过定点，且坐标为2(0,)3-、……………………………………………………16分20.〔此题总分值16分〕函数()(0ln x f x ax x x=->且x ≠1)、〔1〕假设函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；〔2〕假设212,[e,e ]x x ∃∈，使f (x 1)≤2()f x a '+成立，求实数a 的取值范围、解：〔1〕因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立、………………2分因此当(1,)x ∈+∞时，max()0f x '≤、又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-，故当11ln 2x =，即2e x =时，max1()4f x a '=-、因此10,4a -≤因此14a ≥，故a 的最小值为14、……………………………………………………6分〔2〕命题“假设212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于“当2[e ,e ]x ∈时，有()min max()f x f x a '≤+”、……………………………………………………7分由〔1〕，当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=、问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有mi n 1()4f x ≤”、……………………………………………………8分01当14a ≥时，由〔1〕，()f x 在2[e,e ]上为减函数，那么m i n()f x =222e 1(e )e 24f a =-≤，故21124ea ≥-、……………………………………………10分 02当14a <时，由于()f x '()2111ln 24a x =--+-在2[e,e ]上为增函数，故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --、 (i )假设0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数，因此，min()f x =1(e)e e e>4f a =-≥，不合、…………………………………………………12分(ii )假设0a -<，即104a <<，由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；因此，min()f x =00001()ln 4x f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈、因此，2001111111ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合、………………………15分综上，得21124ea ≥-、………………………………………………………………………………16分AB E DCO(第21A 题) 南通市2018届高三第一次调研测试数学附加题参考答案与评分标准〔考试时间：30分钟总分值：40分〕21、【选做题】此题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每题10分，共20分、请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、A 、选修4－1：几何证明选讲如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，假设AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，F 是BC 的中点、求证：〔1〕AB AC AE AD ⋅=⋅；〔2〕FAE FAD ∠=∠、证明：〔1〕连BE ，那么E C ∠=∠，又Rt ABE ADC ∠=∠=∠，因此△ABE ∽△ADC ，因此AB AE AD AC =、∴AB AC AE AD ⋅=⋅、……………………………………………………………………………………5分〔2〕连OF ，∵F 是BC 的中点，∴BAF CAF ∠=∠、由(1)，得B A E C A D ∠=∠，∴FAE FAD ∠=∠、…………………………………………………10分 B 、选修4－2：矩阵与变换曲线2:2C y x = ，在矩阵M1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程、解：设A =NM ，那么A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，………………………………………………………3分设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，那么02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ (7)分又点()','P x y 在曲线2:2C y x= 上，∴21()22x y-=，即218y x =、………………………………10分C 、选修4－4：坐标系与参数方程极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合、曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l的参数方程为,1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )、试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大、解：曲线C 的一般方程是2213x y +=、…………………………………………………………………2分直线l 的一般方程是0x +=、………………………………………………………………4分设点M的直角坐标是,sin )θθ，那么点M 到直线l 的距离是d……………7分因为)4≤+≤πθ当πsin()14θ+=-，即ππ2π(42k k θ+=-∈Z )，即3π2π(4k k θ=-∈Z )时，d 取得最大值、==θθ、综上，点M的极坐标为7π)6时，该点到直线l 的距离最大、 (10)分注凡给出点M的直角坐标为(，不扣分、 D 、选修4－5：不等式选讲0,0,a b >>且21a b +=，求224S a b =-的最大值、解：0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-,………………………………………………………………2分且12a b =+≥，即≤，18ab ≤,……………………………………………………5分∴224S a b =-(14)ab =--41ab =+-≤,当且仅当11,42a b ==时，等号成立、…………………………………………………………………10分22、(本小题总分值10分)、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、如图，定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使12PQ QM=，且0PR PM ⋅=、〔1〕求动点M 的轨迹C 1；〔2〕圆C 2：22(1)1x y +-=，过点(0，1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点〔从左到右〕，交C 2于B ，C 两点〔从左到右〕，求证：AB CD ⋅为定值、解：〔1〕法一：设M (x ，y )，P (x 1，0)，Q (0，y 2)，那么由10,2PR PM PQ QM⋅==及R (0，－3)，得11122()(3)0,1,211.22x x x y x x y y y ⎧⎪--+-=⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩化简，得24x y =、……………………………………………………………4分因此，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线、………………………………………5分法二：设M (x ，y )、由12PQ QM =，得(,0),(0,)23x y P Q -、因此，3(,3),(,)22x xPR PM y =-=、由0PR PM =，得3(,3)(,)022x x y -⋅=，即23304x y -=、化简得24x y =、…………………4分因此，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线、………………………………………5分〔2〕证明：由题意，得AB CD AB CD ⋅=⋅，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F 、设11(,)A x y ，22(,)D x y ，那么1111AB FA FB y y =-=+-=、……………………………………7分同理2CD y =、设直线的方程为(1)x k y =-、由2(1),1,4x k y y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得221(1)4y k y =-，即2222(24)0k y k y k --+=、因此，121AB CD AB CD y y ⋅=⋅==、………………………………………………………………10分23、(本小题总分值10分)、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N 、〔1〕假设1a =-，求数列{a n }的通项公式；〔2〕假设3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数、解：(1)当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+、令1n n b a =-，那么115,(1)n b n b b +=-=-、因15b =-为奇数，nb 也是奇数且只能为1-，因此，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩………………………………………………………3分 (2)当3a =时，1114,31n a n a a -+==+、………………………………………………………………4分下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数、当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，那么存在t ∈N *，使得4ka t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅， m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立、∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立、…………………………………………………10分南通市2018届高三第一次调研测试数学Ⅰ讲评建议第1题考查集合运算、注意集合的规范表示法，重视集合的交并补的运算、第2题考查复数的差不多概念及几何意义、对复数的概念宜适当疏理，防止出现知识盲点、第3题考查常见几何体的表面积与体积的计算、应熟练掌握常见几何体的表面积的计算，灵活应用等体积法计算点面距、第4题此题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用、第5题此题考查简易逻辑的知识、应注意四种命题及其关系，注意全称命题与特称性命题的转换、第6题此题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识、对双曲线的讲评不宜过分引申、第7题此题要紧考查等差数列的差不多概念及其简单运算、法一用性质、S 9=9a 5=-36，S 13=13a 7=-104，因此a 5=-4，a 7=-8，等比中项为± 法二用差不多量、S 9=9a 1+36d =-36，S 13=13a 1+78d =-104，解得a 1=4，d =-2、下同法一、第8题此题要紧考查算法及几何概型等知识、法一当输入x =1时，可输出x =15；当输入x =9时，可输出y =79、因此当输入x 的取值范围为[1，9]时，输出x 的取值范围为[15，79]，所求概率为7955379158-=-、法二输出值为87x +、由题意：8755x +≥，故69x ≤≤、第9题此题要紧考查向量与解三角形的有关知识、满足||||AB AC BC +=的A ，B ，C 构成直角三角形的三个顶点，且∠A 为直角，因此BA BC ⋅=2BA =1、第10题此题要紧考查对数与线性规划的基础知识及简单运算、讲评时应强调对数的真数应大于0、强调对数函数的单调性与底数a 之间的关系、第11题此题要紧考查差不多初等函数的求导公式及其导数的几何意义、(1)()e (0)e x f f x f x ''=-+1(1)(1)e (0)1ef f f ''⇒=-+(0)1f ⇒=、在方程2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+中，令x =0，那么得(1)e f '=、讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别、第12题此题要紧考查三角函数及其应用、考题取自教材的例题、教学中应关注课本，以及有关重要数学模型的应用，讲评时还要强调单位书写等问题、S (t )=103sin()32t ππ+，求S (5)=-1.5即可、第13题此题要紧考查直线与圆的有关知识、圆心C (-1，0)到直线l ：y =ax +3的距离为3d =<，解得a >0或a <34-、由PA =PB ，CA =CB ，得PC ⊥l ，因此1PC k a=-，进而可求出x 0的取值范围、第14题考查灵活运用所学知识分析问题与解决问题的能力，考查运用差不多不等式解决问题、讲评时应注意加强对学生运用整体法观看问题解决问题能力的培养、法一2223631013x x x x m x x +-+-=+--2231613x x x x --=++--、当且仅当223113x x x x --=--，即2x =时m 取得最小，如今点P 的坐标为(2,3)、法二33213612x y x y m x y -+--+-=+--21612y x x y --=++--、当且仅当2112y x x y --=--时m 取得最小值、下略、第15题此题要紧考查空间点线面的位置关系，考查逻辑推理能力以及空间想象能力、讲评时应注意强调规范化的表达、注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、公理、定理等、第16题此题要紧考查三角函数及解三角形的有关知识，涉及两角和与差的三角公式、正余弦定理等、讲评时，应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略，同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用，例如两边之和大于第三边，sin (A +B )=sinC ，面积公式及等积变换等、(2)法一：由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-、因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====，故22221cos 21cos 2sin sin 22A Ba b A B --+=+=+ =12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332ααα⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦、 ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤、法二：由正弦定理得：2sin c R C ==、由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，故2234a b ab +=+、因为0,0a b >>，因此2234a b +>、又222a b ab +≤，故2222342a b a b +++≤，得2232a b +≤、因此，223342a b <+≤、第17题此题要紧考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力、试题以常见的图形为载体，再现对差不多不等式、导数等的考查、讲评时，应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律，教学中应关心学生克服解决应用题时的畏惧心理，在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心、在使用差不多不等式应注意验证取等号的条件，使用导数时应慎重决断最值的取值情况、第18题此题要紧考查等差数列与等比数列的基础知识及差不多运算，考查创新能力、两个差不多数列属C 能要求，属高考必考之内容，属各级各类考试之重点、第(3)问中，假设数列{a n }为等差数列，那么数列{n a k }(k >0且k ≠1)为等比数列；反之假设数列{a n }为等比数列，那么数列{log a na }(a >0且a ≠1)为等差数列、第(3)问中，假如将问题改为“是否存在正整数m ，p ，q (其中m <p <q )，使b m ，b p ，b q 成等比数列？假设存在，求出所有满足条件的数组(m ，p ，q )；假设不存在，说明理由、”那么，答案仍然只有唯一组解、如今，在解题时，只须添加当m ≥2时，说明方程组无解即可，其说明思路与原题的解题思路差不多相同、关于第(2)问，在得到关系式：1(1)n n n a na +-=后，亦可将其变形为11n n a n a n +=-，并进而使用累乘法(迭乘法)，先行得到数列{a n }的通项公式，最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可、但需要说明n ≥2、考虑到这是全市的第一次大考，又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检测，因而在评分标准的制定上，始终本着让学生多得分的原那么，例如此题中的第(1)问4分，不设置任何的障碍，差不多让学生能得分、第19题此题要紧考查直线与椭圆的基础知识，考查计算能力与独立分析问题与解决问题的能力、讲评此题时，要注意对学生耐挫能力的培养、第〔2〕问，亦可设所求直线方程为y -1=k 1(x -1)，与椭圆方程联立，消去一个变量或x 或y ，然后利用根与系数的关系，求出中点坐标与k 1的关系，进而求出k 1的值、第〔3〕问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，那么两动弦的中点所在直线过定值、此结论在抛物线中也成立、另外，也能够求过两中点所在直线的斜率的最值、近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势：多考一点“算”，少考一点“想”、第20题此题要紧考查函数与导数的知识，考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的能力、第〔2〕可另解为：命题“假设212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '+≤成立”等价于“21[e,e ]x ∃∈，使()1max ()f x f x a '+≤”、由〔1〕，当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，因此()max 14f x a '+=、故21[e,e ]x ∃∈，使11111()ln 4x f x ax x =-≤，即21[e,e ]x ∃∈，使1111ln 4a x x -≥、因此当2[e,e ]x ∈时，()min 11ln 4a x x -≥、记211(),[e,e ]ln 4g x x x x =-∈，那么222224(ln )11()(ln )44(ln )x x g x x x x x x -+-'=+=⋅、因2[e,e ]x ∈，故224[4e,4e ],(ln )[1,4]x x ∈∈，因此2()0,[e,e ]g x x '<∀∈恒成立、因此，11()ln 4g x x x=-在2[e,e ]上为减函数，因此，min 2221111()2ln e 4e 4e g x =-=-、因此，21124ea -≥、。

2019届江苏南通市高三数学模拟试题答案

参考答案1、 {12}-，2、3-3、1-4、1455、126、(20)(2)-+∞，，7、14 8、2 9、73π 10、 11、43 1213、13- 1415、（1）π3C =．（2）sin B =．16、略17、（1）椭圆C 的方程为22143y x +=．（2）若1l 的斜率为0，则PQ ，2MN =，所以△PQN，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0．设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得22(34)880k x kx ++-=，设()11P x y ，，()22Q x y ，，则1x =，2x所以PQ12x -= 直线2l 的方程为11y x k =-+，即0x ky k +-=，所以．MN = 所以△PQN的面积12S PQ MN =⋅132==，解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． 18、（1）方法一：建立直角坐标系四边形ABA F '的面积为24m 3．方法二：设ABF θ∠=，则2ABA θ'∠=．在直角△ABD 中，3tan 24AD AB θ==，所以22tan 341tan θθ=-，解得1t a n 3θ=或tan 3θ=-（舍去）．所以2t a n 3A F A Bθ==．所以△ABF 的面积为21222m 233⨯⨯=，所以四边形ABA F '的面积为24m 3．（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系．设AE a =，AF b =，()00A x y '，，则直线EF 的方程为0bx ay ab +-=，因为点A ，A '关于直线EF 对称，所以0000022y ax b bx ay ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，，解得20222a b y a b =+．因为四边形AEA F '所以ab =，所以033y a a==+．因为02a <≤，302b <≤，以2a ≤．设33()f a a a =+，2a ≤．49()1f a a '=-=，令()0f a '=，得a =a =（舍去）．列表如下：当a ()f a 取得极小值，所以0y 的最大值为32，此时点A '在CD上，a =1b =．答：点A '到AB 距离的最大值为3m 2．方法二：设AE a =，AEF θ∠=，则tan AF a θ=．因为四边形AEA F '的面AE AF ⋅2tan a θ=tan θ．过点A '作AB 的垂线A T '，垂足为T ，则s i n 2s i n 2s i n2A T A E AE a θθθ''=⋅=⋅=2224322sincos 2tan 33sin cos tan 11a a a a a a a θθθθθθ=⋅=⋅=⋅=++++．因为02AE <≤，302AF <≤2a ≤．（下同方法一）19、（1）由11(2)(21)n n n n na a a a ---=-，得1122n n n a a -=+-，得()11121n n n n a a -⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦，即12n n b b -=因为1=3a ，所以11121=03b a =--≠，所以12n n bb -=（2n ≥），所以{}n b 是以1b 为首项，2为公比等比数列．（2）① 设111a λ-=，由（1）知，12n n b b -=，所以21121222n n n n b b b b ---====，即112n nn a λ--=⋅，所以112k k k a λ-=⋅+．因为1k a ，11k a +，21k a +成等差数列，则11(2)(22)2(21)k k k k k k λλλ-+⋅++⋅++=⋅++，所以120k λ-⋅=，所以0λ=，所以1n n a =，即1n a n=．② 要证111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-，即证111()ln 2n n n a a n +++>，即证1112ln 1n n n n ++>+．设1n t n +=，则111111t t t n n t t -+=-+=-+，且1t >，从而只需证，当1t >时，12ln t t t ->．设1()2ln f x x x x =--（1x >），则22121()1(1)0f x x x x'=+-=->，所以()f x 在(1)+∞，上单调递增，所以()(1)0f x f >=，即12l n x x x ->，因为1t >，所以12ln t t t ->，所以，原不等式得证． 20、（1）()f x 的定义域为()()110e e --+∞，，．由， 222112(1ln )2(ln )2()(1ln )(1ln )ax x ax ax x x f x x x +-⋅+'==++ 令()0f x '>，因为0a >，得12e x ->，因为112ee -->，()f x 的单调增区间是()12e -+∞，． A 'ABCDFET（2）当0a <时，1(1)02e b f a -=<<，不合题意；当0a >时，令()0f x '<，得10e x -<<或112e e x --<<，所以()f x 在区间()10e-，和()112ee--，上单调递减．因为()1121e e 2--∈，，且()f x 在区间()12e-+∞，上单调递增，所以()f x 在12e x -=处取极小值2e a ，即最小值为2e a ．若12x ∀≥，1()2e b f x -≥，则122e e b a -≥，即e b a ≥．不妨设0b >，则e b b b a ≤．设()e bb g b =（0b >），则1()e b b g b -'=．当01b <<时，()0g b '>；当1b >时，()0g b '<，所以()g b 在()01，上单调递增；在()1+∞，上单调递减，所以()(1)g b g ≤，即1e ebb ≤，所以b a 的最大值为1e ．（3）由（2）知，当0a >时，()f x 无极大值，当0a <时，()f x 在()10e -，和()112e e--，上单调递增；在()12e -+∞，上单调递减，所以()f x 在12e x -=处取极大值，所以122(e )2e a f -==-，即e a =-．设()()e xF x f x =+，即2e ()e 1l n xx F xx=-+，当()10e x -∈，，1ln 0x +<，所以()0F x >；当()1e x -∈+∞，，2e (12ln )()e (1ln )x x x F x x +'=-+，由（2）知，e e x x ≤，又212l n (1l n )x x ++≤，所以()0F x '≥，且()F x 不恒为零，所以()F x 在()1e -+∞，上单调递增．不等式()e 0x f x +<，即为()0(1)F x F <=，所以1e 1x -<<，即不等式的解集为()1e 1-，． 21A 、由题意得，11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AA ，即212210101a c a da cb d b d b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1120a b c d ====，，，，即矩阵1201-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．设()P x y ，为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点()P x y '''，，则 1201x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩，由已知条件可知，()P x y '''，满足21y x =+，整理得：2510x y -+=，所以曲线C 的方程为2510x y -+=．21B 、（1）分别将()π42A ，，()5π4B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，，所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r += 又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线AB=r21C 、因为关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，所以164(1)0a a ∆=--+≥，即41a a -+≤ 当1a ≥时，421a -≤，得512a ≤≤；当01a <<时，1≤4，恒成立，即01a <<；当0a ≤时，412a -≤，得032a -≤≤，综上：所求a 的取值范围为3522a -≤≤．22、（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）每个人积分不低于9分的概率为59．()()3464=0=9729P ξ=；()()()21354240=1=C 99729P ξ=；()()()22354300=2=C 99729P ξ=；()()35125=3=9729P ξ=．所以，随机变量ξ的概率分布列为所以642403001255()01237297297297293E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．所以，随机变量ξ的数学期望为53．23、（1）由201234444441111153P C C C C C =-+-+=，2123444441234103Q C C C C =-+-+=，所以2220P Q -=．（2）设n n T nP Q =-，则01221232222222221232()()n nn n n n n n n n n n n n n T C C C C C C C C =-+-⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+ 0123222222123nn n n n nn n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ① 因为222k n k n n C C -=，所以2212223022222123n n n n n n n n n n n n n n T C C C C C -------=-+-+⋅⋅⋅+0123222222123nn n n n n n n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ② ①+②得，20T =，即0n n T nP Q =-=，所以0n n nP Q -=．。

江苏省南通市2019届高三第一次模拟考试数学Word版含答案

019届高三年级第一次模拟考试学满分160分，考试时间120分钟)考公式：体的体积公式：V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高.、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝.2. 已知复数z＝－3i(i为虚数单位)，则复数z的模为.3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：平均每人参加活动的次数为.4. 如图是一个算法流程图，则输出的b的值为.5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为.6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积为cm3.7. 若实数x，y满足x≤y≤2x＋3，则x＋y的最小值为.8. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l，直线l与双曲线－y2＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，AB＝，则p的值为.9. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x＋t与曲线y＝a sin x＋b cos x(a，b，t∈R)相切于点(0，1)，则(a＋b)t的值为。

0. 已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：数列{|a n|}是等比数列；②数列{a n a n＋1}是等比数列；数列是等比数列；④数列{lg a}是等比数列.中正确的命题有个.1. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x).当0<x≤1时，f(x)＝x3－ax＋1，则实数a的值为.2. 在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，·＝3，·＝2，则|＋2|的最小值为.3. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－4)2＋y2＝4.若存在过点P(m，0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是.4. 已知函数f(x)＝(2x＋a)(|x－a|＋|x＋2a|)(a<0).若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2 019的x的值为.、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.5. (本小题满分14分)图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点.已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证：1) MN∥平面PBC；2) MD⊥平面PAB.6. (本小题满分14分)△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a cos B＝b cos A，cos A＝.1) 求角B的值；2) 若a＝，求△ABC的面积.7. (本小题满分14分)图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.1) 已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；2) 已知△ABF的外接圆的圆心在直线y＝－x上，求椭圆的离心率e的值.8. (本小题满分16分)图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为2 m和4 m，上部是圆心为O的劣弧CD，∠COD＝.1) 求图1中拱门最高点到地面的距离；2) 现欲以点B为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC与地面水平线l所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值.9. (本小题满分16分)知函数f(x)＝＋ln x(a∈R).1) 讨论函数f(x)的单调性；2) 设函数f(x)的导函数为f′(x)，若函数f(x)有两个不相同的零点x1，x2. 求实数a的取值范围；证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2ln a＋2.0. (本小题满分16分)知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36.1) 求数列{a n}的通项公式；2) 若数列{b n}满足(b k a2n＋1－2k)＋2a n＝3(2n－1)(n∈N*).证明：{b n}为等比数列；求集合.019届高三年级第一次模拟考试学附加题本部分满分40分，考试时间30分钟)1. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)知矩阵M＝，N＝，且(MN)－1＝，求矩阵M.选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin＝.求：1) 直线l的直角坐标方程；2) 直线l被曲线C截得的线段长.. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)知实数a，b，c满足a2＋b2＋c2≤1，求证：＋＋≥.必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2. (本小题满分10分)回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 553等.显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.1) 求X为“回文数”的概率；2) 设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).3. (本小题满分10分)集合B是集合A n＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集.记集合B中所有元素的和为S(规定：集合B为空集时，S＝0).若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”.求：1) 集合A1的“和谐子集”的个数；2) 集合A n的“和谐子集”的个数.019届高三年级第一次模拟考试(南通)学参考答案.{0，1，3} 2. 3.3 4.7 5. 6.54.－68.29.410.311.212.23.14.3375. (1) 在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，以MN∥AD.(2分)底面ABCD是矩形，以BC∥AD.以MN∥BC.(4分)BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，以MN∥平面PBC.(6分)2) 因为底面ABCD是矩形，以AB⊥AD.侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，以AB⊥侧面PAD.(8分)MD⊂侧面PAD，以AB⊥MD.(10分)为DA＝DP，又M为AP的中点，而MD⊥PA.(12分)PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，以MD⊥平面PAB.(14分)6. (1) 在△ABC中，因为cos A＝，0<A<π，以sin A＝＝.(2分)为a cos B＝b cos A，正弦定理＝，得sin A cos B＝sin B cos A.以cos B＝sin B.(4分)cos B＝0，则sin B＝0，与sin2B＋cos2B＝1矛盾，故cos B≠0. 是tan B＝＝1.因为0<B<π，以B＝.(7分)2) 因为a＝，sin A＝，(1)及正弦定理＝，得＝，以b＝.(9分)sin C＝sin(π－A－B)sin(A＋B)sin A cos B＋cos A sin B×＋×.(12分)以△ABC的面积为S＝ab sin C＝×××＝.(14分)7. (1) 因为椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以＝，则a＝2c.为线段AF中点的横坐标为，以＝.以c＝，则a2＝8，b2＝a2－c2＝6.以椭圆的标准方程为＋＝1.(4分)2) 因为点A(a，0)，点F(－c，0)，以线段AF的中垂线方程为x＝.因为△ABF的外接圆的圆心C在直线y＝－x上，以点C.(6分)为点A(a，0)，点B(0，b)，以线段AB的中垂线方程为：y－＝.点C在线段AB的中垂线上，得－－＝，理得，b(a－c)＋b2＝ac，(10分)(b－c)(a＋b)＝0.为a＋b>0，所以b＝c.(12分)以椭圆的离心率e＝＝＝.(14分)8.(1) 如图1，过点O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离.Rt△O2OC中，∠O2OC＝，CO2＝，以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2.以O1P＝R＋OO1＝R＋O1O2－OO2＝5.拱门最高点到地面的距离为5m.(4分)2) 在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离.(1)知，在Rt△OO1B中，OB＝＝2.B为坐标原点，地面所在的直线为x轴，建立如图2所示的坐标系.当点P在劣弧CD上时，<θ≤.∠OBx＝θ＋，OB＝2，三角函数定义，点O，h＝2＋2sin.(8分)以当θ＋＝即θ＝时，h取得最大值2＋2.(10分)如图3，当点P在线段AD上时，0≤θ≤.∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，B＝＝2，inφ＝＝，cosφ＝＝.∠DBx＝θ＋φ，得点D(2cos(θ＋φ)，2sin(θ＋φ)).以h＝2sin(θ＋φ)＝4sinθ＋2cosθ.(14分)当0<θ<时，h′＝4cosθ－2sinθ>4cos－2sin＝>0.以h＝4sinθ＋2cosθ在上递增.以当θ＝时，h取得最大值5.为2＋2>5，所以h的最大值为2＋2.h＝术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2＋2)m.(16分)9. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.当a≤0时，f′(x)>0成立，以函数f(x)在(0，＋∞)为增函数；(2分)当a>0时，ⅰ) 当x>a时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(a，＋∞)上为增函数；ⅱ) 当0<x<a时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，a)上为减函数.(4分)2) ①由(1)知，当a≤0时，函数f(x)至多一个零点，不合题意；a>0时，f(x)的最小值为f(a)，题意知f(a)＝1＋ln a<0，解得0<a<.(6分)方面，由于1>a，f(1)＝a>0，函数f(x)在(a，＋∞)为增函数，且函数f(x)的图象在(a，1)上不间断.以函数f(x)在(a，＋∞)上有唯一的一个零点.一方面，因为0<a<，所以0<a2<a<.(a2)＝＋ln a2＝＋2ln a，令g(a)＝＋2ln a，0<a<时，g′(a)＝－＋＝<0，以f(a2)＝g(a)＝＋2ln a>g＝e－2>0.f(a)<0，函数f(x)在(0，a)为减函数，且函数f(x)的图象在(a2，a)上不间断，以函数f(x)在(0，a)有唯一的一个零点.上，实数a的取值范围是.(10分)设p＝x1f′(x1)＋x2f′(x2)＝1－＋1－＝2－.则p＝2＋ln(x1x2).(12分)面证明x1x2>a2.妨设x1<x2，由①知0<x1<a<x2.证x1x2>a2，即证x1>.为x1，∈(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数，以只要证f>f(x1).f(x1)＝f(x2)＝0，即证f>f(x2).(14分)函数F(x)＝f－f(x)＝－－2ln x＋2ln a(x>a).以F′(x)＝>0，以函数F(x)在(a，＋∞)上为增函数.以F(x2)>F(a)＝0，以f>f(x2)成立.而x1x2>a2成立.以p＝2＋ln(x1x2)>2ln a＋2，即x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2ln a＋2成立.(16分)0. (1) 设等差数列{a n}的公差为d.为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，以解得以数列{a n}的通项公式为a n＝n.(3分)2) ①设数列{b n}的前n项和为B n.③－④得(2n－1)－3(2n－1－1)＝(b1a2n－1＋b2a2n－3＋…＋b n－1a3＋b n a1＋2n)－(b1a2n－3＋b2a2n－5＋…＋b n－1a1＋2n－2)＝[b1(a2n－3＋2)＋b2(a2n－5＋2)＋…＋b n－1(a1＋2)＋b n a1＋2n]－(b1a2n－3＋b2a2n－5＋…＋b n a1＋2n－2)＝2(b1＋b2＋…＋b n－1)＋b n＋2＝2(B n－b n)＋b n＋2.－1以3·2n－1＝2B n－b n＋2(n≥2，n∈N*)，3(21－1)＝b1a1＋2，所以b1＝1，满足上式.以2B n－b n＋2＝3·2n－1(n∈N*)，⑤6分)n≥2时，2B n－1－b n－1＋2＝3·2n－2，⑥⑤－⑥得，b n＋b n－1＝3·2n－2.(8分)－2n－1＝－(b n－1－2n－2)＝…＝(－1)n－1(b1－20)＝0，n以b n＝2n－1，＝2，以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(10分)由＝，得＝，即2p－m＝.c n＝，由①得，c n＝＝，以＝≤1，所以c n≥c n＋1(当且仅当n＝1时等号成立).＝，得c m＝3c p>c p，以m<p.(12分)t＝p－m(m，p，t∈N*)，2p－m＝，得m＝.t＝1时，m＝－3，不合题意；t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；t＝3时，m＝，不合题意；t＝4时，m＝<1，不合题意.面证明当t≥4，t∈N*时，m＝<1.妨设f(x)＝2x－3x－3(x≥4)，f′(x)＝2x ln2－3>0，以函数f(x)在[4，＋∞)上是单调增函数，以f(x)≥f(4)＝1>0，以当t≥4，t∈N*时，m＝<1，不合题意.上，所求集合{(m，p)|＝，m，p∈N*}＝{(6，8)}.(16分)1.A.由题意知(MN)－1＝，MN＝.(4分)为N＝，则N－1＝.(6分)以矩阵M＝＝.(10分). (1) 直线l的极坐标方程可化为ρ(sinθcos－cosθsin)＝，即ρsinθ－ρcosθ＝2. x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.(4分)2) 曲线C(t为参数)的普通方程为x2＝y.得x2－x－2＝0，以直线l与曲线C的交点A(－1，1)，B(2，4).(8分)以直线l被曲线C截得的线段长为AB＝＝3.(10分).由柯西不等式，得(a2＋1)＋(b2＋1)＋(c2＋1)](＋＋)≥(＋＋)2＝9，(5分)以＋＋≥≥＝.(10分)2. (1) 记“X是‘回文数’”为事件A.个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.以事件A的概率P(A)＝.(3分)2) 根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2.(1)得P(A)＝.(5分)“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立.据已知条件得，P(B)＝＝.(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝(1－)×(1－)＝；(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－)×＋×＝；(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝×＝(8分)以，随机变量ξ以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.(10分)3.(1) 集合A1＝{1，2，3}的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，中所有元素和为3的整数倍的集合有∅，{3}，{1，2}，{1，2，3}，以A1的“和谐子集”的个数等于4.(3分)2) 记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素和为3的整数倍的子集；记A n有b n个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素和为3的整数倍余2的子集.(1)知，a1＝4，b1＝2，c1＝2.合A n＋1＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n，3n＋1，3n＋2，3(n＋1)}的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素3n＋1，3n＋2，3(n＋1))：一类：集合A n＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}的“和谐子集”，共a n个；二类：仅含一个元素3(n＋1)的“和谐子集”，共a n个；时含两个元素3n＋1，3n＋2的“和谐子集”，共a n个；时含三个元素3n＋1，3n＋2，3(n＋1)的“和谐子集”，共a n个；三类：仅含一个元素3n＋1的“和谐子集”，共c n个；时含两个元素3n＋1，3(n＋1)的“和谐子集”，共c n个；四类：仅含一个元素3n＋2的“和谐子集”，共b n个；时含有两个元素3n＋2，3(n＋1)的“和谐子集”，共b n个，以集合A n＋1的“和谐子集”共有a n＋1＝4a n＋2b n＋2c n个.理得b n＋1＝4b n＋2c n＋2a n，c n＋1＝4c n＋2a n＋2b n.(7分)以a n＋1－b n＋1＝2(a n－b n)，a1－b1＝2，以数列{a n－b n}是以2为首项，2为公比的等比数列.以a n－b n＝2n.同理得a n－c n＝2n.a n＋b n＋c n＝23n，所以a n＝×2n＋×23n(n∈N*).(10分)。

江苏省南通市2019届高三第一次模拟考试数学 Word版含答案

高三第一次调研测试数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱锥的体积公式：13V Sh =棱锥，其中S 为棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ▲ ．2．设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则AB = ▲ ．3．复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为 ▲ ．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 ▲ ． 6．若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ． 8．如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．（第5题）ABCDA 1B 1C 1D 1 （第8题）9．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ▲ ．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升． 11．在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin sin AC的值为 ▲ ． 12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0)2x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．13．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB ．（1）求cos β的值；（2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD ．求证：（1）直线PA ∥平面BDE ；（2）平面BDE ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪．（1）当∠EFP =4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；（第16题）ABCODPE（第15题）（第17题）（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值；（2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列；（3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值范围．南通市2017届高三第一次调研测试ABCDFEPMN（第18题）注意事项21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE =2CD ，求△OCE 的面积．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），求矩阵A ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出OA BEDC（第21-A 题）文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且1(0)BQ BB λλ=≠．（1）若12λ=，求AP 与AQ 所成角的余弦值；（2）若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值．南通市2017届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ▲ ．【答案】23π y = f (x )（第23题）yOxF AB PEBADC 1（第22题）A 1D 1B 1CQP2．设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则AB = ▲ ．【答案】{}135，，3．复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．【答案】3-4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为▲ ．【答案】0.175．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 ▲ ．【答案】56．若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．【答案】77．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ．【答案】208．如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ▲ ．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，（第5题）ABCDA 1B 1C 1D 1 （第8题）上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升．【答案】132211．在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin sin AC的值为 ▲ ．12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0)2x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．13．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ▲ ．【答案】(2)(2)-∞-+∞，，14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ▲．【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB ．（1）求cos β的值；（2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．【解】（1）在△AOB 中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠，所以（第15题）222cos 2OA OB AB AOB OA OB +-∠=⋅ ……………2分22211352115+-==⨯⨯，即3cos 5β=． ………………………………………………………………………6分（2）因为3cos 5β=，π(0)2β∈，，所以4sin 5β===． (8)分因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，因为α为锐角，所以12sin 13α． (10)分所以()5312433cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，………………12分()1235456sin sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=．所以点3356()6565B -，． …………………………………………………………14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD ．求证：（1）直线PA ∥平面BDE ；（2）平面BDE ⊥平面PCD ．【证明】（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 中点．又因为E 为PC 的中点，所以OE ∥PA ． ……………………4分又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以直线PA ∥平面BDE ． (6)（第16题）ABCODPE分（2）因为OE ∥PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥． ………………………………8分因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥． (10)分又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PCPD P =，所以OE ⊥平面PCD ． (12)分又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ． ……………………14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．【解】（1）由题意得，c a ，21a c c-=， …………2分解得a =1c =，1b =．所以椭圆的方程为2212x y +=． (4)分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP =，OQ =，所以22111OP OQ +=． …………6分当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得()22212k x +=，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+． (9)分（第17题）因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=-．由21y y x k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2x k =-，所以2222OQ k =+． ………………………………12分所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++．综上，可知22111OP OQ +=． ……………………………………………………14分18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪．（1）当∠EFP =4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．【解】（1）当∠EFP =4π时，由条件得 ∠EFP =∠EFD =∠FEP =4π．所以∠FPE =2π．所以FN ⊥BC ，四边形MNPE 为矩形．…… 3分所以四边形MNPE 的面积 S=PN MN ⋅=2 m 2．………… 5分（2）解法一：设<<2EFD θθπ∠=（0），由条件，知∠EFP =∠EFD =∠FEP =θ．所以22sin sin PF=θθ=π-22（）， 23sin NP=NF PF θ-=-2， ABCDFEPMN（第18题）23tan ME θ=-． ………………………………………………………………8分由230sin 230tan <<2θθθ⎧->⎪2⎪⎪->⎨⎪⎪π⎪⎩，，0，得2sin 32tan 3<<.2θθθ⎧2>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪π⎪⎩*，，（）0 所以四边形MNPE 面积为1()2S=NP ME MN +122(3)(3)22sin tan +θθ⎡⎤=--⨯⎢⎥2⎣⎦226tan sin 2=θθ--2222(sin cos )6tan 2sin cos =θθθθθ+--36(tan )tan θθ=-+ ………………………………………………………12分66--≤ 当且仅当3tan tan =θθ，即tan 3=θθπ时取“=”．………………14分此时，*（）成立．答：当3EFD π∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6-m 2． (16)分解法二：设BE t = m ，3<<6t ，则6ME t =-．因为∠EFP =∠EFD =∠FEP ，所以PE =PFt BP =-．所以21323t BP=t --（），213333323t NP=PF=PE=t BP =t t ------+-（）（）． ………8分由223<<613023133023t tt tt t ⎧⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪--+>⎪-⎩，，（），（）得23<<612310.t t t t ⎧⎪>⎨⎪-+<⎩*，（）所以四边形MNPE 面积为1()2S=NP ME MN +2113362223t t +t t ⎡⎤-=-+-⨯⎢⎥-⎣⎦（）（）（） 23306723t t t -+=-（）…………………………………………………………12分326323t +t ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦（）6-≤ 当且仅当32323t =t --（），即=33t ==”． ………14分此时，*（）成立．答：当点E 距B点3+m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6-m 2． (16)分19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【解】（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以(32)(2)31()144x x f x x x x+-'=--=，（x>0）． (2)分令()0f x '=，得2x =，当(02)x ∈，时，()0f x '<；当(2)x ∈+∞，时，()0f x '>，所以函数()f x 在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增．所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--． (4)分（2）由2()ln f x ax x x =--，得2121()210ax x f x ax x x x--'=--=>，．所以当0a ≤时，221()<0ax x f x x--'=，函数()f x 在(0+)∞，上单调递减，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点． (6)分因为当0a -1≤≤时，(1)1<0f a =-，221e e ()>0e ea f -+=，所以当0a -1≤≤时，函数()f x 在(0+)∞，上有零点．综上，当0a -1≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点． (8)分（3）解法一：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ． (9)分由2()ln f x ax x x =--，得221()(0)ax x f x x x--'=>，，令2()21g x ax x =--．因为(0)10g =-<，2>0a ，所以函数()g x 在(0)+∞，上只有一个零点，设为0x ．当0(0)x x ∈，时，()0()0g x f x '<<，；当0()x x ∈+∞，时，()0()0g x f x '>>，．所以函数()f x 在0(0)x ，上单调递减；在0()x +∞，上单调递增．要使得函数()f x 在(0+)∞，上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即200ln 0ax x x --<．又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->，又因为函数()2ln 1h x =x x +-在(0+)∞，上是增函数，且(1)0h =，所以01x >，得0101x <<．又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-，所以01a <<． (13)分以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点．当01a <<时，21211()10a ag a a a a -=--=>，所以011x a<<．因为22211e e ()10e e e e a af -+=-+=>，且0()0f x <．所以函数()f x 在01()ex ，上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=----=>≥（因为ln 1x x -≤），且0()0f x <．所以函数()f x 在02()x a，上有一个零点．所以当01a <<时，函数()f x 在12()e a，内有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(1)0，． (16)分下面证明：ln 1x x -≤．设()1ln t x x x =--，所以11()1x t x x x-'=-=，（x>0）．令()0t x '=，得1x =．当(01)x ∈，时，()0t x '<；当(1)x ∈+∞，时，()>0t x '．所以函数()t x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增．所以当1x =时，()t x 有最小值(1)0t =．所以()1ln 0t x x x =--≥，得ln 1x x -≤成立．解法二：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ． (9)分由2()ln 0f x ax x x =--=，得关于x 的方程2ln x x a x+=，（x>0）有两个不等的实数解．又因为ln 1x x -≤，所以222ln 211(1)1x x x a x x x +-==--+≤，（x>0）．因为x>0时，21(1)11x--+≤，所以1a ≤．又当=1a 时，=1x ，即关于x 的方程2ln x x a x+=有且只有一个实数解．所以<<1a 0． (13)分（以下解法同解法1）20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值；（2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列；（3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值范围．【解】（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+， ………2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =． ……………………………4分（2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以[][][]2111312(1)(1)(1)a k d a k d a k d +-+-=+-．整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+．因为2213k k k =，所以1213213(2)(2)a k k k d k k k --=--．因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=．………………………………………6分当11a d=时，1(1)n a a n d nd =+-=，所以n k n a k d =．又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q+-==，数列{}n k 为等比数列．综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．………………………………………8分（3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，11(1)n a a n d na =+-=．因为对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立．所以不等式1111112n n na k a q k q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n nn k q q na k q k q --+<<=+恒成立． (10)分下面证明：对于任意的正实数(01)εε<<，总存在正整数1n ，使得11n n εq <．要证11n n εq <，即证11ln ln ln n n q ε<+．因为11ln e 2x x x <≤，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取0n ⎡=⎢⎢⎣10n n >时，原式得证．所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[)2+∞，． ……………16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE =2CD ，求△OCE 的面积．【解】设CD x =，则2CE x =．因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得CA CB CD CE ⋅=⋅，所以21322x x x ⨯=⋅=，所以x =．…………2分取DE 中点H ，则OH DE ⊥．因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．…………………………………………………………………………6分又因为2CE x ==，所以△OCE的面积1122S OH CE =⋅==． …………………………10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），求矩阵A ．【解】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，（第21-A 题）因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量，所以111(1)111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩，． ………………………………4分因为点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以+3+3a b c d =⎧⎨=⎩，． (8)分解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．………………………………10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长．【解】解法一：在4sin ρθ=中，令π4θ=，得π4sin 4ρ=AB = …………………10分解法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线π()4θρ=∈R 的直角坐标方程为y x =①，………………………………………3分曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +-=②． ……………………………6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩，，或22x y =⎧⎨=⎩，，……………………………………………………………8分所以(00)(22)A B ，，，，所以直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB= ………………10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【解】3sin y x x =++…………………………………………2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+++=≤， (8)分所以max 5y =，此时3sin =5x ．所以函数3sin y x =+5． …………………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且1(0)BQ BB λλ=≠．（1）若12λ=，求AP 与AQ 所成角的余弦值；（2）若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°，求实数λ的值．【解】以{}1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -．（1）因为=(122)AP ，，，=(201)AQ ，，，（第22题）所以cos =||||AP AQ AP AQ AP AQ ⋅<>，==．所以AP 与AQ ．………………………………………4分（2）由题意可知，1=(002)AA ，，，=(202)AQ λ，，．设平面APQ 的法向量为n ()x y z =，，，则00AP AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩，．令2z =-，则2x λ=，2y λ=-．所以n (222)λλ=--，，．…………………………………………………………6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45°，所以|cos<n ，1AA >|11=||||AA AA⋅n n ==可得2540λλ-=，又因为0λ≠，所以45λ=． ……………………………10分23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值．【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-，因为(1)M m ，，由抛物线定义，知y = f (x )（第23题）yOxF AB PE12p MF =+，所以122p+=，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =． (3)分（2）因为214y x =，所以12y x '=．设点2()04t E t t ≠，，，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2t x =，即点(0)2tP ，．因为(0)2t P ，，(01)F ，，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=．则点2()4t E t ，到直线PF的距离为d == (5)分联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，，消元，得2222(216)0t y t y t -++=．因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y =2y =所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=． ………………7分所以△EAB的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯．不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为(0x ∈时，()0g x '<，所以()g x在(0上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x在)+∞上单调递增．所以当x =32min 4)()g x =所以△EAB 的面积的最小值为 (10)分。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学一模试卷含解析

江苏省南通市2019-2020学年高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】令sin 0x ≠，可得{},x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()cos cos sin sin x xe ef x f x x x--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项；当0πx <<时，cos 0xe >，sin 0x >，则()cos 0sin xe f x x=>，排除B 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =u u u r（）A ．2132AB AC +u u ur u u u rB ．1124AB AC +u u ur u u u rC ．1123AB AC +u u ur u u u rD ．2133AB AC +u u ur u u u r【答案】B 【解析】【分析】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ，由B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线,可知21x y +=，312xy +=,解得,x y 即可得出结果. 【详解】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ，因为B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线，所以21x y +=，312x y +=，所以12x =，14y =.故选:B. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.3．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C 【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322zy x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 32206z =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（） A ．7 B ．14C ．28D ．84【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，可求解得到114a =，利用求和公式和等差中项的性质，即得解【详解】56104a a a +=+Q ，111111465a d a d a d ∴+-=-+-解得114a =．121211121()21842a a S a +∴===．故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.5．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误；D 中，()xxy f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误；故选：C. 【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.6．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm D ．175cm【答案】C 【解析】【分析】【详解】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =，则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC F D ．三棱锥B CEF -的体积为定值【答案】B 【解析】【分析】根据平行的传递性判断A ；根据面面平行的定义判断B ；根据线面垂直的判定定理判断C ；由三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，判断D.【详解】在A 中，因为,F M 分别是,AD CD 中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；在B 中，由于直线BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故B 错误；在C 中，由平面几何得BM CF ⊥，根据线面垂直的性质得出1BM C C ⊥，结合线面垂直的判定定理得出BM ⊥平面1CC F ，故C 正确；在D 中，三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确；故选：B 【点睛】本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.8．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为（）A ．2B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】【分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值．【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，，则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b【答案】B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（） A ．72种 B ．144种 C ．288种 D ．360种【答案】B 【解析】【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种. 选B . 【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题 11．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项．【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，；第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，；第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题．解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<；综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(完整版)江苏南通2019高三第一次调研考试-数学(word版)

南通市2019届高三数学第一次调研测试参考答案

【答案】 4
10．已知数列an 是等比数列，有下列四个命题：
①数列 an 是等比数列；
③数列

1 an

是等比数列；
其中正确的命题有 ▲ 个．
②数列an an+1 是等比数列； ④数列lg an2 是等比数列．
【答案】 3
11．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (x + 2) = f (x) ．当 0 x ≤1 时， f (x) = x3 − ax +1 ，则实
l
被两圆截得的弦长相等，1 −
d12
=
4
−
d
2 2

d22
−
d12
=
3
①当斜率 k 不存在时，此时直线不可能与两圆相交，斜率 k 存在 ②当斜率 k 存在时，设 l : kx − y − mk = 0
d22
− d12
=
(4 − m)2 k 2 − m2k 2
k2 +1
=3
整理可得： (13 − 8m)k 2 = 3 k 2 = 3
数 a 的值为 ▲ ．【答案】2 【解析】由题意得： T = 2
x3 − ax + 1, 0 x 1
f ( x) = 0,
x=0 ,

−
ax
−
1,
−1

x

0
由奇函数得 f (−1) = f (1) f (1) = 2 − a = 0 a = 2
12．在平面四边形 ABCD 中， AB = 1，DA = DB ， AB AC = 3，AC AD = 2 ，则 AC + 2AD 的最小值为 ▲ ．【答案】 2 5

2019年南通市高考数学一模试卷(含答案)

22． 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方 10:10 平后，甲
先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束. （1）求 P（X=2）；（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.
D．－1
3．如果，那么下列不等式成立的是（）
4
2
A． sin cos tan
B． tan sin cos
C． cos sin tan
D． cos tan sin
4．设 i 为虚数单位，则(x＋i)6 的展开式中含 x4 的项为( )
A．－15x4
B．15x4
C．－20ix4
面的任意平面截得的两个截面的面积分别为 S1, S2 ，则“ S1, S2 总相等”是“V1,V2 相等”的
（）
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．函数 f x 的图象如图所示， f x 为函数 f x 的导函数，下列数值排序正确是
（）
A． 0 f 2 f 3 f 3 f 2 B． 0 f 3 f 3 f 2 f 2 C． 0 f 3 f 2 f 3 f 2 D． 0 f 3 f 2 f 2 f 3
14．复数 i 1 i 的实部为．
15． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b 2 ， c 3， C 2B ，则
ABC 的面积为______．
16．已知样本数据，，，的均值，则样本数据
，
，，

江苏省南通市2019届高三第一次模拟考试数学

2019届高三年级第一次模拟考试数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝ .2. 已知复数z ＝2i1－i－3i (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 .3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为 .4. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 .5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 .6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的体积为 cm 3.7. 若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线为l ，直线l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝6，则p 的值为 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x ＋t 与曲线y ＝a sin x ＋b cos x(a ，b ，t ∈R )相切于点(0，1)，则(a ＋b )t 的值为。

江苏省南通市2019届高三第一次模拟考试数学 Word版答案

2019届高三年级第一次模拟考试(南通)数学参考答案1.{0，1，3}2.53.34.75.236.547.－68.269.4 10.3 11.2 12.2 513.⎝⎛⎭⎫－4，43 14.337 15. (1) 在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点，所以MN ∥AD.(2分)又底面ABCD 是矩形，所以BC ∥AD.所以MN ∥BC.(4分)又BC ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以MN ∥平面PBC.(6分)(2) 因为底面ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊂底面ABCD ，所以AB ⊥侧面PAD.(8分)又MD ⊂侧面PAD ，所以AB ⊥MD.(10分)因为DA ＝DP ，又M 为AP 的中点，从而MD ⊥PA.(12分)又PA ，AB 在平面PAB 内，PA ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面PAB.(14分)16. (1) 在△ABC 中，因为cos A ＝33，0<A<π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝63.(2分) 因为a cos B ＝2b cos A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B，得sin A cos B ＝2sin B cos A. 所以cos B ＝sin B.(4分)若cos B ＝0，则sin B ＝0，与sin 2B ＋cos 2B ＝1矛盾，故cos B ≠0.于是tan B ＝sin B cos B＝1. 又因为0<B<π，所以B ＝π4.(7分) (2) 因为a ＝6，sin A ＝63，由(1)及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得663＝b 22，所以b ＝322.(9分) 又sin C ＝sin (π－A －B)＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B＝63×22＋33×22 ＝23＋66.(12分) 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×322×23＋66＝6＋324.(14分) 17. (1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，所以c a ＝12，则a ＝2c. 因为线段AF 中点的横坐标为22，所以a －c 2＝22. 所以c ＝2，则a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝6.所以椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.(4分) (2) 因为点A(a ，0)，点F(－c ，0)，所以线段AF 的中垂线方程为x ＝a －c 2. 又因为△ABF 的外接圆的圆心C 在直线y ＝－x 上，所以点C ⎝⎛⎭⎫a －c 2，－a －c 2.(6分) 因为点A(a ，0)，点B(0，b)，所以线段AB 的中垂线方程为：y －b 2＝a b ⎝⎛⎭⎫x －a 2. 由点C 在线段AB 的中垂线上，得－a －c 2－b 2＝a b ⎝⎛⎭⎫a －c 2－a 2，整理得，b(a －c)＋b 2＝ac ，(10分)即(b －c)(a ＋b)＝0.因为a ＋b>0，所以b ＝c.(12分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c2＝22.(14分) 18. (1) 如图1，过点O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点O 1，O 2，交劣弧CD 于点P ，O 1P 的长即为拱门最高点到地面的距离.在Rt △O 2OC 中，∠O 2OC ＝π3，CO 2＝3，所以OO 2＝1，圆的半径R ＝OC ＝2.所以O 1P ＝R ＋OO 1＝R ＋O 1O 2－OO 2＝5.故拱门最高点到地面的距离为5m .(4分)(2) 在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离.由(1)知，在Rt △OO 1B 中，OB ＝OO 21＋O 1B 2＝2 3.以B 为坐标原点，地面所在的直线为x 轴，建立如图2所示的坐标系.①当点P 在劣弧CD 上时，π6<θ≤π2. 由∠OBx ＝θ＋π6，OB ＝23，由三角函数定义，得点O ⎝⎛⎭⎫23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，则h ＝2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6.(8分) 所以当θ＋π6＝π2即θ＝π3时，h 取得最大值2＋2 3.(10分) ②如图3，当点P 在线段AD 上时，0≤θ≤π6. 设∠CBD ＝φ，在Rt △BCD 中，DB ＝BC 2＋CD 2＝27，sin φ＝2327＝217，cos φ＝427＝277. 由∠DBx ＝θ＋φ，得点D(27cos (θ＋φ)，27sin (θ＋φ)).所以h ＝27sin (θ＋φ)＝4sin θ＋23cos θ.(14分)又当0<θ<π6时，h′＝4cos θ－23sin θ>4cos π6－23sin π6＝3>0. 所以h ＝4sin θ＋23cos θ在⎣⎡⎦⎤0，π6上递增. 所以当θ＝π6时，h 取得最大值5. 因为2＋23>5，所以h 的最大值为2＋2 3.故h ＝⎩⎨⎧4sin θ＋23cos θ， 0≤θ≤π6，2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，π6<θ≤π2.艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2＋23)m .(16分)19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x －a x 2. ①当a ≤0时，f′(x)>0成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)为增函数；(2分)②当a>0时，(ⅰ) 当x>a 时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(a ，＋∞)上为增函数；(ⅱ) 当0<x<a 时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，a)上为减函数.(4分)(2) ①由(1)知，当a ≤0时，函数f(x)至多一个零点，不合题意；当a>0时，f(x)的最小值为f(a)，依题意知f(a)＝1＋ln a<0，解得0<a<1e.(6分) 一方面，由于1>a ，f(1)＝a>0，函数f(x)在(a ，＋∞)为增函数，且函数f(x)的图象在(a ，1)上不间断. 所以函数f(x)在(a ，＋∞)上有唯一的一个零点.另一方面，因为0<a<1e ，所以0<a 2<a<1e. f(a 2)＝1a ＋ln a 2＝1a ＋2ln a ，令g(a)＝1a＋2ln a ，当0<a<1e 时，g′(a)＝－1a 2＋2a ＝2a －1a 2<0，所以f(a 2)＝g(a)＝1a＋2ln a>g ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2>0. 又f(a)<0，函数f(x)在(0，a)为减函数，且函数f(x)的图象在(a 2，a)上不间断，所以函数f(x)在(0，a)有唯一的一个零点.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1e .(10分) ②设p ＝x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)＝1－a x 1＋1－a x 2＝2－⎝⎛⎭⎫a x 1＋a x 2. 又⎩⎨⎧ln x 1＋ax 1＝0，ln x 2＋a x 2＝0，则p ＝2＋ln (x 1x 2).(12分) 下面证明x 1x 2>a 2.不妨设x 1<x 2，由①知0<x 1<a<x 2.要证x 1x 2>a 2，即证x 1>a 2x 2. 因为x 1，a 2x 2∈(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数，所以只要证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 1).又f(x 1)＝f(x 2)＝0，即证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2).(14分)设函数F(x)＝f ⎝⎛⎭⎫a 2x －f(x)＝x a －a x －2ln x ＋2ln a(x>a). 所以F′(x)＝（x －a ）2ax 2>0，所以函数F(x)在(a ，＋∞)上为增函数.所以F(x 2)>F(a)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2)成立.从而x 1x 2>a 2成立.所以p ＝2＋ln (x 1x 2)>2ln a ＋2，即x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)>2ln a ＋2成立.(16分)20. (1) 设等差数列{a n }的公差为d.因为等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝4，8a 1＋8×72d ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n.(3分)(2) ①设数列{b n }的前n 项和为B n .由③－④得3(2n －1)－3(2n －1－1)＝(b 1a 2n －1＋b 2a 2n －3＋…＋b n －1a 3＋b n a 1＋2n)－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝[b 1(a 2n －3＋2)＋b 2(a 2n －5＋2)＋…＋b n －1(a 1＋2)＋b n a 1＋2n]－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝2(b 1＋b 2＋…＋b n －1)＋b n ＋2＝2(B n －b n )＋b n ＋2.所以3·2n －1＝2B n －b n ＋2(n ≥2，n ∈N *)，又3(21－1)＝b 1a 1＋2，所以b 1＝1，满足上式.所以2B n －b n ＋2＝3·2n －1(n ∈N *)，⑤(6分)当n ≥2时，2B n －1－b n －1＋2＝3·2n －2，⑥由⑤－⑥得，b n ＋b n －1＝3·2n －2.(8分)b n －2n －1＝－(b n －1－2n －2)＝…＝(－1)n －1(b 1－20)＝0，所以b n ＝2n －1，b n ＋1b n＝2，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.(10分)②由a m b m ＝3a p b p ，得m 2m －1＝3p 2p －1，即2p －m ＝3p m . 记c n ＝a n b n ，由①得，c n ＝a n b n ＝n 2n －1，所以c n ＋1c n ＝n ＋12n≤1，所以c n ≥c n ＋1(当且仅当n ＝1时等号成立). 由a m b m ＝3a p b p，得c m ＝3c p >c p ，所以m <p .(12分)设t ＝p －m (m ，p ，t ∈N *)，由2p －m ＝3p m ，得m ＝3t 2t －3. 当t ＝1时，m ＝－3，不合题意；当t ＝2时，m ＝6，此时p ＝8符合题意；当t ＝3时，m ＝95，不合题意；当t ＝4时，m ＝1213<1，不合题意. 下面证明当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3<1. 不妨设f (x )＝2x －3x －3(x ≥4)，则f ′(x )＝2x ln2－3>0，所以函数f (x )在[4，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )≥f (4)＝1>0，所以当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t－3<1，不合题意. 综上，所求集合{(m ，p )|a m b m ＝3a p b p，m ，p ∈N *}＝{(6，8)}.(16分)21.A.由题意知(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002，则MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012.(4分) 因为N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，则N －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(6分) 所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4001.(10分) B. (1) 直线l 的极坐标方程可化为ρ(sin θcos π4－cos θsin π4)＝2，即ρsin θ－ρcos θ＝2. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(4分)(2) 曲线C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)的普通方程为x 2＝y . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，x －y ＋2＝0得x 2－x －2＝0，所以直线l 与曲线C 的交点A (－1，1)，B (2，4).(8分)所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ＝（－1－2）2＋（1－4）2＝3 2.(10分)C.由柯西不等式，得[(a 2＋1)＋(b 2＋1)＋(c 2＋1)](1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1)≥(a 2＋11a 2＋1＋b 2＋11b 2＋1＋c 2＋11c 2＋1)2＝9，(5分) 所以1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1≥9a 2＋b 2＋c 2＋3≥91＋3＝94.(10分) 22. (1) 记“X 是‘回文数’”为事件A.9个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.所以事件A 的概率P(A)＝29.(3分) (2) 根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2.由(1)得P(A)＝29.(5分) 设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立.根据已知条件得，P(B)＝20C 29＝59. P(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝(1－29)×(1－59)＝2881；P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－29)×59＋29×⎝⎛⎭⎫1－59＝4381； P(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝29×59＝1081(8分) 所以，随机变量ξ所以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)＝0×2881＋1×4381＋2×1081＝79.(10分) 23. (1) 集合A 1＝{1，2，3}的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，其中所有元素和为3的整数倍的集合有∅，{3}，{1，2}，{1，2，3}，所以A 1的“和谐子集”的个数等于4.(3分)(2) 记A n 的“和谐子集”的个数等于a n ，即A n 有a n 个所有元素和为3的整数倍的子集；另记A n 有b n 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有c n 个所有元素和为3的整数倍余2的子集. 由(1)知，a 1＝4，b 1＝2，c 1＝2.集合A n ＋1＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n ，3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)}的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1))：第一类：集合A n ＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n}的“和谐子集”，共a n 个；第二类：仅含一个元素3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个；同时含两个元素3n ＋1，3n ＋2的“和谐子集”，共a n 个；同时含三个元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个；第三类：仅含一个元素3n ＋1的“和谐子集”，共c n 个；同时含两个元素3n ＋1，3(n ＋1)的“和谐子集”，共c n 个；第四类：仅含一个元素3n ＋2的“和谐子集”，共b n 个；同时含有两个元素3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共b n 个，所以集合A n ＋1的“和谐子集”共有a n ＋1＝4a n ＋2b n ＋2c n 个. 同理得b n ＋1＝4b n ＋2c n ＋2a n ，c n ＋1＝4c n ＋2a n ＋2b n .(7分)所以a n ＋1－b n ＋1＝2(a n －b n )，a 1－b 1＝2，所以数列{a n －b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.所以a n －b n ＝2n .同理得a n －c n ＝2n .又a n ＋b n ＋c n ＝23n ，所以a n ＝23×2n ＋×23n (n ∈N *).(10分)。

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