初二轴对称讲义

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轴对称(知识讲座)

§12．1 轴对称§12．1．1 轴对称〔一〕教学目标1．在生活实例中认识轴对称图．2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．教学重点轴对称图形的概念．教学难点能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十四章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．Ⅱ．导入新课出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征．这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两局部能够完全重合．小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，•甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．我们的黑板、课桌、椅子等．我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．如课本的图14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案〔折痕处不要完全剪断〕，•再翻开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花和图14．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的局部完全重合．不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图14．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的局部重合．结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线〔成轴〕•对称．了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，•将纸翻开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。

专题01 轴对称(知识串讲+6大考点)(解析版)

专题01 轴对称考点类型知识串讲（一）轴对称（1）轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．（二）轴对称图形（1）轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）（2）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

（三）尺规作图（1）过一点作已知线段的垂线求作：AB的垂线，使它经过点C作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。

②分别以点D 、E 为圆心，大于DE 21长为半径作弧，两弧交于点F 。

③作直线CF ，CF 即为所求的直线（1）作已知线段的垂直平分线作法：①以A 为圆心大于AB 21长为半径作弧，以B 为圆心大于AB 21长为半径作弧,两弧交于C 、D 两点 ②连接CD ，即为所求（四）垂直平分线（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．考点训练考点1：轴对称图形典例1：（2023春·福建福州·九年级校考期中）下列四个图形中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：选项B 的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；选项A 、C 、D 的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：B．【点睛】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【变式1】（2023·江苏淮安·统考三模）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，是优秀的中华传统文化，下面几幅蝴蝶的剪纸图案，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，进行判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．【变式2】（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）下列图标中，（）是轴对称图形．A．B．C．D．【答案】D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【变式3】（2023·湖南·统考中考真题）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（）A．爱B．我C．中D．华【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．【详解】解：将选项A，B，D中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，所以不符合题意；将图C中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，所以符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判断，掌握定义是解题的关键．即将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形．考点2：轴对称图形的实际应用A．70°B．80°【答案】D【分析】由题意可得∠BDN=∠PDN=12+∠OCD=140°，由对顶角相等可得∠BDN的内角和定理进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：∴∠ODC+∠OCD=180°―40°=140°，∵∠ODC=∠BDN，∠OCD=∠ACM，∴∠BDN+∠ACM=140°，∴∠BDP+∠ACP=280°，∵∠BDP+∠PDC=180°，∠ACP+∠PCD=180°，∴∠PDC+∠PCD=360°―280°=80°，∵∠PDC+∠PCD+∠CPD=180°，∴∠CPD=100°，故选：D．【点睛】本题主要考查了对称的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识，熟练掌握对称的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，是解题的关键．【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【答案】B【分析】利用轴对称画图可得答案.【详解】解：如图所示，球最后落入的球袋是2号袋，A．35°B．45°【答案】C【分析】根据题意可得∠AOC=∠BOD，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：依题意，∠AOC=∠BOD，∠AOC∴∠BOD=35°，A．65°B．62.5°【答案】B【分析】根据折叠得出∠OB′C′=180°―55°=125°．根据折叠得出典例3：（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=7，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCE的周长等于12，则BC的长度为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EC=EA，再利用△BCE的周长为12即可求解．【详解】解：∵DE垂直平分AC，∴EC=EA，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=BE+EA+BC=AB+BC=12，∵AB=7，∴BC=5，故选：A．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【变式1】（2021秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）等腰三角形ABC中，AB=AC=12，BC =7．线段AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则△BEC的周长等于（）A．12B．13C．19D．31【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BE=AE，继而可证得△BEC的周长=BC+AC．【详解】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于E，∴BE=AE，∴△BEC的周长为：BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=7+12=19．故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的周长．掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【变式2】（2023·河南信阳·校考三模）如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，连接AD．若∠B=35°，∠C=60°，则∠DAC的度数为（）A．50°B．40°C．35°D．30°【答案】A【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD，∠B=∠BAD=35°．根据三角形的内角和定理即可求得∠DA C=50°．【详解】根据题意，可知AD=BD，∴∠B=∠BAD=35°．∴∠ADC=70°．在△ADC中，∠C=60°，∠ADC=70°∴∠DAC=180°―60°―70°=50°，A．2个B．3个【答案】B【分析】①由角平分线的性质即可证明；从而可以证明；③假设DM平分错误；④连接BD、CD，证明∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF∴ED=DF．故①正确；∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC∴∠EAD=∠FAD=30°．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．考点4：垂直平分线的判定典例4：（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）A．AD=AE B．AD=DF C．DF=EF D．AF⊥DE【答案】B【分析】根据作图可得AD=AE,DF=EF，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：根据作图可得AD=AE,DF=EF，故A，C正确；∴A,F在DE的垂直平分线上，∴AF⊥DE，故D选项正确，而DF=EF不一定成立，故B选项错误，故选：B．【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．【变式1】（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，已知：AB=AC，MB=MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．下面是小彬的证明过程，则正确的选项是（）证明：∵AB=AC∴点A在线段BC的垂直平分线上①∵MB=MC∴点M在线段BC的垂直平分线上②∴直线AM是线段BC的垂直平分线③A．①处的依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等B．②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C．③处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D．以上说法都不对【答案】B【分析】根据垂直平分线的判定方法逐项判断即可．【详解】解：①处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故A选项错误，不合题意；②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故B选项正确，符合题意；③处的依据是：两点确定一条直线；故C选项错误，不合题意；综上可知，选项D错误，不合题意；故选B．【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，有下列结论：①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④DB平分∠ADC．其中正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①②④D．只有①【答案】B【分析】先证明Rt△ABC≌Rt△ADC得到∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，BC=CD，即可判断①②③；根据现有条件无法证明④．【详解】解：∵AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，BC=CD，∴AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，故①正确，②正确；∵BC=CD，AB=AD，∴AC是线段BD的垂直平分线，∴AC平分BD，故③正确；根据现有条件无法证明∠ADB=∠CDB，即无法证明DB平分∠ADC，故④错误；故选B．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等几何知识，熟知全等三角形的性质与判定定理，线段的垂直平分线的判定定理是解题的关键．【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AD=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“等形”，连接等形ABCD的对角线AC、BD，下列结论：①∠ABD=∠CBD；②BD垂直平分AC；③四边形ABCD的面积=AC⋅BD；④若∠ABC=60°，∠ADC=120°，点M，N分别是AB，BC边上的动点，且∠MDN=60°，则AM+CN=MN，其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④【答案】D【分析】根据“边边边”证明△ABD≅△CBD可判断①；根据垂直平分线的性质可判断②；由三角形面积计算公式可判断③；延长BC到E，使CE=AM，连接DE，由“边角边”定理判断△ADM≅△CDE，可得DM= DE，由线段和差关系可得AM+CN=MN从而可判断④．【详解】解：①在△ABD和△CBD中，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠DAB=∠DCE=90°，又∵AM=CE，AD=CD，∴△ADM≅△CDE(SAS)，∴AM+CN=MN，故④正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直平分线，理解“筝形”的性质和添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．考点5：垂直平分线的实际应用典例5：（2023·河北廊坊·统考一模）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点【答案】A【分析】根据题意可知，当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解．【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴木凳应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点，故选：A．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式1】（2021春·四川成都·八年级统考阶段练习）在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（）A．A处B．B处C．C处D．D处【答案】B【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等进行求解即可．【详解】由题意知，村庄P．Q连线的垂直平分线与公路的交点就是所求，即选在点B，故选B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知性质是解题的关键．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（）A．2B．12C．5D．7【答案】B【分析】由于A，C关于直线DE为对称，所以F和D重合时，FC+FB最小，最小值等于AB，即可求得ΔBCF 的周长的最小值．【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴A，C关于直线DE为对称，∴F和D重合时，FC+FB最小，即ΔBCF的周长的最小值，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DC=DA，∴FC+FB的最小值=DC+DB=AB=7，∴ΔBCF的最小周长=FC+FB+BC=7+5=12，故选：B．【点睛】本题主要考查了轴对称――最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OC，OD的距离也必须相等，则发射塔应建在（）A．∠COD的平分线上任意某点处B．线段AB的垂直平分线上任意某点处C．∠COD的平分线和线段AB的交点处D．∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处【答案】D【分析】利用线段垂直平分线的性质、角平分线的性质即可求解．【详解】解：∵发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，∴发射塔应建在线段AB垂直平分线上．∵发射塔到两条高速公路OC，OD的距离相等，∴发射塔应建在∠COD的平分线上．∴发射塔应建在∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处．故选D．【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的实际应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．考点6：尺规作图（垂直平分线、垂线）典例6：（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）(1)要在如图所示的S区内找一点P，使它到直线m，n的距离相等，同时该点到A，B两点的距离也相等．(2)已知直线m和m上一点P，作过P与m垂直的直线n．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）只需要尺规作直线m，n所夹锐角的角平分线和线段AB的垂直平分线，两线的交点即为所求作；（2）利用尺规作过点P的垂线即可．【详解】（1）如图，点P即为所求作；（2）如图：直线n即为所作．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质和角平分线与线段垂直平分线的尺规作图，正确理解题意、熟练掌握尺规作角平分线与线段垂直平分线的方法是解题的关键．【变式1】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）如图，在直线l上求作一点C，使得CA=CB（保留作图痕迹）．【答案】答案见解析【分析】作线段AB的中垂线交AB于一点D，则中垂线与直线l的交点为C为所求．【详解】解：以点B为圆心，AB的长为半径作圆，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，两圆交点分别为M、N，连接MN交AB于一点D，延长MN交l于一点C，此时直线CD为AB的垂直平分线，即CA=CB（线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等），如图所示：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，准确找到线段AB的中垂线是解题的关键．【变式2】（2023春·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）尺规作图题(1)已知BE与CF是△ABC的高，请只用无刻度直尺画BC边上的高AD;(2)请只用无刻度直尺与圆规作直角三角形ABC的高CD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据三角形三条高所在的直线交于一点作图即可；（2）先以C为圆心，AC长为半径画弧与AB交于E，再分别以E、A为圆心，AC长为半径画弧交于F，连接CF 交AB于D，线段CD即为所求．【详解】（1）如图所示（2）如图所示试说明PQ⊥a的理由：解：连接AP、BP、AQ、BQ．在△APQ与△BPQ中，AP _____ PQ所以△APQ≌△BPQ（______∵∠ACP+∠BCP=180°，∴∠ACP=∠BCP=90°，∴PQ是AB的中垂线；【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义，熟练掌握线段的垂直平分线的作图是解本题的关键．同步过关一、单选题1．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）下面是科学防控知识的图片，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（2023·广西贵港·统考三模）贴窗花是过春节时的一项重要活动．这项活动历史悠久．风格独特，深受国内外人士的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项验证即可得到答案．【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键．4．（2023·广东深圳·七年级统考期末）1给出的下列平面图形中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．【详解】解：根据轴对称图形的概念知B、C、D都不是轴对称图形，只有A是轴对称图形．故选A．已知：如图，∠ACB是△ABC的一个内角．求作：∠APB=∠ACB．作法：①以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；②在弧ACB上取一点P，连接AP，BP．所以∠APB=∠ACB．．．．．形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．8．（2023秋·福建龙岩·八年级校考期末）下列图形①角，②线段，③等腰三角形，④直角三角形，⑤圆，⑥正五角星，其中轴对称图形的个数是（）A．5B．4C．3D．2【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，进而判断得出答案．【详解】解：①角，②线段，③等腰三角形，④直角三角形，⑤圆，⑥正五角星，其中轴对称图形的是：①②③⑤⑥，共5个．故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．9．（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，点是AB边（不与端点重合）上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射线CE交射线AB于点F．若AD=CD=CF，则∠A=（）A．25°B．30°C．36°D．40°【答案】C【分析】先根据翻折性质和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质得到∠CDF=2∠A，∠CFD=∠B+∠BCF，∠CDF=∠CFD，再利用直角三角形的两锐角互余得到2∠A=90°－∠A+90°－2∠A，然后解方程求解即可．【详解】解：由翻折性质得：∠ACD=∠DCE，∵AD=CD=CF，∴∠A=∠ACD，∠CDF=∠CFD，∴∠CDF=∠A+∠ACD=2∠A，∠CFD=∠B+∠BCF，∵∠ACB=90°，∴∠B=90°－∠A，∠BCF=90°－2∠A，∵∠CDF=∠CFD，∴2∠A=90°－∠A+90°－2∠A，解得：∠A=36°，故选：C．【点睛】本题考查翻折性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．10．（2023·江苏·九年级专题练习）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如莱洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的菜洛三角形和圆形滚木的截面图．有下列4个结论：①莱洛三角形是轴对称图形；②图1中，点A到弧BC上任意一点的距离都相等；③图2中，莱洛三角形的周长、面积分别与圆的周长、面积对应相等；④使用截面的莱洛三角形的滚木搬运东西，会发生上下抖动．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①②③【答案】A【分析】根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质、扇形面积和弧长公式，平行线间的距离判断故正确说法为①②，故选：A【点睛】本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，扇形面积公式，弧长公式等知识，正确的理解题意是解题的关键．二、填空题11．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若∠1=52°，则∠2=___________．【答案】76°【分析】依据邻补角的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．【详解】解：如图，由折叠性质可知∠3=∠1+∠2，∴∠1=∠3-∠2=180°-∠1-∠2，∠2=180°-2∠1=180°-2×52°=76°．故答案为：76°．【点睛】本题考查邻补角的性质以及折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质．12．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）如图，将长方形纸条的一部分CDEF沿EF折叠到GHEF的位置．若∠HEF＝65°，则∠AEH的度数为_____．【答案】18°/18度【分析】根据正五边形的性质解答．【详解】解：∵多边形∴∠BCD=∠ABC=AH⊥BC∵AB=AC，AH⊥BC，∴BC=2BH=6，故答案为：6．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．16．（2023秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC 外的A′处，折痕为DE．如果∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA′=γ,则α,β,γ的关系为_______．【答案】γ=2α+β【分析】根据三角形的外角得：∠BDA′=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A′+∠CEA′，代入已知可得结论．【详解】解：如图，由折叠得：∠A=∠A′，∵∠BDA′=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A′+∠CEA′，∵∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA′=γ,∴∠BDA′=γ=α+α+β=2α+β,故答案为：γ=2α+β.【点睛】本题考查了三角形外角的性质，轴对称的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．三、解答题(1)在图①中，画△ABC的高线AD．(2)在图②中，画△ABC的中线BE．(3)在图③中，画△ABF，使△ABF的面积为6【答案】(1)见解析（2）（3）如图③，△ABF的面积为【点睛】本题考查了网格中应用与设计作图，用到了三角形高，中线，和三角形的面积等知识，解题的关键是正确掌握三角形面积求法，灵活应用所学知识解决问题．18．（2023秋·北京石景山图过程．证明：连接QA，QB．∵QA=______，PA=PB，∴PQ⊥l（______）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析；（2）QB，三线合一【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．（2）理由：连接QA，QB．∵QA=QB，PA=PB，∴PQ⊥l（三线合一）．故答案为：QB，三线合一．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第十四中学校考期中）如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，已知AB=15，DE=10，∠D=70°．求∠B的度数及BC、AD的长度．【答案】∠B=70°，BC=10、AD=15【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．【详解】解：∵△ABC和△ADE关于直线l对称，。

八年级轴对称专题课讲义

轴对称【知识梳理】一、轴对称与轴对称图形的区别与联系：轴对称图形轴对称图形定义把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做_______，两个图形中的对应点叫做______。

区别①轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称图形是反映一个图形的特性。

①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；联系①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。

二、轴对称的性质：1.关于某条直线对称的两个图形是_________。

（全等图形一定轴对称吗？）2.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的__________。

3.两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在________上。

【典型题型】轴对称、中心对称题型的识别：例1、（2010?兰州）观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形也是中心对称图形的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个练习1、写出以下轴对称图形的对称轴条数：（1）直线_______（2）线段_______（3）角_______（4）圆_______（5）等腰三角形_______（6）等边三角形_______作已知图形的轴对称图形例2、（2009 四川眉山，19）在33⨯的正方形格点图中，有格点△ABC 和△DEF ，且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在右面的备用图中画出所有这样的△DEF 。

练习2、画出以下图形的轴对称图形:L轴对称的概念和性质应用例3、下列命题中,说法正确的是( )A 两个全等三角形是关于某直线对称的轴对称图形B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形C 关于某直线对称的两个三角形全等D 关于某直线对称的两个三角形不一定全等练习3、1、下列说法中,正确的有（）（1）.两个关于某直线对称的图形是全等形;（2）两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线两旁;（3）两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴; （4）平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称. A 0个 B 1个 C 2个 D 3个图形的“折叠”问题例4、（2009 江苏，26）将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．练习4、矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色(如图)，则着色部分的面积为（ B ）(A) 8 (B)112(C) 4 (D)52利用对称轴解决几何最值问题E D CF B A 图③E D C A BF G A D E CBF G 图④图⑤ABCDEGF（第11题）F例5、在一平直河岸l 同侧有A ，B 两个村庄，A ，B 到l 的距离分别是3 km 和2 km ， AB=?a km （a ＞1）．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA （km ）（其中BP ⊥?l 于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2 ，且d2=PA+PB （km ）（其中点与点A 关于l 对称，B 与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，d1= ___________km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=__________________km （用含a 的式子表示）．练习5、如图,正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，DN+MN 的最小值为__________________。

八年级数学上册《轴对称》讲义

轴对称知识点一、轴对称图形轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.知识点二、轴对称1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称图形与轴对称的区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形.知识点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．知识点四、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.类型一、轴对称变换1.如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点坐标分别为(1,6)A -，(5,3)B -，(3,1)C -．（1）ABC ∆关于y 轴对称的图形△111A B C （其中1A ，1B ，1C 分别是A ，B ，C 的对称点），请写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）若直线l 过点(1,0)，且直线//l y 轴，请在图中画出ABC ∆关于直线l 对称的图形△222A B C （其中2A ，2B ，2C 分别是A ，B ，C 的对称点，不写画法），并写出点2A ，2B ，2C 的坐标．类型二、线段垂直平分线知识点① 线段垂直平分线的性质2. 如图，已知ABC ∆，AB 、AC 的垂直平分线的交点D 恰好落在BC 边上．（1）判断ABC ∆的形状；（2）若点A 在线段DC 的垂直平分线上，求AC BC的值．知识点② 线段垂直平分线的判定3. 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，BE CD =，且BD 与CE 相交于点O ，求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．类型三、利用轴对称的性质求图形的面积4. 在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点A 关于BC 边的对称点为A '，点B 关于AC 边的对称点为B '，点C 关于AB 边的对称点为C '，若1ABC S ∆=，求A B C S '''．类型四、“将军饮马”问题5. 如图，点P、Q为MON内两点，分别在OM与ON上找点A、B，使四边形PABQ的周长最小．类型五、角平分线与线段垂直平分线的综合6. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB于点F，交BC的延长线于E（1）在图①中，连接DF，证明DF//AC（2）在图①中，连接AE，证明∠EAC=∠B（3）如图②，若线段CD上存在一点M，使∠MPD=∠ACD，AM与EF交于点P，连接DP 并延长与AC交于点N，求证：AN=DM.①②【复习巩固】一．选择题（共7小题）1．如图，ABC ∆中，D 点在BC 上，将D 点分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ．根据图中标示的角度，求EAF ∠的度数为何？( )A ．113︒B ．124︒C ．129︒D ．134︒2．如图所示，在四边纸片ABCD 中，//AD BC ，//AB CD ，将纸片沿EF 折叠，点A ，D 分别落在A '，D '处，且A D ''经过点B ，FD '交BC 于点G ，连接EG ，若EG 平分FEB ∠，//EG A D ''，80D FC '∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒3．如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN 上的点，下列判断错误的是( )A ．AM BM =B ．AP BN =C ．M AP M BP ∠=∠D ．ANM BNM ∠=∠4．如图，在ABC ∆中，AB 边的中垂线DE ，分别与AB 边和AC 边交于点D 和点E ，BC 边的中垂线FG ，分别与BC 边和AC 边交于点F 和点G ，又BEG ∆周长为16，且1GE =，则AC 的长为( )A ．13B ．14C ．15D ．165．如图，50∠的平分线BE交AD于点E，连接∠=︒，AD垂直平分线段BC于点D，ABCABC∠的度数是()EC，则AECA．115︒B．75︒C．105︒D．50︒6．如图，四边形ABCD中，AB AD=，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若110∠=︒，BAD则ACB∠的度数为()A．40︒B．35︒C．60︒D．70︒7．如图，P是AOB∠两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰∠外的一点，M，N分别是AOB好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上．若 2.5PN=，PM=，3 MR=，则线段QN的长为()7A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二．解答题（共3小题）8如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA PB+的值最小，画出图形并证明．9．如图，OBC ∆中，BC 的垂直平分线DP 交BOC ∠的平分线于D ，垂足为P ．（1）若60BOC ∠=︒，求BDC ∠的度数；（2）若BOC α∠=，则BDC ∠= （直接写出结果）．10．如图，ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．（1）若60A ∠=︒，24ABD ∠=︒，求ACF ∠的度数；（2）若5BC =，:5:3BF FD =，10BCF S ∆=，求点D 到AB 的距离．。

八年级轴对称专题课讲义(精)

轴对称【知识梳理】一、轴对称与轴对称图形的区别与联系:二、轴对称的性质:1. 关于某条直线对称的两个图形是 _________。

(全等图形一定轴对称吗?2. 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的 __________。

3. 两个图形关于某直线对称, 如果它们的对应线段或延长线相交, 那么交点在________上。

【典型题型】轴对称、中心对称题型的识别:例 1、(2010• 兰州观察下列银行标志,从图案看既是轴对称图形也是中心对称图形的有 (个.A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个练习 1、写出以下轴对称图形的对称轴条数: (1直线 _______ (2线段 _______ (3角 _______ (4圆 _______(5等腰三角形 _______ (6等边三角形 _______作已知图形的轴对称图形例 2、 (2009 四川眉山, 19 在 33 的正方形格点图中, 有格点△ ABC 和△ DEF , 且△ ABC 和△ DEF 关于某直线成轴对称,请在右面的备用图中画出所有这样的△DEF 。

练习 2、画出以下图形的轴对称图形 :轴对称的概念和性质应用例 3、下列命题中 , 说法正确的是 (A 两个全等三角形是关于某直线对称的轴对称图形B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形C 关于某直线对称的两个三角形全等D 关于某直线对称的两个三角形不一定全等练习 3、 1、下列说法中 , 正确的有( (1 . 两个关于某直线对称的图形是全等形 ;(2两个图形关于某直线对称 , 对称点一定在直线两旁 ;(3两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 ; (4平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称 . A 0个 B 1个 C 2个 D 3个图形的“折叠”问题例 4、 (2009 江苏, 26将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处,折痕为 BE (如图③ ;再沿过点 E 的直线折叠,使点 D 落在 BE 上的点D '处,折痕为 E G (如图④ ;再展平纸片(如图⑤ .求图⑤中α∠的大小.练习 4、矩形纸片 ABCD 的边长 AB =4, AD =2.将矩形纸片沿 EF 折叠,使点 A 与点 C 重合, 折叠后在其一面着色 (如图 ,则着色部分的面积为( B(A 8 (B112(C 4 (D52E D CF B A图③ D C A B F 'A D E C 图④图⑤ AE(第 11题利用对称轴解决几何最值问题例 5、在一平直河岸 l 同侧有 A , B 两个村庄, A , B 到 l 的距离分别是 3 km和2 km, AB= a km(a >1 .现计划在河岸 l 上建一抽水站 P ,用输水管向两个村庄供水.方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图 13-1是方案一的示意图,设该方案中管道长度为 d1,且 d1=PB+BA(km (其中 BP ⊥ l于点 P ;图 13-2是方案二的示意图,设该方案中管道长度为 d2 ,且 d2=PA+PB(km (其中点与点 A 关于 l 对称, B 与l 交于点 P .观察计算(1在方案一中, d1= ___________km(用含 a 的式子表示 ;(2在方案二中,组长小宇为了计算 d2的长,作了如图 13-3所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算, d2=__________________km(用含 a 的式子表示 .练习 5、如图 , 正方形 ABCD 的边长为 8, M 在 DC 上,且 DM=2, N 是 AC 上的一动点, DN+MN的最小值为 __________________。

轴对称新课讲义

轴对称新课讲义（一）知识要点 1、轴对称及轴对称图形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。

如下左图，△ABC 是轴对称图形。

轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

如上右图，△ABC 与△A ’B ’C ’关于直线l 对称，l 叫做对称轴，A 和A ’，B 和B ’，C 和C ’是对称点。

规律方法小结：轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系，在某种情况下，二者可以互相转换，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。

2、线段的垂直平分线线段垂直平分线的定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为线段的中垂线）。

如下左图，直线l 经过线段AB 的中点O ，并且垂直于线段AB ，则直线l 就是线段AB 的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

如上右图，点P 是线段AB 垂直平分线上的点，则PA=PB 。

线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分A A ’B B ’C C ’ lABOlABP线上。

3、轴对称和轴对称图形的性质两个图形成轴对称（或轴对称图形），则对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

判断：成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？ 4、成轴对称的两个图形的对称轴的画法如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

八年级轴对称知识点讲解

八年级轴对称知识点讲解在初中数学中，轴对称是一种重要的几何概念，也是学生需要掌握的常识之一。

本文将为八年级学生详细讲解轴对称的概念、性质以及常见应用。

一、轴对称的概念轴对称是指一种对称方式，在平面内将图形分为两部分，其中一部分通过某个轴的旋转后可以恰好重合于另一部分，这个轴就被称为轴对称轴。

换言之，轴对称是指一种图形上下左右对称的状态。

二、轴对称的性质1. 坐标关系对于坐标系中的轴对称，其轴与坐标轴的交点处的坐标为(a, 0)或(0, a)，其中a为实数。

2. 图形特征轴对称有以下几个特征：对称轴上的点不变；对称轴上的任何点到图形内的对应点的距离相等；对称轴将图形分为两个完全相同的部分。

3. 作图方法作图一个图形的轴对称需要以下几个步骤：确定对称轴的位置和方向；确定图形中所有对称的点或线段；将每个点或线段依次沿对称轴复制，直至构成整个轴对称图形。

三、常见应用1. 绘制轴对称图形轴对称在绘制各种图形时都可以派上用场。

所以，掌握绘制轴对称图形的技能是至关重要的。

2. 模拟新图形通过所给轴对称图形和轴对称轴，可以模拟出新的图形。

比如说，拥有线段CB、直线AB和DE且过点A的轴对称轴，通过绘制一条ADE的边来构建新的轴对称图形。

3. 发现轴对称图形性质在解题时，掌握轴对称图形的性质可以给我们提供更多的思路。

比如说，对于轴对称图形来说，它们的对称轴和对称图形上的任何一个点的坐标都是对应的；轴对称图形的面积等于其对称轴两侧图形面积之和。

以上是对轴对称的概念、性质以及常见应用的详细讲解。

希望通过本文的阐述，能够帮助八年级学生更好地理解轴对称的知识点，掌握轴对称应用技巧，从而提高其数学成绩。

第一章轴对称图形讲义

第一章轴对称图形一、基础知识点知识点一：轴对称图形如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴知识点二：轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。

知识点三：关于某条直线成轴对称的图形的性质特征1、成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．2、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。

联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等知识点四：垂直平分线的定义经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线知识点五：线段垂直平分线的性质（1）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的与这条线段的距离思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．知识点六：轴对称的性质以及轴对称图形：性质：⑴成轴对称的两个图形全等。

⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。

知识点七：用坐标表示轴对称1．关于x轴与y轴对称的点的坐标的规律；（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为________；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为________．（3）点（x，y）关于原点对称的点的坐标为________．2．图形关于坐标轴对称一个图形内任一点的横坐标保持不变，纵坐标乘以-1所得的图形与原图形关于________轴对称．专题：等腰三角形知识点一：等腰三角形有相等的三角形是等腰三角形；相等的两边叫作，另一边叫作，两腰的夹角叫作，底边和腰的夹角叫作．练习1：1．如图（1）：△ABC中，若则△ABC是等腰三角形，是腰、是底边、是顶角，是底角．2．等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，这个三角形的周长为________．知识点二：等腰三角形的性质问题：如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线．求证：∠B=∠C；AD平分∠A，AD⊥BC．归纳性质：（1）等腰三角形的两个相等（简写成“等边对”）；C BA图（1）DC BA（2）等腰三角形的顶角、底边上的线、底边上的互相重合（通常称作“三线合一”）；友情提醒：（1）等边对等角的边角必须是同一个三角形的边与角；（2）等腰三角形的“三线合一”不要与三角形全等混淆．练习2：1．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是_______．2．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是__ _ ___ _． 3．如果等腰三角形的一个外角是125°，则底角为．注：已知等腰三角形一个角的度数，求另外两角的度数，常有两种情况，需要分类讨论． 4．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各个内角的度数．知识点三：等腰三角形的判定活动：如图（4），位于海上A 、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A ＝∠B ．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？COBA图（4）DC BA归纳：证明边相等或角相等，一般需要构造全等的三角形．判定定理：如果一个三角形有两个相等，那么这两个角所对的也相等（简写成“等角对 ”）．练习3：1．如图（5），CD 、BD 平分∠BCA 及∠ABC ，EF 过D 点且EF ∥BC ，则图中的等腰三角形有个，它们是2．在△ABC 中，∠B ＝36°，D 、E 在BC 边上，且AD 和AE 把∠BAC 三等分，则图中等腰三角形的个数（）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63．如图（6），∠CAE 是△ABC 的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC ，求证：AB=AC ．4．如图（7）,在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠DCB ＝∠B －∠ACB ，求证：△DCE 是等腰三角形．知识点四：等边三角形相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫；图（6）21EDCBA 图（5）图（7）练习4：如果一个等边三角形的一条边长为6cm，那么这个等边三角形的周长是．知识点五：等边三角形的性质（1）等边三角形的三个都相等，且都等于；（2）等边三角形是轴对称图形，且有对称轴；（3）等边三角形每条边上的、和三线合一，它们所在的直线都是等边三角形的．友情提醒：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等．练习5：1．△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，则∠A=_____度．2．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，连结AE，BD．求证：AE=BD．知识点六：等边三角形的判定（1）三条都相等的三角形是等边三角形；（2）三个都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是的三角形是等边三角形．练习6：1．已知△ABC中，AB=AC, ∠A+∠B=120°,那么∠A= ；△ABC是三角形；2．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．•其中是等边三角形的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．如图，在△ABC 中，点D 是AB 上的一点，且AD=DC=DB ，∠B=30°，求证：△ADC 是等边三角形．分析：由已知条件知△ADC 是等腰三角形，要想证明它还是等边三角形，只需要说明这个三角形中有一个内角等于60°即可．4．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、AC 上的点，（1）若AD=BE=CF ，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若△DEF 是等边三角形，问AD=BE=CF 成立吗？试证明你的结论．规律技巧总结：要说明一个三角形是等边三角形，可以考虑： ①利用定义证明； ②证明三个角相等；③证明它是等腰三角形并且有一个角是60°知识点七：有一个角是30°的直角三角形在直角三角形中30°的角所对的为斜边的．练习7：三角形三内角度数之比为1：2：3，最大边长是8cm ，则最小边的长是______．AC BDAFaDBEC二、典型例题讲解（2010无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝____°。

讲义--轴对称二

【知识详解】一、轴对称与轴对称图形1、轴对称把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

2、轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形为轴对称图形，这条直线为对称轴。

【判断图形是否为轴对称图形的关键，是看它能否找到一条直线，使直线两边的部分能够完全能互相重合】线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分注意：线段的垂直平分线是直线，且必须同时满足两个条件：（1）经过这条线段的中点；（2）与这条线段垂直。

二、轴对称的性质线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线注意：线段的垂直平分线是直线，且必须同时满足两个条件：（1）经过这条线段的中点；（2）与这条线段垂直。

轴对称的性质1.成轴对称的两个图形全等2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。

三、线段、角的轴对称性1、线段的轴对称性（1）线段的轴对称性① 线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线和它本身所在的直线。

② 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

③ 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

④ 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。

（2）线段垂直平分线的尺规作图已知线段AB ，作AB 的垂直平分线，做法如下：① 分别以点A 、B 为圆心，大于21AB 的长为半径画圆，两弧相交于点C 、 D ② 过C 、D 两点作直线，直线CD 就是线段AB 的垂直平分线（如右图）2、角的轴对称性（1）角的轴对称性① 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。

② 角平分线上的点到角两边的距离相等。

③ 角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上。

（2）角平分线的尺规作图① 以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB 两边于点M ，N 。

八年级轴对称专题课讲义

区别①轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称图形是反映一个图形的特性。

二、轴对称的性质：1.关于某条直线对称的两个图形是_________。

（全等图形一定轴对称吗？）2.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的__________。

3.两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在________上。

练习2、画出以下图形的轴对称图形:L轴对称的概念和性质应用例3、下列命题中,说法正确的是( )A 两个全等三角形是关于某直线对称的轴对称图形B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形C 关于某直线对称的两个三角形全等D 关于某直线对称的两个三角形不一定全等练习3、1、下列说法中,正确的有（）（1）.两个关于某直线对称的图形是全等形;（2）两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线两旁;（3）两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴; （4）平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称. A 0个 B 1个 C 2个 D 3个图形的“折叠”问题例4、（2009 江苏，26）将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．练习4、矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色(如图)，则着色部分的面积为（ B ）(A) 8 (B)112(C) 4 (D)52利用对称轴解决几何最值问题例5、在一平直河岸l 同侧有A ，B 两个村庄，A ，B 到l 的距离分别是3 km 和2 km ，E D CF B A 图③E D C A BF G A D E CBF G 图④图⑤ABCDEGF（第11题）FAB=?a km （a ＞1）．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA （km ）（其中BP ⊥?l 于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2 ，且d2=PA+PB （km ）（其中点与点A 关于l 对称，B 与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，d1= ___________km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=__________________km （用含a 的式子表示）．练习5、如图,正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，DN+MN 的最小值为__________________。

轴对称总复习复习讲义

第十三章轴对称总复习学习过程：一、基本概念1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这二、主要性质说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段3.通过画出坐标系上的两点观察得出：（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（，）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（，）4.等腰三角形的性质（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是5.等边三角形的性质（3）等边三角形每边上的、和该边所对内角的互相重合.6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的．三、有关判定1.与一条线段两个端点距离的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角，那么这两个角所对的边也。

（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的是等边三角形.4.有一个角是60°的是等边三角形。

四、练习（一）选择题A B C D2．下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（）3．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为A．7cm B．10cm C．12cm D．22cmA．A B=AD B．A C平分∠BCD C．A B=BD D．△BEC≌△DEC第3题图第4题图第5题图5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB 于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm（二）填空题1.已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的另外两个内角是。

2．已知等腰三角形的一个内角是100°，则它的另外两个内角是。

初二数学轴对称图形综合讲义

初二数学轴对称图形综合讲义一、知识点：1．轴对称与轴对称图形：(1)成轴对称：把__________沿某一条直线折叠，如果它能够与_______________，那么称_____________。

(2)轴对称图形：把___________沿某一条直线折叠，如果__________________，那么称_______________。

(3)轴对称与轴对称图形的区别与联系：如果把成轴对称的_________________看作一个整体，那么这个整体就是____________________；如果把一个轴对称图形位于直线两旁的部分看作____________________，那么这两部分图形就是__________________。

2．轴对称的性质：(1)___________________一条线段的___________，叫做这条线段的垂直平分线。

(2)轴对称的性质：①成轴对称的两个图形__________；成轴对称的两个图形的对称线段_________，对称角________。

②如果两个图形成轴对称，那么对称轴是_____________________________；③成轴对称的两个图形的任何对应部分________________．3．设计轴对称图形：对称的美术图案，除____________对称外，有时___________也对称。

4．线段、角的轴对称性：(1)线段的轴对称性：①线段是______________，线段的_________________________是它的对称轴。

②垂直平分线的性质：垂直平分线上的点______________________________________。

③到_____________________________点，在这条线段的垂直平分线上。

(2)角的轴对称性：①角是_____________，_________________________是它的对称轴。

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初二轴对称讲义 Prepared on 24 November 2020
第10讲轴对称
知识点梳理：
1.轴对称概念
（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

（3）轴对称和轴对称图形的区别和联系：
区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。

②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。

联系：①都沿某条直线对折，图形重合。

②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。

（4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

2. 轴对称的性质：
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。

轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3. 线段的垂直平分线的性质及判定
（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

如图①，若PC是线段AB的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB
（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图②，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。

4. 尺规作图
（1）如何作轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点
（2）作线段的垂直平分线
①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点；
②作直线CD， CD就是线段AB的垂直平分线。

【经典例题】
例1、在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
例2、观察下图中各组图形，其中成轴对称的为___________ （填序号）．
例3、李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正前方时，镜子中的号码是（）
例4、如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，（A（B（C （D
则△ABC的周长是多少
例5、如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A=70°，∠B=60°，∠C=50°，求∠ADB+∠BEC+∠CFA的度数
例6、如图所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．
例7、已知△ABC，过点A作直线L．求作：△A′B′C′使它与△ABC关于L对称．
作法：（1）作点C关于直线L的对称点C′；（2）作点B关于直线L的对称点B′；
（3）点A在L上，故点A的对称点A′与A重合；（4）连结A′B′、B′C′、C′A′．则△A′B′C′就是所求作的三角形．
例8.在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．
例9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，5），B（-4，3），
C（-1，1）．作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，请直接写出点B′关于x轴的对称点的坐标．
经典练习：
1．下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4
半圆，其中一定是轴对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个
D．4个
2．图9-19中，轴对称图形的个数是（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．下列图形中不是轴对称图形的是（）
A．有两个角相等的三角形；
B．有一个角是45°的直角三角形．
C．有两个角分别是50°和80°的三角形
D．平行四边形．
4．如图9－13所示，△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，BE＝5厘米，△BCE 的周长是18厘米，则BC＝厘米．
5．如图9－14，在△ABC 中，∠C ＝90°．BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 垂直平分AB ，若DE ＝1厘
米，BD=2厘米，则AC ＝厘米．
6．如图，若P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于
OA 、OB 的对称点P 1P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，
交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长是________．
7．在某一地区有居民区A 、B 、C ，如图9－15．现想
在此地区建造一牛奶站P ，使P 到A 、B 、C 三点的距离
相等．请你作出P 点．
8、如图，A 、B 两个村庄在河岸的同一侧，现要在河岸上开设取水口，铺设灌溉管道。

为了使管道铺设距离最短，请在图中画出取水口P 的位置。

9．已知∠AOB ，试在∠AOB 内确定一点P ，如图9－16，使P 到OA 、OB 的距离相等，并且到M 、N 两
点的距离也相等．
10．如图，在△ABC 中，DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，交BC 于M 、N ， (1)若△CMN 的周长为18cm ，求AB 的长。

（2）若∠MCN=48°，求∠ACB 的度数。

11．点(1,3)P -关于x 轴的对称点的坐标为．点)0,1(-关于y 轴的对称点为。

12. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点坐标为A （0，-2）、B （3，
-1）、C （2，1）
（1）请在图中画出△ABC 关于y 轴对称的图形△AB ′C ′；
（2）写出点B ′和C ′的坐标．
课后作业：
1、下列语句中正确的有（）句.
①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧.
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2.下列图形:①两个点;②线段;③角;④长方形;⑤两条相交直线;⑥三角形,其中一定是轴对称图形的有（）
个个个个
3、小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，那么实际时间是（）
A 、21：10
B 、10：21
C 、10：51
D 、12：01
N M B E
D C
A
4.如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．求∠PAQ的度数．
DBC= ，
= ．
△BDC的周长C
△BDC
6、如图，已知∠AOB=40°，CD为OA
7.如图，△ABC中，∠B＝80°，AC边的垂直平分线DE
且∠ACD∶∠BCD＝2：1，则∠ACB＝_____.。