建筑力学课件 第九章 扭转
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材料力学课件：扭转
B
D
C
12 3
A P
Page4
§3-6 热应力与预应力
扭转
§4-1 引言 §4-2 圆轴扭转应力
Page5
§3-6 热应力与预应力
lT=ll T
B
C
A A’
变形不受限制(静定结构)，杆内未引起应力
Page6
B lT=ll T
CB
C
A’
A
A
变形受到限制(静不定结构)，杆内引起应力
热应力：因温度的变化在杆件内部引起的应力 预应力：由于实际尺寸的误差在杆件内部引起的应力
各
截面的扭矩。
Page20
扭矩图：外扭力矩随杆轴线变化的情况。
M 3ml
m
x
A
B
C
D
l
l/2 l/2
T1 ( x)
x
T ml
x
2ml
例：(m：单位长度的扭力偶矩)
AB段： T1 x mx
BC段： T2 ml CD段： T3 2ml
Page21
思考：
M
M’
M’
M
(1)
M’
(2)
M’
(3)
FN3
FN1
FN2
Page9
3
1
2
3
1
2
协调方程:
l3+ l1/cos()=
l3
FN3
FN1
FN2
Page10
➢ 装配应力在工程结构中的应用
1 23
P
在准确加工、装配的情况下，2杆 的应力最大。
如果能使3根杆同时达到许用应力， 将对结构更有利。
FN1 [1 ]A FN 2 [ 2 ]A FN 3 [ 3 ]A
工程力学ppt 9扭转
T Me = 0
所以
T = Me
称为截面n—n上的内力偶矩，称为扭矩。扭矩的正负号规定 上的内力偶矩， 称为截面 — 上的内力偶矩 称为扭矩。 若按照右手螺旋法则把T表示为矢量 表示为矢量， 为：若按照右手螺旋法则把 表示为矢量，则当矢量指向离开截 面时为正，反之为负。 面时为正，反之为负。
所示， 【例9.1】 传动轴如图 】 传动轴如图9.5(a)所示，主动轮 输入功率 P = 36 kW， 所示 主动轮A输入功率 A ， 从动轮B、 、 输出功率分别为 B 从动轮 、C、D输出功率分别为 P = P =11 kW，P =14 kW， ，D ， C 试画出轴的扭矩图。 轴的转速为 n = 300r/ min 。试画出轴的扭矩图。 解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩
●9.7 非圆截面杆扭转的概念 ● 9.7.1 限制扭转和自由扭转 ● 9.7.2 矩形截面轴的扭转切应力 ●小 结 ●思 考 题 ●习 题
●9.1 扭转的概念和实例 以扭转为主要变形的构件称为轴，如图9.1所示的汽车的转向 以扭转为主要变形的构件称为轴，如图 所示的汽车的转向 如图9.2所示的攻螺纹的丝锥 扭转有如下特点。 所示的攻螺纹的丝锥。 轴，如图 所示的攻螺纹的丝锥。扭转有如下特点。 (1) 受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大 受力特点： 小相等、方向相反的外力偶。 小相等、方向相反的外力偶。 (2) 变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转 变形特点：横截面形状大小未变， 动，其角位移用表示，称为扭转角，其物理意义是用来衡量扭转 其角位移用表示，称为扭转角， 程度的。 程度的。
的平面内。 的平面内。 根据平面假设，距圆心 根据平面假设，
ρ 为处的切应变为
(b)
工程力学第9章(扭转)
例：图示传动轴，主动轮B 输入的功率 B=10kW，若不计 图示传动轴，主动轮 输入的功率P ， 轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为P 轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为 A=4kW， ， PC=6kW，轴的转速 = 500r/min，试作轴的扭矩图。 ，轴的转速n ，试作轴的扭矩图。
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max
工程力学第九章扭转PPT课件
.
29
第九章 扭转
§9-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
(27问.03题.202的1 物理方面)
.
45
3. 校核强度
第九章 扭转
2,max >1,max，但有 2,max<[ ] = 80MPa，故
该轴满足强度条件。
Mn图(kN m)
需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应 力集中现象，在以上计算中对此并未考核。
27.03.2021
.
46
第九章 扭转
§9-5 等直圆杆扭转时的变形·刚度条件
第九章 扭转
低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如 图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？
27.03.2021
.
42
第九章 扭转
Ⅲ. 强度条件
max[]
此处[]为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即 M nmax [ ]
Wp 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因 拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上 的剪应力有固定关系，故仍可以剪应力和许用剪应力来表 达强度条件。
468
M n (N·m)
扭矩图应与原轴平行对齐画
27.03.2021
.
16
作内力图要求：
1 . 正确画出内力沿杆轴分 布规律
mB
mC
B
C
建筑力学电子教案_扭转
（2） 物理关系：
由剪切胡克定律： Gg ，在 p 时，可把（1）式
代入，得：
Gg
G(d)
dx
(2)
上式表明：受扭的等直杆在线性
弹性范围内工作时，横截面上的切应
MT
力在同一半径r的圆周上各点处大小相 同，但它们随 r 作线性变化，同一横 max
截面上的最大切应力在圆周边缘上
§9-2 薄壁圆筒扭转时的应力与应变
g (rad)
φ
T
T
平均半径为 r。厚度为δ
且δ« r。
l
取一薄壁圆筒，在其表面用等间距的圆周线和纵向 平行线画出矩形网格，然后在其两端施加一外力偶，其 矩为T，从其变形情况可见：
（1）两相邻圆周线间距不变；
g (rad)
φ
T
T
（2）各圆周线的形状、大小未改变；
比例极限，则随钢种而异；对Q235钢，tp =120 MPa。
理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，剪切弹性 模量与其它两弹性参数E和v 之间存在下列关系：
G E
2(1 )
泊松比
§9-3 圆杆扭转时的应力与变形
1 横截面上的切应力 实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面受扭时，我们没有理
由认为它们横截面上的切应力如同在受扭的薄壁圆筒中那样 是均匀的分布的。
横截面上的扭矩在数值上等于该截面左側或右側轴
上的外力耦矩的代数和。
规定外力耦矩的正负为: 以右手的四指表示外力耦
矩的转向，则大拇指的方向离开横截面为正；指向横截
面为负。
TA
1 TB 2 TC 3 TD
M T1TBTCTD
A 1 B 2 C 3D
a
a
最新工程力学—第九章-扭转精品课件
第三节切应力yngl互等定理与剪切虎克定律由此可见在圆管横截面的各点处仅存在垂直于半径方向fngxing的切应力如图示它们沿圆周大小不变而且由于管壁很薄沿壁厚也可近似认为均匀分第十九页共50页
第7章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件(tiáojiàn) 圆轴扭转变形与刚度条件(tiáojiàn)
最大扭转切应力
面(由j式iém iàTnI)p
可知，在ρ＝R 即圆截
边缘各点处，切应力最大，其值为
max
TR Ip
T Ip
T
Wp
式中Wp为抗扭截面系 数(xìshù)，Wp=Ip/R单 位为m3或mm3。
R
可见，最大扭转切应力与扭矩成正比，与抗
扭截面系数成反比。
第二十三页，共50页。
第五节 圆轴扭转破坏与强度(qiángdù)条件
第十六页，共50页。
4.78
6.37
15.9
4.78
第十七页，共50页。
第三节 切应力互等定理(dìnglǐ)与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转(niǔzhuǎn)应力
从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正 应变，也无横向正应变，只是相邻(xiānɡ lín)横 截面ab与cd之间发生相对错动，即仅产生剪切变 形；而且，沿圆周方向所有微体的剪切变形均相 同。
)
Wp=
D
16
3
(
1-
4
)
=d / D
第二十八页，共50页。
例1 已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率 P1=368kW，从动轮2、3分别输出功率为 P2=147kW，P3=221kW， [τ]=70MPa， [θ]=10/m，G=80GPa。试按强度条件求AB段的直径 d1；BC段的直径d2；若两段采用同一直径d，试确定 (quèdìng)d的大小。
第7章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件(tiáojiàn) 圆轴扭转变形与刚度条件(tiáojiàn)
最大扭转切应力
面(由j式iém iàTnI)p
可知，在ρ＝R 即圆截
边缘各点处，切应力最大，其值为
max
TR Ip
T Ip
T
Wp
式中Wp为抗扭截面系 数(xìshù)，Wp=Ip/R单 位为m3或mm3。
R
可见，最大扭转切应力与扭矩成正比，与抗
扭截面系数成反比。
第二十三页，共50页。
第五节 圆轴扭转破坏与强度(qiángdù)条件
第十六页，共50页。
4.78
6.37
15.9
4.78
第十七页，共50页。
第三节 切应力互等定理(dìnglǐ)与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转(niǔzhuǎn)应力
从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正 应变，也无横向正应变，只是相邻(xiānɡ lín)横 截面ab与cd之间发生相对错动，即仅产生剪切变 形；而且，沿圆周方向所有微体的剪切变形均相 同。
)
Wp=
D
16
3
(
1-
4
)
=d / D
第二十八页，共50页。
例1 已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率 P1=368kW，从动轮2、3分别输出功率为 P2=147kW，P3=221kW， [τ]=70MPa， [θ]=10/m，G=80GPa。试按强度条件求AB段的直径 d1；BC段的直径d2；若两段采用同一直径d，试确定 (quèdìng)d的大小。
静力学和材料力学课件第九章 扭转(H)
B
C
C'
d dx
第九章 扭
转
1.变形几何关系
d γ dx
2.物理关系
G
d G dx
max
O
d ? dx
第九章 扭
转
3.静力学关系
d 2 T dA G dA A A dx d G 2 dA dx A
第九章 扭
转
M1
（2）计算A、C两截面间的相对扭转角
A
75
M 2 50 M 3
C
500
B
750
A B
T1l1 2.5 103 750 103 7.55 103 rad GI P1 80 109 754 1012 32
T2l2 1.5 103 500 103 15.28 103 rad GI P 2 80 109 504 1012 32
1、实验
D
t
D / t 20
第九章 扭
转
实验现象：
(a) 纵向线倾斜了同一微小角度,方格变成了菱形。 (b) 圆周线的形状大小及圆周线之间的距离没变，只是绕
圆筒的轴线发生了相对转动。
第九章 扭
转
2、应力分析
A、切应力的存在性
由剪切变形剪应变单元 体的两侧必然有切应力。
a d
b c
B、正应力不存在性
第九章 扭 转
§9.2 外力偶矩的计算
一、外力偶矩的计算
2n P M M 60
扭矩和扭矩图
P——传递的功率（kW） n——轴的转速（r/min）
P P M 9 549 ( N m) 9.55 (kN m) n n
工程力学_09 扭转ppt课件
9.549 1450
65.9(N • m)
全部标准单位 10
§9–2 动力传递与扭矩
二、扭矩及扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
Mx 0
M
M
T M 0T M
3 扭矩的符号规定：
x
M
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
11
§9–2 动力传递与扭矩 扭矩正负规定
三、薄壁圆截面：
极惯性矩：
ρ可用平均半径R0代替
I p A 2dA R02 A dA 2R03
A 2πR0
δ
抗扭截面系数
Wp
Ip R0
2R03
R0
2R02
R0 O
40
例题9-2 AB段为实心，直径d=20mm BC段空心，内外径di=15，do=25mm 承受的扭矩分别为MA=MB=100N.m,MC=200N.m，求最大扭转切应力。
1
第九章 扭 转
§9-1 引言 §9-2 动力传递与扭矩 §9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律 §9-4 圆轴扭转横截面上的应力 §9-5 极惯性矩与抗扭截面系数 §9-6 圆轴扭转破坏与强度条件 §9-7 圆轴扭转变形与刚度条件 *§9-8 非圆截面轴扭转简介
2
§9–1 扭转的概念和实例
工 程 实 例
32
§9–4 圆轴扭转时横截面上的应力
I p A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
d
O
D
33
§9–4 圆轴扭转时横截面上的应力
二、最大扭转切应力
65.9(N • m)
全部标准单位 10
§9–2 动力传递与扭矩
二、扭矩及扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
Mx 0
M
M
T M 0T M
3 扭矩的符号规定：
x
M
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
11
§9–2 动力传递与扭矩 扭矩正负规定
三、薄壁圆截面：
极惯性矩：
ρ可用平均半径R0代替
I p A 2dA R02 A dA 2R03
A 2πR0
δ
抗扭截面系数
Wp
Ip R0
2R03
R0
2R02
R0 O
40
例题9-2 AB段为实心，直径d=20mm BC段空心，内外径di=15，do=25mm 承受的扭矩分别为MA=MB=100N.m,MC=200N.m，求最大扭转切应力。
1
第九章 扭 转
§9-1 引言 §9-2 动力传递与扭矩 §9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律 §9-4 圆轴扭转横截面上的应力 §9-5 极惯性矩与抗扭截面系数 §9-6 圆轴扭转破坏与强度条件 §9-7 圆轴扭转变形与刚度条件 *§9-8 非圆截面轴扭转简介
2
§9–1 扭转的概念和实例
工 程 实 例
32
§9–4 圆轴扭转时横截面上的应力
I p A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
d
O
D
33
§9–4 圆轴扭转时横截面上的应力
二、最大扭转切应力
材料力学扭转教学课件PPT
200 kW。试做轴力图。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
工程力学 第9章 扭转
在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之 比等于横截面面积之比。
A2 6.87 104 0.31 4 A1 22.2 10
可见在载荷相同的条件下，空 心轴的重量仅为实心轴的31% 。
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件
扭转变形的标志是两个横截面之间绕轴线的
相对转角（扭转角 ）。
§9.4 圆轴扭转横截面上的应力
Me
p q
Me
_扭转角（rad）
p p
d
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角 边缘上a点的错动距离：
q q
aa ' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R
a
d
O
c p
a
'
b b′ q
aa' Rd ad dx
dx
发生在垂直于半径的平面内。
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件
相对扭转角
抗扭刚度
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件
当各段内的扭矩不同时，要分段计算，然后按代
数值相加
Ti li i 1 GI Pi
n
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件 Tl GI P
单位长度扭转角 rad/m
d T dx GI p
'
rad/m
Tmax
（2）设计截面
Wt
（3）确定载荷
Tmax Wt
§9.6 圆轴扭转破坏与强度条件 例 由无缝钢管制成的汽车
传动轴，外径D=89mm，内径 d=85mm，工作时的最大扭矩
T=1.5KN·m，[]=60MPa。校
《工程力学》教学课件第九章剪切和扭转共39页PPT资料
A Q QP d23 .1 1 4 1 1 .6 2 0 170 1.3 8 M 6 P a
jy A P jjy y4 P td 4 1 1 1 1 .6 0 17 01.7 9 M 1Pjya
钢板的2--2和3--3面为危险面
2 4 t(b 3 P 2 d ) 4 (8 3 .5 1 2 1 1 .6 ) 0 17 0 1.7 5 M 5 P a
解 （1）计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
Me1 9.55P1 9.55 500
n 15.9(kNm)
300 A
n
B
C
D
M e 2 M e 3 9 .5P 2 5 9.1 55 5 4 .7 0(8 k m N) n 300
m 49 .5P n 5 49.3 2 50 0 5 6 .0 0 3(7km N)
教学难点
❖ 剪切和挤压的强度校核； ❖ 扭矩图的画法； ❖ 圆轴扭转的变形公式及其推导过程； ❖ 圆轴扭转的强度和刚度校核。
第一节 剪切和挤压的概念
剪切
①受力特点：
F
构件受两组大小相等、方 向相反、作用线距离很近的平 行力系作用。
铆钉
（合力） F
②变形特点：
m
构件沿两组平行力系的交界面
发生相对错动。
T
x
例9-2 如图所示圆截面杆各截面处的外力偶矩大小分别为
Me1=6M，Me2= M，Me3=2 M，Me4=3 M，求杆在横截面11、2-2、3-3处的扭矩。
解 按照截面法，∑Mx=0 有 扭矩图如下
例9-3 如图为一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
工程力学(扭转)课件
抗扭强度与物体的材料属性、几何形状、尺寸和受力条件等因素有关。
抗扭强度的计算
抗扭强度的计算公式通常基于剪切应 力的极限值或剪切模量，具体公式取 决于材料的性质和受力条件。
除了理论计算，还可以通过实验测试 来测定材料的抗扭强度。实验方法包 括扭转试验、弯曲试验和压缩试验等 。
对于金属材料，可以根据弹性力学理 论计算抗扭强度。对于复合材料和复 合结构，需要考虑各组分材料的性能 以及它们之间的相互作用。
提高抗扭强度的方法
选择高强度材料
优化结构设计
高强度材料具有更高的抗剪切强度和剪切 模量，可以提高结构的抗扭能力。
合理的结构设计可以有效地提高结构的抗 扭强度。例如，增加截面尺寸、改变截面 形状、增加加强筋等。
采用复合结构
进行适当的热处理和表面处理
复合结构由多种材料组成，可以综合利用 各种材料的优点，提高整体抗扭强度。
适当的热处理和表面处理可以提高材料的 力学性能，从而提高抗扭强度。
05
扭转实验
实验目的
01
02
03
04
掌握扭转变形的特点及 分析方法
了解扭矩与扭矩计量的 基本概念
探究扭转变形的应力分 布规律
分析材料在扭转变形中 的力学性能
实验设备
扭转试样
不同材料的圆棒或 圆管试样
测角仪
用于测量试样的扭 转角度
传递效率
力矩传递过程中能量的损失或效率。
影响因素
传递方式、材料性质、摩擦等因素影响传递效率 。
03
扭转变形
扭转变形的定义
扭转变形
物体在扭矩的作用下发生的形状改变。
扭矩
扭转物体时所施加的力矩，其大小取决于作用力、力臂和力矩方向 。
抗扭强度的计算
抗扭强度的计算公式通常基于剪切应 力的极限值或剪切模量，具体公式取 决于材料的性质和受力条件。
除了理论计算，还可以通过实验测试 来测定材料的抗扭强度。实验方法包 括扭转试验、弯曲试验和压缩试验等 。
对于金属材料，可以根据弹性力学理 论计算抗扭强度。对于复合材料和复 合结构，需要考虑各组分材料的性能 以及它们之间的相互作用。
提高抗扭强度的方法
选择高强度材料
优化结构设计
高强度材料具有更高的抗剪切强度和剪切 模量，可以提高结构的抗扭能力。
合理的结构设计可以有效地提高结构的抗 扭强度。例如，增加截面尺寸、改变截面 形状、增加加强筋等。
采用复合结构
进行适当的热处理和表面处理
复合结构由多种材料组成，可以综合利用 各种材料的优点，提高整体抗扭强度。
适当的热处理和表面处理可以提高材料的 力学性能，从而提高抗扭强度。
05
扭转实验
实验目的
01
02
03
04
掌握扭转变形的特点及 分析方法
了解扭矩与扭矩计量的 基本概念
探究扭转变形的应力分 布规律
分析材料在扭转变形中 的力学性能
实验设备
扭转试样
不同材料的圆棒或 圆管试样
测角仪
用于测量试样的扭 转角度
传递效率
力矩传递过程中能量的损失或效率。
影响因素
传递方式、材料性质、摩擦等因素影响传递效率 。
03
扭转变形
扭转变形的定义
扭转变形
物体在扭矩的作用下发生的形状改变。
扭矩
扭转物体时所施加的力矩，其大小取决于作用力、力臂和力矩方向 。
工程力学课件 扭转
A
2. 单位长度扭转角 3. 整体的扭转角
dϕ T = dx GI p
γmax
dϕ =
T dx GI p
B B'
ϕ AB = ∫ dϕ
A l
B
Me
Me
T Tl dx = =∫ 0 GI GI p p
ϕ AB
B截面相对于A截面 的扭转角
3. 整体的扭转角
A
ϕ AB
Tl = GI p
Me
γmax
Me
B B'
π D4
4
= 32
π × 304
= 7.95 ×104 mm 4 32
4
4 πD π 30 20 4 4 4 I p2 = (1 − α ) = 1 − = 6.38 × 10 mm 32 32 30
（3）计算切应力 AC 段内
AC τ min =0 AC τ max
ϕ AB
B截面相对于A截面 的扭转角
# 如果在AB区间内
ϕ AB
Ti li =∑ Gi I pi
注意：Ti 应是代数值，有+ -号
" ∑ "是代数和
二、刚度条件
＃刚度校核
′ ≤ [ϕ ′] 刚度条件 ϕ max
其中
＃设计截面 ＃计算许可载荷 ( o/m )
′ ϕ max
Tmax 180o = GI p π
9-4 圆轴扭转的应力和强度条件
受扭圆轴横截面上有何应力？ 其应力公式如何分析与推导？
静力平衡方程
微剪力对圆心的力矩，称为微力矩 在整个横截面上，所有微力矩之和应等于截面上的扭矩 T
∫
A
ρτ ρ dA = T
2. 单位长度扭转角 3. 整体的扭转角
dϕ T = dx GI p
γmax
dϕ =
T dx GI p
B B'
ϕ AB = ∫ dϕ
A l
B
Me
Me
T Tl dx = =∫ 0 GI GI p p
ϕ AB
B截面相对于A截面 的扭转角
3. 整体的扭转角
A
ϕ AB
Tl = GI p
Me
γmax
Me
B B'
π D4
4
= 32
π × 304
= 7.95 ×104 mm 4 32
4
4 πD π 30 20 4 4 4 I p2 = (1 − α ) = 1 − = 6.38 × 10 mm 32 32 30
（3）计算切应力 AC 段内
AC τ min =0 AC τ max
ϕ AB
B截面相对于A截面 的扭转角
# 如果在AB区间内
ϕ AB
Ti li =∑ Gi I pi
注意：Ti 应是代数值，有+ -号
" ∑ "是代数和
二、刚度条件
＃刚度校核
′ ≤ [ϕ ′] 刚度条件 ϕ max
其中
＃设计截面 ＃计算许可载荷 ( o/m )
′ ϕ max
Tmax 180o = GI p π
9-4 圆轴扭转的应力和强度条件
受扭圆轴横截面上有何应力？ 其应力公式如何分析与推导？
静力平衡方程
微剪力对圆心的力矩，称为微力矩 在整个横截面上，所有微力矩之和应等于截面上的扭矩 T
∫
A
ρτ ρ dA = T
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所以
Mn1 = －MB = －955 N·m
式中负号表示实际扭矩的转向与所假设的相反，为负扭
矩。
备注：文字请不要超过绿色边框；卡通人物和绿色框做好课件后，在母版里面删除
9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
同理，为求AC段的内力，在该段的任一截面Ⅱ-Ⅱ处将
轴截开，取右部分为研究对象（见图9-5 c），由平衡
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9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
对同一根传动轴来说，若调换主动轮和从动轮的位置， 把主动轮A置于轴的一端，如右端，则轴的扭矩图将 如图 9-6所示。这时轴的最大扭矩的绝对值是：
Mnmax = 1592 N·m。由此可见，传动轴上主动轮和从动轮 布置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。两 者相比，显然以图8-5所示比较合理，此时，传动轴 所承受的最大扭矩较小，在同等条件下，其强度与刚 度容易得到保证。
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9.4 圆轴扭转时横截面上的应力与变形 在变形微小的情况下，可以观察到如下现象： ⒈两条纵向线均倾斜了相同的角度，使原来轴表
面上的小方格变成了平行四边形。 ⒉各圆周线均绕圆轴的轴线转动了一个角度，但
其大小、形状和相邻圆周线的距离均保持不 变。
建筑力学 第九章 扭转
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9.1 扭转的概念 扭转是生活与工程实践中常遇到的现象，也是
构件的四种基本变形之一。我们用螺钉旋具 拧螺丝钉时，在螺钉旋具上用手指作用一个 力偶，螺丝钉的阻力就在螺钉旋具的刀口上 构成了一个转动方向相反的力偶，这两个力 偶都是作用于在垂直于杆轴的平面内的，此 时，螺钉旋具杆就产生了扭转变形（如图a所 示）。
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9.4 圆轴扭转时横截面上的应力与变形
根据平面假设，可得到两点结论：
1） 由于相邻截面间相对地转过了一个角 度，即横截面间发生了旋转式的相对错 动，出现了剪切变形，故截面上有剪应 力存在。又因半径的长度不变，故圆轴 无径向应力，且剪应力方向必与半径垂 直。
9.3 剪切胡克定理
二、剪切胡克定理
实验表明，当剪应力τ不超过材料的 剪应切变γ比成例正极比限（τP如时图，）剪。应即力τ与剪
τ= Gγ
(9-2)
式（9-2）称为剪切胡克定理。式中 的比例常数G称为切变模量，它 反映了材料抵抗剪切变形的能力 。它的单位与应力的单位相同。 各种材料的G值可由实验测定， 也可从有关手册中查得。钢材的
的剪应变为
tan DD R d
AD dx 同样离圆心为ρ处的
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9.4 圆轴扭转时横截面上的应力与变形
（一）变形几何关系 为了求得圆轴扭转时横截面上的应力，必须了解 应力在横截面上的分布规律。为此，首先可通过 试验观察其表面的变形现象。取一根圆轴，实验 前先在它的表面上划两条圆周线和两条与轴线平 行的纵向线。实验时，在圆轴两端施加一对力偶 矩为M的外力偶，使其产生扭转变形，如图所示 。
9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
(2) 内力分析。该轴需分成BA、AC两段来求其扭矩。现 在用截面法，根据平衡条件计算各段内的扭矩。
求BA段的内力时，可在该段的任一截面Ⅰ-Ⅰ处将轴截 开，现取左部分为研究对象（图9-5b），截面上的扭 矩先设为正向，由平衡条件ΣMx = 0得：
MB + M n1 = 0
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9.4 圆轴扭转时横截面上的应力与变形
根据观察到的这些现象，我们可 以作出如下假设： 各横截面在圆轴扭转变形后仍保 持为平面，形状、大小都不变， 半径仍为直线，只是绕轴线转动 了一个角度，横截面间的距离均 保持不变（称为平面假设）。
于是式（9-1a）变为 P 103 M 2 n60Fra bibliotek由此得
M 9549 P n
(9-1)
式中，M为外力偶矩，单位是牛顿米（N·m）；P为轴的
传递功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位
为转/分（r/ min ）。
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9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩 二、扭矩
圆轴表面所画的矩形ABCD变为平行四边形ABC/D/， 其变形程度可用原矩形直角的改变量γ表示，称为剪 应变（也称为切应变）。
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9.4 圆轴扭转时横截面上的应力与变形
现再用过轴线的两径向平面OO / AD和O O / BC切出如图 所示楔形块，从图中可见，在小变形下，圆轴表面层
9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
解:(1) 外力分析 按式（9-1）求出作用于各轮上的外力偶
矩
MA
9550 PA n
9550 50 300
1592N m
MB
9550 PB n
9550 30 300
955N m
MC
9550 PC n
9550 20 300
637N m
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各种产生扭转变形的构件,虽然外力作用在构件上的方式 有所不同,但是有两个共同的特点：在受力方面,构件 为直杆,并在垂直于杆件轴线的两个平面内,作用着一 对大小相等、转向相反的力偶（图9-2）;在变形方面, 受扭转构件的各横截面都绕杆轴线发生相对转动。杆 件任意两横截面间的相对角位移称为扭转角,图9-2 中
9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
为了使无论取哪一部分作为研究对象时，所求 得的同一截面上的扭矩有相同的正负号，对扭 矩右M手n四的指正代负表号扭按矩右的手转螺向旋，法若则此作时如大下拇规指定的：指以 向离开截面，即与横截面的外法线方向相同时 ，扭矩为正；反之为负，如图所示。
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切变模量G = 80～84 GPa.
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9.3 剪切胡克定理
可以证明，对于各向同性材料，弹性模量 E、切变模量G和泊松比μ，这三者之间 存在以下关系：
G E
2(1 )
（9-3）
由此可见，E、G和μ是三个互相关联的弹
性常数，若己知其中的任意两个，则可 由上式求得第三个。
2） 由于相邻截面的间距不变，所以横截 面上没有正应力。
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9.4 圆轴扭转时横截面上的应力与变形
为了分析剪应力在横截面上的分布规律，我们从轴中取 出长为dx微段来研究。（图a）
在力偶的作用下，截面n - n与 m - m的相对转角为d ，
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9.1 扭转的概念
这种受力形式在机械 传动部分也经常发 生，如机器的传动 轴（图b），汽车方 向盘操纵杆（图c） 等等，都是受扭转 的具体例子。
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9.1 扭转的概念
的角就是B截面相对于A截面的扭转角。
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9.1 扭转的概念
本章主要研究圆截面轴的扭转问 题，包括轴的外力、内力、应力 与变形，并在此基础上讨论轴的 强度与刚度计算。在工程上，常 把以扭转变形为主的杆件称为轴 。
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条件ΣMx = 0 得
MC － Mn2 = 0
所以
Mn2 = MC = 637 N·m
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9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
(3) 作扭矩图。根据各段轴的扭矩值及其正负号，按一定 比例尺量取后作出扭矩图。如图9-5d所示。从图中可 以看出，在集中力偶作用处，其左右截面扭矩不同， 发生突变，突变值等于该处集中力偶的大小；且最大 扭矩发生在BA段内。
9.3 剪切胡克定理
线段aa/（或bb/）是所在的侧 面ab相对于侧面cd的滑移量， 称为绝对剪切变形。
而
aa dx
tan
,称为相
对剪切变形或剪应变。由图
可见，剪应变γ是直角的改变
量，故又称角应变。它的单位
是rad（弧度）。剪应变γ与线
应变ε是度量变形程度的两个
基本量。
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9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
一、功率、转速与扭转时的外力偶矩
在工程实际中，传动轴等转动构件，作用在轴上 的外力偶矩往往不直接给出，通常只知道它 们的转速与所传递的功率。因此，在分析传 动轴等转动类构件的内力之前，首先需要根 据转速与功率换算该轴所承受的外力偶矩。
由动力学可知，力偶在单位时间内所作之功即功
9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩 三、扭矩图 当一根轴上有多个外力偶作用时，轴内各横截面
或各轴段的扭矩不尽相同，所以扭矩需分段 计算。为了清楚表明沿杆轴线各截面上扭矩 的变化情况，类似轴力图的作法，可绘制扭 矩图。扭矩图是表示扭矩沿杆轴线变化的图 形，扭矩图的绘制是以平行于轴线的横坐标 代表截面位置，以垂直于轴线的纵坐标表示 扭矩的数值，正扭矩画在横坐标上方，负扭 矩画在横坐标下方。在扭矩图上，还必须要 注明正负。下面举例说明扭矩的计算和扭矩 图的绘制。
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