概率论课件之随机事件

ABC ABCABCABC
(4) A , B, C 中至少有两个发生；
Hale Waihona Puke Baidu
AB BCAC
(5) A , B, C 中至多有两个发生；
ABCA不B 发生C；
(6) A , B, C 中不多于一个发生.
ABBCAC
或 A B C A B C A B C A B C
３. 小结
(1) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验
样本空间 子集 随机事件
随 机
基本事件 复合事件
事 件
必然事件
不可能事件
课堂练习
填空 以Ａ表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销”
其对立事件 A 为＿＿． Ａ）“甲滞销，乙畅销” Ｂ） “甲乙均畅销” Ｃ） “甲滞销” Ｄ）“甲滞销或乙畅销”
解 设Ｂ＝“甲畅销”，Ｃ＝“乙畅销” 则
A BC,
为
{H H H ,H H T,H TH ,TH H ,
H TT,TTH ,TH T,TTT}.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{0,1 ,2,3}.
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.
例如 只包含两个样本点的样本空间
例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 可设 A = “点数不大于4”,
B = “点数为奇数” 等 等.
2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样
本空间的子集就是随机事件.
样本空间Ω作为自身最大的子集包含所有的样 本点（基本事件），表示必然事件．
空集 不含任何样本点表示不可能事件．
则CA BAB
图示事件A与B 的积事件.
A AB B
Ω
n
推广 称A k为 n个事 A 1,A 2件 ,,A n的积 ; 事
k1
称A k为可列 A 1,个 A 2,事 的件 积. 事
k1
和事件与积事件的运算性质
AAA, AU , AA,
A AA, AI A , A .
(5) 事件 A 与 B 互不相容 (互斥) 若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B
(4) 考察某地区 10 月 份的平均气温.
(5) 从一批灯泡中任 取一只,测试其寿命.
3.样本空间 样本点
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间, 记为 Ω . 样本空间的元素 , 即试验E 的每一个结果, 称为 样本点.记为ω
实例1 抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况.
实例4 从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取 一个产品.
实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.
其结果可能为: 正品 、次品.
实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女.
实例7 明天的天气可
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定 的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象规律性的 一门数学学科.
图示 B 包含 A.
A BΩ
显 然 A ,规 定 A .
(2) A等于B 若 AB,BA则称事件 A 与事 件 B 相等，记作 A=B.
(3) 事件 A 与 B 和事件（并） 事A 件 B {xx A 或 x B }称为 A 与 事
事 B 的 件 和.事 A和 B件 至少有一 个A 发 B发 生生
它们分别可以对应了样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}的 子集｛1,2,3,4｝和｛2,4,6｝．
反过来，Ω的每个子集都对应了该试验的一个随 机事件．
随机事件的定义 随机试验 E 的样本空间 Ω 的子集称为 E
的随机事件, 简称事件.
当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时，称 事件Ａ发生．
特别地： 基本事件 由一个样本点组成的单点集
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与
直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度
不合格”与“直径不合格”的并.
图示事件 A 与 B 的并.
B
AB A
Ω
n
推称 广 A k为 n个事 A 1,A 2,件 ,A n的和 ; k 1
称 A k为可列 A 1,A 个 2,的 事和 件 . 事 k1
(4) 事件 A 与 B 积事件（交） 事A 件 B{xxA且 xB }称为事
A与事 B的 积 件事 . A 和 件 B 同时 发 A生 B 发生 积事件也可 AB记 或A 作B .
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” ， Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
5.随机事件间的关系及运算
设 试 验 E 的 样 本 空 间 为 ,而 A ,B ,A k(k 1 ,2 ,L )是 的 子 集 .
(1)子事件 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 , 则称事件 B 包含事件 A, 也称A 是B的 子事件.
记B 为 A 或 A B .
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 所格以”“产品不合格”包含“长度不合格”.
1{H ,T}.
H 正面朝上 T 反面朝上
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
实例3
2 { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } .
从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.
记 N 正 , D 品 次 . 品
则 3 {N N N ,N N D ,N D N ,D N N , N D D ,D D N , D N D , D D D }.
注意 基本事件是两两互斥的 .
(6) 事件 A 与 B 的差 由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
实例 设 Ｃ＝“长度合格但直径不合格” ，Ａ
＝ “长度合格”，Ｂ＝ “直径合则 格”C . AB.
图示 A 与 B 的差. BA
AAB
B
Ω
BA
B
AAB Ω
(7) 事件 A 的对立事件 设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作 A . 实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
图示 A 与 B 的对立. A 若 A 与 B对立,则有
B A Ω
A U B 且 A B .
对立事件与互斥事件的区别 A、B 互斥(互不相容) A、B 对立（互逆）
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
2. 随机试验
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称
为随机试验.
(1) 可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的可能结果不止一个,但都是可以 预知的; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
说明 (1) 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. (2) 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.
的总件数. 答案
1 . { 3 ,4 ,5 , ,1}8.
2 . { 1,1 0,1 1, 2}.
4.随机事件
(1) 基本概念
通俗地讲 随机事件是指随机试验中可能发生也可能不 发生的事件． 根据这个说法不难发现 随机事件和样本空间的子集有 一一对应关系！
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
“点数不大于4”,“点数为偶数” 等都为随机事件.
A
BΩ
AB
互斥
A
B AΩ
A U B 且 A B
对立
事件间的运算规律 设 A,B,C为事 ,则 件 有 ( 1 ) 交A 换 B B A 律 ,A B B . A
( 2 ) 结 ( A 合 B ) C A 律 ( B C ), (A)C B A (B)C .
(3 )分配律 (A B )C (A C ) (B C )A C B,C ( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ( )
实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件 随机试验中必然发生的事件． 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能发生的事件. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
(2) 几点说明
1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件
{H,T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排 队的模型等.
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品
１.1 随机事件
1.随机现象 2.随机试验 3.样本空间 样本点 4.随机事件 5.随机事件间的关系及运算
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况. 结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.
结果有可能为:
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
实例4 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.
4{t t0}.
其中 t为灯 泡的寿. 命
实例5
记录某城市120 急 救电话台一昼夜接 到的呼唤次数.
4 { 0 ,1 ,2 ,L} .
说明
1. 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样
本空 间也不同.
例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三 次若”观.察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间
ABC BC BC
故 Ａ的对立事件为(Ｄ），即“甲滞销或乙畅销”．
作业：
P7： 6，7，8
谢谢大家！
出现也必然导致 A不出现,即A与B不能同时出现， 则称事件 A与B互不相容或互斥, 即
A B A B .
实例 抛掷一枚硬币, “出现正面” 与 “出现反面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . “骰子出现1点” 互斥 “骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥. A
B S
(德 4 摩 ):A 根 B A B ,A 律 B A B .
例1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 发生，且 B 与 C 至少有一个发生； A( B∪C)）
(2) A 与 B 发生，而 C 不发生； (3) A , B, C 中恰有一个发生；
分析
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 正面、反面;
(3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验.
(1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
(2) 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.
(3) 记录某公共汽车站 某时刻的等车人数.