待定系数法解
化学待定系数法解方程
化学待定系数法解方程待定系数法是解方程的一种方法，主要用于解决一元一次方程和一元二次方程的问题。
通过待定系数法，我们可以将方程转化为显式方程，进而求解方程中的未知数。
一、待定系数法的概念和用途待定系数法是指在解方程时，先假设方程中的未知数具有某种形式，然后通过方程的性质和条件来确定这些系数的值。
待定系数法主要用于解决以下两种类型的方程：1.一元一次方程：形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
2.一元二次方程：形式为ax + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，x 为未知数。
二、解一元一次方程的步骤1.假设未知数x的解为k，即x = k。
2.将x = k代入原方程，得到关于k的方程。
3.解关于k的方程，得到k的值。
4.将k的值代入x = k，得到原方程的解。
三、解一元二次方程的步骤1.假设未知数x的解为k，即x = k。
2.将x = k代入原方程，得到关于k的一元二次方程。
3.使用求根公式或配方法求解关于k的方程，得到k的值。
4.将k的值代入x = k，得到原方程的解。
四、待定系数法在实际问题中的应用待定系数法在实际问题中具有广泛的应用，例如在物理、化学、数学等领域的方程求解。
以下是一个实际问题中的应用的例子：例子：解方程3x - 2 = 7假设x = 3k + 1，将x = 3k + 1代入方程，得到3(3k + 1) - 2 = 7。
解得k = 1，将k = 1代入x = 3k + 1，得到x = 4。
所以方程的解为x = 4。
五、练习题及解答1.解方程5x - 3 = 11假设x = 2k + 1，代入方程得5(2k + 1) - 3 = 11。
解得k = 1，代入x = 2k + 1得x = 3。
所以方程的解为x = 3。
2.解方程x - 3x + 2 = 0假设x = 1 + k，代入方程得(1 + k) - 3(1 + k) + 2 = 0。
解得k = 0或k = 1。
用待定系数法求解递推数列的通项公式
用待定系数法求解递推数列的通项公式
1待定系数法概述
待定系数法（待实例后，又称勒让德法）是一种求解递推数列通项公式的数学方法。
它以建立恰当的通项公式和找出隐含其中的待定系数为任务来处理数学问题。
因此，它属于一种推广了线性代数知识的计算方法，能够解决较为复杂的数列序列求解问题。
2基本步骤
第一步：准备递推数列，也就是给足够的项，然后依此保持一定的规律，确定n的范围，比如n的取值从0开始，一直到n-1；
第二步：将所有系数都放回到等式左边，将等号右边的数字转化为系数，并写作公式的右边：
第三步：用矩阵解法求解。
假设A=（aij），B=（bi）是m方系数矩阵和m向量，其中i、j可取从1到m，那么求解相应线性代数方程组AX=B，则X=AB-1；
第四步：最后将得到的X中所有的数给出，即得出该递推数列的通项公式。
3示例及应用
以下例子来说明如何使用待定系数法求解递推数列的通项公式：例如：求数列an的通项公式
由给定的递推关系an=an-1-1，可得a0=1
根据待定系数法求解，设an=a0xn：
a0xn=a0x(n-1)-1
化简成：xn-xn-1=-1
可以得出答案：an=a0(xn+1)=a0[(1/2)(-1)n+1]
它最简之形式便是an=1+[(-1/2)n]
待定系数法广泛用于建模和求解相关数列问题，也可用于研究不同类型的递推关系，如定组成规律、数值递推关系、数学表达式和函数表达式等。
有时可以用来解决具有特殊条件的复杂系统，比如比较整数组的格局，或者计算连续随机变量的概率分布等。
利用待定系数法因式分解和分式的拆分等
第2讲利用待定系数法因式分解.分式的拆分等一、方法技巧1.待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式/（x） = g （x）的充要条件是：对于一个任意的值，都有/（X）= g（x）:或者两个多项式各关于X的同类项的系数对应相等.2.使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）：（3）解方程（组），从而使问题得到解决.例如："已知x2-5=（2-6/）-X2 +Z?x+c,求d, b, c 的值."解答此题，并不困难.只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到b, c的值.这里的a, b f c是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法.3.格式与步骤：（1）确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：（2 —a）/+bx+c（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.a = l/• < b = 0c = -5二、应用举例类型一利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知多项式2x4-3x3 +股‘ + 7x+b能被F + x—2整除（1）求o, b（2）分解因式：2x4-3x34-ax2 + 7x+b【答案】（1）a=一12和/?= 6 （2）2兀“-3x‘一12亍+ 7x+6 =（兀'+x-2）（2x‘一5兀一3）【解析】试题分析：（1）由条件可知疋+ /-2是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为巾，故可设2疋一3疋+ +7x+b = （x‘+兀一2）（2亍+肌¥+川），可解出〃7、m最后代入即可求出a、b的值.（2）由（1）可得结果试题解析：解：(1) T 多项式2x° —3x‘ + QX7 + 7x+ b 能被AT +x— 2 整除•••设2x4 -3x‘ + + 7x+b = (x，+兀一2)(2亍 + 〃?x + 〃),整理，得2x4一3x3 + ax2 +7x+b = 2x4 + (〃?+2)牙‘ + 伽+n-4)x2 + (/?-2m)x一2n m + 2 = -3 m+n-4=a n一2m = 7 b = -2/?b = 6•••a、b的值分别为-12和6.(2) 2疋-3屮-12亍 + 7兀+6 =(x2 +x-2)(2x z-5x-3)考点：1.待定系数法因式分解2.整式乘法3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘枳，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题2】分解因式：2x2 + 5xy-3y2-3x+5y-2【答案】2x2 + 5.巧-3y‘ - 3x + 5y-2 = (2x-y + l) (x+3y-2)【解析】试题分析：方法一因为2x2 + 5xy^-3y2=C2x-y)(x+3y),因此加果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘枳，那么设原式的分解式是(2x-y+加)(x + 3y切),其中加、n为待定系数•然后展开，利用多项式的恒等，求出〃7、〃的值.试题解析：解：•: 2亍+ 5厂一3尸=(2x_y) (x+3y),:.设2亍+5xy-3y2 -3x+5y-2 = (2x-y + m)(x + 3y + “)即2x2 + 5号一3才一3x+5y - 2 = (2x - y) (x+3y)+(m+2n )x4-(3/tt-n)y + nm"2 m =—3 n = -3m + In = -3 ①对比系数，得：3/n -n = 5 ②mn = -2③ = 1n = -2代入③式也成立.••• 2x 2 + 5xy^-3y 2-3x + 5y-2 = C2x-y + l) (x+3y-2)试题分析：方法二前面同思路1,因为2x 2 + 5心-3)F_3x+5y-2 =(2x-y)(x+3y)+(〃7+2“)x+(一幵)y + mn 是恒等式，所以对 任意的值，等式都成立，所以给取特殊值，即可求出〃7屮的值.试题解析：解：V 2x 2 + 5xy-3y 2 =(2x-y) (x+3y),/•设+ 5卩一3)F -3x+5y-2 = (2x —(x+3y+〃)即 2x 2 + 5A)?-3y 2 -3x+5y - 2 = (2x-y)(x+3y)+(加+2M )X +(3 加-/7)y+/wf?•・•该式是恒等式，・••它对所有使式子有意义的X, y 都成立，那么令x = 0, y = 0得:nm = -2®令 x = 0, y = 1得：3加一〃 +肋一3 = 0 ② m = l解①、②组成的方程组，得｛ 或 n = -2m — 1把它们分别代入恒等式检验，得彳n = -2/• 2x 2 + 5xy-3y 2 -3x + 5y-2 = (2x- y+ 1) (x+3y-2)考点：1.待定系数法分解因式2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的 解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去：若得方程组无解，则说明原式不能分解成所 设形成的因式.【难度】较难类型二利用待定系数法解决分式拆分问题【例题3】将分式---------------- 拆分成两个分式的和的形式.(r + l)(x + l)1-x + 1解: 【例题【答案】 ------------------- = ---------------- + --------------(x2 +1)(% +1)2(%2 +1) 2(x +1)【解析】试题分析:［ax + b c设 ------- ------- =—+ —,将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b、c的值即可. (X" + l)(x+ 1) JT + 1 X+ 1试题解析:ax+b c x2 +1 x+1ax+b c 而「+ i ~ (a + c)x2 + (a + b)x+b + c(亍 + 1)(兀+1)即r 1=(•L + l)(X + l)(a + c)x2 + (a + b)x + b + c(x2 +l)(x+l)解得“弓"冷.1 -x+1 1——; ------------- = ； H ----------------------------(x2 + l)(x +1) 2(亍 +1) 2(x +1)考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax+B形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】较难1 1 1 1------------- + -----------------------+ ----------------------- +・・・+ -----------------------a(a + l) (a + l)(a + 2) (a + 2)(a + 3) (a + 9)(a + 10)■ “ 小10［答案］— ------ ——a(a + 10)【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积(若d是整数)，所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.试题解析：1 A R解：我们设=- + —a(a + l) ci a + l1.A B A(a + l) + Ba (A + B)a + AIIIJ —— + ------ = ----------------------- =--------- - ------ - --a a + 1 a(a + l) a(a + l)所以]a(a +比较分子得：+ B = 解得：= lIA = 1 15 = —1卄〜1 1 1 1 1 1 1 1a a + l67 + 1 a + 2 a + 2 a + 3 a + 9 a + 10考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的枳，可直接用公式1 1 1 jr/,— ----- -=---------- 拆分.n（n + l） n n + 1【难度】较难类型三利用待定系数法解决多项式中不含某项问题【例题5】已知（干一〃泾+3）（3兀一2）的积中不含x的二次项，则〃？的值是（）2 2 3A. 0B. —C. 一一D. —3 3 2【答案】C【解析】试题分析：将多项式（亍-加+3）（3x-2）展开、合并，按x的降幕排列，根据积中不含x的二次项等价于F项的系数为零列方程即可求得加的值.试题解析：解：•・•（x2 - mx+3）（3x - 2） = 3x3 - 3mx2 +9x-2x2 + 2mx一6=—（3〃7+2）亍+（9+2〃7）X-6•・•积中不含x的二次项，•°・ 3/77 4-2 = 0»2解得/;/ = — .3故选C.考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、实战演练1•若多项式3F + 5JQ，—2于+兀+9＞，+ ”能被3x—y + 4整除，则〃 = ________ .【答案】-4【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商乂除式（余式为0）,其除式为3x-y + 4即可试题解析：解：设原式=（3x — y + 4）（x+2y + 也）=3x2 + 5xy- 2y2+（3〃?+4）x+（8—〃7）y+3/w + 4 = 1 ①比较系数，得：老一加=9 ②n = 4加③由①，②解得〃7 = —1,代入③得n = -4考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式二商x除式（余式为0）是解题关键.【难度】容易2.分解因式：h + x' + F + x + l【答案】x4 + x3+x2+x+l =(X2 + 1-耳Y+l)(〒 + ^\ + 1)2【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法; 虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他的办法一待定系数法.这是一个四次五项式，首项系数为1,尾项也是1,所以它可以写成两个二次三项式的枳，再利用恒等式的性质列方程组求解即可.试题解析：解：设X1 + X3 + 妒 + 兀+1 = (x2 + mx+V)(x2 + nx +1)而(X2 + mx + l)(x2 + nx +1)m + n = lmn + 2 = 1/. x4 + x5 + x2 +x + l = (x2 + ] + l)(x2 + 上逅x +1)2 2考点：待定系数法因式分解.点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.【难度】容易3.分解因式：ler + 3ab- 9b2 +146/- 3Z? + 20【答案】2亍+3”-松+14。
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法在初中数学中是一个非常重要的解题方法。
它通常用于解决一元一次方程组、二次方程、代数式的展开和因式分解等问题。
接下来，我将详细介绍待定系数法的基本概念、解题步骤以及一些常见的例题。
一、待定系数法的基本概念待定系数法是通过假设未知量的值为一些系数，然后通过数学运算得到方程组的解。
在待定系数法中，我们可以假设未知量是一个常数、一个变量，甚至是一个代数式。
二、待定系数法的解题步骤1.了解问题并设定未知量：首先，我们要仔细阅读题目，理解问题的要求，并确定需要求解的未知量。
2.假设未知量：根据题目的要求，我们根据经验和数学常识假设未知量的值。
3.建立方程：根据已知条件和假设的未知量，我们可以建立方程组或方程。
4.求解方程：将方程组或方程进行化简和整理，找到未知量的值。
5.验证解：将求得的未知量的值代入原方程中验证是否满足题目要求。
6.提出结论：根据求得的解和验证的结果，给出问题的最终解答。
三、待定系数法的常见例题1.一元一次方程组例题1：已知二次方程的两个根为4和-3，求该二次方程。
解析：根据二次方程的性质，已知根x1和x2，可以得到二次方程为(x-x1)(x-x2)=0，即(x-4)(x+3)=0。
将括号中的每个因式展开，得到x^2-x(4+3)+12=0，即x^2-7x+12=0。
2.二次方程例题2：求满足方程x^2+6x=8的x的值。
解析：我们可以假设x的值为a，即x=a，代入方程中得到a^2+6a=8、将方程化简为a^2+6a-8=0。
对于这个二次方程，我们需要用待定系数法求解，设定未知量为a，设定的a是一个常数。
然后，我们将这个方程因式分解为(a-1)(a+8)=0，即a-1=0或a+8=0。
解得a=1或a=-8，即x=1或x=-83.代数式的展开和因式分解例题3：将代数式(x-2)(x+3)展开。
解析：根据分配律，我们可以得到(x-2)(x+3)=x(x+3)-2(x+3)。
待定系数法分解因式附答案
待定系数法分解因式(附答案) 待定系数法是一种常用的分解因式的方法，适用于多项式的因式中有一个二次项和一个一次项的情况。
下面我将详细介绍待定系数法的步骤，并给出一个具体的例子。
假设我们要分解因式的多项式为：ax^2 + bx + c，其中a、b、c是待定系数。
步骤一：设分解因式为(x + m)(x + n)，其中m和n是待定系数。
步骤二：将待分解的多项式用分解因式展开：(x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)x + mn。
步骤三：将展开后的多项式与原多项式进行比较，得到以下关系式：
a = 1（因为x^2的系数为1）；
b = m + n；
c = mn。
步骤四：根据关系式解出m和n的值。
步骤五：将得到的m和n代入分解因式中，即可得到最终的分解因式。
下面以一个具体的例子来说明待定系数法的使用：
例子：分解因式x^2 + 5x + 6。
步骤一：设分解因式为(x + m)(x + n)。
步骤二：展开(x + m)(x + n)得到x^2 + (m + n)x + mn。
步骤三：根据关系式得到以下方程组：
1 = a；
5 = m + n；
6 = mn。
步骤四：解方程组，得到m = 2，n = 3。
步骤五：将m和n代入分解因式中，得到(x + 2)(x + 3)。
所以，x^2 + 5x + 6可以分解为(x + 2)(x + 3)。
以上就是待定系数法分解因式的详细步骤和一个具体例子。
通过使用待定系数法，我们可以将一个多项式分解为两个一次项的乘积，从而更好地理解和运用多项式的因式分解。
高中数学解题方法系列：待定系数法
高中数学解题方法系列：待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
（≡表示恒等于）待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x(1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m 的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．例7．已知函数y ＝mx x n x 22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
待定系数法解一次函数
∴ k=2.
∴这个正比例函数的解析式为y=2x.
2
求下图中直线的函数解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0).
yபைடு நூலகம்
∵经过点（2，0）, （0，3），
3
2
∴ 0=2k+b，
1
3=0k+b.
O 1 2 3 x 解得 k=-1.5，
b=3.
这个一次函数的解析式为y=-1.5x+3.
3
三、归纳
满足条
函数解
件的两
析式 选取 定点 画出
y=kx+b 解出 (x1,y1)与 选取
（k≠0)
(x2,y2)
一次
函数
的图 象l
四、巩固练习：
1. 已知一个正比例函数经过点P（-2，1）， 求出这个函数的解析式。
2.已知一次函数y=kx+b（k≠0),当x=2时y 的值为4，当x=-2时y的值为-2，求出这个 函数的解析式。
一 1、正比例函数的解析式是什么？
、 知
图象是什么？ 画正比例函数的图象一般找哪两个点坐标？
识 2、一次函数的解析式是什么？
回
图象是什么？
顾
画一次函数的图象一般找哪两个点坐标？
求下图中直线的函数解析式.
解y：设这个正比例函数的解析式为y=kx（k≠0).
∵经过点（1,2），
2
1
2=1k.
-2 -1 O 1 2 x
由题意可知，
1 3k b, 2 0 b,
∴
k 1, b 2.
∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2． ∵当x=4时，y=4-2=2． ∴点C（4，2）在直线y=x-2上． ∴三点A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上．
待定系数法举例说明
待定系数法举例说明待定系数法是一种数学解题方法，它适用于含有未知系数的方程组或方程的解法。
在这种方法中，我们假设未知系数的值，并将其代入方程组中，然后通过求解方程组来确定未知系数的值。
以下是一些使用待定系数法解题的例子：1. 问题：已知一个二次方程的顶点坐标为(3, -4)，且经过点(1, -2)，求该二次方程的解析式。
解法：假设该二次方程的解析式为y = ax^2 + bx + c。
由于已知顶点坐标，可以得到方程组：-4 = a(3)^2 + b(3) + c-2 = a(1)^2 + b(1) + c将上述方程组化简得：9a + 3b + c = -4a +b +c = -2通过求解上述方程组，可以确定未知系数a、b和c的值，从而得到二次方程的解析式。
2. 问题：已知一个等差数列的前四项分别为2, 5, 8和11，求该等差数列的通项公式。
解法：假设该等差数列的通项公式为an = a + (n - 1)d。
由于已知前四项，可以得到方程组：2 = a + 0d5 = a + 1d8 = a + 2d11 = a + 3d将上述方程组化简得：a = 2a + d = 5a + 2d = 8a + 3d = 11通过求解上述方程组，可以确定未知系数a和d的值，从而得到等差数列的通项公式。
3. 问题：已知一个函数f(x)满足f(2) = 3，f'(2) = 4，求该函数的解析式。
解法：假设该函数的解析式为f(x) = ax^2 + bx + c。
由于已知函数在x = 2处的函数值和导数值，可以得到方程组：3 = a(2)^2 + b(2) + c4 = 2a(2) + b将上述方程组化简得：4a + b = 44a + 2b + c = 3通过求解上述方程组，可以确定未知系数a、b和c的值，从而得到函数的解析式。
4. 问题：已知一个三次方程的解为1, 2和3，求该三次方程的解析式。
解法：假设该三次方程的解析式为y = ax^3 + bx^2 + cx + d。
待定系数法求解析式
一、一般式 y ax2 bx c(a )
已知二次函数 y ax2 bx c 图象过某三点
（一般有一点在y轴上），通常选用一般式，将三 点坐标代入即可解出a，b，c的值，从而求出该 函数表达式。
故所求的抛物线解析式为
y -（2 x 1）2 - 3
即：y=－2x2-4x－5
已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点 (0，1)，求这个二次函数的解析式
分析:根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数 关系式为y＝a(x－1)2－3，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a的值；
综合运用
有一个抛物线形的立交桥拱，这个 桥拱的最大高度为16m，跨度为40m． 现把它的图形放在坐标系里(如图所示)， 求抛物线的解析式．
设抛物线为y=a(x-20)2＋16
解
法 根据题意可知 二： ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
反思总结
求二次函数关系式常见方法：
1.已知图象上三点或三对的对应值，通常设抛
物线一般式
y=ax2+bx+c (a≠0)
2.已知图像的顶点坐标（h, k），或对称轴和 最值，通常设抛物线解析式为
代入得y=__a_（__x_-_1_）__2+__k__
例2：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴 交点为（0，－5）求抛物线的解析式？
解：∵抛物线的顶点坐标为（-1，-3） ∴设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-3（a≠0）
例谈数列问题中的待定系数法
在高考数学中，数列是经常考察的一种题型。
数列通项公式解法有：待定系数法。
“待定系数法”求解数列通项公式，一般来说有5种类型。
八、待定系数法
待定系数法是数列通项公式求解中，最为常见的一种方法。
以下关于待定系数法的求解公式中，一共有5种递推式的情况。
第一种：
第二种：
第三种：
第四种：
第五种：
总结：在使用待定系数法时，要注意以下几点：
（1）使用“待定系数法”做题时，先去观察题干条件中所给出的数列形式，然后针对不同的数列递推公式去选择适合的解题方法。
（2）“待定系数法”的本质思路是将我们不熟悉的数列形式转化为等差数列或等比数列。
当进行适当的转化以后，将会让相应的数列题目变得越来越简单。
（3）数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
（4）在求解完相应的数列题目以后，一般情况下，要验证数列的第一项是否符合求解出来的数列公式，这样更完备一下。
待定系数法-高考理科数学解题方法讲义
方法三待定系数法一、待定系数法：待定系数法是根据已知条件，建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式，得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组，解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法．待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.二、待定系数法解题的基本步骤：使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，从以下四个方面总结高考中的待定系数法.1．用待定系数法求曲线方程确定曲线方程常用的方法有定义法、直接法、待定系数法等，当已知曲线类型及曲线的几何性质时，往往利用待定系数法，通过设出方程形式，布列方程（组），使问题得到解决. 例1.【2018届江苏省镇江市高三上学期期末】已知圆与圆相切于原点，且过点，则圆的标准方程为__________．【答案】【解析】设圆的标准方程为，其圆心为，半径为∵可化简为∴其圆心为，半径为∵两圆相切于原点，且圆过点∴解得∴圆的标准方程为故答案为例2.【2018届山西省孝义市高三下学期名校最新高考模拟卷（一）】已知椭圆的左、右焦点分别为、，且点到椭圆上任意一点的最大距离为3，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在斜率为的直线与以线段为直径的圆相交于、两点，与椭圆相交于、，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）.解析：(1)设，的坐标分别为，，根据椭圆的几何性质可得，解得，，则，故椭圆的方程为.(2)假设存在斜率为的直线，那么可设为，则由(1)知，的坐标分别为，，可得以线段为直径的圆为，圆心到直线的距离，得，，联立得，设，，则，得，，，解得，得.即存在符合条件的直线.2．用待定系数法求函数解析式利用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，在教材中有系统的介绍，通过练习应学会“迁移”，灵活应用于同类问题解答之中.例3.【2018届湖南省长沙市长郡中学高三】已知函数的图象过点，且点是其对称中心，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的解析式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函数f（x）过点（，2），（﹣，0）得：解得：∴f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴g（x）=2sin2x，故答案为：A.例4.【2018届天津市耀华中学高三上学期第三次月考】若幂函数在上为增函数，则实数的值为_________.【答案】2例5.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且．（Ⅰ）的表达式；（Ⅱ）若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值．【答案】（I）；（II）．【解析】试题分析：（1）由已知设，由，求出的值，由有两个相等实根有，求出的值，得出的表达式；（2）由题意有，解方程求出的值。
初中待定系数法公式
初中待定系数法公式待定系数法是解代数方程组的一种常用方法，适用于多个未知数的情况。
以下是待定系数法的基本步骤和公式。
步骤一：设方程的未知数个数为n，根据方程的条件构建n个方程。
步骤二：设未知数的系数为a₁，a₂，...，aₙ，构建n个方程表示与未知数相关的条件。
步骤三：根据未知数的系数和方程的条件列方程组。
步骤四：解方程组，求出未知数的值。
待定系数法常用的公式如下：1.线性方程组的待定系数法对于形如ax + by = c的线性方程组，可以使用待定系数法进行求解。
设x的系数为a₁，y的系数为b₁，等号右边的常数项为c₁，代表第一个等式。
设x的系数为a₂，y的系数为b₂，等号右边的常数项为c₂，代表第二个等式。
构建如下方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x和y的值。
2.二次方程的待定系数法对于形如ax² + bx + c = 0的二次方程，可以使用待定系数法进行求解。
设二次项系数为a₁，一次项系数为b₁，常数项为c₁，代表第一个等式。
设二次项系数为a₂，一次项系数为b₂，常数项为c₂，代表第二个等式。
设x的系数为x₁，y的系数为y₁，代表第三个等式。
构建如下方程组：a₁x²+b₁x+c₁=0a₂x²+b₂x+c₂=0x₁+y₁=0接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x和y的值。
3.三元一次方程组的待定系数法对于形如ax + by + cz = d的三元一次方程组，可以使用待定系数法进行求解。
设x的系数为a₁，y的系数为b₁，z的系数为c₁，等号右边的常数项为d₁，代表第一个等式。
设x的系数为a₂，y的系数为b₂，z的系数为c₂，等号右边的常数项为d₂，代表第二个等式。
设x的系数为a₃，y的系数为b₃，z的系数为c₃，等号右边的常数项为d₃，代表第三个等式。
构建如下方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x、y和z的值。
待定系数法分解因式(附问题详解)
待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
内容综述将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。
同学们要仔细体会解题的技巧。
要点解析这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
例1 分解因式思路1 因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。
解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。
∴思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。
解法2 因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分别代入恒等式检验，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。
例2 分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。
∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式例3在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。
思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。
可考虑利用恒待式的性质。
解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。
用待定系数法求解的三种情形
用待定系数法求解的三种情形作者：冯祖康冯显硕来源：《湖北教育·教育教学》2022年第02期学生虽然熟悉待定系数法的定义与解题步骤，但机械模仿解题过程、缺乏灵活运用能力者居多。
笔者思考并总结了用待定系数法求解的三种主要情形，帮助学生从根本上感悟其妙处，提升思维的灵活性与敏捷性。
情形1：所求结果的概型易锁定，可优先考虑待定系数法初中数学中求一次函数、二次函数解析式等问题，高中数学中求圆锥曲线方程、求数列通项公式及前[n]项和等问题，都具有相似的已知与设问架构。
求解时，我们可以先借助系数设出结果的基本形式，然后根据其他条件列出方程（组），最后借助方程求出该系数。
此种方法的哲学意蕴是先主后次，即先注重整体的统领地位，后灵活地协同部分。
例1 已知[a1=1]，[an+1=2an+5]，求[an]的通项公式。
解：[a2=2a1+5=7]，设an=A·2n-1+B当[n]=1时，A+B=1 ①当[n]=2时，2A+B=7 ②联解①、②得：A=6，B=-5∴an=6×2n-1-5=3×2n-5例2 已知an=2n+1，bn=2n，求：[Tn]=[a1b1]+[a2b2]+…+[anbn]的前[n]项和。
解：设Tn=（An+B）·qn-B，A，B为待定系数，将[n]=1和[n]=2分别代入得[（A+B）×21-B=6（2A+B）×22-B=26] 解得[A=4B=-2]∴Tn=（4n-2）×2n+2=（2n-1）×2n+1+2掩卷而思，如果我们不知道递推数列的通项公式为指数型函数an=Aqn-1+B，等差数列的前[n]项和是常数项为0的二次函数式Sn=An2+Bn，等比数列的前[n]项和为指数型函数Sn=A·qn+B，以及差比数列的前[n]项和公式为Sn=（An+B）·qn-B，就不可能用待定系数法便捷地求解上述两个题目。
化学待定系数法解方程
化学待定系数法解方程摘要：一、待定系数法简介1.待定系数法的定义2.待定系数法的作用二、化学方程式的书写规则1.化学方程式的基本要素2.反应物与生成物的系数3.平衡方程式的书写方法三、待定系数法解化学方程式的步骤1.分析反应物与生成物的化学式2.设定待定系数3.列方程求解4.验证解的正确性四、实际应用案例1.氢气与氧气生成水的反应2.铜与硫生成硫化亚铜的反应正文：一、待定系数法简介待定系数法，是化学方程式中一种常用的解题方法。
通过设定一些待定系数，帮助我们更方便地求解化学反应方程式的未知量。
这种方法可以广泛应用于各种化学反应方程式的求解，尤其是当反应物与生成物的化学式较为复杂时，待定系数法能够大大简化求解过程。
二、化学方程式的书写规则在应用待定系数法解化学方程式前，我们需要熟练掌握化学方程式的书写规则。
一个完整的化学方程式包括反应物、生成物、反应条件以及系数。
其中，反应物与生成物的系数表示它们在反应中的摩尔比例关系。
三、待定系数法解化学方程式的步骤待定系数法解化学方程式的步骤如下：1.分析反应物与生成物的化学式：首先，我们需要明确反应物与生成物的化学式，以及它们在反应中的摩尔比例关系。
2.设定待定系数：根据反应物与生成物的化学式，设定一些待定系数，使反应方程式中的未知量与待定系数相联系。
3.列方程求解：根据化学反应的物质守恒定律，列出反应物与生成物中各元素的数量关系方程，从而求解待定系数。
4.验证解的正确性：将求得的待定系数代入原方程式，验证反应物与生成物中各元素的数量关系是否满足物质守恒定律。
四、实际应用案例下面，我们通过两个实际应用案例，来演示待定系数法在化学方程式求解中的应用。
1.氢气与氧气生成水的反应根据反应物与生成物的化学式，我们可以设氢气、氧气与水的系数分别为x、y 与z。
根据物质守恒定律，我们有以下方程：2x + y = 2z接下来，我们可以通过解这个方程组，求得x、y 与z 的值。
待定系数法解恒等式
待定系数法解恒等式待定系数法是一种常用的解恒等式的方法，它可以帮助我们找到满足给定条件的未知数的取值。
在本文中，我将详细介绍待定系数法的原理、步骤和应用，并分享我对这个方法的个人观点和理解。
一、待定系数法的原理和步骤待定系数法的基本原理是假设未知数的取值，并通过代数运算得到符合给定条件的恒等式。
这种方法适用于一些特殊的恒等式，如多项式恒等式、分式恒等式或指数恒等式等。
下面以解多项式恒等式为例，介绍待定系数法的步骤：1. 确定未知数的个数，假设未知数的取值。
待定系数法中，未知数的个数与恒等式中最高次项的项数相同。
假设未知数的取值通常使用字母a、b、c等表示。
2. 根据已知条件列方程。
根据给定的条件和恒等式的形式，列出若干个方程。
这些方程可以来自于等式两边对应项之间的关系、恒等式的特殊性质或已知条件直接得出。
3. 求解方程组，确定未知数的取值。
根据列出的方程组进行代数运算，解方程组得到未知数的取值。
这些取值应满足方程组中的所有方程，才能使原始的恒等式成立。
二、待定系数法的应用待定系数法在代数和数学分析中有着广泛的应用。
它可以解决多项式方程、分式方程、指数方程等各种类型的恒等式。
1. 解多项式方程当给定多项式恒等式的形式和已知条件时，可以使用待定系数法来求解未知数的取值，从而满足给定条件。
举个例子，假设我们要求解如下多项式方程：(1) (x + 1)(x + 2)(x + 3) = ax^3 + bx^2 + cx + d(2) f(0) = 1其中，(2)代表已知条件，要求函数f(x)在x=0时的取值为1。
我们可以利用待定系数法，假设方程(1)中的a、b、c、d分别为未知数，通过列方程组、代数运算和求解方程组的过程，得到a=1，b=6，c=11，d=6。
这样，我们就找到了满足已知条件的未知数的取值。
2. 解分式方程分式方程是含有未知数的分式恒等式，其中未知数的取值可以通过待定系数法求解。
我们要求解如下分式方程：(1) (x^2 + 1)/(x - 1) = (ax + b)/(x + 2)(2) f(2) = 3/4其中，(2)代表已知条件，要求函数f(x)在x=2时的取值为3/4。
化学待定系数法解方程
化学待定系数法解方程1. 引言化学方程式是化学反应的一种简洁的表示方法。
在化学方程中，反应物和生成物以化学式的形式出现，反应过程中的物质的种类和数量都可以通过方程式来描述。
然而，当我们遇到复杂的化学方程时，往往需要使用待定系数法来解方程，以确定反应物和生成物的摩尔比。
待定系数法是一种通过平衡化学方程来确定摩尔比的方法。
在待定系数法中，我们假设反应物和生成物的系数为未知数，然后通过列方程组并解方程组的方法，求解出未知数的值，从而得到平衡方程。
本文将介绍待定系数法解方程的基本原理和具体步骤，并通过实例来详细说明。
2. 待定系数法解方程的基本原理化学方程式描述了反应物和生成物之间的摩尔比关系。
在平衡状态下，反应物和生成物的摩尔比是固定的，即反应物的摩尔数与生成物的摩尔数之间存在一个简单的整数比例关系。
待定系数法就是通过解方程组的方法，求解出这个整数比例关系中的未知数。
在待定系数法中，我们首先假设反应物和生成物的系数为未知数。
然后，根据化学方程式的摩尔比关系，列出反应物和生成物的摩尔数之间的方程。
接下来，通过解方程组的方法，求解出未知数的值，从而得到平衡方程。
3. 待定系数法解方程的具体步骤待定系数法解方程的具体步骤如下：步骤1：写出化学方程式首先，根据实际情况，写出反应物和生成物的化学方程式。
化学方程式中需要包含反应物和生成物的化学式以及它们的系数。
步骤2：假设未知数假设反应物和生成物的系数为未知数。
通常情况下，我们可以假设一个系数为1，然后将其他系数表示为这个系数的倍数。
步骤3：列方程根据化学方程式中反应物和生成物的摩尔比关系，列出反应物和生成物的摩尔数之间的方程。
步骤4：解方程组根据列出的方程，组成一个方程组。
然后，通过解方程组的方法，求解出未知数的值。
步骤5：得到平衡方程将求解得到的未知数代入化学方程式中，得到平衡方程。
4. 实例分析现在，我们通过一个实例来详细说明待定系数法解方程的具体步骤。
实例：氢气和氧气反应生成水，写出平衡方程。
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P={M||MA|=r}.
rM A
平面上到一个定点的距离等于定长的 点的轨迹叫做圆.
思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？
思考3:设圆心坐标为A(a,b),圆半径为r,M(x,y)为圆 上任意一点,根据圆的定义x,y应满足什么关系？
P={M||MA|=r}. (x a)2 (y b)2 r
(1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5
练习
3、圆心在（-1,2）,与y轴相切的圆的 方程
Y
c
-1 0
C(-1、2) r=1
X
(x+1)2+(y-2)2=1
例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的
方程,并判断点M1(5,-7),M2(- 5 ,-1)是否在这个
圆上.
第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程
问题提出
1.在平面直角坐标系中，两点确定一条 直线，一点和倾斜角也确定一条直线， 那么在什么条件下可以确定一个圆呢？
圆心和半径
2.直线可以用一个方程表示，圆也可 以用一个方程来表示，怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题.
知识探究一：圆的标准方程
思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线,在 平面几何中,圆是怎样定义的？如何用集合 语言描述以点A为圆心,r为半径的圆？
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r2
所求圆的方程为
y rM
A
o
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
思考3:我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为A(a， b)，半径长为r的圆的标准方程，那么确定圆的标 准方程需要几个独立条件？
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程. 思考4:以原点为圆心，1为半径的圆称为单位圆， 那么单位圆的方程是什么？
(x 2)2 (y 3)2 25
a2 b 3
r 5
待定系数法
小结作业
(1)圆的标准方程的结构特点.
明确：三个条件a、b、r确定一个圆。
(2)求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②数形结合法 ③代入法.
作业： 124习题4.1A组：2，3，4.
x2+y2=1
特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
练习 1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
y
Y
-2
0 +2 X
-1 0
X
C(0、0) r=2
C(-1、0) r=1
练习 2、写出下列圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为3； （2）、圆心在(-3、4),半径为 5 .
解: 所求的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25
y
方法一: 利用点的坐标代入方程 是否满足方程去判断;
O
x
方法二:若点到圆心的距离为d， M2 A
d>r时，点在圆外；
ห้องสมุดไป่ตู้
d=r时，点在圆上； d<r时，点在圆内;
M1
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.