解三角形重点题型

解三角形-

知识点梳理

一、正弦定理公式：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（其中R 表示三角形的外接圆半径） 二、余弦定理公式：

第一形式： 第二形式：

222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A

b a

c ac B c a b ab C

=+−=+−=+− 222

222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac

a b c C ab

+−=

+−=+−=

三、三角形面积公式： （1）12ABC a S a h ∆=⋅ （2）1sin 2ABC S ab C ∆= （3）=4ABC abc S R

∆ （4）rp

S ABC

=∆

（5）)

)()((c p b p a p p S ABC

−−−=∆

（10）2cos 2cos 2cos

4C B A Rr S = （11）C c b a S tan )(4

1

222−+= （12）S = （13）12212

1b a b a S −= （14）

11223

311121

x y S x y x y =

下面是两个证明： （5）)cos 1)(cos 1(2

1

cos 121sin 212C C ab C ab C ab S +−=−==

)21)(21(212

22222ab

c b a ab c b a ab −++−+−=

4)2)(2(21222222c b a ab c b a ab −+++−−=])][()([4

12222c b a b a c −+−−= ))()()((4

1

c b a c b a b a c b a c ++−+−++−=

))(2)(2)(2(41

c b a c c b a b b a c a b a c ++−++−++−++=

))()((2)22)(22)(22(4

1

c p b p a p p p c p b p a p −−−=−−−=（其中c b a p ++=2）

（6）)

sin(2sin sinB sin 2sin sinB sin sin 2sin sin sin 2sin bc 22C B C

a A C a A A A C a B a A S +==⋅⋅== 四、在ABC ∆中：

（1）tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= （2）cot cot cot cot cot cot 1A B B C A C ++= （3）

4sin sin sin cos cos cos 1222

r A B C

A B C R ==− （4）sin sin sin 4cos

cos cos 222

A B C

A B C ++=； （5）cos cos cos 14sin sin sin 222

A B C

A B C ++=+；

（6）cos cot cot cot cot cot 222222

A B C A B C

++=；

（7）222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=−

（8）2

22sin sin sin 12sin sin sin 222222

A B C A B C

++=− 五、ABC ∆内半角定理：

sin

2A = ；cos 2A =；tan 2A =

1

sin sin cos 222A A S bc A bc ====六、（1）解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用 ① πA B C ++=． ②

()sin sin A B C +=；()cos cos A B C +=−．

③ sin

cos 22A B C +=；cos sin 22

A B C

+=． ④ sin sin a b A B A B >⇔>⇔>．

（2）与三角形形状相关的几个结论

① 在ABC △中，若cos cos a A b B =，则ABC △为等腰三角形或直角三角形； ② 在ABC △中，若

cos cos cos a b c

A B C

==

，则ABC △为等边三角形； ③ 在ABC △中，若222sin sin sin A B C +=，则ABC △为直角三角形； ④ 在ABC △中，若cos cos sin a B b A c C +=，则ABC △为直角三角形； ⑤ 在ABC △中，若()sin cos cos sin sin A

B C B C +=+，则ABC △为直角三角形．

⑥ 在ABC △中，2

2

a b bc −= ，则2A B =

（3）四边形面积：S 2＝(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) – abcd cos 2〔(A+C)/2〕

推广：圆内接四边形面积:

s =（4）平行四边形中,四条边平方和等于两条对角线平方和 推广：三角形中，中线长公式.2

222

22a c b AD −+=

一、选择题

1、在三角形中，设命题:

sin sin sin a b c

p B C A

==

，命题:q ABC ∆为等边三角形，则命题p 是命题q 的（ ）

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件

C 、充分必要条件

D 、既不充分也不必要条件 q p ⇒ 显然成立

:

1sin sin sin a b c a b c a b c

p a b c q B C A b c a b c a

++==⇒====⇒==⇒++，所以选C

2、若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边的比值为m ，则m 的范围是（ ）（05辽宁，8）

A 、(1,2)

B 、(2,)+∞

C 、[3,)+∞

D 、(3,)+∞

,22c c

a m a

>=> ，选B

3、已知ABC 的内角,,A B C 满足()1

sin2sin()sin 2

A A

B

C C A B +−+=−−+

，面积S 满足12S ≤≤，记,,a b c 分别是,,A B C 所对的边，则下列不等式一定成立的是

（ ） A.

()8bc b c +> B. ()162ab a b +>

C. 612abc ≤≤

D. 1224abc ≤≤ 【审题指导】化简已知条件()1

sin 2sin()sin 2

A A

B

C C A B +−+=−−+

可得14sin sin sin 2A B C =

，即1

sin sin sin 8A B C =，联想到面积公式22sin sin sin S r A B C =

及12S ≤≤可得：21

1224r r ≤≤⇒≤≤，从而abc 可用r 进行表示求出范围，另一

方面可由()b c a bc b c abc +>⇒+>，利用不等式的传递性即可求出()bc b c +的范围 【答案】A