用三边比例关系判定三角形相似
2022年初中数学《三边成比例的两个三角形相似》教案(推荐)
27.2.1 相似三角形的判定第2课时 三边成比例的两个三角形相似1．理解“三边成比例的两个三角形相似〞的判定方法；(重点)2．会运用“三边成比例的两个三角形相似〞的判定方法解决简单问题．一、情境导入我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？在如下列图的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？二、合作探究探究点：三边对应成比例的两个三角形相似 【类型一】 直接利用定理判定两个三角形相似 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，在Rt △EDF 中，∠F ＝90°，DF ＝3，EF ＝4，那么△ABC 和△EDF 相似吗？为什么？解析：△ABC 和△EDF 都是直角三角形，且两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．解：△ABC ∽△EDF .在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠C ＝90°，由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝102－62Rt △DEF 中，DF ＝3，EF ＝4，∠F ＝90°，由勾股定理得ED ＝DF 2＋EF 2＝32＋42△ABC 和△EDF 中，BC DF ＝63＝2，AC EF ＝84＝2，AB ED ＝105＝2，所以BC DF＝AC EF ＝AB ED，所以△ABC ∽△EDF . 方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例． 变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞 第2题【类型二】 网格中的相似三角形如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．解析：首先由勾股定理，求得△ABC和△DEF的各边的长，即可得ABDE＝ACDF＝BC EF，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC和△DEF相似．解：△ABC和△DEF相似．由勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝25，∵ABDE＝ACDF＝BCEF＝254＝52，∴△ABC∽△DEF.方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．变式训练：见《》本课时练习“课堂达标训练〞第8题【类型三】利用相似三角形证明角相等如图，ABAD＝BCDE＝ACAE，找出图中相等的角，并说明你的理由．解析：由ABAD＝BCDE＝ACAE，证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形对应角相等求解．解：在△ABC和△ADE中，∵ABAD＝BCDE＝ACAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E.方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到．变式训练：见《》本课时练习“课后稳固提升〞第6题【类型四】利用相似三角形的判定证明线段的平行关系如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC，公路AB与CD平行吗？说出你的理由．解析：由图中线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．解：公路AB与CD平行．∵ABBD＝1421＝23，ADBC＝2842＝23，BDDC＝2131.5＝23，∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD ＝∠BDC ，∴AB ∥DC .方法总结：如果在条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似〞的判定方法． 【类型五】 利用相似三角形的判定解决探究性问题要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，另一个三角形教具的一边长为20cm ，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．解析：要使两个三角形相似，一个三角形的三边和另一个三角形的一边，那么我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．解：①当长为20cm 的边长的对应边为50cm 时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm ，24cm ，32cm ；②当长为20cm 的边长的对应边为60cm 时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：503cm ，20cm ，803cm ；③当长为20cm 的边长的对应边为80cm 时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm ，15cm ，20cm.∴有三种解决方案．方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可防止漏解．变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第7题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；2．利用相似三角形的判定解决问题．因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.第2课时 余弦和正切【知识与技能】1.理解余弦、正切的概念，了解锐角三角函数的定义；2.能运用余弦、正切的定义解决问题.【过程与方法】逐步培养学生观察、分析、类比、概括的思维能力.【情感态度】在探索结论的过程中，体验探索的乐趣，增强数学学习的信心，感受成功的快乐.【教学重点】掌握余弦、正切的概念，并能运用它们解决具体问题.【教学难点】灵活运用三角函数的有关定义进行计算.一、情境导入，初步认识问题我们知道，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.试问：∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比是否分别也是一个固定值呢？为什么？【教学说明】这种设置问题的方式既是对上节课重要知识的回忆，又为引入本节知识做好铺垫，同时也暗示着解决问题的方法与上节课利用相似获得结论的方法完全类似，让学生有法可依.学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论，帮助学生获取正确认知.二、思考探究，获取新知问题如图，在Rt △ABC和Rt △A B C''',中，∠C=∠C'=90°∠A =∠A'.求证：〔1〕ACAB=A CA B''''；〔2〕BCAC=B CA C''''【教学说明】这个问题可由学生自主探究，得出结论.教师在学生探讨过程中，提出问题∠A确定后，∠A的邻边与斜边的比也确定吗？它的对边与邻边的比呢？在学生得出结论后，应与学生一道进行总结归纳.余弦：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA ，即cosA =A bc ∠的对边＝斜边正切：在RtAABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，tanA =A aA b∠的对边＝∠的邻边.锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.三、典例精析，掌握新知例1 在Rt△ABC中，∠C = 900，BC= 6，sinA = 35，求cosA，tanB的值.分析与解由正弦函数定义及sinA = 35知，sinA =BCAB=3 5，又BC = 6，故AB = 10，所以22AB BC- = 8，从而 cosA =ACAB=8 10 =45，tanB =8463ACBC＝＝.【教学说明】此题可先让学生独立完成，教师巡视指导，时时关注学生解题时是否能紧扣定义，即sinA = BCAB，cosA =ACAB，tanB =ACBC的运用是否得当，有没有出现混淆情形.例2在△ABC中，AB = AC = 20，BC = 30，试求 tanB，sinC 的值.【分析】由于∠B和∠C都不是直角三角形中的锐角，而题意却要求出tanB，sinC的值，这样迫使我们要将∠B，∠C放到直角三角形中去，这时，过A作AD丄BC于D可到达这一目的，问题可逐步解决.解过A作AD丄BC于D. AB = AC，∴BD = CD = 12BC=12⨯30 = 15.又 AB = AC = 20，∴AD = 57tanB = BCAC= 577153，sinC =AD577AC204＝.四、运用新知，深化理解1.分别求出以下直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=，求cosB,sinA,tanB的值.△ABC中，∠C=90°，cosB=〔1〕求cosA和tanA的值;〔2〕假设AB=5，求BC和AC的长.△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a,AB=c.〔1〕sinA与cosB的关系如何？为什么？〔2〕sin2A与cos2A的关系如何？说说你的理由〔sin2A=(sinA)2).〔3〕找出tanA与tanB的关系；〔4〕由〔1〕，〔2〕，〔3〕，你能发现什么有趣的结论？【教学说明】让学生通过对上述问题的思考，稳固所学知识，增强运用解决问题的能力.其中第2题在学生探究交流后，教师应予以评讲，让学生的分析能力和解决问题能力得到进一步开展.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学〞局部.【答案】 1.〔1〕sinA =513，sinB =1213,cosA =1213,cosB =513,tanA=5 12tanB = 125.(2) sinA = 33131313＝, sinB = 22131313＝, cosA = 22131313＝, cosB = 33131313＝, tanA = 32,tanB = 23.2.解： tanA = BCAC = 34，AC = 8. ∴BC = 6，在△ABC 中，AB = 22AC BC += 10. ∴ cosB =63105＝，tanB = 8463＝. 3.解：〔1〕由于cosB = BC 1AB 3＝，设BC = x,那么AB = 3x. ∴AC = 22AB BC - = 22(3x)2x x -＝2.∴cosA = AC AB = 223,tanA = BC AC= 24. (2) 假设AB = 5，即3x = 5, ∴x = 53,∴BC = 53,AC = 1023. 4.解：〔1〕sinA = cosB (2)sin 2A + cos 2A = 1 (3)tanA ·tanB = 1 (4)略五、师生互动，课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些疑虑，请与同伴交流.【教学说明】 教师应与学生一起进行交流，共同回忆本节知识，理清例题思路方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.1.布置作业：从教材P 68～70习题28.1中选取.“课时作业〞局部.本节课的引入可采用探究的形式.首先引导学生认知特殊角直角三角形的余弦、正切，进而引出锐角三角函数的定义.其次利用一个联系生活实际的问题，让学生对三角函数有关定义能够灵活运用.最后，应注重让学生用自己的语言归纳和表达经由探索得出的结论，引导学生对知识与方法进行回忆总结，形成良好的反思习惯，掌握高效的学习方法.。
相似三角形的判定(三边对应成比例)
A
B C F
D
E
4.∠APD=90°，AP=PB=BC=CD 下列结论正确的是（ C ） A. △PAB∽△PCA B.△PAB∽△PDA C.△ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
F
B
AB BC CA DE EF FD
∴ △ABC ∽△ DEF
D E
根据下列条件判断△ABC与以D、E、F为顶点的两个 B 三角形是否相似。
(1)AB=3，BC=4，AC=6； △ABC∽△DEF DE=6，EF=8，DF=12 (2)AB=3，BC=4，AC=6； △ABC∽△DEF F DE=6，EF=8，DF=12
？
类似全等三角形的判定，除上述外，还有 其他情况吗？继续探索三角形相似的条件。
三边对应成比例
A
A’
B’
B
C
C’
A'B' B'C' A'C' = = AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
在纸上画两个三角形△ABC 和 △A'B'C' ,使AB =4厘米， AC =6厘 米， BC =8厘米，A'B' =2厘米， A'C' =3厘米 ，B'C' =4厘米. 回答下面的问题： A A' B' B' C' A' C' , , (1)分别计算 ，
A 证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
1 1 1 ∴ DE= BC,DF= AC,EF= AB 2 2 2
DE DF EF ∴ BC AC AB
相似直角三角形三边比例关系
相似直角三角形三边比例关系相似直角三角形是指具有相同形状但尺寸不同的直角三角形。
在相似直角三角形中，三条边的比例关系是一个重要的性质。
在本文中，我们将探讨相似直角三角形的三边比例关系，并解释其几何意义。
在直角三角形中，两条边与直角的夹角为90度，而第三条边则是斜边。
我们可以用a、b、c来表示直角三角形的三边，其中a和b 分别为直角的两条边，c为斜边。
在相似直角三角形中，如果两个直角三角形的对应边长之比相等，那么这两个三角形就是相似的。
假设有两个相似直角三角形，它们的边长分别为a₁、b₁、c₁和a₂、b₂、c₂。
根据相似三角形的性质，我们可以得出以下关系：a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂其中a₁/a₂表示a₁与a₂的比值，b₁/b₂表示b₁与b₂的比值，c₁/c₂表示c₁与c₂的比值。
这个比值可以用任意单位来表示，如厘米、米等，因为比值是一个无量纲的数。
可以看出，相似直角三角形的三边比例关系是固定的，在同一个相似直角三角形中，任意两边之比都等于另一对相似直角三角形相应边之比。
这个比例关系可以帮助我们计算未知边长或角度。
例如，已知一个直角三角形的两条边长分别为3cm和4cm，我们可以根据三边比例关系计算出斜边的长度。
设斜边的长度为c，则根据三边比例关系有：3/c = 4/3通过交叉相乘得到：3 * 3 =4 * c化简得到：9 = 4c解方程得到：c = 9/4 = 2.25cm因此，斜边的长度为2.25cm。
除了计算边长，三边比例关系还可以帮助我们计算角度。
在相似直角三角形中，两个角度之比等于两个对边之比。
例如，已知一个直角三角形的两条边长分别为3cm和4cm，我们可以通过三边比例关系计算出斜边与直角的夹角。
设直角的两边分别为a和b，斜边为c，直角的两个角分别为A和B。
根据三边比例关系有：a/b = A/B代入已知边长得到：3/4 = A/B通过交叉相乘得到：3B = 4A通过解方程得到：B = (3/4)A因此，斜边与直角的夹角B等于直角的夹角A的三分之四。
初中九年级数学学案用三边比例关系判定三角形相似
27.2.4 用三边比例关系判定三角形相似一,新课导入1.课题导入问题1:请叙述三角形全等地SSS定理.问题2:把SSS中地“三边对应相等”改为“三边成比例”,那么这两个三角形是什么关系呢？由此导入新课.（板书课题）2.学习目地（1）知道三边成比例地两个三角形相似,知道两边成比例且夹角相等地两个三角形相似.（2）能够运用这两个判定定理解决简单地证明与计算问题.3.学习重,难点重点:三角形相似地判定难点:两判定定理地证明.二,分层学习1.自学指导（1）自学内容:P32探究~P33思考上面地内容.（2）自学时间:6分钟.（3）自学要求:完成探究提纲.（4）探究提纲:探究:任意画△ABC与△A′B′C′,使△A′B′C′地各边长都是△ABC各边长地k 倍,△ABC∽△A′B′C′吗？a.操作:度量这两个三角形地对应角,这两个三角形地对应角相等,对应边成比例.b.猜想:在△ABC与△A′B′C′中,如果AB BC CAA B B C C A=='''''',那么△ABC∽△A′B′C′.c.证明:如图,在线段A′B′上截取A′D=AB,过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E,则△A′DE∽△A′B′C′.∴A DA B'''=A EA C'''=DEB C'',又∵AB BC CAA B B C C A=='''''',A′D=AB,∴A E CA A C C A '='''',∴A′E=AC.同理,DE BCB C B C='''',∴DE=BC. ∴△A′DE≌△ABC. ∴△ABC∽△A′B′C′.d.归纳:三边成比例地两个三角形相似.e.推理格式:∵AB BC CAA B B C C A=='''''',∴△ABC∽△A′B′C′.2.自学:参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生:①明了学情:观察学生是否清楚定理地证明思路与每步推理地依据.②差异指导:根据学情进行指导.（2）生助生:小组交流,研讨.4.强化1.自学指导（1）自学内容:课本P33思考~P34.（2）自学时间:6分钟.（3）自学方法:先运用定理给出判定,然后对照课本解答进行检验,并完成探究提纲.（4）探究提纲:P33例1地第（1）题中,三条边成比例吗？符合判定定理1地条件吗？④练习:根据下列条件,判定△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由.a.AB＝10 ,BC＝8 ,AC＝16 ,A′B′＝16 ,B′C′＝12.8 ,A′C′＝25.6 .（相似,三边对应成比例）b.下图中地两个三角形是否相似？为什么？（图1相似,两边成比例且夹角相等;图2不相似,三边不成比例）2.自学:学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生:①明了学情:了解学生探究提纲地第③,④题地完成情况.②差异指导:根据学情进行针对性指导.（2）生助生:小组交流,研讨.4.强化:运用判定定理1与2判定两个三角形是否相似地要点.三,评价1.学生学习地自我评价:这节课妳学到了哪些知识？有些什么收获与不足？2.教师对学生地评价:（1）表现性评价:从学生学习地参与程度,思维是否活跃,回答问题是否积极等方面给予评价.（2）纸笔评价:课堂评价检测.3.教师地自我评价（教学反思）.本课时教学采用类比地方法进行,根据全等三角形是特殊地相似三角形,通过对判定全等三角形所需条件进行分析,类比全等三角形地判定方法,诱导学生在类比中猜想相似三角形地判定方法.课堂上突出学生地主体地位,多给学生提供自主学习,自主操作,自主活动地机会,让学生真正成为数学学习地主体.一,基础巩固（70分）1.(10分)下列四个选项中地三角形,与图中地三角形相似地是（B ）2.(20分)根据下列条件,判断△ABC 与△A′B′C′是否相似,并说明理由.（1）AB ＝10 ,BC ＝12 ,AC ＝15 ,A′B′＝150 ,B′C′＝180 ,A′C′＝225 ;(2)∠A ＝87°,AB ＝8 ,AC ＝7 ,∠A′＝87°,A′B′＝16 ,A′C′＝12 .解:（1）△ABC ∽△A′B′C′.理由:∵AB BC AC A B B C A C =='''''',∴△ABC ∽△A′B′C′. （2）△ABC 与△A′B′C′不相似.理由:AB AC A B A C ≠''''. 3.(20分)(1)判断图1中两三角形是否相似;(2)求图2中x 与y 地值.解:（1）相似.理由:设小方格边长为1,则AB=2,EF=2.通过勾股定理易求得BC=22,AC=25,DE=2,DF=10.∴22DE EF DF AB BC AC ===,∴△DEF ∽△ABC. (2)∵ 1.5AC BC EC DC==,∠ACB=∠ECD, ∴△ACB ∽△ECD,∴∠B=∠D=98°,1.527x =,∴x=40.5,y=98. 4.(10分)如图,△ABC 中,D,E 分别是AB,AC 上地点,且AD=5,DE=4,AE=92,DB=7,BC=485,EC=6310,那么△ADE ∽△ABC 吗？为什么？ 解:△ADE ∽△ABC.理由:∵512 AD AE DEAB AC BC===,∴△ADE∽△ABC.二,综合应用（20分）5.(10分)要制作两个形状相同地三角形框架,其中一个三角形框架地三边长分别为4,5,6,另一个三角形框架地一边长为2,它地另外两边应当是多少？解:两个形状相同地三角形框架,它们是相似地.如果边长2与边长4是对应边,则另外两边为2.5与3.如果边长2与边长5是对应边,则另外两边为1.6与2.4.如果边长2与边长6是对应边,则另外两边为43与53.。
27.2相似三角形1相似三角形的判定用三边比例关系判定三角形相似(教案)
在总结回顾环节，学生们对今天所学的知识有了整体的认识，但仍有个别学生表示对某些部分理解不够透彻。这提醒我，在后续的教学中，要关注学生的个体差异，尽量让每个学生都能跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三边比例关系判定相似的两个重点：三组对应边的比例相等和两组对应边的比例相等且夹角相等。对于难点部分，我会通过具体的图形和例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过测量边长和角度来判断两个三角形是否相似。
b.如果两个三角形中有两组对应边的比例相等，并且夹角相等，即a/ b = c/ d，且∠A = ∠C或∠B = ∠D，则这两个三角形相似。
二、核心素养标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：
1.空间观念：通过探究相似三角形的判定，使学生能够理解和运用空间图形的性质，发展空间想象力和直觉思维能力。
2.抽象概括能力：引导学生从具体实例中抽象出相似三角形的判定方法，提高他们的逻辑推理和概括能力。
3.数据分析观念：培养学生通过观察、分析三角形边长数据，运用三边比例关系解决问题的能力，增强数据分析观念。
4.数学应用意识：将相似三角形的判定应用于解决实际问题，让学生体会数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
-重点知识点举例：
a.如果两个三角形的三组对应边的比例相等，即a/ b = c/ d = e/ f，则这两个三角形相似。
三边对应成比例的两个三角形相似
解：（1）相似. 设小方格边长为1，
则AB=2, BC=2 2，AC=2 5, EF=2，ED= 2 , DF= 10 .
∵ DE EF DF
AB BC AC
2 2
∴△DEF∽△ABC.
（2）求图2中x和y的值.
解：（2）∵ AC BC 1.5
EC DC
∠ACB=∠ECD ∴△ACB∽△ECD ∴∠B=∠D=98°， x 1.5
两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似.
在△ABC中,∠B=30°，AB=5cm，AC=4cm， 在△A′B′C′中，∠B′=30°，A′B′=10cm，A′C′=8 cm，这两个三角形一定相似吗？若相似，说说 是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.
解：不一定. 虽然 AB AC 1
A' B' A' C ' 2
∵ AB AC
A' B' A' C '
又∠A=∠A' ∴ △ABC∽△A'B'C'
练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是 否相似，并说明理由：
（1）∠A=40°, AB=8cm, AC=15cm, ∠A'=40°, A'B'=16cm, A'C'=30cm.
相似，因为两边成比例，夹角相等. （2）AB=10cm, BC=8cm, AC=16cm,
• 学习重、难点：
重点：三角形相似的判定1和判定2.
难点：两判定定理的证明.
推进新课
知识点1 相似三角形的判定定理
探究
任意画一个三角形， 再画一个三角形，使它的各边长都是原来三 角形各边长的k倍. 度量这两个三角形的角， 他们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与 同学交流一下，看看是否有同样的结论.
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形的判定1(三边)
C’ B’
A B
C
说说你的 收 获 ！
★ 探讨了相似三角形的判定方法:
平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线) 相交,所得的三角形与原三角形相似.
三边对应成比例的两个三角形相似.
数学语言： “A”型
A
D B
（图1）
“X”型
D O E
E C
B （图2） C
配套P36T7
探 索
数学语言：
如果△ABC与△A'B'C'三边对应成比 A 例，那么它们相似吗？ A'
D
E
B' C'
P34课后练习
B C
三边对应成比例的两个三角形相似.
如图,△ABC与△ A’ B’ C’ 相似吗？ A’
AD AE AB AC
A E
C
D B
AE DE AC BC
AD AE 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似
平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线) 相似 相交,所得的三角形与原三角形________.
ＡD ＡE = AＢ AC D
B
P
Q E C
2. 如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A ∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C 过E作EF//AB交BC于F
∵DBFE是平行四边形
AE BF 则 AC BC
∴DE=BF
27.2.1相似三角形的判定
平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，
所得的对应线段成比例．
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
证明相似的四种判定
一．证明相似的四种判定1、两角对应相等，两三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
3、三边对应成比例，两三角形相似。
4、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例。
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明。
）扩展资料：常用的判定定理有以下6条：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
）（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）（SAS）判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
）（SSS）判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
）判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）（HL）判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。
相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。
九年级数学上册《三条边对应成比例的两个三角形相似》优秀教学案例
本案例中，教师关注学生的个体差异，针对不同层次的学生布置难易适度的习题。这种差异化教学策略使每个学生都能在课堂上找到适合自己的学习节奏，提高学习效果。
5.反思与评价相结合，促进学生的自主学习
本案例强调反思与评价的重要性，教师通过课堂观察、学生自评和互评等多种方式，全面评估学生的学习效果。这种评价方式有助于学生认识到自己的优点和不足，培养自我反思、自主学习的习惯，为学生的终身学习打下坚实基础。
此外，我还会要求学生在课后进行自我反思，总结自己在课堂上的收获和不足，为下一节课的学习做好准备。通过这样的方式，使学生在完成作业的过程中，进一步巩固和深化对相似三角形性质的理解。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设
本教学案例的最大亮点之一是紧密联系学生的生活实际，通过展示校园内外的三角形物体，引导学生从生活中发现数学问题。这种情景创设使得学生对相似三角形的概念有了更直观、生动的认识，激发了他们的学习兴趣，提高了课堂的吸引力。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论的环节，我会将学生分成小组，每组挑选一道具有代表性的习题进行讨论。讨论过程中，学生需要共同分析问题，探讨解题思路，并尝试用相似三角形的性质来解决问题。
我会在各组之间巡回指导，提供必要的帮助和提示，鼓励学生发表自己的观点，倾听他人的意见，通过合作交流，共同解决问题。
（四）总结归纳
（二）过程与方法
1.通过观察、发现、讨论等教学活动，培养学生独立思考、合作交流的能力。
2.引导学生运用已学的几何知识和方法，探索相似三角形的性质，培养学生的创新精神和实践能力。
3.通过解答例题、习题，让学生掌握相似三角形性质的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
4.鼓励学生将所学知识运用到实际生活中，培养学生的数学应用意识和实际操作能力。
证明相似三角形判定方法
证明相似三角形判定方法证明相似三角形的判定方法有多种，以下是其中的50种方法，并对每种方法进行详细描述：1. 相似角对应相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
2. 辅助角相等：如果两个三角形的一个角等于另一个角的辅助角，则这两个三角形相似。
3. 边长比例相等：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
4. 三边比例相等：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
5. 比较周长：如果两个三角形的周长比例相等，则这两个三角形相似。
6. 比较面积：如果两个三角形的面积比例相等，则这两个三角形相似。
7. 角平分线所成的相似三角形：如果两个三角形的一个角被其相对边的平分线所平分，且两个角相等，则这两个三角形相似。
8. 内切圆和外切圆：如果两个三角形的内切圆和外切圆的半径比例相等，则这两个三角形相似。
9. 三角形的高比较：如果两个三角形的高的比例相等，则这两个三角形相似。
10. 图中的角平分线构成相似三角形：如果两个三角形的一个角被图中一条直线平分，且划分的相邻两边的比例相等，则这两个三角形相似。
11. 内接三角形相似性：如果一个三角形内部有另一个相似的三角形，则这两个三角形相似。
12. 应用正弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的正弦比相等，则这两个三角形相似。
13. 应用余弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的余弦比相等，则这两个三角形相似。
14. 应用正切定理：如果两个三角形中包含的两个角的正切比相等，则这两个三角形相似。
15. 利用半角公式：如果两个三角形中包含的两个角的半角正弦比相等，则这两个三角形相似。
16. 利用角平分定理：如果平分一个三角形的一个角，并且用两条角平分线切分其对边，则所得的小三角形相似。
17. 边角边：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，则这两个三角形相似。
18. 角边角：如果两个三角形的一对对应角和夹边相等，则这两个三角形相似。
19. 边边边：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形相似。
最新北师大版九年级上册数学【学案】利用三边关系判定两三角形相似
最新北师大版九年级上册数学精品资料设计
最新北师大版九年级上册数学精品资料设计 1 利用三边关系判定两三角形相似
一、学习目标 经历三角形相似的判定方法“三边对应成比例的两个三角形相似”的探索过程，能运用上述判定方法判定两个三角形相似。
二、学习重点
会用三角形相似判定定理判断两个三角形相似。
三、自主预习
1．知识回顾:判断三角形相似的方法是 。
2.全等三角形与相似三角形关系是 。
3.两个三角形全等有哪些简单的判定方法？
四、合作探究
任务：探索三边对应成比例的两个三角形是否相似。
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长是的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
探求证明方法．
如图，在ABC ∆和A B C '''∆中，
A C CA C
B B
C B A AB '
'=''=''，求证ABC ∆∽A B C '''∆ 证明 ：
归纳三角形相似的判定定理3：
五、巩固反馈（当堂检测）
如图，ABC ∆中，点,,D E F 分别是,,AB BC AC 的中点，求证：ABC DEF ∆∆∽。
初中数学例题：《三边成比例的两个三角形相似》
初中数学例题：三边成比例的两个三角形相似
5、已知：正方形的边长为1
（1）如图①，可以算出正方形的对角线为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢？
（2）根据图②，求证△BCE∽△BED；
（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；
⒊∠BEC+∠DFE=45°
【思路点拨】（1）主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；
（2）在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；
（3）欲证∠BEC+∠DFE=45°，在本题中等于45°的角有两个，即∠AEB 和∠BEF，所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中去，利用等腰梯形的性质求解即可．
【答案与解析】
解：（1）由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长==，第二个图形中，对角线长==，
第三个图形中，对角线长=，
所以第n个图形中，对角线长=；
（2）在△BCE中，BC=1，BE=，EC=，
在△BED中，BE=，BD=2，ED=，
所以，
∴△BCE∽△BED；
（3）选取③，
∵CD∥EF，且CE=DF，
∴四边形CEFD为等腰梯形，
∴∠DFE=∠CEF，
∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45°．
【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的.。
【说课稿】 用三边比例关系判定三角形相似
用三边比例关系判定三角形相似尊敬的领导、各位老师，大家好：今天我说课的内容是人教版初中数学九年级下册《相似三角形的判定》第二课时的内容。
我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学程序四个方面来对本课进行说明。
教材分析：一、地位和作用在这之前，学生学习了全等三角形的相关知识，相似三角形是全等三角形的拓广和发展，而相似三角形的判定是相似三角形的主要内容之一，相似三角形的判定是进一步对相似三角形的本质和定义的全面研究，也是相似三角形性质的研究基础，同时还是研究圆中比例线段和三角函数的重要工具，可见一相似三角形的判定占据着重要的地位。
二、教学目标基于对教材、教学大纲的认识和学生的已有的认知结构和心理特征的分析，我确定了本节的教学目标：知识目标：1、经历三角形相似的判定定理1 的探索及证明过程。
2、能应用定理1判定两个三角形相似，解决相关问题。
能力目标：让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题的能力。
情感目标：通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐。
三、重难点依照教材和教学大纲的要求，为了能更好的完成本节课的教学目标，我制定了本节课教学的重、难点和关键。
重点：本节教学的重点是使学生了解判定定理并学会应用难点：了解判定定理的证明方法是难点关键：即重难点的突破方法（1）判定方法1的探究是让学生通过作图展开的，我们在教学过程中，要通过从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及类比认识新事物的方法．（2）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边．根据以上的教学分析，制定本节课的教法和学法。
教法分析：针对初三学生的年龄特点和心理特征，以及他们的知识水平，根据教学目标，本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多媒体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态。
学法指导这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程。
相似三角形的判定三边对应成比例
A
5
8
D
10
B 12
C
E
F
变式训练: 如图,已知△ABC与△DEF中,AB=5,BC=12,AC=8, DE=10,则当DF=____,EF=____时,△ABC和△DEF相似.
D
10
A
5
8
E D
F
B 12
C F
10
E F
D
10
E
3:如图,在6×6的正方形方格中,△ABC与△DEF的 顶点都在边长为1的小正方形的顶点上， (1)填空: BC=___2___, AC=___1_0____
你有哪些收获 还有什么疑问吗
课后练习：1、P85练习1-2 2、P89练习4
EF=_2___2__, DF=__2__10_____.
(2)△ABC与△DEF相似 A 吗若相似,请给出证明,若 不相似,请说明理由.
B C
F
D
E
4.如图，
AB AD
=
AC AE
=
BC DE
,
求证：∠1=∠2.
D
A 1
2
E
B
C
判定三角 形相似的 方法
定义 判定方法１ 判定方法２ 判定方法３ 判定方法4
DE=6，EF=9，DF=12
边按大小顺序依次排列，然后 比较它们对应的比值是否相等
不相似
例1：如图已知
AB BC AC AD DE AE
，并说明你的理由.
.找出图中相等的角
解：在ΔABC 和ΔADE 中，
A
ABBCAC AD DE AE
∴ ΔABC∽ΔADE .
E
B
C
D
∴∠BAC =∠DAE , ∠B =∠D , ∠C = ∠E .
最新(2020年春期)人教版初中数学九年级上册【学案】 用三边比例关系判定三角形相似
27.2.4 用三边比例关系判定三角形相似一、新课导入1.课题导入问题1：请叙述三角形全等的SSS定理.问题2：把SSS中的“三边对应相等”改为“三边成比例”，那么这两个三角形是什么关系呢？由此导入新课.（板书课题）2.学习目标（1）知道三边成比例的两个三角形相似，知道两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（2）能够运用这两个判定定理解决简单的证明和计算问题.3.学习重、难点重点：三角形相似的判定难点：两判定定理的证明.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P32探究~P33思考上面的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学要求：完成探究提纲.（4）探究提纲：探究:任意画△ABC和△A′B′C′，使△A′B′C′的各边长都是△ABC各边长的k 倍，△ABC∽△A′B′C′吗？a.操作：度量这两个三角形的对应角，这两个三角形的对应角相等，对应边成比例.b.猜想：在△ABC和△A′B′C′中，如果AB BC CAA B B C C A==''''''，那么△ABC∽△A′B′C′.c.证明：如图，在线段A′B′上截取A′D=AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E,则△A′DE∽△A′B′C′.∴A DA B'''=A EA C'''=DEB C''，又∵AB BC CAA B B C C A==''''''，A′D=AB，∴A E CAA C C A'=''''，∴A′E=AC.同理，DE BCB C B C=''''，∴DE=BC. ∴△A′DE≌△ABC. ∴△ABC∽△A′B′C′.d.归纳：三边成比例的两个三角形相似.e.推理格式：∵AB BC CAA B B C C A==''''''，∴△ABC∽△A′B′C′.2.自学：参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：观察学生是否清楚定理的证明思路和每步推理的依据.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化1.自学指导（1）自学内容：课本P33思考~P34.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：先运用定理给出判定，然后对照课本解答进行检验，并完成探究提纲.（4）探究提纲：教材P33例1的第（1）题中，三条边成比例吗？符合判定定理1的条件吗？④练习：根据下列条件，判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.a.AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，A′B′＝16 cm，B′C′＝12.8 cm，A′C′＝25.6 cm.（相似，三边对应成比例）b.下图中的两个三角形是否相似？为什么？（图1相似，两边成比例且夹角相等；图2不相似，三边不成比例）2.自学：学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生探究提纲的第③、④题的完成情况.②差异指导：根据学情进行针对性指导.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化：运用判定定理1和2判定两个三角形是否相似的要点.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你学到了哪些知识？有些什么收获和不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生学习的参与程度、思维是否活跃、回答问题是否积极等方面给予评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时教学采用类比的方法进行，根据全等三角形是特殊的相似三角形，通过对判定全等三角形所需条件进行分析，类比全等三角形的判定方法，诱导学生在类比中猜想相似三角形的判定方法.课堂上突出学生的主体地位，多给学生提供自主学习、自主操作、自主活动的机会，让学生真正成为数学学习的主体.一、基础巩固（70分）1.(10分)下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（B ）2.(20分)根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由.（1）AB ＝10 cm ，BC ＝12 cm ，AC ＝15 cm ，A ′B′＝150 cm ，B′C′＝180 cm ，A′C′＝225 cm ；(2)∠A ＝87°，AB ＝8 cm ，AC ＝7 cm ，∠A′＝87°，A′B′＝16 cm ，A′C′＝12 cm. 解：（1）△ABC ∽△A′B′C′.理由：∵AB BC AC A B B C A C =='''''',∴△ABC ∽△A′B′C′. （2）△ABC 与△A′B′C′不相似.理由：AB AC A B A C ≠''''. 3.(20分)(1)判断图1中两三角形是否相似；(2)求图2中x 和y 的值.解：（1）相似.理由：设小方格边长为1，则AB=2，EF=2.通过勾股定理易求得,DF=.∴DE EF DF AB BC AC ===,∴△DEF ∽△ABC. (2)∵ 1.5AC BC EC DC==，∠ACB=∠ECD, ∴△ACB ∽△ECD,∴∠B=∠D=98°,1.527x =,∴x=40.5,y=98. 4.(10分)如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且AD=5，DE=4，AE=92，DB=7，BC=485，EC=6310,那么△ADE ∽△ABC 吗？为什么？解：△ADE∽△ABC.理由：∵512 AD AE DEAB AC BC===,∴△ADE∽△ABC.二、综合应用（20分）5.(10分)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4,5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边应当是多少？解：两个形状相同的三角形框架，它们是相似的.如果边长2与边长4是对应边，则另外两边为2.5和3.如果边长2与边长5是对应边，则另外两边为1.6和2.4.如果边长2与边长6是对应边，则另外两边为43和53.。
相似三角形三边成比例证明
相似三角形三边成比例证明
相似三角形指的是两个三角形，其中它们的外角相等，而内角比例也相等。
如果两个三角形的三边成比例，则它们必定是相似的。
证明：设$ABC$和
$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$两个三角形，且满足$\frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{BC}{B^{\prim e}C^{\prime}}=\frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}}=k$，证明$ABC$和$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$两个三角形相似。
由于
$\frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{BC}{B^{\prim e}C^{\prime}}=\frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}}=k$，所以有
$AB=kA^{\prime}B^{\prime}$,$BC=kB^{\prime}C^{\prime }$和$AC=kA^{\prime}C^{\prime}$，
由此可得$\triangle ABC \sim \triangle
A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$，
即$ABC$和$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$两个三角形相似。
综上所述，若两个三角形的三边成比例，则它们必定是相似的，即证明命题成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 易错小结
【中考·东营】如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，
另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x
的值( B )
A．只有1个
B．有2个
C．有3个
D．有无数个
易错点：易因考虑问题不全面而致错.
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
它相似的三角形的最长边的长是21，则其他两边
长的和是( C )
A．19
B．17
C．24
D．21
7 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三 角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形 框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为
( D) A．2.5，3 C．1.6，2.4
B.
4，5 33
D．2.5，3或
17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。——马克 思
B′C′，由△A′DE∽△A′B′C′，再证明△ABC
≌△A′DE，则可得到△ABC∽△A′B′C′.
如图，在△ABC和△A'B'C'中， AB = BC AC ， AB BC AC
求证： △ABC∽△A'BA′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB，过点D
作 DE//B′C′，交A′C′于点E.根据前面的定理，可得
5、一个人在科学探索的道路上，走过弯 路，犯 过错误 ，并不 是坏事 ，更不 是什么 耻辱， 要在实 践中勇 于承认 和改正 错误。 ——爱 因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才 是长在 恶性土 壤中的 最好。 ——培 根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光 。
8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生
B′C′＝ 2 3 cm，A′C′＝ 6 cm
5 已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，
△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边是下列
哪一组时，这两个三角形相似( C )
A．2 cm，3 cm
B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm
D．6 cm，7 cm
6 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与
边长分别为 4 cm，5 cm和6 cm，另一个三角形框架的一边长为2 cm，它的另外两条边长 应当是多少？你有几种制作方案？
解：设另外两条边长分别是x cm和y cm(x<y)，由题意得
2＝ 4
x 5
＝
y 6
或
2＝ 5
x 4
＝
y 6
或
2＝ 6
x 4
＝
y 5
，解得
x＝ 5 2
y＝3
，或
4，5 33
或1.6，2.4
8 【2017·河北】若△ABC的每条边长增加各自的 10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的 度数相比( D ) A．增加了10% B．减少了10% C．增加了(1＋10%) D．没有改变
知识点 2 网格上相似三角形的判定
例2 图1，图2中小正方形的边长均为1，则图2中的哪一 个三角形(阴影部分)与图1中的△ABC相似？
3 如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC； ②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥ △EFK. ②～⑥中与①相似的是( B ) A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥
1 知识小结
利用三边成比例判定三角形相似的“三步骤”： (1)排序：将三角形的边按大小顺序排列； (2)计算：分别计算它们对应边的比值； (3)判断：通过比值是否相等判断两个三角形是否 相似．
1 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似， 并说明理由: AB= 10 cm，BC = 8 cm，AC = 16 cm, A′B′= 16 cm，B′C′= 12. 8 cm，A′C′= 25. 6 cm.
解：相似
∵ AB = 10 5，BC 8 5，AC = 16 5， AB 16 8 BC 12.5 8 AC 25.6 8
解： ∵ AB = 4 1 ，BC 6 1 ，AC = 8 1 ，
AB 12 3 BC 18 3 AC 24 3 ∴ AB = BC AC .
AB BC AC
∴△ABC ∽△A'B'C'.
总结
这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判 定方法“边边边”十分相似，所不同的是在相似的 判定方法中的 “三边”要求的是“比相等”. 三边 的对应关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”.
10、涓滴之水终可磨损大石，不是由于 它力量 大，而 是由于 昼夜不 舍的滴 坠。只 有勤奋 不懈的 努力才 能够获 得那些 技巧， 因此， 我们可 以确切 地说： 说：不 积跬步 ，无以 致千里 。——贝多芬 11、一定要做最适合自己的事情，不要 迎合别 人的口 味而去 做一件 不属于 自我的 “难事 ”。一 旦“发 现自我 ”，就 要尽力 而为， 但要全 面了解 自己和 周围的 环境， 知道适 可而止 。 12、要有自信，然后全力以赴--假如具有 这种观 念，任 何事情 十之八 九都能 成功。 ——威 尔逊 13、莫找借口失败，只找理由成功。 14、一个有坚强心志的人，财产可以被 人掠夺 ，勇气 却不会 被人剥 夺的。 ——雨 果 15、积极的人在每一次忧患中都看到一 个机会 ，而消 极的人 则在每 个机会 都看到 某种忧 患。 16、不是境况造就人，而是人造就境况 。
19、别因为落入了一把牛毛就把一锅奶 油泼掉 ，别因 为犯了 一点错 误就把 一生的 事业扔 掉。——蒙古 20、许多人之所以在生活中一事无成， 最根本 原因在 于他们 不知道 自己到 底要做 什么。 在生活 和工作 中，明 确自己 的目标 和方向 是非常 必要的 。只有 在知道 你的目 标是什 么、你 到底想 做什么 之后， 你才能 够达到 自己的 目的， 你的梦 想才会 变成现 实。
21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。——爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …——罗 曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。——爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。——普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
x＝ 8， 5或
y＝12 5
x＝ y＝
4 3 5 3
，
因此另外两条边长应当分别是 5 cm和3 cm或 8 cm和 12 cm
2
5
5
或
4 3
cm和 5 3
cm，即有3种制作方案．
4 若△ABC和△A′B′C′满足下列条件，其中使△ABC与
△A′B′C′相似的是( B )
A．AB＝2.5 cm，BC＝2 cm，AC＝3 cm；A′B′＝3 cm，
∴ AB = BC AC . AB BC AC
∴△ABC∽△A′B′C′.
2 图中的两个三角形是否相似？为什么？
解：相似 理由如下：∵ 15 = 5，25 5，20 5，
27 9 45 9 36 9
∴两个三角形的三边成比例． ∴这两个三角形相似．
3 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三
B′C′＝4 cm，A′C′＝6 cm
B．AB＝2 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm；A′B′＝3 cm，
9 B′C′＝6 cm，A′C′＝ 2 cm C．AB＝10 cm，BC＝AC＝8 cm；A′B′＝ 6 cm，B′C′＝
A′C′＝ 5 cm D．AB＝1 cm，BC＝ 5 cm，AC＝3 cm；A′B′＝ 15 cm，
图2 (4)中，三角形的三边长分别为2， 5, 13.
∵
22 ==
10 =
2，
1 25
∴图2 (2)中的三角形与△ABC相似．
总结
利用三角形三边对应成比例判定两三角形相似 的方法：首先把两个三角形的边分别按照从小到大的 顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、 中、大边的比，最后看三个比是否相等，若相等，则 两个三角形相似，否则不相似．