全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案

20XX年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试题所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高中高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，在方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，包括8道填空题和3道解答题，全卷满分120分，考试时间为150分钟.试 题一、 填空题（每小题8分，共64分）1、已知函数22()23,f x x ax a =--且方程()8f x =有三个不同的实根，则实数a = .2、设[]x 表示不超过x的最大整数，则[][][][]lg1lg2lg3lg2010+++⋅⋅⋅+= .3、12100,,,l l l ⋅⋅⋅为100条共面且不同的直线，若其中编号为4()k k N *∈的直线互相平行，编号为41k -的直线都过定点A ．则这100条直线的交点个数最多为 .4、若将半径为12cm 四个篮球在水平地面上任意堆放，则你能堆放的最大高度是 cm .5、若抛物线x y 22=的焦点是F ，准线是l ，点(2,)M m 是抛物线上一点，则经过点M F 、且与l 相切的圆一共有 个.6、若直线20(0,0)ax by a b -+=>>和函数log (2)2(0c y x c =++>且1)c ≠的图象恒过同一个定点，则11a b+的最小值为 .7、 若sin cos ln cos ln sin e e θθθθ->-，且()0,2θπ∈，则角θ的取值范围是 .8、已知半径分别为2,3的两圆外切于T ，直线MN 为此两圆的外公切线且,M N 分别为切点，则MTNT= ．二、解答题（第9小题16分，第10小题20分，第11小题20分，共56分）9、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，过坐标原点O 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，C 是椭圆上的一点，且满足OA OC OB OC =．（１）求证：2211OAOC+是定值；（２）求ABC ∆面积的最小值.10、已知数列{}n a 满足12111,6,44(2)n n n a a a a a n -+==+=≥。

（１）求数列{}n a 的通项公式； （２）求数列{}n a 的前n 项和n S .11、已知,,a b c 是Rt ABC ∆的三边，c 为斜边，若3332()a b c y c a b c ++=++，求y 的取值范围.解 答1、 方程()8f x =有三个不同的实根，即函数2223y x ax a =--的图象与直线8y =有三个交点，由图象知，222()8238f a a a a a =⇒--=⇒=.2、因为[]19lg 0,k k ≤≤⇒= []1099lg 1,k k ≤≤⇒=[][]100999lg 2,10002010lg 3k k k k ≤≤⇒=≤≤⇒=所以[][][][]lg1lg2lg3lg20109019002101134923+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯=.3、100条直线任意两条的组合有2100C ,其中编号为4()k k N *∈的直线互相平行，编号为41k -的直线都过定点A ，所以这100条直线的交点个数最多为222100252514351C C C --+=.4、四个篮球在水平地面上任意堆放的最大高度应是四个篮球两两相切的堆放在地面上，其中球心相连形成棱长为24cm的四面体，此四面体的高为，所以能堆放的最大高度应是24+.5、因为点(2,)M m 在抛物线22y x =上，所以2m =±，即(2,2)M ±，又焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,由抛物线的定义知，过点M F 、且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点共有四个，故过点M F 、且与l 相切的圆共有四个.6、因为函数log (2)2c y x =++的图象恒过点()1,2-，故220a b --+=，即112a b +=. 又因为0,0,a b >>所以11111332222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，等号当且仅当a =时成立. 7、由sin cos sin cos ln cos ln sin ln sin ln cos eeeeθθθθθθθθ->-⇒+>+，设()ln x f x e x =+，则(sin )(cos )f f θθ>，因为函数()ln x f x e x =+在()0,+∞上是增函数，所以sin cos 0θθ>>，又因为(0,2)θπ∈，故35337,,,,42244224ππππππππθ⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫⎛∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭. 8、如图,,C D 的半径分别为2,3.设MCT θ∠=,则NDT πθ∠=-, 因为直线MN 与,C D 相切于,M N ,所以,2222NMT MNT NMT MNT MTN θπθππ-∠=∠=⇒∠+∠=⇒∠=,由22223222222222222cos 33233cos()3(32)(32)MT NT MT NT MT NT MNMN θπθ⎧=+-⋅⋅⎪=+-⋅⋅-⎪⇒=⎨+=⎪⎪=+--⎩. 注:也可用坐标法或平面几何法.9、由()0OA OC OB OC OC OA OB =⇒-=0OC AB OC AB ⇒=⇒⊥ 又点O 、A 、B 同为直线l 上的三点，所以OC OA ⊥. （1） 设12,,OA r OC r xOA θ==∠=,则2xOC πθ∠=±.于是点A 、C 的坐标分别为()1122cos ,sin ,cos(),sin()22r r r r ππθθθθ⎛⎫±± ⎪⎝⎭. 因为点A 在椭圆上,所以2222112222222222222221222222222212cos sin 1cos ()sin ()2211cos sin ,1sin cos .1111,r r a b r r a b r a b r a b r r a bθθππθθθθθθ⎧+=⎪⎪⎨±±⎪+=⎪⎩⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩⇒+=+故2211OAOC+是一个定值.(2)121.2ABC S AB OC OA OC r r ∆=⋅=⋅=⋅由(1)得 22122222221122,11a b r r a b a b a b +≥⇒≥=++当12r r =,即当A 、B 、C 三点共圆时等号成立。

故ABC ∆面积的最小值是22222.a b a b +10、（1）因为12111,6,44(2)n n n a a a a a n -+==+=≥，所以11121111122(2),242421111(1)1()2222222(21)2n n n n n n n nn n n n n n nn n a a a a a a a a a a a n n a n a n -+-+++--=--=⇒-=⋅⇒-=⇒=+-⋅=-⇒=-⋅⇒=-⋅ （2）由（1）知：22113252(23)2(21)2n n n S n n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ ①①2⨯：231223252(23)2(21)2n n n S n n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ ②①-②:23121122222222(21)22(12)1(21)2(32)2312(23)23n n n n n n n n S n n n S n ---=+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅-=+--⋅=-⋅--⇒=-⋅+即(23)23()n n S n n N *=-⋅+∈.11、因为,,a b c 是Rt ABC ∆的三边，c 为斜边，所以222a b c +=. 令cos (0)sin 2a c b c θπθθ=⎧<<⎨=⎩,所以3333333222222cos sin cos sin 1(cos sin )(cos sin 1)(cos sin )(cos cos sin sin )1(cos sin 1)(cos sin )(1cos sin )1(cos sin 1)c c c y c c c c θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ++++==+++++-⋅++=+++-⋅+=++ 又令cos sin x θθ=+，因为02πθ<<,所以(cos sin ),4x πθθθ=+=+∈ 21cos sin 2x θθ-⋅=于是23222221(1)1232(1)2(1)(2)(1)22(1)2(1)(2)(1)112(1)2x x x x y x x x x x x x x x x x xx --++-==+++-++-==++-+==-⋅+ 显然112y x =-⋅在(x ∈上是减函数,所以112y ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，此即为y 的取值范围.。