数列经典例题教学提纲

数列经典例题

类型一：迭加法求数列通项公式

1．在数列中，，，求.

解析：∵，

当时，

，

，

，

将上面个式子相加得到：

∴（），

当时，符合上式

故.

总结升华：

1. 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.

2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得.

举一反三：

【变式1】已知数列，，，求.

【答案】

【变式2】数列中，，求通项公式.

【答案】.

类型二：迭乘法求数列通项公式

2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.

解析：由题意

∴

∵，∴，

∴，

∴，又，

∴当时，，

当时，符合上式

∴.

总结升华：

1. 在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列.

2．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.

举一反三：

【变式1】在数列中，，，求.

【答案】

【变式2】已知数列中，，，求通项公式.

【答案】由得，∴，

∴，

∴当时，

当时，符合上式

∴

类型三：倒数法求通项公式

3．数列中，,，求.

思路点拨：对两边同除以得即可.

解析：∵，∴两边同除以得，

∴成等差数列，公差为d=5，首项，

∴，

∴.

总结升华：

1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.

2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.

举一反三：

【变式1】数列中，，，求.

【答案】

【变式2】数列中，,，求.

【答案】.

类型四：待定系数法求通项公式

4．已知数列中，，，求.

法一：设，解得

即原式化为

设，则数列为等比数列，且

∴

法二：∵①

②

由①－②得：

设，则数列为等比数列

∴

∴

∴

法三：，，，……，

，

∴

总结升华：

1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.

2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.

举一反三：

【变式1】已知数列中，，求

【答案】令，则，

∴，即

∴，

∴为等比数列，且首项为，公比，

∴，

故.

【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.

【答案】∵，∴

设，则，即，

∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，

∴，∴.

∴.

类型五：和的递推关系的应用

5．已知数列中，是它的前n项和，并且, .

(1)设,求证：数列是等比数列；

(2)设，求证：数列是等差数列；

(3)求数列的通项公式及前n项和.

解析：

（1）因为，所以

以上两式等号两边分别相减，得

即，变形得

因为，所以

由此可知，数列是公比为2的等比数列.

由,,

所以, 所以,

所以.

（2），所以

将代入得

由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项，

故.

（3），所以

当n≥2时，

∴

由于也适合此公式，

故所求的前n项和公式是.

总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.

举一反三：

【变式1】设数列首项为1，前n项和满足.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比为，作数列，使，，求的通项公式.

【答案】

（1），

∴

∴，

又

①－②

∴，

∴是一个首项为1公比为的等比数列；（2）

∴

∴是一个首项为1公比为的等差比数列

∴

【变式2】若, ()，求. 【答案】当n≥2时，将代入, ∴,

整理得

两边同除以得（常数）

∴是以为首项，公差d=2的等差数列，

∴，

∴.

【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列的前n项和.

【答案】∵为等差数列，公差设为,

∴,

∴,

∴,

若，则,∴.

∵，

∴,∴ ,

∴,

∴①

②

①-②得

∴

类型六：数列的应用题

6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？