趣味数学—数阵图与幻方

合集下载

小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方

小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方

小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方”知识定位一、什么是数阵图?在神奇的数学王国中,有一类非常有趣的数学问题,它变化多端,引人入胜,奇妙无穷。

它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连其中,用毕生的精力来研究它的变化,就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么,到底什么是数阵呢?我们先观察上面两个图:右图(1)中有3个大圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右图(2)就更有意思了,1~9九个数字被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和,以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说,数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图,可不是一件容易的事情。

我们还是先从如何来填好数阵图开始。

如何填好数阵图?数阵图问题千变万化,这一类问题要求数阵中填入了一些数以后,能保证数阵中特定关系线(或关系区域)上的数的和相等,解决这一类问题可以按以下步骤解决问题:第一步:区分数阵图中的普通点(或方格),和交叉点(方格)第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式,即数阵图关系线(关系区域)上和的总和,这个和是关系线(关系区域)的个数的整数倍.第三步:判断少数关键点上可以填入的数的余数性质,并得出相应的数阵图关系线(关系区域)和.第四步:运用已经得到的信息进行尝试:数阵图还有一类题型比较少见,解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系,找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化,一般没有特定的解法,往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧,还有以下注意点:1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断;2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法;3.锻炼学生利用已知信息枚举,尝试的能力;4.培养学生综合运用各种数学知识,分析问题,找问题关键,解决问题的能力.二、什么是幻方?同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说?传说在大禹治水的年代,陕西的洛水经常大肆泛滥,无论怎样祭祀河神都无济于事,每年人们摆好祭品之后,河中都会爬出一只大乌龟,乌龟壳有九大块,横着数是3行,竖着数是3列,每块乌龟壳上都有几个点点,正好凑成1至9的数字,可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次,大乌龟又从河里爬上来,一个看热闹的小孩惊叫起来:“瞧多有趣啊,这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加,结果都等于十五!”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神,说来也怪,河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”,由于它有3行3列,所以叫做“三阶幻方”,这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图:三、如何解决幻方问题?幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵,具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方,4×4的数阵称作四阶幻方,5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样,三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数,也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中,首先要找出数填写的规律,再从规律中找到数表的数量关系,从而找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321(一)封闭型数阵问题(二)辐射型数阵(三)其它类型的数阵图(四)幻方例题精讲【试题来源】【题目】将1~6填入左下图的六个○中,使三角形每条边上的三个数之和都等于k,请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题目】小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具,它试着将1~10分别填入图中,使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值,你能做到吗?【题目】图中的6条线分别连接着9个圆圈,其中一个圆圈里的数是6.请你选9个连续自然数(包括6在内)填人圆圈内,使每条线上各数的和都等于23.6543216543216543216543216【题目】小兔子在森林玩耍,遇到一个画着奇怪图形的树桩,上面写着:把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内,使每条线段上3个圆内所填数的和都相等.如果中心圆内填的数相等,那么就视为同一种填法,请写出所有可能的填法,小兔子发了愁,你能帮它吗?【题目】海豚是很聪明的动物,它能将1~9填入右下图的九个○内,并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等,并且7,8,9依次位于小、中、大圆周上,你能做到吗?【题目】在下图中的10个○内填入0~9这10个数字,使得循环式成立:【题目】请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数,使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和,最下面的数是20.+=====----20【题目】请你将2~10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.【题目】请你将1~25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【题目】将九个数填入左下图的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k,则中心方格中的数必为k÷3【题目】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.【题目】将前9个自然数填入右图的9个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.【题目】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字,分别填入3×3阵列中的九个方格,使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍,第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.【题目】在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.习题演练【题目】将1~7这七个数分别填入图中的○里,使每条直线上的三个数之和都等于12。

第七讲 幻方和数阵图

第七讲   幻方和数阵图

第七讲幻方和数阵图(一)(1)把1到9这9个数填到3行3列的格子里,使每一行,每一列,每条对角线上的三个数字的和都相等,这样的数学游戏叫做幻方,像这样的3行3列的幻方叫三阶幻方。

(2)在三阶幻方中任意行,任意列或任意一条对角线上的3个数字的和叫幻和,如:7+5+3=15 4+3+8=15 6+5+4=15 这个三阶幻方的幻和是15 (3)除三阶幻方以外,常见的幻方还有四阶幻方,五阶幻方,六阶幻方四阶幻方五阶幻方六阶幻方三阶幻方的口诀是:九子斜排上下对易左右相更四维挺出例1:用3、4、5、9、10、11、15、16、17这九个数,编制一个三阶幻方,它的幻和是多少?幻和为30总结:满足一下两个条件中任意一条的九个数,就可以做填三阶幻方的游戏:(1)把九个数从小到大排列,组成了等差数列;(2)把九个数从小到大排列后,每三个数分为一组,每一组都是等差数列,而且组与组之间也是等差数列。

幻和是中间这个数的三倍三阶幻方的幻和=正中间的数 3例2:在右边的方格里填入适当的数,使它成为一个三阶幻方。

三阶幻方的幻和=正中间的数⨯3 幻和:8⨯3=24 练习:1、用2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数编制三阶幻方,并求幻和。

2、用1、2、3、7、8、9、13、14、15这九个数编制三阶幻方,并求幻和。

3、在右边的三阶幻方的空格内填入适当的数,使幻和等于27.4、在右边的三阶幻方的空格内填入适当的数,使它成为一个三阶幻方。

数阵图:把一些数按照一定的要求排列成各种各样的图形。

例3:在下面的三角形数阵图的3个 内的数的和是12例4:在下面图中的内,填上适当的数,使每条线上三个于13。

例5:把10,20,30,40,50,这五个数填入图中的使每条线段的三个数的和相等。

例6:把1,2,3,4,5,6,7这七个数字填入图中的内,使每条线上的内的3个数的和相等。

练习:1、在正方形数阵图中的内填入适当的数使每条线上的3个数的和等于21.2、把10到20这11个数填在图中的内,使每条线段上三个数的和等于45.3、把3到7这五个数分别天入“T”2形和“十”字形的方格内,使横竖两行的3个数的和相等。

第10讲----数阵图(二)

第10讲----数阵图(二)

第10讲数阵图和幻方(二)幻方问题的研究在我国已流传了两千多年,它是具有独特形式的填数字问题。

传说公元前二千多年,在大禹治水的时候,在黄河支流洛水浮起一只大乌龟,它的背上有个奇特的图案,(如图1),后来人们把它称之为“洛书”、相传在我国远古的时代,有一匹龙马游于黄河,马背上负有一幅奇的图案,这就是所谓的“河图”,实际上它是由九个数字排成一定的格式(如图2),图中有一个非常有趣的性质:它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。

一般地,在n×n(n行n列)的方格内,不重不漏填上n×n个连续自然数,并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等,则称它为n阶幻方。

这个和叫做幻和,n叫做阶。

幻方又叫魔方,九宫算或纵横图。

魔方:我国的纵横图通过东南亚国家,印度、阿拉伯传到西方。

由于纵横图具有十分奇幻的特性,西方把纵横图叫作Magic Square,翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。

九宫算:所谓九宫,就是将一个正方形用两组与边平行的分割线,每组两条,分割成的九个小正方格。

每个小方格分别填入从1到9这九个自然数中的其中一个,不同的方格填入的数不同,使得三横行中每一横行三个数的和(叫行和),三纵列中每一纵列三个数的和(叫列和),两条对角线中每一条对角线上三个数的和(叫对角和)都相相等,这样得到的图就叫九宫(算)图。

纵横图:长期以来,纵横图一直被看作是一种数字游戏。

一直到南宋时期的数学家杨辉,才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。

杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中,不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图,而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法,从而开创了这一组合数学研究的新领域。

解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。

(定中间数,填四角数,算其余数)三阶幻方:就是将九个连续自然数填入3×3(三行三列)的方格内,使每行每列、每条对角线的和相等,这叫做三阶幻方。

奇数阶幻方:“罗伯法”“楼贝法”西欧在十六,十七世纪时,构造幻方非常盛行。

第八讲(幻方与数阵图)

第八讲(幻方与数阵图)
(提高)学案 1 在下图空格中填入 7 个自然数,使每行、每列、每一对角线三数之和为 90
23
57
40
解析:告诉了幻和,先求中间数=90÷3=30
23 30
告诉了相邻 2 个棱块,一定能求对角角块=(23+57)÷2=40,得到右图
57
接下来就容易了吧?同学们自己计算吧!
(尖子)学案 1 按要求完成幻方
(1)只求 x
x
(2)如果中间格填入 100,请在(1)的基础上完成所有格的填数。
19
解析:想想窍门 2,95=(x+19)÷2,那么可算出 x=117
95
中间数是 100,可求出幻和是 300,其他的就好填了,同学们自己试试吧!
最后答案: 24 117 105 你填对了吗?
181 100 19
95 29 176
492 357
每个数加 3
7 12 5 6 8 10
816
11 4 9
先写出基本型
OK 啦
当然,本题并没有说用哪些数,所以答案很多,但是这种方法是不是更快呢?
拓展:请用 11.13.15.17.19.21.23.25.27 编制一个三阶幻方 解析:这是一个等差数列,将它与基本型中的 1-9 对应好
11 13 15 17 19 21 23 25 27 对应 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
第八讲 幻方与数阵图
一、幻方基本概念 1、幻方:是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵,具有这一性质的 3×3 的数 阵称作三阶幻方,4×4 的数阵称作四阶幻方,5×5 的称作五阶幻方…… 2、幻和:幻方中每行/列/对角线的数的和

奇妙的幻方与数阵

奇妙的幻方与数阵

奇妙的幻方与数阵走进来相传大禹治水时,洛水中出现了一只“神龟”,背上有美妙的图案(如图),史称“烙书”。

我国南宋时期数学家辉将它命名为“纵横图”,又名“九宫图”或“九宫和阵”。

用现在的数字翻译出来,就是三阶幻方。

幻方出现之后,曾使不少人为之入迷,古今中外有许多大数学家、大学者,如欧拉、富兰克林等对幻方都很感兴趣,并且逐步研究出了不少独特的构造幻方的方法。

一起做例1 把1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个自然数填入右图3×3的方格中,使每行、每列及两条对角线上的三个数之和相等。

例2 认真观察例1的结果,里面蕴涵着神奇的奥妙,你发现了吗?幻方问题,可以通过计算的方法填写。

把你发现的方法写下来。

例3 在右图的空格中填入不同的自然数,使每行、每列及两条对角线上的三个数之和是18。

例4 将九个连续偶数制成一个三阶幻方,使幻和等于36.例5 在右图的每个空格填入一个自然数,使得每一行,每一列及每一条对角线上的三个数之和都相等。

我能行展现自己1、用自然数2、3、4、5、6、7、8、9、10编制成一个三阶幻方。

2、用1、3、5、7、9、11、13、15、17编制成一个三阶幻方。

3、用2、4、6、8、10、12、14、16、18编织成一个三阶幻方。

4、将9个偶数编成一个三阶幻方,使幻方和等于24。

5、将九个连续奇数制成一个三阶幻方,是幻和等于33。

6、在下面的两个图空着的方格填上合适的数,是每行、每列及两条对角线上三个数字之和都等于27。

7、在右图中的九个小方格中各有一个数字,而且每行、每列及每条对角线上的三个数字之和都相等,求x的值。

8、在右图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都等于90。

9、在右图中的每个空格中填入一个自然数,使每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

10、在右图的空格中再填入七个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都是48。

11、在右图中的每个方格里填入一个不大于12且互不相同的9个自然数(左上角已经填入8),使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

趣味数学—数阵图与幻方

趣味数学—数阵图与幻方

三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类:定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.数阵:是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手:第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.三、幻方起源:幻方也叫纵横图,也就是把数字纵横排列成正方形,因此纵横图又叫幻方.幻方起源于我国,古人还为它编撰了一些神话.传说在大禹治水的年代,陕西的洛水经常大肆泛滥,无论怎样祭祀河神都无济于事,每年人们摆好祭品之后,河中都会爬出一只大乌龟,乌龟壳有九大块,横着数是3行,竖着数是3列,每块乌龟壳上都有几个点点,正好凑成1至9的数字,可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次,大乌龟又从河里爬上来,一个看热闹的小孩惊叫起来:“瞧多有趣啊,这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加,结果都等于十五!”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神,说来也怪,河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”,由于它有3行3列,所以叫做“三阶幻方”,这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图:987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解:“九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况,可见幻方在我国历史悠久.三阶幻方又叫做九宫图,九宫图的幻方民间歌谣是这样的:“四海三山八仙洞,九龙五子一枝连;二七六郎赏月半,周围十五月团圆.”幻方的种类还很多,这节课我们将学习认识了解它们.四、幻方定义:幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵,具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方,44⨯的数阵称作四阶幻方,55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样,98765432113414151612978105113216。

学而思四年级秋季班第八讲(幻方与数阵图)

学而思四年级秋季班第八讲(幻方与数阵图)

e
d
同理可分析,中间数也不能填 9,具体过程
同学们自己试试吧。 中间数只能填 3 和 6。
f
0
c
接下来程老师把中间数填 3 的过程解析一遍,
填 6 的情况同学们就自己试试啦。
a
b
四年级秋季班(七级下) 8.7
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
程雪
中间数填 3,每个阴影三角形的和 k=(45-3)÷3=14,
3、出格了怎么办?——卷纸筒,上面出格就卷到下面,右面出格就卷到左面。
4、格子中已有数了怎么办?——右上没路了就往下拐弯嘛。
如,构造三阶具体操作:
1
1
1
1
3
2
2
3
4
2
一居上行正中央
16
3 57
4
2
上出框时往下填
16
35
4
2
右出框时往左填
排重便在下格填
816
(注意是原数 3 的下格)
816
3 57
3 57
五、数独 要点:找限制性多、可能性少的地方入手,必要的时候用枚举法试填。
例 4 在下图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个
数字都是 1,2,3,4。
1234
2
解析:先看对角线,a 处只能填 1,b 处就只能填 3。以此类推,c 填 3,d 填 4,e 填 4……
1 234 c e a d b
二、幻方的构造方法
1、杨辉口诀法(三阶)
具体操作如下:
——九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出
1
9
4
9
2
4
2

幻方和数阵

幻方和数阵
因为数字超出可选范围,所以不合题意。
ii)a=1,b=3,c=5
d=s-(a+b)=6
e=s-(a+c)=4
f=s-(b+c)=2
?
?
iii)a=2,b=3,c=4
d=s-(a+b)=5
e=s-(a+c)=4
因为数字出现重复,所以不合题意。
?
(3)当s=11时,a+b+c=12
这时a、b、c的可能情况有:
?
学法指导
解数阵图的一般方法:
(1)认真分析隐含的数量关系和数字的位置关系,以特殊的位置为突破口,一般选择使用次数多的数作为关键数。
(2)依据数阵图中的条件,建立所求的和与关键数的关系式,并通过讨论最大值与最小值,以及试验的办法确定关键数的数值及相等的和。
(3)对其他部位上的数字作尝试选填,一直到能够得出符合要求的排法为止。
?
因此在解答这类问题时,常用的知识有:
1.等差数列的求和公式
总和=(首项+末项)×项数÷2
2.数字的奇偶性
奇数±奇数=偶数
偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数
可简记为:同性为偶,异性为奇(注:同性是同奇或同偶,异性是指一奇一偶)。
?
重点·难点
要善于确定所求的和与关键数字间的关系,用试验的方法,找到相等的和与关键数字;并会对基本解中的数进行适当调整,找到其他的解。还应注意到,对于不同的数阵图形,关键数字的位置会有所不同。并且若题目中没有特殊要求,只求出一个基本解即可。
知识网络
传说在五千年前,大禹治水的时代,人们在黄河中发现一只大龟,龟背上有一些奇怪的图案,经过破译,人们将龟背上的神奇的图案译成了 这样的数阵图,也称做幻方。

五年级奥数数阵图与幻方

五年级奥数数阵图与幻方

数阵图与幻方知识集锦知识集锦数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形,数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。

数阵图和复合型数阵图三种形式。

幻方又叫魔方、九宫算或纵横图,它起源于我国上古时代,是一种具有奇妙性质的数字表格,在古代就有“河图”、“洛书”的传说。

“洛书”的传说。

在3×3的方格里,的方格里,填上填上9个连续的自然数,个连续的自然数,使每行、使每行、使每行、每列、每列、每列、每条对角线上的每条对角线上的3个自然数的和相等,这样的数字表格叫三阶幻方,相等的和叫做幻和。

类似的还有四阶幻方、五阶幻方……例题集合例题集合例1 1 把把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中,使横这五个数字分别填入下图的五个方格中,使横 行、竖列三个数的和都是行、竖列三个数的和都是1414。

练习1 1 将将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中,使横行、竖列三个数的和都是2121。

例2 2 将将1111~~17共七个数分别填入下图的圆圈内,使每条线段上的3个圆圈中的数之和都是4040。

练习2 2 将将1~13这十三个数分别填入下图的圆圈内,使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是4747。

例3 3 把把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中,使每条边上三个数字的和都等于9。

练习3 3 如下图,在五个小圆圈内分别填上如下图,在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数,使每条直线上的三个数字之和都相等。

之和都相等。

例4 4 将将1~8填入下图的圆圈内,使每个大圆周上的五个数之和是2121。

练习4 4 将将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字分别填入下图(每个数字只用一次),如果两个大圆圈上五个小圆圈内的数字之和都是2222,那么,那么A 、B 两个圆圈内不可能填(两个圆圈内不可能填( ))。

①1和7 7 ②②4和8 8 ③③3和5 5 ④④2和6例5如下图,将1~9这九个数字填在方格里,使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相5 如下图,将等。

小学数学思维方法:幻方与数阵图

小学数学思维方法:幻方与数阵图

幻方与数阵图【知识要点】 一、幻方在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方”。

我国古代称为“河图”、“洛书”,又叫“纵横图”。

三阶幻方的性质:1.中心位置上的数等于幻和除以3;2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数;3.中心数两头的数之和等于中心数的2倍。

二、数阵图数阵图问题千变万化,这一类问题要求数阵中填入了一些数以后,能保证数阵中特定关系线(或关系区域)上的数的和相等,解决这类问题可以按以下步骤解决问题:第一步:从整体考虑,将要求满足相等的几个数字和全部相加,一般为n ×s 的形式。

第二步:从个体考虑,分别计算每一个位置数字相加的次数,将比较特殊的(多加或少加几次)位置数字用未知数表示,全部相加,一般为题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数的形式。

第三步:格局整体与个体的关系,列出等式即n ×s=题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数。

第四步:根据数论植树即整除性确定特殊位置数的取值即相对应的S 值。

第四步:根据确定的特殊位置数字及S 值进行数字分组及尝试。

【典型例题】 一、幻方例1:如下图,将1—9填入3×3的方格表中,使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等,你一共可以得到多少种填法?分析:首先,我们思考要填出一个三阶幻方,什么量的求出是最重要的?立刻我们就知道,那个所谓的“幻和”,即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。

它是多少呢?如果我们按照行(按照列也一样)把幻方中的九个数加起来,那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗?而另一方面,我们也知道,由于1到9这九个数字都只各用了一次,所以3倍的的“幻和”第1题就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。

.数阵图、幻方(学生版)

.数阵图、幻方(学生版)

数阵图(一)在神奇的数学王国中,有一类非常有趣的数学问题,它变化多端,引人入胜,奇妙无穷。

它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连其中,用毕生的精力来研究它的变化,就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么,到底什么是数阵呢?我们先观察下面两个图:左上图中有3个大圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了,1~9九个数字被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和,以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说,数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图,可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1把1~5这五个数分别填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

例2把1~5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等。

例3把1~5这五个数填入右图中的○里,使每条直线上的三个数之和相等。

例4将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10。

例5将 10~20填入左下图的○内,其中15已填好,使得每条边上的三个数字之和都相等。

例1~5都具有中心数是重叠数,并且每边的数字之和都相等的性质,这样的数阵图称为辐射型。

例4的图中有三条边,每边有三个数,称为辐射型3—3图;例5有五条边每边有三个数,称为辐射型5—3图。

一般地,有m条边,每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m-n图。

辐射型数阵图只有一个重叠数,重叠次数是“直线条数”-1,即m-1。

对于辐射型数阵图,有已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数。

由此得到:(1)若已知每条直线上各数之和,则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。

小学奥数 数阵与幻方 知识点+例题+练习 (分类全面)

小学奥数 数阵与幻方 知识点+例题+练习 (分类全面)

拓展、把1~5这五个数分别填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。

例2、将1—7七个自然数分别填入图中的圆圈里,使每条线上三个数的和相等。

拓展、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10。

例3、把1~5这五个数填入下图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等。

拓展、将 10~20填入下图的○内,其中15已填好,使得每条边上的三个数字之和都相等。

例4、将1—10这十个数填入下图小圆中,使每个大圆上六个数的和是30。

拓展、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,22。

例5、把1—10这十个数分别填入下图的○内,使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等,且和最大。

拓展、将1~11这十一个数分别填入下图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,并且尽可能大。

例6、将1—6六个数分别填入下图的○内,使每边上的三个○内数的和相等。

拓展、将1—8八个数分别填入下图的○内,使每条边上三个数的和相等。

例7、将1—8这八个数分别填入下图○内,使外圆四个数的和,内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。

拓展、将1—8八个数填入下图方格里,使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

例8、将1—9九个数分别填入下图○内,使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。

拓展、将1—9填入下图的○中,使横、竖行五个数相加的和都等于25。

例9、如下图,将1~9这九个数字填在方格里,使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。

拓展、将1—9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中,使靠近大三角形每条边上五个数的和相等,并且尽可能大。

这五个数之和最大是多少?例10、将4~12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中,使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。

拓展、下图的每个空格中,填入不大于12且互不相同的九个自然数,使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

4年级-6-幻方和数阵图

4年级-6-幻方和数阵图

传说在五千年前,大禹治水的时代,人们在黄河中发现一只大龟,龟背上有一些奇怪的图案,经过破译,人们将龟背上的神奇的图案译成了如下图这样的数阵图,也称做幻方。

幻方和数阵是我国文化遗产之一,早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载。

到了宋朝,杨辉对幻方已有较详细的记述,并探索出一些编制方法。

明朝程大位、清朝张潮等人,创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式,其中九宫图是最简单的三阶幻方。

将三阶幻方推广,结合某些几何图形,把一些数字填入图形的某种位置上,并使数字满足一定的约束条件,这类问题,通常被称为“数阵图”。

幻方是特殊的数阵图。

大约在15世纪初,幻方传到国外,引起了欧洲很多数学家的兴趣,发现许多新成果。

人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏,而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关,幻方已成为数阵图中最重要的课题,是数学研究中的一个重要分支。

数阵图大致分三种:封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。

幻方的特点:一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。

这个相等的和叫“幻和”。

要求在n 行n 列的方格里,既不重复又不遗漏地填上n ×n 个连续的自然数。

这些自然数所组成的一列数有极强的规律性,按顺序排列后,每一项都比它前面的一项大1,即它们构成了差相等的数列,是等差数列。

因此在解答这类问题时,常用的知识有: 1.等差数列的求和公式总和=(首项+末项)×项数÷2 2.数字的奇偶性 奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数知识梳理奇数±偶数=奇数可简记为:同性为偶,异性为奇(注:同性是同奇或同偶,异性是指一奇一偶)。

数阵图【例1】★如图所示,在三个圆圈中各填入一个自然数,使每条线段两端的两个数之和均为奇数。

请问这样的填法存在吗?如不存在,请说明理由;如存在,请写出一种填法。

【例2】★小蜗牛不小心爬到一个三角形数阵图中,必须将1~6六个自然数分别填入下图的○内,使三角形每边上的三数之和都等于11才能通过这个数阵图,你能帮它吗?614532【小试牛刀】把1,2,3,4,5,6,7,8八个数字填入下图中的○内,使正方形每条边上三个数的和都等于13.典型例题【例3】★把1~7这七个自然数,分别填在下图(1)的圆圈内,使每条直线上的三个数的和都相等。

趣味数学—数阵图与幻方

趣味数学—数阵图与幻方

三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类:定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.数阵:是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手:第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.三、幻方起源:幻方也叫纵横图,也就是把数字纵横排列成正方形,因此纵横图又叫幻方.幻方起源于我国,古人还为它编撰了一些神话.传说在大禹治水的年代,陕西的洛水经常大肆泛滥,无论怎样祭祀河神都无济于事,每年人们摆好祭品之后,河中都会爬出一只大乌龟,乌龟壳有九大块,横着数是3行,竖着数是3列,每块乌龟壳上都有几个点点,正好凑成1至9的数字,可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次,大乌龟又从河里爬上来,一个看热闹的小孩惊叫起来:“瞧多有趣啊,这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加,结果都等于十五!”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神,说来也怪,河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”,由于它有3行3列,所以叫做“三阶幻方”,这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图:987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解:“九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况,可见幻方在我国历史悠久.三阶幻方又叫做九宫图,九宫图的幻方民间歌谣是这样的:“四海三山八仙洞,九龙五子一枝连;二七六郎赏月半,周围十五月团圆.”幻方的种类还很多,这节课我们将学习认识了解它们.四、幻方定义:幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵,具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方,44⨯的数阵称作四阶幻方,55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样,98765432113414151612978105113216。

趣味数学—数阵图与幻方讲课教案

趣味数学—数阵图与幻方讲课教案

趣味数学—数阵图与幻方三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类:定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.数阵:是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手:第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.三、幻方起源:幻方也叫纵横图,也就是把数字纵横排列成正方形,因此纵横图又叫幻方.幻方起源于我国,古人还为它编撰了一些神话.传说在大禹治水的年代,陕西的洛水经常大肆泛滥,无论怎样祭祀河神都无济于事,每年人们摆好祭品之后,河中都会爬出一只大乌龟,乌龟壳有九大块,横着数是3行,竖着数是3列,每块乌龟壳上都有几个点点,正好凑成1至9的数字,可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次,大乌龟又从河里爬上来,一个看热闹的小孩惊叫起来:“瞧多有趣啊,这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加,结果都等于十五!”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神,说来也怪,河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”,由于它有3行3列,所以叫做“三阶幻方”,这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图:987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解:“九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况,可见幻方在我国历史悠久.三阶幻方又叫做九宫图,九宫图的幻方民间歌谣是这样的:“四海三山八仙洞,九龙五子一枝连;二七六郎赏月半,周围十五月团圆.”幻方的种类还很多,这节课我们将学习认识了解它们. 四、幻方定义:幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵,具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方,44⨯的数阵称作四阶幻方,55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样,98765432113414151612978105113216。

幻方与数阵图

幻方与数阵图

幻方与数阵图知识导航三阶幻方的性质:1.中心位置上的数等于幻和除以3;2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数;3.中心数两头的数等于中心数的2倍。

典型例题例1:我们先来一起解决三道难度相差很大的题目,目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。

如下图,将1—9填入3×3的方格表中,使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等,你一共可以得到多少种填法?解析:首先,我们思考要填出一个三阶幻方,什么量的求出是最重要的?立刻我们就知道,那个所谓的“幻和”,即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。

它是多少呢?哦,如果我们按照行(按照列也一样)把幻方中的九个数加起来,那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗?而另一方面,我们也知道,由于1到9这九个数字都只各用了一次,所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(请复习学过的等差数列知识)。

于是最后,我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是45÷3=15。

接下来第二步,我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。

同学们可能会说,中间一定填5,因为1到9的中间数字就是5,而幻方又是上下左右对称的。

没错,同学们有这样的数学直观很好,但是为了确定我们的判断,还是需要严格地说明一下。

A B CD E FG H I看上面的表格,由于我们还没有填入任何一个数字,所以就用了九个大写字母来表示。

下面就需要技巧了,我们现在只考虑包含E的四条直线:因为A+E+I=15, B+E+H=15, C+E+G=15, D+E+F=15, 所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加,就可以得到(A+B+C+D+E+F+G+H+I)+3×E=60, 而A+B+C+D+E+F+G+H+I不就是所填数的总和吗?不论填法如何,这个数是不变的,它就是45,于是那么我们就得到E=5了。

解:根据上面的分析,我们知道“幻和”=15,而E=5。

从而我们知道A+I=B+H=C+G=D+F=10,也意味着在所有经过中心的直线上,两端的数字奇偶性相同。

小学奥数四年级_幻方与数阵图

小学奥数四年级_幻方与数阵图

幻方与数阵图扩展[内容概述]本讲有两部分主要内容:1、 幻方的概念和性质,简单幻方的编制;2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形,叫做数阵图。

大致分为三类:封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

幻方的概念:所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数,使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等;而阶数是指每行、每列所包含的方格数。

幻方题可以粗略的分为两种,一种是限制了所填入的数字,或者给出了需要填入的各个数字,或者已经填入一个或几个数字;另一种是对填入的数字没有任何限制,填对即可。

幻方又称为魔方,方阵等,它最早起源于我国。

宋代数学家杨辉称之为纵横图。

关于幻方的起源,我国有“河图”和“洛书”之说。

相传在远古时期,伏羲氏取得天下,把国家治理得井井有条,感动了上苍,于是黄河中跃出一匹龙马,背上驮着一张图,反作为礼物献给他,这就是“河图”了,是最早的幻方。

伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。

后来大禹治洪水时,洛水中浮出一只大乌龟,它的背上有图有字,人们称之为“洛书”。

“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。

把这些连在一起的小圆和数目表示出来,得到1至9这九个数,恰组成一个三阶幻方。

幻方问题主要方法: 一、 累加法:利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。

通常将若干个“幻和”累加在一起,再计算每一个位置上的重数,从而求出“幻和”和关键位置上的数字。

二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后,结合枚举法完成数阵图的填写,在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。

三、 比较法:利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。

注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系,注意它们之间共同的部分,去比较不同的部分。

四、 掌握好3阶幻方中的规律。

本讲还有一部分内容是数阵图拓展,也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。

数阵图问题方法多样且特殊,我们将在例题中详细讲解。

其实这些方法和幻方是一致的,大家可以在下面的学习中体会到这一点。

第8讲: 幻方和数阵图

第8讲: 幻方和数阵图

第三讲: 幻方和数阵图概念:每一行每一列每条对角线的和都相等的游戏叫着幻方,像这样三行三列叫着三阶幻方。

(杨辉纵横图)7+5+3=15 4+3+8=15 6+5+4=15每一行,每一列,每一条对角线的和=15 幻和 =15杨辉口诀:九子斜上,上下对易,左右相更,四维挺出。

现场实践:练习1:用3、4、5、9、10、11、15、16、17 ,利用口诀排三阶幻方,并求幻和。

2、用1、2、3、4、5、6、7、8、9 排三阶幻方,并求幻和讲解分析:1 、2、 3 3、 4、 54、 5 、6、 9、10、117、 8、 9 15、15、17比较前面填的两个幻方,想一想1、什么样的九个数可以填三阶幻方?2、三阶幻方中间数有什么特点、它与幻和有什么关系?2 9 4 7 53 6 1 8 2 9 47 5 36 1 84 17 9 15 10 5 11 3 16三、规律一:满足以下两个条件中任意一条的九个数就可以做填三阶幻方的游戏;1、把九个数从小到大排列,组成等差数列。

2、把九个数从小到大排列,每三个分为一组,每一组组成等差数列,而且组与组之间也是等差数列。

规律二:1、三阶幻方中间数刚好是九个数从小到大中间数,同时也是这就个数的平均数。

2、中间数是头尾的平均数横竖斜都是等差数列幻和:15 幻和:30三阶幻方和=正中间数×3试一试:1、在左边的方格里填入适当的数,使它成为一个三阶幻方。

2、(1)用2、4、6、8、10、12、14、16、18编幻方,并求幻和。

(2)1、2、3、7、8、9、13、14、15、编幻方,并求幻和 3、在右边三阶幻方空格内填上适当的数使幻和等于27 。

2 9 4 7 5 3 6 1 8 4 17 9 15 10 5 11 3 16 68 114、在右边空格内填上适当的数使它成为一个三阶幻方。

5、在右边三阶幻方空格内填上适当的数使幻和等于18第3题 第4题 第5题数阵图概念:把一些数按照一定的要求排成各种各样的图形叫做数阵图例1:在下面三角形数阵图○ 空格内添上适当的数,使每条线上的数和等于13试一试:1、把10、20、30、40、50、这五个数填入图中○ 内,使每条线上的三个数的和相等。

四年级数学之幻方和数阵

四年级数学之幻方和数阵

第六讲幻方和数阵知识要点与学法指导:传说在四千年前,洛河洪水泛滥,大禹去治水。

有一天,从河里浮出一只大乌龟,龟驮着一本书,称为“洛书”。

书上有一幅奇特的这幅图用现在的数字表示,即为1~9这九个数字,填在九个格子里,每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15(见上右图)。

我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图”,国外称幻方曾使不少的爱好者入迷,目前世界上最大的幻方—“1256阶泛对角幻方”就是1990年11月22日由无锡一位中学教师发明的,这个数字方阵纵、横排成1256行,任何一条线以及对角线各数和都是990693236数阵图就是把一些数按照一定的规则,填在某一特定图形的规定位置上,这种图形,我们称之为数阵图。

由于它既有数字之间的运算,又要结合图形,因此对开发学生综合思考和形象思维很有益处。

数阵图的种类很多,这里我们将主要介绍封闭式的数阵图。

幻方和数阵图的填写不能只采取试的办法,而要根据题目的要求,所给的数字的特征进行合理的分析思考,并在计算的基础上,先填写关键位置的数,再填其他位置的数。

例1 把1、2、3、4、5、6填在图中,使每条边上的三个数之和都等于9。

【分析与解】同学们,首先用你敏锐的眼光观察一下,三角形三个顶点的数在求和时各使用了几次呢?如图(2)所示,很容易看出,位于三角形顶点的三个数a,b,c各被使用了两次。

因此三条边上的总和表示为:1+2+3+4+5+6+a+b+c=27又因为1+2+3+4+5+6=21,与总和相差27-21=6,也就是说a+b+c=6,所以三个顶点应选作1,2,3,其他数字也就可以依次填入空位了[如图(3)所示]。

通过例1我们不难发现,填数的过程是有规律的。

我们首先需要找到关键数(即在数阵中重复使用的数字),然后通过总和找到关键数的和,并以此确定关键数。

关键数找到了,就可以根据每边的数字和将其他数字填写完整。

聪明的同学们,这个方法你掌握了吗?试一试1把1,2,3,4,5,6这6个数,分别填在图中三角形三条边的六个圆圈中。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

.Word文档三年级奥数--数阵图与幻知识框架一、数阵图定义及分类:定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.数阵:是一种由幻演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的法入手:第一步:区分数阵图中的普通点(或格)和关键点(或格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学法的综合运用.三、幻起源:幻也叫纵横图,也就是把数字纵横排列成正形,因此纵横图又叫幻.幻起源于我国,古人还为它编撰了一些神话.传说在大禹治水的年代,的洛水经常大肆泛滥,无论怎样祭祀河神都无济于事,每年人们摆好祭品之后,河中都会爬出一只大乌龟,乌龟壳有九大块,横着数是3行,竖着数是3列,每块乌龟壳上都有几个点点,正好凑成1至9的数字,可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次,大乌龟又从河里爬上来,一个看热闹的小孩惊叫起来:“瞧多有趣啊,这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加,结果都等于十五!”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神,说来也怪,河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻”,由于它有3行3列,所以叫做“三阶幻”,这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻.如下图:987654321我国北时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解:“九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况,可见幻在我国历史悠久.三阶幻又叫做九宫图,九宫图的幻民间歌谣是这样的:“四海三山八仙洞,九龙五子一枝连;二七六郎赏月半,围十五月团圆.”幻的种类还很多,这节课我们将学习认识了解它们.四、幻定义:幻是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的阵,具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻,44⨯的数阵称作四阶幻,55⨯的称作五阶幻……如图为三阶幻、四阶幻的标准式样,98765432113414151612978105113216。

五、解决这幻常用的法:⑴适用于所有奇数阶幻的填法有罗伯法.口诀是:一居上行正中央,后数依次右上连.上出框时往下填,右出框时往左填.排重便在下格填,右上排重一个样.⑵适用于三阶幻的三大法则有:①求幻和:所有数的和÷行数(或列数)②求中心数:我们把幻中对角线交点的数叫“中心数”,中心数=幻和÷3.③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2.六、数独简介:数独前身为“九宫格”,最早起源于中国。

数千年前,我们的祖先就发明了洛书,其特点较之现在的数独更为复杂,要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15,而非简单的九个数字不能重复。

将心注入梦想可及中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此,故称“洛书九宫图”。

而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。

1783年,瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁块”(Latin Square)的游戏,这个游戏是一个n×n的数字阵,每一行和每一列都是由不重复的n个数字或者字母组成的。

19世纪70年代,美国的一家数学逻辑游戏杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》(Dell Puzzle Mαgαzines)开始刊登现在称为“数独”的这种游戏,当时人们称之为“数字拼图”(Number Place),在这个时候,9×9的81格数字游戏才开始成型。

填充完整后1984年4月,在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil》(《パズル通信ニコリ》)上出现了“数独”游戏,提出了“独立的数字”的概念,意思就是“这个数字只能出现一次”或者“这个数字必须是唯一的”,并将这个游戏命名为“数独”(sudoku)。

一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德(Wayne Gould)在1997年3月到日本东京旅游时,无意中发现了。

他首先在英国的《泰晤士报》上发表,不久其他报纸也发表,很快便风靡全英国,之后他用了6年时间编写了电脑程式,并将它放在上,使这个游戏很快在全世界流行。

从此,这个游戏开始风靡全球。

后来更因数独的流行衍生了多类似的数学智力拼图游戏,例如:数和、杀手数独。

中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独. 2007年2月28日,北京晚报智力休闲数独俱乐部(数独联盟sudokufederation前身)在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式,会上谜题联合会秘书长皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字,这标志着北京晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合会的39个成员之一,这也标志着俱乐部走向国际舞台,它将给数独爱好者带来更多与世界数独爱好者们交流的机会。

七、解题技巧:数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字(大小数独一个空格只位于两个单元之,但是同时多了一个大小关系作为限制条件)来缩小可选数字的围。

总结4个小技巧:1、巧选突破口:数独中未知的空格数目很多,如寻找突破口呢?首先我们要通过规则的限制来分析每一个空格的可选数字的个数,然后选择可选数字最少的格开始,一般来说,我们会选择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的格开始,尽可能确定格中的数字;而大小数独学生喜欢和家长信任的学校 3中已知的数字往往非常少,这个时候大小关系更加重要,我们除了利用已知数字之外更加需要考虑大小关系的限制。

2、相对不确定法:有的时候我们不能确定2个格中的数字,却可以确定同一单元其他格中肯定不会出现什么数字,这个就是我们说的相对不确定法。

举例说明,A1可以填入1或者2,A2也可以填入1或者2,那么我们可以确定,1和2必定出现在A1和A2两者之中,A行其他位置不可能出现1或者2.3、相对排除法:某一单元中出现好几个空格无法确定,但是我们可以通过比较这几个空格的可选数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。

举例说明,A行中已经确定5个数字,还有4个数字(我们假设是1、2、3、4)没有填入,通过这4个空格所在的其他单元我们知道A1可以填入1、2、3、4,A2可以填入1、3,A3可以填入1、2、3,A4可以填入1、3,这个时候我们可以分析,数字4只能填入A1中,所以A1可以确定填入4,我们就可以不用考虑A1,这样就可以发现2只能填入A3中,所以A3也能确定,A2和A4可以通过其他办法进行确定。

4、假设法:如果找不到能够确定的空格,我们不妨进行假设,当然,假设也是原则的,我们不能进行无意义的假设,假设的原则是:如果通过假设一个空格的数字,可以确定和这个空格处在同一个单元的其它某一个或者某几个空格的数字,那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。

举例说明,B3可以填入1或者2,A3可以填入2或者3,B4可以填入1或者2,这个时候我们就应该假设B3填入2,这样就可以确定A3填入3,B4填入1,然后以这个为基础进行推理。

例题练习一、辐射型数阵图【例 1】把1991,1992,1993,1994,1995分别填入图2的5个格中,使得横排的三个格中的数的和等于竖列的三个格中的数的和。

则中间格中能填的数是____________。

将心注入梦想可及学生喜欢和家长信任的学校5【例 2】 请你把1~7这七个自然数,分别填在下图(1)的圆圈,使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填?(1)【例 3】 将 1~11 十一个数字,填入下图各○中,使每条线段上的数字和相等。

二、封闭型数阵【例 4】把2、3、4、5、6、7六个数字,分别填入○中,使三角形各边上的数字和都是12。

【例 5】把1~9九个数字,分别填入下图○中,使每边上四个数的和都是21。

三、复合型数阵图【例 6】右边的一排格中,除9、8外,每个格中的字都表示一个数(不同的字可以表示相同的数),已知其中任3个连续格中的数相加起来都为22,则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=【例 7】如图所示,圆圈中分别填人0到9这10个数,且每个正形顶点上的四个数之和都是18,则中间将心注入梦想可及学生喜欢和家长信任的学校7两个数A 与B 的和是________。

BA【例 8】 把1~8的数填到下图中,使每个四边形中顶点的数字和相等。

四、数阵图与数论【例 9】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈,使得五条线上的数字和构成一个等差数列,而且这个等差数列的各项之和为55,那么这个等差数列的公差有 种可能的取值.五、数独【例 10】 在下图中的每个□填入一位适当的数字,使每一行、每一列、每一宫中包含数字1到4,并且每个数字只出现一次。

六、幻【例 11】 33 的正形中,在每个格子里分别填入1~9的9个数字,要求每行每列及对角线上的三个数的和相等(请给出至少一种填法).【例 12】 在图的九个格里,每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等,则N = 。

121668N作业练习把1~5这五个数分别填在左下图中的格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

把1~5这五个数填入右图中的○里,使每条直线上的三个数之和相等。

将心注入梦想可及学生喜欢和家长信任的学校9将1~8这八个自然数分别填入下图中的八个○,使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如填?(1)用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻。

相关文档
最新文档