第七讲功率谱密度

X
ei d
为平稳过程 {X t } 的功率谱密度，简称自谱
密度或者谱密度。
谱密度 SX 是从频率这个角度描述 X t 的统计规律的主要数字特征,它是 X t 的平均
功率关于频率的分布.具体看下面的性质。
2 功率谱密度的性质
从前面的讨论我们可以看到，相关函数是从时 间角度描述过程统计规律的最主要数字特征，而功 率谱密度则是从频率角度描述过程统计规律的数字 特征，二者描述的对象是一个，所以它们必定存在
子、分母只出现偶次项的原因是因 SX ( )
为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
以必须满足m n，且分母应该无实根。
若干相关函数及其对应的谱密度见书P255 表11.1(尤其是第一、五、七组）
例1 已知平稳过程的相关函数为：
RX
a2 2
cos 0
b2ea
(a 0, b 0)
求功率谱密度 SX
n
从本例的求解过程可得 RX ( ) ai cos(i )
i 1
的谱密度:
n
S X ( ) ai [ ( i ) ( i )] i 1
例2 已知平稳过程 {X t}具有如下功率谱密度：
SX
4
2 4 10 2
9
求平稳过程相关函数及平均功率 。
五 白噪声 在电路系统分析、自动控制和测量中经
或等于它的谱密度在频域上的积分。
所以，{X (t)}在 1,2 内的平均功率为:
2 X
1
2
S 2 1
X
d
在工程中，由于只在正的频率范围内进行
测量，根据平稳过程的功率谱密度的偶函数
性质，可将负的频率范围内的值折算到正频
率范围内，得到所谓“单边功率谱”。
单边功率谱 GX ( ) 定义为：
GX
(
)
2S 0
定义 一个均值为零，功率谱密度在整个 频率轴上为正常数：
SX S0 0
的平稳过程 {X (t)}，称为白噪声过程，简 称白噪声。
其相关函数为： RX S0 ( )
例5 设 X (t) Acos0t Bsin0t ( t ) ,0 为常数，A、B为相互
独立的随机变量，且
X
(
,
)
,
0 0
相应地 SX ( ) 可称为“双边功率谱”
它们的图形关系如图所示。
S X ( )
0
G X ( )
性质4 有理谱密度是实际应用中最常 见的一类功率谱密度。其形式必为：
SX
S0
2n 2m
a2 n2 2n2 L
b 2m2 2m2
L
a b
式中 S0 0 。上式要求有理函数的分
常遇到一类随机干扰—“白噪声” ,因为在 电路系统中，由于分子的热运动，使电路各 处的电流或电压受到随机干扰，在系统分析 中也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或 电流的变化反映为声波的变化时，就是人们 不爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这 就
是随机过程。当外界条件基本不变时，又可认 为这种噪声的主要统计特性不随时间的推移而 改变，所以它又是平稳过程;从功率角度看，这 种噪声对不同频率的输入都能进行干扰，所以 它的谱在各个频率分量上都广泛地存在。一种 常用的抽象是把这类噪声假定为在各个频率分 量都有同样的功率。类似白光的能谱在各种频 率上是均匀分布，我们把这类噪声称为“白噪 声”。所以白噪声是功率谱密度为常数的零均 值平稳过程。即：
RX (t,t ) E{[Acos0t Bsin0t]
[Acos0(t ) Bsin0(t )]}
2 cos0 仅与 有关。
故{X (t)}是平稳过程。
（2）
lim 1 T T
2T
0
(1
2T
)
2
cos( 0
)d
2
lim T T
1
cos 2
2T
2 0
0T
0
所以此平稳过程具有均值各态历经性；
A ~ N (0, 2 ) , B ~ N (0, 2 )
（1）证明{X (t)}是平稳过程；
（2）证明{X (t)}具有均值各态历经性； （3）求 {X (t)}的平均功率； （4）求 {X (t)}的谱密度。
解：(1) E[ X (t)] E( A)cos0t E(B)sin0t
0 为常数；
某种关系。下面通过对 SX 的性质的研究得到：
相关函数与功率谱密度构成一个傅氏变换对。
性质1 SX 和自相关函数 RX 是
一傅氏变换对。即
SX RX
RX
ei
d
称为维纳-辛钦公式。
1
2
S
X
ei d
特别，当X t为实平稳过程时，上述公式为：
SX
2
0
RX
cos
d
RX
1
0
S
X
cos
d
维纳-辛钦公式又称为平稳过程{X t } 的相关函
数的谱表示式或谱分解式.它表达了从时间角度
（即用相关函数 RX ( ) )和从频率角度（即用谱
密度 SX ）分别描述平稳过程的统计规律性
之间的联系。有很大的理论和实用价值。在具体
应用上我们可以根据实际情况选择时间域或等价 的频率域方法去解决问题。
四 平稳随机过程的功率谱密度
1 平均功率与功率谱密度的定义
定义8
称 lim T
E
1 2T
T
X
T
2
(
t
)dt
为平稳过程的平均功率
由此易得：lim T
E
1 2T
T
T
X
2
(
t
)dt
R X
(0)
2 X
从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
它实际上刻画的是随机过程的强度。
称 SX
R
性质2 SX 是的实的、非负偶函数。
实际上
SX
lim
T
1 2T
E
FX
,T
2
其中
FX (,T )
T
X
T
t eit dt
性质3 平稳过程的平均功率可由谱密度的积分
表出：
平均功率
lim
T
E
1 2T
T T
X
2
(t
)dt
RX
(0)
2 X
1
2
SX
( )d
即：平稳过程的平均功率等于该过程的均方值，
（3）
平均功率
2 X
RX (0) 2
由表12.1之7知：
（4）
SX ( )
RX
(
)eபைடு நூலகம்
i
d
2
cos
0
e i
d
2 [ ( 0 ) ( 0 )]
2[ ( 0 ) ( 0 )]
今天作业
p87：1，2 P89：1-9 ；