2016年浙江省高考数学试卷(理科)

C．与 b 无关，且与 c 无关
D．与 b 无关，但与 c 有关
【解答】 解： 设函数 f (x) sin 2 x b sin x c ，
f ( x) 图象的纵坐标增加了 c ，横坐标不变，故周期与 c 无关，
当 b 0 时， f ( x) sin 2 x b sin x c
1
1
2
cos2 x
c 的最小正周期为 T
B． x R ， n N * ，使得 n x2 D． x R ， n N* ，使得 n x2
5．（ 5 分）设函数 f ( x) sin2 x bsin x c ，则 f ( x) 的最小正周期 (
)
A ．与 b 有关，且与 c 有关 C．与 b 无关，且与 c 无关
B．与 b 有关，但与 c 无关 D．与 b 无关，但与 c 有关
2016 年浙江省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．
1．（ 5 分）已知集合 P { x R|1剟x 3} ， Q { x R | x2…4} ，则 P (eR Q) (
)
A ． [2 ， 3]
B ． ( 2 ， 3]
B ．若 | a2 b c | | a2 b c | , 1，则 a 2 b2 c2 100
C．若 | a b c2 | | a b c2 | , 1，则 a 2 b2 c2 100
D ．若 | a2 b c | | a b2 c | , 1，则 a2 b2 c 2 100
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
y2 1(n 0) 的焦点重合， e1 ， e2
分别为 C1 ， C2 的离心率，则 (
)
A ． m n 且 e1e2 1 B ． m n 且 e1e2 1 C． m n 且 e1e2 1 D． m n 且 e1e2 1
8．（ 5 分）已知实数 a ， b ， c ． (
)
A ．若 | a2 b c | | a b2 c | , 1，则 a2 b2 c 2 100
AC 上的点 D ，满足 PD DA ， PB BA ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是
．
15．（ 4 分）已知向量 a ，b ，| a | 1，| b | 2 ，若对任意单位向量 e ，均有 | a e | | b e |, 6 ，
则 a b 的最大值是
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
d n | An Bn |， Sn 为△ An Bn Bn 1 的面积，则 (
)
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A ． { Sn} 是等差数列
B． { Sn2} 是等差数列
C． { dn} 是等差数列
2
D． { dn } 是等差数列
7．（ 5 分） 已知椭圆
C1
:
x2 m2
y2
1(m
1)与双曲线
C2
:
x2 n2
（Ⅱ）若 | an |, ( 3 ) n ， n N* ，证明： | an |, 2 ， n N * ． 2
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2016 年浙江省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．
（Ⅰ）求直线 y kx 1 被椭圆截得到的弦长（用 a ， k 表示）
（Ⅱ）若任意以点 A(0,1) 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点， 求椭圆的离心率的取值范围．
20．（ 15 分）设数列满足
| an
an 1 | , 1， n 2
N* ．
（Ⅰ）求证： | an |…2n 1(| a1 | 2)(n N * )
【解答】 解：“ x R ， n N* ，使得 n…x2 ”的否定形式是 “ x R ， n N * ，使得 n x2
“
故选： D ．
5．（ 5 分）设函数 f ( x) sin2 x bsin x c ，则 f ( x) 的最小正周期 (
)
A ．与 b 有关，且与 c 有关
B．与 b 有关，但与 c 无关
2Байду номын сангаас
1．（ 5 分）已知集合 P { x R|1剟x 3} ， Q { x R | x …4} ，则 P (eR Q) (
)
A ． [2 ， 3]
B ． ( 2 ， 3]
C． [1， 2)
)
【解答】 解： Q { x R | x 2厖4} { x R| x 2 或 x, 2} ，
D ． ( ， 2] [1 ，
xy0 y 2
则 | AB | | QR | ( 1 2)2 (1 2)2 9 9 3 2 ， 故选： C ．
4．（ 5 分）命题“
x
R， n
*
N ，使得
n…x2 ”的否定形式是
(
)
A ． x R ， n N * ，使得 n x2 C． x R ， n N * ，使得 n x2
B． x R ， n N * ，使得 n x2 D． x R ， n N* ，使得 n x2
即有 eR Q { x R | 2 x 2} ，
则 P (eRQ) ( 2 ， 3] ．
故选： B ． 2．（ 5 分）已知互相垂直的平面
， 交于直线 l ，若直线 m ， n 满足 m / / ， n ，则 (
)
A ． m / /l
B． m / /n
C． n l
D． m n
【解答】 解： 互相垂直的平面 ， 交于直线 l ，直线 m ， n 满足 m / / ，
m / / 或 m 或 m 与 相交， l ，
n，
n l． 故选： C ．
3．（ 5 分）在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区
x 2, 0 域 x y…0 中的点在直线
x 3 y 4…0
x y 2 0 上的投影构成的线段记为
AB ，则 | AB | (
90 ，
BE EF FC 1 ， BC 2 ， AC 3 ，
（Ⅰ）求证： BF 平面 ACFD ；
（Ⅱ）求二面角 B AD F 的余弦值．
18．（ 15 分）已知 a…3 ，函数 F (x) min{2 | x 1| ，x2 2ax 4a 2} ，其中 min ( p, q)
p, p, q q, p q
16．（ 14 分）在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 b c 2a cos B ．
（Ⅰ）证明： A 2B ；
（Ⅱ）若
ABC 的面积 S
a2 ，求角 A 的大小．
4
17．（ 15 分）如图，在三棱台 ABC DEF 中，已知平面 BCFE
平面 ABC ， ACB
n N * ， | Bn Bn 1 | | Bn 1Bn 2 | ， Bn Bn 1 ， n N * ， ( P Q 表示点 P 与 Q 不重合）若
d n | An Bn |， Sn 为△ An Bn Bn 1 的面积，则 (
)
A ． { Sn} 是等差数列
2
B． { Sn } 是等差数列
C． { dn} 是等差数列
9．（ 4 分）若抛物线 y2 4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是
．
10．（ 6 分）已知 2cos2 x sin 2x Asin( x ) b( A 0) ，则 A
，b
．
11．（ 6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：
积是
cm3 ．
cm) ，则该几何体的表面积是
cm2 ，体
设△ An Bn Bn 1 的底边 Bn Bn 1 上的高为 hn ，
由三角形的相似可得 hn OAn a ( n 1)b ，
hn 1 OAn 1
a nb
hn 2 OAn 2 a ( n 1)b ，
hn 1 OAn 1
a nb
两式相加可得， hn hn 2 hn 1
2a 2nb 2 ， a nb
即有 hn hn 2 2hn 1 ，
C． [1， 2)
D ． ( ， 2] [1 ，
)
2．（ 5 分）已知互相垂直的平面 )
， 交于直线 l ，若直线 m ， n 满足 m / / ， n ，则 (
A ． m / /l
B． m / /n
C． n l
D． m n
3．（ 5 分）在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区
x 2, 0 域 x y…0 中的点在直线
x 3 y 4…0
x y 2 0 上的投影构成的线段记为
AB ，则 | AB | (
)
A．2 2
B．4
C． 3 2
D．6
4．（ 5 分）命题“ x R ， n N * ，使得 n…x2 ”的否定形式是 (
)
A ． x R ， n N * ，使得 n x2 C． x R ， n N * ，使得 n x2
即有 hn hn 2 2hn 1 ，
由 Sn
1 d hn ，可得 Sn
2
Sn 2
2Sn 1 ，
即为 Sn 2 Sn 1 Sn 1 Sn ，
则数列 { Sn } 为等差数列． 故选： A ．
x2 7．（ 5 分） 已知椭圆 C1 : m2
y2
1(m
1)与双曲线
C2
:
x2 n2
y2 1(n 0) 的焦点重合， e1 ， e2
，
2
2
2
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当 b 0 时， f ( x)
1 cos2 x b sin x 1 c ，
2
2
y cos 2 x 的最小正周期为 ， y bsin x 的最小正周期为 2 ，
f ( x) 的最小正周期为 2 ， 故 f ( x) 的最小正周期与 b 有关，
故选： B ．
6．（ 5 分）如图， 点列 { An } 、{ Bn } 分别在某锐角的两边上， 且 | An An 1 | | An 1 An 2 | ， An An 1 ，
D． { dn2} 是等差数列
【解答】 解：设锐角的顶点为 O ， | OA1 | a ， | OB1 | c ，
| An An 1 | | An 1 An 2 | b ， | Bn Bn 1 | | Bn 1Bn 2 | d ，
由于 a ， c 不确定，则 { dn } 不一定是等差数列，
2
{ dn } 不一定是等差数列，
)
A．2 2
B．4
C． 3 2
【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） ，
区域内的点在直线 x y 2 0 上的投影构成线段 R Q ，即 SAB ，
D．6
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而 R Q RQ ，
x 3y 4 0 x 1
由
得
，即 Q( 1,1)
xy0
y1
x2
x2
由
得
，即 R(2, 2) ，
m2
n2
n2 2 n2
n4 2n2 1
n4 2n2
1
1 n4 2n2
第 2 页（共 19 页）
12．（ 6 分）已知 a b 1 ，若 log a b log b a 5 ， ab ba ，则 a
，b
．
2
13．（6 分）设数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，若 S2 4 ， an 1 2 Sn 1 ， n N * ，则 a1
，
S5
．
14．（ 4 分）如图，在 ABC 中， AB BC 2 ， ABC 120 ．若平面 ABC 外的点 P 和线段
6．（ 5 分）如图， 点列 { An } 、{ Bn } 分别在某锐角的两边上， 且 | An An 1 | | An 1 An 2 | ， An An 1 ，
n N * ， | Bn Bn 1 | | Bn 1Bn 2 | ， Bn Bn 1 ， n N * ， ( P Q 表示点 P 与 Q 不重合）若
分别为 C1 ， C2 的离心率，则 (
)
A ． m n 且 e1e2 1 B ． m n 且 e1e2 1 C． m n 且 e1e2 1 D． m n 且 e1e2 1
【解答】 解：由题意可得 m2 1 n 2 1，即 m2 n2 2 ，
又 m 1， n 0 ，则 m n ，
由 e12 e22
m2 1 n2 1 n2 1 n2 1
由 Sn
1
d 2
hn ，可得
Sn
Sn 2
2Sn 1 ，
第 7 页（共 19 页）
即为 Sn 2 Sn 1 Sn 1 Sn ，
则数列 { Sn } 为等差数列．
另解：可设△ A1B1B2 ，△ A2 B2 B3 ， ， An Bn Bn 1 为直角三角形，
且 A1 B1 ， A2 B2 ， ， An Bn 为直角边，
（Ⅰ）求使得等式 F (x) x2 2ax 4a 2 成立的 x 的取值范围 （Ⅱ） (i ) 求 F ( x) 的最小值 m （ a） (ii ) 求 F ( x) 在 [0 ， 6] 上的最大值 M （ a）
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19．（ 15 分）如图，设椭圆
C
:
x2 a2
y2 1(a 1)