华东理工大学高等数学答案第11章

第 11 章（之1）（总第59次）

教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题：

**（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-221连续区域是 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ． 答：x y 221+>

**（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧

⎨⎪

⎩

⎪22

2222000

， 则（ ）

(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续

(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ）

**2. 画出下列二元函数的定义域： （1）=

u y x -；

解：定义域为：{

}

x y y x ≤)

,(，见图示阴影部分：

（2）)1ln(

),(xy y x f +=； 解：{}

1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包

括

边

界

，

双

曲

线

1

-=xy 用虚线表

示）． （3）y

x y x z +-=

． 解

：

．

***3. 求出满足2

2,

y x x y y x f -=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+的函数()y x f ,. 解：令⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=x y

t y x s ， ∴⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=t st y t s x 11

∴()()

()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22

222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限：

()()

2

2

0,0,11lim

y

x xy y x +-+→．

解：()(

)(

)

(

)(

)

2

222

2

22

2

112111110y

x xy y x y

x xy xy

y

x xy ++++≤

+++=

+-+≤

()

01

122

2→+++=

xy y x （()()0,0,→y x ） ∴

()()

011lim

2

2

0,0,=+-+→y

x xy y x ．

**5. 说明极限()()2

22

20,0, lim y x y x y x +-→不存在．

解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同．

首先，0=x 时，极限为()()1lim 22

22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ，

其次，0=y 时，极限为()()1lim 22

22220,0,0==+-→=x x y

x y x y x y ，

故极限()()2

22

20,0,y y lim +-→x x y x 不存在．

**6. 设1

12sin ),(-+=

xy x y y x f ，试问极限

),(lim )

0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？

解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数

1

12sin ),(-+=

xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．

***7. 试讨论函数z x y

xy

=+-arctan

1的连续性． 解：由于arctan x y

xy

+-1是初等函数，所以除xy =1以外的点都连续，但在xy =1上的点处不连续．

**8. 试求函数f x y xy

x y

(,)sin sin =

+22ππ的间断点．

解：显然当(,)(,),x y m n m n Z =∈时，f x y (,)没定义，故不连续． 又f x y xy

x y

(,)sin sin =

+22

ππ是初等函数． 所以除点(,)m n （其中m n Z ,∈）以外处处连续．

第 11 章（之2） （总第60次）

教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]

**1.解下列各题： （1）函数3

2),(y x y x f +=

在)0,0(点处 （ ）

（A ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都存在； （B ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都不存在； （C ）)0,0(x f '存在，但)0,0(y f '不存在； （D ）)0,0(x f '不存在，但)0,0(y f '存在． 答：（D ）．

（2） 设z x y x

y =+-()arcsin

2，那么

∂∂z y (!,)

2= （ ）

(A) 0 ； (B) 1； (C)

π

2

； (D)

π4

． 答：(D)．

（3）设()xy y x f =

,，则=)0,0('x f ______，=)0,0('y f __________．

解：由于0)0,(=x f ，0)0,0('=∴

x f ，同理 0)0,0('=y f ．