高等教育学费标准的探讨 数学建模

高等教育学费标准的探讨摘要本文探讨的是高等教育学费标准的确定问题。

为了建立科学的评估体系,进一步规范学费标准。

文中通过定量分析，得出了影响高等学校学费标准的三个主要因素。

并建立了多元线性回归分析模型和学费标准的评价模型。

对于模型一，首先分析出可能对学费产生影响的六个因素，分别为国家生均拨款、生均培养费用、家庭年收入、招生人数、政府资助和社会捐助，并对这六个影响因素与学费间进行灰色关联分析，在Matlab环境中得出具体的关联度见表5-1。

通过分析，挑选出国家生均拨款、生均培养费用、家庭收入这三个对学费影响显著的因素。

考虑到公立学校和民办学校收费的差异较大，我们将学费的标准分为两类来探讨。

并分别对其进行回归分析，确立两类高校学费的回归方程度确定区间上限，将学生在受高等教育过程中的总投资额定义为大学四年的学费与没有工作而对国民生产总值产生的负价值之和。

通过调查分析认定，如果大学生毕业后四年的净收益能够超过大学教育的总投入资金，则认为可以接受。

并将毕业四年中平均每年的工资与普通职工的平均年工资、产生的负价值之差作为学费上限。

通过查阅相关资料知，如果学费低于生均培养成本的0.1倍，则认为教育质量就会得不到保证，故将此临界值作为学费下限。

最后我们利用此模型分别对A、B两类高校在2001年至2005年的收费进行检验，得出民办大学与公立大学的学费相比整体较高。

但对于两者的发展趋势来说，民办大学收取的实际学费不合理的情况有所好转，但公立大学却向坏的方向发展。

最后，结合模型一和模型二中的结论，我们对教育部门提出了五条建设性建议，具体条款见后文分析报告。

对高校制订高等教育学费的收费标准有一定的参考价值与指导意义。

关键词：灰色关联度多元线性回归预测负价值标准区间1.问题重述1.1问题背景近年来高校学费上涨有多快，人们凭感觉都能知晓。

全国高校的人均学费从改革前的免费教育到20年前的200元，再到1995年的800元，一直上升到2005年的5000元，从2006年至今也依然是居高不下，近20年间上涨了25倍，大大高于群众的收入增长幅度。

如果再加上大学期间的住宿费和生活费，平均每个大学生4年花费需4万多元。

这过高的学费使很多家庭无力支付，而高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。

1.2高等教育学费的相关信息根据教育成本的分担论知，高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。

对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。

不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。

但学费过高普通家庭难以支付，学费过低又使学校财力不足而无法保证质量，培养质量是高等教育的一个核心指标。

1.3本文需解决的问题请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据。

并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。

数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分。

你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。

最后，根据你们建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。

2.模型的假设和符号说明2.1模型的假设假设1：学生在大学四年的学费不会发生改变；假设2：所有公立大学中国家生均拨款相同；假设3：大学四年投入资金忽略学费和负价值以外的其他投入；假设4：学费低于生均培养费用的0.1倍时教育质量得不到保障；假设5：学校管理妥当，不考虑行政腐败和其他不公平因素；3.问题分析本文探讨的是如何定量评估高等学校的学费标准。

在文中，对高等学校学费现状及标准进行分析，得出测算高等学校学费标准模型，为完善我国的高等教育收费标准提供参考。

为了合理的评估高等学校的学费标准，通过分析得出了影响高等学校学费与国家生均拨款、培养费用、家庭年收入、招生规模及社会捐助等因素有关。

但由于在各高校的年经费支出中，国家生均拨款在其中占据较大的比例，对于国家生均拨款少或没有国家生均拨款的高校，为了保证培养质量，其学费标准必然较高。

因此，在确定学费标准时，我们将其分为公立高校和民办高校两类。

图3-1：高校学费标准区分图在确定两类高校的学费标准时，首先收集对高等教育学费标准可能产生影响的各因素的统计数据，量化分析这些因素对高等教育学费标准的影响程度，即对可能存在的影响因素与学费标准之间的关联度进行分析。

本文采用灰色关联度分析诸因素对学费的影响程度，从中提取主要影响因素。

然后对各主要因素与标准学费进行多元线性回归分析，建立分别针对公立高校和民办高校通用的两个学费标准的多元线性回归模型，再对回归模型进行拟合度检验和显著性检验。

为了评价各高校学费是否合理，我们建立了高等学校学费评价模型。

由于对于受教育的学生来说，高等教育的消费成本，主要是学生生活成本和学生个人机会成本。

因此，在高等教育中，即使实行免费，对学生和他们的家长来说也承担了一定的成本。

故而，在评价模型中，主要从学生在大学4年对教育的投资和毕业后4年的预期收益两个方面来考虑。

而受教育过程中的投资又分为大学4年的学费和在国民人均GDP中产生的负价值。

具体见下图：图3-2：高等学校学费评价模型中因素分析图已知高校学费过高普通家庭将难以支付，而学费过低又会使学校财力不足，从而无法保证培养质量。

因此，可以为学费的标准定义一个合理的收费区间。

区间的上限定义为毕业后4年的平均工资与普通职工工资的差值。

在保证教育质量的前提下，区间下限为培养成本的#####。

最终，分析近年来公立与民办高校的学费情况，给有关部门提出一些参考性的意见。

4.数据收集与处理4.1高等教育学费标准的评估中使用的数据通过查询相关文献及调查得出一些可能影响高等教育学费标准的因素。

而为方便定量分析它们与学费标准间的关系，我们收集到了近10年的相关数据。

做相关处理后（程序见附录1）得到如下各表：1)2001年至2008年家庭可支配收入674.2高等教育学费评价中使用的数据为了给有关部门提供相关建设性意见及对未来的学费标准作参考，在文中建立了高校学费标准的评价模型。

并针对公立与民办高校在2001年至2005年的收费情况进行分析，找出相关部门的政策弊端，并对其提供参考性意见。

为此，收集了大学生毕业前八年的平均工资、普通职工的平均工资、国内生产总值，具体数据见下表：1）大学生毕业前八年的年平均工资5.高校学费标准的评估模型Ⅰ高等学校提供的是一种高等教育产品[1]，其直接产出是学生的知识和能力的增进，思想品德修养的提高，或者是人力资本的形成。

由高等教育学费的性质可知，此产品，为社会、家庭或个体社会带来效益。

因而根据“谁受益，谁支付”的分担论分析得出，可能影响学费标准的因素为国家生均拨款、培养费用、家庭年收入、招生规模、社会捐助及政府资助。

为确定其中主要因素，对所有可能的因素分别与学费标准之间发展趋势的相似或相异程度进行了灰色关联度分析。

并通过建立多元线性回归模型，找出主要因素与学费标准的关系。

5.1 模型Ⅰ建立前的关联度分析在确定对学费标准影响较大的因素时，需对6个因素与学费标准的关联度进行分析。

文中，我们应用灰色关联度分析法进行分析。

5.1.1灰色关联分析法[2]模型在此，我们用收集到的2001年至2005年的学费和对应可能影响的因素的数据（见数据收集中的数据表）来确定主要的影响因素。

设经过数据处理后参考的5年的学费数列为：{}{}00102030405(),,,,x t x x x x x =与参考数列作关联程度比较的6个因素的比较数列为：{}111215212225126616265(),(),...,()x x x x x x x t x t x t x x x ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭将第k (k =l,2,…,6)个比较数列各期的数值与参考数列对应期的差值的绝对值记为：0()()()(15,)ok k t x t x t t t N ∆=-≤≤∈设(min)∆和(max)∆分别是所有6个比较数列在各期的绝对差值中的最小者和最大者。

则第 k 个比较数列与参考数列在t 时期的关联系数为：(min)(max)()()(max)ok ok t t ρζρ∆+∆=∆+∆ 其中：ρ(01)ρ<<为分辩系数，用来削弱(max)∆过大面使关联系数失真的影响。

用比较数列与参考数列各个时期的关联系数之平均值来定量反映这两个数列的关联程度。

则的关联度第k 个比较数列与参考数列的关联度为ok r 为：11()nok ok i r t n ζ==∑ 当ok r 越大，说明第k 个参数与学费的关系越紧密；否则，则越不紧密。

5.1.2求解灰色关联分析模型，确定出主要影响因素在Matlab 环境中求解（程序见附录2.1），得出各因素与学费的关联度如下表：关联程度实质上是参考数列与比较数列曲线形状的相似程度。

若比较数列与参考数列的曲线形状接近，则两者间的关联度较大；反之，如果曲线形状相差较大，则两者间的关联度较小。

各因素与学费的曲线图（程序见附录2.2）如下：1 1.52 2.53 3.54 4.556种影响因素增长趋势图图5-1：学费与6种因素间的关联度展示图综上所述，我们最终确定了学费标准需考虑三个主要因素分别为：家庭年收入、生均培养费和国家生均拨款。

5.2模型Ⅰ的建立由上述结果知，确定学费标准需的三个主要因素分别为：家庭年收入、生均培养费和国家生均拨款。

为确定三个因素与学费的具体关系，建立了多元线性回归模型。

5.2.1高校学费标准的评估模型的建立设家庭年收入、生均培养费和国家生均拨款分别为x 1、x 2、x 3，则三个因素与学费间的线性回归模型为：0112233y x x x ββββε=++++其中：i β为回归参数；ε为误差项，是一个随机变量；用样本估计量i β∧代替i β得出估计回归方程：0112233y x x x ββββ∧∧∧∧∧=+++ 设 111216212226515256x x x x x x X x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 12345(,,,,)Y y y y y y τ= 则i β的估计值： 011()y x X X X Yττβββ∧∧∧-⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 其中：x 为x 的平均值，y 为y 的平均值；τX 为矩阵X 的转置矩阵，-1表示求逆；综上所述，高校学费标准的评估模型为：0112233y x x x ββββ∧=+++ 5.2.2回归方程的拟合度检验设回归模型的复相关系数R ，偏差平方和S T ，回归平方和S R ，残差平方和S E ， 则反映因变量的n 个观察值与其均值总离差的偏差平方和： 10)(2=-=∑i i T y y S 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化影响的回归平方和： 072.7)ˆ(2=-=∑i i R y y S 反映除x 以外的其他因素对 y 取值影响的残差平方和：244.3)ˆ(2=-=∑i i i E y y S 反映回归直线拟合程度的复相关系数：R =R 2越趋于1，说明回归方程的拟合度越好；R 2越趋于0，说明回归方程的拟合度越差。