《柱体、椎体-台体的表面积与体积》习题

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柱、锥、台的表面积与体积习题(有答案)

第一章空间立体几何初步 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱、锥、台的表面积与体积测试题知识点1 柱、锥、台的表面积1．已知正六棱柱的高为h ，底面边长为a ，则它的表面积为( ) A ．33a 2＋6ah B.3a 2＋6hC ．43a 2＋6ah D.323a 2＋6ah2．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶1 C ．1∶4 D ．1∶33．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )A ．372B ．360C ．292D ．2804．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π5．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．6．如图所示的圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．7．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是________．8.如图，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？9．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？(结果保留π)10.一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱侧面积最大？求出最大值．知识点2 柱、锥、台的体积11．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A.233π B ．2 3C.736πD.733π 12．(2014·课标全国卷Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13 13．(2014·日照高一检测)某几何体的三视图如图，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π314．(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．15．半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．16．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图，AA 1＝3. (1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的表面积和体积．17．如图，△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，作CD ⊥AB ，垂足为D.以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．【参考答案】1A 【解析】柱体的表面积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质，得其表面积为S侧＋2S 底＝33a 2＋6ah.2B 【解析】以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S 1＝2π×2×1＝4π，以2所在边为轴旋转形成的几何体的侧面积S 2＝2π×1×2＝4π，故S 1∶S 2＝1∶1，选B.3B 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的四个侧面积之和．S ＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360.故选B.4A 【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有h ＝2πr ，所以表面积与侧面积的比为2π(r 2＋rh)∶2πrh ＝(r ＋h)∶h ＝(2π＋1)∶2π.52∶1 【解析】S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·⎝⎛⎭⎫a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.6 100π【解析】设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.由母线长为10可知10＝（3r）2＋（4r）2＝5r，∴r＝2.故圆台的上、下底半径和高分别为2，8，8.所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.7 S2【解析】如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得⎩⎨⎧π2l2＝S，πl＝2πr.解得r＝S2π，所以底面积为πr2＝π×S2π＝S2.8 【解】几何体的表面积为：S＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.9 【解】如下图所示，设圆台的上底面周长为c cm，上、下底面半径分别为r1 cm，r2 cm，则r1＝10，r2＝20.因为扇环的圆心角是180°，所以c＝π·SA.又c＝2π·10＝20π，所以SA＝20.同理SB＝40.所以AB＝SB－SA＝20.S表面积＝S侧＋S上底＋S下底＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．答：圆台的表面积为1 100πcm2.10 【解】(1)圆锥的母线长为62＋22＝210 cm，∴圆锥的侧面积S＝π×2×210＝410πcm2.(2)画出轴截面如图所示：设圆柱的半径为r .由题意知：r2＝6－x6，∴r＝6－x3，∴圆柱的侧面积S ＝2πrx ＝2π3(－x 2＋6x)，∴当x ＝3 cm 时，S 最大＝6πcm 2.11D 【解析】 S 1＝π，S 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝6π＝π(r ＋R)l ， ∴l ＝2，∴h ＝ 3.∴V ＝13π(1＋4＋2)×3＝733π.故选D.12C 【解析】由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4 cm ，底面半径为2 cm ，右面圆柱的高为2 cm ，底面半径为3 cm ，则组合体的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm 3)，原毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)，则所求比值为54π－34π54π＝1027.13A 【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥，正四棱柱的体积为2×2×2＝8，圆锥的体积为13π×2＝2π3，所以该几何体的体积为8－2π3，选A.14.32【解析】设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32.1533π 【解析】由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆，如图所示，设圆锥底面半径为r ，高为h ，则⎩⎪⎨⎪⎧2πr ＝2π，h 2＋r 2＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，h ＝ 3.∴它的体积为13×π×12×3＝33π.16【解】 (1)直观图如图所示．(2)由题意可知，S △ABC ＝12×3×332＝934.S 侧＝3AC ×AA 1＝3×3×3＝27.故这个三棱柱的表面积为27＋2×934＝27＋932.这个三棱柱的体积为934×3＝2734.17【解】在△ABC 中，由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC.∴CD ＝125，记为r ＝125，那么△ABC 以AB 为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，∴S 表面积＝πr ·(AC ＋BC)＝π×125×(3＋4)＝845π.V ＝13πr 2(AD ＋BD)＝13πr 2·AB ＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π.所以，所求旋转体的表面积是845π，体积是485π.。

专题1-3-1 柱体、锥体、台体的表面积与体积-2017-2018学年高一数学必修2 含解析精品

一、选择题1．若圆锥的底面半径为2，高为5，则圆锥的侧面积为A ．3πB ．12πC ．5πD ．6π 【答案】D【解析】圆锥的母线长l =22r h +=3，∴圆锥的侧面积S =πrl =π×2×3=6π，故选D ．2．已知长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则长方体的体对角线的长是A ．14B ．4C ．32D ．23 【答案】D 3．如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为俯视图侧视图正视图12222A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+【答案】B【解析】由三视图可知,该几何体是一个组合体,左边是底面半径为1、高为2的半圆柱,右边是棱长为2的正方体,所以该几何体的表面积为2115222π12π1222⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=203π+. 4．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A ．83B ．43C ．89 D ．49 【答案】A5．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为A ．1B ．12C ．32D ．34【答案】D【解析】设圆柱与圆锥的底面半径分别为R ，r ，高都是h ，由题设，2R ·h ＝12×2r ·h ，∴r ＝2R ，V 圆柱＝πR 2h ，V 圆锥＝13πr 2h ＝43πR 2h ，∴34V V =圆柱圆锥，选D ． 6．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是A ．4B ．143C ．163D ．6【答案】B【解析】由三视图知：四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，高为2，所以该四棱台的体积是()22221141122233V =⨯+⨯+⨯=，故选B ． 7．正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为A ．2B ．3C ．62D ．233【答案】B8．如图，在多面体ABCDEF 中，已知底面ABCD 是边长为3的正方形，EF AB ∥，32EF =，且EF 与底面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积是A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．3(2)π2+ B ．3 (4)π3+ C ．3(2)π6+ D ．3(2)π3+【答案】C10．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为A ．224+B ．2C ．244+D ．246+ 【答案】D【解析】由题意及三视图可知，该棱柱底面为等腰直角三角形，其斜边上的高为1，则斜边长为2 ，直角边长为2，则其表面积为1222222226422S =⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=+.二、填空题11．正四棱柱的体对角线长为6，侧面对角线长为33，则它的侧面积是________. 【答案】362 【解析】设正四棱柱的底面边长为a ，侧棱长为b ，则222227236a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得a =3，32b =，则侧面积为4362ab =．12．已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为π2，那么它的体积为________. 【答案】15π3【解析】设底面圆的半径为r ，ππ12412r r ∴=⋅∴=，，因此圆锥的高224115h =-=，23π13π15V r h ∴==． 13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】π4+ 【解析】由三视图可知，该几何体为半个圆柱加一个长方体的组合体，故其体积为21π12212π42V =⨯⨯+⨯⨯=+. 14．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________.【答案】7三、解答题15．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 、F 分别为棱AA 1与CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积. 【答案】36a . 【解析】如图所示，所以1111111122311 (34346)A EBFD A EBF A EFD F A EB F A ED a a a V V V V V a a -----=+=+=+=． 16．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其中有一个高为x 的内接圆柱．（1）求圆柱的侧面积；（2）x 为何值时，圆柱的侧面积最大？【答案】（1）()22π2π0R S Rx x x H H =⋅<-<圆柱侧；（2）2H x =时，圆柱的侧面积最大.【名师点睛】立体几何中求某些量的最值时，也可采用代数方法．其方法是：首先根据题意合理选取变量x ，用其把所要求最值的量表示出来，然后采用代数方法求其最值，同时应注意变量x 的几何意义．。

课时作业8：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A .1B .21 C.31 D.61 2.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（）A .318B .315 C.3824+ D.31624+3.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（）A .33πB .332π C.π3 D.3π 4.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V ；（2）求该几何体的侧面积S.5如图所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）6. 如图所示是由18个边长为1 cm 的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.7.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（）A .648B .64 C.16 D.968.如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（）A .πB .2π C.3π D.4π9.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为32，则这个正三棱锥的体积是（）A .427B .49 C.4327 D.439 10.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍.11.如图是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、A D 、AA 1的中点.现在沿△GF H 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?12.已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是____________.13..如图，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，则图中容器内水面的高度是_________.14..圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________.15.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）,可得这个几何体的体积是（）A .34000 cm 3 B .38000cm 3 C.2 000 cm 3 D.4 000 cm 3 16.有两个相同的直三棱柱，高为a 2，底面三角形的三边长分别为3a ,4a ,5a (a ＞0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是___________.参考答案1. 【分析】根据三视图，可知该几何体是三棱锥，如图所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱P A ⊥AB ，P A ⊥A C ，AB ⊥A C.则该三棱锥的高是P A ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=611213131=⨯⨯=∆PA S ABC .【答案】D2. 【分析】该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为 3×4×2+2×21×4×32=24+38.【答案】C3. 【分析】由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V=3331312ππ=⨯⨯⨯. 【答案】A4.【解析】由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为AB CD.如图所示，AB =8，B C=6，高VO=4.（1）V=31×(8×6)×4=64. (2)设四棱锥侧面V A D 、V B C 是全等的等腰三角形，侧面V AB 、VCD 也是全等的等腰三角形，在△V B C 中，B C 边上的高为h 1=24)28(4)2(2222=+=+AB VO , 在△V AB 中，AB 边上的高为h 2=2222)26(4)2(+=+BC VO =5.所以此几何体的侧面积S=)582124621(2⨯⨯+⨯⨯=40+224.5【解析】正方体的表面积为16×6=96（cm 2），一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm 2），则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm 2）.答：几何体的表面积为133.68 cm 2.6. 【分析】从图中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.【解析】因为小正方体的棱长是1 cm ，所以上面的表面积为12×9=9（ cm 2），前面的表面积为12×8=8（ cm 2），左面的表面积为12×7=7（ cm 2），则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48( cm 2).7.【答案】B8.【分析】设圆锥的母线长为l ，则l =13+=2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π.【答案】C9. 【分析】可得正三棱锥的高h =22)3()32(-=3，于是V=4393343312=⨯⨯⨯. 答案：D10.【分析】圆柱的体积公式为V 圆柱=πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42=16倍.【答案】4 1611.【分析】因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA 与A G 、A F 都垂直，即HA 垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形A GF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥.【解析】设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是R t △A GF ，即∠F A G 为90°，G 、F 又分别为A D 、AA 1的中点，所以A F=A G=a 21.所以△A GF 的面积为281212121a a a =⨯⨯.又因AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点，所以AH =a 21.所以锯掉的部分的体积为32481812131a a a =⨯⨯. 又因48148133=÷a a ,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的481. 12.【分析】如图，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==,2,22r l S l πππ解得r =π2S ，所以圆锥的底面积为πr 2=22S S =⨯ππ.【答案】2S 13.【分析】上图中容器内水面的高度为h ，水的体积为V ，则V=S △AB C h .又下图中水组成了一个直四棱柱，其底面积为ABC S ∆43，高度为2a ，则V=ABC S ∆43·2a ，∴h =a S a S ABC ABC 23243=•∆∆. 【答案】a 2314.【分析】设这个圆台的高为h ，画出圆台的轴截面，可得6642h -=，解得h =3，所以这个圆台的体积是3π(22+2×4+42)×3=28π. 【答案】28π15. 【分析】该几何体是四棱锥，并且长为20 cm 的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,底面是边长为20 cm 的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm 2，所以该几何体的体积是31×400×20=38000cm 3. 【答案】B16.两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2+28，三棱柱有两种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2+32，边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a 2+48,最小的是一个四棱柱，这说明24a 2+28＜12a 2+48⇒12a 2＜20⇒0＜a ＜315. 答案：0＜a ＜315。

人教A版必修第一章1.3.1《柱体,锥体,台体的表面积与体积》精选题高频考点(含答案)-4

人教A 版必修第一章1.3.1《柱体，锥体，台体的表面积与体积》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C2．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-【答案】B3．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A B ．C ．D ．【答案】A4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．41π+B ．413π+ C ．483π+ D ．48π+【答案】C5．一个圆锥SC 的高和底面直径相等，且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为（）A ．2B ．3C D ．15【答案】C6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆所成的几何体的三视图如图所示）.米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率3π≈，估算出堆放的米约有（）A ．20斛B ．21斛C ．22斛D ．23斛【答案】C7．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体得体积是( )cm 2．A．43B．83C．2 D．4【答案】B8．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（）．A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关【答案】D9的面的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C10．正四棱锥P ABCD的侧棱和底面边长都等于（） A ．16π B ．12πC ．8πD ．4π【答案】A11．三棱锥P ABC -中，D E 、分别为PB PC 、的中点，则三棱锥D ABE -的体积与三棱锥P ABC -的体积之比为（） A ．14B ．13C ．12D ．25【答案】A12．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（）A ．8+B ．8+C ．4+D ．6+【答案】A13．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．3πB ．203π C ．73π D ．π【答案】C14．若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（）A ．316cm B ．312cm C ．313cmD ．323cm 【答案】D15．棱台上、下底面面积比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（） A ．1:7 B ．2:7C ．7:19D ．5:16【答案】C16．一个几何体是由若干个边长为1的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，且使得组成几何体的正方体个数最多，则该几何体的表面积为（）A ．13B ．28C ．38D ．46【答案】D17．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．34π+B ．942π+C ．42π+D ．1142π+ 【答案】B18．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．83B ．8+C ．2+D ．4+【答案】A19．如图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．78π++B ．74π++C ．58π++D ．54π++【答案】C20．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．24+8πB ．18+8πC ．24+4πD ．18+4π【答案】A二、填空题21．圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的体积为________.3R . 22．已知某几何体的三视图如下,则该几何体的表面积为____________．【答案】4+23．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，则此鳖儒的外接球的表面积为__________．【答案】3π24．已知三棱锥A BCD -满足AB CD ==，10AC BD ==，AD BC ==则三棱锥A BCD -外接球的表面积为_____________. 【答案】116π25．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为12cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】400 3π26．圆锥的侧面积是底面积的2倍，则它的母线与轴所成角的大小为______．【答案】6π27．一个三对棱长相等的四面体ABCD，其三对棱长分别AB CD==AD BC==，AC BD==______.【答案】228．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】3 2 .29．某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的表面积是_________．【答案】3+30．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为________立方米．31．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是．【答案】30+632．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．现有一块“堑堵”形石材的三视图如图所示，则这块“堑堵”形石材的表面积为_____．【答案】33633．直角坐标系xOy 内有点()()()()2,1,2,2,0,2,0,1A B C D ，将四边形ABCD 绕直线1y =旋转一周，所得到的几何体的体积为____ 【答案】2π34．某几何体是由圆柱的某一部分和球的某一部分组成，三视图如图所示，则该几何体的体积是_______【答案】53π 35．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，若该长方体的外接球的表面积为8π，则AA 1的长为_____.36．已知某款冰淇淋的包装盒为圆台，盒盖为直径为8cm 的圆形纸片，每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个，假定每个冰淇淋球都是半径的球体，三个冰淇淋球两两相切，且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切，则冰淇淋盒的体积为______．37．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（biē nào ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥A BCD -是一个“鳖臑”，AB ⊥平面BCD ，AC CD ⊥，且AB =1BC CD ==，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为__________．【答案】4π38．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为_________．39．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD MNPQ -的体积为1V ，以,,,B D M P 为顶点的三棱锥P BDM -的体积为2V ，则21V V =________．【答案】1340．已知长方体1111ABCD A B C D -的各棱的长度之和为32cm ，若2AB cm =，则该长方体的体积的最大值为______. 【答案】318cm三、解答题41．在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．【答案】．42．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与x 的函数关系式，并求出函数的定义域．【答案】16V x =()0,10 43．如图，该模型为圆柱挖去一个圆锥后所得的几何体，已知圆柱底面半径和高都等于2，圆柱的上底面是圆锥的底面，圆锥高为1，则该模型的表面积等于______；【答案】(12π+44．如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ,连'',',',,','A C A D A B BD BC C D 得到一个三棱锥.求:（1）三棱锥''A BC D -的表面积与正方体的表面积之比；（2）三棱锥''A BC D -的体积.【答案】（12）313a45．如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．【答案】(1) =8S +全(2) 46．已知四棱锥P ABCD -(图1)的三视图如图2所示，PBC ∆为正三角形，PA 垂直底面ABCD ，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P ABCD -的体积。

高中数学必修二1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积习题新人教A版必修2

1
1
解析：因为
E 点在线段
AA1 上，所以
S△
DED1＝
× 2
1×
1＝
. 2
又因为
F 点在线段
B1C 上，
1
11
所以点 F 到平面 DED1 的距离为 1，即 h＝ 1，所以 VD1－EDF＝ VF－DED1＝ 3× S△ DED1× h＝ 3× 2
1
×1＝
. 6
1 答案： 6
8．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为
9 B. 2π ＋18 D． 36π ＋ 18
6. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是
3 3，则 a＝________.
解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为
2 的边上的高为 a，
1 则 V＝3× 2×2× a ＝ 3 3，
所以 a＝ 3.
答案： 3 7．如图，正方体 ABCD－ A1B1C1D1 的棱长为 1，E、 F 分别为线段 AA1、 B1C 上的点，则三棱锥 D1－ EDF的体积为 ________．
( 底面半径为 1，高为
2) ，它的上部是一个圆锥 ( 底面半径为 1，母线长为 2，高为 3) ，所以所求表面积为 S＝ π ×１2＋ 2π ×1×2＋ π ×
1×2＝ 7π ，体积为
V＝
π
2
×１
×
2＋
1 3
×
π
2
×１×
3 3＝ 2π ＋ 3 π .
10．已知正三棱锥 V－ ABC的正视图、俯视图如图所示，其中棱锥的表面积．
VA＝4，AC＝ 2 3，求该三
解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，

高中数学 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积习题新人教A版必修2

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积一、选择题1. 如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C ∵V C －A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4πD ．8π 解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3＝9.4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80解析：选C 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，底面等腰梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为4，两底面积和为2×12×(2＋4)×4＝24，四个侧面面积为4×(4＋2＋217)＝24＋817，所以几何体的表面积为48＋817.5．设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42D ．36π＋18解析：选 B 由三视图可判断此几何体是球与长方体的组合体，其体积V ＝4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋32×2＝9π2＋18.二、填空题6.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________.解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a ，则V ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×a ＝33，所以a ＝ 3. 答案： 37．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为线段AA 1、B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．解析：因为E 点在线段AA 1上，所以S △DED 1＝12×1×1＝12.又因为F 点在线段B 1C 上，所以点F 到平面DED 1的距离为1，即h ＝1，所以VD 1－EDF ＝VF －DED 1＝13×S △DED 1×h ＝13×12×1＝16.答案：168．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm 和18 cm ，侧棱长为13 cm ，则其表面积为________．解析：由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h ＝132－⎝⎛⎭⎪⎫18－822＝12 (cm)，所以S侧＝4×12×(8＋18)×12＝624 (cm 2)，S上底＝8×8＝64(cm 2)，S 下底＝18×18＝324(cm 2)，于是表面积为S ＝624＋64＋324＝1 012(cm 2)．答案：1 012 cm 2三、解答题9．如图是某几何体的三视图．(1)画出它的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积和体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为3)，所以所求表面积为S ＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，体积为V ＝π×12×2＋13×π×12×3＝2π＋33π.10．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、俯视图如图所示，其中VA ＝4，AC ＝23，求该三棱锥的表面积．解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA ＝VB ＝VC ＝4，AB ＝BC ＝AC ＝2 3. 取BC 的中点D ，连接VD ，则VD ⊥BC ，有VD ＝ VB 2－BD 2＝ 42－32＝13，则S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，所以，三棱锥V －ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

柱体椎体台体的表面积与体积习题

《柱体、椎体，台体的表面积与体积》习题一、选择题：1．过正三棱柱底面一边的截面是( )A ．三角形B ．三角形或梯形C ．不是梯形的四边形D ．梯形2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥3．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于( )A ．21B ．1C ．2D ．34．将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．26aB ．12a 2C ．18a 2D ．24a 25．直三棱柱各侧棱与底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点，连结A ′B ，BD ，A ′D ，AD ，则三棱锥A —A ′BD 的体积( )A ．361a B ．363a C ．3123a D ．3121a6．两个球体积之与为12π，且这两个球大圆周长之与为6π，那么这两球半径之差是( )A ．21 B ．1 C ．2 D ．37．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥的轴截面为正三角形)的体积之比( )A ．2：3：5B ．2：3：4C ．3：5：8D ．4：6：98．直径为10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2c m 的削球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为( )A ．5B ．15C ．25D ．1259．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为 ( )A ．2πB 6πC ．4π D ．3π 10．中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，则A ：B 为( )A ．11：8B ．3：8C ．8：3D ．13：8二、填空题：11．直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q Q，，12直平行六面体的侧面积为_____________．12．正六棱锥的高为4cm，最长的对角线为34cm ，则它的侧面积为_________．13．球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的__ _________倍．14．已知正三棱锥的侧面积为183cm2，高为3cm. 求它的体积____________．三、解答题：15．①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱．已知：等边圆柱的底面半径为r，求：全面积；②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥.已知：等边圆锥底面半径为r，求：全面积．16．四边形ABCD A B C D00102103，绕y轴旋转一周，，，，，(,)(,)(,)(,)求所得旋转体的体积．17．如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为h h h，=,113若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为h h，求.2218．如图，三棱柱ABC A B C P AA-''''中，为上一点，求:．V VP BB C C ABC A B C-''-'''参考答案一、B D D B C B D D B A二、11．22212Q Q +； 12．330 cm 2； 13．8； 14．39cm 3.三、15．①解：母线l r =2②解：母线l r =216．解：V r h 圆锥=132πππ3822312=⨯⨯= 17．分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比. 解：278)32(3==--h h V V CD S ABS。

课时作业26：1.3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积

§1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积一、选择题1.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )A.2B.4C.6D.8答案 D2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )A.2πB.3πC.4πD.8π考点柱体、锥体、台体的体积题点柱体的体积答案 A解析设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2. ∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.3.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )A.2B.2 2C.4D.8考点柱体、锥体、台体的表面积题点台体的表面积答案 C解析圆台的轴截面如图所示，设母线长为l ，由题意知，l ＝12(r ＋R )， S 圆台侧＝π(r ＋R )·l ＝π·2l ·l ＝32π，∴l ＝4.4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C.22πD.42π 答案 B解析绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V＝2×13×2π×2＝42π3.5.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( )A.22B.20C.10D.11答案 A解析所求长方体的表面积S ＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.6.若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )A.1∶2B.1∶ 3C.1∶ 5D.3∶2答案 C解析设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r ，∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶ 5.7.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案 C 解析 ∵V 三棱锥C －A ′B ′C ′＝13V 三棱柱ABC －A ′B ′C ′＝13， ∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23. 8.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址．玉琮王通高8.8 cm ，孔径4.9 cm 、外径17.6 cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔．试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm 3)( )A ．6 250B ．3 050C ．2 850D ．2 350答案 D解析由题意知，该神人纹玉琮王的体积为底面边长为17.6 cm ，高为8.8 cm 的正方体的体积减去底面直径为4.9 cm ，高为8.8 cm 的圆柱的体积．则V ＝17.6×17.6×8.8－π×⎝⎛⎭⎫4.922×8.8≈2 560 (cm 3)．结合该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为2 350 cm 3.二、填空题9.棱长都是3的三棱锥的表面积S 为________.考点柱体、锥体、台体的表面积题点锥体的表面积答案 9 3解析因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S ＝4×34×32＝9 3. 10.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________.考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案 33π 解析圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1， ∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝33π. 11.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点其他求体积、表面积问题答案 7解析设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 三、解答题12.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求点A 到平面A 1BD 的距离d .考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积解在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵1A ABD V 锥－三棱＝1A A BD V 锥－三棱， ∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴点A 到平面A 1BD 的距离为33a .13.如图所示，正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积.解 ∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，∴上底面、下底面的面积分别是4,16.∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，∴侧面的高为4－⎝⎛⎭⎫4－222＝3，∴侧面的面积为12×(2＋4)×3＝33，∴四棱台的表面积为4＋16＋33×4＝20＋12 3.14.圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )A.4πSB.2πSC.πSD.233πS 答案 A解析设底面半径为r ，则πr 2＝S ，∴r ＝S π， ∴底面周长为2πr ＝2πS π，又侧面展开图为一个正方形，∴侧面积是⎝⎛⎭⎫2πS π2＝4πS . 15.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x 的内接圆柱.(1)试用x 表示圆柱的高；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点其他求体积、表面积问题解 (1)轴截面如图，BO ＝1，PO ＝3，设圆柱的高为h ，由图，得x 1＝3－h 3，即h ＝3－3x . (2)∵S 圆柱侧＝2πhx ＝2π(3－3x )x ＝6π(x －x 2)，当x ＝12时，圆柱的侧面积取得最大值32π. ∴当圆柱的底面半径为12时，它的侧面积取得最大值32π.。

柱体、锥体、台体的表面积与体积课时作业(五)

柱体、锥体、台体的表面积与体积课时作业(五)(第一次作业)1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．1∶3 D ．1∶4答案 B解析设正方形边长为1，则S 侧＝2π·12·1＝π，S 表＝S 侧＋2S 底＝π＋2π·(12)2＝32π.所以S 侧∶S 表＝2∶3.2．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A.324πR 3 B.38πR 3 C.524πR 3 D.55πR 3 答案 A3.已知高为3的棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.34答案 D4．棱台的上下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是( ) A ．18＋6 2 B ．6＋2 2 C ．24 D ．18答案 B5．一个圆锥的正视图和侧视图均为正三角形，其面积为S ，则圆锥侧面面积为( ) A.8πS 3B.8πS3C.4πS 3D.2πS 3答案 D解析设正三角形边长为a ，则34a 2＝S ，∴a 2＝4S 3.又圆锥母线长为a ，底面半径为a2，∴S 圆锥侧＝π·a2·a ＝π2a 2＝π2×4S 3＝2πS 3.6．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的表面积为( ) A ．81π B ．100π C ．168π D ．169π答案 C解析设上、下底面半径和高分别为x ，4x ，4x ，由题意102＝(4x)2＋(4x －x)2，∴x ＝2，所以S 圆台表＝π×22＋π×82＋π(2＋8)×10＝168π.7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A ．2 B ．1 C.23 D.13 答案 B解析由三视图可知，它表示的是一放倒的底面是一直角边为2，另一直角边为1的直角三角形，高为2的直三棱柱，所以体积为V ＝12×2×1×2＝1.故选B.8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．3π B ．4π C ．2π＋4 D ．3π＋4 答案 D解析由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.9.某个容器的底部为圆柱，顶部为圆锥，其正视图如图所示，则这个容器的容积为( ) A.7π3 m 3 B.8π3 m 3 C ．3π m 3 D ．12π m 3 答案 A解析由该容器的正视图可知，圆柱的底面半径为1 m ，高为2 m ，圆锥的底面半径为1 m ，高为1 m ，则圆柱的体积为2π m 3，圆锥的体积为13π m 3，所以该容器的容积为7π3 m 3.故选A.10．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________．答案3解析由已知正视图可以知道这个几何体是倒着的直三棱柱，两个底面是等腰的三角形，且底边为2，等腰三角形的高为a ，侧棱长为3，结合面积公式可以得到V ＝Sh ＝12×2×a ×3＝33，解得a ＝ 3.11．某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．答案π3解析易知原几何体是底面圆半径为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积为V ＝12×13×(π×12)×2＝π3.12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．答案 3解析该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面积是1＋22×2＝3，高为1，故其体积等于3.13．如图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h ＝________ cm.答案 4解析由题可知，13×12×5×6×h ＝20⇒h ＝4(cm)．故填4.►重点班·选做题14．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是________．答案S2解析如图所示，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12πl 2＝S ，πl ＝2πr.解得r ＝S 2π.所以底面积为πr 2＝π×S 2π＝S 2.故填S2.15．把一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为________．表面积增加了________．答案 18a 2 12a 216．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图(或称正视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S.解析由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影为矩形中心的四棱锥V －ABCD. (1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面V AD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋（82）2＝4 2.。

高中数学柱体、锥体、台体的表面积与体积(练习)(解析版)

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（练习）(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( ) A ．22 B ．20 C ．10 D ．11【答案】A [所求长方体的表面积S ＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.]2．已知高为3的直棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1-ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36 D.34【答案】D [由题意，锥体的高为BB 1，底面为S △ABC ＝34，所以V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.] 3．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( ) A ．54 B ．54π C ．58 D ．58π【答案】A [设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.]4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A ．3π B ．33π C ．6π D ．9π【答案】A [根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S ＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π.]5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )A ．1∶2∶ 3B ．6∶23∶ 3C ．6∶23∶3D ．3∶23∶6【答案】C [设Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，求得斜边上的高CD ＝32，基础篇旋转所得几何体的体积分别为V 1＝13π(3)2×1＝π，V 2＝13π×12×3＝33π，V 3＝13π⎝⎛⎭⎫322×2＝12π.V 1∶V 2∶V 3＝1∶33∶12＝6∶23∶3.] 二、填空题6．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，则该三棱锥的表面积为__________．【答案】3＋34a 2 [∵底面边长为a ，则斜高为a 2，故S 侧＝3×12a ×a 2＝34a 2，而S 底＝34a 2，故S 表＝3＋34a 2.] 7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小的底面半径为________．【答案】7 [设圆台较小的底面半径为r ，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长l ＝3，圆台的侧面积为84π，所以S 侧面积＝π(r ＋3r )l ＝84π，解得r ＝7.]8．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为________．【答案】1∶3∶5 [如图，由题意知O 1A 1∶O 2A 2∶OA ＝1∶2∶3，以O 1A 1，O 2A 2，OA 为底面半径的圆锥的侧面积之比为1∶4∶9.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1∶(4－1)∶(9－4)＝1∶3∶5.] 三、解答题9．将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4，再将它们卷成两个圆锥侧面，求这两个圆锥的体积之比．【答案】设圆的半径为r ，则两个圆锥的母线长为r .由已知可得两个圆锥的底面半径分别为2πr ×372π＝37r ，2πr ×472π＝47r ，所以两圆锥的体积之比为 13π×⎝⎛⎭⎫37r 2×r 2－⎝⎛⎭⎫37r 213π×⎝⎛⎭⎫47r 2×r 2－⎝⎛⎭⎫47r 2＝333088.10．若E ，F 是三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A -BEFC 的体积.【答案】如图所示，连接AB 1，AC 1.因为B 1E ＝CF ，所以梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积．又四棱锥A -BEFC 的高与四棱锥A -B 1EFC 1的高相等，所以V A -BEFC ＝VA -B 1EFC 1＝12VA -BB 1C 1C . 又VA -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，VABC -A 1B 1C 1＝S △A 1B 1C 1·h ＝m ，所以VA -A 1B 1C 1＝m 3，所以VA -BB 1C 1C ＝VABC -A 1B 1C 1－VA -A 1B 1C 1＝23m ，所以V A -BEFC ＝12×23m ＝m3，即四棱锥A -BEFC 的体积是m3.1．圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πSB ．2πSC ．πSD.233πS【答案】A [底面半径是Sπ，所以正方形的边长是2πSπ＝2πS ，故圆柱的侧面积是(2πS )2＝4πS .] 2．如图1-3-5，三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，则三棱锥A 1-ABC ，B -A 1B 1C ，C -A 1B 1C 1的体积之比为( )图1-3-5提升篇A ．1∶1∶1B ．1∶1∶2C ．1∶2∶4D ．1∶4∶4【答案】C [设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S ，∴VA 1-ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB -A 1B 1C ＝V 台－VA 1-ABC －VC -A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ，∴体积比为1∶2∶4.]3．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图1-3-6所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________.图1-3-6【答案】32a [设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π⎝⎛⎭⎫a 22h . 根据题意，有13πR 2h ＝π⎝⎛⎭⎫a 22h ，解得R ＝32a . 再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝ha ，所以h ＝32a .] 4．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________.【答案】8 [如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方体，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.]5．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．【答案】如图所示，在三棱台ABC -A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，连接OO ′，A ′D ′，AD ，DD ′，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，记为h 0，所以S 侧＝3×12×(20＋30)h 0＝75h 0.上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75h 0＝3253，所以h 0＝1333(cm)．又O ′D ′＝13×32×20＝1033(cm)，OD ＝13×32×30＝53(cm)，记棱台的高为h ，则h ＝O ′O＝h 20－(OD －O ′D ′)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积 V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×(3253＋34×20×30) ＝1 900(cm 3)．。

立体几何表面积体积练习题

柱体、锥体、台体的表面积一、选择题1．正四棱柱的对角线长是9cm ，全面积是144cm 2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，且侧面A 1ABB 1与侧面A 1ACC l 的面积相等，则∠BB 1C 1等于（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（）A ．10cmB ．52cmC ．512+πcm D ．4252+πcm4．中心角为43π，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于（）A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶85．正六棱台的上、下底面的边长分别为a 、b （a <b ），侧面和底面所成的二面角为60°，则它的侧面积是（）A ．33（b 2－a 2）B ．23（b 2－a 2）C ．3（b 2－a 2）D ．23（b 2－a 2）6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（）A ．1∶2∶3B ．1∶3∶5C ．1∶2∶4D ．1∶3∶97．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（）A ．3∶5B ．9∶25C ．5∶41D ．7∶98．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A ．ππ221+B ．ππ421+C ．ππ21+D ．ππ241+9．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于（）A ．91B ．94C ．41D ．3110．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（）A ．40B ．)31(20+C ．)31(30+D ．303 二、填空题11．长方体的高为h ，底面面积是M ，过不相邻两侧棱的截面面积是N ，则长方体的侧面积是______．12．正四棱台上、下底面的边长为b 、a （a ＞b ）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．13．圆锥的高是10 cm ，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．14．圆台的母线长是3 cm ，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm 2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______．三、解答题15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a ，侧面积为S ，求棱台上底面的边长．16．圆锥的底面半径为5 cm ，高为12 cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?17．圆锥底面半径为r ，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A ，求一个动点P 自A 出发在侧面上绕一周到A 点的最短路程．柱体、锥体与台体的体积一、选择题1．若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（）A ．2倍B ．4倍C ．2倍D ．22倍2．一个长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8cm 2，它的全面积是32 cm 2，且满足b 2＝ac ，那么这个长方体棱长的和是（）A 、28cmB ．32 cmC ．36 cmD ．40 cm3．正六棱台的两底面的边长分别为a 和2a ，高为a ，则它的体积为（）A ．32321aB ．3233aC ．337a D ．3237a4．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（）A ．1B ．3C ．2D ．215．一个球的外切正方体的全面积的数值等于6cm 2，则此球的体积为（）A ．334cm πB ．386cm πC ．361cm πD ．366cm π6．正六棱锥的底面边长为a ，体积为323a，那么侧棱与底面所成的角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．125π7．正四棱锥的底面面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为（）A 、S Q 31B ．)(2122Q S Q -C 、)(2122Q S S -D 、)(6122Q S Q -8．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（）A．1∶7 B．2∶7 C．7∶19 D．3∶169．正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S1、S2、S3，下面关系中成立的是（）A．S3＞S2＞S1B．S1＞S3＞S2 C．S1＞S2＞S3D．S2＞S l＞S310．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（）A．1∶5 B．1∶23 C．1∶11 D．1∶47二、填空题11．底面边长和侧棱长都是a的正三棱锥的体积是_______．12．将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_______．13．半径为1的球的内接正方体的体积是________；外切正方体的体积是_______．14．已知正三棱台上、下底面边长分别为2、4，且侧棱与底面所成角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_______．三、解答题15．三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，求它的体积．16．两底面边长分别是15cm和10cm的正三棱台，它的侧面积等于两底面积的和，求它的体积．17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h．18．如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C l D l 的棱长为a ，E 为棱AD 的中点，求点A 1到平面BED 1的距离．球的体积和表面积一、选择题1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ，8倍2．若球的大圆周长是C ，则这个球的表面积是（）A ．π42cB ．π42cC ．π2c D ．2πc 23．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（）A ．916πB ．38πC ．4πD ．964π4、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（）A ．4倍B ．8倍C ．16倍D ．32倍5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（）A 、1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（）A ．4πB ．4πC ．π32D ．42π7．圆柱形烧杯内壁半径为5cm ，两个直径都是5 cm 的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面将下降（）A 、35cmB ．310cmC ．340cmD ．65cm8．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积为（）A 、916π B ．38π C ．4π D ．964π9．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（）A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π10．等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（）A ．S 球＞S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球＜S 正方体D ．大小关系不确定二、填空题11．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V 1、V 2、V 3，则V 1＋V 2＝_____V 3．12．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l ，则球的体积为_________．13．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm 2的圆柱状容器中，容器水面升高34cm ，则玻璃球的半径为__________．14．将一个半径为R 的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为______．15．表面积为Q 的多面体的每个面都外切于半径为R 的一个球，则多面体与球的体积之比为______．16．国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”，“小球”的外径为38 mm ，“大球”的外径为40 mm ，则“小球”与“大球”的表面积之比为__________．三、解答题17．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积为16的小球？18．用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大? 19．三棱锥A －BCD 的两条棱AB ＝CD ＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．20．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．参考答案一、选择题1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．D 9．C 10．C 二、填空题11．331V提示：三个球半径之比为1∶2∶3，体积为1∶8∶27．12．36π设球的半径为R ，由题意得52－R －82－R ＝1， ∴R ＝3，∴V 球＝334R π＝36π．13．4cm 14．3938R 15．Q ∶4πR 2 16．361∶400三、解答题17．设球半径为R ，则343R π＝16π，∴R ＝433．而正三棱柱底面内切圆半径r ＝63，比较R 与r 的大小，R 6＝6243＝649＝62·327·641，r 6＝6627＝662·327＝62·327·2431， ∴R 6＞r 6，∴R ＞r ，所以不能放进一个体积为16π的小球．18．解：如图，设球半径为R cm ，切下的较小部分圆面半径为15cm ，∴OO ′＝R －5． Rt △OO ′A 中，R 2－（R －5）2＝15， ∴R =25（cm ）．V ＝334Rπ＝32534）（π＝362500π（cm 3）．19．设球半径为R ，三棱锥A －BCD 表面积为S ，则V 三棱锥＝3RS．取CD 中点M ，连结AM 、BM ．∵AC ＝AD ＝5，∴CD ⊥AM ．同理CD ⊥BM ，∴CD ⊥平面ABM ，∴V 三棱锥＝31（CM ＋MD ），S △AMB ＝2S △AMB ． ∵AM ＝BM ＝4，取AB 中点N ，连结MN ，则MN ⊥AB ，且MN ＝2234－＝7， ∴S △ABM ＝73，∴V 三棱锥＝76．又三棱锥每个面面积和都为12，∴S ＝4×12＝48，∴V 三棱锥＝R 348＝16R ．20．解：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，∵4πR 2＝324π，∴R ＝9，∴142＋（a 2）2＝182，∴a 2＝64，∴a ＝8． ∴S 四棱柱＝2a 2＋4a ·14＝64×2＋32×14＝576．参考答案一、选择题1．C 设正四棱柱的底面边长为a ，高为c ，由题意 2a 2＋c 2＝81①2a 2＋4ac 2＝144 即a 2＋2ac 2＝72②①×8－②×9得7a 2－18ac ＋8c 2＝0即（7a －4c ）（a －2c ）＝0，因此7a －4c ＝0或a ＝2c ，由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故正确答案选C ． 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 7．D8．A 设底面圆半径为r ，母线即高为h ．∴h ＝2πr ．∴侧全S S ＝rh rh r πππ2222＋＝h h r ＋＝r r r ππ22＋＝ππ221＋．∴应选A ．9．A10．B 可计算出直截面的周长为5＋35，则S 侧＝4（5＋35）＝20（1＋3）．另解：如图，若∠A 1AC ＝∠A 1AB ＝60°，则可证明□BB 1C 1C 为矩形，因此，S 侧＝2S □B B AA 11＋C C BB 11矩形S ＝2×4×5×sin60°＋4×5＝20（1＋3）．二、填空题11．2222Mh N ＋．设长方体的长和宽分别为a ，b 则有a ·b ＝M ，22b a ＋·h ＝N ，2（a ＋b ）h ＝22）＋（b a ·h ＝M h N 2222＋·h ＝2222Mh N ＋．12．b a ab ＋ 13．π3200；60° 14．233cm ；211cm ，229cm三、解答题．15．设O ，O 1分别为下，上底面中心，连接OO 1，则OO 1⊥平面AB C ，上底面边长为x ，连接AO ，A 1O 1并延长交BC ，B 1C 1分别于D 、D 1两点．则AD ⊥BC ，连接DD 1，则DD 1⊥BC ，∠ADD 1为二面角A －BC －D 1的平面角，即∠ADD 1＝60°，过D 1作D 1E ∥OO 1交AD 于E ，则D 1E ⊥平面ABC ．在正△ABC ，△A 1B 1C 1中，AD ＝a 23，A 1D 1＝x 23．在Rt △D 1ED 中，ED ＝OD －OE ＝31（AD －A 1D 1）＝63（a －x ）．则D 1D ＝2ED ＝33（a －x ），由题意S ＝3·233）－（）＋（x a a x ．即S ＝23（a 2－x 2）．解得x ＝Sa 3322－．16．如图SAB 是圆锥的轴截面，其中SO ＝12，OB ＝5．设圆锥内接圆柱底面半径为O 1C ＝x ，由△SO 1C ∽△SOB ，则C O SO 11＝OB SO ，SO 1＝OB SO ·O 1C ＝x512，∴OO 1＝SO －SO 1＝12－x 512，则圆柱的全面积S ＝S 侧＋2S 底＝2π（12－x 512）x ＋2πx 2＝2π（12x －257x ）．当x ＝730cm 时，S 取到最大值7360cm 2．17．如图扇形SAA ′为圆锥的侧面展开图，AA ′即为所求的最知路程，由已知SA ＝SA ′＝3r ，θ＝SA r360°＝120°，在等腰△SAA ′中可求得AA ′＝r 33．参考答案一、选择题1．D2．B 解：由已知⎪⎩⎪⎨⎧③＝②＝＋＋①＝ac b ca bc ab c b a 2168··③代入①得b 3＝8，b ＝2，ac ＝4，代入②a ＋c ＝6．∴长方体棱长的和为4（a ＋b ＋c ）＝4×8＝32（cm 2）．3．D 4．B 5．C 6．B7．D 设正四棱锥的底面边长和高分别为a ，h ，斜高为h ′，则h ′＝222）＋（a h ，S ＝21（4a ）h ′＝2a 224a h ＋解得 h ＝22244a a S －＝442Q Q S －＝Q Q S 2221－．V ＝31h ·Q ＝31（Q Q S 2221－）Q ＝）－（2261Q S Q ．8．C 9．B10．D 由E 、F 、G 分别为BB 1，B 1C 1，B 1A 1的中点，可证明平面EFG ∥平面BC 1A 1，因此1111A BC B EFGB V V －－＝31）（BC EF ＝（21）3＝81．即EFG B V －1＝81111A BC B V －＝81·31AD A BC B V 111－＝81（31·211111D C B A ABCD V －）＝4811111D C B A ABCD V －， EFG B D C B A ABCD EFGB V V V －－－－111111＝471．二、填空题． 11．3122a 12．π3613．938；8 14．314 15．三棱锥A －BCD 中，AB ＝6，设E 为AB 的中点，连结CE ，DE ，则CE ⊥AB ，DE ⊥AB ．在直角△AED 中，DE ＝22AE AD －＝2235－＝4．同理CE ＝4，F 为CD 中点，连接EF ，则EF ⊥CD ，在Rt △DFE 中， EF ＝2225）－（DE ＝22254）－（＝239． ∴S △CED ＝4395． V A －BCD ＝V A －ECD ＋V B －ECD ＝31AE ·S △CED ＋31BE ·S △CED＝31（AE ＋BE ）S △CDE ＝31×6×4395＝3925．16．设正三棱台的高为h ，则斜高h ′＝22101563）］－（＋［ ⎝⎛h ＝12252＋h ，由已知212251531032＋）＋（h ⨯⨯＝43（152＋102），解得h ＝32．因此V ＝31·32（43·102＋43·152＋2215·1043）＝2475（cm 3）．别解：设上、下底面面积分别是S 1，S 2（S 1＜S 2），侧面与底面成二面角为α，由已知，S 侧＝S 1＋S 2①．又S 侧cos α＝S 2－S 1②， ②÷①，cos α＝2112S S S S ＋－＝22221043154310431543⨯⨯⨯⨯＋－＝135．然后再求棱台的高和体积．17．设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为31πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π（2a）2h ．根据题意，有31πR 2h ＝π（2a ）2h ，解得R ＝a 23．再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得 a a 23＝a h ，所以h ＝a 23．18．解：E D A S 11∆＝21A 1D 1·AA 1＝22a ．D 1B ＝3a ，D 1E ＝BE ＝22AB AE ＋＝2221a a ＋）（＝a25．等腰△EBD 1的高为2122）－（B D BE ＝222325）－（）（a a ＝a 22．1BED S ∆＝21（a 3）（a 22）＝246a．设A 1到平面BED 1的距离为h ，而11BED A V －＝E D A B V 11－，即131BED S ∆·h ＝E D A S 1131∆·AB ． ∴31·246a ·h ＝31·22a ·a ，解得h ＝a 631．。

人教A版必修第一章1.3.1《柱体,锥体,台体的表面积与体积》精选题高频考点(含答案)-1

人教A 版必修第一章1.3.1《柱体，锥体，台体的表面积与体积》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．83【答案】A2．已知某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A ．168π+B ．84π+C ．1624π+D ．824π+【答案】B3．如图所示，扇形AOB 的半径为2，圆心角为90︒，若扇形AOB 绕OA 旋转一周，则图中阴影部分绕OA 旋转一周所得几何体的表面积为（）A ．(4x +B ．(4π+C ．(8π+D ．(8π+【答案】C4．正方体1AC 中，AB 4=，则关于多面体11AD B C ，有如下判断：①多面体11AD B C的外接球的体积为；②多面体11AD B C 的体积是正方体体积的12；③多面体11AD B C 的表面积为其中判断正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．BC ．D 【答案】B6．如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（）A ．620π+B ．916π+C ．918π+D ．2063π+【答案】C7．设体积为P ﹣ABC 外接球的球心为O ，其中O 在三棱锥P ﹣ABC 内部．若球O 的半径为R ，且球心O 到底面ABC 的距离为3R，则球O 的半径R ＝（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C8．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A ．B ．C ．132D ．【答案】C9．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2)．当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为( )A ．⎛ ⎝B ．⎫+∞⎪⎪⎭ C ．D ．【答案】D10．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（） A ．23B ．76C ．45D ．56【答案】D11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．3π+B ．4π+C ．7π+D ．8π+【答案】D12．已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A ．5603 B ．200 C ．5803D ．240【答案】B13．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A ．6B ．10C ．12D ．20【答案】A14．已知四面体ABCD 的四个顶点均在半径为2的球面上,且AB =AC =BC =2,则四面体ABCD 体积的最大值为( )A ．43B ．3C ．23+ D ．23+ 【答案】D15．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A ．158B ．162C ．182D ．32【答案】B16．不共面的三条定直线1l ，2l ，3l 互相平行，点A 在1l 上，点B 在2l 上，C 、D 两点在3l 上，若CD a =(定值)，则三棱锥A －BCD 的体积( ) A ．由Ａ点的变化而变化 B ．由B 点的变化而变化 C ．有最大值，无最小值 D ．为定值【答案】D17．正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点， PA =，2AB =，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为（） A ．13,45ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[],2ππD ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D18．一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用最少为（）元A ．4500B ．4000C ．2880D ．2380【答案】B19．某几何体的三视图如何所示，则该几何体的体积为（）A ．163B ．643C ．803D ．143【答案】C20．一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B C ．53D ．【答案】A二、填空题21．已知直三棱柱111ABC A B C -的高为BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为________；【答案】16π22．已知菱形ABCD 边长为6,60A =︒,将ABD ∆沿对角线BD 翻折形成四面体ABCD ,当AB 与平面BCD 所成的线面角为60°时,四面体ABCD 的外接球的表面积为________. 【答案】60π23．已知四面体M DEF -中，3DEF π∠=，DF =ME DE ⊥，ME EF ⊥，4ME =，则该四面体的外接球的体积为______.24．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在棱1AA 上，四棱锥11P BDD B -的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积取值范围是_____________．【答案】25π[3π,]825．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的外接球与内切球的半径比为______．【答案】)31226．已知棱长为1的无盖正方体容器中装有直径为1的实心铁球且盛满了水，另将半径为()0r r >的小球O '缓慢放入容器中，若小球O '能完全淹入水里，则r 的取值范围是_________．【答案】20,2r ⎛∈ ⎝⎦27．若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______．【答案】8√33π28．已知P ABCD -为一个正四棱锥，且它的底面边长与高的长度都等于4，则这个四棱锥外接球的表面积是______. 【答案】36π29．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的内切球的半径为______．【答案】430．如图，棱长为2的正方体1111ABCDA B C D ﹣中，点E 、F 分别为AB 、11A B 的中点，则三棱锥F ECD ﹣的外接球体积为（）A ．414π B ．43π C D 【答案】D31．如图为一个几何体的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，6SD PD ==，CR SC =，AQ AP =，点S 、D 、A 、Q 及P 、D 、C 、R 共线，沿图中直线将它们折叠，使P 、Q 、R 、S 四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体【答案】2432．已知正三棱锥P ABC -的外接球的半径为2，其中点,,A B C 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的表面积是__________．【答案】33．三棱锥O ABC -中,2OA OB OC ===,且45BOC ∠=︒,则三棱锥O ABC -体积的最大值是______.【答案】334．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且12S S ＝94，则12V V 的值是________．【答案】3235．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________. 【答案】15π36．已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD （如图）.若底面圆的弦AB 所对的圆心角为3π，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为______.【答案】10π+37．一个各面封闭的直三棱柱，底面是直角三角形，其内部有一个半径为1的球，则该直三棱柱的体积最小值为___________．【答案】6+38．圆锥SO 的底面圆O 的半径为1，高SO 为h .已知圆锥SO 的内接圆柱1O O （圆柱1O O 的下底面圆的圆心是O ，上底面圆在圆锥的侧面上）的最大体积是427π，则该圆锥的内接圆柱1O O 且其体积为8π的个数有（） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【答案】B39．等腰直角三角形的直角边长为1，则绕直角边旋转一周所形成的几何体的体积为______. 【答案】3π 40．在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =AC =四面体体积的最大值为________，该四面体外接球的表面积为________.【答案】68π三、解答题41．如图，BE ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90ADC ∠=o ，//AB CD ，2AD AF CD ===，2AB AD =．（1）求证：AC CE ⊥；（2）求三棱锥E BDF -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）83． 42．如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，Q 是1AA 的中点，点P 在线段11B D 上.（1）试在线段11B D 上确定点P 的位置，使得异面直线QB 与DP 所成角为60︒，并请说明你的理由；（2）在满足（1）的条件下，求四棱锥1Q DBB P -的体积.【答案】（1）P 是线段11B D 的中点，理由见解析；（2）12. 43．直角梯形ABCD 如图放置，已知90C D ∠=∠=︒，2CD =，3BC =，4=AD .现将梯形ABCD 绕直线AD 旋转一周形成几何体.（1）画出这个几何体的正视图（不写作法）；（2）求这个几何体的体积.【答案】（1）作图见解析（2）403π 44．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，2AB AC ==，16AA =，点E F 、分别在棱11AA CC 、上，且12AE C F ==．（1）求四棱锥B AEFC -的体积；（2）求BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值．【答案】（1）4；（2）3． 45．某甜品店制作一种蛋筒冰激凌，其上部分是半球形，下半部分呈圆锥形（如图），现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形蛋皮，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮的厚度忽略不计）.（1）求该蛋筒冰激凌的高度；（2）求该蛋筒冰激凌的体积（精确到30.01cm ）.【答案】（1）2（2）357.80cm46．如图所示的多面体是由一个以四边形ABCD 为底面的直四棱柱被平面111A BC D 所截面成，若2,90AD DC AB BC DAB BCD ====∠=∠=︒，且1132AA CC ==：（1）求二面角11D A B A --的大小；（2）求此多面体的体积.【答案】（1）arccos 10；（2）3. 47．已知四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA PC AB ==，过侧面PAD △中线AE 的一个平面α与直线PD 垂直，并与此四棱锥的面相交，交线围成一个平面图形。

高中数学必修2-1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积与体积》同步练习

1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积与体积》同步练习(1)一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C ．2倍 D ．2倍[答案] D[解析] 由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2，故选D.2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于( )A ．27B ．4 3C ．6D ．3[答案] C[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则c ＝1，ab ＝2，a 2＋b 2·c ＝5， ∴a ＝2，b ＝1，故S 侧＝2(ac ＋bc )＝6.3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π[答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，∴S 全＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2(1＋2π)又S 侧＝h 2＝4π2r 2，∴S 全S 侧＝1＋2π2π.4．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( ) A ．6a 2 B ．12a 2 C ．18a 2 D ．24a 2[答案] B[解析] 原来正方体表面积为S 1＝6a 2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为13a ，其表面积为6×⎝⎛⎭⎫13a 2＝23a 2，总表面积S 2＝27×23a 2＝18a 2，∴增加了S 2－S 1＝12a 2.5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2[答案] B[解析] 易知此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，则斜高为22，故S 侧＝4×12×4×22＝162，S 底＝4×4＝16，所以S 表＝16＋16 2.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240[答案] D[分析] 根据三视图可以确定此几何体为四棱柱，再由数量关系分别去确定侧面积与底面面积，相加为该几何体的表面积．[解析] 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240.[易错警示] 本题在求解过程中易错误将3作为等腰梯形的腰长，从而误求结果为200.二、填空题7．已知圆柱OO ′的母线l ＝4 cm ，全面积为42π cm 2，则圆柱OO ′的底面半径r ＝ ________cm.[答案] 3[解析] 圆柱OO ′的侧面积为2πrl ＝8πr (cm 2)，两底面积为2×πr 2＝2πr 2(cm 2)， ∴2πr 2＋8πr ＝42π，解得r ＝3或r ＝－7(舍去)， ∴圆柱的底面半径为3 cm.8．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．[答案] 24＋2 3[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(12×2×3)＋3×(4×2)＝24＋2 3.9．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．[答案] (410＋28)π[解析] 挖去的圆锥的母线长为62＋22＝210，则圆锥的侧面积等于410π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为410π＋24π＋4π＝(410＋28)π.三、解答题10．已知圆台的上、下底面半径分别是2,5，且侧面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．[答案]297[解析] 设圆台的母线长为l ，则圆台的上底面面积为S 上＝π×22＝4π，圆台的下底面面积为S 下＝π×52＝25π，所以圆台的底面面积为S ＝S 上＋S 下＝29π.又圆台的侧面积S 侧＝π(2＋5)l ＝7πl ，则7πl ＝29π，解得l ＝297，即该圆台的母线长为297.11．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[解析] 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S . 则R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r2，∴r ＝1， S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. ∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.12．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)[解析] 几何体的直观图如图．这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h ′＝22，其表面积S ＝42＋4×4×2＋(12×4×22)×4＝48＋16 2 cm 2.1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积与体积》同步练习(2)一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( ) A ．63 B ．36 C ．11 D ．12[答案] A[解析] 设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [答案] A[解析] 由题意，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，∴h ＝3.3．一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )A ．1B ．12C ．13D ．16[答案] D[解析] 由三视图知，该几何体是三棱锥．体积V ＝13×12×1×1×1＝16.4．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π[答案] D[解析] 如图过A 作AD 垂直BC 于点D ，此几何体为一个大圆锥挖去一个小圆锥V ＝13π×(3)2×4－13π×(3)2×1＝3π.故选D.5．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4B ．143C ．163D ．6[答案] B[分析] 根据三视图可知此几何体为棱台，分别确定棱台的底面面积和高即可求得体积．[解析] 由四棱台的三视图可知，台体上底面积S 1＝1×1＝1，下底面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.6．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为( )A ．29 cmB ．30 cmC ．32 cmD ．48 cm[答案] A[解析] 图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h ，则有π×12(h －20)＝π×32(h －28)，解得h ＝29(cm)．二、填空题7．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________. [答案]3[解析] 设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3.8．如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点．设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.[答案] 1 24[分析] 找到棱锥的底、高与棱柱的底、高之间的关系，从而可以得出它们的体积之比． [解析] 设三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ＝124V 2，即V 1 V 2＝1 24. 9．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的的侧面积相等且S 1 S 2＝9 4，则V 1 V 2＝________.[答案] 3 2[解析] 设甲圆柱底面半径r 1，高h 1，乙圆柱底面半径r 2，高h 2，S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32，又侧面积相等得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝23.因此V 1V 2＝πr 21h 122h 2＝32.三、解答题10．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．[解析] 如图所示，作轴截面A 1ABB 1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r ，R ，l ，高为h .作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3.又∵∠A 1AB ＝60°，∴AD ＝A 1D ·1tan60°，即R －r ＝3×33，∴R －r ＝ 3. 又∵∠BA 1A ＝90°，∴∠BA 1D ＝60°. ∴BD ＝A 1D ·tan60°，即R ＋r ＝3×3， ∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝3，而h ＝3， ∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2] ＝21π.所以圆台的体积为21π.11．已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．[分析] 应用锥体的侧面积和体积的计算公式求解．解题流程：△ABC 的特征――→AC ⊥BC 旋转体是两个同底圆锥――→底面半径为CD 求表面积――→高BD ，AD 求体积[解析] 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D . 由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC . 所以BC ·AC ＝AB ·CD ，所以CD ＝125，记为r ＝125，那么△ABC 以AB 为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π，V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB＝13π×(125)2×5＝485π. [特别提醒] 求旋转体的有关问题常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题来解决．对于与旋转体有关的组合体问题，要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积．12．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．[解析] 该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为13×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.。

高中数学必修2第1章 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积同步练习题及答案.doc

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】§1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积【课时目标】 1．了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题．1．旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S 底＝________ 侧面积：S 侧＝________ 表面积：S ＝2πr (r ＋l ) 圆锥底面积：S 底＝________ 侧面积：S 侧＝________ 表面积：S ＝________ 圆台上底面面积： S 上底＝____________ 下底面面积： S 下底＝____________ 侧面积：S 侧＝__________表面积：S ＝________________(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝______． (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝______．(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ．一、选择题 1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( )A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B ．112＋ 2C ．7＋ 3D ．32二、填空题7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．8．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm 3．9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．三、解答题 10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm ．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．能力提升12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋23313．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh ．4．“补形”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间的数量关系．§1．3 空间几何体的表面积与体积1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积答案知识梳理1．πr 2 2πrl πr 2 πrl πr(r ＋l) πr ′2 πr 2 π(r ′＋r)l π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl)2．(1)Sh (2)13Sh作业设计1．B [易知2πr ＝4，则2r ＝4π，所以轴截面面积＝4π×2＝8π．]2．A [设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π2π．] 3．A [设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ，则l ＝83r ，所以A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，B ＝83πr 2，得A ∶B ＝11∶8．]4．B [以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πb 2a ，以长为b 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πa 2b ．]5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm 2,12π cm 3．]6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S表面＝2S 底＋S 侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．] 7．3解析由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3． 8．288π或192π解析 (1)12为底面圆周长，则2πr ＝12，所以r ＝6π，所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫6π2·8＝288π(cm 3)． (2)8为底面圆周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π，所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫4π2·12＝192π(cm 3)．9．8 0003cm 3解析由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S ＝400，高h ＝20，V ＝13Sh ＝8 0003 cm 3．10．解如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA ＝20，同理可得SB ＝40，所以AB ＝SB －SA ＝20， ∴S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2． h ＝AB 2－(OB －O 1A )2＝202－102＝103，V ＝13πh(r 21＋r 1r 2＋r 22) ＝13π×103×(102＋10×20＋202)＝7 00033π (cm 3)．即圆台的表面积为1 100π cm 2，体积为7 00033π cm 3．11．解如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，则O 1O ＝12．连接OE 、O 1E 1，则OE ＝12AB＝12×12＝6，O 1E 1＝12A 1B 1＝3．过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ，则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3， HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3．在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32 ＝32×42＋32＝32×17，所以E 1E ＝317．所以S 侧＝4×12×(B 1C 1＋BC)×E 1E＝2×(12＋6)×317＝10817．12．C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233．]13．解易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1．考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36． ∴该几何体的表面积为36．。

专题131柱体、锥体、台体的表面积与体积-试题君之K三关高一数学人教版(必修2)含答案.doc

1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积知识一、棱柱、棱锥、棱台的表面积1.棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念棱柱、棱锥、棱台是rti多个平面图形I詞成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积Z_, 因此，我们对以把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积.2.棱柱、棱锥、棱台的表面积（1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个_____ 、______ 、_____ 所组成的.侧面展开图的面积称为儿何体的侧面面积（即侧面积）•由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积Z和.（2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有和展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积.可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平血的面积之和，也可表示为：'附披='梭柱侧+ 2S底，S棱锥农=S棱锥侧+ S底» S棱台表=S棱台侧4- S上底+ S下底•3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积（1）直棱柱的侧血积：把直棱柱（侧棱与底血垂直的棱柱）沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形.如图（1）所示，则直棱柱的侧面面积为冷= ____ （c为底面周长，力为侧棱长）.（2）正棱锥的侧面积：正棱锥（底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心）的侧面展开图是几个全等的等腰三角形.如图（2）所示，则正棱锥的侧而面积为S= ______ （c为底而周长，夕为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高）.（3）正棱台的侧面积：正棱台（市正棱锥截得）的侧面展开图是儿个全等的等腰梯形.如图⑶所示，则正棱台的侧面面积__________________ （R , q分别为上、下底面周长，F 为斜高，即侧面等腰梯形的高）.二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱（底面半径为厂，母线长为/）圆锥（底面半径为八母线长为/）圆台（上、下底面半径分别为”，r,母线长为7）侧面展开图円 ......... : (i)、1 2irr&底面面积S底二S底二心s上底S s下底二兀斥侧面面积5#1=2 n rl S侧二S侧二兀/（”+厂）表面积S表=2 n /(厂+■ 1)S 表二n r(z+J)S远三、柱体、椎体、台体的体积1.柱体、椎体、台体的高（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.圆柱的_______ 即圆柱的高.（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.（3） __________________________ 棱台（圆台）的高是指两个之间的距离.2.柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体儿* （S为底面面积，力为高）,V^Ttrh^r为底面半径，力为高）锥体y锥体二丄S力（S为底面面积，力为高），V（厂为底面半径，力为高）3四、组合体的表面积与体积求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.K 知识参考答案:晅“・：：織・。

必修2《柱体锥体台体的表面积与体积》课后导练含解析

必修2《柱体锥体台体的表面积与体积》课后导练含解析基础达标1圆锥的轴截面是正三角形，那么，它的侧面积是底面积的（）A.4倍B.3倍C.2倍D.2倍解：设底面半径为R ，由条件知母线长为2R ，S 侧=πR·2R=2πR 2=2S 底.答案：D2正三棱锥的底面边长为a,高为66a ，则三棱锥的侧面积等于（） A.43a 2B.23a 2 C.433a 2 D.233a 2解：VO=66a ，OA=63332=•a a ，∴VA=21a ，∴S 侧=21·3a·21a=43a 2，故选A.答案：A3圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240°，该圆锥体积为（） A.8122πB.818πC.8154πD.8110π 解：设圆锥底面半径为R ，高为h ，则2πR=180240π∴R=32，h=531941=-，∴V=31πR 2h=π5814，故选C. 答案：C4长方体的高等于h,底面积等于a ，过相对侧棱的截面面积等于b ，则此长方体的侧面积等于（）A.222ah b +B.2222ah b +C.2222ah b +D.222ah b +解：如图，由条件知AB·BC=a ，且AC·h=b ，∴AC=hb ，即AB 2+BC 2=22h b =（AB+BC ）2-2a ， ∴AB+BC=hah b 222+. ∴S 侧=2（AB+BC ）·h=2222ah b +，故选C.答案：C5直棱柱的侧面展开图是________,正棱锥的侧面展开图是一些全等的________.答案：矩形等腰三角形6轴截面是正方形的圆柱，轴截面面积为S ，则它的全面积是________.解析：设底面半径为R ，则高为2R ，∴4R 2=S ，S 全=2πR 2+2πR·2R=6πR 2=6π·234=S πS. 答案：23πS 7已知长方体中，有一个公共顶点的三个面面积分别为2,3,6，求长方体的体积.解：设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则由条件知ab=2，ac=3，bc=6.∴（abc ）2=36，∴V=abc=6.8用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24 cm ，下底半径为16 cm ，母线长为48 cm ，则矩形铁皮的长边长最少是多少？解：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角为∠A′OB=α，OA=x ，由相似三角形知识得241648=+x x ， ∴x=96，则α=60°，∴△BOB′为等边三角形. BB′=OB=144 cm ，即矩形铁皮的长边长最少为144 cm.综合运用9已知棱台的两个底面面积分别是245 cm 2和80 cm 2，截得这棱台的棱锥的高为35 cm ，则那个棱台的高为（）A.20 cmB.15 cmC.10 cmD.25 cm解析：设棱台高为h ，则截去的小棱锥的高为35-h ，由截面性质知2)3535(24580h -=解得h=15 cm.答案：B10已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH的表面积为T ，则ST 等于（） A.91 B.94 C.41 D.31解析：设正四面体ABCD 的棱长为a ，如图所示，则EF=32MN=31BD=31a ，因此S T =91，选A. 答案：A11圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为（）A.6π（4π+3）B.8π（3π+1）C.6π（4π+3）或8π（3π+1）D.6π（4π+1）或8π（3π+2）解析：圆柱的侧面积S 侧=4π×6π=24π2.（1）以边长为6π的边为底时，2πR=6π，R=3，∴S 全=2πR 2+24π2=18π+24π2.（2）以边长为4π的边为底时，2πR=4π，R=2，∴S 全=2πR 2+24π2=8π+24π2.选C.答案：C拓展探究12如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为_____________.解析：不妨设A 在面B 1DC 的射影为H ，连结DH ，（令棱长为a ）则∠ADH 为AO 与面B 1DC 所成角. 即sinADH=AD AH，下面求AH.由等体积公式易知 ADC B DC B A V V --=11， AH=5522121111=••••DCD B AA AC DB a.∴sinADH=5425552=aa. 答案：54。

人教A版必修第一章1.3.1《柱体,锥体,台体的表面积与体积》精选题高频考点(含答案)-2

人教A版必修第一章1.3.1《柱体，锥体，台体的表面积与体积》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【答案】C2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A．64 B．72 C．80 D．112【答案】C3．如图，一个正四棱锥的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是（）A ．4+B ．C ．12D ．8【答案】C4．已知四面体ABCD 中，CD ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，4AB CD ==，3BC =，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（） A ．25π B ．41πC ．32πD ．64π【答案】B5．某几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（）A ．5πB ．20π3C ．8πD ．28π3【答案】D6．已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD （如图）．若底面圆的弦AB 所对的圆心角为π3，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（）A ．10π+B ．10πC ．10π3+D ．2π-【答案】A7．四面体P ABC -的四个顶点坐标为()002P ,,，()0,0,0A ，()0,B ，()C ，则该四面体外接球的体积为（）A ．323πB C ．20πD 【答案】B8．《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）A ．21斛B ．34斛C ．55斛D ．63斛【答案】A9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A ．20B ．10C ．30D ．60【答案】B10．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为A ．1 BC D ．2【答案】C11．在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高h =（） A ．143B ．134C ．72D ．163【答案】D12．已知三棱锥S ABC -中，,4,2,62SAB ABC SB SC AB BC π∠=∠=====，则三棱锥S ABC -的体积是（）A ．4B ．6C ．D ．【答案】C13．某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为43，则图中x 的值为（）A ．2 BC ．1D ．12【答案】C14．如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于（）A ．23hB ．1927h CD 【答案】D15．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P ABC -的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O .若三棱锥P ABC -的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（） A ．2: 1 B ．7: 4C ．3: 1D ．5: 3【答案】B16．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．B ．12πC ．D ．10π【答案】B17．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】B18．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ．3π4 C ．π2D ．π4【答案】B19．如图，网格纸上小正方形的边长为1.粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．283π+B．8233π+C．833π+D．83π+【答案】D20．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．43C．23D．13【答案】C二、填空题21．“方锥”，在《九章算术》卷商功中解释为正四棱锥.现有“方锥”S ABCD-，其中4AB=，SA与平面ABCD所成角的正切值为4，则此“方锥”的外接球表面积为________.【答案】289 9π22．若一个圆锥的母线与底面所成的角为π6,体积为125π,则此圆锥的高为 .【答案】523．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是______.24．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P ABC -的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O ．若三棱锥P ABC -的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为________________．【答案】7425．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB 的面积为__________．【答案】26．的正方形，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 【答案】4π. 27．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.【答案】11228．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【答案】10.29．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】4330．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .【答案】118．831．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是______，该几何体的外接球半径为______.32．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADF ⊥平面ABCD ，ADF 是正三角形，四边形ABCD 是正方形，AB EF ，22AB EF ==，则多面体ABCDEF 的体积为________.【答案】333．正三棱柱的侧面展开图是边长为6和12的矩形，则该正三棱柱的体积是_____.【答案】34．已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为1S ，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为2S ，则21S S 的值为___．35．在三棱锥S ABC -中，正三角形ABC 中心为Q ，边长为SH ⊥面ABC ，垂足H 为AQ 的中点，SA 与平面ABC 所成的角为45°.若三棱锥S ABC -的所有顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为__________．【答案】40π36．已知三棱锥P ABC -的侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度均为1，若该三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______．【答案】3π37．如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1–BB 1D 1D 的体积为__________．【答案】1338．在半径为2的球内有一个内三棱锥P ABC -，点,,,P A B C 都在球面上，且ABC ∆是边长为3的等边三角形，那么三棱锥P ABC -体积的最大值为_________．39．如图，已知正方体11111,2ABCD A B C D AA -=，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为______【答案】43． 40．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.三、解答题41．现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为37.8/g cm ，总重量为5.8kg .其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位：毫米）.（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料（结果精确到0.01）【答案】（1）252个（2）防腐共需要材料0.05千克42．如图，已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，求它的侧棱长．【答案】443．在三棱锥C ABO -中，OA 、OB 、OC 所在直线两两垂直，且OA OB =，CA 与平面AOB 所成角为60︒，D 是AB 中点，三棱锥C ABO -（1）求三棱锥C ABO -的高；（2）在线段CA 上取一点E ，当E 在什么位置时，异面直线BE 与OD 所成的角为1arccos 4？【答案】（1（2）E 是线段CA 中点.44．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（1）若16,2,AB m PO m ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）1PO =45．长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12,1AA AB ==，是上的一点．⑴求异面直线AC 与1B D 所成的角；⑵若1B D ⊥平面ACE ，求三棱锥的体积；【答案】(1)2π (2)112A CDE V -= 46．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中90GCD EDC F ∠=∠=∠=︒，且AD CD DE CG ===，FG FE =，若将五边形CDEFG 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为31250V cm =，求制作该储蓄罐所须材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度，按键及投币口的面积忽略不计）【答案】（1）见解析；（2）2691cm47．如图，已知AB ⊥平面BCD ，,BC CD AD ⊥与平面BCD 所成角为30︒ ，且2AB BC ==()1求三棱锥A BCD -的体积；()2设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【答案】(1)3 (2)48．已知长方体1111ABCD A B C D -，其中2AB BC ==，过11,,A C B 三点的的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为403，求几何体111ABCD AC D -的表面积.【答案】3649．某几何体的三视图如图所示：（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．【答案】(1) 24＋π;(2)28+3π.50．如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 正方形，E 为PD 中点.（1）求证：PB 平面ACE ；（2）已知PA ⊥平面ABCD 且2PA AB ==，求三棱锥D ACE -体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23。