153定积分的概念讲义91557

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1.5.3定积分的概念(教学用)

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例1 利用定义计算定积分

1
0
x 3 dx.
i 解将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n 取 i x i ，(i 1,2,, n )
轴的直线). 记xi xi xi 1 . y f ( x) y
o
a x1
x2
x i 1 x i
xn1
b
x
第二步
近似代替；
典型小区域面积
取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.
y
y f ( x)
高
f ( i )
i
o
a x1
x2
xi 1底xi
x i
xn1
b
x
Si f (i )xi . 用矩形面积近似
b
例2 利用定积分的几何意义计算下列积分.
(1) xdx ;
0 1
(2)
1
0
1 x 2 dx .
表示由x 0, x 1, y x及x轴围成的三角形面积.
解 (1) xdx ，
0
1
y x
x0
0

1
0
1 1 xdx .1 1 2 2
A
y0
1
x 1
(2)
1
0
1 x 2 dx ,
曲边梯形面积为
A lim f ( i )xi
0 i 1
n
lim[ f (1 )x1 f ( 2 )x2 f ( 3 )x3 f ( n )xn ] .

2015高中数学 1.5.3定积分的概念课件

y＝±b a
a2－ x2
(－a≤x≤a)．
于是椭圆在第一象限的部分与坐标轴围成的平面图形的
面积为
S1＝0aba a2－x2 dx＝ba0a a2－x2 dx，
栏目第二十二页，编辑于星期五：十二点导六引分。
第一章导数及其应用
令 g＝ a2－x2(0≤x≤a)，
得 x2＋g2＝a2(0≤x≤a，g≥0)，
x
积用定积分表示为( D )
A.012dx
B．120dx
C．021xdx
D．121xdx 栏目
第六页，编辑于星期五：十二点六导分。引
第一章导数及其应用
3．关于定积分 a＝－ 2 1 (－2)dx 的叙述正确的是( C )
A．被积函数为 y＝2，a＝6 B．被积函数为 y＝－2，a＝6 C．被积函数为 y＝－2，a＝－6 D．被积函数为 y＝2，a＝－6
第二页，编辑于星期五：十二点六分。
第一章导数及其应用
1．定积分的概念如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区作间和式,在∑ i＝每n 1f个(ξi小)Δ区x＝间_[_x_i－_∑i1＝_n，_1b_x－_ni ]_上a__任__取__一f(点ξi)，ξi(当i＝n1→,2， ∞…时，，n上)，述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间 [a，b]上的____定__积__分_______，
利用定积分的几何意义求定积分
利用几何意义计算下列定积分：
(1)－ 3 3 9－x2dx；(2)－ 3 1 (3x＋1)dx.
[解] (1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆，其面积为 S＝1·π·32.

高中数学 1.5.3定积分的概念新人教版选修2-2

第一节定积分的概念
• 一、问题的提出 • 二、定积分的定义 • 三、几何意义 • 四、小结思考题
.
砖是直边的长方体
烟囱的截面是弯曲的圆
“直的砖”砌成了“弯的圆”
局部以直代曲
.
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形由连续曲线
yf(x)
yf(x)(f(x)0)、
f (i )xi i3xi
i1
i1
n
xi3xi , i 1
.
n
b
a f (x)dx
的几何意义就是曲线 y = f (x)
直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形的面积
.
y=f (x) y
AS
oa
x b
当函数 f (x) 0 ， x[a, b] 时
定积分
b
f (x)dx
a
就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. 即
b
a f(x)dxS
.
二、定积分的定义
定义设函数 f(x )在 [a ,b ]上有界，在 [a ,b ]中任意插入
若干个分点a x x x x x b
012
n 1 n
把区间 [ a , b ] 分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为
x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , ) ，在各小区间上任取
个小区[x间 i1,xi]，
长度 xix 为 ixi 1;
在每个小区[x间i1, xo i a x 1 上任取一点i，
b xi1 i x i xn1

1.5.3 定积分的概念

新宁一中数学备课组
i 可取 i (i 1, 2, , n) ，则 n 3 n n 1 i 1 i f ( ) x ( ) 0 f x dx Sn n n i 1 n i 1 1 1 2 1 n 3 4 i 4 n (n 1)2 n i 1 n 4
新宁一中数学备课组
一、复习回顾求曲边梯形的面积与汽车变速运动的路程的方法 (1) 分割
(2) 近似代替
(3) 求和 (4) 取极限
以直代曲，无限逼近
新宁一中数学备课组
通过分割--近似代替--求和--取极限“四步曲” 后，问题可归结为求一个和的极限.
曲边梯形的面积
S lim
x 0 i 1 n
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
a c c b
新宁一中数学备课组
4. 应用举例例1 利用定积分的定义，计算解：令f(x)=x3 .

1 0
x dx 的值.
3
(1) 分割在区间[0, 1]上等间隔地插入n-1个分点，把区间 i 1 i , ] ( i 1, 2, , n), [0, 1] 等分成n个小区间 [ n n i i 1 1 . 每个小区间的长度为 x n n n (2) 近似代替、作和
a a
b
b
新宁一中数学备课组
3. 定积分的基本性质性质1.

b a
k f ( x )dx k f ( x )dx;
a
b
(其中k为常数) 性质2.

b a
[ f ( x ) g( x )] dx f ( x )dx g( x ) dx;

课件11：1.5.3 定积分的概念

跟踪练习 4 利用定积分的几何意义求2
4－x2dx.
－2
解：如图，定积分2
4－x2dx 表示由直线 x＝－2，x＝2，
－2
y＝0 与曲线 y＝ 4－x2所围成的图形的面积，计算可得面积为π×222＝2π，
所以2
4－x2dx＝2π.
－2
课堂验收
1．设 f(x)是[a，b]上的连续函数，则bf(x)dx－bf(t)dt 的值
___23_π_－__2_3____.
1
【解析】由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影
部分的面积．
易知 AB＝ 3，∠AOB＝π3，
∴S＝16×4π－12×1×
3＝23π－
3 2.
4．简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积.
(1)－－32x2dx＋－ 1 2x2dx；
(2)1(1－x)dx＋2(x－1)dx.
命题方向2 ⇨定积分的几何意义
例2
求1
(x3＋3x)dx.
－1
解：∵y＝x3＋3x 为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对
称，∴曲边梯形在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分
面积相等，由积分的几何意义知1
(x3＋3x)dx＝0.
－1
规律总结若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方法容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．
a
a
( B)
A．小于零
B．等于零
C．大于零
D．不能确定
【解析】 bf(x)dx 和bf(t)dt 都表示曲线 y＝f(x)与 x＝a，
a
a
x＝b 及 y＝0 围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母

高中数学1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念课件新人教A版选修2_2

答案:
2 x2 dx -4 2
3.定积分的基本性质 �� (1) a ��(x)dx = �� a ��(x)dx(��为常数); (2)
�� a ��2(x)]dx =
c
1.5.3 定积分的概念
1.了解定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
1.定积分的概念一般地,如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ ��(��t)Δx = ∑ n ��(��t), 当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做 i=1 函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
n
轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( A. lim ∑ B. lim ∑
��
1 (��∈[0,2])及 x 1+��2
=
(3)取极限
2 1
13 3 13 (3x + 2)dx = lim ��n = lim = . n →∞ n →∞ 2 2n 2
题型一
题型二
反思利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程.其中,将“近似代替、求和”作为一个步骤处理条理性更强.
【变式训练 1】在等分区间的情况下,f(x)=
�� (u)du = ��(t)dt = ⋯(称为积分形式的不变性), a a �� 另外定积分 a ��(x)dx 的大小与积分区间[a,b]息息相关,不同的积 1 分区间,所得的值可能也不同,例如 0 dx 与 3 (x2 + 1)dx 的值就不同. 0 n �� a

1.5.3 定积分的概念

到曲边梯形的曲边,然后通过求曲边梯形的面积得到相应的定积分
的值,但要注意,当f(x)≥0时,
��
f(x)dx=S;当
f(x)<0
时,
��
f(x)dx=-S.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法当堂检测
变式训练 2 利用定积分的几何意义计算:
(1)
2 0
(1)
1 0
2dx;(2)
2 1
xdx;(3)
1 -1
1-��2dx.
分析:画出被积函数的图象以及相应的区间,根据定积分的几何意义,通过平面图形的面积得到相应的积分值.
探究一
探究二
探究三
思想方法当堂检测
课堂篇探究学习
解:(1)
1 0
2dx
表示的是图①中阴影所示长方形的面积,由于这个
长方形的面积为
f(x)dx
的几何意义.
名师点拨
��
f(x)dx,
��
|f(x)|dx,|
��
f(x)dx|几何意义的区别:
��
f(x)dx,
��
|f(x)|dx,|
��
f(x)dx|的几何意义是不同的,绝不能等同
(2)
��
��1(��) ±
��2(��)
dx=
��
f1(x)dx±
��

定积分讲义-

第六章定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分．本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体．最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分．§ 6。

1 定积分的概念与性质1. 定积分的定义我们先来研究两个实际问题．例1 计算曲边梯形的面积设)(x f y =为闭区间],[b a 上的连续函数,且0)(≥x f ．由曲线)(x f y =,直线b x a x == ,及x 轴所围成的平面图形(图6—1)称为)(x f 在],[b a 上的曲边梯形，试求这图6—1我们先来分析计算会遇到的困难．由于曲边梯形的高)(x f 是随x 而变化的,所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积．但我们可以用平行于y 轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图6—1所示．在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高,得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值．容易想象,把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法．下面我们分三步进行具体讨论：（1）分割在],[b a 中任意插入1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ,…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为1--=∆i i i x x x ),,2,1( n i =．(2）近似求和在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ,作和式ini ix f ∆∑=1)(ξ （1.1)(3) 取极限当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时,和式（1.1）的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A )．因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有A xf ini i→∆∑=1)(ξ．例2 求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，其速度v 是时间t 的连续函数)(t v v =．试求该物体从时刻a t =到时刻b t =一段时间内所经过的路程s ．因为)(t v v =是变量,我们不能直接用时间乘速度来计算路程．但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题．(1）用分点b t t t t t a n n =<<<<<=-1210把时间区间],[b a 任意分成n 个子区间（图6—2)： ],[10t t ,],[21t t ，…，],[1n n t t -．每个子区间的长度为1--=∆i i i t t t （n i ,2,1=)．图6—2（2) 在每个子区间],[1i i t t - (n i ,2,1=)上任取一点i τ,作和式i ni it v ∆∑=1)(τ．(3) 当分点的个数无限地增加,最长的子区间的长度趋于零时就有s t v i ni i→∆∑=1)(τ．以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限",或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究,由此产生了定积分的概念．定义6。

定积分的概念课件

区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区间分割成若干个小区间，然后求各小区间的定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。

定积分的概念课件

被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,
由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,
所以
2 4 x2 dx 22 2 .
2
2
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
(2)
2
sinxdx;
2
y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
f(x)=sinx
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa 0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
y
f(x)=x2
y
2
sin xdx 0
2）.
sin xdx 2
2 sin xdx
0
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
练习4（2）:
计算积分 1 1 x2 dx 0
解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：

【数学】1.5.3 定积分的概念 (用)

i 1
n
f ( i )xi
i xi xi2 xi ,
2 i 1
i 1
n
n
13+23+33+…….+n3=
1 2 2 n ( n 1) 4
1 n 2 1 n( n 1)(2n 1) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
a f(x)dx a f (t)dt a
(3)
b
b
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
b
a
定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
则 f ( x )dx 0 . (a b)
证
f ( x ) 0, f ( i ) 0, ( i 1,2,, n)
xi 0,
n

max{x1 , x2 ,, xn }
b
f ( i )xi 0, i 1
n
lim f ( i )xi f ( x )dx 0. 0 a
b
b
dx b a .
性质5
如果在区间[a , b] 上 f ( x ) 0 ，
则 f ( x )dx 0 . (a b)
a b
以下为性质证明部分 16-----19
性质1 证
b
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
kf ( i )xi a kf ( x )dx lim 0 i 1

原创2：1.5.3定积分的概念

所以＝. 即()＝.

‫)( ׬‬
＝1，
‫‬
‫‪ − ＝________.‬‬
‫‬
‫׬‬
‫‪4.‬‬
课时小结
1．用定义求解定积分

‫ )( ׬‬
时，其解题步骤为：
①分割；②近似代替；③求和；④取极限．
2．定积分
求定积分

‫ )( ׬‬
形 CED 的面积与矩形 ABCD 的面积之和．
1 2
1
2
π
3
2
S 弓形＝ × π×1 － ×1×1×sin π＝－，
2 3
2
3
3 4
3 1
3
S 矩形＝|AB|·|BC|＝2× × ＝，
2 2 2
3
∴
ห้องสมุดไป่ตู้

2

3
2
π
3
3 π
3
1－x dx＝－＋＝＋ .
3 4
2 3 4
2
2．根据定积分的几何意义推出下列定积分的值：
2
＝1.(A1，A2，A3分
题型三利用性质求定积分
例3计算

‫׬‬−
解析：(1)如图：
− − 的值；
由定积分的几何意义得： 33

3
3
x3dx＝0.
由定积分性质得

2
π×
3
9π
2
9－x dx＝
＝，
2
2
3
3
9π
x dx＝ .
2
3
3
3
( 9－x －x )dx＝

‫׬‬
+ 的值．

高二新授课153定积分的概念

1.5.3定积分的概念一、【教学目标】重点: 定积分的概念、定积分的几何意义及简单的应用．难点：对定积分的概念的理解、求和取极限．知识点：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景. 用定积分的定义来求解简单函数定积分的求解步骤．能力点：能用定积分的定义求简单的定积分. 教育点：使学生进一步提高对定积分的理解和应用．自主探究点：图形的面积与定积分之间的关系. 考试点：了解定积分的几何意义.易错易混点：在横轴下方部分图形的面积与定积分关系. 拓展点：函数定积分的性质及其应用．二、【引入新课】从求曲边梯形的面积以及求变速直线运动路程的过程可以发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限.x 0n 111lim ()lim ()nni i i i f x f n ξξ→→∞==∆=⋅∑∑ S=：曲边梯形的面积；x 0n 111lim ()lim ()nni i i i v t v nξξ→→∞==∆=⋅∑∑ S=变速运动的路程：．事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限.【设计意图】回顾前面所学知识，做到温故而知新，起到承上启下的作用.三、【探究新知】1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()baS f x dx =⎰，即()1()limnbian i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰ 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限.说明：⑴定积分()baf x dx ⎰是一个常数.⑵用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰.⑶曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功()ba W F r dr =⎰.2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.()baA f x dx =⎰ =-⎰()baA f x dx 21[()()]b aA f x f x dx =-⎰2121=-=-⎰⎰⎰()()[()()]bbaabaA f x dx f x dx f x f x dx如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≤，那么定积分()baf x dx -⎰表示由直线,x a x b==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．3．定积分的性质性质1 ⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质21212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质3 ()()()()bc baacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中推广：如图（1）1212[()()()]()()()bb bbm m a aaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x dx ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰（2）()baf x dx ⎰=1()c af x dx ⎰+21()c c f x dx ⎰+…+()kbc f x dx ⎰【设计意图】通过学生自主探究，进一步理解和掌握定积分概念的内涵和外延, 培养学生归纳、概括、拓展、提出问题和解决问题的能力，使学生对知识的掌握上升一个更高的层次．四、【理解新知】定积分的几何意义是：a x x f yb a ==与直线上的曲线在区间)(],[、x b x 以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－x x baS Sdx x f =⎰)(.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数］［０　π2,sin ∈=x x y 的图像与x 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.五、【运用新知】例1．（课本例题）利用定积分定义，计算130x dx ⎰的值解：令3()f x x =，如图 ⑴．分割在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，每个小区间的长度为11i i x n n n-∆=-= ⑵．近似代替、作和取(1,2,,)i ii n nζ==，则32334111111nnnn i i i i i x dx S f x in n nn ===⎛⎫⎛⎫≈=∆== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰22241111(1)(1)44n n n n=+=+ ⑶．取极限1320111limlim (1)44n n n x dx S n →∞→∞==+=⎰【设计意图】由学生通过具体的问题进行自学、探究，分组讨论、交流，进一步让学生感受这种以直代曲、化曲为直的极限法求定积分.例2．计算下列定积分（1）21(1)x dx +⎰（2）0⎰（3）(枣庄市调研题)0⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积即：2112 012 05(1)(1)2(2)143(3)4122x dxx dxx dxππ+=-=-=+⎰⎰⎰思考：(1)若改为计算定积分22(1)x dx-+⎰呢？改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]-上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）【设计意图】让学生理解定积分的几何意义,会用数形结合求定积分.六、【课堂小结】1.利用定积分的定义求简单函数的定积分；2.利用定积分的几何意义求曲边图形面积(数形结合)；3.定积分性质的总结和简单应用.学习本节的目的就是增强学生对定积分概念相关知识的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．[设计意图] 增强学生对定积分概念相关知识的理解，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．七、【布置作业】必做题：Ｐ５０Ａ第1、3、4、5题．选做题：计算下列定积分1．5(24)x dx-⎰；解：50(24)945x dx-=-=⎰.2．11x dx -⎰. 解：11111111122x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰.【设计意图】引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.在牢固抓住基础的前提下，让学有余力的同学得到更长远的发展.八、【教后反思】1. 本节课内容主要是定积分的概念、几何意义、性质，让学生逐步理解和接受i ξ在区间[]1,i i x x -选取的任意性。

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