浅谈伯努利方程的几种解法及应用

本科毕业论文

题目：浅谈伯努利方程的几种解法与应用

学院：数学与计算机科学学院

班级：数学与应用数学2011级专升本班

姓名：张丽传

指导教师：王通职称：副教授

完成日期： 2013 年 5 月25 日

浅谈伯努利方程的几种解法与应用

摘要: 本文在研究已经公认的多种伯努利方程解法的前提下,把这些方法进行整合.首先,将各种解法进行分析归类,并总结出几种常见的求解伯努利方程的方法;其次,比较各种解法的优缺点;再次,利用一题多解来巩固文中所介绍的各种解法;最后,略谈伯努利方程在求解里卡蒂方程中的重要应用.

关键词: 伯努利方程;变量代换法;常数变易法;积分因子法

目 录

引言 ....................................................................................................................................... 1 1 伯努利方程的解法 ........................................................................................................... 1 1.1 代换法 ....................................................................................................................... 1 1.1.1 变量代换法、常数变易法的混合运用 ........................................................... 1 1.1.2 函数代换法 ....................................................................................................... 2 1.1.3 求导法 ............................................................................................................... 3 1.1.4 恰当导数法 ....................................................................................................... 3 1.2 直接常数变易法 . (4)

1.2.1 对0)(=+y x P dx dy

的通解中c 的常数进行常数变易 .................................... 4 1.2.2 对n y x Q dx dy

)(=通解中的常数c 进行常数变易 ............................................ 4 1.3 积分因子法 ............................................................................................................... 5 1.4 各种方法的比较 ....................................................................................................... 6 1.5 解法举例 ................................................................................................................... 6 2 伯努利方程在里卡蒂方程中的应用 ............................................................................. 10 3 总结 ................................................................................................................................. 11 参考文献 .. (12)

引言

在高等数学数学分析科学体系中,微分方程是其中非常重要的一个组成部分,而伯努利方程又是一类很重要的一阶非线性常微分方程,在很多学科中都有广泛的应用, 尤其是在物理和化工方面应用非常广.伯努利方程的表达式:n y x Q y x P y )()(=+',

这里)(x P 、

)(x Q 是关于n 的连续函数,n 为不等于0和1的任意常数.一般地,该方程可以通过一些特殊的方法转化为线性微分方程,进而用解线性微分方程的方法来求解.许多学者在探求伯努利方程解法这方面做出了卓著的贡献,本文在充分分析这些贡献的基础上,根据各种解法的特点,将它们进行了归类总结,有利于我们对各种解法进行深刻的理解和认识.在数学学习过程中,一题多解不仅能帮助学生很好地掌握所学知识,而且还能扩散学生的思维,进而培养学生的创新精神、提高创新能力,这正符合新课标对学生的要求.为了更进一步地掌握各种解法,在本文中我采用了一题多解,上下对比,一目了然.同时,探讨了伯努利方程在求解里卡蒂方程中的应用.本文主要有两大板块构成,具体如下:首先,是伯努利方程的解法及举例,主要浅谈了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法三种方法;其次,是伯努利方程的应用,主要浅谈了伯努利方程在里卡蒂方程求解中的应用. 1 伯努利方程的解法 1.1 代换法

1.1.1 变量代换法、常数变易法的混合运用

伯努利方程

()()n

dy

P x y Q x y dx

+=（n ≠0，1）. (1.0) 求解步骤如下

(1) (1.0)式两端同除以n y 得 )()(1x Q y x P dx

dy

y n n

=+--. (*) (2) 变量代换

令n y z -=1即可将上式化为一阶线性非齐次微分方程

)()1()()1(x Q n z x P n dx dz

-=-+ . (1.1) (3) 常数变易

首先,通过对(1.1)式所对应的齐次方程通解中的常数1c 进行常数变易变为1()c x ;然后,经过一系列的求解过程求得方程(1.1)式的通解．

① 先求z x P n dx dz

)()1(-=的通解.