八年级数学分类讨论专题

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八年级数学几何题分类讨论

八年级数学几何题分类讨论八年级数学几何题主要涉及以下几个方面的分类讨论：一、点、线、面的性质1.点：讨论点的坐标、距离、中点等问题。

2.直线：讨论直线的斜率、截距、垂直平分线等问题。

3.平面：讨论平面的法向量、点到平面的距离、平面之间的位置关系等问题。

二、直线与角1.直线：讨论直线的位置关系、平行、相交、异面等问题。

2.角：讨论角的大小、角度、三角形的角度和、角的平分线等问题。

三、三角形1.分类：根据边长、角度、形状等特点进行分类讨论。

2.性质：讨论三角形的性质，如稳定性、等腰三角形、等边三角形等的性质。

3.判定方法：讨论判定三角形全等、相似的方法，如SSS、SAS、ASA等。

4.实际问题：利用三角形解决实际问题，如测量、建筑等领域的应用。

四、平行四边形1.性质：讨论平行四边形的性质，如对角线、中点、平行四边形面积等问题。

2.判定方法：讨论判定平行四边形的方法，如矩形、菱形、正方形的判定方法。

3.实际问题：利用平行四边形解决实际问题，如测量、设计等领域的应用。

五、矩形、菱形和正方形1.性质：讨论矩形、菱形和正方形的性质，如对角线、中点、面积、周长等问题。

2.判定方法：讨论判定矩形、菱形和正方形的方法，如对角线相等、菱形对角线垂直等方法。

3.实际问题：利用矩形、菱形和正方形解决实际问题，如测量、设计、建筑等领域的应用。

在解决几何题时，关键是要熟悉各种图形的性质和判定方法，掌握分类讨论的思想，同时要注意将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。

初中数学专题复习分类讨论(含答案)

专题复习二分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上， ∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）．设反比例函数解析式为my x=．点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】（2005，武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D. （1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；（3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

专题分类讨论思想在勾股定理中的应用(四大题型)(原卷版)-2024-2025学年八年级数学上册同步

（苏科版）八年级上册数学《第3章勾股定理》专题分类讨论思想在勾股定理中的应用【例题1】直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（）A ．13B ．√119 C ．13或√119 D ．13或12题型一直角边和斜边不明确时需分类讨论【变式1-1】（2021•滨州模拟）已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（）A ．5B ．7+√7C ．12D ．12或7+√7【变式1-2】（2022秋•肃州区期末）已知直角三角形两边的长分别为3cm ，4cm ，则以第三边为边长的正方形的面积为．【变式1-3】如图，长方形ABCD 中，AD ＝BC ＝6，AB ＝CD ＝10．点E 为射线DC 上的一个动点，△ADE 与△AD ′E 关于直线AE 对称，当△AD ′B 为直角三角形时，DE 的长为（）A ．2或8B ．83或18C ．83或2D ．2或18【变式1-4】（2022春•绥江县期中）如图，在△ABC 中，AC ＝5，D 为BC 边上一点，且CD ＝1，AD =√26，BD ＝4，点E 是AB 边上的动点，连接DE ．（1）求AB 的长；（2）当△BDE 是直角三角形时，求AE 的长．【变式1-5】（2022秋•崇义县月考）在四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，BC ＝12，CD ＝x ，AB ⊥AD ．（1）求BD的长；（2）若△BCD是直角三角形，求x的值．【变式1-6】（2022秋•宛城区校级期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．题型二锐角和钝角不明确时需分类讨论【例题2】（2022春•兰山区期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（）A．21B．15C．6D．21或9【变式2-1】（2021秋•海门市期末）△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（）A．66B．126C．54或44D．126或66【变式2-2】在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，求△ABC的周长．【变式2-3】等腰△ABC的腰长AB＝AC＝10，一腰上的高BD＝6，则底边BC＝．【变式2-4】△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝7.5，则BC的长为．【变式2-5】等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，求底边长．【例题3】（2022秋•南岗区校级期末）在矩形ABCD中，点E在AD边上，△BCE是以BE为一腰的等腰三角形，若AB＝4，BC＝5，则线段DE的长为．【变式3-1】（2022秋•新昌县校级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝CB．AD⊥BC．垂足为D．已知AD＝3，CD＝1．（1）求AC与AB的长．（2）点P是线段AB上的一动点，当AP为何值时，△ADP为等腰三角形．【变式3-2】（2022秋•禅城区校级月考）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC＝8m，BC＝6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．题型三腰和底不明确时需分类讨论（1）在图1中，当AB＝AD＝10m时，求△ABD的周长；（2）在图2中，当BA＝BD＝10m时，求△ABD的周长；（3）在图3中，当DA＝DB时，求△ABD的周长．【变式3-3】（2022秋•大丰区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝3：4，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【变式3-4】已知：如图，△ABC的面积为84，BC＝21，现将△ABC沿直线BC向右平移a（0＜a＜21）个单位到△DEF的位置．（1）求BC边上的高；（2）若AB＝10，①求线段DF的长；②连接AE，当△ABE是等腰三角形时，求a的值．【变式3-5】（2022秋•永春县期末）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．（1）求AB的长；（2）若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，△BCP为等腰三角形？【变式3-6】（2022春•铁西区期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12．（1）直接写出AB的长度．（2）设点P在AB上，若∠P AC＝∠PCA．求AP的长；（3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长．【变式3-7】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）AC＝cm；（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？【变式3-8】（2022春•福田区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B 开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发4秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？（3）当点Q运动到CA上时，求能使△BCQ是等腰三角形时点Q的运动时间，请直接写出t的值．【变式3-9】（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝13，BA＝5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．（1）BC＝．（2）求斜边AC上的高线长．（3）①当P在AB上时，AP的长为，t的取值范围是．（用含t的代数式表示）②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为．（4）在整个运动过程中，直接写出△P AB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．题型四分类讨论思想在勾股定理的综合应用【例题4】（2022春•海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为．【变式4-1】（2022秋•南阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P 从点A出发，以1cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设运动时间为t（t＞0）s．当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时，t的值为．【变式4-2】（2022春•思明区校级期中）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．【变式4-3】（2023春•乳山市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P 从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动，设运动的时间为t秒．（1）若△ABP是以BP为斜边的直角三角形，求t的值；（2）若△ABP是以BP为腰的等腰三角形，求t的值．【变式4-4】如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝8cm，CB＝6cm，D为动点，沿着C→A→B→C的路径运动（再次到达C点则停止运动），点D的运动速度为2cm/秒，设点D运动时间为t秒．（1）当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝；（2）若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，求t的值．【变式4-5】（2022秋•姑苏区校级月考）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD；AD：CD＝2：3：4．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时，整个运动都停止，设点M运动的时间为t（秒），若△DMN的边与BC平行，求t的值．【变式4-6】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，AD为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．（1）当t为何值时，△CBD是直角三角形；（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值．【变式4-7】（2022春•广州期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求斜边AB 上的高；（2）①当点P 在BC 上时，PC ＝；（用含t 的代数式表示）②若点P 在∠BAC 的角平分线上，求t 的值．【变式4-8】（2021秋•青岛期末）已知△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A →B 方向运动且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B →C →A 方向运动，在BC 边上的运动速度是每秒2cm ，在AC 边上的运动速度是每秒1.5cm ，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t 秒．（1）出发2秒后，求PQ 的长；（2）当点Q 在边BC 上运动时，t 为何值时，△ACQ 的面积是△ABC 面积的13；（3）当点Q 在边CA 上运动时，t 为何值时，PQ 将△ABC 周长分为23：25两部分．【变式4-9】如图，△ABC 中，BA ＝BC ，CO ⊥AB 于点O ，AO ＝4，BO ＝6．（1）求BC ，AC 的长；（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连接OE．当点D在线段OB上时，若△AOE 是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．。

人教版数学八年级下册小专题(十) 运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题

小专题(十)运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题类型1针对腰长和底边长进行分类方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类．若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍．1．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A)A．5 B．6 C．7 D．82．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(B)A．7个B．6个C．5个D．4个3．若实数x，y满足|x－5|＋y－10＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．类型2针对顶角和底角进行分类方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．4．等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.5．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数．解：设∠A ，∠B ，∠C 是该等腰三角形的三个内角，且∠A ＝12∠B. 设∠A ＝x °，则∠B ＝2x °.①若∠B 是顶角，则∠A ，∠C 是底角，于是有∠C ＝∠A ＝x °.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋x ＝180.解得x ＝45，故∠A ＝∠C ＝45°，∠B ＝90°；②若∠B 是底角，∵∠A ≠∠B ，∴∠A 是顶角，∠C ＝∠B ＝2x °.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋2x ＝180.解得x ＝36，故∠A ＝36°，∠B ＝∠C ＝72°.综上所述，等腰三角形的各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°.类型3 针对锐角、直角和钝角三角形进行分类方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点；钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．6．已知△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交成50°的角，求底角的度数．解：由题意可判断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论： ①如图1，垂直平分线DE 与腰AC 相交，且∠AED ＝50°，则∠A ＝40°，所以∠B ＝∠C ＝70°；②如图2，垂直平分线DE 与腰AC 的反向延长线相交，且∠AED ＝50°，则∠EAD ＝40°，∠BAC ＝140°，所以∠B ＝∠C ＝20°.综上可知，等腰三角形的底角为70°或20°.7．一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？解：设∠A 为顶角，则∠ABC 、∠ACB 为底角．(1)若∠A 为锐角，如图1，作BD ⊥AC 于点D ，。

初中数学专题“分类讨论”专题练习(含答案)

“分类讨论”专题练习1.已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝．2. 若(x 2－x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________．3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．4.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（） A.2a b+ B.2a b- C.2a b +或2a b- D. a+b 或a-b5.同一平面上的四个点，过每两点画一直线，则直线的条数是（） A.1 B.4 C.6 D.1或4或66. 若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1C ．5或1D ．－5或－1 7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点（1，2）.（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且△ABC 为等边三角形，求b 的值.（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求|a |＋|b |＋|c |的最小值.8．长宽都为整数的矩形，可以分成边长都为整数的小正方形。

例如一个边长2⨯4的矩形：可以分成三种情况：（1）（2）一个长宽为3⨯6的矩形，可以怎样分成小正方形，请画出你的不同分法。

9.已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点．（1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．分成两个正方形，面积分别为4，4分成8个正方形，面积每个都是1分成5个正方形，1个面积为4，4个面积是110.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A C ，在坐标轴上，60cm OA =，80cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿x 轴匀速向点C 运动，到达点C 即停止．设点P 运动的时间为s t ．（1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求PT 的长y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线AP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此时直线AP 的函数解析式；（3）探索：以A P T ，，三点为顶点的APT △的面积能否达到矩形OABC 面积的14？请说明理由．答案：1. 15°或105°2. 2、－1、0、－23. 腰长6底边9或腰长8底边54.C5.D6.C7. 解：⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2， ∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 24）设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0 ∴|BC|＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c ∵△ABC 为等边三角形，∴b 24 －c ＝ 32b 2－4c即b 2－4c ＝23·b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 3∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －16＝0， b ＝－2±2 5 所求b 值为－2±2 5⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾. ∴a ＞0． ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4a∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4a ＝0的两实根．∴△＝（2－a ）2－4×4a≥0，∴a 3－4a 2＋4a －16≥0，即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4. ∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．①若a 、b 、c 均大于0，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0, 则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2， ∵ a ≥4，故2a －2≥6当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6． 8.分7种情况画图9.解：（1）由()332)1(+⋅=⋅-m m ，得m =-，因此k =（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =，BC =因此30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠．当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ，故不符题意．当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ，过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF m m =>，则1AF ，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m --，．因此()()32323111=+-+-m m ，解之得1m =10m =舍去），因此点6D ⎛ ⎝⎭．此时的长度不等，故四边形ADBC 是梯形．如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ．由于AC BC =，因此30CAB =∠，从而150ACD =∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足，则60DCH =∠，设22(0)CH mm =>，则2DH =，由点(10)C -，，得点22(1)D m -+，因此()323122=⋅+-m m ．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ．此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．如图3，当过点C 作AB 同理可得，点(2D --，，四边形ABCD 是梯形．综上所述，函数y x=图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：6D ⎛ ⎝⎭或(1D 或(2D --，．图1图2 图310.解：（1）在矩形OABC 中，60OA =，80OC =，100OB AC ∴===PT OB ⊥，Rt Rt OPT OBC ∴△∽△． PT OP BC OB ∴=，即560100PT t=，3y PT t ∴== 当点P 运动到C 点时即停止运动，此时t 的最大值为80165=．所以，t 的取值范围是016t ≤≤．（2）当O 点关于直线AP 的对称点O '恰好在对角线OB 上时，A T P ，，三点应在一条直线上（如答图2）．AP OB ∴⊥，12∠=∠． Rt Rt AOP OCB ∴△∽△，OP AOCB OC∴=． 45OP ∴=．∴点P 的坐标为(450)，设直线AP 的函数解析式为y kx b =+．将点(060)A ，和点(450)P ，代入解析式，得60045.a b k b =+⎧⎨=+⎩，解这个方程组，得4360.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴此时直线AP 的函数解析式是4603y x =-+．（3）由（2）知，当4595t ==时，A T P ，，三点在一条直线上，此时点A T P ，，不构成三角形．故分两种情况：（i ）当09t <<时，点T 位于AOP △的内部（如答图3）．过A 点作AE OB ⊥，垂足为点E ，由AO AB OB AE =可得48AE =．APT AOP ATO OTP S S S S ∴=--△△△△211160544843654222t t t t t t =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-+．若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -+=，即292000t t -+=．此时，2(9)412000--⨯⨯<，所以该方程无实数根．所以，当09t <<时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．（答图2）（答图1）（ii ）当916t <≤时，点T 位于AOP △的外部．（如答图4）此时2654APT ATO OTP AOP S S S S t t =+-=-△△△△．若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -=，即292000t t --=．解这个方程，得192t +=，2902t -=<（舍去）．由于288162525>=，991722t +∴=>=．而此时916t <≤，所以92t +=也不符合题意，故舍去．所以，当916t <≤时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积也不能达到矩形OABC 面积的14．综上所述，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．。

八年级等腰三角形的分类讨论专题

专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。

2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。

3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。

8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。

八年级数学分类讨论专题

八年级数学分类讨论专题（每题5分，满分100分) 姓名 1、一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 2．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是 3．已知四条直线y ＝kx －3，y ＝－1，y ＝3和x ＝1所围成的四边形的面积是12，则k 的值为4.等腰三角形的一个内角为70°,那么一腰上的高与底边所成的角等于___ __．5。

在一直线上有A 、B 、C 三点，AB=5，BC=8，则AC=____ ____．6。

∣x ∣=3,∣y ∣=2，则x-y 的值为____ ____．7.若23+a 表示一个整数，则整数a 可以取的值是____ ____． 8.如果三条长分别为3、x 、5的线段恰好能组成一个直角三角形，那么x 等于__ ___．9。

已知x 5-x =1,且x 为整数，则x 可以取___ _____．10．在等腰三角形ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，则△ABC 的面积为_____ ___．11．三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是．12. 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为____________.13。

在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为_____ ___．14．有一直角三角形，两直角边长分别为6和8，现在要将它扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长是15。

一次函数y=kx+b ，当－３≤x ≤１时，对应的 y 值为１≤y ≤９，则此函数解析式是16．如图，直线y=2x+3与x 轴相交于点A,与y 轴相交于点B.过B 点作直线BP 与x 轴相交于P,且使OP=2OA ，则ΔABP 的面积是。

17.点A 的坐标为（1,1），点B 是x 轴上一点，且△OAB 为等腰三角形，则点B 的坐标是。

八年级数学等腰三角形中的分类讨论专项练习

八年级数学等腰三角形中的分类讨论专项练习类型一：遇角需讨论1.若等腰三角形的一个外角等于110°则底角的度数为（）A．70°或40° B．40°或55° C．55°或70° D．70°2．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角的度数为（）A．15°或75° B．70° C．20° D．70°或20°3．若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为70°，则顶角的度数为___________________．4．数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题；（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．5．【定义】数学课上，陈老师对我们说：如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这条线段就称为这个三角形的“好线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】（1）如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数；（2）如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（3）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形中最大内角的所有可能值为____________________________________________；（4）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在边BC上，点E 在边AB上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．类型二：遇边需讨论6．若一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为30cm，则它的另两边长分别为（）A．6cm.，18 cm B．12 cm，12 cmC．6 cm，12 cm D．6 cm，18 cm 或12cm，12 cm a，相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b存在点B，使以点O，7．如图，直线bA，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，有一个三角形纸片ABC，∠A＝80°，D是边AC上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是_________________________．9．在等腰三角形ABC中，如果过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝_________________________．10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：画出3种不同的示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）类型三：遇中线需讨论11．已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个等腰三角形的腰长为____________________cm．12．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边长和腰长．参考答案CD140°5、6、B7、D 8、15。

八年级数学从等腰三角形看分类讨论专题练习

八年级数学从等腰三角形看分类讨论专题练习1.(本小题10分)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A. 9cmB. 12 cC. 15cmD. 12cm或15cm2.(本小题10分)若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A. 50°B. 80°C. 65°或50°D. 50°或80°3.(本小题10分)等腰三角形的两角之差为30°，求该三角形顶角的度数为（）∙ A. 80°B. 40°C. 40°或80°D. 50°或80°4.(本小题10分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连结BE，则∠CBE等于( )∙ A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°5.(本小题10分)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( ) ∙ A. 60°B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120°6.在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A. 7B. 11C. 7或11D. 157.在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=( )A. 70°B. 50C. 70°或20°D. 20°8. 等腰三角形的周长是16，其中两边之差为2，求它的腰长为（）A. B. 6 C. 8 D. 6或9. 已知线段AB，以点A和点B为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作( )A. 2个B. 4C. 6个D. 8个10. 等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（）∙ A. 15 B. 15或7 C. 7 D. 1111. 已知一等腰三角形的两个内角的度数之比为1:4，求等腰三角形底角的度数（）∙ A. 30° B. 80° C. 30°或80° D. 90°12. 等腰三角形一腰上的高与一边的夹角为50°，则该等腰三角形的底角度数（）∙ A. 50° B. 40°或20°或70° C. 70°或20° D. 40°或70°。

数学分类讨论思想专题训练

分类讨论思想专
题训练 B R A N D
PLANING
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。
分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。
函数值的取值范围是-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式
是
.
二．函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标 .
二.图形位置的分类 D
O
1如图，线段OD的一个端
点O在直线a上，以OD为
一边画等腰三角形，并且
使另一个顶点在直线a上，
这样的等腰三角形能画多
a 少个?
4
▪ 2在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成腰三角形！ 6
求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标；
在直线ｘ＝ｍ（ｍ＞１） ○ 上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限）， ○ 使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角 ○ 形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶点的三角 ○ 形相似，求点Ｐ的坐标。
y
o AB
C
Dx
x=m
3. 在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C=900 ,BC=16, DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P， Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t（秒）.
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式.
（2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求∠BQP的正切值.

初中数学分类讨论专题

初中数学分类讨论专题
1. 哎呀呀，初中数学的分类讨论可太有意思啦！就说解不等式的时候吧，比如x²-5x+6＞0，我们是不是得考虑各种情况来求解呀！这就像走迷宫，
得找对每条路才行呢！
2. 嘿，你知道吗？图形的分类讨论也超有趣！像判断等腰三角形的时候，到底是哪两条边相等呢？这可得仔细琢磨呀，就如同在玩找不同的游戏一样！
3. 哇塞，分类讨论在函数问题中也常常出现呢！假如已知一个函数图像，要确定解析式，那可得把不同情况都考虑进去呀，这难道不是像拼凑一幅神秘的拼图吗？
4. 哟呵，在几何证明中，分类讨论也是必不可少的！比如点的位置不确定时，那证明的思路可能完全不同哦，这就好比在选择不同的冒险路线！
5. 嘿呀，计算概率的时候也得分类讨论呢！比如说扔骰子出现不同情况的概率，是不是得一种一种算呀，这多像在收集各种宝贝呀！
6. 哎呀，方程有时候也需要分类讨论呢！比如含绝对值的方程，得根据绝对值里面的正负情况来分别求解，这就像在解开一团乱麻！
7. 哇哦，角度的分类讨论可不能忽视呀！像三角形中锐角、直角、钝角的情况，都得考虑到呢，这多像在整理一个多彩的调色盘！
8. 嘿，动点问题更是分类讨论的典型啦！那个点动起来，情况可就复杂啦，就像在看一场刺激的赛车比赛！
9. 总之呀，初中数学的分类讨论专题真的超级重要呢！它能让我们的思维变得更加灵活，解题更加得心应手！就像是给我们的大脑加上了一对翅膀，能在数学的天空中自由翱翔！。

八年级数学竞赛培优分类讨论含解析

－2x3．若a，b，c为整数，且|a－b|20＋|c－a|＝1，则|c－a|＋|a－b|＋|b－c|的值是____．D.或分类讨论【思维入门】x x－2a－2x1．已知关于x的方程x－2＋x＝x2恰好有一个实根，则实数a的值的个数() A．1B．2C．3D．42．如图10－29－1，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是()A．8或23 C．10或23图10－29－1B．10或4＋23D．8或4＋23114．设A＝x2＋y2＋2x－2y＋2，B＝x2－5x＋5，x，y为正整数．若B A＝1，则x的所有可以取到的值为____．【思维拓展】△5．在等腰ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝1.过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP＝AB.则点P到BC所在直线的距离是()A．1B．1或－1＋32C．1或1＋32－1＋31＋3226．设四位数abcd满足a3＋b3＋c3＋d3＋1＝10c＋d，则这样的四位数的个数为____．7．已知关于x的方程(m2－1)x2－3(3m－1)x＋18＝0有两个正整数根(m是整数△)．ABC的三边a，b，c满足c＝23，m2＋a2m－8a＝0，m2＋b2m－8b＝0.求：(1)m的值；(2)△ABC的面积．8．如图10－29－2，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q 从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q 也停止运动．连结BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连结PE.设点P运动的时间为t(s)．图10－29－2(1)∠PBD的度数为____，点D的坐标为____(用t表示)；(2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．【思维升华】9．四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连结P A，PB，PC，PD.请解答下列问题：(1)如图10－29－3①，当点P在线段BC的垂直平分线MN上(对角线AC与BD的交点Q除外△)时，证明P AC≌△PDB；(2)如图10－29－3②，当点P在矩形ABCD内部时，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2；(3)若矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(1，1)，点D的坐标为(5，3)，如图10－29－△3③所示，设PBC的面积为△y，P AD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．图 10－29－3－2x＋x＝－2x分类讨论【思维入门】x x－2a－2x1．已知关于x的方程x－2＋x＝x2恰好有一个实根，则实数a的值的个数(C)A．1【解析】B．2C．3D．4x x－2a－2xx－2x2a＝2x2－2x＋4，下面先考虑增根：①令x＝0，则a＝4，当a＝4时，2x2－2x＝0，x1＝1，x2＝0(舍)；②令x＝2，则a＝8，当a＝8时，2x2－2x－4＝0，x1＝－1，x2＝2(舍)；再考虑等根：771③对2x2－2x＋4－a＝0，Δ＝4－8(4－a)＝0，a＝2，当a＝2时，x1＝x2＝2.71故a＝4，8，2，x＝1，－1，2共3个．2．如图10－29－1，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是(D)A．8或23C．10或23图10－29－1B．10或4＋23D．8或4＋23【解析】由题意，得AB＝2，∵∠C＝30°，∴BC＝4，AC＝23，∵沿图中所示的中位线剪开，∴CD＝AD＝3，CF＝BF＝2，DF＝1，如答图①所示，拼成一个矩形，矩形的周长为1＋1＋2＋3＋3＝4＋23；如答图②所示，可以拼成一个平行四边形，周长为2＋2＋2＋2＝8.第2题答图3．若a，b，c为整数，且|a－b|20＋|c－a|11＝1，则|c－a|＋|a－b|＋|b－c|的值是__2__．【解析】只有两种情况：①|a－b|＝1，|c－a|＝0，则c＝a，所以|c－a|＋|a－b|＋|b－c|＝0＋|a－b|＋|b－a|＝0＋1＋1＝2；②|a－b|＝0，|c－a|＝1，则a＝b，|c－a|＋|a－b|＋|b－c|＝|c－a|＋0＋|a－c|＝1＋0＋1＝2.所以|c－a|＋|a－b|＋|b－c|＝2.4．设A＝x2＋y2＋2x－2y＋2，B＝x2－5x＋5，x，y为正整数．若B A＝1，则x的所有可以取到的值为__1，2，3，4__．【解析】∵A＝x2＋y2＋2x－2y＋2＝(x＋1)2＋(y－1)2，∴当x＝－1且y＝1时，A＝0，而x，y均为正整数，∴A≠0.分如下两种情况：①当B＝1时，x2－5x＋5＝1，即x2－5x＋4＝0，C．1或1＋3D.－1＋3解得DP＝3－1解得x＝1或4；②当B＝－1时，x2－5x＋5＝－1，即x2－5x＋6＝0，解得x＝2或3.当x＝2时，A＝(2＋1)2＋(y－1)2＝9＋(y－1)2，y为偶数时，A为偶数，符合题意；当x＝3时，A＝(3＋1)2＋(y－1)2＝16＋(y－1)2，y为奇数时，A为偶数，符合题意．综上可知，x的所有可以取到的值为1，2，3，4.【思维拓展】△5．在等腰ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝1.过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP＝AB.则点P到BC所在直线的距离是(D)A．1B．1或－1＋3222或1＋32【解析】如答图①，延长AC，作PD⊥BC，交点为D，PE⊥AC，交点为E，∵CP∥AB，∴∠PCD＝∠ABC＝45°，∴四边形CDPE是正方形，则CD＝DP＝PE＝EC，∵在等腰直角△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝AP，∴AB＝12＋12＝2，∴AP＝2；∴在直角△AEP中，(1＋EC)2＋EP2＝AP2.∴(1＋DP)2＋DP2＝(2)2，2；第5题答图x 1＝m ＋1，x 2＝ .由题意，得⎨如答图②，延长 BC ，作 PD ⊥BC ，交点为 D ，延长 CA ，作 PE ⊥CA 于点 E ，同理可证，四边形 CDPE 是正方形，∴CD ＝DP ＝PE ＝EC ，同理可得，在直角△AEP 中，(EC －1)2＋EP 2＝AP 2，∴(PD －1)2＋PD 2＝( 2)2，解得 PD ＝ 3＋12 .6．设四位数 abcd 满足 a 3＋b 3＋c 3＋d 3＋1＝10c ＋d ，则这样的四位数的个数为__5__．【解析】根据题意，得 a ，b ，c ，d 是小于 10 的自然数，∵a 3＋b 3＋c 3＋d 3＋1＝10c ＋d ，∴可得 a 3＋b 3＋c 3＋d 3＋1 是两位数，∴a ，b ，c ，d 均为小于 5 的自然数，∴如果 c ＝1，d ＝0，则 a ＝2，b ＝0，此时这个四位数为 2 010，如果 c ＝1，d ＝1，则 a ＝2，b ＝0，此时这个四位数为 2 011，如果 c ＝1，d ＝2，则 a ＝1，b ＝1，此时这个四位数为 1 112，如果 c ＝2，找不到符合要求的数，如果 c ＝3，d ＝0，则 a ＝1，b ＝1，此时这个四位数为 1 130，如果 c ＝3，d ＝1，则 a ＝1，b ＝1，此时这个四位数为 1 131，如果 c ＝4，则 c 3＝64，不符合题意，故此四位数可能为 2 010 或 2 011 或 1 112 或 1 130 或 1 131.7．已知关于 x 的方程(m 2－1)x 2－3(3m －1)x ＋18＝0 有两个正整数根(m 是整数△)． ABC的三边 a ，b ，c 满足 c ＝2 3，m 2＋a 2m －8a ＝0，m 2＋b 2m －8b ＝0.求：(1)m 的值；(2)△ABC 的面积．解：(1)方程有两个实数根，则 m 2－1≠0，解方程得6 3 ⎧m ＋1＝1，2，3，6， m －1 ⎩m －1＝1，3，⎧m ＝0，1，2，5，即⎨⎩m ＝2，4.故 m ＝2.(2)把 m ＝2 代入两等式，化简得 a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，当a＝b时，a＝b＝2± 2.当a≠b时，a，b是方程x2－4x＋2＝0的两根，而Δ＞0，由韦达定理得，a＋b＝4＞0，ab＝2＞0，则a＞0，b＞0.①a≠b，c＝23时，由于a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－4＝12＝c2，1△故ABC为直角三角形，且∠C＝90°，△S ABC＝2ab＝1.②a＝b＝2－2，c＝23时，因2(2－2)<23，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a＝b＝2＋2，c＝23时，因2(2＋2)＞23，故能构成三角形．△S AB C1＝2×23×（2＋2）2－（3）2＝9＋122.综上，△ABC的面积为1或9＋12 2.8．如图10－29－2，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q 从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q 也停止运动．连结BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连结PE.设点P运动的时间为t(s)．图10－29－2(1)∠PBD的度数为__45°__，点D的坐标为__(t，t)__(用t表示)；(2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．解：(2)①当BE＝PE时(如答图①所示)，点P与点O重合，点E与点C重合，此时t ＝4；⎪ 8tt ＋4 t ＋4 t ＋4 ∴点 E 的坐标为 0，t ＋4⎪，∴OE ＝ .t＋4∴4－t ＝，解得，t ＝4 2－4，t ＝－4 2－4(不符合题意，舍去)．t ＋4 ⎛ 8t ⎫2 16＋t 2 ⎝t ＋4⎭（4－t ）2＋ ⎪ ＝ . t ＋4 t ＋4第 8 题答图①②当 BE ＝BP 时(如答图②所示)．∵四边形 OABC 是正方形．∴BA ＝BC ＝OA ＝OC ，∠BAP ＝∠BCO ＝90°.∴△BAP ≌△BCE(HL)．∴CE ＝AP ，∴OC －CE ＝OA －AP ，即 OP ＝OE.由题意可得 AP ＝t ，OP ＝4－t.设直线 BD 的解析式为 y ＝kx ＋b ，把点 B(－4，4)和 D(t ，t)代入得⎧－4k ＋b ＝4， ⎨⎩tk ＋b ＝t ，解得⎧k ＝t －4，⎨t ＋4⎪⎩b ＝t ＋4，t －4 8t 8t∴直线 BD 的解析式为 y ＝ x ＋ .当 x ＝0 时，y ＝ .⎛ 8t ⎫ 8t ⎝ ⎭8tt ＋4综上所述，当 t 为 4 2－4，4 △时， PBE 为等腰三角形．(3)△ POE 周长不随时间 t 的变化而变化，它始终等于 8.理由如下：∵在 Rt △ POE 中，OP ＝4－t ，OE ＝8t，∴PE ＝ OP 2＋OE 2＝t ＋48t 16＋t 2∴△POE 周长为(4－t)＋＋＝8.【思维升华】9．四边形 ABCD 是矩形，点 P 是直线 AD 与 BC 外的任意一点，连结 P A ，PB ，PC ，PD.请解答下列问题：(1)如图 10－29－3①，当点 P 在线段 BC 的垂直平分线 MN 上(对角线 AC 与 BD 的交点 Q 除外△)时，证明 P AC ≌△PDB ；(2)如图 10－29－3②，当点 P 在矩形 ABCD 内部时，求证：P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2；(3)若矩形 ABCD 在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为(1，1)，点 D 的坐标为(5，3)，如图10－29－△3③所示，设PBC的面积为△y，P AD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．图10－29－3解：(1)证明：∵MN是BC的中垂线，所以有P A＝PD，PC＝PB，又∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝△DB，∴P AC≌△PDB(SSS)．第9题答图(2)证明：过点P作KG∥BC，如答图①.∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，DC⊥BC.∴AB⊥KG，DC⊥KG，∴在Rt△P AK中，P A2＝AK2＋PK2，同理，PC2＝CG2＋PG2，PB2＝BK2＋PK2，PD2＝DG2＋PG2，P A2＋PC2＝AK2＋PK2＋CG2＋PG2，，PB2＋PD2＝BK2＋PK2＋DG2＋PG2.∵AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，可证得四边形ADGK是矩形，∴AK＝DG，同理CG＝BK，∴AK2＝DG2，CG2＝BK2，∴P A2＋PC2＝PB2＋PD2.(3)∵点B的坐标为(1，1)，点D的坐标为(5，3)，∴BC＝4，AB＝2.∴S矩形ABCD＝4×2＝8.如答图②，作直线HI垂直BC于点I，交AD于点H.①当点P在直线AD与BC之间时，△S P AD ＋△S PBC1＝2BC·HI＝4.即x＋y＝4，因而y与x的函数关系式为y＝4－x.②当点P在直线AD上方时，△S PBC －1△S P AD＝2BC·HI＝4，即y－x＝4，因而y与x的函数关系式为y＝4＋x.③当点P在直线BC下方时，△S P AD －△S PBC1＝2BC·HI＝4.即x－y＝4，因而y与x的函数关系式为y＝x－4.。

【初中数学】人教版八年级上册专题训练（四）等腰三角形问题中的分类讨论思想(练习题)

人教版八年级上册专题训练（四）等腰三角形问题中的分类讨论思想(159)1.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．2.已知一个等腰三角形一边上的高等于这边的一半，求这个三角形顶角的度数．3.等腰三角形的一个外角是60∘，则它的顶角的度数是4.若等腰三角形的周长为16，其中一边长为6，则另两边长为．5.若等腰三角形的一个外角等于110∘，则这个三角形的三个角分别为6.若实数x，y满足|x−4|+√y−8=0,则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为．7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48∘，则该等腰三角形的底角的度数为．8.在等腰三角形中，马彪同学做了如下探究：已知一个角是60∘，则另两个角是唯一确定的(60∘，60∘)；已知一个角是90∘，则另两个角也是唯一确定的(45∘，45∘)；已知一个角是120∘，则另两个角也是唯一确定的(30∘，30∘)．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数是唯一确定的．马彪同学的结论是的(填“正确”或“错误”)．9.等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若三角形ABC的边长为1，AE=2，求线段CD的长．10.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30∘，求这个三角形的三个内角的度数．11.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A.12B.9C.12或9D.9或712.如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A,B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有（）A.3个B.4个C.5个D.6个13.在直角坐标系中，已知A(1，1)，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案1.【答案】:如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD，设AB=x，BC=y，(1)当AC+AD=15，BD+BC=12时，则{x2+x=15，x 2+y=12，解得{x=10，y=7.(2)当AC+AD=12，BC+BD=15时，有{x2+x=12，x2+y=15，解得{x=8，y=11.且这两种情况下三角形的三边都符合三角形的三边关系，故这个三角形的三边长为10，10，7或8，8，11【解析】:解决此题，注意进行分类讨论.2.【答案】:(1)若这一边为底边，如图①，AB=AC，AD⊥BC，AD=BD=CD，则△ABD和△ACD均为等腰直角三角形，所以∠BAC=45∘+45∘=90∘；(2)若这一边为腰，①当顶角为锐角时，如图②，AB=AC，CD⊥AB，CD=12AB=12AC，则顶角∠A=30∘；②当顶角为钝角时，如图③，AB=AC,CD⊥AB交BA的延长线于点D，因为CD=12AB=1AC，2所以∠DAC=30∘，所以∠BAC=150∘.综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为90∘或30∘或150∘.【解析】:解决此题，注意进行分类讨论.3.【答案】:120∘【解析】:等腰三角形的一个外角为60∘，则与它相邻的内角为120∘.因为三角形内角和为180∘，如果这个内角为底角，内角和将超过180∘，所以120∘的角只可能是顶角．故答案为120∘4.【答案】:6，4或5，5【解析】:若6为腰长，则底边长为4,三边长6，6,4可以构成三角形；若6为底边长，则腰长为5，三边长5,5，6也可以构成三角形．故答案为6，4或5，55.【答案】:70∘，55∘，55∘或70∘，70∘，40∘【解析】:当顶角的外角是110∘时，这个三角形的三个角为70∘，55∘，55∘；当底角的外角是110∘时，这个三角形的三个角为70∘，70∘，40∘.所以这个三角形的三个角为70∘，55∘，55∘或70∘，70∘，40∘6.【答案】:20【解析】:由|x−4|+√y−8=0，x−4≥0，√y−8≥0，可得x−4=0，√y−8=0，求解可得x=4，y=8，于是此等腰三角形的三边长为4，4，8或8，8，4.由于4+4=8，利用三角形的三边关系，可得4，4，8不符合题意，同理可得8，8，4符合题意，故等腰三角形的周长为8+8+4=207.【答案】:69∘或21∘【解析】:分两种情况讨论：①若∠A<90∘，如图(a)所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90∘.∵∠ABD=48∘，∴∠A=90∘−48∘=42∘.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=12×(180∘−42∘)=69∘.②若∠A>90∘，如图(b)所示：同①可得：∠DAB=90∘−48∘=42∘，∴∠BAC=180∘−42∘=138∘.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=12×(180∘−138∘)=21∘.综上所述，等腰三角形底角的度数为69∘或21∘8.【答案】:错误【解析】:举一个反例即可．如当等腰三角形一个角的度数是50∘时，若这个50∘的角为顶角，则另两个角是65∘，65∘；若这个50∘的角是底角，则另一个底角为50∘，顶角为80∘.综上所述，另两个角是65∘，65∘或50∘，80∘.因此另两个角的度数不是唯一确定的．故马彪同学的结论是错误的9.【答案】:当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图①所示，过点E作EF⊥BD，垂足为F，可得∠EFB=90∘.∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=12CD．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60∘，∴∠BEF=30∘.∵BE=AB+AE=1+2=3，∴FB=12EB=32，∴CF=FB−BC=12，∴CD=2CF=1.当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图②所示，过点E作EF⊥BD，垂足为F，可得∠EFC=90∘. ∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=12CD．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠EBF=60∘，∴∠BEF=30∘.∵BE=AE−AB=2−1=1，∴FB=12BE=12，∴CF=BC+FB=32，∴CD=2CF=3.综上，CD的长为1或3【解析】:解决此题，注意进行分类讨论.10.【答案】:设其中一角的度数为x∘,则另一角的度数为(2x−30)∘,则x+x+2x−30=180或x+2(2x−30)=180或x=2x−30,解得x=52.5或x=48或x=30,所以这个三角形三个内角的度数为52.5∘，52.5∘，75∘或48∘，66∘，66∘或30∘，30∘，120∘.【解析】:设其中一角的度数为x∘,则另一角的度数为(2x−30)∘, 则x+x+2x−30=180或x+2(2x−30)=180或x=2x−30, 解得x=52.5或x=48或x=30, 所以这个三角形三个内角的度数为52.5∘，52.5∘，75∘或48∘，66∘，66∘或30∘，30∘，120∘.11.【答案】:A【解析】:∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，∴当腰长为2时，则2+2<5，此时不成立，当腰长为5时，能组成三角形，则这个等腰三角形的周长为5+5+2=12. 故选A12.【答案】:C13.【答案】:D【解析】:如图，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴于点B,C；以点A为圆心，AO长为半径画弧，交x轴于一点D(点O除外)，∴以OA为腰的等腰三角形有3个；当以OA为底时，作OA的垂直平分线，交x轴于一点，∴以OA为底的等腰三角形有1个．综上所述，符合条件的点P共有4个。

初中数学专题复习分类讨论问题(含解答)

分类讨论问题一、内容提要：分类讨论的主要因素：（1）根据本身就是分类定义；（2）有些性质、公式在不同条件下有不同的结论；（3）一些定义、定理、公式和法则有范围或条件限制；（4）题目的条件或结论不唯一时；（5）解含参数（字母系数）的题目时，必须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；（6）推理过程中，遇到数量的大小不确定，图形的位置或形状不确定的。

四个步骤：（1）确定分类对象（2）进行合理分类（3）逐类讨论，分级进行（4）归纳并作出结论二、例题精选 1．按图形的性质分类例1 如图1，⊙O 是等边ΔABC 的外接圆，D 是 BC上异于B 、C 的一点。

若 BD与 DC 的度数之比是1∶3，⊙O 的半径为1，取点F ，使ΔDCF 为等腰三角形，且顶角为钝角，试指出这时DF 的长或其取值范围。

分析：题目中，没有确定DC 是等腰三角形的底还是腰，所以要分为不同的情况讨论，在不同状态下求DF 。

解：因为 BC为120°， BD 与 DC 的度数的比是1∶3，所以 DC 为90°， DCB AO连结OC、OD，则=①以CD为底边时，如图2，DF可变化，若∠F为直角，则DF=1，而本题∠F为钝角，有<DF<1。

②以CF为底边时，如图3，DF确定，DF＝DC=。

③以DF为底边时，如图4，DF可变化，若∠C=90°，则DF=2，所以∠C为钝角时，DF>2。

又DF<2，所以2<DF<2。

说明：题目中的已知条件只是用来确定DC的长度，而后面的分类讨论内容与圆没有关系，是对等腰三角形的边进行计算，分类讨论注意全面，不要遗漏。

例2、抛物线y=m x2-(3m+)x+4与x轴交于两点A，B，与y轴交于C点，若ΔABC是等腰三角形，求抛物线的解析式。

解：在y=mx2-(3m+)x+4中令x=0, 得到y=4，∴ c(0,4 )令y=0，则m x2-(3m+)x+4=0∵ m≠0, ∴ x1=3, x2=。

北师大版八年级数学下册期末复习专题训练(二) 分类讨论在等腰三角形中的五种思路

8．如图2－ZT－1，直线m与直线n交于点B，m，n所夹锐角为 50°，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有___4_角形时分三种情况讨论：①若点C是顶角的顶点，则有BC＝AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，即点C为线段AB的垂直平分线与直线n的交点，只有一个；②若点A是顶角的顶点，则有AC ＝AB，由两直线所夹锐角为50°，可知此时点C在直线n上，只有一个； ③若点B是顶角的顶点，则有AB＝CB，此时点C在直线n上，有两个．综上可知，满足条件的点C有4个．故答案为4.
专题训练(二)
分类讨论在等腰三角形中的五种思路
思路一关于边长不确定的讨论
1．等腰三角形两边的长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为( C )
A．16 cm
B．17 cm
C．20 cm
D．16 cm或20 cm
[解析] C 已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，若腰长是4 cm，则三角形的三边长分别是4 cm，4 cm，8 cm，4＋4＝8(cm)，不满足三角形的三边关系，舍去；若腰长是8 cm，则三角形的三边长分别是8 cm，8 cm，4 cm，此时满足三角形的三边关系，三角形的周长是20 cm.故选C.
思路四关于中线的位置不确定的讨论
11．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和 15两部分，求这个三角形的三边长．解：如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 AD＝BD.设 AB＝x，BC＝y， (1)若 AC＋AD＝15，BC＋BD＝12， (2)则x2x2＋＋xy＝＝1125，，解得xy＝＝71.0，
3．已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则另外两边的
长度分别是( C )

人教版初中数学八上小专题(十三) 等腰三角形中的分类讨论

第7题图
8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），在 y轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 4 个.
第8题图
图1
（2）当MN与CA的延长线相交，交点为D时，如图2，∠ADN＝40°，则∠DAB＝ 90°－40°＝50°. 综上所述，∠B的度数为65°或25°.
图2
类型三已知等腰三角形的一边确定另一个顶点时需分类讨论 7.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，若C也
是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C有 8 个.
类型二当三角形的形状不确定时需分类讨论 5.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则该等腰三角形顶角的度数
为 65°或115° . 6.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN与AC所在直线相交所得的锐角度数为
40°，求∠B的度数. 解：分两种情况讨论：（1）当MN与AC相交，交点为D时，如图1，∠ADM＝40°，则∠A＝90°－40° ＝50°.
D.56°或68°
3.在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为 45°或72° .
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝25°，∠BAC＝100°，点P在△ABC的三边上运动.当△PAC为等腰三角形时，求其顶角的度数. 解：∵∠ABC＝25°， ∠BAC＝100°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝55°. 分四种情况讨论：（1）如图1，当点P在AB上，且AP＝AC时，顶角为∠A＝100°；
图1
（2）如图2，当点P在BC上，且AC＝PC时，顶角为∠C＝55°；
图2 （3）如图3，当点P在BC上，且AC＝AP时，顶角为∠CAP＝180°－2∠C＝ 70°；

八年级数学下册专题课堂五平行四边形中的分类讨论作业新版新人教版

综上所述，▱ ABCD 的周长为 48 cm 或 60 cm
②如图②，在▱ ABCD 中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE ＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，DF 平分∠ADC 交 BC 于点 F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF＝CD，∵EF＝2，∴BC＝BE＋CF＋EF＝2AB＋EF＝8，∴AB＝3.
②如图②，在▱ ABCD 中，∵BC＝AD，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE ＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，DF 平分∠ADC 交 BC 于点 F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF＝CD，∴BE＝CF. 又∵EF＝3 cm，CF＝9 cm，∴BC＝BE＋CF＋EF ＝2CF＋EF＝21(cm)，∴▱ ABCD 的周长＝AB＋BC＋ CD＋AD＝2BC＋2CD＝2BC＋ 2CF＝2(BC ＋CF )＝2(21＋9)＝60(cm).
【对应训练】 1．在平行四边形 ABCD 中，∠A＝30°，AD＝2 3 ，BD＝2，求平行四边形 ABCD 的面积．
解：过 D 作 DE⊥AB 于 E，在 Rt△ADE 中，∵∠A＝30°，AD＝2 3 ，∴DE＝12 AD ＝ 3 ，∴AE＝3，在 Rt△BDE 中，∵BD＝2，∴BE＝ BD2－DE2 ＝ 22－（ 3）2 ＝1，如图①，AB＝4，∴平行四边形 ABCD 的面积＝AB·DE＝4 3 ；如图②，AB＝2， ∴平行四边形 ABCD 的面积＝AB·DE＝2 3 ，综上，这个平行四边形 ABCD 的面积为 2 3 或4 3

人教版八年级数学上册专题训练(四) 等腰三角形问题中的分类讨论思想

第十三章轴对称
专题训练(四) 等腰三角形问题中的分类讨论思想
专题训练(四) 等腰三角形问题中的分类讨论思想
类型一当顶角或底角不确定时，分类讨论
1．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为
( )C
A．50°
B．80°
C．50°或80° D．40°或65°
2．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应
∴∠B＝∠C＝21∠DAB＝25°
8．等腰三角形底边长为5 cm，一腰上的中线把其周长分为差为3 cm的两部分，求腰长．
解：设腰长为2x，一腰的中线为y，则(2x＋x)－(5＋x)＝3或(5＋x)－ (2x＋x)＝3，解得：x＝4或x＝1，∴2x＝8或2，①三角形ABC三边长为8， 8，5，符合三角形三边关系定理；②三角形ABC三边是2，2，5，2＋2 ＜5，不符合三角形三边关系定理；故腰长为8 cm
该为
70°，55°，5西州)一个等腰三角形一边长为 4 cm，另一边长为 5 cm，那么这个等腰三角形的周长是( C )
A．13 cm B．14 cm C．13 cm 或 14cm D．以上都不对
4．(2016·安顺)实数 x，y 满足|x－4|＋ y－8＝0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( B )
9．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(2，2)，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有( ) A
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或 AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P的个数为( )B A．5个 B．6个 C．4个 D．3个

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