离散数学集合论期末复习题

集合论期末复习题

1. 求(())P P φ 答：(()){,{}}P P φφφ=

2. 设||A n =，求|()|P A 答：|()|2n P A =

3. {,{}}________φφφ-=，{,{}}{}________φφφ-= 答：{,{}}φφ，{{}}φ

4. 证明：()()()A B C A B A C ⋂⊕=⋂⊕⋂

证明：

()

[()()]

(~)(~)

(~)(~)

(~)(~)(~)(~)[()(~~)][()(~~)]

[()~()][()~()]

[()()][()()]

()()

A B C A B C C B A B C C B A B C A C B A B A A B C A C B A C A A B A C A C B A A B A C A C A B A B A C A C A B A B A C ⋂⊕=⋂-⋃-=⋂⋂⋃⋂=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋃⋂⋂⋃=⋂⋂⋂⋃⋂⋂⋂=⋂-⋂⋃⋂-⋂=⋂⊕⋂

5. 200人中，有67人学数学，47人学物理，95人学生物，26人学数学和生物，28人学数学和物理，27人学生物和物理，50人三门都不学，问：三门都学的人数和单学一门的人数？

解：设三门都学的人数和单学数学、物理、生物的人数分别为x ，y1,y2,y3，则如下图：

(26)(28)167(27)(28)247(26)(27)395

(26)(27)(28)12350200

x x x y x x x y x x x y x x x x y y y +-+-+=⎧⎪+-+-+=⎪⎨+-+-+=⎪⎪-+-+-+++++=⎩ 求解得到：1132228135342214123269364

y x x y x y y x y y y y x y -==⎧⎧⎪⎪-=-=⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎪⎪++-==⎩⎩ 6. 集合S={0,1,2,3,4,5,6}，R 为S 上的关系。R={|x

（1）写出R ，domR ，ranR ，fldR ；（2）写出关系矩阵M R

解：（1）

{0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,2,0,2,1,2,2,3,0,3,1,3,2,3,3,5,0,5,1,5,2,5,3,5,4R =<><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><>,5,5}

<> {0,1,2,3,4,5}domR =，{0,1,2,3,4,5,6}ranR =，{0,1,2,3,4,5,6}fldR =

（2）

0111111111111111110

00011111111000000R M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

7. 设R 为自反关系，求证：R 对称和传递当且仅当若,,,a b a c R <><>∈，则,b c R <>∈

证明：

""⇒由于R 对称，

若,,,a b a c R <><>∈，则,,,b a a c R <><>∈，又由于R 传递，则,b c R <>∈，得证。

""⇐根据已知，设由,,,a b a a R <><>∈，则,b a R <>∈，可知R 对称。 又设,,,a b b c R <><>∈，根据对称性，有,,,b a b c R <><>∈，再根据已知，得到,b c R <>∈，传递性得证。

8. 设12,R R 为非空集合A 上的关系，且12R R ⊆，验证12()()t R t R ⊆ 证明：任给1,()x y t R ∈，由于21111()n t R R R R =⋃⋃⋃L ，则存在s n ≤，使得1,s x y R ∈，1,s x y R ∈⇔12111211,,,,,,,,,,,s s t t t x t t t t y R --∃∈L L 使得，又因为

12R R ⊆，则11212,,,,,,,s x t t t t y R -∈L ，而由于222222()s n R R R R t R ⊆⋃⋃⋃=L ，

故222222,()s n x y R R R R t R ∈⊆⋃⋃⋃=L ，即2,()x y t R ∈，得证。

9. 设集合S={1,2,3,4,5}，划分d={{1,2},{3},{4,5}}，求相应的等价关系R 。 解：

{1,2}{1,2}{3}{3}{4,5}{4,5}

{1,1,1,2,2,1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,4,5,5}R =⨯⋃⨯⋃⨯=

10. 已知偏序关系的哈斯图如右图，写出最大元、最小元、

极大元、极小元。

解：最大元为x1，最小元不存在；极大元为x1，极小元为x4，x5。