材料力学_14章静不定结构-习题课

3qa 由11 X1 Δ1F 0 得 X1 8
FBx FAx 3qa 0, FBy 8 11qa 0, FAy , 8


qa2 逆时针 MA 8
例13：已知刚架的弯曲刚度为EI。
q0 C a B
试求支座B处的反力。
解：
11
1 EI
FS
FS
例7: 1/4圆形曲杆ACB如图。半径为R，曲杆抗弯刚度为
EI。求:A、B处的反力矩（只考虑杆件的弯曲变形）。
F C
B
解： 一、 分析 B点为多余约束，解除多余约束以反力代替，形成基 本静定系
A F C B
M FR cos （j/4） j[/4，/2] M R sin j j[0，/2] M2 1 2 R3 2 11 ds R sin j Rdj EI EI 0 4EI s MM 1 2 1P ds FR sin j R sin j Rdj
X1
1P
11
6F 7
例4：已知刚架的弯曲刚度为EI，试求刚架内最大弯矩 及其作用位置。
a A
F B
a C a
E a
D
解：
a
F B
a C a
11
3 2a Fa , Δ1F 3EI EI
a
3
A
E X1 a
D
F () 由 11 X 1 1F 0 得 X1 6 5Fa M max 作用于固定端A 6
a
a a
1 F
Fa
例 5 ：已知结构的弯曲刚度为 EI ，
a
F
a a
试求对称轴上A截面的内力。
2 2 a Fa 解：11 , Δ1F 4EI EI 由 11 X 1 1F 0 得
A
a
Fa X1 8
F a 1 1
FSA 0 FNA F Fa , MA 2 8
（C左面）截面上外力分配P/2
N
C
P , Q 2
C
X1
v C 1 0
, 1 1P 11X 1 0
3 1 1 PR 2 2 1P PR 1 cos j sin j Rdj 0 EI 2 AEI 1 2 2 2 R 3 11 0 R sin j Rdj EI 4 EI
a D a
C
例 3 ：刚架的弯曲刚度为 EI ，承受力 F 。
F
a a
F
试求：刚架多余约束反力。
F 1 A a F A A
2 3
B F
X1 X1
a a
A B
1 a 2a a 11 EI 8 3 2 4
7a 24EI
3
1 Fa 2 a Fa3 Δ1F EI 2 2 4EI
例15 半圆形曲杆ACB为直杆AD、BF铰接如图。曲杆及直杆的抗弯刚度均为
EI。求D、F处的反力矩MD、MF（只考虑杆件的弯曲变形）。
P
解： 由对称性知 N＝P/2。 一、 分析图。由对称性取一半研 究，求 B 点水平位移使用莫尔积 分，在任一横截面上，
F N=P/2
F N=P/2
M
M NR(1 cosj ) FR sin j M R sin j
习 题 课
力法及正则方程
力法的正则方程:
11 X 1 12 X 2 1n X n Δ1F Δ1 X X X Δ Δ 21 1 22 2 2n n 2F 2 n1 X 1 n 2 X 2 nn X n ΔnF Δn
1 1P 11. X 1 0
a
A EI
l
B
1
N
P 解： 1）判断静不定种类及次数 约束反力一次静不定 2）解除B点约束，建立静定基 P
Pl
M
1
l
M
X1
1 1 2 Pl 3 1P . ( .l.Pl. .l ) EI 2 3 3EI 3 1 a 1 1 2 l .(a.1.1) 11 . ( .l.l. .l ) EA EI 2 3 3EI EA
Fa a Fa Δ1F 4 EI 2 8EI
2
3
例11：图示刚架 EI为常量，画出 刚架的弯矩图。
F a a A B
F
解：
F X1 a/2 1 F
7a 3 11 24EI Fa3 Δ1F 4EI
Fa
a/2 A
6F X1 7
F 6F __ 7
3 Fa ___ 7
3 Fa ___ 7
M图
4 Fa ___ 7 4 Fa ___ 7
例12：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。
q B a a A C a D
11
2 3 1 a 2 a 4 a a2 a 3EI EI 2 3
3 4 1 qa qa Δ1F a EI 2 2 EI
29F 3EIΔ X1 3 64 4a
例 2 ：刚架的弯曲刚度为 EI ，承受力 F 。 A 试求：刚架多余约束反力。
A F B A
F
B a
X1
X1 B
a
FD F
a
D C
D a A
C
C
F
a
F
a
X1
X1 B
2 a 2 2a 5a3 3 11 a EI 2 3 3EI 1 Fa 2 2a Fa 2 5Fa3 Δ1F a EI 2 3 2 6EI 1P F X1 11 2
s
使用莫尔积分，在任一横截面上，
X
A
1
F
C φ
B
EI
EI
4


4
A

FR3
8 2 EI
X1
1F
11

F 2
2
C
1
φ
B
A
例 8 、求图示结构 的约束反力
C EI
EA
3）对静定基进行受力分析，建立相当系统 4）研究AB梁的B点与BC杆的B点的竖直相 对线位移，建立正则方程
例10：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的约束力及 支座A、B的约束反力.
1 Fa 2 1 2 8
a2 1 2
2
Fa 4
2
2 3 1 a 2a a 11 EI 2 3 3EI 3 Fa 1F 3F 8 EI X1 3 a 11 8 3EI
X1
P
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例9：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的 约束力及支座A、B的约束反力。
q a/2 a A B C a/2
解：
q X1 a/2 C a qa 2/8
q 1 qa 2/8
A
a
2 3 1 a 2a a 11 3EI EI 2 3 2 2 4 1 a qa qa Δ1F EI 2 8 16EI 3qa 由力法正则方程 11 X1 Δ1F 0得 X1 16
dx,
MiMF ΔiF dx EI l
对于静不定桁架:
i j

k 1
FN i ,k FN j ,k lk Ek Ak
,
Δi F

k 1
n
FN i ,k FN F, k lk Ek Ak
例1：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F后，支座C有一 下陷量Δ ，试求刚架C处的反力。
a/2 B

0
a 0
x12 dx1

a 0
4a a 2 dx2 3EI
3
a A
1 Δ1F EI

a
3 q x 0 1 x1 dx1 6a

a 0
2 q a 0 a dx2 q 0 6
q0 a 4 5EI
5）根据相当系统图，求出其他 全部约束反力
例18:已知平面刚架的EI,GI P ,求C处约束反力. A C
2a
P
a
x1
B 解：1）判断静不定种类及次数 约束反力一次静不定 2）解除C点约束，建立静定基
P AB段: M ( x1 ) Px1
x2
1
M ( x1 ) x1 AB段: T ( x1 ) a
BC段: M ( x2 ) x2
8 Pa3 1P dx1 0 3EI EI 2 a T ( x1 ).T ( x1 ) 2 a M ( x1 ).M ( x1 ) dx1 dx1 0 X1 11 0 P GI P EI 3 3a 2a 3 a M ( x2 ).M ( x2 ) 0 dx1 EI GI P EI 3）对静定基进行受力分析，建立相当系统
A X1 F/2
Fa/2 1 F/2
例6：已知刚架的弯曲刚度为EI。 试求截面A处弯矩。 3 2a qa 解： 11 , Δ1F EI EI
a
q
a
a q q A a
由 11 X 1 1F 0 得
1 2 M A X 1 qa 2
另解：
q q
q X1 A qa
qa2 FS 2qa , M A 2
i j 表示X i 作用点沿着X i 方向由于X j 1单独
作用时所产生的位移
ΔiF 表示X i 作用点沿着X i 方向由于实际载荷单独 作用所产生的位移
Xi 1 引起的弯矩为M i 设
引起的弯矩为M j X j 1 实际载荷引起的弯矩为 MF
则 i j

l
n
MiM j EI
1 M P PR 1 cos j M 0 R sin j 2
X 1
1P
11

P

0.318P
讨论：已知图示半圆曲杆的 弯曲刚度为 EI ，试求曲杆支 座A处垂直反力FAy。
A
Me C R B
解：
Me /2 C R A X1 R 1 R Me /2
(a)图 二、下图所示结构是 静不定机构 (A) 1次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次 答案：(B) 三、下图所示结构是 静不定机构
(A) 0 次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次
(b)图
四、下图所示结构是
答案：(A) 静不定机构 (A) 0 次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次
F
F
因AD与BF对称，其受力也对称， 6 PR M D M F Fl F 2 R 32 3
例16、选择题:
一、(a)图所示悬臂梁,如在自由端B上 加一个活动铰支座(b)图,则该梁的 (A) 强度提高,刚度不变 (B) 强度不变,刚度提高 (C) 强度,刚度都提高 (D) 强度,刚度都不变 答案：(C)
答案：(A)
例17、求图示结构梁DE的最大正应力σmax=?
a
A
1 1P 11. X 1 0
B
X1
a E
1 P.a 2
1P
3 2 1 1 2 1 Pa . ( .a. Pa. . a) EI 2 2 3 2 6 EI
a
D a P 解：1）判断静不定种类及次数 a 约束反力一次静不定 2）解除C点约束，建立静定系 C
MM PR3 FR3 VBx dx l EI 4 EI 4 EI 1 1 2 8FR3 2FR 2R 2R VBx EI 2 3 3EI
θ
B
θ
B
F
F
N=P/2
N=P/2
P/2
P/2
协调条件
VBx VBx
3P F 32 3
P
M
M
2 1 1 2 1 . ( .a. a. . a) EI 2 2 3 2 1 1 1 2 . (a.1.1) . ( .a.a. .a ) EI 2 EA 3 3 a a 1 2 EI EA
11
1
N
X1
M
1 a 2
P 3）对静定基进行受力分析， 建立相当系统
4）研究DE梁的C点与BC杆的C点的 竖直相对线位移，建立正则方程
x2
x1 X1
由 11 X 1 1F 0 得
FBy 3 X1 q0 a () 20
例14 等截面半圆形杆受力如图所示，EI为常数，略去剪力、轴力对变形影 响，求A，B固定端处的支座反力和C处垂直位移 解：从 C 截开可知此结构对 C-C 轴为反对称结构， 对称截面上仅有反对称内力—剪力。故为一次超静 定问题。
F
a/2 C Δ
a A
解：
a
a/2 B
F
a/2 C
Δ
F
a
X1
Fa/2 Fa/2 a
1
A
11
a 3 1 2 4a 3 1 EI 2 3 3EI
3 3
Fa 1 5 1 29Fa Δ1F EI 8 6 2 48EI
由 11 X 1 Δ1F Δ 得